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CUADERNO DE EJERCICIOS DE MATEMATICAS III

DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEMATICA

AGOSTO 2005

ITAM,DM-A-94.1

1

En la presente edición se ha tenido el mismo propósito de la edición anterior de apoyar a losalumnos en la aplicación del Algebra Lineal en sus respectivas áreas de estudio.

Yolanda I. Pretelin Muñoz de Cote

2

PREFACIO

Éste es un cuaderno de apoyo para el curso de Matemáticas III. Se trata de una recopilación deejercicios y aplicaciones cuyo propósito es enriquecer el material del curso. La disposición de lostemas obedece al orden del temario y al final de cada capítulo se encuentran las soluciones de losproblemas.

Este trabajo es el resultado de un esfuerzo conjunto del Departamento Académico deMatemáticas. Cabe decir que en él las pretensiones de originalidad son nulas, y que agradecemossiempre las correcciones y comentarios que maestros y alumnos nos hacen llegar.

Trinidad Martínez Cornejo preparó esta edición del cuaderno y a ella le agradecemos su excelentetrabajo.

Patricia Souza

3

MATEMATICAS III

1. GEOMETRIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

1.1 Vectores. Representación geométrica.1.2 Suma de vectores. Producto de un escalar por un vector.

Interpretación geométrica. Propiedades de las operaciones.1.3 Producto punto. Norma. Vectores ortogonales.1.4 Ecuaciones paramétrica y normal de la recta.1.5 Ecuaciones paramétrica y normal del plano.

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.1 Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de 2 x 2 y 3 x 3.Interpretación geométrica.

2.2 Eliminación gaussiana y de Gauss-Jordan en sistemas de mxn.Pivotes. Grados de libertad.

2.3 Planteamiento de problemas. Modelo de Leontief de insumo-producto.*2.4 Sistemas homogéneos. Análisis de las soluciones de un sistema homogéneo.

Sistemas no homogéneos y sistemas homogéneos asociados. Forma paramétricade las soluciones.

3. ALGEBRA DE MATRICES

3.1 Suma de matrices. Producto de un escalar por una matriz. Propiedades de lasoperaciones.

3.2 Producto de matrices. Propiedades.3.3 Matrices particulares: diagonales, triangulares, simétricas, y elementales.

Transpuesta de una matriz. Propiedades.3.4 Inversa de una matriz. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de operaciones

elementales Aplicación a sistemas de ecuaciones lineales nxn.* 3.5 La matriz de incidencia de una gráfica dirigida.

4. DETERMINANTES

4.1 Concepto y desarrollo por cofactores.4.2 Propiedades de los determinantes.4.3 Matriz adjunta. Cálculo de la inversa de una matriz por medio de la matriz adjunta.4.4 Regla de Cramer.

5. EL ESPACIO VECTORIAL Rn

5.1 Vectores en Rn. Suma de vectores. Producto de un escalar por un vector.Propiedades de las operaciones.

5.2 Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Ejemplos.

4

5.3 Combinación lineal de un conjunto de vectores. Dependencia e independencia lineal.Bases y dimensión. Interpretación geométrica.

*5.4 Rango y nulidad, espacio nulo, espacio de los renglones y espacio de las columnas deuna matriz.

6. ORTOGONALIDAD

6.1 Producto punto en Rn. Norma. Vectores ortogonales.6.2 Proyección sobre un vector.6.3 Proyecciones y el método de mínimos cuadrados. Ajuste de rectas, planos y

polinomios.6.4 Ecuación normal de un hiperplano. Poliedros en Rn.

7. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

7.1 Problemas de programación lineal en dos variables. Análisis gráfico.7.2 Programas lineales de maximización y de minimización en forma canónica y en

forma estándar.Variables básicas y no básicas. Variables de holgura.7.3 Método Simplex.7.4 Planteamiento y solución de programas lineales.

* 7.5 Problema general de Programación Lineal. Método de las dos fases.7.6 Dualidad.

* 7.7 Introducción al análisis de sensibilidad.

8. VALORES Y VECTORES PROPIOS

8.1 Definiciones. Polinomio característico. Cálculo de valores y vectores propios.8.2 Multiplicidad algebraica y multiplicidad geométrica de un valor propio.8.3 Diagonalización de matrices.8.4 Cadenas de Markov.

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BIBLIOGRAFIA

TEXTO

S. GROSSMAN ”Álgebra Lineal con Aplicaciones” McGraw - Hill, 5a. edición 1996.

REFERENCIAS

1. J.ARYA & R. LARDNER "Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía"Prentice - Hall Hispanoamericana, 4a. edición, 2002.

2. G. EPPEN, F. GOULD, C.SCHMIDT "Investigación de Operaciones en la CienciaAdministrativa", Prentice - Hall Hispanoamericana, 5a. edición, 2000.

3. F. FLOREY "Fundamentos de Álgebra lineal y Aplicaciones"Prentice - Hall Hispanoamericana, 1987.

4. J. FRALEIGH & R. BEAUREGARD "Álgebra lineal" Addison - Wesley Iberoamérica,1989.

5. H. GERBER "Álgebra Lineal" Grupo Editorial Iberoamérica, 1992.

6. R. MORONES "Programación Lineal. El Método de Dos Fases en el Simplex"ITAM, 1991.

7. E.F.HAEUSSLER, JR. & R.S. PAUL "Matemáticas para Administración yEconomía"-Prentice Hall.10a. edición 2003

6

1. GEOMETRIA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

1.1 Grafique los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas:

a) u = 1,2b) v = −3,1/4c) w = 0,0d) x = 2,1e) y = −5,−2/3f) z = 0,−8/5

1.2 Grafique los siguientes segmentos dirigidos en un sistema de coordenadas cartesianas:

a) AB donde A = 2,4 y B = 4,0b) CD donde C = 0,0 y D = −3,−1/2c) EF donde E = 0,3 y F = −1,3d) PQ donde P = 1/3,−5 y Q = 2,−1e) RS donde R = 6,7 y S = 6,7

1.3 Grafique los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianas. (observe que,debido a la perspectiva, el resultado dependerá de cómo dibujemos los ejes coordenados):

a) u = 0,0,3b) v = 2,0,−1c) w = 1,5,3d) x = −2,−6,−1e) y = 0,8,0f) z = −5,0,0

1.4 Grafique los siguientes segmentos dirigidos en un sistema de coordenadas cartesianas:

a) AB donde A = 2,4,0 y B = 4,3,1b) CD donde C = 0,0,0 y D = 0,−2,5c) EF donde E = 4,0,0 y F = 4,1,2

1.5 Efectúe los cálculos indicados cuando u = 14 , 3,v = 0,5 y w = −2,1.

a) u + v

b) 4w

c) −2v

d) 0u

e) v − 2w

f) w − 32 v + 2u

g) u + 0

7

1.6 Efectúe los cálculos indicados cuando x = 0,− 13 , 5, y = 2,0,−7 y .z = −1, 4

5 , 0

a) x + y

b) 3z

c) −x

d) 0y

e) x + y − 2z

f) 2x − y + 0

1.7 Encuentre dos números a, b tales que 3, 14 + a,b = 0,0

1.8 Encuentre un escalar α tal que

a) α2, 3 = 5, 152 b) α1,2,3 = 3

2 , 3, 9

1.9 Si x = 1,−2,3 y y = 0,1/5,−4, encuentre un vector z tal que

a) 3x + 2z = y b) 2x + y − 13 z = 0

1.10 Calcule los vectores asociados a los segmentos dirigidos de los ejercicios 1.2 y 1.4.

1.11 Efectúe los cálculos indicados cuando u = 1,2,v = 3,1, w = −2,0 y x = −2,1.Observe que algunos cálculos se pueden simplificar usando las propiedades de producto punto.

a) v ⋅ v

b) u ⋅ x

c) u + v ⋅ w

d) u + v ⋅ 3we) u ⋅ 0f) u + v ⋅ x − 1

3 wg) v − u ⋅ v/u ⋅ uu

1.12 Efectúe los cálculos indicados en el ejercicio anterior si ahora u = 1,2,3,

v = −2,0, 1, w = 0,4,0 y x = −3,2,1.

1.13 Calcule la norma de los siguientes vectores:

a) 3,4b) 1

2 2,− 1

2 2

c) 2,0,1d) −3,0,0e) −1/ 2 6 ,2/ 2 6 ,1/ 2 6

8

1.14 Describa geométricamente los siguientes conjuntos de vectores:

a) xεR2 ∣∥ x ∥= 1b) xεR3 ∣∥ x ∥= 1c) x,yεR2 ∣ xy = 0d) x, y, zεR3 ∣ xyz = 0

1.15 Halle la ecuación vectorial paramétrica X = A + td de las rectas que pasan por los puntosdados. Observe que hay muchas maneras de dar la ecuación pedida.

a) 1/2,0 y 2,7b) 1.3/4 y 1,−3c) 0,2,7 y 1,2,−3/4d) 1,−3,5 y −3,2,7

1.16 Halle la ecuación vectorial paramétrica X = A + td de la recta que:

a) Pasa por el punto 1,2 y es paralela a la recta X = 0,1 + t2,3.b) Pasa por el origen y es paralela a la recta X = −2,0,1/3 + s1,2,4.c) Pasa por 1,−2,3/7 y es paralela al eje Y.

1.17 Halle la ecuación vectorial paramétrica X = A + td de la recta que pasa por el punto dadoy es perpendicular a la recta dada:

a) 2,4,X = 2 5 ,π + t1,−3 b) 0,5,X = 1301 ,e + t7,2

1.18 Halle la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto dado y es perpendicular a larecta dada:

a) −3, 2,X = 2 2 ,4 + t2,−1 b) 0, 0 , X = 2,8 + s1,−1

1.19 Halle la ecuación cartesiana de la recta que pasa por el punto dado y es paralela a la rectadada:

a) −3, 2,X = 2 2 ,4 + t2,−1 b) 0, 0 ,X = 2,8 + s1,−1

1.20 Halle la ecuación vectorial paramétrica del plano X = A + su + tv que pasa por los puntosdados. Observe que hay muchas maneras de dar la ecuación pedida.

a) 1,2,−5, 0,0,0 y 2,1/3,6b) 1,2,4, 1/7, 0,2/3 y 1,0,0c) −2, 6,1, 0,0,5 y 2, 0,−6

1.21 Halle la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto dado y es perpendicular a la

9

recta dada:

a) 0,0,0,X = 1,0, 2 7 + s1,3,−6b) 2,3,0 , eje Yc) 1,−3,2 , X = 2,e, 1 + t1,3,−6d) 1/2,2,9,X = 1, 0,−2 + r1,1,−3

1.22 Encuentre la ecuación cartesiana del plano cuya normal es paralela a la rectaX = 1,3,−1 + s1,−3, 5 y que pasa por el punto 2,−4,0.

1.23 Encuentre la ecuación vectorial paramétrica de la recta que es ortogonal al plano2x − 3y + 5z = 8 y que pasa por el punto 2,0,−5.

1.24 Encuentre la ecuación vectorial paramétrica del plano que contiene a las rectasX = 1,0,5 + t1,0,0, Y = 1,0,5 + s0,4,2

10

SOLUCIONES

1.1

a) u = 1,2

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

b) v = −3, 1/4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

c) w = 0,0 ; no tiene representación.(0,0)

11

d) x = 2,1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

e) y = −5,−2/3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

f) z = 0,−8/5

12

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

1.2a) AB donde A = 2,4 y B = 4,0; B − A = 4 − 2,0 − 4

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

13

b) CD donde C = 0,0 y D = −3,−1/2; D − C = −3 − 0,−1/2 − 0

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

c) EF donde E = 0,3 y F = −1,3; F − E = −1 − 0,3 − 3

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

14

d) PQ donde P = 1/3,−5 y Q = 2,−1; Q − P = 2 − 1/3,−1 − −5

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

4

x

y

e) RS donde R = 6,7 y S = 6,7;S − R = 6 − 6,7 − 7(0,0)

1.3a) u = 0,0,3

15

b) v = 2,0,−1

c) w = 1,5,3

16

d) x = −2,−6,−1

e) y = 0,8,0

17

f) z = −5,0,0

1.4a) AB donde A = 2,4,0 y B = 4,3,1;B − A = 4 − 2,3 − 4,1 − 0

18

b) CD donde C = 0,0,0 y D = 0,−2,5;D − C = 0 − 0,−2 − 0,5 − 0

c) EF donde E = 4,0,0 y F = 4,1,2;F − E = 4 − 4,1 − 0,2 − 0

1.5

a) 1/4,8 b) −8,4 c) 0,−10d) 0,0 e) 4,3 f) −3/2,−1/2g) 1/4,3

1.6

a) 2,−1/3,−2 b) −3,12/5,0 c) 0,1/3,−5

19

d) 0,0,0 e) 4,−29/15,−2 f) −2,−2/3,17

1.7 a = −3, b = −1/4

1.8 a) α = 5/2b) No es posible encontrar tal escalar porque al igualar las coordenadas obtenemos que α

debe valer simultáneamente 3/2 y 3.

1.9 a) −3/2,31/10,−13/2 b) 6,−54/5,−6

1.10 Ejercicio 1.2:

a) 2,−4 b) −3,−1/2 c) −1,0d) 5/3,4 e) 0,0

Ejercicio 1.4:a) 2,−1,1 b) 0,−2,5 c) 0,1, 2

1.11

a) 10 b) 0 c) −8d) −24 e) 0 f) −7/3g) 2,−1

1.12

a) 5 b) 4 c) 8d) 24 e) 0 f) 25/3g) −29/14,−1/7,11/14

1.13

a) 5 b) 1 c) 2 5d) 3 e) 1

1.14

a) Circunferencia con centro en el origen y radio 1.b) Esfera con centro en el origen y radio 1.c) Unión de los ejes X e Y en el plano.d) Unión de los tres planos coordenados en el espacio.

