ESTUDIO DE 16 TEOREMAS MATEMÁTICOS DE LA · PDF fileLa Circunferencia es, en geometría, una curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo,

Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ciencia

Departamento de Matemática y C. de la Computación

Lic. en Educ. Matemática y Computación código 4500.

ESTUDIO DE 16 TEOREMAS MATEMÁTICOS DE LA UNIDAD Nº 4: “SOBRE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS”

DE 2° AÑO MEDIO

Alumnos : Marta Eugenia Muñoz Cerda

Eugenio Enrique Pérez Rocco.

Profesor : Hernán González Guajardo.

Asignatura : Metodología de la Enseñanza de la

Matemática II.

Código : 1827.

Carrera : Lic. en Educ. Matemática y

Computación.

Código : 4500.

Fecha : Lunes 29 de Octubre de 2007.

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio. Página 2 de 159 Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

ÍNDICE Introducción 3 ¿Qué es un teorema? 4 Algo sobre la circunferencia 5 Especificaciones de la unidad 6 Conceptos previos 7 Teoremas: 1. “Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia” 11 2. “Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco” 24 3. “Ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro” 32 4. “Teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia” 40 5. “Relativo a las cuerdas de una circunferencia” 49 6. “Relativo a los ángulos del centro de una circunferencia” 57 7. “Cuadrilátero inscrito en una circunferencia” 65 8. “Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia” 75 9. “Teorema del ángulo interior de una circunferencia” 83 10. “Teorema del ángulo exterior a una circunferencia” 92 11. “Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de circunferencia” 105 12. “Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia” 113 13. “Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunf.” 121 14. “Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia” 130 15. “Relativo a las secantes de una circunferencia” 138 16. “Teorema de los segmentos de cuerdas proporcionales” 146 Soluciones de los ítemes 153 Bibliografía 161


INTRODUCCIÓN

El propósito de este escrito metodológico es apoyar el estudio de dieciséis teoremas matemáticos de la unidad Nº 4 “Sobre la circunferencia y sus ángulos” de segundo año medio. Si bien está diseñado para consulta de alumnos, puede ser utilizado por docentes. El usuario encontrará por cada uno de los dieciséis teoremas matemáticos desarrollados, ciertos instantes tales como aseveración, instanciación, tareas del tipo I y tipo II, variables y conjuntos dominio, mapa deductivo, aspectos históricos, aproximaciones intuitivas, entre otros instantes que le ayudarán a comprender con mayor cabalidad los teoremas o generalizaciones correspondientes a la unidad mencionada.

La importancia de este escrito radica en la demostración de algunos teoremas matemáticos presentes en esta unidad, pero ¿Qué es un teorema? Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es una actividad central en matemáticas. Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser aclaradas de antemano y que se denominan hipótesis. Luego existe una conclusión, la denominada tesis, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja.

Una conjetura es una afirmación matemática que se cree verdadera pero no ha sido demostrada. Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de axiomas y un proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente.

En el desarrollo de este trabajo, encontrarás demostraciones deductivas, que se basan

en implicaciones con operatoria algebraica, definiciones geométricas y teoremas. Que estarán apoyados por un mapa deductivo.

En este trabajo se encontrará la siguiente simbología matemática:

Símbolo Significado Ángulo

⇒ Entonces ∈ Pertenece a

( )m ABC Medida del ángulo ABC

AB Arco AB

( )m AB Medida del arco AB

∼ Semejante a Conjunto de los números reales

≅ Congruente a AB Segmento AB ( )m AB Longitud del segmento AB


¿QUÉ ES UN TEOREMA?

Como mencionábamos anteriormente un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es una actividad central en matemáticas.

Un teorema generalmente posee un número de condiciones que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano y que se denominan hipótesis. Luego existe una conclusión, una afirmación matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones en las que se trabaja.

En matemáticas generales una afirmación debe ser interesante o importante dentro de la comunidad matemática para ser considerada un teorema. Las afirmaciones menos importantes se denominan:

• Lema: una afirmación que forma parte de un teorema más largo. Por supuesto, la distinción entre teoremas y lemas es arbitraria.

• Corolario: una afirmación que sigue inmediatamente a un teorema. Una proposición

A es un corolario de una proposición o teorema B si A puede ser deducida sencillamente de B.

• Proposición: un resultado no asociado a ningún teorema en particular

Una afirmación matemática que se cree verdadera pero no ha sido demostrada se denomina conjetura o hipótesis.

Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de axiomas y un proceso de inferencia, el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente.

En este libro, encontraras demostraciones deductivas, que se basan principalmente en implicaciones con operatoria algebraica, definiciones y teoremas. También apoyadas por un mapa deductivo


ALGO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA

La Circunferencia es, en geometría, una curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo, llamado centro de la circunferencia.

No se debe confundir con el círculo (superficie), aunque ambos conceptos están estrechamente relacionados. La circunferencia pertenece a la clase de curvas conocidas como cónicas.

Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina diámetro. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia.

La proporción entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una constante, representada por el símbolo π , o Pi. Es una de las constantes matemáticas más importantes y desempeña un papel fundamental en muchos cálculos y demostraciones en matemáticas, física y otras ciencias, así como en ingeniería. Pi es aproximadamente 3,141592, aunque considerar 3,1416, o incluso 3,14, es suficiente para la mayoría de los cálculos. El matemático griego

Arquímedes encontró que el valor de π estaba entre 3 +7110 y 3 +

71 mediante la inscripción y

circunscripción infinita de polígonos regulares, aumentando gradualmente su número de lados, acercando su perímetro al perímetro de la circunferencia.

Algunos de los elementos de una circunferencia son: diámetro, radio, cuerda y arco. Para experimentar con las propiedades de la circunferencia, se ata un hilo alrededor de una lata y se mide la longitud del hilo (longitud de la circunferencia). Utilizando el hilo, se divide la tapa de la lata en dos partes iguales y se mide la longitud (diámetro de la tapa). Se divide el valor medido de la circunferencia (C) por el del diámetro (D); si se repite varias veces esta operación con distintos objetos circulares, se obtiene siempre un cociente C:D alrededor de 3:1, sean los círculos grandes o pequeños. Este cociente se representa con el símbolo π .

El centro de la circunferencia es centro de simetría, y cualquier diámetro es eje de simetría.


ESPECIFICACIONES DE LA UNIDAD Curso: Tercer año Medio Formación Diferenciada. Unidad: Nº 1 “Profundización del lenguaje algebraico”. Tiempo Estimado: 40 a 45 Horas. Contenidos Mínimos: a. Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia. Teorema que relaciona la

medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito. b. Distinción entre hipótesis y tesis. Organización lógica de los argumentos. c. Uso de algún programa computacional geométrico que permita en especial visualizar

regularidades y medir ángulos. Aprendizajes Esperados: Los alumnos y las alumnas: 1. Conocen el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos

inscritos en una circunferencia y lo aplican a la resolución de problemas. 2. Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus

elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.

3. Analizan propiedades y relaciones en figuras geométricas que se pueden inscribir o circunscribir a una circunferencia.

4. Describen cuerpos utilizando curvas de nivel. Información extraída del Programa de Estudio Segundo Año Medio Formación General, Ministerio de Educación, Chile, Segunda Edición 2004.


Conceptos previos importantes

Circunferencia:

Línea plana curva y cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto llamado centro. Se

denota C(O,r), donde O es el centro y r el radio.

En la figura siguiente se ilustra una circunferencia y sus elementos, que son:

Radio: Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. En la

figura corresponde al segmento OC .

Cuerda: Segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. En la figura

corresponde al segmento DE.

Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. En la figura corresponde al

segmento AB .

Arco: Es una porción de circunferencia comprendida entre dos puntos, se leen en

sentido contrario a las manecillas del reloj. La medida de un arco está determinada por la

medida del ángulo del centro que lo subtiende.

En la figura, el arco AC es el de color lila. No es lo mismo que el arco CA , que es el de

color azul.


Ángulo del centro:

Ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y cuyos lados son radios de la

circunferencia.

En las figuras siguientes, se ilustra el ángulo del centro AOC en color azul oscuro, y el

arco que subtiende en color verde.

Ángulo inscrito:

Es todo ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y cuyos lados son cuerdas.

En las figuras siguientes, se ilustra el ángulo inscrito ABC con azul oscuro, y el arco que

subtiende de color verde.


Ángulo semi-inscrito:

Es todo ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y cuyos lados corresponden a una

cuerda y una tangente.

En las siguientes figuras, ABC es el ángulo semi-inscrito, y AB es el arco subtendido por

la cuerda AB .

Secante a una circunferencia:

Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos. La secante contiene a una cuerda.

En la siguiente figura, AB y CD son secantes a la circunferencia de centro O.


Ángulo interior:

Ángulo cuyo vértice está en el interior de una circunferencia y cuyos lados son segmentos

de cuerda de esta circunferencia.

En la figura, APC , APD , BPD y BPC son ángulos interiores de la circunferencia.

Ángulo exterior:

Ángulo cuyo vértice está en el exterior de una circunferencia y cuyos lados son segmentos

de secantes.

En las figuras, AEB es un ángulo exterior a la circunferencia.


TEOREMA Nº 1

“TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO EN UNA

CIRCUNFERENCIA”


Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia1

Institucionalización del Teorema:

Estudiemos algunos casos particulares de este teorema.

1. El ángulo ABC de medida 53.51º es inscrito en la circunferencia de centro O y el ángulo AOC de medida 107.03º es ángulo del centro.

Como 2

03.10751.53 = se cumple el Teorema del ángulo inscrito en una

circunferencia.

2. En la circunferencia de la figura se tiene que ABC es un ángulo inscrito en la circunferencia de centro O y su medida es 27.03º. Además

AOC es un ángulo del centro de la circunferencia de medida 54.06º.

Claramente se cumple el Teorema, puesto que 206.5403.27 =

Si el CAB es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O y COB es un ángulo del centro en la circunferencia (subtienden el mismo arco de circunferencia), entonces la ( )m CAB es la mitad de la ( )m COB .

1 Aprendizaje esperado asociado: Conocen el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia y lo aplican a la resolución de problemas.


3. En la circunferencia de centro O, el ángulo ABC es inscrito en ella y el ángulo AOC es ángulo del centro. Cumpliendo el teorema de Ángulo

inscrito en una circunferencia ya que 246.8373.41 = .

Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i. Conceptos Involucrados.

Ángulo inscrito en una circunferencia. Ángulo del centro en una circunferencia. Medida de un ángulo. Diámetro, radio y centro de una circunferencia. Arco de circunferencia.

ii. Variables y Dominios. En este teorema podemos distinguir Variables (elementos que varían) y asociadas a ellas un conjunto de Dominios (conjunto al cual pertenece la variable)

Variables Dominios Circunferencia Todas las circunferencias del plano

Centro (O) de la circunferencia 2 Longitud del radio (r) de la circunferencia +ℜ

Ubicación del vértice del ángulo inscrito Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r

Ubicación del vértice del ángulo central Centro (O) de la circunferencia ( 2 ) Ubicación de los extremos del ángulo

central Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r


iii. Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser desarrolladas)

Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia son:

Reconocer un ángulo inscrito en una semicircunferencia. Reconocer un ángulo del centro de una circunferencia. Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo inscrito en una

circunferencia. Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo del centro de una

circunferencia.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia son:

Determinar la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia, dado el ángulo del centro que subtiende el mismo arco de circunferencia.

Determinar la medida de un ángulo del centro de una circunferencia, dado el ángulo inscrito que subtiende el mismo arco de circunferencia.

Justificación del Teorema

Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que si el teorema es válido para todos los ángulos inscritos en una circunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos

identificar los datos que se tienen, los datos que nos dan, a esto le llamamos Hipótesis, y lo que se desea demostrar le llamamos Tesis.

2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema.


Hipótesis:

ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O AOC es un ángulo el centro de la circunferencia de centro O ABC y AOC subtienden el mismo arco de circunferencia

Tesis: La medida del ángulo ABC es la mitad de la medida del ángulo AOC , esto

es: ( )( )2

m AOCm ABC =

Antes de comenzar a revisar la demostración de este teorema, cabe señalar que existen 3 casos cuya demostración se tratará independientemente, estos casos responden a las siguientes situaciones gráficas:

CASO A CASO B CASO C

Demostración: CASO A: El centro de la circunferencia está en uno de los lados del ángulo, es decir, O AB∈ .

Por hipótesis se tiene que:


A continuación se traza el radio OC , formándose el triángulo BOCΔ que

es isósceles, puesto que sus lados OB y OC son radios de la circunferencia de centro O, entonces OCOB ≅


En el BOCΔ se tiene que: (1) (por ser el BOCΔ isósceles)

Por ser el ángulo AOC un ángulo exterior al triángulo BCOΔ se tiene que:

( ) ( ) ( )m CBO m OCB m AOC+ = (2) Sustituyendo (1) en (2), se tiene que:

( ) ( ) ( )m CBO m CBO m AOC+ = Sumando: 2 ( ) ( )m CBO m AOC= Despejando:

( )( )2

m AOCm CBO = (3)

Como O pertenece al lado AB del ángulo ABC , CBO CBA ABC≅ ≅ , sustituyendo en (3) se obtiene finalmente:

( )( )2

m AOCm ABC =

Es decir: La medida del ABC es la mitad de la medida del AOC CASO B: El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.



