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4 - TEOREMAS ENERGÉTICOS · PDF fileEstruturas I Capítulo 4 – Teoremas energéticos Joaquim Barros 4.1 4 - TEOREMAS ENERGÉTICOS 4.1 - Introdução Todos os teoremas energéticos

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  • Estruturas I Captulo 4 Teoremas energticos

    Joaquim Barros 4.1

    4 - TEOREMAS ENERGTICOS 4.1 - Introduo Todos os teoremas energticos da teoria da elasticidade podem ser directamente deduzidos dos dois seguintes princpios energticos complementares: princpio do trabalho virtual (ou dos deslocamentos virtuais); princpio do trabalho virtual complementar (ou das foras virtuais). Os princpios energticos que se apresentam nesta seco s se aplicam a estruturas que desenvolvem deslocamentos e extenses infinitsimais, dado que se assume relaes lineares entre as extenses e os deslocamentos (equaes (2.35)). 4.2 - Trabalho externo e trabalho externo complementar Se o elemento de barra representado na Figura 4.1a for submetido a uma fora exterior, Q, que aumenta desde o valor nulo at ao valor Q , a barra sofre um alongamento crescente de zero at ao valor de u . Se a resposta Q - u for no linear, isto , se o material da barra desenvolver comportamento no linear, a relao Q - u a que se representa na Figura 4.1b.

    u

    Q

    Q

    u

    OO u u

    Q

    Q

    Q

    Qu

    12

    A

    Qu

    u

    Trabalho Complementar (Wc)

    Trabalho (W)

    (a)

    (b) (c)

    Q

    u

    Figura 4.1 - A barra submetida fora axial Q (a) pode desenvolver uma relao Q-u no linear (b) ou linear

    (c). A rea sob a curva Q-u e o eixo das abcissas, We, representa o trabalho produzido pela fora Q ao mover o ponto B para B (ver Figura 4.1a),

  • Estruturas I Captulo 4 Teoremas energticos

    Joaquim Barros 4.2

    We = trabalho externo = 0

    uQ u (4.1)

    sendo o trabalho extendido amplitude do deslocamentou . A parcela Q u no integral de (4.1) representa o trabalho elementar produzido pela fora Q durante o elongamento infinitesimal u da barra. Por sua vez, a rea entre a curva Q - u e o eixo das ordenadas representa o trabalho externo complementar determinado por intermdio da seguinte condio

    Wec = trabalho externo complementar = 1

    0

    Qu Q . (4.2)

    Assim, a parcela u Q no integral de (4.2) representa o trabalho elementar produzido durante a variao infinitesimal da fora Q, Q , quando na barra est instalado um elongamento u. Se a barra se comportar em regime linear elstico, a relao Q - u linear, conforme se representa na Figura 4.1c. Neste caso, o trabalho realizado durante a deformao elstica armazenado como energia elstica, que recuperada se a carga aplicada barra for retirada. Para uma barra com este comportamento e submetida a uma fora Q crescente de zero at Q e em que o ponto de aplicao de Q sofre um deslocamento de zero at u , o trabalho realizado o que se obtm por intermdio da seguinte relao (ver Figura 4.1c)

    12e

    W Q u= . (4.3)

    Neste caso o trabalho externo e o trabalho externo complementar so iguais, dado se so iguais as reas Ou A e OAQ , na Figura 4.1c. Considere-se agora que a barra representada na Figura 4.1a est submetida a uma fora Q e que em determinado instante essa fora Q varia de um infinitsimo Q . Sob a fora Q a barra sofre um deslocamento infinitsimal u na direco de Q. Neste caso, o acrscimo de trabalho externo realizado durante a variao de deslocamento u o seguinte (ver Figura 4.1c)

    uQuQWe 21

    += . (4.4)

    Se o material da barra tiver comportamento no linear, surgiriam termos adicionais em (4.4) que so infinitsimos de ordem superior a uQ , que podem ser desprezados, dado se ter considerado que as estruturas em anlise desenvolvem deslocamentos infinitsimais. No caso geral de uma estrutura submetida a um sistema de foras superficiais Q

    s e foras de

    volume V

    Q , se se impuser um acrscimo de deslocamentos generalizados U desenvolve-se um acrscimo de trabalho externo que se pode obter por intermdio da seguinte equao

  • Estruturas I Captulo 4 Teoremas energticos

    Joaquim Barros 4.3

    21 ...

    2

    T T

    e V sV s

    e e e

    W Q U dV Q U dS

    W W W

    = +

    = + +

    + termos de ordem superior (4.5a)

    em que

    T T

    e V sV sW Q U dV Q U dS = + (4.5b)

    representa a variao de primeira ordem de eW e eW

    2 representa a variao de segunda ordem de eW . O primeiro termo de (4.5b) representa o trabalho externo produzido pelas foras de volume Q

    V e o segundo termo representa o trabalho externo produzido pelas foras de superfcie Q

    S.