1.15 Una recta siempre puede ser descrita por diversas ecuaciones vectoriales paramétricas

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diferentes. Esto lo ilustramos en el inciso (a). En los incisos restantes sólo escogemos una ecuación.

a) X = 1/2,0 + t3/2,7X = 2,7 + t3/2,7X = 1/2,0 + t−3/2,−7X = 2,7 + t−3/2,−7X = 1/2,0 + t3,14

Etcétera.

b) X = 1,−3 + t0,15/4 c) X = 0,2,7 + t1,0,−31/4d) X = −3,2,7 + t4,−5,−2

1.16

a) X = 1,2 + t2,3 b) X = t1,2,4c) X = 1,−2,3/7 + t0,1,0

1.17 a) X = 2,4 + t3,1 b) X = 0,5 + t−2,7

1.18 a) 2x − y = −8 b) x − y = 0

1.19 a) x + 2y = 1 b) x + y = 0

1.20 Mismo comentario que en el ejercicio 1.15.

a) X = 1,2,−5 + s1,2,−5 + t2,1/3,6X = s−1,5/3,−11 + t−2,−1/3,−6X = 2,1/3,6 + s2, 1/3,6 + t−1,−2,5

Etcétera.

b) X = 1,0,0 + s0,2,4 + t−6/7,0,2/3c) X = 0,0,5 + s−2,6,−4 + t2,0,−11

1.21

a) x + 3y − 6z = 0 b) y = 3c) x + 3y − 6z = −20 d) x + y − 3z = −49/2

1.22

x − 3y + 5z = 14

1.23

X = 2,0,−5 + t2,−3,5

21

1.24

X = 1,0,5 + s1,0,0 + t0,4,2

22

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.1 En cada uno de los incisos siguientes se pide construir ecuaciones de rectas en el plano.Busque ejemplos sencillos y argumente geométricamente porqué el ejemplo construido satisface lascondiciones pedidas.

a) Dé las ecuaciones de dos rectas en el plano que sean paralelas.b) Dé las ecuaciones de dos rectas en el plano que se intersecten exactamente en un punto.c) Dé dos ecuaciones distintas que representen a una misma recta en el plano.

En cada inciso obtenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En (a) elsistema no tiene solución; en (b) el sistema tiene solución única; y en (c) el sistema tiene una infinidadde soluciones.

2.2 Este ejercicio es análogo al anterior, pero con planos en el espacio en lugar de rectas en elplano.

a) Dé las ecuaciones de tres planos que sean paralelos.b) Dé las ecuaciones de tres planos que se intersecten en exactamente un punto.c) Dé las ecuaciones de tres planos que se intersecten en una recta.d) Dé tres ecuaciones distintas que representen a un mismo plano.

En cada inciso obtenemos un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. En (a) elsistema no tiene solución; en (b) el sistema tiene solución única; en (c) y en (d) hay una infinidad desoluciones.

2.3 Grafique las rectas del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x = 1

y = 2

x + y = 4

a) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?b) ¿Qué sucede si sustituimos la tercera ecuación por x + y = 3?

2.4 Decida si las siguientes matrices están en forma escalonada.

a)1 3

0 1b)

0 1

−3 0c)

4 0 2

0 0 −5

0 1 7

d)

1 2 3

0 0 4

0 0 5

e)

1 −3 5 4

0 0 1 2

0 0 0 1

f)

4 2 8 3 5

0 0 −3 0 2

0 0 0 0 4

0 0 0 0 0

23

2.5 Para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

i. Construya la matriz aumentada asociada al sistemaii. Usando el método de eliminación gaussiana decida si el sistema tiene solución.iii. En caso afirmativo, calcule el número de pivotes y el número de grados de libertad del

sistema y dé la solución general del sistema.a)

2x + 4y = 6

3x + 6y = 5

b)

2x − 4y = 6

− 4x + 6y = 2

c)

x + 3y = 6

2x − 2y = 4

4x + 4y = −8

d)

x + 5y + 11z = −5

2x + 3y + 8z = 4

− x + 2y + 3z = −9

e)

3x + y + 4z = 5

6x + 4y + 5z = 11

− 3x + y − 6z = −4

f)

w + 2x + 3y = 3

y + 2z = −1

2w + 4x + 4y − 4z = 8

g)

2w − 4x = 10

w − 3x + z = −4

w − y + 2z = 4

3w − 4x + 3y − z = −11

24

h)

w − 2x + y − z = 4

2w − 3x + 2y − 3z = −1

3w − 5x + 3y − 4z = 3

− w + x − y + 2z = 5

i)

2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 0

x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0

3x1 + 3x2 − 3x3 − 3x4 + 4x5 = 0

4x1 + 5x2 − 5x3 − 5x4 + 7x5 = 0

2.6 Pruebe que el siguiente sistema es inconsistente si c ≠ 0

x − 2y + z = 2

2x + y + z = 4

5y − z = c

2.7 Pruebe que el siguiente sistema de ecuaciones lineales

3x + 2y − 4z = a

− 4x + y − z = b

7x + 12y − 22z = c

tiene una infinidad de soluciones si c = 5a + 2b.

2.8 Encontrar las condiciones que deben cumplir a, b, c, y d para que el siguiente sistema tenga(a) solución única, (b) solución múltiple, (c) ninguna solución:

ax + by = c

ax − by = d

2.9 En una empresa textil un empleado tarda una hora con cuarenta minutos en hacer una falda ycinco horas en hacer un saco. Tiene cuarenta horas de trabajo y se desea que se venda todo lo que seproduce. Si sus clientes compran tres faldas por cada saco que adquieren, ¿ cuántas faldas y cuántossacos deberá hacer?

25

2.10 Una máquina sella 480 piezas por hora si la pieza no tiene hoyo y 200 piezas si la piezatiene hoyo. ¿ Cuántas piezas sella la máquina en una semana (40 horas) si hay 4 piezas sin hoyo porcada una con hoyo?

2.11 Tres especies de bacterias coexisten en un matraz de Erlenmeyer en la que hay tresnutrientes. Si la bacteria de tipo i consume a ij unidades del nutriente j por día, se tiene que a11 = a12

= a13 = a21 = a31 = 1, a23 = a32 = 3, a22 = 2, a33 = 5. Si se suministran respectivamente 15000,30000 y 40000 unidades al día de cada nutriente y si cada nutriente se consume totalmente, ¿ cuál es lapoblación de cada bacteria que puede mantenerse en el tubo?

2.12 ¿Cuál sería la respuesta al ejercicio anterior si las cantidades diarias de nutrientes fueran20000, 30000 y 40000 unidades, respectivamente?

2.13 Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimento a un lago quemantiene tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de unaunidad del alimento 1, una unidad del alimento 2 y dos unidades del alimento 3. Cada pez de la especie2 consume cada semana un promedio de tres unidades del alimento 1, cuatro unidades del alimento 2 ycinco unidades del alimento 3. Para un pez de la especie 3, el consumo semanal promedio es de dosunidades del alimento 1, una unidad del alimento 2 y cinco unidades del alimento 3. Cada semana seproporcionan al lago 15, 000 unidades del primer alimento, 10, 000 del segundo y 35, 000 del tercero.Suponiendo que los tres alimentos se consumen, ¿qué población de cada especie se encontrará encoexistencia? ¿Existe una única solución?

2.14 Una firma de transporte posee tres tipos distintos de camiones: A, B y C. Los camionesestán equipados para el transporte de dos clases de maquinaria pesada. El número de máquinas decada clase que puede transportar cada camión en una operación es:

210Clase 2

112Clase 1Máquinas

Tipo CTipo BTipo A

Camiones

210Clase 2

112Clase 1Máquinas

Tipo CTipo BTipo A

Camiones

La firma consigue una orden para 32 máquinas de la clase 1 y 10 máquinas de la clase 2.Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requieren para cumplir la orden, asumiendo quecada camión debe estar completamente cargado y que el número exacto de máquinas pedidas es el quese debe despachar. Si la operación de cada tipo de camión tiene el mismo costo para la firma ¿cuál esla solución más económica?

2.15 Se desea envasar nueces, almendras y cacahuates en lata, de manera que haya cuatro kilosde cacahuate por cada kilo de nuez y la misma cantidad de nueces y almendras. Si se desea envasar un

26

total de 20 kilos, ¿cuántos kilos de cada producto hay que adquirir?

2.16 Un estudiante dedica 6 horas a dormir y 2 a comer. El resto lo dedica a estudiar, a jugarboliche y a otras actividades. Cada hora de estudio le cuesta en promedio $20.00, cada hora de boliche$120.00 y el promedio por hora de otras actividades es de $40.00. Si dispone de $600.00 por día,¿cómo puede dividir el tiempo entre las tres cosas?

2.17 Una inversionista le afirma a un corredor de bolsa que todas sus acciones son de tresempresas, una de aviación, una de hoteles y una de alimentos y que hace 2 días el valor total de susacciones bajó en $350 pero que subió $600 el día de ayer.

El corredor recuerda que hace dos días el precio por acción de la compañía de aviación bajó $1,que el de la compañía de hoteles bajó $1.50, pero que el de la de los alimentos subió $0.50. Tambiénrecuerda el corredor que el día de ayer los precios por acción de las tres compañías se comportaroncomo sigue: subió el de aviación $1.50, el de hoteles cayó $0.50 y el de alimentos subió $1. Muestreque el corredor no posee información suficiente para calcular el número de acciones que posee lainversionista, pero que cuando ella dice tener 200 acciones de la empresa alimenticia, entonces sí esposible determinar el número de acciones restante.

2.18 Una fábrica distribuye su producción en tres tiendas. La primera pide tanto como las otrasdos juntas y la segunda pide 10% más que la tercera. Si la producción total es de 42 unidades porsemana, ¿de qué manera debe repartirse la producción entre las tres tiendas?

2.19 Un sistema de tuberías de agua enlaza a tres puntos A, B, C como muestra la figura. Elagua fluye en la dirección que indican las flechas y el flujo se da en litros por minuto. El tamaño de lastuberías impone restricciones a los flujos. Así r1 ≤ 700, r2 ≤ 300, r3 ≤ 600 y r4 ≤ 400. Calcule lascondiciones que deben satisfacer los flujos r1, r2, r3 y r4 si no hay fugas, es decir, si en cada punto lacantidad de agua que llega es igual a la que sale. Describa los valores de los flujos si (a) r3 = 300, (b)r1 = 50, (c) r2 = 100.

100

r2r1

r4

A

B r3 C300

2.20 Hace diez años, tres grupos indígenas han sido estudiados con fines económicos y deinfluencia en la Comunidad, considerando una población inicial total de 2000. Se calcula que el grupo I

27

se duplicó, el grupo II se incrementó en 50% y el grupo III se extinguió. Si el incremento de lapoblación del grupo I fue igual al del grupo II y si la población total se incrementó en 500, ¿cuál fue lapoblación inicial de cada grupo?

2.21 En cada uno de los siguientes diagramas se representa un sistema de calles. Las flechasindican el sentido y los números y variables la cantidad de vehículos que transitan por hora en la callerespectiva. Suponga que el número de vehículos que entran a un cruce es igual al número de vehículosque salen del mismo cruce. En cada caso diga cuáles son los valores posibles para x1, x2, x3, x4; cuál elvalor mínimo de x1 y cuál el de x3.

a)

28

b)

c)

29

d)

e)

30

f)

2.22 Un turista que fue a Europa gastó $30 al día por hospedaje en Inglaterra, $20 al día enFrancia y $20 al día en España. En cuanto a alimentos, el turista gastó $20 diarios en Inglaterra, $30diarios en Francia y $20 diarios en España. Además, por conceptos varios el turista gastó $10 diariosen cada uno de los países mencionados. A su regreso, el registro de gastos del viajero indicaba un totalde $340 por hospedaje, $320 por alimentos y $140 por gastos varios. Calcule el número de días que elviajero estuvo en cada uno de los tres países o bien muestre que el registro es incorrecto ya que lascantidades gastadas son incompatibles unas con otras.

2.23 Un espía sabe que en cierto aeropuerto secreto hay estacionados 60 aviones, entre cazas ybombarderos. El espía desea determinar cuántos de los 60 aviones son cazas y cuántos sonbombarderos. Hay un tipo de cohete que es transportado por ambas clases de aviones; el caza portaseis de estos cohetes y el bombardero sólo dos. El agente sabe que con 250 cohetes quedanpertrechados por completo todos los aviones que se hallan en el aeropuerto. Además, se entera de queen esa base el número de aviones caza es el doble del número de bombarderos. Calcule el número deaviones caza y bombarderos que hay en el aeropuerto o bien muestre que la información del agentedebe ser incorrecta, ya que es inconsistente.

2.24 Tres empresarios cultivan hortalizas . El empresario A cultiva jitomates, B cultiva maíz y

31

C lechugas. Los tres se ponen de acuerdo para repartir la cosecha entre ellos de la siguiente forma: Ase quedará con la mitad de sus jitomates y recibirá 1/3 de la cosecha de maíz y 1/4 de la cosecha delechuga. B recibirá 1/3 de la cosecha de jitomate, 1/3 de la de maíz y 1/4 de la lechuga. C 1/6 de la dejitomate, 1/3 de la de maíz y se quedará con la mitad de su cosecha de lechuga. ¿Qué valor deberánasignar a las respectivas cosechas si se debe satisfacer la condición de equilibrio de una economíacerrada y si la cosecha de menor valor debe venderse a $100?