A continuación se traza el diámetro BD , de manera que se formen los ángulos inscritos ABD y CBD . Además se trazan los radios AO y CO , formando los ángulos del centro de

la circunferencia COD y AOD , como lo muestra la siguiente figura:

CBO OCB≅


El ángulo ABC es la suma de las medidas de los ángulos ABD y CBD , esto es:

( ) ( ) ( )m ABC m ABD m CBD= + (1)

Pero, por el Caso A ya demostrado se tiene que:

( )( )2

m AODm ABD = (2) y ( )( )2

m CODm CBD = (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene:

( ) ( )( )2 2

m AOD m CODm ABC = +

( ) ( )( )

2m AOD m CODm ABC +

= , finalmente se obtiene:

( )( )

2m AOCm ABC =

Es decir: La medida del ABC es la mitad de la medida del AOC CASO C: El centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo.



A continuación se traza el diámetro BD , formándose los ángulos ABD y CBD , ambos inscritos. De la misma forma se trazan los radios AO y CO , formando el ángulo del centro

AOC , como se muestra en la siguiente figura:


El ángulo ABC es la diferencia entre las medidas de los ángulos CBD y ABD , esto es:

( ) ( ) ( )m ABC m CBD m ABD= − (1)

Pero por la Caso A, ya demostrado se tiene que:

( )( )

2m DOCm CBD = (2) y ( )( )

2m DOAm ABD = (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1), se obtiene:

( ) ( )( )2 2

m DOC m DOAm ABC = −

( ) ( )( )

2m DOC m DOAm ABC −

= , finalmente se obtiene:

( )( )

2m AOCm ABC =

Es decir: La medida del ángulo ABC es la mitad de la medida del ángulo AOC Quedan entonces demostrados los tres casos, por lo tanto queda demostrado el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia.


• ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O • AOC es un ángulo el centro de la circunferencia de centro O • ABC y

AOC subtienden el mismo arco de circunferencia

Mapa Deductivo CASO A: El centro de la circunferencia está en uno de los lados del ángulo, es decir, O AB∈ . Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Definición 2 (D2): Un triángulo es isósceles si dos de sus lados son congruentes Teorema 1 (T1): Los ángulos basales de un triángulo isósceles son congruentes Teorema 2 (T2): La medida de la suma de dos ángulos interiores es igual a la medida del ángulo exterior opuesto a éstos Reemplazo 1 (R1): Se reemplaza la ( )m OCB por la ( )m CBO (a causa de T1) Operación 1 (O1): Se reduce términos semejantes ( )m CBO Operación 2 (O2): Se divide la ecuación por 2

Reemplazo 2 (R2): Se reemplaza ( )m CBO por la ( )m ABC pues los puntos O y A pertenecen al mismo segmento

Tesis

D1

Se traza OC

OB OC⇒ ≅ BOC⇒Δ isósceles CBO OCB≅⇒

D2 T1 T2

( ) ( ) ( )m CBO m OCB m AOC⇒ + = ( ) ( )( )m CBOm CBO m AOC⇒ + =

(*)

R1

(*) 2 ( ) ( )m CBO m AOC⇒ =

O1 como ( ) ( )( )) (

2m AOCm ABm CB m B CO A C == ⇒ ( )( )

2m AOCm CBO⇒ =

O2 R2




Mapa Deductivo CASO B: El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo. Hipótesis

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Un ángulo se puede escribir como la suma de dos ángulos adyacentes Teorema 1 (T1): Se usa teorema anterior (CASO A), pues la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del

ángulo del centro cuando el centro de la circunferencia está en uno de los lados del ángulo. Reemplazo 1 (R1): Se reemplaza la ( )m ABD y la ( )m CBD en D1 por lo hallado en T1 Operación 1 (O1): Suma de fracciones. Definición 2 (D2): La suma de dos ángulos adyacentes se puede escribir como un solo ángulo.

Tesis

D1

Se traza ,BD diámetro AO y OC radios

) )( ( ) (m ABD m C Dm A C BB +⇒ =

T1 R1 O1

D2

( )( )2

( )( )2

m AODm ABD y

m CODm CBD

⇒ =

=

( ) ( )2

(2

) m AOD mm ABC COD⇒ = + ( ) ( )( )

2m AOD m CODm ABC +

⇒ =

(*)

( )( )(2

*) m AOCm ABC⇒ =




Mapa Deductivo CASO C: El centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo. Hipótesis

D1 O1 T1

D2

R1

Se traza ,BD diámetro AO y OC radios

) )( ( ) (m CBD m A Dm A C BB −⇒ = ( )( )

2( )( )

2

m DOCm CBD y

m DOAm ABD

⇒ =

=

( ) ( )( )2

m DOC m DOAm ABC −⇒ = ( ) ( )

2(

2) m DOC mm ABC DOA

⇒ = −

(*)

( )( )(2

*) m AOCm ABC⇒ =

Tesis

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Un ángulo se puede escribir como la diferencia de otros dos ángulos Teorema 1 (T1): Se usa teorema anterior (CASO A), pues la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del

ángulo del centro cuando el centro de la circunferencia está en uno de los lados del ángulo. Reemplazo 1 (R1): Se reemplaza la ( )m CBD y la ( )m ABD en D1 por lo hallado en T1 Operación 1 (O1): Suma de fracciones Definición 2 (D2): La diferencia de dos ángulos se puede escribir como un solo ángulo.


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia para determinar la medida del ángulo β ? a) O es centro de la circunferencia b) O es centro de la circunferencia y ( ) 52m GFO = ° y ( ) 30m JHI = ° c) O es centro de la circunferencia d) O es el centro de la circunferencia

e) O es el centro de la circunferencia

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio, Página 23 de 159 Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia. Ítem 2

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia. Ítem 3

¿Cuál es el valor de 1 2 3+ + si 100AOB = ° ? a) 50º b) 100º c) 150º d) 300º e) No se puede determinar

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: “Si ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O y AOC es un ángulo del centro en la circunferencia (abarcan el mismo arco de circunferencia), entonces la medida del ABC es la mitad de la medida del AOC ” a) La hipótesis del Teorema es “ ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro

O” b) La tesis del Teorema es “abarcan el mismo arco de circunferencia”. c) La hipótesis del Teorema es “ ABC es un ángulo inscrito en una circunferencia de centro O y AOC es un ángulo del centro en la circunferencia (abarcan el mismo arco de circunferencia)” d) La tesis del Teorema es “ AOC es un ángulo del centro en la circunferencia” e) La hipótesis del Teorema es “la medida del ABC es la mitad de la medida del AOC ”


TEOREMA Nº 2

“TEOREMA DE LA CONGRUENCIA DE LOS ÁNGULOS INSCRITOS QUE SUBTIENDEN UN

MISMO ARCO DE CIRCUNFERENCIA”


Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco2



1. En este caso AC , CD , AP y PD son cuerdas en la circunferencia de centro O y los ángulos ACD y

APD subtienden el arco AD , efectivamente las medidas de estos ángulos son iguales es decir:

( ) ( ) 22.23m ACD m APD= = ° Se cumple el Teorema de la congruencia de los ángulos

inscritos que subtienden un mismo arco.

Si dos o más ángulos están inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes y subtienden un mismo arco, entonces dichos ángulos son congruentes o tienen la misma medida.

2 Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.


2. En este caso TP , TQ , SP , SQ , RP y RQ son cuerdas en la circunferencia de centro O y los ángulos

PTQ , PSQ y PRQ subtienden el arco QP , efectivamente las medidas de estos ángulos son iguales es decir: ( ) ( ) ( ) 31.68m PTQ m PSQ m PRQ= = = ° Se cumple el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco.


Ángulo inscrito en una circunferencia. Medida de un arco. Congruencia de ángulos. Medida de un ángulo.




Ubicación del vértice del ángulo Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r

Ubicación de los extremos del ángulo central

Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r


iii. Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser

desarrolladas)

Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada)

Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco son:

Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo inscrito en una Reconocer un ángulo inscrito en una semicircunferencia.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco son:

Determinar la medida de un ángulo dada la medida de otro ángulo que

subtiende el mismo arco de circunferencia. Justificación del Teorema

Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes que subtienden un mismo arco de circunferencia. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos




Hipótesis: Sean los ángulos ABD y ACD dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden un mismo arco de circunferencia. Tesis:

ABD ACD≅ o ( ) ( )m ABD m ACD= Demostración:

Por Hipótesis se tiene que:

ABD y ACD son dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden el mismo arco AD de circunferencia. A continuación se trazan los radios AO y OD para formar el ángulo del centro de la circunferencia AOD

En efecto: Por teorema estudiado anteriormente “la medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro que subtiende el mismo arco” tenemos que:

( )( )2

m AODm ABD = (1) y

( )( )

2m AODm ACD = (2)

Por lo tanto por transitividad se tiene que

( ) ( )m ABD m ACD= lo que implica que ABD ACD≅ En consecuencia, ABD ACD≅ o ( ) ( )m ABD m ACD= como se quería demostrar.


Mapa Deductivo Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1): La medida de un ángulo inscrito o semi-inscrito en una circunferencia, es la mitad

de la medida del arco que subtiende.

Igualar (I): y Si a b b c= = , entonces a c= (Transitividad)

Teorema 2 (T2): Si dos ángulos tienen la misma medida entonces los ángulos son congruentes.

( ) ( )m ABD m ACD=

Sea ABD y ACD son dos

ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden el mismo

arco AD de circunferencia.

Se trazan los segmentos AO y OD

( )( )2

m AODm ABD =

( )( )

2m AODm ACD =

=> I

Tesis

=> T2 => T1

ABD ACD≅

Estudio de 16 Teoremas Matemáticos de la unidad Nº 4 de 2º año medio formación General. Página 30 de 159 Autores: Marta Eugenia Muñoz Cerda, Eugenio Enrique Pérez Rocco

Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia para determinar si α β= ? a) b) c) d)

e)


¿Cuál es el valor de α γ+ ? a) 10° b) 20° c) 40° d) 60° e) No se puede determinar

Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia. Ítem 2 Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y la tesis del Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco de circunferencia: “Si dos o más ángulos están inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes y subtienden un mismo arco, entonces dichos ángulos son congruentes o tienen la misma medida”. a) La hipótesis del teorema es “los ángulos son congruentes o tienen la misma medida” b) La tesis del teorema es “sean dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden un mismo arco” c) La tesis del teorema es “los ángulos son congruentes o tienen la misma medida” d) La hipótesis del teorema es “sean dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes tales que subtienden un mismo arco y dichos ángulos son congruentes o tienen la misma medida” e) La hipótesis del teorema es “sean dos ángulos inscritos en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes”


TEOREMA Nº 3

“ÁNGULO SEMI-INSCRITO Y SU CORRESPONDIENTE ÁNGULO DEL

CENTRO”


Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro3


Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura, ( ) ( ) 79ºAOB COD m AOB m COD≅ ∧ = = y

( ) 2,54m AB = , ¿Cuál es la medida del segmentoCD ?

De acuerdo al Teorema, tenemos que: Si AOB COD AB CD≅ ⇒ ≅ Y si ( ) ( )AB CD m AB m CD≅ ⇒ =

∴Como ( ) 2,54m AB = , entonces de acuerdo a lo anterior

( ) 2,54m CD =

Si α es la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia de centro O y radio r y β es la medida de un ángulo del centro que subtienden un mismo arco o un arco congruente, entonces la medida del ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro.

Es decir: =2βα

3Aprendizaje esperado asociado: Conocen el teorema que relaciona las medidas de los ángulos del centro y de los ángulos inscritos en una circunferencia y lo aplican a la resolución de problemas.



Circunferencia Triángulo Ángulo semi-inscrito Medida de ángulo semi-inscrito Ángulo del centro Medida de ángulo del centro Recta tangente en un punto



Centro (O) de la circunferencia 2 Longitud del radio (r) de la circunferencia ℜ+

Longitud de la cuerda ] [0, 2r

Ángulo del centro

Cualquier ángulo del centro de la circunferencia de centro O y radio r tal que

este subtendido por el mismo arco o un arco congruente al del ángulo semi-inscrito

Ángulo semi-inscrito

Cualquier ángulo del semi-inscrito de la circunferencia de centro O y radio r tal que

este subtendido por el mismo arco o un arco congruente al del ángulo del centro



Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro son:

Reconocer un ángulo semi-inscrito en una circunferencia. Reconocer un ángulo del centro de una circunferencia. Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo semi-inscrito en

una circunferencia. Reconocer el arco de circunferencia que subtiende un ángulo del centro de una

circunferencia. Reconocer recta tangente en un punto.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro son:

Determinar la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia, dado el ángulo del centro que subtiende el mismo arco de circunferencia.

Determinar la medida de un ángulo del centro de una circunferencia, dado el ángulo semi-inscrito que subtiende el mismo arco de circunferencia.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos




Hipótesis: El punto O es centro de una circunferencia.

AOB es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. ABC es ángulo semi-inscrito de la circunferencia de centro O. ( ) ( )m AOB m ABCα β= ∧ =

Ambos ángulos subtienden un mismo arco o arcos congruentes. CD Tangente ha OB Tesis:

La medida del ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida del ángulo del centro. =2βα⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Demostración: Triangulo AOB es Isósceles, ya que AO BO= (radios de la circunferencia). Luego OAB OBA≅ . ( ( ) ( )=m OAB m OBA ) Además por hipótesis: CD Tangente ha OB , entonces ( ) ( )1 =90ºm OBA α+ .