    Se as foras exteriores QS e Q

    V forem reunidas num nico vector, Q , e se o vector U

    representar a variao dos deslocamentos dos pontos de aplicao de Q segundo a direco de Q , a variao do trabalho externo dada por W Q Ue

    T= . (4.6) Considere-se agora a mesma estrutura sujeita a um sistema de foras externas de superfcie Q

    S e de volume Q

    V. Se a esse corpo lhe for aplicado um acrscimo de fora Q

    S e Q

    V

    produz-se um acrscimo de trabalho denominado de trabalho externo complementar dado por

    21

    2

    T T

    ec V SV S

    ec ec ec

    W U Q dV U Q dS

    W W W

    = +

    = + +

    + termos de ordem superior (4.7a)

    em que W U Q dV U Q dSec V

    T

    V S

    T

    S= + (4.7b)

    representa o acrscimo de primeira ordem de Wec e

    2Wec o acrscimo de segunda ordem de Wec . Se as foras exteriores forem agrupadas no vector Q , o trabalho externo complementar vem expresso por W U Qec

    T= . (4.8)

  • Estruturas I Captulo 4 Teoremas energticos

    Joaquim Barros 4.4

    4.3 Trabalho interno e energia de deformao 4.3.1 Deformao axial Considere-se a barra biarticulada de material com comportamento linear-elstico representada na Figura 4.2. Esta barra tem seco transversal de rea A, mdulo de elasticidade E, comprimento L e est submetida a uma fora Q segundo o eixo 1 . Esta fora aumenta desde o valor nulo at ao seu valor final, induzindo na barra um esforo axial

    1N , e

    consequentemente, um estado de tenso

    11NA

    = . (4.9)

    Q1u

    L

    1

    d 1

    S1A, E

    N1

    N1

    S2

    Figura 4.2 Barra biarticulada de comprimento L, mdulo de elasticidade E e seco transversal de rea A.

    Sob o esforo axial 1N , a barra sofre um deslocamento 1u , obtido por intermdio da seguinte expresso:

    11N LuE A

    = (4.10)

    em que EA/L a rigidez axial da barra. O deslocamento 1u provoca uma extenso

    11uL

    = . (4.11)

    O trabalho interno de deformao produzido pelo esforo axial 1N igual rea representada na Figura 4.3a, sendo obtido segundo a expresso

    1 12i

    N uW = . (4.12)

  • Estruturas I Captulo 4 Teoremas energticos

    Joaquim Barros 4.5

    Ui

    1

    1

    Wi

    1N

    u1

    (a) (b) Figura 4.3 Trabalho interno (a) e energia (b) produzidos durante a deformao axial de uma barra biarticulada

    com comportamento linear-elstico. Substituindo (4.10) em (4.12) obtm-se

    2

    1

    2iN LW

    E A= (4.13a)

    ou

    21

    2iE A uW

    L= (4.13b)

    pelo que o trabalho interno pode ser explicitado por intermdio de uma funo quadrtica nos esforos ou nos deslocamentos. Considerando-se um elemento de comprimento 1d (ver Figura 4.2), a variao de trabalho interno, dWi, realizado na deformao axial deste elemento ser obtida substituindo em (4.13) L por 1d e 1u por 1du , resultando

    2

    1 1

    2iN ddW

    E A= (4.14a)

    ou

    21

    12i

    E A dudWd

    = . (4.14b)

    O trabalho interno por deformao axial da barra obtm-se integrando as expresses (4.14) ao longo do comprimento da barra,

    2

    110

    12

    L

    iNW dE A

    = (4.15a)

  • Estruturas I Captulo 4 Teoremas energticos

    Joaquim Barros 4.6

    ou

    2

    110

    1

    12

    L

    iduW E A dd

    =

    . (4.15b)

    Se em vez do esforo axial 1N e deslocamento 1u se se considerar a correspondente tenso,

    1 , e extenso, 1 , e as substituir nas expresses (4.15) obtm-se as expresses que permitem determinar a energia dissipada na deformao axial de uma barra de volume V=AL,

    21

    10

    1 1

    12

    12

    L

    i

    V

    U AdE

    dV

    =

    =

    (4.16a)

    ou

    21 1

    1 1

    12

    12

    i V

    V

    U E A d

    dV

    =

    =

    . (4.16b)

    A energia dissipada por unidade de volume, tambm denominada de densidade de energia obtm-se de

    211

    2iU

    E

    = (4.17a)

    ou

    1 112i

    U = . (4.17b)

    No caso geral de um corpo submetido a um estado de tenso caracterizado pelas componentes

    1 , 2 , 3 e pelas respectivas extenses 1 , 2 , 3 , a energia de deformao obtm-se aplicando o princpio da sobreposio dos efeitos, resultando

    ( )1 1 2 2 3 312i VU dV = + + . (4.19) 4.3.2 Deformao por corte O elemento de barra representado na Figura 4.4 est submetido a esforos de corte no plano

    21 , 2V , e a esforos de corte no plano 31 , 3V . Os eixos 2 e 3 so principais centrais de inrcia da seco da barra. Estes esforos produzem trabalho interno de deformao

  • Estruturas I Captulo 4 Teoremas energticos

    Joaquim Barros 4.7

    distorsional (ou de corte) das seces transversais da barra. Dado que o procedimento para se estabelecer as expresses do trabalho interno e da energia por deformao de corte devido a

    3V semelhante ao que se aplica na determinao das expresses do trabalho interno e da energia por deformao de corte devido a 2V , apenas se descrever este ltimo.

    1

    f3

    f2

    3

    2

    Figura 4.4 Elemento de barra submetido a foras distribudas por unidade de comprimento segundo o eixo 2 ,