2.25 Tres Divisiones en una Industria, Finanzas, Recursos Humanos y Logística trabajaránconjuntamente para desarrollar un proyecto realizando distintas innovaciones cada uno para lograr elobjetivo. Deciden trabajar en total 10 días cada uno de acuerdo al siguiente programa:

344Logística

154R. Humanos

612Finanzas

LogísticaR. HumanosFinanzas

Días de trabajo efectuados por el departamento de

344Logística

154R. Humanos

612Finanzas

LogísticaR. HumanosFinanzas

Días de trabajo efectuados por el departamento de

En el departamento de

Por los impuestos, tienen que reportar y pagarse entre sí, un salario diario , incluyendo el trabajoque cada una hace en su propia División. Su salario normal diario está comprendido en el intervalo de$60 a $80, pero acuerdan ajustar sus percepciones de forma que ninguna tenga ventaja, es decir deforma que la cantidad total pagada por cada una sea igual a la cantidad total que reciba cada una.¿Cuánto deben ganar diariamente las Divisiones de Finanzas, Recursos Humanos y Logística?

2.26 Una ciudad tiene, principalmente, tres industrias: una mina de carbón, una plantageneradora de energía eléctrica y un ferrocarril local. Para producir $1.00 de carbón mineral, la minatiene que comprar $0.20 de energía eléctrica para accionar sus equipos y paga $0.25 de transporte paracubrir sus necesidades de embarque. Para producir $1.00 de energía eléctrica, la planta generadorarequiere de $0.65 de carbón como combustible, de $0.10 de su propia energía eléctrica para accionar

32

sus equipos auxiliares y $0.25 de transporte. Para proporcionar $ 1.00 de transporte, el ferrocarrilrequiere de $0.70 de carbón mineral como combustible y de $0.10 de energía eléctrica para su equipoauxiliar. En una semana, la mina recibe pedidos por $33,000 de carbón provenientes de consumidoresexternos y la planta generadora recibe también de consumidores externos pedidos por $17, 000 deenergía eléctrica. El ferrocarril es la única industria que no tiene ninguna demanda externa. ¿Cuál debeser la producción de las tres industrias, en esa semana, para satisfacer exactamente su demanda y laexterna?

2.27 Cada uno de los siguientes tres ingenieros tiene un despacho de asesorías: IC (civil), IE(electricista) e IM (mecánico). En estos despachos se atienden varias disciplinas, por lo cual cadaingeniero puede recurrir a los servicios de los otros dos. Por cada $1.00 de asesoría que presta IC, éstepaga $0.10 de asesoría a IE y $0.20 a IM. IE no requiere los servicios de sus dos colegas. Por cada$1.00 de asesoría que vende IM, éste paga $0.10 por los servicios de IC y $0.50 por los de IE. En unadeterminada semana, IC no recibe a ningún cliente externo, mientras que IE e IM reciben solicitudesde asesoría externa por $90 y $980, respectivamente. En esa semana, ¿cuánto ganará cada ingeniero entotal por sus servicios de asesoría?

2.28 Las siguientes tablas de insumo-producto representan economías hipotéticas con dosindustrias. Las cantidades están dadas en millones de pesos al año. En cada caso

i. Complete la tabla de ser necesario.ii. Calcule las matrices de tecnología y de Leontief.iii. Calcule la producción total de A y B que se necesita para satisfacer la demanda indicada.iv. Escriba la tabla de insumo-producto que corresponde a la demanda indicada.a)

60202020B

80303020A

Producción TotalDemanda FinalBA

60202020B

80303020A


Nueva demanda final (90,30)

b)

6090300B

90270240A


6090300B

90270240A



33

c)

600200200B

800300200A


600200200B

800300200A



2.29 En cada uno de los incisos siguientes escriba la solución general del sistema nohomogéneo Ax = b como una solución particular de este sistema más la solución general del sistemahomogéneo Ax = 0

(a) A =1 −1

−3 3b =

2

−6

(b) A =1 2

3 4b =

1

1

(c) A =

1 2 3 4

2 4 7 9

−3 −6 −9 −12

b =

0

1

0

(d) A =3 0 −1 0

−6 0 2 0b =

2

−4

(e) A =

2 4 0 1

1 2 −1 3

−1 −2 5 −13

b =

3

2

−4

f) A =

2 −1 5 −3

2 1 1 3

4 −1 8 −3

b =

−9

13

−7

34

Ejercicios de Repaso

2.30 Productos Unidos, S.A. fabrica calculadoras y tiene plantas en las ciudades de Exton yWhyton. En la planta de Exton los costos fijos son de $7000 por mes, y el costo de producir cadacalculadora es de $7.50. En la planta de Whyton los costos fijos son de $8800 por mes, y cadacalculadora cuesta $6 producirla. Si el mes siguiente, Productos Unidos debe producir 1500calculadoras, ¿cuántas debe producir cada planta si el costo total en cada una debe ser el mismo?

2.31 Una compañía paga a sus trabajadores calificados $15 por hora en su departamento deensamblado. Los trabajadores semicalificados en ese departamento ganan $9 por hora. A losempleados de envíos se les paga $10 por hora. A causa de un incremento en los pedidos, la compañíanecesita contratar un total de 70 trabajadores en los departamentos de ensamblado y envíos. Pagará untotal de $760 por hora a estos empleados. A causa de un contrato con el sindicato, deben emplearse eldoble de trabajadores semicalificados que de trabajadores calificados. ¿Cuántos trabajadoressemicalificados, calificados y empleados de envíos debe contratar la compañía?

2.32 Una compañía paga a sus agentes de ventas con base en un porcentaje de los primeros$100,000 en ventas, más otro porcentaje sobre cualquier cantidad que rebase esos $100,000. Si unagente recibió $8,500 por ventas de $175,000, y otro, recibió $14,800 por ventas de $280,000,encuentre los dos porcentajes.

2.33 Si las ecuaciones de oferta y demanda de cierto producto son 125p − q − 250 = 0 y100p + q − 1100 = 0, respectivamente, encuentre el precio de equilibrio.

2.34 Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión, estándar (E), de lujo(D) y Gold Star (G).

Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 de tipo B y 8 tipo C.Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 tipo B y 28 de C.Cada unidad de G tiene 32 acciones tipo A, 28 tipo B y 36 de C.Suponga que un inversionista desea comprar exactamente 220 acciones tipo A, 176 tipo B y 264

tipo C, comprando unidades de los tres fondos.

a. Determine las combinaciones de unidades E, D y G que satisfagan los requerimientos delinversionista.

b. Suponga que cada unidad de E cuesta al inversionista $300 (las de D y G, $400 y $600respectivamente). ¿Cuáles de las combinaciones de la parte (a) minimizarán el costo total delinversionista?

2.35 Un grupo de inversionistas decide invertir $500,000 en las acciones de tres compañías. Lacompañía D vende en $60 una acción y tiene un rendimiento esperado de 16% anual. La compañía Evende en $80 cada acción y tiene un rendimiento esperado de 12% anual. La compañía F vende cadaacción en $30 y tiene un rendimiento esperado de 9% anual. El grupo planea comprar cuatro veces másacciones de la compañía F que de la compañía E. Si la meta del grupo es 13.68% de rendimientoanual, ¿cuántas acciones de cada compañía deben comprar los inversionistas?

35

2.36 Dada la siguiente matriz de insumo -producto:

800600Otros

900200400Gobierno

500500200EducaciónIndustria

Demanda FinalGobiernoEducación

Industria

800600Otros

900200400Gobierno

500500200EducaciónIndustria

Demanda FinalGobiernoEducación

Industria

Encuentre la matriz de producción, si la demanda final cambia a 600 para Educación y 805 paraGobierno. Encuentre el valor total de los otros costos de producción que esto implica.

2.37 Dada la matriz de insumo-producto

400300200Otros

400300100200Manufactura

300100400200Agricultura

200200200400Gobierno

Industria

Demanda FinalManufacturaAgriculturaGobierno

Industria

400300200Otros

400300100200Manufactura

300100400200Agricultura

200200200400Gobierno

Industria

Demanda FinalManufacturaAgriculturaGobierno

Industria

con entradas en miles de millones de dólares, determine la matriz de producción para la economía,si la demanda final cambia a 300 para Gobierno, 350 para Agricultura y 450 para Manufactura.Redondee las entradas al entero de miles de millones de dólares más cercano.

36

SOLUCIONES

2.1a)

x + y = 0

x + y = 1

b)

x + y = 0

x − y = 0

Estas rectas se intersectan en el origen.

c)

x + y = 0

2x + 2y = 0

2.2a)

x + y + z = 0

x + y + z = 1

x + y + z = 2

b)

x = 1

y = 2

z = 3

Estos tres planos se intersectan en el punto 1, 2,3.

c)

x = 0

y = 0

x − y = 0

Estos tres planos son verticales y se intersectan en el eje Z.

d)

x + y + z = 0

2x + 2y + 2z = 0

3x + 3y + 3z = 0

37

2.3

a) El sistema no tiene solución porque las tres rectas no se intersectan simultáneamente enningún punto.

b) El nuevo sistema tiene solución única: x = 1, y = 2.

2.4

a) Sí b) Noc) No d) Noe) Sí f) No

2.5 En el inciso (i) indicamos la matriz aumentada pedida. En el inciso (ii) damos una matrizaumentada en forma escalonada. Esta matriz la obtuvimos de la matriz en (i) aplicando el metodo deeliminación gaussiana. El estudiante debe observar que esta matriz no es única. Es posible llegar a

38

diferentes matrices en forma escalonada partiendo de una misma matriz.

a) i.2 4 ∣ 6

3 6 ∣ 5ii.

1 2 ∣ 3

0 0 ∣ −4

Como hay una inconsistencia el sistema no tiene solución.

b) i.2 −4 ∣ 6

−4 6 ∣ 2ii.

1 −2 ∣ 3

0 1 ∣ −7

El sistema sí tiene solución.iii. El sistema no tiene grados de libertad y tiene dos pivotes. La solución es única:

x = −11, y = −7

c) i.

1 3 ∣ 6

2 −2 ∣ 4

4 4 ∣ −8

ii.

1 3 ∣ 6

0 1 ∣ 1

0 0 ∣ 3

Como hay una inconsistencia el sistema no tiene solución.

d) i.

1 5 11 ∣ −5

2 3 8 ∣ 4

−1 2 3 ∣ −9

ii.

1 5 11 ∣ −5

0 1 2 ∣ −2

0 0 0 ∣ 0

El sistema sí tiene solución.

iii. El sistema tiene un grado de libertad y dos pivotes. La solución general es: en formaparamétrica

x = 5 − t, y = −2 − 2t, z = t

o en forma vectorial paramétricax,y, z = 5,−2,0 + t−1,−2,1

e) i.

3 1 4 ∣ 5

6 4 5 ∣ 11

−3 1 −6 ∣ −4

ii.

1 1/3 4/3 ∣ 5/3

0 1 −3/2 ∣ 1/2

0 0 1 ∣ 0

iii. El sistema no tiene grados de libertad y tiene tres pivotes. La solución es única:x = 3/2, y = 1/2, z = 0

f) i.

1 2 3 0 ∣ 3

0 0 1 2 ∣ −1

2 4 4 −4 ∣ 8

ii.

1 2 3 0 ∣ 3

0 0 1 2 ∣ −1

0 0 0 0 ∣ 0

El sistema sí tiene solución.iii. El sistema tiene dos grados de libertad y dos pivotes. La solución general es: en forma

39

paramétricaw = 6 − 2t + 6s,x = t,y = −1 − 2s, z = s

o en forma vectorial paramétricaw,x,y, z = 6, 0,−1,0 + t−2,1,0,0 + s6,0,−2,1

g) i.

2 −4 0 0 ∣ 10

1 −3 0 1 ∣ −4

1 0 −1 2 ∣ 4

3 −4 3 −1 ∣ −11

ii.

1 −2 0 0 ∣ 5

0 1 0 −1 ∣ 9

0 0 1 −4 ∣ 19

0 0 0 13 ∣ −101

El sistema sí tiene solución.iii. El sistema no tiene grados de libertad y tiene cuatro pivotes. La solución es única:

w = 97/13, x = 16/13, y = −157/13, z = −101/13

h) i.

1 −2 1 −1 ∣ 4

2 −3 2 −3 ∣ −1

3 −5 3 −4 ∣ 3

−1 1 −1 2 ∣ 5

ii.

1 −2 1 −1 ∣ 4

0 1 0 −1 ∣ −9

0 0 0 0 ∣ 0

0 0 0 0 ∣ 0

El sistema sí tiene solución.iii. El sistema tiene dos pivotes y dos grados de libertad. La solución general es: en forma

paramétrica.w = −14 + 3t − s,x = t − 9,y = s, z = t

o en forma vectorial paramétricaw,x,y, z = −14,−9,0,0 + s−1,0,1,0 + t3,1,0,1

i) i.

2 1 −1 −1 1 ∣ 0

1 −1 1 1 −2 ∣ 0

3 3 −3 −3 4 ∣ 0

4 5 −5 −5 7 ∣ 0

ii.

1 −1 1 1 −2 ∣ 0

0 3 −3 −3 5 ∣ 0

0 0 0 0 0 ∣ 0

0 0 0 0 0 ∣ 0

El sistema sí tiene solución.iii. El sistema tiene dos pivotes y tres grados de libertad. La solución general es: en forma

paramétricax1 = 1

3 t, x2 = r + s − 53 t, x3 = r, x4 = s, x5 = t

o en forma vectorial paramétricax1,x2,x3,x4,x5 = r0,1,1,0,0 + s0,1,0,1,0 + t1/3,−5/3,0, 0,1

2.6 La matriz aumentada del sistema es:

40

1 −2 1 ∣ 2

2 1 1 ∣ 4

0 5 −1 ∣ c

1 −2 1 ∣ 2

0 5 −1 ∣ 0

0 0 0 ∣ c

Esto muestra que el sistema es inconsistente cuando c ≠ 0, y que es consistente cuando c = 0

2.7 La matriz aumentada del sistema es:

3 2 −4 ∣ a

−4 1 −1 ∣ b

7 12 −22 ∣ c

Después de aplicar el método de eliminación gaussiana llegamos a la matriz aumentada

3 2 −4 ∣ a

0 11 −19 ∣ 4a + 3b

0 0 0 ∣ −5a − 2b + c

Vemos entonces que el sistema es consistente solamente cuando −5a − 2b + c = 0. En este caso elsistema tiene un grado de libertad y por lo tanto hay una infinidad de soluciones.