Por otro lado tenemos que: ( ) ( ) ( )2 =180ºm OBA m OAB β+ + De (1) tenemos que: ( )=90º-m OBA α y por hipótesis ( ) ( )=m OAB m OBA Luego reemplazando en (2) se tiene:

( ) ( )( )

( )

=180º

2 =180º

2 90º- =180º180º-2 =180º

=2

=2

m OBA m OAB

m OBA

β

β

α βα β

β αβ α

+ +

⋅ +

⋅ +

⋅ +⋅


α es la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia de centro O y radio r y β es la medida de un ángulo del centro que subtienden un mismo arco o un arco congruente

AOB Isósceles. ( ) ( ) =180ºm OBA m OAB β+ +

( ) =90ºm OBA α+

=> T3

=> O

=> T1

(*)

=> H

=> T2


Significado de los Símbolos Teorema (T1): Si la medida de dos lados de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es

isósceles. Teorema (T2): La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Hipótesis (H): Por hipótesis Teorema (T3): Si un triángulo es isósceles, entonces la medida de los ángulos básales es la

misma. Operación (O): Operación algebraica. Sustitución (S): Sustitución simple.

( )2 =180ºm OBA β⋅ +

Tesis

( ) ( )=m OAB m OBA

=> (*)

( )=90º-m OBA α

=> O

=> S ( )2 90º- =180º180º-2 =180º

α βα β

⋅ +

⋅ + => O

=2

=2

β αβ α

⋅


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro para determinar la medida del ángulo β? a) b) c) d)

e)


Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro. Ítem 2

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema del ángulo semi-inscrito y su correspondiente ángulo del centro. Ítem 3

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida del ángulo β? a) 90º. b) 35º. c) 70º. d) 160º. e) 140º.

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si α es la medida de un ángulo semi-inscrito en una circunferencia de centro O y radio r y β es la medida de un ángulo del centro que subtienden un mismo arco o un arco congruente, entonces la medida del ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida del ángulo

del centro. Es decir: =2βα

a) La hipótesis del Teorema es “α es la medida de un ángulo semi-inscrito en una

circunferencia de centro O y radio r”.

b) La tesis del Teorema es “ =2βα ”.

c) La tesis del Teorema es “β es la medida de un ángulo del centro que subtienden un mismo arco o un arco congruente”.

d) La hipótesis del Teorema “la medida del ángulo semi-inscrito es la mitad de la medida del

ángulo del centro”. e) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema.


TEOREMA Nº 4

“TEOREMA DEL ÁNGULO INSCRITO EN UNA

SEMICIRCUNFERENCIA”


Teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia4



1. En la circunferencia de la figura, AB es el diámetro de la circunferencia y C es un punto en la ésta, luego el BCA está inscrito en la semicircunferencia de radio 3 y centro O (lo que escribiremos

( , 3)C O ), luego por el teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia tenemos que la ( ) 90m BCA = °

Se cumple el teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia.

Si un ángulo está inscrito en una semicircunferencia, entonces es un ángulo recto.

Es decir, Si MPN está inscrito en una semicircunferencia ⇒ ( ) 90m MPN = °



2. En la circunferencia de la figura, SR es el diámetro de la circunferencia y T es un punto en ésta, luego el RTS está inscrito en la

semicircunferencia de radio 56

y centro O (lo que

escribiremos 5,6

C O⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

), luego por el teorema relativo al ángulo inscrito

en una semicircunferencia tenemos que la ( ) 90m RTS = ° Se cumple el teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia. Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i. Conceptos Involucrados.

Ángulo Recto. Medida de un ángulo. Ángulo inscrito en una circunferencia. Diámetro, radio y centro de una circunferencia. Semicircunferencia.




Centro (O) de la circunferencia 2

Longitud del radio (r) de la circunferencia ℜ+

Longitud de las cuerdas ] [0, 2r

Ubicación de los extremos de los lados del ángulo

Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r tal que

corresponden a los puntos extremos del diámetro de la circunferencia

Ubicación del vértice del ángulo Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r


Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia son:

Reconocer un ángulo inscrito en una semicircunferencia. Reconocer un ángulo recto.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia son:

Determinar la medida de un ángulo inscrito en una semicircunferencia. Si un ángulo inscrito en una circunferencia mide 90º, reconocer que sus

extremos (no vértice) coinciden con los extremos del diámetro. Justificación del Teorema

Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que si el teorema es válido para todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos




Hipótesis: El MPN es un ángulo inscrito en una semicircunferencia. Tesis: La ( ) 90m MPN = ° Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: M y N son puntos extremos del diámetro de la circunferencia de centro O, ya que el MPN está inscrito en una semicircunferencia.

A continuación se traza el segmento desde el punto P al punto O como indica la siguiente figura:

Se tiene entonces que , ,MO ON PO son radios de la circunferencia de centro O es decir: ( ) ( ) ( )m MO m ON m PO r= = = por lo tanto se tiene que MO ON PO≅ ≅ . Ahora como MO OP≅ , el MOPΔ es isósceles lo que implica que

OMP MPO≅ , llamemos α a la medida de estos ángulos, es decir:

( ) ( )m OMP m MPO α= = (1) Por otra parte PO ON≅ , entonces el NPOΔ es isósceles también, lo que implica que

OPN PNO≅ , llamemos β a la medida de estos ángulos, es decir:

( ) ( )m OPN m PNO β= = (2)


Se puede observar además que ( ) ( ) ( )m MPN m MPO m OPN= + (3)

Por lo tanto reemplazando por (1) y (2) se tiene que: ( )m MPN α β= +

Del MPNΔ se tiene que ( ) ( ) ( ) 180m OMP m MPN m PNO+ + = ° Reemplazando se tiene: ( ) 180α α β β+ + + = °

Reduciendo términos semejantes resulta: 2 2 180α β+ = ° Factorizando por 2 queda: º180)(2 =+ βα

Simplificando por 12

resulta: 90α β+ = ° , por lo que por (3) se tiene finalmente que

( ) 90m MPN = ° Por lo tanto el MPN inscrito en una semicircunferencia es recto.


El MPN es un ángulo inscrito en una semi-circunferencia.

MO ON PO⇒ ≅ ≅


Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Un ángulo se puede escribir como la suma de dos ángulos adyacentes Definición 2 (D2): Los radios de una circunferencia son congruentes Definición 3 (D3): Un triángulo es isósceles si dos de sus lados son congruentes Teorema 1 (T1): Los ángulos basales de un triángulo isósceles son congruentes Teorema 2 (T2): La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180° Reemplazo 1 (R1): Se reemplaza la ( )m MPN por ( ) ( )m MPO m OPN+ (a causa de D1)

Operación 1 (O1): Se reduce términos semejantes ( )m MPO y ( )m OPN

Operación 2 (O2): Se divide la ecuación por 2

Reemplazo 2 (R2): Se reemplaza ( ) ( )m MPO m OPN+ por ( )m MPN (a causa de D1)

T1

Tesis

D1

( ) ( ) ( )m MPN m MPO m OPN= +⇒

D2 D3

MPONPO

⇒ΔΔ

isósceles MPOOMPPNO OPN

⇒ ≅≅

T2

2 ( ) 2 ( ) 180m MPO m OPN⇒ + = ° ( ) 90m MPN =⇒ °

( ) ( 180( ))m MPNm OMP m PNO⇒ + + = °

(*)

(*) ( ) ( ) 0( 1( ) ) 8m MPO mm MPO m OPNOPN⇒ + + °+ = ( ) ( 90)m MPO m OPN⇒ = °+

R1 O1 O2 R2


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia para determinar la medida del ángulo θ ? a) GC es diámetro b) ( ) ( )m HB m BD r= = c) KL es diámetro d) BC es diámetro y ( ) 90m AWE = °

e) RU es diámetro


Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia. Ítem 2

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo al ángulo inscrito en una semicircunferencia. Ítem 3

En la siguiente figura A y C son puntos colineales, y el punto medio entre A y C es el centro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ABC ? a) 51.36° b) 90° c) 102.72° d) 205.44° e) No se puede determinar

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si un ángulo ABC está inscrito en una semicircunferencia de centro O, entonces la medida de ABC es 90° . a) La hipótesis del Teorema es “la medida de ABC es 90° ”. b) La tesis del Teorema es “un ángulo ABC está inscrito en una semicircunferencia”. c) La tesis del Teorema es “la medida de ABC es 90° ”. d) La hipótesis del Teorema es “un ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90° ”. e) La hipótesis del Teorema es “un ángulo ABC está inscrito en una circunferencia”.


TEOREMA Nº 5

“RELATIVO A LAS CUERDAS DE UNA CIRCUNFERENCIA”


Relativo a las cuerdas de una circunferencia5


Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura, ( ) ( ) 79ºAOB COD m AOB m COD≅ ∧ = = y

( ) 2,54m AB = , ¿Cuál es la medida del segmentoCD ?

De acuerdo al Teorema, tenemos que: Si AOB COD AB CD≅ ⇒ ≅ Y si ( ) ( )AB CD m AB m CD≅ ⇒ =

∴Como ( ) 2,54m AB = , entonces de acuerdo a lo anterior

( ) 2,54m CD =

Si dos ángulos del centro son congruentes, entonces las cuerdas que los subtienden son congruentes.

Es decir, Si AOB COD AB CD≅ ⇒ ≅




Ángulo del Centro de una Circunferencia. Ángulos Congruentes. Medida de un ángulo. Cuerdas de Circunferencia. Segmentos Congruentes. Medida de un segmento.





Ángulos del centro Cualquier par de ángulos del centro de la

circunferencia de centro O y radio r tal que estos sean congruentes


Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a las Cuerdas de una Circunferencia son:

Reconocer ángulos del centro de una circunferencia. Reconocer ángulos congruentes. Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes.


Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a las Cuerdas de una Circunferencia son:

Dados dos ángulos del centro congruentes determinar qué cuerdas de circunferencia son congruentes.

Dado dos ángulos congruentes y la medida de una cuerda, determinar la medida de la otra cuerda de circunferencia.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los pares de ángulos del centro congruentes de una circunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos


2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis: El punto O es centro de una circunferencia.

AOB es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. COD es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. AOB COD≅

Tesis: Las cuerdas de circunferencia AB y CD son congruentes ( )AB CD≅ .


Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: AO y OB son radios de circunferencia, porque AOB es ángulo del centro de la circunferencia de centro O. Así también se tiene que CO y OD son radios de circunferencia, porque

COD es ángulo del centro de la circunferencia de centro O.

Se tiene que CODOOBAO ≅≅≅ , puesto que todos son radios de la circunferencia de centro O, entonces todos tienen igual medida.

DOBO

yCOAO

≅

≅

)2(

)1(

Se construyen las Cuerdas de Circunferencia AB y CD , y se obtienen los triángulos: AOBΔ y CODΔ Además por hipótesis se tiene que: (3) AOB COD≅

Con los datos (1), (2) y (3) y por Teorema de Congruencia de Triángulos (Lado-Ángulo-Lado), se tiene que CODAOB Δ≅Δ Por lo tanto, CDAB ≅ : donde AB y CD son cuerdas de circunferencia.



Significado de los Símbolos Hipótesis (H): Por hipótesis Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Teorema 1 (T1): Criterio de congruencia de triángulos lado-ángulo-lado (LAL) Teorema 2 (T2): Si dos triángulos son congruentes, entonces los lados son

congruentes

El punto O es centro de una circunferencia.

AOB es ángulo del centro de la circunferencia de centro O.

COD es ángulo del centro de la circunferencia de centro O.

AOB COD≅

=> D1

AO CO

BO DO

≅

≅

AOB COD≅

=> T1 CODAOB Δ≅Δ => T2 AB CD≅

Tesis

=> H


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo a las cuerdas de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo a las cuerdas de una circunferencia para determinar la longitud de la cuerda CD ? a) b) c) d)

e)


Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo a las cuerdas de una circunferencia. Ítem 2

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo a las cuerdas de una circunferencia. Ítem 3

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la longitud de AB ? a) 7 cm. b) 14 cm. c) 28 cm. d) 58.5 cm. e) No se puede determinar

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si en una circunferencia de centro O, los ángulos AOB y COD son ángulos del centro y AOB COD≅ , entonces las cuerdas AB y CD son congruentes. a) La hipótesis del Teorema es “los ángulos AOB y COD son ángulos del centro”. b) La tesis del Teorema es “ AOB COD≅ , entonces las cuerdas AB y CD son

congruentes”. c) La tesis del Teorema es “las cuerdas AB y CD no son congruentes”. d) La hipótesis del Teorema “en una circunferencia de centro O, los ángulos AOB y COD

son ángulos del centro y AOB COD≅ ”. e) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema.


TEOREMA Nº 6

“RELATIVO A LOS ÁNGULOS DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA”


Relativo a los ángulos del centro de una circunferencia6


Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura, ( ) ( ) 2AB CD m AB m CD≅ ∧ = = y ( ) 60ºm COD = , ¿Cuál es la medida del ánguloα ?

De acuerdo al Teorema, tenemos que: Si AB CD AOB COD≅ ⇒ ≅ Y si ( ) ( )AOB COD m AOB m COD≅ ⇒ =

∴Como ( ) 60ºm COD = , entonces de acuerdo a lo anterior

( ) 60ºm AOB =

Si dos cuerdas son congruentes, entonces los ángulos del centro subtendidos por ellas son congruentes.