2.8a) a ≠ 0, b ≠ 0

b) a = b = c = d = 0o bien a = 0,b ≠ 0,c = −do bien a ≠ 0,b = 0,c = d

c) a = 0,c ≠ −d ó b = 0,c ≠ d

2.91) Planteamiento:

x = número de faldas que hace el empleado por semanay = número de sacos que hace el empleado por semana

100x + 300y = 2400x − 3y = 0

41

2) Solución del sistema:x = 12, y = 4

3) Interpretación de la solución:El empleado deberá hacer 12 faldas y 4 sacos por semana.

2.101) x = número de piezas sin hoyo que sella la máquina por semana

y = número de piezas con hoyo que sella la máquina por semana

x − 4y = 0

x/480 + y/200 = 40

2)x = 12,000 , y = 3,000

3) La máquina sella por semana 12,000 piezas sin hoyo y 3,000 piezas con hoyo.

2.111) x i= número de bacterias tipo i que se mantienen en el tubo, i = 1,2,3

x1 + x2 + x3 = 15000

x1 + 2x2 + 3x3 = 30000

x1 + 3x2 + 5x3 = 40000

2) El sistema de ecuaciones no tiene solución.3) Los tres tipos de bacterias no pueden coexistir con las cantidades de alimento

proporcionado.

2.121) x i= número de bacterias tipo i que se mantienen en el tubo, i = 1,2,3

x1 + x2 + x3 = 20000

x1 + 2x2 + 3x3 = 30000

x1 + 3x2 + 5x3 = 40000

2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es:x1 = 10000 + t, x2 = 10000 − 2t, x3 = t

3) Los valores de las variables deben ser enteros mayores o iguales a cero, pues indican unnúmero de bacterias. De esto se sigue que t debe ser un número entero en el intervalo 0 ≤ t ≤ 5000.Por lo tanto hay 5001 soluciones diferentes: si t es un número entero entre 0 y 5000 obtenemos lasolución.

x1 = 10000 + t, x2 = 10000 − 2t, x3 = t

42

2.131) x i = número de peces de la especie i, i = 1,2,3

x1 + 3x2 + 2x3 = 15000

x1 + 4x2 + x3 = 10000

2x1 + 5x2 + 5x3 = 35000

2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución general es:

x1 = 30000 − 5t, x2 = −5000 + t, x3 = t

3) Como las variables indican un número de peces, los valores que tomen deben ser enterosmayores o iguales a cero. De esto se sigue que t debe ser un número entero en el intervalo5000 ≤ t ≤ 6000.

Por lo tanto hay 1,001 soluciones diferentes. Si t es un número entero entre 5000 y 6000,obtenemos la solución

x1 = 30000 − 5t, x2 = −5000 + t, x3 = t

2.141)

x = número de camiones del tipo Ay = número de camiones del tipo Bz = número de camiones del tipo C

2x + y + z = 32y + 2z = 10


x = 11 + t/2,y = 10 − 2t, z = t

3) Como las variables indican un número de camiones, los valores que pueden tomar sonenteros no negativos. Para que esto suceda t debe ser un entero par en el intervalo 0 ≤ t ≤ 5. Por lotanto hay 3 soluciones:

11,10,0, 12,6,2 y 13,2,4

La más económica es la que utiliza menos camiones, es decir: 13 camiones tipo A, 2 camiones tipoB y 4 camiones tipo C.

2.151) x = número de kilos de nueces

y = número de kilos de almendrasz = número de kilos de cacahuates

4x − z = 0

x − y = 0

x + y + z = 20

43

2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es:

x = 10/3, y = 10/3, z = 40/3

3) Hay que adquirir 3 13 kilos de nuez, 3 1

3 kilos de almendra y 13 13 kilos de cacahuates.

2.161) x = número de horas al día dedicadas a estudiar

y = número de horas al día dedicadas a jugar bolichez = número de horas al día dedicadas a otras actividades

x + y + z = 16

20x + 120y + 40z = 600

2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución es:

x = 665

− 45

t, y = 145

− 15

t, z = t

3) Como las variables sólo pueden tomar valores mayores o iguales a cero, el parámetro t varíaen el intervalo 0 ≤ t ≤ 14. Para cualquier número t en este intervalo el estudiante puede dividir sutiempo como sigue: 13.2 −. 8t horas para estudiar, 2. 8 − . 2t horas para jugar boliche y t horas paraotras actividades.

2.171) x = número de acciones de aviación que tiene el inversionista

y = número de acciones de hoteles que tiene el inversionistaz = número de acciones de alimentos que tiene el inversionista

− x − 1.5y +. 5z = −350

1.5x −. 5y + z = 600

2) El sistema tiene un grado de libertad. La solución es:

x = 430011

− 511

t, y = − 30011

+ 711

t, z = t

3) Como las variables deben tomar valores enteros mayores o iguales a cero, el parámetro tdebe ser un número entero en el intervalo 43 ≤ t ≤ 860. Además t debe asegurar que 4300

11 − 511 t y

− 30011 + 7

11 t sean números enteros. Utilizando elementos de Teoría de Números se puede ver que paraque esto suceda t debe ser de la forma 2 + 11k, con k entero. Como t está en el intervalo arribamencionado, k debe satisfacer las desigualdades 43 ≤ 2 + 11k ≤ 860. Resolviendo estas desigualdadespara k entero, obtenemos que 4 ≤ k ≤ 78. Así vemos que hay 75 soluciones diferentes. Por ejemplo, sik = 4, t = 46 y obtenemos la solución (370, 2, 46). Si k = 78, t = 860 y obtenemos la solución (0,

44

520, 860). En resumen: el sistema tiene más de una solución. Por lo tanto el corredor no poseeinformación suficiente para calcular el número de acciones de la inversionista.

Si ahora ella dice tener 200 acciones de alimentos, se sigue de la solución general que lainversionista tiene 300 acciones de aviación y 100 acciones de hoteles.

OBSERVACION. En este curso no se espera que el estudiante sepa Teoría de Números. Hicimosun análisis detallado del problema para mostrar que es posible describir todas las soluciones enterasusando otro tipo de herramienta matemática.

Del estudiante se espera sólo que se dé cuenta que hay más de una solución posible a los datosproporcionados por la inversionista.

2.181) x i = número de unidades de producción enviadas a la tienda i a la semana, i = 1,2,3

x1 − x2 − x3 = 0

x2 − 1.1x3 = 0

x1 + x2 + x3 = 42

2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es

x1 = 21, x2 = 11, x3 = 10

3) La fábrica envía a la semana 21 unidades a la tienda 1, 11 unidades a la tienda 2, y 10unidades a la tienda 3.

2.191) Las variables están definidas en el diagrama

r1 + r2 = 100

r1 − r3 + r4 = 0

r2 + r3 = 300


r1 = −200 + t, r2 = 300 − t, r3 = t, r4 = 200

con 200 ≤ t ≤ 3003)

i. Si r3 = 300, entonces r1 = 100, r2 = 0, r4 = 200ii. Si r1 = 50, entonces r2 = 50, r3 = 250, r4 = 200iii. Si r2 = 100, entonces r1 = 0, r3 = 200, r4 = 200

2.20

45

1) x i = número de personas del grupo indígena i hace 10 años, i = 1,2,3

x1 + x2 + x3 = 2000

x1 +. 5x2 − x3 = 500

x1 −. 5x2 = 0

2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es:

x1 = 500, x2 = 1000, x3 = 500

3) La población inicial era la siguiente: 500 personas del grupo indígena I, 1000 del grupoindígena II y 500 del grupo indígena III.

2.21 Para cada inciso las variables están definidas en el diagrama correspondiente.a) 1)

x1 + x2 = 600

x2 + x3 = 1100

x3 − x4 = 100

− x1 + x4 = 200

2) El sistema es inconsistente, no tiene solución.3) No es posible que entren y salgan al sistema de calles las cantidades de vehículos

indicadas. La razón es que la cantidad total de vehículos que entran al sistema de calles, en este caso1200, es diferente de la cantidad total de vehículos que salen del sistema de calles, en este caso 1400.

b)1)

x1 − x2 = 300

x2 − x3 = 50

x3 − x4 = −150

− x1 + x4 = −200


x1 = 200 + t, x2 = −100 + t, x3 = −150 + t, x4 = t

3) Los valores de las variables sólo pueden ser números enteros mayores o iguales a cero. Estoimpone la restricción t ≥ 150 en el parámetro. Así, los valores posibles para x1, x2, x3, x4 son losindicados en (2) con la restricción t ≥ 150. En este caso hay solución porque el número de vehículosque entran al sistema de calles es igual al número de vehículos que salen del sistema. Este número es1200.

El valor mínimo para x1 es 350 y el valor mínimo para x3 es 0.Obsérvese que las variables pueden tomar valores arbitrariamente grandes. Esto se debe a que

46

falta un dato: el número máximo de vehículos que puede circular por cada calle. Con esta informaciónobtendríamos restricciones adicionales en el parámetro t.

c)1)

x1 − x2 = −150

x2 − x3 = −300

x3 − x4 = −100

− x1 + x4 = 50

2) El sistema es inconsistente. No tiene solución.3) Misma explicación que en (a).d)1)

x1 + x2 = 300

x2 − x3 = 0

x3 + x4 = 300

− x1 + x4 = 0


x1 = t, x2 = 300 − t, x3 = 300 − t, x4 = t

3) Los valores posibles que pueden tomar las variables son los indicados en (2) con larestricción adicional: t es un entero en el intervalo 0 ≤ t ≤ 300. El valor mínimo de x1 es 0, y el valormínimo de x3 es 0.

e)1)

x1 + x2 = 400

x2 − x3 = 50

x3 + x4 = 400

− x1 + x4 = −50

2) El sistema es inconsistente. No tiene solución.3) Misma explicación que en (a).f)1)

x1 − x2 = −100

x2 + x3 = 400

x3 + x4 = 300

− x1 + x4 = 0


47

x1 = t, x2 = 100 + t, x3 = 300 − t, x4 = t

3) Los valores posibles que pueden tomar las variables son los indicados en (2) con larestricción adicional: t es un entero en el intervalo 0 ≤ t ≤ 300. El valor mínimo de x1 es 0, y el valormínimo de x3 es 0.

2.221) x = número de días que estuvo en Inglaterra

y = número de días que estuvo en Franciaz = número de días que estuvo en España

30x + 20y + 20z = 340

20x + 30y + 20z = 320

10x + 10y + 10z = 140

2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es:x = 6, y = 4, z = 4

3) El turista estuvo 6 día en Inglaterra, 4 días en Francia y 4 días en España.

2.231) x = número de aviones de caza

y = número de bombarderos

x + y = 60

6x + 2y = 250

x − 2y = 0

2) El sistema es inconsistente. No tiene solución.3) La información del agente es incorrecta porque el sistema es inconsistente.

2.241) x = valor de la cosecha de jitomate

y = valor de la cosecha de maízz = valor de la cosecha de lechuga

12

x − 13

y − 14

z = 0

− 13

x + 23

y − 14

z = 0

− 16

x − 13

y + 12

z = 0


48

x = 98

t, y = 1516

t, z = t

3) La cosecha de menor valor siempre será la de maíz. Por lo tanto t = 160015 . Entonces el valor

de las cosechas será: jitomate $120, maíz $100, lechuga $106.67.

2.251) x = salario diario de la D. Finanzas

y = salario diario de la D. Recursos Humanosz = salario diario de la D. Logística

8x − y − 6z = 0

− 4x + 5y − z = 0

− 4x − 4y + 7z = 0


x = 3136

t, y = 89

t, z = t

3) Como los valores de x, y y z deben estar comprendidos en el intervalo de 60 a 80,obtenemos que el parámetro debe estar en el intervalo 69.68 ≤ t ≤ 80 . Para cualquier valor de t eneste intervalo obtenemos, utilizando los valores dados en (2), una solución diferente al problema.

2.261) x = producción semanal en pesos de carbón mineral

y = producción semanal en pesos de electricidadz = producción semanal en pesos de transporte

x − 1320

y − 710

z = 33000

− 15

x + 910

y − 110

z = 17000

− 14

x − 14

y + z = 0

2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es:x = 80,000, y = 40,000, z = 30,000

3) La producción semanal de carbón mineral debe ser de $80,000, la de electricidad de$40,000, y la del ferrocarril de $30,000.

2.271) x = ingreso semanal, en pesos, del ingeniero civil

y = ingreso semanal, en pesos, del ingeniero electricista

49

z = ingreso semanal, en pesos, del ingeniero mecánico

x − 110

z = 0

− 110

x + y − 12

z = 90

− 15

x + z = 980

2) El sistema no tiene grados de libertad. La única solución es:x = 100, y = 600, z = 1000

3) El ingeniero civil gana semanalmente $100, el ingeniero electricista gana $600 y el ingenieromecánico $1000.

2.28a) i. La tabla está completa.

ii. La matriz de tecnología es14

12

14

13

La matriz de Leontief es34 − 1

2

− 14

23

iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser,respectivamente, 200 y 120.

iv.

120304050B

200906050A


120304050B

200906050A


b)i.

50

4506090300B

60090270240A


4506090300B

60090270240A


ii. La matriz de tecnología es2/5 3/5

1/2 1/5

La matriz de Leontief es3/5 −3/5

−1/2 4/5

iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser, respectivamente,de 630 y 525 unidades.

iv.