Es decir, Si AB CD AOB COD≅ ⇒ ≅




Ángulo del Centro de una Circunferencia. Ángulos Congruentes. Medida de un ángulo. Cuerdas de Circunferencia. Segmentos Congruentes. Medida de un segmento.





Ángulos del centro Cualquier par de ángulos del centro de la

circunferencia de centro O y radio r tal que estén subtendidos pos las cuerdas dadas


desarrolladas)

Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a los ángulos del centro de una Circunferencia son:

Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes. Reconocer ángulos del centro de una circunferencia. Reconocer ángulos congruentes.


Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a los ángulos del centro de una Circunferencia son:

Dadas dos cuerdas congruentes determinar qué ángulos del centro de la circunferencia son congruentes.

Dada dos cuerdas congruentes y la medida de un ángulo del centro, determinar la medida del otro ángulo del centro.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los pares de cuerdas congruentes de una circunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos


2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis: Las cuerdas de circunferencia AB y CD son congruentes

( )AB CD≅ .

Tesis: Los ángulos del centro subtendidos por las cuerdas AB y CD son congruentes ( AOB COD≅ ).


Demostración:

Por Hipótesis se tiene que (1)AB CD≅ , luego se construyen los segmentos: , , , AO OB DO CO , y se obtienen los triángulos: AOBΔ y CODΔ . Luego se tiene que CODOOBAO ≅≅≅ , puesto que todos son radios de la circunferencia de centro O, entonces todos tienen igual medida.

(2)

(3)

AO COy

BO DO

≅

≅

Con los datos (1), (2) y (3) y por Teorema de Congruencia de Triángulos (Lado-Lado-Lado), se tiene que CODAOB Δ≅Δ Por lo tanto, AOB COD≅ : donde AOB y COD son ángulos del centro de la circunferencia.


Las cuerdas de circunferencia AB y CD son congruentes. ( )AB CD≅ .

Se construyen los segmentos:

, , , AO OB DO CO Radios de la circunferencia AB CD≅

=> T1


Significado de los Símbolos Hipótesis (H): Por hipótesis Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Teorema 1 (T1): Criterio de congruencia de triángulos lado-lado-lado (LLL) Teorema 2 (T2): Si dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos

interiores son congruentes

=> D1 CODAOB Δ≅Δ

Tesis

=> H

AO CO

BO DO

≅

≅ => T2 AOB COD≅


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema relativo a los ángulos del centro de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo a los ángulos del centro de una circunferencia para determinar la medida del ángulo AOB ? a) b) c) d)

e)


Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema relativo a los ángulos del centro de una circunferencia. Ítem 2

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema relativo a los ángulos del centro de una circunferencia. Ítem 3

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida de COD ? a) 100º. b) 2º c) 50º d) 200º e) 80º

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si en una circunferencia de centro O, las cuerdas AB y CD son congruentes, entonces los ángulos del centro AOB y COD son congruentes. a) La hipótesis del Teorema es “los ángulos AOB y COD son ángulos del centro”. b) La tesis del Teorema es “los ángulos del centro AOB y COD son congruentes”. c) La tesis del Teorema es “las cuerdas AB y CD son congruentes”. d) La hipótesis del Teorema “en una circunferencia de centro O, los ángulos AOB y COD

son ángulos del centro y AOB COD≅ ”. e) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema.


TEOREMA Nº 7

“CUADRILÁTERO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA”


Cuadrilátero inscrito en una circunferencia7



Los ángulos º79º101 =∠=∠ BCDyDAB son ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de centro O. Así también, los ángulos º55º125 =∠=∠ ABCyCDA Son ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de centro O. Claramente 101º+79º=180º, entonces el primer par de ángulos son suplementarios, y 125º+55º=180º, entonces el segundo par de ángulos son suplementarios. Cumpliendo el Teorema del Cuadrilátero Inscrito en una circunferencia.

Si un cuadrilátero ABCD esta inscrito en una circunferencia de centro O y radio r, entonces los ángulos opuestos son suplementarios.

Es decir, 180ºα γ+ = y 180ºβ δ+ =

7Aprendizaje esperado asociado: Analizan propiedades y relaciones en figuras geométricas que se pueden inscribir o circunscribir a una circunferencia.


Los ángulos DAC∠ y BCD∠ son ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia de centro O: 85.68º+94.32º=180º Los ángulos ABC∠ y CDA∠ son también ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD: 102.34º+77.66º=180º Por lo tanto cumple el Teorema del Cuadrilátero Inscrito en una circunferencia.


Cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Ángulos suplementarios. Ángulos opuestos de un cuadrilátero.




Vértices del cuadrilátero inscrito en la circunferencia

Cualquier punto de la frontera de la circunferencia de centro O y radio r

Lados del cuadrilátero inscrito en la circunferencia

Cuerdas de la circunferencia de centro O y radio r


desarrolladas)



Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del cuadrilátero inscrito en una circunferencia son:

Reconocer un cuadrilátero inscrito en una circunferencia. Reconocer ángulos suplementarios. Reconocer ángulos interiores opuestos de un cuadrilátero.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del cuadrilátero inscrito en una circunferencia son:

Saber con certeza que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.

Determinar la medida de un ángulo interior de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia si se conoce su ángulo opuesto.

Determinar, dados los ángulos interiores de un cuadrilátero, si es inscriptible en una circunferencia.

Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los cuadriláteros inscritos en circunferencias del plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos




Hipótesis: El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O y radio r. Tesis: Los ángulos opuestos del cuadrilátero ABCD inscrito en la circunferencia son suplementarios. ( =180º y =180ºα γ β δ+ + ) Demostración: Sean ( ) ( ) ( ) ( ), , , m CBA m ABC m BCD m CDAα β γ δ= = = = Por Teorema del Ángulo Inscrito en una Circunferencia relativo a arco tenemos:

( )( )

1212

m DCB

m BAD

α

γ

=

=

Sumando las ecuaciones anteriores queda:

( ) ( )1 12 2

m DCB m BADα γ+ = +

( ) ( )( )12


( )1 360º2

α γ+ = ⋅

180ºα γ+ =

Por lo tanto α y γ son suplementarios (1) Análogamente, Por Teorema del Ángulo Inscrito en una Circunferencia relativo a arco tenemos:

( )( )

1212

m ADC

m CBA

β

δ

=

=


Sumando las ecuaciones anteriores queda:

( ) ( )1 12 2

m ADC m CBAβ δ+ = +

( ) ( )( )12


( )1 360º2

β δ+ = ⋅

180ºβ δ+ =

Por lo tanto β y δ son suplementarios (2)

De las conclusiones (1) y (2), se puede afirmar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia son suplementarios.


El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O y radio r.

( )( )

1212

m DCB

m BAD

α

γ

=

= => O => F=> T

(*)

Mapa Deductivo 1 Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

Significado de los Símbolos Teorema (T): Si α es un ángulo inscrito en una circunferencia, entonces la

medida del arco que forma es el doble de la medida de α. Operación (O): Operación aritmética (Suma)

Factorización (F): Se factoriza por el factor común 12

Definición (D): La longitud del arco completo que forma una circunferencia es

360º. Simplificación (S): Se simplifica por 2.

( ) ( )( )12


Tesis

( ) ( )1 12 2

m DCB m BADα γ+ = + => (*)

( )1 360º2

α γ+ = ⋅=> D1 => S 180ºα γ+ =


El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O y radio r.

( )( )

1212

m ADC

m CBA

β

δ

=

= => O => F=> T

(*)

Mapa Deductivo 2 Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

Significado de los Símbolos Teorema (T): Si α es un ángulo inscrito en una circunferencia, entonces la

medida del arco que forma es el doble de la medida de α. Operación (O): Operación aritmética (Suma)

Factorización (F): Se factoriza por el factor común 12

Definición (D): La longitud del arco completo que forma una circunferencia es

360º. Simplificación (S): Se simplifica por 2.

( ) ( )( )12


Tesis

( ) ( )1 12 2

m ADC m CBAβ δ+ = + => (*)

( )1 360º2

β δ+ = ⋅ => D1 => S 180ºβ δ+ =


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del Cuadrilátero Inscrito. Ítem 1

Competencia asociada al teorema: Aplicar el recíproco del Teorema. Ítem 2

Considerando la siguiente figura: ¿Cuál es el valor de α y β ? a) º81,º83 == βα b) º81,º81 == βα c) º97,º99 == βα d) º99,º97 == βα e) º9,º7 == βα

¿El cuadrilátero de la figura puede ser inscrito en una circunferencia? a) Sí, depende del radio de la circunferencia. b) Sí, todos los cuadriláteros son inscriptibles en una circunferencia c) No, la suma de sus ángulos internos es distinta a 360º d) No, sus lados tienen distintas longitudes e) No, sus ángulos interiores opuestos no son suplementarios


Competencia asociada al teorema: Reconocer la tesis del Teorema del Cuadrilátero Inscrito en una Circunferencia Ítem 3

¿Cuál de estas afirmaciones es verdadera? Teorema del Cuadrilátero Inscrito en una Circunferencia: “Si un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro O, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios. Esto es: 180ºα γ+ = y 180ºβ δ+ = ” a) La tesis del Teorema es “cuadrilátero ABCD” b) La tesis del Teorema es “un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia de centro

O” c) La tesis del Teorema es “ángulos suplementarios” d) La tesis del Teorema es “sus ángulos opuestos son complementarios” e) La tesis del Teorema es “sus ángulos opuestos son suplementarios. Esto es: 180ºα γ+ = y

180ºβ δ+ = ”


TEOREMA Nº 8

“TEOREMA DE LAS TANGENTES TRAZADAS

DESDE UN PUNTO EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA”


Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia8



1. En este caso QA y QB son tangentes a la circunferencia de centro O y efectivamente ( )m QA y ( )m QB miden lo mismo (2.66 cm.) y los ángulos AQO OQB≅ pues ( ) ( ) 30.5m AQO m OQB= = °

Se cumple el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia.

Si C es una circunferencia de centro P y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente, entonces las longitudes de

QA y QB son iguales y PQA PQB≅



2. En este caso QS y QT son tangentes a la circunferencia de centro O y efectivamente ( )m QS y ( )m QT miden lo mismo (2.78 cm.) y los ángulos TQO OQS≅ pues

( ) ( ) 22.35m TQO m OQS= = ° Se cumple el Teorema de las tangentes trazadas desde un

punto exterior a una circunferencia. Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i. Conceptos Involucrados.

Tangente. Ángulo exterior a una circunferencia. Congruencia de triángulos. Medida de un ángulo. Longitud de un segmento.




Ubicación de los puntos tangentes a la circunferencia


Ubicación del vértice del ángulo exterior a la circunferencia

Cualquier punto que pertenece al exterior de la circunferencia de centro O y radio r

Longitud de un segmento +ℜ




Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son:

Reconocer una tangente a una circunferencia. Reconocer los criterios de congruencia. Reconocer ángulos rectos.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son:

Determinar la longitud de un segmento tangente a una circunferencia, dada la longitud del otro segmento tangente si comparten un mismo punto fuera de la circunferencia.


Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido para todos los ángulos interiores a una semicircunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos


2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis:


C es una circunferencia de centro P y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente Tesis: Las longitudes de QA y QB son iguales (o bien ( ) ( )m QA m QB= ) y PQA PQB≅ Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: C es una circunferencia de centro P y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente. Además se tiene que ( ) ( )m PA m PB= ya que PA y PB

son radios de la circunferencia C, también ( ) ( )m PQ m PQ= (lado común), y los QAP y QBP son rectos por el teorema que enuncia que toda tangente a una circunferencia es

perpendicular al radio trazado por el punto de contacto. Por el teorema de la hipotenusa y el cateto que enuncia que dos triángulos son congruentes si la hipotenusa ( PQ en este caso) y un cateto (el radio AP ) de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo triángulo ( PQ y PB respectivamente) (o criterio LLA de congruencia); los triángulos PQAΔ y PQBΔ son congruentes, es decir

PQA PQBΔ ≅ Δ . En consecuencia, ( ) ( )m QA m QB= y PQA PQB≅ como se quería demostrar.


( ) ( ) y m QA m QB PQA PQB= ≅


Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Teorema 1 (T1): Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado por el punto

de contacto Definición 2 (D2): Un segmento es congruente a sí mismo Teorema 2 (T2): Criterio LLA (para triángulos rectángulos)

Teorema 3 (T3): Si dos triángulos son congruentes, entonces los lados y ángulos correspondientes son congruentes.