525105105315B

63063315252A


525105105315B

63063315252A


c)i.

600200200200B

800300300200A


600200200200B

800300300200A


ii. La matriz de tecnología es1/4 1/2

1/4 1/3

La matriz de Leontief es3/4 −1/2

−1/4 2/3

51

iii. La producción total de A y B para satisfacer la nueva demanda debe ser, respectivamente,de 1520 y 1020 unidades.

iv.

1020300540380B

1520630510380A


1020300540380B

1520630510380A


Comentario. El estudiante habrá observado que las matrices de tecnología de los incisos (a) y (c)son iguales. En ambos casos se trata de la misma economía, pero con diferentes niveles de producción.

2.29

(a) x,y = 2,0 + t1,1(b) x,y = −1,1 + t0,0(c) w, x,y, z = −3,0,1,0 + s−2,1,0,0 + t−1,0,−1,1(d) w, x,y, z = 2/3,0,0,0 + r0,1,0,0 + s1/3,0,1,0 + t0,0,0,1(e) w, x,y, z = 3/2,0,−1/2,0 + s−2,1,0,0 + t−1/2,0,5/2,1(f) w,x,y, z = 1,11,0,0 + s−3/2,2,1,0 + t0,−3,0,1

2.30 800 calculadoras de la Planta Exton700 calculadoras de la Planta Whyton

2.31 20 trabajadores calificados40 trabajadores semicalificados10 empleados de envíos

2.32 4% sobre los primeros $ 100,0006% sobre el resto

2.33 precio = 6

2.34a) Sean e,d,g el número de unidades de E,D y G respectivamente.

e = 5 − t

d = 8 − t

g = t

Las seis combinaciones están dadas por

52

543210g

345678d

012345e

543210g

345678d

012345e

b) La combinación e=0 d=3 g= 5

2.35 D: 5000 acciones E: 1000 acciones F: 4000 acciones

2.361290

1425; 1405

2.37;

1301

1215

1188

53

3. ALGEBRA DE MATRICES

3.1 Efectúe los cálculos indicados cuando

A =1 0 −3

0 2 4B =

2 3 0

1 0 2y C =

0 1 0

−5 0 −2

a) A + B b) 4A c) 12 A − 4C

d) 0B e) A − 32 B + 2C

3.2 Efectúe los cálculos indicados cuando

A =

1

3

0

B =

5

0

−2

y C =

0

4

7

a) 2A + 4B − 15 C b) 3A − 2B + 2C c) A − 52A + 1

4 C

3.3 Si A =1 3 5 7

2 4 6 8y B =

1 0 3 0

0 2 0 4

Encuentre una matriz C tal quea) 3A + 2C = B b) 2A + B − 1

3 C = 0Aquí 0 denota la matriz "cero" del tamaño correspondiente.

3.4 Un fabricante de joyería tiene pedidos por dos anillos, tres pares de aretes, cincoprendedores y un collar. El fabricante estima que requiere 1 hora de trabajo el elaborar un anillo, 1 1

2horas el hacer un par de aretes, 1

2 hora hacer un prendedor y 2 horas la elaboración de un collar.a) Exprese las órdenes de trabajo o pedidos como una matriz 1 x 4.b) Exprese los tiempos de elaboración de los diversos productos como una matriz 4 x 1.c) Utilice el producto de matrices para determinar el número total de horas que se requerirán

para surtir los pedidos.

3.5 Una compañía les paga a sus ejecutivos su sueldo y les concede participación en lasacciones como gratificación anual. El año pasado, el presidente recibió 80,000 unidades monetarias(u.m.) y 50 acciones, cada uno de los tres vicepresidentes recibió 45,000 u.m. y 20 acciones, y eltesorero, 40,000 u.m. y 10 acciones.

a) Exprese los pagos en dinero y en acciones por medio de una matriz de 2x3.b) Exprese el número de ejecutivos de cada categoría por un vector columna.c) Utilice la multiplicación de matrices para calcular la cantidad total de dinero y de acciones

54

que erogó la compañía en el pago a sus funcionarios principales el último año.

3.6 Si A =1 0 2

0 3 −4y B =

−5

2

7

,

Calcule AB, A2B, 2AB y 2AB.

3.7 Construya ejemplos de matrices de 2 x 2 tales quea) AB ≠ BA

b) A2 = −1c) B2 = 0 y B ≠ 0d) CD = −DC y CD ≠ 0e) EF = 0 y ninguna entrada de E o de F es cero

f)1 0

0 0B =

1 0

0 0C ; pero B ≠ C

3.8 ¿Cuáles de las siguientes matrices son con seguridad iguales a A + B2?

B + A2, A2 + 2AB + B2, AA + B + BA + B, A + BB + A, A2 + AB + BA + B2

3.9 Calcule todas las potencias A2, A3,..., Ande las siguientes matrices.

a) A =1/2 1/2

1/2 1/2b) A =

1 0

0 −1c) A =

1/2 −1/2

1/2 −1/2

d) A =1 1

1 1e) A =

0 1 0

0 0 1

1 0 0

f) A =

0 1 0

0 0 1

0 0 0

3.10 Encuentre una matrizw x

y ztal que

2 1

5 3

w x

y z=

1 0

0 1

Sugerencia: plantee un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas y resuélvalo.

55

3.11 Dé la representación matricial de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.a)

x − y = 3

x + y = 7

b)

3x + 2y − z = 5

y + z = 0

2x + 7z = −3

c)

2x − y + z = 3

− w − 3y + 4z = 2/7

3.12 Verifique que

a)a b

c d

x

y= x

a

c+ y

b

d

b)a b c

d e f

x

y

z

= xa

d+ y

b

e+ z

c

f

c)

a b c

d e f

g h i

x

y

z

= x

a

d

g

+ y

b

e

h

+ z

c

f

i

3.13 Calcule las matrices transpuestas de las siguientes matrices. ¿Cuáles de ellas sonsimétricas?

a)

1

−2

3

b)1 1 1

1 1 1c)

1 2 3

4 5 6

7 8 9

d)1 2

2 3e)

1 2 3

2 4 5

3 5 6

f) 0 1 0

56

3.14 Si A =3

1y B =

2

2, calcule ATB, BTA, ABT, BAT

3.15 ¿Cuáles de las siguientes matrices son triangulares superiores, triangulares inferiores,diagonales?

a)1 2

2 3b)

1 0 0

0 2 0

0 0 3

c)

1 2 3

0 0 0

0 0 4

d)

1 0 1

0 3 0

2 4 0

e)

0 0 0

0 0 0

1 0 0

3.16 Decida si las siguientes matrices son invertibles. En caso afirmativo calcule la matrizinversa por el método de Gauss-Jordan.

a)3 2

1 2b)

1 3

−2 −6c)

3 8

0 5

d)2 0

−3 0e)

1 2 3

1 2 4

0 1 2

f)

2 −1 4

−1 0 5

19 −7 3

g)

2 0 1

0 3 2

0 0 5

h)

2 −1 11

1 5 0

3 2 13

i)

1 2 0

0 3 1

1 2 5

j)

2 0 1

0 4 1

4 0 5

k)

1 0 0 0

1/4 1 0 0

1/3 1/3 1 0

1/2 1/2 1/2 1

3.17 ¿Bajo qué condición es la matriz1 b

c dinvertible? Calcule la matriz inversa cuando

exista.

57

3.18 Invierta la matriz de Hilbert

A =

1 12

13

12

13

14

13

14

15

usando el método de Gauss-Jordan. Trabaje con quebrados.

3.19 Redondee las entradas de la matriz de Hilbert (a) a 2 decimales, (b) a 3 decimales, (c) a 5decimales. En cada caso invierta la matriz obtenida usando calculadora y compare los resultados con elejercico anterior.

3.20 Sea A una matriz cuadrada nxn invertible. Demuestre:a) Si B es una matriz nxm y AB = 0, entonces B = 0.b) Si B y C son matrices nxm y AB = AC, entonces B = C.c) AT es invertible y AT−1 = A−1T.d) Si A es simétrica, entonces A−1 es simétrica.

3.21 ¿Bajo qué condiciones es la matriz diagonal

a 0 0

0 b 0

0 0 c

invertible?

Calcule la inversa cuando ésta exista. Formule un resultado análogo para matrices diagonales nxn.

3.22 Calcule las matrices de incidencia asociadas a las siguientes gráficas:a)

58

b)

c)

d)

e)

59

f)

3.23 Calcule las gráficas asociadas a las siguientes matrices:

a)

1 1 0 1 0 0

0 0 0 1 0 0

0 1 1 0 1 0

0 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 1

b)

0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

c)

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 0 1 0 0

d)

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

3.24 Use las potencias de la matriz de incidencia calculada en el ejercicio 3.22c paradeterminar el número de caminos de 1 a 4 de longitudes dos, tres y cuatro.

3.25 ¿Cuántas gráficas dirigidas con n vértices hay? ¿Cuántas gráficas dirigidas, sin lazos, conn vértices hay?

3.26 ¿Qué se puede decir de la gráfica asociada a una matriz de incidencia simétrica?

60


3.27 Sean A =1 −6 2

−4 2 1, B =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

, C =

1 1

2 2

3 3

, D =1 0

2 3,

E =

1 2 3 4

0 1 6 0

0 0 2 0

0 0 6 1

, F = 6 2 , G =

5

6

1

, H =

1 6 2

0 0 0

0 0 0

, J = 4 ,

a. Establezca el orden de cada matriz. d. ¿Cuáles son vectores renglón?b. ¿Cuáles matrices son cuadradas? e. ¿Cuáles son vectores columna?c. ¿Cuáles matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores?

3.28 Considere la siguiente matriz

A = a ij =

7 −2 14 6

6 2 3 −2

5 4 1 0

8 0 2 0

a) ¿Cuál es el orden de A?b) Determine las entradas siguientes.a43 a12 a32 a34 a44

c) ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal?

3.29 La compañía Widget tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matricescuyos renglones, en orden, representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo vendidos,mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules y púrpuras vendidas. Lasmatrices para enero (E) y febrero (F) son

E =

2 6 1 2

0 1 3 5

2 7 9 0

, F =

0 2 8 4

2 3 3 2

4 0 2 6

.

(a) En enero, ¿cuántas unidades de los modelos de extra lujo blancos se vendieron?(b) En febrero, ¿cuántos modelos de lujo azules se vendieron?

61

(c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares púrpuras?(d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en ambos meses?(e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo?(f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos?(g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?

3.30 Encuentre todos los valores de x para los cuales

x2 + 2000x x2

x2 lnex=

2001 −x

2001 − 2000x x

3.31 Realizar las operaciones indicadas.

a)

2 0 −3

−1 4 0

1 −6 5

+

2 −3 4

−1 6 5

9 11 −2

b)

1 4

−2 7

6 9

−

6 −1

7 2

1 0

c) 3 1 −3 1 + 2 −6 1 4 − 0 −2 7 4

d)1 2

3 4+

7

2

e) −62 −6 7 1

7 1 6 −2

f)

2 −4 0

0 6 −2

−4 0 10

+ 13

9 0 3

0 3 0

3 9 9

3.32 Calcule las matrices requeridas si

A =2 1

3 −3, B =

−6 −5

2 −3, C =

−2 −1

−3 3, O =

0 0

0 0.

62

a) −B b) 2O c) 2A − 2B d) 3A − C + 6e) 2B − 3A + 2C f) 1

2 A − 2B + 2C

3.33 Exprese la ecuación matricial

x2

1− y

−3

5= 2

8

11

como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo.

3.34 Resuelva las ecuaciones matriciales

a) 3x

y− 3

−2

4= 4

6

−2

b).

2

4

6

+ 2

x

y

4z

=

−10

−24

14

3.35 Una compañía de artículos electrónicos fabrica televisores, VCR y reproductores de CD endos plantas A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el minorista X, y lamatriz Y representa la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz querepresente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son comosigue:

A B A B

X=

TV

VCR

CD

20 40

45 30

15 10

; Y =

TV

VCR

CD

15 25

30 25

10 5

3.36 En los problemas siguientes realice las operaciones indicadas.

a)2 −4

3 2

4 0

−1 3b)

2 0 3

−1 4 5

1

4

7

63

c)

1 4 −1

0 0 2

−2 1 1

2 1 0

0 −1 1

1 1 2

d) −1 2 3

3 1 −1 2

0 4 3 1

−1 3 1 −2

e)

2

3

−4

1

2 3 −2 3

f) 3−2 0 2

3 −1 1+ 2

−1 0 2

1 1 −2

1 2

3 4

5 6

g)1 2

3 4

2 0 1

1 0 −2

1 −2

2 1

3 0

h)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

x

y

z

i)2 1 3

4 9 7

x1

x2

x3

3.37 En los problemas siguientes calcule las matrices requeridas si

A =1 −2

0 3B =

−2 3 0

1 −4 1C =

−1 1

0 3

2 4

D =

1 0 0

0 1 1

1 2 1

E =

3 0 0

0 6 0

0 0 3

F =

13 0 0

0 16 0

0 0 13

I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a) DI − 13 E b)3A − 2BC c) 2I − 1

2 EF d) DCA

64

3.38 Un agente de bolsa vendió a un cliente 200 acciones tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipoD. Los precios por acción de A, B, C y D son $100, $150, $200 y $300, respectivamente. Escriba unvector renglón que represente el número de acciones compradas de cada tipo. Escriba un vectorcolumna que represente el precio por acción de cada tipo. Utilizando la multiplicación de matricesencuentre el costo total de las acciones.

65

SOLUCIONES

3.1

a)3 3 −3

1 2 6b)

4 0 −12

0 8 16

c)1/2 −4 −3/2

20 1 10d)

0 0 0

0 0 0

e)−2 −5/2 −3

−23/2 2 −3

3.2

a)

22

26/5

−47/5

b)

−27

17

26

c)

−9

−32

−35/4

3.3

a)−1 −9/2 −6 −21/2

−3 −5 −9 −10b)

12 18 48 42

12 36 36 72

3.4

a) A = 2 3 5 1 b) B =

1

1.5

.5

2

c) AB = 11

3.5

a) A =80000 45000 40000

50 20 10b) B =

1

3

1

c) AB =255000

120

66

3.6

a) AB =9

−22b) A2B = 2AB = 2AB =

18

−44

3.7

a) Sean A =1 2

0 3y B =

−1 0

2 4

Entonces AB =3 8

6 12y BA =

−1 −2

2 16

b) Sea A =0 1

−1 0. Entonces A2 = −1

c) Sea B =2 4

−1 −2. Entonces B ≠ 0 y B2 = 0

d) Sean C =2 −1

1 −2y D =

−1 2

−2 1

Entonces CD =0 3

3 0y CD = −DC

e) Sean E =2 3

4 6y F =

−3 3

2 −2Entonces EF = 0

f) Sean B =1 2

3 4y C =

1 2

5 6

Entonces1 0

0 0B =

1 0

0 0C y B ≠ C

3.8 Las siguientes matrices son siempre iguales a A + B2:

B + A2, AA + B + BA + B, A + BB + A, A2 + AB + BA + B2.La matriz A2 + 2AB + B2 puede ser distinta de A + B2

67

3.9

a) An =1/2 1/2

1/2 1/2, n ≥ 1

b) An =1 0

0 1si n es par; An =

1 0

0 −1si n es impar.

c) An =0 0

0 0, n ≥ 2 d) An = 2An−1 =

2n−1 2n−1

2n−1 2n−1, n ≥ 2

e) A2 =

0 0 1

1 0 0

0 1 0

, A3 = I, A4 = A

Si n ≥ 1 sea r el residuo que se obtiene al dividir n entre 3, r = 0,1,2. Entonces An es igual a:

I si r = 0,A si r = 1,A2 si r = 2.

f) A2 =

0 0 1

0 0 0

0 0 0

, An = 0 si n ≥ 3.

3.10 Se obtiene el sistema de ecuaciones:

2w + y = 1

2x + z = 0

5w + 3y = 0

5x + 3z = 1

El sistema tiene solución única. La matriz buscada es:

w x

y z=

3 −1

−5 2

3.11

68

a)1 −1

1 1

x

y=

3

7b)

3 2 −1

0 1 1

2 0 7

x

y

z

=

5

0

−3

c)2 −1 1 0

0 −3 4 −1

x

y

z

w

=327

3.12 En cada inciso desarrollamos ambos lados de la igualdad obteniendo la misma matriz:

a)ax + by

cx + dyb)

ax + by + cz

dx + ey + fzc)

ax + by + cz

dx + ey + fz

gx + hy + iz

3.13

a)

1

−2

3

T

= 1 −2 3

b)1 1 1

1 1 1

T

=

1 1

1 1

1 1

c)

1 2 3

4 5 6

7 8 9

T

=

1 4 7

2 5 8

3 6 9

No es simétrica.

d)1 2

2 3

T

=1 2

2 3Sí es simétrica.

e)

1 2 3

2 4 5

3 5 6

T

=

1 2 3

2 4 5

3 5 6

Sí es simétrica.

69

f) 0 1 0T

=

0

1

0

3.14 ATB = 3 12

2= 8

BTA = 2 23

1= 8

ABT =3

12 2 =

6 6

2 2

BAT =2

23 1 =

6 2

6 2

3.15a) No es nada. b) Diagonal.c) Triangular superior. d) No es nada.e) Triangular inferior.

3.16 Una matriz cuadrada es invertible si el número de pivotes es igual al número de columnas.

a) Sí. A−1 =1/2 −1/2

−1/4 3/4b) No

c) Sí. A−1 =1/3 −8/15

0 1/5d) No

e) Sí. A−1 =

0 1 −2

2 −2 1

−1 1 0

f) No

g) Sí. A−1 =

1/2 0 −1/10

0 1/3 −2/15

0 0 1/5

h) No

70

i) Sí. A−1 =

13/15 −2/3 2/15

1/15 1/3 −1/15

−1/5 0 1/5

j) Sí. A−1 =

5/6 0 −1/6

1/6 1/4 −1/12

−2/3 0 1/3

k) Sí. A−1 =

1 0 0 0

−1/4 1 0 0

−1/4 −1/3 1 0

−1/4 −1/3 −1/2 1

3.17 Llevamos la matriz A =1 b

c da la forma escalonada U. Para esto restamos al

segundo renglón c veces el primero. Obtenemos la matriz U =1 b

0 d − bc. Sabemos que A es

invertible si y sólo si U tiene dos pivotes, es decir, si y sólo si d − bc ≠ 0 o equivalentemente d ≠ bc,

en cuyo caso A−1 = 1d−bc

d −b

−c 1

3.18 A−1 =

9 −36 30

−36 192 −180

30 −180 180

3.19

a) A =

1 .5 .33

.5 .33 .25

.33 .25 .2

A−1 =

55.5556 −277.778 255.556

−277.778 1446.03 −1349.21

255.556 −1349.21 1269.84

b) A =

1 .5 .333

.5 .333 .25

.333 .25 .2

A−1 =

9.67066 −39.5082 33.2836

−39.5082 210.186 −196.951

33.2836 −196. 951 195.772

71

c) A =

1 .5 . 33333

.5 . 33333 .25

.33333 .25 .2

A−1 =

9.06174 −36.3232 30.3026

−36.3232 193.675 −181.562

30.3026 −181.562 181.453

3.20a) Suponemos AB = 0. Como A es invertible podemos multiplicar por A−1 ambos lados de la

igualdad. Así obtenemos la cadena de igualdadesB = IB = A−1AB = A−1AB = A−10 = 0

b) Suponemos AB = AC. Como A es invertible podemos multiplicar por A−1 ambos lados de laigualdad. Así obtenemos la cadena de igualdades

B = IB = A−1AB = A−1AB = A−1AC = A−1AC = IC = C

c) Para ver que AT es invertible y que AT−1 = A−1T basta probar queATA−1T = I = A−1TAT

Esto se sigue de las igualdades:ATA−1T = A−1AT = IT = I = IT = AA−1T = A−1TAT

d) Utilizando que A = AT del inciso anterior obtenemos queA−1 = AT−1 = A−1T

Por lo tanto A−1 es simétrica.

3.21 La matriz

a 0 0

0 b 0

0 0 c

es invertible si y sólo si a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0.

En general una matriz diagonal de tamaño nxn es invertible si y sólo si todos los elementos de ladiagonal son distintos de cero.

3.22

a)

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

1 1 0 1 1

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

b)

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

72

c)

0 1 1 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

d)

1 1 1

1 0 1

1 1 0

e)

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

1 1 0 1 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0

f)

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 1 0 0

3.23a)

b)

73

c)

d)

3.24 A2 =

0 0 2 3 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

Hay tres caminos de longitud dos de 1 a 4.

A3 =

0 0 0 2 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Hay dos caminos de longitud tres de 1 a 4. A4 = 0.No hay caminos de longitud cuatro de 1 a 4.

74

3.25 Hay 2n2

gráficas dirigidas con n vértices, y hay 2n2−ngráficas dirigidas, sin lazos, con n

vértices.

3.26 Dados dos vértices distintos cualesquiera de la gráfica o no hay aristas entre ellos, o hayaristas en ambos sentidos.

3.27a) A2 × 3 B3 × 3 C3 × 2 D2 × 2 E4 × 4

F1 × 2 G3 × 1 H3 × 3 I1 × 1b) B,D,E,H,J

c) H,J Triangulares Superiores D,J Triangulares Inferioresd) F,J Vectores Renglóne) G,J Vectores Columna

3.28a) 4 × 4b) 2,−2,4,0c) 7,2, 1,0

3.29 a) 7 b) 3 c) d) Azul de lujo e) Febrero f) Febrero g) 38

3.30 -2001

3.31 a)

4 −3 1

−2 10 5

10 5 3

b)

−5 5

−9 5

5 9

c) −9 −7 11 d) No definida

e)−12 36 −42 −6

−42 −6 −36 12f)

5 −4 1

0 7 −2

−3 3 13

3.32 a)6 5

−2 3b) O c)

28 22

−2 6d)No definida e)

−22 −15

−11 9

75

f)21 29

2

192

−152

3.33 x= 14613

; y = −2813

3.34 a) x = 6y = 4

3

b) x = −6y = −14z = 1

3.35

35 65

75 55

25 15

3.36 a)12 −12

10 6b)

23

50c)

1 −4 2

2 2 4

−3 −2 3

d) −6 16 10 −6

e)

4 6 −4 6

6 9 −6 9

−8 −12 8 −12

2 3 −2 3

f)78 84

−21 −12g)

−5 −8

−5 −20h)

z

y

x

i)2x1 + x2 + 3x3

4x1 + 9x2 + 7x3

3.37 a)

0 0 0

0 −1 1

1 2 0

b)−1 −20

−2 23c)

32 0 0

0 32 0

0 0 32

d)

−1 5

2 17

1 31

3.38 240,000

76

4. DETERMINANTES

4.1 Calcule, utilizando las fórmulas para los casos 2x2 y 3x3, los determinantes de lassiguientes matrices:

a)1 2

−5 −10b)

8 1

5 12

c)1 2

−3 4

d)4 − λ 2

1 −λe)

3 0 −2

−1 5 7

4 −8 9

f)

1 −5 −4

2 0 2

3 7 10

g)

1 2 3

0 2 3

0 0 3

4.2 Si deta b

c d= 5 calcule, utilizando las propiedades de los determinantes, los

determinantes de las siguientes matrices:

a)c d

a bb)

2a b

2c dc)

a b

a + c b + d

d)3a 3b

3c 3de)

−b 2a

−d 2cf)

a c

b d

4.3 Si A es una matriz nxn y α es un escalar, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?¿Por qué?

a) detαA = α detA b) detαA = αn detA

4.4 En general, la manera más eficiente de calcular determinantes es utilizando eliminacióngaussiana. Calcule los determinantes de las matrices dadas con este método:

77

a)

−3 2 4

1 −1 2

−1 4 0

b)

1 −1 2 4

0 −3 5 6

1 4 0 3

0 5 −6 7

c)

1 2 −2 0

2 3 −4 1

−1 −2 0 2

0 2 5 3

d)

1 5 −3 0

3 13 −9 4

−1 −5 0 3

0 2 3 7

4.5 ¿Cuál es el determinante de

1 2 2 0 157

0 −2 π 187

0 0 3 e .01

0 0 0 −4

?

4.6 Compruebe, utilizando propiedades de determinantes, que

a) det

1 a a2

1 b b2

1 c c2

= b − ac − ac − b

b) det

1 a a2 a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d d2 d3

= b − ac − ad − ac − bd − bd − c

4.7 Demuestre que hay un único polinomio de grado 2 que pasa por los puntos1,0, 2,3, 3,−1 y calcule dicho polinomio. Siga los siguientes pasos:

a) Sustituya cada uno de los tres puntos en la ecuación y = α + βx + γx2. Así obtendrá unsistema con tres ecuaciones con incógnitas α, β, γ

b) Calcule el determinante de la matriz asociada al sistema utilizando el ejercicio 4.6(a).Concluya que el sistema tiene solución única.

c) Resuelva el sistema y obtenga el polinomio buscado.

4.8 Busque dos matrices A y B, de tamaño 2x2, tales que

detA + B ≠ detA + detB

78

4.9 Cuando una matriz cuadrada tiene bastantes ceros puede ser conveniente calcular sudeterminante usando desarrollo por menores. Utilice este método para calcular los determinantes de lasmatrices siguientes:

a)

2 0 −5

−1 0 3

15 1 − 2 2

b)

4 0 0 0

− 2 5 0 0 − 12

73 e5 2 −3

153 − 14 0 105

4.10 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer.

a)2x + 3y = 4

5x − 7y = 11

b)

2x + y + z = 6

3x − 2y − 3z = 5

8x + 2y + 5z = 11

Observe que para un sistema nxn esta fórmula requiere del cálculo de n + 1 determinantes, lo cuales engorroso y poco práctico para n ≥ 3. Sin embargo, para cuestiones teóricas esta fórmula resulta demucha utilidad. De ahí su inclusión en este curso.

4.11 Calcule la inversa de cada una de las siguientes matrices usando la matriz adjunta:

a)3 4

1 2b)

a b

c dc)

1 3 −5

2 8 −7

−3 −8 17

Observe que este método es, para matrices nxn con n ≥ 3, mucho más tardado que el deGauss-Jordan. Sin embargo, al igual que la regla de Cramer, resulta útil en cuestiones teóricas.

4.12 Encuentre el área del paralelogramo determinado por los vectores 3,1, 2,3.

4.13 Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores1,−3,2, 2,−8,5, 5,−13,7.

79


4.14 Sean las matrices A =

0 −2 1

1 10 2

4 0 −1

Cof A= −2 −4 −8

−14 2

a) Completar la matriz de Cofactores de A.b) Calcular las matrices Adjunta e Inversa de A.c) Utilizar la matriz A−1 para resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

− 2y + z = 0

x + 10y + 2z = 0

4x = 5 + z

4.15 Calcular el determinante de la siguiente matriz:

A =

1 0 1 −1 8

0 0 1 0 0

1 1 −1 0 1

−1 0 2 4 −1

0 −1 1 0 0

4.16 Calcule el determinante

2 5 −1

3 1 2

4 −6 6

por desarrollo por Menores

4.17 Supóngase que

det

a b c

d e f

g h i

= 4

Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el determinante de la siguiente matriz:

80

3g − 7d 3h − 7e 3i − 7f

d e f

a b c

Justificar brevemente.