PQA PQBΔ ≅ Δ=> D1

Sea C una circunferencia de centro P, y Q un punto del exterior de

C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente

Se trazan los segmentos PQ , PA y PB

( ) ( )m PA m PB=

QAP y QBP son rectos

( ) ( )m PQ m PQ=

=> T1

=> T2

Tesis

=> T3

=> D2


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia para determinar la relación entre las medidas de las tangentes (x en verde e y en rojo)? a) b) c) d)

e)


¿Cuál es el valor del ángulo θ ? a) 10.5º b) 21º c) 42º d) 111º e) 222º

Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Ítem 2 Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la hipótesis correcta? Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia: “Si C es una circunferencia de centro P, y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente, entonces las longitudes de QA y QB son iguales y

PQA PQB≅ a) “las longitudes de QA y QB son iguales” b) “ PQA PQB≅ ” c) “Q es un punto del exterior de una circunferencia C de centro P, tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente” d) “C es una circunferencia de centro P, y Q es un punto del exterior de C tal que QA y QB son tangentes a C en A y B respectivamente y las longitudes de QA y QB son iguales y

PQA PQB≅ ” e) “las longitudes de QA y QB son iguales y PQA PQB≅ ”


TEOREMA Nº 9

“TEOREMA DEL ÁNGULO INTERIOR DE UNA CIRCUNFERENCIA”


Teorema del ángulo interior de una circunferencia9



1. En este caso las cuerdas son diámetros de la circunferencia de centro O, formando un ángulo interior de 90º y dos arcos de 90º cada uno. Así se tiene que:

2

º90º90º90 +=

Se cumple el Teorema del Ángulo Interior de una circunferencia de centro O.

Si x es la medida del ángulo interior de la circunferencia de centro O formado por

las cuerdas de circunferencia AB y CD , α y β son las medidas de los arcos

DA y CB respectivamente, entonces la medida del ángulo interior se puede determinar mediante la expresión:

2x α β+=



2. En la circunferencia de la figura se tiene que:

( ) 97.12

( ) 35.66

m DA

m CB

= °

= °

El ángulo interior mide 66.39º, ya que: 97.12º 35.66º 66.39

2+

= °

Entonces se cumple el Teorema del Ángulo Interior de una circunferencia. Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i. Conceptos Involucrados.

Cuerda de Circunferencia. Ángulo interior de una circunferencia. Medida de un ángulo. Arco de circunferencia.



Centro (O) de la circunferencia 2 Longitud del radio (r) de la circunferencia +ℜ Ubicación de los puntos extremos de las

cuerdas de circunferencia Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r

Ubicación del punto de intersección de las cuerdas de la circunferencia

Cualquier punto que pertenece al interior de la circunferencia de centro O y radio r



Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del ángulo interior de una circunferencia son:

Reconocer un ángulo interior a una circunferencia. Reconocer la medida de un arco de circunferencia. Reconocer cuerdas de circunferencia.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del ángulo interior de una circunferencia son:

Determinar la medida de un ángulo interior a una circunferencia dadas las medidas de los arcos que subtienden los extremos de las cuerdas que lo forman.

Determinar la medida de un arco de circunferencia, dados el ángulo interior y el otro arco.






Hipótesis: x es la medida de un ángulo interior de una circunferencia de centro O, formado por las cuerdas AB y CD de la circunferencia α es la ( )m DA

β es la ( )m CB Tesis: La medida del ángulo interior (x), se puede determinar mediante la expresión:

2

x α β+=

Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: x es la medida de un ángulo interior de una circunferencia de centro O, formado por las cuerdas AB y CD de la circunferencia α es la ( )m DA

β es la ( )m CB Llamaremos P al punto de intersección entre las cuerdas de

circunferencia AB y CD A continuación se traza la cuerda de circunferencia AC , formando el triángulo APCΔ , y los ángulos PAC y PCA

Por la construcción auxiliar, x es un ángulo exterior del triángulo

APCΔ , entonces:

( ) ( )x m PAC m PCA= + Pero P AB∈ y P CD∈ , entonces:

( ) ( )x m BAC m DCA= + (1) Donde los ángulos BAC y DCA son ángulos inscritos en la circunferencia de centro O, y por Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia relativo a arco, se tiene que:


( )2

m DCA α= (2)

( )2

m BAC β= (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1), se obtiene:

2 2

x α β= +

2

x α β+=

Es decir, la medida del ángulo interior (x), se puede determinar mediante la expresión:

2x α β+=


( ) ( )x m BAC m DCA= +2 2

x α β= +

2x α β+=


Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1): La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo, es igual a la

medida del ángulo exterior opuesto a éstos. Teorema 2 (T2): La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia, es la mitad de la medida

del arco que subtiende.

Sustitución 1 (S1): Como P AB∈ entonces ( ) ( )m PAC m BAC= y P CD∈ entonces ( ) ( )m PCA m DCA= .

Sustitución 2 (S2): Sustitución simple.

Operación (O): Operación aritmética, suma de fracciones.

=> T1

x es la medida de un ángulo interior de una circunferencia de centro O, formado por las

cuerdas AB y CD de la circunferencia α es la ( )m DA β es la ( )m CB

Se traza el segmento

AC

( ) ( )x m PAC m PCA= +

( )2

m DCA α=

( )

2m BAC β

==> T2

=> S1 => S2 => O

Tesis


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema del ángulo interior a una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema del ángulo interior a una circunferencia para determinar la medida del ángulo x ? a) b) c) d)

e)


¿Qué operaciones aritméticas se deben realizar para encontrar el valor de α ?

a) 81.3 91.12

2α +=

b) 81.3 91.12 180

2α += −

c) 81.3 91.12 180

2α += +

d) 81.3 91.12180

2α += −

e) No se puede determinar.

Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del ángulo interior a una circunferencia. Ítem 2 Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis Teorema del ángulo interior a una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la hipótesis correcta del teorema? Teorema del Ángulo Interior a una Circunferencia: “Si x es la medida del ángulo interior a la

circunferencia de centro O formado por las cuerdas de circunferencia AB y CD , α y β son

la medida de los arcos DA y CB respectivamente, entonces la medida del ángulo interior se

puede determinar mediante la expresión: 2βα +

=x

a) “x es la medida del ángulo interior a la circunferencia de centro O formado por las cuerdas

de circunferencia AB y CD ” b) “α y β son la medida de los arcos DA y CB respectivamente” c) “x es la medida del ángulo interior a la circunferencia de centro O formado por las cuerdas

de circunferencia AB y CD , α y β son la medida de los arcos DA y CB respectivamente”

d) “2

x α β+= ”

e) “x es la medida del ángulo interior a la circunferencia de centro O”


TEOREMA Nº 10

“TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA”


Teorema del ángulo exterior a una circunferencia10



1. En este caso el ángulo exterior a la circunferencia de centro O, está formado por una secante y una tangente. Así se tiene que:

138.51º 68.23º35.14º2−

=

Se cumple el Teorema del Ángulo exterior a una circunferencia de centro O.

Si x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por secantes (o por tangentes) α es el arco de mayor medida que subtiende el ángulo exterior y β es el arco de menor medida que subtiende el ángulo exterior, entonces la medida del ángulo exterior se puede determinar mediante la expresión:

2x α β−=

donde x es la medida de dicho ángulo exterior



2. En la circunferencia de la figura se tiene que:

( ) 80.6

( ) 32.31

m SR

m TQ

= °

= °

El ángulo exterior mide 24.15º, ya que: 80.6º 32.31º 24.15

2−

= °

Entonces se cumple el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia.


Secante, Tangente. Ángulo exterior a una circunferencia. Medida de un ángulo. Arco de circunferencia.




Ubicación de los puntos extremos, y de intersección, de las secantes y/o tangentes

a la circunferencia


Ubicación del vértice del ángulo exterior a la circunferencia

Cualquier punto que pertenece al exterior de la circunferencia de centro O y radio r



Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia son:

Reconocer un ángulo exterior a una circunferencia. Reconocer la medida de un arco de circunferencia. Reconocer secantes y tangentes de circunferencia.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema del ángulo exterior a una circunferencia son:

Determinar la medida de un ángulo exterior a una circunferencia dadas las medidas de los arcos formados por el ángulo al interceptar la circunferencia.

Determinar la medida de un arco de circunferencia, dados el ángulo exterior y el otro arco.


Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos si el teorema es válido para todos los ángulos exteriores a una semicircunferencia en el plano. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos




Hipótesis: x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por secantes o tangentes de la circunferencia α es la medida del mayor arco que subtiende el ángulo exterior β es la medida del menor arco que subtiende al ángulo exterior Tesis: La medida del ángulo exterior (x), se puede determinar mediante la expresión:

2

x α β−=

Antes de comenzar a revisar la demostración de este teorema, cabe señalar que existen 3 casos cuya demostración se tratará independientemente, estos casos responden a las siguientes situaciones gráficas:

CASO A CASO B CASO C

Demostración: CASO A: El ángulo exterior está formado por dos secantes

Por hipótesis se tiene que: x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por las secantes RS y RT de la circunferencia α es la ( )m ST

β es la ( )m ZV

A continuación se traza la cuerda de circunferencia VT , formando el triángulo TRVΔ como lo indica la siguiente figura:


Llamaremos δ al ángulo exterior TRVΔ y ε al RTV , es decir ( )m SVTδ = y ( )m RTVε = , por lo tanto se tiene que:

xδ ε= + , despejando x tenemos x δ ε= − (1) Por otro lado se tiene que

( )2

m ZVε = (2) y ( )2

m STδ = (3) por Teorema del

ángulo inscrito en una circunferencia relativo a arco. Reemplazando (2) y (3) en (1), se obtiene:

( ) ( )2 2

m ST m ZVx = − , pero por hipótesis se tiene que

α es la ( )m ST

β es la ( )m ZV

Luego 2 2

x α β= −

Finalmente2

x α β−=

Es decir, la medida del ángulo exterior (x), se puede determinar mediante la expresión:

2x α β−=

CASO B: El ángulo exterior está formado por una secante y una tangente.

Por hipótesis se tiene que: x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por la secante BC y la tangente AB de la circunferencia α es la ( )m CA

β es la ( )m AD

A continuación se trazan las cuerdas de circunferencia AD y AC formando el triángulo

ADCΔ como lo indica la siguiente figura:


Llamaremos ε a la medida del CDA , ψ a la medida del DAB y θ a la medida del BDA , es decir

( )( )( )

m CDAm DABm BDA

εψθ

===

Por lo tanto en ABDΔ se tiene: 180x θ ψ+ + = ° (1)

Como CDA es un ángulo inscrito que subtiende el arco CA en la circunferencia, se tiene que

( )( )2

m CAm CDA = es decir 2αε = . Como θ es el ángulo suplementario de ε se tiene que

180θ ε= °− es decir

1802αθ = °− (2)

y DAB es un ángulo semi inscrito que subtiende el arco AD por lo tanto ( )( )2

m ADm DAB = es decir

2βψ = (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) se obtiene:

180 1802 2

x α β+ °− + = ° , despejando x tenemos:

02 2

x α β+ − + =

Luego 2 2

x α β= −

Finalmente2

x α β−=


2x α β−=


CASO C: El ángulo exterior está formado por dos tangentes. Por hipótesis se tiene que: x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por las tangentes AC y BC de los puntos A y B de la circunferencia respectivamente. α es la ( )m AB

β es la ( )m BA A continuación se traza la cuerda de circunferencia AB formando el triángulo ABCΔ y se extiende las tangentes como lo indica la siguiente figura:

Sean S y T dos puntos tales que S AS∈ y T BT∈ Llamaremos ε a la medida del SAB y ψ a la medida del

CBA , podemos observar que ε es un ángulo exterior al ABCΔ esto implica que

xε ψ= + (1) Como SAB es un ángulo semi inscrito que subtiende el arco

AB en la circunferencia, se tiene ( )( )2

m ABm SAB = , es

decir 2αε = (2)

Además CBA es un ángulo semi inscrito que subtiende el arco BA por lo tanto ( )( )2

m BAm CBA = es decir 2βψ = (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) se obtiene:

2 2xα β

= + , despejando x tenemos:

2 2x α β= −

Finalmente2

x α β−=


2x α β−=

Quedan entonces demostrados los tres casos, por lo tanto queda demostrado el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia.


x δ ε= − ( ) ( )2 2

m ST m ZVx = −

2 2

x α β= −

2x α β−=

Mapa Deductivo CASO A: El ángulo exterior está formado por dos secantes. Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis


medida del ángulo exterior opuesto a éstos. Teorema 2 (T2): La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia, es la mitad de la medida

del arco que subtiende.

Operación (O): Operación aritmética y/o algebraica

Sustitución 1 (S1): Sustitución simple (consecuencia de T1 y T2)

Hipótesis (H): Se sustituye la solución de x por α y β dados en la hipótesis.

=> T1

x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por las

secantes RS y RT de la circunferencia

α es la ( )m ST β es la ( )m ZV

Se traza el segmento VT , sea ( )m SVTδ = y ( )m RTVε =

xδ ε= +

( )2

m ZVε =

( )2

m STδ =

=> T2

=> O => S1 => H

Tesis

=> O


180 1802 2

x α β⎛ ⎞+ ° − + = °⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 2

x α β= −

2x α β−=

Mapa Deductivo CASO B: El ángulo exterior está formado por una secante y una tangente. Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis

Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1): La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º Teorema 2 (T2): La medida de un ángulo inscrito o semi-inscrito en una circunferencia, es la mitad


Definición (D): Ángulos suplementarios

Operación (O): Operación aritmética y/o algebraica

Sustitución 1 (S1): Sustitución simple (consecuencia de T1, T2 y D)

=> T1

x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por la secante BC y la tangente AB de la circunferencia α es la ( )m CA β es la ( )m AD

Se trazan los segmentos AD y AC , sea

( )m BADψ = , ( )m ADCε =

y ( )m BDAθ =

180x θ ψ+ + = °

( )2 2

m CA αε = =(Por H)

( )2 2

m AD βψ = =(Por H)

180θ ε= °−

=> T2

=> S1 => O

Tesis

=> O

=> D


2x α β−=

2 2x α β= −

Mapa Deductivo CASO C: El ángulo exterior está formado por dos tangentes. Un mapa deductivo es la representación de la ruta seguida desde el inicio (la hipótesis) hasta la tesis, recuerda que existen varias formas (rutas) para demostrar un teorema, es decir, no hay una sola manera. Hipótesis


medida del ángulo exterior opuesto a éstos. Teorema 2 (T2): La medida de un ángulo inscrito o semi-inscrito en una circunferencia, es la mitad


Sustitución 1 (S1): Sustitución simple (consecuencia de T1 y T2).