4.18 Supóngase que al resolver un sistema de ecuaciones por la Regla de Cramer se obtiene lasiguiente información acerca de su solución única:

x1 =

1 0 3

−5 0 −4

0 2 0D

x3 =

1 0 1

0 0 −5

6 2 0D

Utilizar esta información para obtener (exclusívamente) el valor de x2 por la Regla de Cramer.No es necesario calcular x1 ni x3.

4.19 Determine todos los valores de c tales que la regla de Cramer no pueda utilizarse pararesolver el sistema siguiente:

x + cy + 8z = −4cx − z = 1

− 53x − 6y + z = 2

4.20 Demuestre que la regla de Cramer no se aplica a2 − y = x

3 + x = −y

81

SOLUCIONES

4.1a) 0 b) −1 c) 10d) λ2 − 4λ − 2 e) 327 f) 0g) 6

4.2a) −5 b) 10 c) 5d) 45 e) 10 f) 5

4.3a) No es válida en general. El inciso (d) del ejercicio anterior nos da un contraejemplo.b) Siempre es verdadera. Sea B una matriz cuadrada. Sea C la matriz que se obtiene al

multiplicar un renglón de B por α. Entonces por una propiedad de los determinantes sabemos quedetC = αdetB

La matriz αA se obtiene de A multiplicando cada renglón de A por el escalar α. Como A tienen renglones, aplicando n veces la propiedad mencionada obtenemos

detαA = αn detA

4.4a) 32 b) −260c) 20 d) 84

4.5 Como la matriz es triangular superior, el determinante es el producto de las entradas en ladiagonal. Por esto el determinante es igual a 24.

4.6 a)

1 a a2

1 b b2

1 c c2

=

1 0 0

1 b − a b2 − a2

1 c − a c2 − a2

=b − a b − ab + a

c − a c − ac + a= b − ac − a

1 b + a

1 c + a

= b − ac − ac − b

82

b)

1 a a2 a3

1 b b2 b3

1 c c2 c3

1 d d2 d3

=

1 0 0 0

1 b − a b2 − ab b3 − ab2

1 c − a c2 − ac c3 − ac2

1 d − a d2 − ad d3 − ad2

=

b − a bb − a b2b − a

c − a cc − a c2c − a

d − a dd − a d2d − a

= b − ac − ad − a

1 b b2

1 c c2

1 d d2

= b − ac − ad − ac − bd − bd − c

4.7 Sustituyendo cada uno de los puntos dados en la ecuación y = α + βx + γx2 obtenemos elsistema de ecuaciones lineales

α + β + γ = 0

α + 2β + 4γ = 3

α + 3β + 9γ = −1

La matriz de coeficientes del sistema es

1 1 1

1 2 4

1 3 9

=

1 1 12

1 2 22

1 3 32

Por el ejercicio 4.6 (a) su determinante es igual a 2 − 13 − 13 − 2 = 2 ≠ 0. Como eldeterminante de la matriz de coeficientes del sistema es distinto de cero, el sistema tiene soluciónúnica. Por esto hay un único polinomio de grado 2 que pasa por los tres puntos dados. Resolviendo elsistema de ecuaciones encontramos que α = −10, β = 27

2 y γ = − 72 . Entonces el polinomio buscado

es

y = −10 + 272 x − 7

2 x2

4.8 Casi cualquier par de matrices sirve. Por ejemplo A =1 0

0 1= B

Entonces detA = 1, detB = 1 y detA + B = 4.

4.9 a) −1 b) −1

4.10

83

a) x = 6129 , y = − 2

29 b) x = 2, y = 5, z = −3

4.11

a)1 −2

−1/2 3/2b) 1

ad−bc

d −b

−c ac)

80 −11 19

−13 2 −3

8 −1 2

4.12 El área es igual al valor absoluto del determinante de la matriz3 1

2 3. Éste es igual a

7.

4.13 El volumen es igual al valor absoluto del determinante de la matriz

1 −3 2

2 −8 5

5 −13 7

. Éste es igual a 4.

4.14

a) CofA =

−10 4 −40

−2 −4 −8

−14 1 2

b) AdjA =

−10 −2 −14

9 −4 1

−40 −8 2

A−1 = −158

−10 −2 −14

9 −4 1

−40 −8 2

c)

x

y

z

=

3529

−558

−529

4.15 28

84

4.16 8

4.17 -12

4.18 x2 = 334

4.19 c= 3 c= 2

4.20 det = 0

85

5. EL ESPACIO VECTORIAL Rn

5.1 Calcule

a) a1, 0 + b0, 1b) a1,0,0, 0 + b0, 1,0,0 + c0,0,1,0 + d0,0,0,1c) a1, 2,3 + b1,2,3 + c1,2,3d) 3a,b + 3c, d

5.2 Demostrar que todo plano en el espacio que pasa por el origen es un subespacio vectorialde R3.

Sugerencia Emplear una ecuación cartesiana.

5.3 En cada uno de los siguientes incisos decida si el primer vector es combinación lineal de losrestantes. En caso afirmativo calcule dicha combinación lineal y diga si ésta es única. Sugerencia: Encada caso plantee un sistema de ecuaciones y vea si hay inconsistencias; si no las hay, cuente losgrados de libertad.

a) 2,−1; 1,0, 2,3b) 1,1; 2,1, 1,2, 0,1c) 1,2,3; 1,1,1, 3,−1,0, 4,0,1d) 5,8,0,0; 1,2,−1,3, 3,4,2,6

5.4 En cada uno de los siguientes incisos determine si los vectores son linealmentedependientes.

En caso afirmativo encuentre una combinación lineal de estos vectores que sea igual a cero sinser trivial (es decir: con al menos un escalar distinto de cero).

a) 1,0, 1,1b) 1,0, 1,1, 0,0c) 1,0,0, 1,1,0, 1,1,1d) 2,−1,3, −1,4,2, 3, 2,8e) 1,2,3,4, −1,1,0,1

5.5 Sean v1,v2,v3,v4 vectores en Rn. ¿Son los vectoresv1 − v2,v2 − v3,v3 − v4,v4 − v1 linealmente dependientes o independientes?

5.6 Dé un ejemplo de tres vectores en R5 que sean linealmente independientes.

5.7 Dé un ejemplo de tres vectores en R4 que sean linealmente dependientes.

86

5.8 Encuentre un vector a,b,c tal que 2,1,2, −1,3,4 y a,b, c sean linealmenteindependientes.

5.9 Sean v1, . . . ,vn vectores en Rm. Determinar cuáles de las opciones:n < m,n = m, n > m pueden pasar si

a) v1, . . . ,vn son linealmente independientesb) v1, . . . ,vn son linealmente dependientes

5.10 Sea A =

2 4 0 1

1 2 −1 3

−1 −2 5 −13

a) Dé un ejemplo de un vector b, distinto de cero, tal que el sistema Ax = b tenga solución.b) Dé un ejemplo de un vector b tal que Ax = b no tenga solución.

5.11 Sea B = 2,−1,4, 1,0,k, 3,−1,5¿Para qué valores de k es B una base de R3?

5.12 Sea A =

1 2 4 0

3 1 3 1

0 1 0 1

a) Calcular el rango y la nulidad de la matriz A.b) Determinar el espacio nulo de A e interpretarlo geométricamente. Dar una base para él.c) Dar una base para el espacio de renglones de A.d) Indicar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al espacio de renglones de A:

2,6,8,2, 4,4, 7,2, 1,0,0,0, 0,1,1,0e) Dar una base para el espacio de columnas de A.f) Indicar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al espacio de columnas de A:

2

−3

1

,

4

4

4

,

5

1

0

,

3

4

5

87

SOLUCIONES

5.1

a) a,bb) a,b,c,dc) a + b + c, 2a + 2b + 2c, 3a + 3b + 3cd) 3a + 3c, 3b + 3d

5.2 Un plano π en R3 que pasa por el origen posee una ecuación cartesiana de la formaπ : ax + by + cz = 0.

Este subconjunto de R3 contiene al origen, luego es no vacío.Sean x1,y1, z1, x2,y2, z2dos puntos cualesquiera de π.Entonces ax1 + by1 + cz1 = 0 y ax2 + by2 + cz2 = 0.Sea α cualquier escalar.Entonces x1,y1, z1 + x2,y2, z2 = x1 + x2,y1 + y2, z1 + z2 es a su vez un punto de πporque

ax1 + x2 + by1 + y2 + cz1 + z2 = ax1 + by1 + cz1 + ax2 + by2 + cz2 = 0 + 0 = 0a la vez que αx1,y1, z1 = αx1,αy1,αz1 pertenece al plano πporque aαx1 + bαy1 + cαz1 = αax1 + by1 + cz1 = α0 = 0.

Por lo tanto π es un subespacio vectorial de R3.

5.3 En cada inciso se indica la matriz aumentada del sistema planteado.

a)1 2 ∣ 2

0 3 ∣ −1El sistema no tiene grados de libertad. La combinación lineal

2,−1 = 83 1,0 − 1

3 2,3es única.

b)2 1 0 ∣ 1

1 2 1 ∣ 1El sistema tiene un grado de libertad. Hay una infinidad de

combinaciones lineales. Una de ellas es:1,1 = 2

3 2,1 − 13 1,2 + 10,1

c)

1 3 4 ∣ 1

1 −1 0 ∣ 2

1 0 1 ∣ 3

. El sistema es inconsistente. El vector 1,2,3 no es

combinación lineal de los restantes.

88

d)

1 3 ∣ 5

2 4 ∣ 8

−1 2 ∣ 0

3 6 ∣ 0

El sistema es inconsistente. El vector 5,8, 0,0 no es combinación

lineal de los

restantes.

5.4a) No. b) Sí: 01,0 + 01,1 + 10,0 = 0,0c) No. d) Sí: −22,−1,3 − 1−1,4,2 + 3,2,8 = 0,0,0e) No.

5.5 Los vectores son linealmente dependientes porquev1 − v2 + v2 − v3 + v3 − v4 + v4 − v1 = 0

5.6 Los vectores 1,0,0,0,0, 0,1,1,0,0, 0,0,0,1,1 son linealmente independientes.

5.7 Los vectores 1,1,0,0, 0,0,2,2, 1,1,2,2 son linealmente dependientes.

5.8 Cualquier vector a,b,c tal que 2a + 10b − 7c ≠ 0. Por ejemplo el vector 1,1,1.

5.9 a) n ≤ m b) Cualquiera de las tres.

5.10a) El vector b puede ser cualquier combinación lineal de las columnas. Por

ejemplo para b = 2,1,−1, una solución del sistema es x = 1,0,0,0.

b) Si el vector b = c,d,e es tal que −2c + 5d + e ≠ 0, el sistema Ax = b no tiene solución.Por ejemplo, cuando b = 2, 1,0.

5.11 B contiene tres vectores en R3, luego B constituye una base de R3 si y sólo si estosvectores son linealmente independientes.

Esto se cumple para todo valor de k distinto de 1 ya que el determinante de la matriz

2 −1 4

1 0 k

3 −1 5

es igual a 1 − k.

89

5.12a) El rango de A es igual a 3

La nulidad de A es igual a 1.

b) X = t−2,−3, 2,3Constituye una recta en R4 que pasa por el origen. Una base para este espacio es

−2,−3,2,3

c) Por ejemplo B = 1,2,4,0, 3,1, 3,1, 0,1,0,1d) Solamente los primeros dos.e) Por ejemplo

B =

1

3

0

,

2

1

1

,

4

3

0

f) Todos.

90

6. ORTOGONALIDAD

6.1 Calcule la norma de los siguientes vectores:a) 1,1 b) 1,1,1c) 1,1,1,1 d) 1,4,0,2e) 1,0,2,0,7

6.2 Calcule el producto punto de los siguientes pares de vectores. ¿Cuáles son ortogonales?a) 1,2,3, 2,1,1 b) −3,2,0,4, 1,− 3

2 , 8, 0c) 4,1,2,5, 0,3,−2/3,1/4

6.3 Dé un ejemplo de dos vectores en R2 que sean linealmente independientes pero noortogonales entre sí.

6.4 Sea v ∈ Rn un vector y sea λ un escalar. Decida cuál de las siguientes igualdades esverdadera y demuéstrela. Para cada una de las igualdades que no son ciertas en general dé uncontraejemplo.

a) ‖λv‖ = λ‖v‖ b) ‖λv‖ = |λ|‖v‖c) ‖λv‖ = 2 λ ‖v‖ d) ‖λv‖ = λ2‖v‖

6.5 Encuentre todos los vectores que son ortogonales a 1,4,4,1 y a 2,9,8,2.

6.6 ¿Qué múltiplo de 1,1,1 es el más cercano a 2,4,4? ¿Cuál es el punto en la línea quepasa por 2,4,4 y el origen que está más cercano a 1,1,1?

6.7 ¿Cuál es la proyección de a1. . .an sobre el vector 1, . . . , 1?

6.8 En cada uno de los incisos siguientes encuentre la recta que mejor se ajusta a los puntosdados y calcule el vector de errores. Grafique los puntos, la recta encontrada e interprete el vector deerrores.

a) 0,0, 1,1, 2,7 b) 1,3, −2, 4, 7,0c) −1,1, 1,1, 2,3, 0,1

6.9 Encuentre la línea que mejor se ajusta a los puntos −2,4, −1,3, 0,1, 2,0. Tambiéncalcule la proyección del vector 4,3,1,0 y exprésela como combinación lineal de las columnas de

91

A =

1 −2

1 −1

1 0

1 2

6.10 Encuentre el plano z = α + βx + γy que mejor se ajusta a los puntosa) 0,0,0, 2,0,1, 0,2,1, 0,0,2b) 0,−1,0, 2,0,0, 0,0,2, 0,1,0

6.11 Utilizando el método de mínimos cuadrados encuentre el plano z = α + βx + γy quemejor se ajusta a los puntos 0,0, 0, −1,−1,−1, 1,1, 1, 2,2,2. ¿Es este plano único? Justifique surespuesta.