Operación (O): Operación aritmética y/o algebraica.

2 2xα β

= +=> T1

x es la medida de un ángulo exterior de una circunferencia de centro O, formado por las tangentes AC y BC de los puntos A y B de la circunferencia respectivamente. α es la ( )m AB β es la ( )m BA

Se traza el segmento AB , sea ( )m SABε = y ( )m ABCψ =

xε ψ= +

( )2 2

m AB αε = =Por (H)

( )2 2

m BA βψ = =Por (H)

=> T2

=> S1

Tesis

=> O=> O


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia para determinar la medida del ángulo x ? a) b) c) d)

e)


¿Cuál es el valor de ( )m BPAα = ? a) 61.66º b) 17.28º c) 78.94º d) 44.38º e) No se puede determinar.

Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema del ángulo exterior a una circunferencia. Ítem 2 Competencia asociada al teorema: Reconocer la tesis Teorema del ángulo exterior a una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la tesis correcta del teorema señalado? Teorema del Ángulo Exterior a una Circunferencia: “Si x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por las secantes (o por tangentes) α es el arco de mayor medida que comprende el ángulo exterior y β es el arco de menor medida que comprende el ángulo exterior, entonces la medida del ángulo exterior se puede determinar mediante la

expresión: 2x α β−=

” a) “x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por las secantes (o por tangentes) a ésta” b) “x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por las secantes (o por tangentes) α es el arco de mayor medida que comprende el ángulo exterior y β es el arco de menor medida que comprende el ángulo exterior”

c) “la medida del ángulo exterior se puede determinar mediante la expresión: 2x α β−=

” d) “x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O formado por las secantes (o por tangentes) α es el arco de mayor medida que comprende el ángulo exterior y β es el arco de menor medida que comprende el ángulo exterior y la medida del ángulo exterior se

puede determinar mediante la expresión: 2x α β−=

” e) “x es la medida del ángulo exterior a la circunferencia de centro O”


TEOREMA Nº 11

“RELATIVO A LA PERPENDICULAR DESDE EL CENTRO A UNA CUERDA DE UNA

CIRCUNFERENCIA”


Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia11


Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura, AB cuerda de la circunferencia, FO AB⊥ y

( ) 5 .m AF cm= , ¿Cuál es la medida del segmento BF ?

De acuerdo al Teorema, tenemos que: Si FO AB⊥ entonces AF FB≅ ∴Como ( ) 5 .m AF cm= , entonces de acuerdo a lo anterior

( ) 5 .m BF cm=

Si se traza la recta perpendicular desde el centro a una cuerda, entonces la perpendicular bisecta a la cuerda.

Es decir, AF FB≅

11Aprendizaje esperado asociado: Conjeturan acerca de regularidades geométricas asociadas a la circunferencia, sus elementos (radio, tangente, cuerda, secante) y otras figuras geométricas; buscan formas para demostrarlas distinguiendo entre hipótesis y tesis.



Recta perpendicular. Cuerdas de Circunferencia. Segmentos Congruentes. Medida de un segmento.





Recta perpendicular Cualquier recta perpendicular a una cuerda de circunferencia que contenga al centro de

la circunferencia. iii. Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser

desarrolladas)

Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia son:

Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes. Reconocer recta perpendicular. Reconocer punto de intersección entre dos rectas.


Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia son:

Dada la medida de una parte de una cuerda y una recta perpendicular que contiene al centro de la circunferencia, conocer la medida de la cuerda.



2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis: Sea una circunferencia de centro O y radio r, tal que OF AB⊥ , AB cuerda y F AB∈ Tesis: F punto medio de AB . ( )AF FB≅


Demostración:

Sea la circunferencia de centro O y radio r, y OF AB⊥ Se construyen los segmentos AO BO∧ . Luego los triángulos: y AOF BOF , son congruentes, ya que:

(Radios) (Lado común)

AFO (Por hipótesis ( ) ( ) 90º )

OA OBOF OF

BFO m AFO m BFO

≅≅

≅ ≅ =

Luego, AOF BOF≅ por teorema de congruencia de triángulos lado-lado-ángulo (LLA) ∴ AF FB≅ , entonces F es punto medio de AB .


Sea una circunferencia de centro O y radio r, tal que OF AB⊥ , AB cuerda y F AB∈

Se construyen los segmentos: AO BO∧ Radios de la circunferencia

AFO BFO≅

=> T1


Significado de los Símbolos Hipótesis (H): Por hipótesis Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes, y lado

común Teorema 1 (T1): Criterio de congruencia de triángulos lado-lado-ángulo (LLA) Teorema 2 (T2): Si dos triángulos son congruentes, entonces los lados son

congruentes

=> D1 AOF BOF≅

Tesis

=> H

OA OBOF OF

≅≅

=> T2 AF FB≅


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia para determinar la medida del segmento BF ? a) b) c) d)

e)


Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia. Ítem 2

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia. Ítem 3

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida del AF ? a) 6 cm. b) 12 cm. c) 24 cm. d) 90 cm. e) 102 cm.

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si se traza la recta perpendicular desde el centro a una cuerda, entonces la perpendicular bisecta a la cuerda. a) La hipótesis del Teorema es “se traza la recta perpendicular desde el centro a una cuerda”. b) La tesis del Teorema es “se traza la recta perpendicular desde el centro a una cuerda”. c) La tesis del Teorema es “la cuerda bisecta a la perpendicular”. d) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema. e) La hipótesis del Teorema es “la perpendicular bisecta a la cuerda.”.


TEOREMA Nº 12

“TEOREMA DE LAS CUERDAS CONGRUENTES QUE EQUIDISTAN DEL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA”


Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia12



1. En este caso la cuerda AB está a 4 cm del centro de la circunferencia y la cuerda CD también está a 4 cm del centro de la circunferencia y efectivamente la ( )m AB y la ( )m CD son iguales, es decir ( ) ( ) 7 cmm AB m CD= = Se cumple el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia.

Si dos o más cuerdas están a igual distancia del centro de una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, entonces las cuerdas son congruentes o tienen la misma longitud




Cuerdas de Circunferencia. Ángulo recto. Segmentos Congruentes. Distancia de un segmento a un punto. Medida de un segmento.



Centro (O) de la circunferencia 2 Longitud del radio (r) de la circunferencia +ℜ Ubicación de los puntos extremos de las

cuerdas de la circunferencia Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r



desarrolladas)


Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia son:

Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes. Reconocer la distancia de un segmento a cierto punto.


Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia son:

Determinar la longitud de una cuerda sabiendo la longitud de otra cuerda que está a la misma distancia del centro de la circunferencia que la primera.






Hipótesis: Sean AB y CD dos cuerdas de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes tales que están a la misma distancia del centro de dicha circunferencia. Tesis: Las cuerdas son congruentes o tienen la misma medida, es decir AB CD≅ Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: AB y CD son dos cuerdas de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes tales que están a la misma distancia del centro de dicha circunferencia. Se trazan los segmentos OB y OC

OG es el segmento perpendicular a AB con puntos extremos en el punto G que está en AB y el punto O (centro de la circunferencia), y OF es el segmento perpendicular a CD con puntos extremos en el punto F que está en CD y el punto O (centro de la circunferencia). La correspondencia OBG OCF↔ es congruencia de triángulos por el teorema LLA del triángulo rectángulo, ya que: OB OC≅ radios OG OF≅ ya que las cuerdas están a la misma distancia del centro (hipótesis)

OGB OFC≅ pues ambos ángulos son rectos Luego: BG CF≅ , lo que implica que ( ) ( )m BG m CF= Además 2 ( ) ( )m BG m AB= y 2 ( ) ( )m CF m CD= por teorema donde una recta que pasa por el centro de la circunferencia dimidia la cuerda que intersecta. En consecuencia, ( ) ( )m AB m CD= es decir AB CD≅ como se quería demostrar.


BG CF≅


OBG OCFΔ ≅ Δ => D1

Sean AB y CD dos cuerdas de una misma circunferencia o de circunferencias congruentes tales que están a la misma distancia del centro de dicha circunferencia

Se trazan los segmentos OB y OC

OB OC≅

OG OF≅ OGB OFC≅

=> H

=> T1

Tesis

=> T2

=> D2

Significado de los Símbolos Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes Hipótesis (H) : Las cuerdas están a la misma distancia del centro Definición 2 (D2): La distancia de un segmento a un punto es la perpendicular entre ellos

Teorema 1 (T1) : Criterio LLA (para triángulos rectángulos)

Teorema 2 (T2) : Si dos triángulos son congruentes, entonces los lados correspondientes son congruentes.

Teorema 3 (T3) : Una recta que pasa por el centro de la circunferencia dimidia la cuerda que intersecta

Igualar (I) : y Si a b b c= = , entonces a c= (Transitividad)

2 ( ) ( )m BG m AB= 2 ( ) ( )m CF m CD= => T3 => I ( ) ( )m AB m CD=


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia para afirmar que

( ) ( )m AB m CD= ? a) b) c) d)

e)


En la circunferencia de centro O ( ) 8 m AB cm= , ( ) ( ) 5 m EO m OF cm= = . ¿Cuál es la ( )m CD ?

a) 4 cm b) 5 cm c) 8 cm d) 16 cm e) No se puede determinar.

Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia. Ítem 2 Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la hipótesis correcta? Teorema de las cuerdas congruentes que equidistan del centro de una circunferencia: “Si dos o más cuerdas están a igual distancia del centro de una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, entonces las cuerdas son congruentes o tienen la misma longitud” a) “dos o más cuerdas están a igual distancia del centro de una misma circunferencia o en circunferencias congruentes” b) “las cuerdas son congruentes o tienen la misma longitud” c) “dos o más cuerdas están a igual distancia del centro de una misma circunferencia o en circunferencias congruentes y las cuerdas son congruentes o tienen la misma longitud” d) “las cuerdas congruentes equidistan del centro de la circunferencia” e) “dos o más cuerdas están a igual distancia”


TEOREMA Nº 13

“TEOREMA DE LAS CUERDAS DE DISTINTAS LONGITUDES Y SUS

DISTANCIAS AL CENTRO DE UNA CIRCUNFERENCIA”


Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia13



1. En este caso la cuerda AB está a 2 cm del centro de la circunferencia y la ( ) 12 cmm AB = . La cuerda CD está a 4 cm del centro de la circunferencia y la ( ) 8 cmm CD = . Se observa efectivamente que la cuerda AB está a menos distancia del centro que la cuerda CD es decir ( ) ( )m OF m OE> Se cumple el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus

distancias al centro de una circunferencia.

Si AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, entonces la cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro.



2. En este caso la cuerda AB está a 1 cm del centro de la circunferencia y la ( ) 10 cmm AB = . La cuerda CD está a 5 cm del centro de la circunferencia y la ( ) 3 cmm CD = . Se observa efectivamente que la cuerda AB está a menos distancia del centro que la cuerda CD es decir ( ) ( )m OF m OE> Se cumple el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus

distancias al centro de una circunferencia. Análisis de componentes del teorema en estudio Como te podrás dar cuenta en el teorema encontramos conceptos estudiados con anterioridad, éstos son los siguientes. i. Conceptos Involucrados.

Cuerdas de Circunferencia. Ángulo recto. Segmentos no congruentes. Distancia de un segmento a un punto. Medida de un segmento.



Centro (O) de la circunferencia 2

Longitud del radio (r) de la circunferencia +ℜ Ubicación de los puntos extremos de las

cuerdas de la circunferencia Cualquier punto que pertenece a la circunferencia de centro O y radio r




desarrolladas)


Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia son:

Reconocer cuerdas de una circunferencia. Reconocer que la distancia de un segmento a un punto es la perpendicular entre

ellos. Reconocer ángulos rectos.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar)

Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia son:

Determinar la relación entre las longitudes de las distancias de dos segmentos

al centro de una circunferencia o de circunferencias congruentes. Determinar la relación entre las longitudes de las cuerdas de una circunferencia

o de circunferencias congruentes sabiendo la relación que existe entre las longitudes de las distancias de estas cuerdas al centro de la circunferencia.


Al igual que en las demostraciones de los teoremas anteriores, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos




Hipótesis: Sean AB y CD dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes Tesis: La cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro. Demostración:

Por Hipótesis se tiene que: AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes. OE es el segmento perpendicular a AB con puntos extremos en el punto E que está en AB y el punto O (centro de la circunferencia), y

OF es el segmento perpendicular a CD con puntos extremos en el punto F que está en CD y el punto O (centro de la circunferencia). Es decir:

,

,

OE AB E AB

OF CD F CD

⊥ ∈

⊥ ∈

Se trazan los radios OB y OC para formar los triángulos OEB y OCFΔ Δ Luego el OEBΔ es rectángulo en E por hipótesis, entonces por Pitágoras se tiene:

2 2 2( ) ( ) ( )m OB m OE m EB= + El OCFΔ es rectángulo en F por hipótesis, entonces por Pitágoras se tiene:

2 2 2( ) ( ) ( )m OC m OF m CF= + (1) Luego 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )m OE m EB m OF m CF+ = + , puesto que 2 2( ) ( )m OC m OB= ya que OB y OC son radios.


Pero ( ) ( )m EB m FC> (ya que E, F son puntos medios de AB y CD respectivamente y ( ) ( )m AB m CD> ) lo que implica que

2 2( ) ( )m EB m FC> pues 0 ( ) ( )m FC m EB< <

Por (1) se tiene que

2 2( ) ( )m OE m OF< , luego

2 2( ) ( )m OF m OE< lo que implica que

2 2( ) ( ) 0m OF m OE− > Entonces ( ( ) ( ))( ( ) ( )) 0m OF m OE m OF m OE− + > , como ( ) ( ) 0m OF m OE+ > entonces

( ) ( ) 0m OF m OE− > Finalmente

( ) ( )m OF m OE> En consecuencia, ( )m OF que es la distancia de la cuerda de menor longitud CD al centro de la circunferencia es mayor que ( )m OE que es la distancia de la cuerda de mayor longitud AB al centro de la circunferencia como se quería demostrar.


( ) ( )m EB m FC>


Significado de los Símbolos Teorema 1 (T1) : Teorema particular de Pitágoras Definición (D) : Los radios de una circunferencia son congruentes

Igualar (I) : y Si a b b c= = , entonces a c= (Transitividad)

Hipótesis (H) : Como ( ) ( )m AB m CD> y ( ) ( )( ) y ( )2 2

m BE m CFm AB m CD= = entonces ( ) ( )m EB m FC>

Teorema (T2) : Si 2 2 entonces a b a b> >

Operación (O) : Por operación algebraica.

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )m OE m EB m OF m CF+ = +=> T1

Sean AB y CD dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes

( ) ( )m AB m CD> ,

,

OE AB E AB

OF CD F CD

⊥ ∈

⊥ ∈

Se trazan los segmentos OB y OC

2 2 2( ) ( ) ( )m OB m OE m EB= + 2 2 2( ) ( ) ( )m OC m OF m CF= +

OB OC≅

=> D

=> I

Tesis=> H

2 2( ) ( )m EB m FC>2 2( ) ( )m OF m OC>=> T2 => O ( ) ( )m OF m OE>


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia para determinar la relación entre las distancias de las cuerdas al centro de la circunferencia? a) ( ) 15 m AB cm= y ( ) 15 cmm BC = b) ( ) 12 m AB cm= y ( ) 10 cmm CD = c) ( ) 12 m AB cm= y ( ) 2 cmm OF = d) ( ) 17 m AB cm= y ( ) 17 cmm CD =

e) ( ) 3 m OF cm=


¿Qué relación se puede establecer entre ( ) y ( )m EO m OF si ( ) 8 cm y ( ) 8.5 cmm AB m CD= = ? a) ( ) ( )m EO m OF> b) ( ) ( )m EO m OF< c) ( ) ( )m EO m OF= d) ( ) ( )m EO m OF≤ e) No se puede determinar.

Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia. Ítem 2 Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia. Ítem 3

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la hipótesis correcta? Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia: “Si AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, entonces la cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro. a) “ AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes” b) “ AB y CD son dos cuerdas de distinta longitud en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes y la cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro” c) “la cuerda de mayor longitud está a menos distancia del centro” d) “las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia” e) “ AB y CD son dos cuerdas”


TEOREMA Nº 14

“RELATIVO AL SEGMENTO DESDE EL CENTRO AL PUNTO MEDIO DE UNA

CUERDA EN UNA CIRCUNFERENCIA”


Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia14


Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1. En la circunferencia de la figura, AB cuerda de la circunferencia, y

( ) ( ) 6 .m AF m BF cm= = , ¿Cuál es la medida del ángulo BFO ?

De acuerdo al Teorema, tenemos que: Si ( ) ( )m AF m BF= entonces F punto medio de AB

∴ ( ) 90ºm BFO = , ya que OF AB⊥

Si se construye el segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia de centro O y radio r, entonces el segmento es perpendicular a la cuerda.

Es decir, OF AB⊥




Segmento perpendicular. Cuerdas de Circunferencia. Segmentos Congruentes. Medida de un segmento. Ángulos. Medida de ángulos.





Segmento perpendicular Cualquier segmento perpendicular a una cuerda de circunferencia que contenga al

centro de la circunferencia. iii. Competencias asociadas al Teorema (destrezas a desarrollar o a ser

desarrolladas)

Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia son:

Reconocer cuerdas de circunferencia. Reconocer cuando dos segmentos son congruentes. Reconocer segmento perpendicular. Reconocer punto de intersección entre dos segmentos.


Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de una circunferencia son:

Dado el punto medio de una cuerda de circunferencia, identificar el segmento perpendicular a esta.



2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis: Sea una circunferencia de centro O y radio r, tal que AF FB≅ , AB cuerda y F AB∈ Tesis: OF AB⊥


Demostración:

Sea la circunferencia de centro O y radio r, y AF FB≅ Se construyen los segmentos AO BO∧ . Luego los triangulos: y AOF BOF , son congruentes, ya que:

(Radios)(Lado comun)(Por hipotesis)

OA OBOF OFAF FB

≅≅≅

Luego, AOF BOF≅ por teorema de congruencia de triángulos lado-lado-lado (LLL), entonces AFO BFO≅ y como estos ángulos forman un par lineal, se tiene que son rectos. ∴ ( ) ( ) 90ºm OF m AB= = , entonces OF AB⊥ .


Sea una circunferencia de centro O y radio r, tal que AF FB≅ , AB cuerda y F AB∈

Se construyen los segmentos: AO BO∧ Radios de la circunferencia AF FB≅

=> T1


Significado de los Símbolos Hipótesis (H): Por hipótesis Definición 1 (D1): Los radios de una circunferencia son congruentes, y lado

común Teorema 1 (T1): Criterio de congruencia de triángulos lado-lado-lado (LLL) Teorema 2 (T2): Si dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos

interiores son congruentes. Teorema 2 (T3): Si dos ángulos son congruentes, y forman un par lineal,

entonces la medida de estos es 90°.

=> D1AOF BOF≅

Tesis

=> H

OA OBOF OF

≅≅

=> T2AFO BFO≅

Y par lineal => T3 OF AB⊥


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia para determinar si OF AB⊥ ? a) b) c) d)

e)


Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia. Ítem 2

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia. Ítem 3

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es ( )m OFB ? a) 90º. b) 35º. c) 45º. d) 5º. e) 100º.

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si se construye el segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en una circunferencia de centro O y radio r, entonces el segmento es perpendicular a la cuerda.

( )OF AB⊥

a) La hipótesis del Teorema es “ ( )OF AB⊥ ”.

b) La tesis del Teorema es “se construye el segmento desde el centro al punto medio de una

cuerda”. c) La tesis del Teorema es “el segmento es perpendicular a la cuerda”. d) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema. e) La hipótesis del Teorema es “el segmento es perpendicular a la cuerda”.


TEOREMA Nº 15

“RELATIVO A LAS SECANTES DE UNA CIRCUNFERENCIA”


Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia15


Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1.- Consideremos la siguiente figura, donde se tiene que:

( ) 12m PB cm= .

( ) 36m PA cm= .

( ) 9m PD cm= ..

Determinemos la medida del segmento PC Sea ( )m PC x=

Según el teorema de las secantes tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )m m m m⋅ ⋅PA PB = PC PD

9x = 36·12

9x = 432

x = 4329

x = 48 Luego, el segmento PC mide 48 cm.

Si desde un punto P cualquiera exterior a una circunferencia de centro O y radio r se trazan dos secantes, entonces los productos de las distancias desde P a los puntos de intersección de cada secante con la circunferencia son iguales. En la figura,

( ) ( ) ( ) ( )m m m m⋅ ⋅PA PB = PC PD



2.- Calculemos las medidas de los segmentos PA y PC indicados en la figura, si:

( ) 9m PA x cm= +( ) . , ( ) 5m PB x cm= ( - ) . , ( ) (9 - ) .m PC x cm= y ( ) 4m PD x cm= + ( ) .

Según el teorema de las secantes: ( ) ( ) ( ) ( )m m m m⋅ ⋅PA PB = PC PD

(9-x)(x+4) = (x+9)(5x)

2 29 36 4 5 45 9x x x x x x+ − − = − + −

9 36 45x + =

9 9x =

1x =

Entonces,

( )m PA = x + 9 = 1 + 9 = 10 cm.

( )m PC = 9 - x = 9 - 1 = 8cm


Circunferencia Segmentos. Medidas de segmentos. Secante de un punto a una circunferencia Proporción.





Longitud de segmento ℜ+

Punto P Cualquier punto del plano tal que no pertenezca a la circunferencia

Secantes Cualquier segmento que sea secante a la circunferencia y que contenga al punto P


desarrolladas)

Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a las Secantes de una circunferencia son:

Reconocer un punto fuera de la circunferencia. Reconocer las secantes desde un punto a la circunferencia. Reconocer una proporción inversa.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a las Secantes de una circunferencia son:

Dada una circunferencia de centro O y radio r, un punto fuera de ella, 2 secantes que pasen por P y las distancias de P a 3 de los puntos de intersección, calcular la distancia al 4º punto de intersección.

. Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos


2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado).


Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis: El punto O es centro de una circunferencia. P punto fuera de la circunferencia. PA PC∧ tangentes a la circunferencia. Tesis:

( ) ( ) ( ) ( )m m m m⋅ ⋅PA PB = PC PD

Demostración:

Se construyen los segmentos AD BC∧ y consideremos los triángulos y PAD PCB , en los cuales se cumple que son semejantes, ya que:

( )( )

lado comun

ya que subtienden un mismo arco

APD CPB

PAD PCB

≅

≅

Luego PAD PCB∼ por criterio de semejanza ángulo – ángulo (AA)

Entonces se cumple que: ( )( )

( )( )

m PA m PC

m PD m PB= , por propiedad de semejanza de triángulos.

( ) ( ) ( ) ( )m PA m PB m PC m PD∴ ⋅ = ⋅


El punto O es centro de una circunferencia. P punto fuera de la circunferencia. PA PC∧ tangentes a la circunferencia.

Se construyen los segmentos AD BC∧ y consideremos los triángulos

y PAD PCB

APD CPBPAD PCB

≅≅

=> T2

=> T1


Significado de los Símbolos Teorema (T1): Si dos ángulos subtienden un mismo arco, entonces ellos son

congruentes. Teorema (T2): Criterio de semejanza de triángulos ángulo-ángulo (AA). Definición (D): En dos triángulos semejantes, los lados son proporcionales Operación (O): Operación algebraica.

Tesis

PAD PCB∼ => D( )( )

( )( )

m PA m PC

m PD m PB= => O ( ) ( ) ( ) ( )m PA m PB m PC m PD⋅ = ⋅


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia para determinar la medida del segmento PA ? a) b) c) d)

e)


Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia. Ítem 2

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia. Ítem 3

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida del segmento PA ? a) 10 cm. b) 2.5 cm. c) 21.6 cm. d) 0.1 cm. e) 0.4 cm.

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si se tiene una circunferencia C y un punto Q fuera de ella, y sea L1 una secante que pasa por Q e intercepta a C en los puntos R y S; y sea L2 otra recta secante que pasa por Q e intercepta a C en los puntos U y P, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )m QR m QS m QU m QT⋅ = ⋅

a) La hipótesis del Teorema es “sea L1 una secante que pasa por Q e intercepta a C en los

puntos R y S”. b) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema. c) La tesis del Teorema es “sea L2 otra recta secante que pasa por Q e intercepta a C en los

puntos U y P”. d) La hipótesis del Teorema es “ ( ) ( ) ( ) ( )m QR m QS m QU m QT⋅ = ⋅ ”.

e) La tesis del Teorema es “ ( ) ( ) ( ) ( )m QR m QS m QU m QT⋅ = ⋅ ”.


TEOREMA Nº 16

“TEOREMA DE LOS SEGMENTOS DE CUERDAS PROPORCIONALES”


Teorema de los segmentos de cuerdas proporcionales16


Estudiemos algunos casos particulares de este teorema. 1.- Consideremos la siguiente figura, donde se tiene que:

( ) 12m QR cm= .

( ) 36m QS cm= .

( ) 9m QU cm= ..

Determinemos la medida del segmento QT

Sea ( )m QT x=

Según el teorema de las secantes tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )m m m m⋅ ⋅QR QS = QU QT

9x = 36·12

9x = 432

x = 4329

x = 48

Luego, el segmento QT mide 48 cm.

Si RS TU y son cuerdas de una circunferencia de centro o y radio r y se interceptan en Q, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )m m m m⋅ ⋅QR QS = QU QT




Circunferencia Segmentos. Medidas de segmentos. Proporción.






desarrolladas)

Competencias del Tipo I (destreza previamente desarrollada) Estas competencias de Entrada, corresponden a aquellas competencias que son necesarias para usar correctamente el teorema. Las competencias de Tipo I que están involucradas con el Teorema Relativo a las Secantes de una circunferencia son:

Reconocer cuerdas en una circunferencia. Medida de segmentos. Reconocer una proporción inversa.

Competencias del Tipo II (destreza a desarrollar) Estas competencias de Salida, corresponden a aquellas competencias que se adquieren con el uso del teorema. Las competencias de Tipo II asociadas al Teorema Relativo a las Secantes de una circunferencia son:

Dada una circunferencia de centro O y radio r, dos cuerdas que se intercepten en Q, las distancias de Q a 3 de los puntos de intersección, calcular la distancia al 4º punto de intersección.


Justificación del Teorema Con algunos elementos geométricos que tenemos hasta el momento podemos intentar alguna demostración formal del teorema que se está estudiando, utilizaremos un método deductivo, esto es, partir de ciertas propiedades que sabemos verdaderas y por un proceso de deducción probaremos que el teorema es válido. Para efectuar una demostración, se debe tener en cuenta algunas instancias que son: 1. Distinguir entre hipótesis y tesis, esto es, dado el enunciado del teorema debemos


2. Figura o Dibujo: Dado un enunciado, es conveniente interpretarlo gráficamente. 3. Determinar los datos en la figura. 4. Afirmaciones y razones (cada paso que se realice en la demostración debe ser justificado). Entonces se seguirá este orden para realizar la demostración del teorema. Hipótesis: El punto O es centro de una circunferencia. RS TU∧ cuerdas de la circunferencia que se interceptan en el punto P. Tesis:

( ) ( ) ( ) ( )m m m m⋅ ⋅QR QS = QU QT

Demostración:

Se construyen los segmentos SU TR∧ y consideremos los triángulos y SQU TQR , en los cuales se cumple que son semejantes, ya que:

( )( )ya que subtienden un mismo arco

Opuestos por el vertice

SUQ TRQ

SQU TQR

≅

≅

Luego SQU TQR∼ por criterio de semejanza ángulo – ángulo (AA)

Entonces se cumple que: ( )( )

( )( )

m QS m QU

m QT m QR= , por propiedad de semejanza de triángulos.

( ) ( ) ( ) ( )m m m m∴ ⋅ ⋅QR QS = QU QT


El punto O es centro de una circunferencia. RS TU∧ cuerdas de la circunferencia que se interceptan en el punto P.

Se construyen los segmentos SU TR∧ y consideremos los triángulos

y SQU TQR

SUQ TRQSQU TQR

≅≅

=> T2

=> T1


Significado de los Símbolos Teorema (T1): Si dos ángulos subtienden un mismo arco, entonces ellos son

congruentes. Teorema (T2): Criterio de semejanza de triángulos ángulo-ángulo (AA). Definición (D): En dos triángulos semejantes, los lados son proporcionales Operación (O): Operación algebraica.

Tesis

SQU TQR∼

=> D( )( )

( )( )

m QS m QU

m QT m QR= => O ( ) ( ) ( ) ( )m m m m⋅ ⋅QR QS = QU QT


Actividades Evaluativas Competencia asociada al teorema: Identificar componentes que permiten utilizar el Teorema de los segmentos de cuerdas proporcionales. Ítem 1

¿En cuál de las siguientes circunferencias se puede aplicar el Teorema de los segmentos de cuerdas proporcionales para determinar la medida del segmento QT ? a) b) c) d)

e)


Competencia asociada al teorema: Aplicar el Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia. Ítem 2

Competencia asociada al teorema: Reconocer la hipótesis y tesis del Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia. Ítem 3

Según los datos que entrega la figura, ¿Cuál es la medida del segmento QS ? (sabiendo que ( ) 5 cmm QR = )

a) 10 cm. b) 2.5 cm. c) 0.4 cm. d) 14.4 cm. e) 21.6 cm.

De las siguientes afirmaciones, ¿Cuál es la correcta? Teorema: Si RS TU y son cuerdas de una circunferencia de centro o y radio r y se interceptan en Q, entonces:

( ) ( ) ( ) ( )m m m m⋅ ⋅QR QS = QU QT

a) La hipótesis del Teorema es “ RS TUy son cuerdas de una circunferencia”. b) La tesis del Teorema es todo el enunciado del teorema. c) La tesis del Teorema es “se interceptan en Q”. d) La hipótesis del Teorema es “ ( ) ( ) ( ) ( )m QR m QS m QU m QT⋅ = ⋅ ”.

e) La tesis del Teorema es “ ( ) ( ) ( ) ( )m QR m QS m QU m QT⋅ = ⋅ ”.


SOLUCIONES DE LOS ÍTEMES Teorema Ítem Nº Alternativa correcta y justificación de los distractores

Nº 1

“Teorema del ángulo inscrito en una circunferencia”

I

a) (*) b) H no está en la circunferencia c) C no está en la circunferencia d) No subtienden el mismo arco e) No subtienden el mismo arco

II

a) Calcula un solo ángulo inscrito b) Cree que el ángulo inscrito mide lo mismo que el del centro c) (*) d) Cree que el ángulo inscrito mide lo mismo que el del centro e) Cree que falta información

III

a) Hipótesis incompleta b) Confunde tesis con una parte de la hipótesis c) (*) d) Confunde hipótesis con tesis e) Confunde hipótesis con tesis

Nº 2

“Teorema de la congruencia de los ángulos inscritos

que subtienden un mismo arco”

I

a) No subtienden el mismo arco b) (*) c) No subtienden el mismo arco d) B no está en la circunferencia e) No subtienden el mismo arco

II

a) Calcula la mitad de la medida del ángulo en D b) Responde dato c) (*) d) Suma los tres ángulos inscritos e) Cree que falta información

III

a) Confunde hipótesis con tesis b) Confunde hipótesis con tesis c) (*) d) Responde el teorema completo e) Hipótesis incompleta

Nº 3

“Teorema del ángulo semi-inscrito y su

correspondiente ángulo del centro”

I

a) No entrega medida b) No hay ángulo semi-inscrito c) (*) d) Falta información e) El ángulo semi-inscrito no presenta medida

II

a) Responde la medida del ángulo tangente b) Responde la mitad de la medida en vez del doble. c) Responde la misma medida del dato d) A la medida del ángulo semi-inscrito le suma 90° e) (*)

III

a) Hipótesis incompleta b) (*) c) Confunde hipótesis con tesis d) Confunde hipótesis con tesis e) Responde el teorema completo


Teorema Ítem Nº Alternativa correcta y justificación de los distractores

Nº 4

“Teorema del ángulo inscrito en una

semicircunferencia”

I

a) E pertenece a otra circunferencia b) El segmento HD no es diámetro c) (*) d) El ángulo pedido no es inscrito e) El ángulo pedido no es inscrito

II

a) Responde la mitad del ángulo del centro b) (*) c) Responde el dato d) Responde el doble del dato e) Cree que falta información

III

a) Confunde hipótesis con tesis b) Confunde hipótesis con tesis c) (*) d) Responde el teorema completo e) Confunde circunferencia con semicircunferencia

Nº 5

“Relativo a las cuerdas de una circunferencia”

I

a) Los ángulos del centro no son congruentes b) Falta información c) (*) d) No hay información e) Falta información

II

a) Responde la mitad del dato b) (*) c) Responde el doble del dato d) No realiza cálculo alguno e) Cree que falta información

III

a) Hipótesis incompleta b) Confunde hipótesis con tesis c) No se fija en el “no” d) (*) e) Responde el teorema completo

Nº 6

“Relativo a los ángulos del centro de una circunferencia”

I

a) Falta información b) Falta información c) Falta información d) (*) e) Las cuerdas no son congruentes

II

a) (*) b) Confunde medida de un ángulo con longitud de una cuerda c) Responde la mitad del dato d) Responde el doble del dato e) Le resta 20° al dato

III

a) Confunde hipótesis con tesis b) (*) c) Confunde hipótesis con tesis d) Confunde hipótesis con tesis e) Responde el teorema completo



Nº 7

Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

I

a) Cree que los ángulos opuestos miden lo mismo b) Confunde los datos c) (*) d) Cree que los ángulos que con lado común son suplementarios e) Cree que los ángulos opuestos son complementarios

II

a) No reconoce que los áng. opuestos internos deben ser suplem b) No comprende el teorema c) Cree que la suma de los áng. opuestos internos es 360° d) Cree que la longitud de cuerda incide en el teorema e) (*)

III

a) Confunde hipótesis con tesis b) Confunde hipótesis con tesis c) Tesis incompleta d) No especifica qué ángulos e) (*)

Nº 8

Teorema de las tangentes trazadas desde un punto exterior a una

circunferencia

I

a) (*) b) El segmento PS no es una tangente a la circunferencia c) Los lados son secantes, no tangentes d) Las tangentes no comparten el mismo punto e) El segmento PB no es una tangente a la circunferencia

II

a) Responde la mitad de la medida del ángulo adyacente b) (*) c) Responde el doble de la medida del ángulo adyacente d) Responde la mitad de la medida del ángulo del centro e) Responde la medida del ángulo del centro

III

a) Confunde hipótesis con tesis b) Confunde hipótesis con tesis c) (*) d) Responde el teorema completo e) Confunde hipótesis con tesis

Nº 9

Teorema del ángulo

interior de una circunferencia

I

a) Falta información b) Datos incorrectos, se necesita otro arco c) (*) d) Datos incorrectos e) Falta información

II

a) Sólo aplica la fórmula b) Se equivoca al restar c) No calcula el ángulo suplementario d) (*) e) Cree que falta información

III

a) Hipótesis incompleta b) Hipótesis incompleta c) (*) d) Confunde hipótesis con tesis e) Hipótesis incompleta



Nº 10

Teorema del ángulo exterior a una circunferencia

I

a) El ángulo pedido no está en el exterior de la circunferencia b) Faltan datos c) (*) d) Faltan datos e) Faltan datos

II

a) Calcula la semisuma b) (*) c) Responde la medida de uno de los datos d) Responde la medida de uno de los datos e) Cree que falta información

III


Nº 11

Relativo a la perpendicular desde el centro a una cuerda de

una circunferencia

I

a) (*) b) Falta información c) No hay perpendicular d) La perpendicular no pasa por el centro de la circunferencia e) No hay perpendicular

II

a) Responde la mitad de la medida entregada como dato b) (*) c) Responde el doble de la medida entregada como dato d) Se confunde con el ángulo recto e) No encuentra ninguna relación con los datos

III

a) (*) b) Confunde hipótesis con tesis c) Confunde cuerda con perpendicular d) Responde el teorema completo e) Confunde hipótesis con tesis

Nº 12

Teorema de las cuerdas congruentes que

equidistan del centro de una circunferencia

I

a) (*) b) Las distancias de las cuerdas al centro deben ser iguales c) Confunde los datos d) Confunde los datos e) No necesariamente las distancias son iguales

II

a) Responde la mitad de la medida del segmento AB b) Confunde los datos c) (*) d) Responde el doble de la medida del segmento AB e) Cree que falta información

III

a) (*) b) Confunde hipótesis con tesis c) Responde el teorema completo d) Confunde hipótesis con tesis e) No especifica a distancia de qué



Nº 13

Teorema de las cuerdas de distintas longitudes y sus distancias al centro de una circunferencia

I

a) Las cuerdas son congruentes b) (*) c) Confunde los datos d) Las cuerdas son congruentes e) Confunde los datos

II

a) Confunde la desigualdad b) (*) c) Confunde la relación d) Confunde la desigualdad e) Cree que falta información

III

a) (*) b) Responde el teorema completo c) Confunde hipótesis con tesis d) Mezcla hipótesis y tesis e) Mezcla hipótesis y tesis

Nº 14

Relativo al segmento desde el centro al punto medio de una cuerda en

una circunferencia

I

a) F no es punto medio b) Faltan datos c) (*) d) F no es punto medio e) Faltan datos

II

a) (*) b) No relaciona los datos c) Responde la mitad de dicho ángulo d) Confunde medidas de ángulos y segmentos e) Se confunde con los datos entregados

III


Nº 15

Teorema Relativo a las secantes de una circunferencia

I

a) (*) b) Faltan datos c) Faltan datos d) Faltan datos e) Faltan datos

II

a) Calcula erróneamente b) Calcula erróneamente c) (*) d) Calcula erróneamente e) Calcula erróneamente

III

a) Hipótesis incompleta b) Responde el teorema completo c) Confunde hipótesis con tesis d) Confunde hipótesis con tesis e) (*)



Nº 16

Teorema de los segmentos de cuerdas

proporcionales

I

a) Faltan datos b) Faltan datos c) Faltan datos d) Faltan datos e) (*)

II

a) Calcula erróneamente b) Calcula erróneamente c) Calcula erróneamente d) (*) e) Calcula erróneamente

III

a) Hipótesis incompleta b) Responde el teorema completo c) Confunde hipótesis con tesis d) Confunde hipótesis con tesis e) (*)


BIBLIOGRAFÍA • Programa de Estudio Segundo Año Medio, “Sobre la circunferencia y sus ángulos”,

Ministerio de educación, Chile, Segunda Edición 2004. • Texto para el estudiante “Matemática Segundo año medio”, Editorial Santillana. • Matemática Moderna Geometría, Edwin E. Moise • Introducción a la Geometría Euclidiana, Rigoberto Becerra Allende. Paginas WEB: • http://www.sectormatematica.cl • http://www.rae.es

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ESTUDIO DE 16 TEOREMAS MATEMÁTICOS DE LA · PDF fileLa Circunferencia es, en geometría, una curva plana cerrada en la que cada uno de sus puntos equidista de un punto fijo,