6.12 Encuentre la parábola y = α + βx + γx2 que mejor se ajusta a los puntos−2,3, −1,0, 1,0, 2,1.

6.13 Utilizando el método de mínimos cuadrados demuestre que la línea horizontal y = c que

mejor se ajusta a los puntos a1,b1, . . . , am, bm está dada por c = b1+...+bm

m , el promedio de lasordenadas de los datos.

6.14 Encuentre el polinomio de grado tres y = α + βx + γx2 + δx3 que mejor se ajusta a lospuntos −1,0, 0,0, 1,0, 2,0.

6.15 Un hospital somete a algunas víctimas de quemaduras graves a un tratamiento nuevo. Lasiguiente tabla muestra los resultados obtenidos.

202

101

00

0-1

No. de pacientes (Y)Mes (X)

202

101

00

0-1

No. de pacientes (Y)Mes (X)

a) Utilizar el método de mínimos cuadrados para determinar la recta que mejor se ajusta aestos datos.

b) ¿Cuántos pacientes espera curar el hospital en el mes 4?

6.16 Un distribuidor compra grandes cantidades de refacciones para autos. El observa que el

92

costo depende cuadráticamente del número de cajas que compra. De experiencia anterior obtiene latabla siguiente:

$502

$201

$301

$200

$100

Costo TotalNo. de cajas

$502

$201

$301

$200

$100

Costo TotalNo. de cajas

a) Encuentre su función de costo.b) Estime el costo que corresponde a 3 cajas.

6.17 El dueño de una empresa quisiera pronosticar cuál será el Indice Nacional de Precios alConsumidor en los siguientes meses para saber si le conviene o no firmar un contrato. En el radio oyeque los cambios en dicho índice están fuertemente ligados a los cambios en el gasto del gobierno ypiensa que si pudiera establecer una función entre estas dos series de datos podría obtener lospronósticos que necesita. Para establecer dicha función cuenta con la siguiente información:

3330Abril

2220Marzo

1110Febrero

199Enero

Gasto del gobiernoINPCMes

3330Abril

2220Marzo

1110Febrero

199Enero

Gasto del gobiernoINPCMes

a) Grafique los datos anteriores tomando al INPC como variable dependiente y al gasto comovariable independiente.

b) Decida, al analizar los datos, si la forma de la función que se va a establecer es lineal ocuadrática. Ajuste la más conveniente usando el método de mínimos cuadrados.

c) Grafique el resultado en la misma gráfica de (a).d) Si al dueño de la empresa le aseguran que el gasto del gobierno en el mes de noviembre será

de 2.5 millones de pesos, ¿ cuál será el valor del Indice Nacional de Precios al Consumidor en esemes?

6.18 En cada uno de los siguientes incisos calcule la ecuación cartesiana X ⋅ h = A ⋅ h, delhiperplano en Rn que pasa por el punto dado, y que es ortogonal a la dirección dada:

a) A = 2,5, h = −10,4b) A = 1,0,2, h = 1,1,−1c) A = 0,1,2,3, h = −2,0,1,−1

93

d) A = 0,0,0,0,0, h = 1,−2,−1,5,3

6.19 Grafique las regiones en el plano definidas por los conjuntos de desigualdades dados enlos incisos siguientes:

a) x ≥ 0, y ≥ 0b)

2x + y ≤ 5

2x − y ≥ −2

x − y ≤ 1

x + y ≥ −1

c)

2x − y ≤ 5

− x + y ≥ −2

y ≤ 3

x,y ≥ 0

d)

x + y ≥ 2

− x + y ≥ 1

y ≤ 3

x,y ≥ 0

e)

x + 2y ≤ 2

x + y ≥ 3

y ≥ 0

f)

− x + y ≤ 1

y ≤ 2

x,y ≥ 0

6.20 Utilice desigualdades lineales para definir los polígonos cuyos vértices se dan acontinuación.

a) 1,0, 3,0, 2,1, 3,1 b) 2,1, 4,1, 3,3c) 0,0, 0,1, 1,2, 2,1, 1,0

6.21 Grafique las regiones en el espacio definidas por los siguientes conjuntos dedesigualdades:

a) x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0b)

94

x ≤ 2

y ≤ 2

z ≤ 2

x,y, z ≥ 0

c) Las desigualdades del inciso (b) y además x + y + z ≤ 5.d) Las desigualdades del inciso (b) y además x + y ≤ 3.e)

− x + z ≤ 2

3x + y + 2z ≤ −4

x,y, z ≥ 0

f)

x + y ≤ 1

x,y, z ≥ 0

95

SOLUCIONES

6.1 a) 2 2 b) 2 3 c) 2d) 2 21 e) 3 2 6

6.2 a) 7 b) −6 c) 3512

Como el producto punto no es cero ninguna de las tres parejas de vectores es ortogonal.

6.3 Los vectores 1,0 y 1,1 son linealmente independientes pero no ortogonales entre sí.

6.4 a) Falso. v = 1,0, λ = −2b) Verdadero. ‖λv‖= 2 λv ⋅ λv= 2 λ2v ⋅ v = 2 λ2 2 v ⋅ v=|λ|‖v‖c) Falso v = 1,0,0, λ = 4d) Falso v = 0,1, λ = 2

6.5 Son todos los vectores a1,a2,a3,a4 que satisfacen simultáneamente:a1 + 4a2 + 4a3 + a4 = 02a1 + 9a2 + 8a3 + 2a4 = 0

La solución general de este sistema de ecuaciones es:a1 = −4s − t, a2 = 0, a3 = s, a4 = t

6.6 a) 10/3,10/3,10/3 b) 5/9,10/9,10/9

6.7 a1+...+an

n 1, . . . , 1

6.8 a) y = − 56 + 7

2 x E = 56 ,− 5

3 , 56

b) y = 6821 − 19

42 x E = 314 ,− 1

7 ,− 114

c) y = 65 + 3

5 x E = 25 ,− 4

5 , 35 ,− 1

5

6.9 y = 6135 − 36

35 x

El vector proyección es p = 13335 , 97

35 , 6135 ,− 11

35 = 6135 1,1,1,1 − 36

35 −2,−1,0,2

96

6.10 a) z = 1 b) z = 23 − 1

3 x

6.11 El plano no es único. Al intentar resolver el problema utilizando mínimos cuadradosobtenemos el sistema de ecuaciones

4 2 2

2 6 6

2 6 6

α

β

γ

=

2

6

6

Las columnas de la matriz de coeficientes son linealmente dependientes. Por eso la solución no esúnica. En este caso hay una infinidad de soluciones. La solución general del sistema anterior es: α = 0,β = 1 − t, γ = t. Así para cualquier valor de t en el plano z = 1 − tx + ty es una posible solucióndada por el método de mínimos cuadrados. Nota: en este caso la solución no es única porque los cuatropuntos son colineales, es decir, están contenidos en una línea recta.

6.12 y = − 23 − 2

5 x + 23 x2

6.13 Aplicando el método de mínimos cuadrados llegamos al sistema de ecuacionesmc = b1+. . .+bm

6.14 y = 0. El resultado es una recta y no un polinomio de grado 3 porque los puntos dadosson colineales.

6.15 a) y = 7x + 4 b) 32 pacientes

6.16 a) y = 15 + 2.5x + 7.5x2 b) $ 90 aproximadamente

6.17 La función es lineal. Si y denota el INPC y x denota el gasto del gobierno, entoncesy = −8 + 113x

El INPC para noviembre será 274.50 aproximadamente.

6.18a) −10x + 4y = 0 b) x + y − z = −1c) −2x1 + x3 − x4 = −1 d) x1 − 2x2 − x3 + 5x4 + 3x5 = 0

97

6.19a)

98

c)

99

d)

e) La región es vacía

f)

100

6.20a)

x ≤ 3

y ≤ 1

x − y ≥ 1

y ≥ 0

b)

y ≥ 1

2x − y ≥ 3

2x + y ≤ 9

c)

− x + y ≤ 1

x + y ≤ 3

− x + y ≥ −1

x,y ≥ 0

6.21a) La región es todo el primer octante.b)

101

c)

102

d)

e) La región es vacía.f) Prisma vertical y no acotado en el primer octante.

103

104

7. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

7.1 Transforme los siguientes programas lineales en programas lineales de maximización enforma canónica.

a)

Max 2x + 2y

s.a. 2x + y ≤ 4

− x − 2y ≥ −5

x,y ≥ 0

b)

Min − 5x − y

s.a 3x + y ≤ 7

− x − y ≥ −3

− x − 2y ≥ −5

x,y ≥ 0

c)

Min x + 4y

s.a. x + y ≤ 7

x + y ≥ 5

x ≤ 4

− y ≥ −4

x,y ≥ 0

7.2 Transforme los siguientes programas lineales en programas lineales de minimización enforma canónica.

a)

Min x − y

s.a. x + y ≥ 4

x + 2y ≤ 10

x,y ≥ 0

105

b)

Max x + 3y

s.a. x + 2y ≥ 3

4x − y ≤ 6

x,y ≥ 0

c)

Max 2x + 7y

s.a. 2x + 5y ≤ 8

4x + 6y ≥ 11

x,y ≥ 0

7.3 Resuelva los programas lineales de los ejercicios 7.1 y 7.2 usando el método gráfico.

7.4 Considere la región factible del ejercicio 6.19.c.a) Construya una función objetivo que alcance su máximo solamente en el punto 4,3.b) Construya una función objetivo que alcance su máximo simultáneamente en los puntos 3,1

y 2,0. ¿Hay otros puntos de la región factible en los cuales la función construida alcanza el máximo?

7.5 ¿Tienen solución óptima los siguientes programas lineales? ¿Por qué? Utilice el métodográfico.

a)

Max 3x + 4y

s.a. − x + y ≤ 2

y ≤ 4

x,y ≥ 0

b)

Max − 3x + y

s.a − x + y ≤ 2

y ≤ 4

x,y ≥ 0

c)

106

Max x − 2y

s.a. x + 2y ≤ 2

− x − y ≤ −3

x,y ≥ 0

7.6 Resuelva cada uno de los siguientes programas lineales usando el método simplex.Grafique la región factible y dibuje la trayectoria simplex del origen al punto óptimo.

a)

Max 3x + y

s.a. x ≤ 5

y ≤ 4

x − y ≤ 3

x,y ≥ 0

b)

Max 6x + 3y

s.a. x + y ≤ 4

2x + y ≤ 6

x,y ≥ 0

c)

Max x + 2y + 3z

s.a. x ≤ 2

y ≤ 2

z ≤ 2

x + y + z ≤ 5

x,y, z ≥ 0

d)

Max y + 3z

s.a. x ≤ 2

y ≤ 2

z ≤ 2

x + y ≤ 3

x,y, z ≥ 0

107

7.7 En los siguientes programas lineales la región factible es no acotada y la función objetivono alcanza su máximo. ¿Cómo podemos saber ésto usando el método simplex?

a)

Max 3x + y

s.a. − 2x + y ≤ 1

x − y ≤ 2

x,y ≥ 0

b)

Max − x + 2y − 3z

s.a. x ≤ 3

z ≤ 1

x + 3z ≤ 3

x,y, z ≥ 0

7.8 Un gerente de producción está planeando cómo distribuir tres productos en dos máquinas.Para ser manufacturado cada producto requiere cierto tiempo (en horas) en cada una de las dosmáquinas.

El tiempo requerido está resumido en la siguiente tabla:

22C

12B

11A

21

Máquinas

22C

12B

11A

21

Máquinas

Producto

La máquina 1 está disponible 40 horas a la semana y la 2 está disponible 34 horas a la semana.Si lautilidad obtenida al vender los productos A, B y C es de 2,3 y 5 pesos por unidad respectivamente,¿cuál debe ser la producción semanal que maximiza las utilidades? ¿Cuál es la utilidad máxima?

7.9 Una compañía mueblera fabrica tres tipos de libreros: el "intelectual", el "juvenil" y el"ejecutivo". Cada librero es elaborado utilizando tres tipos de madera: roble, pino y caoba. El librerotipo "intelectual" requiere 2 unidades cuadradas de hoja de roble, 6 de pino y 4 de caoba. El librero tipo"juvenil" requiere respectivamente 1, 4 y 3 unidades cuadradas de hoja de roble, pino y caoba. Y ellibrero tipo "ejecutivo" requiere respectivamente 2, 2 y 8 unidades cuadradas de hoja de pino, roble ycaoba.

108

La ganancia por librero vendido de los tipos "intelectual", "juvenil" y "ejecutivo" esrespectivamente de $20, $5 y $40.

Si la compañía dispone en sus bodegas de 100 unidades cuadradas de hoja de roble, 600 unidadesde pino y 300 unidades de caoba, ¿cuántos libreros de cada tipo se deberán fabricar para maximizar laganancia? ¿Cuál es la ganancia máxima?

7.10 Un agricultor tiene 31 hectáreas donde siembra café y cacao. Los gastos son de 120dólares por hectárea de café y de 480 dólares por hectárea de cacao. La "cosecha" debe ser almacenadaen latas especiales. Por cada hectárea de café se llenan 32 latas, mientras que por cada hectárea decacao sólo se llenan 8 latas. Cada hectárea de café produce una ganancia de 400 dólares y cadahectárea de cacao produce una ganancia de 500 dólares. Si el agricultor tiene sólo 800 latas y disponede un capital de 12,000 dólares, ¿cómo debe distribuir su cosecha para maximizar su ganancia?

7.11 Una compañía que produce frutas mezcladas tiene en almacén 10,000 kilos de peras,12,000 kilos de duraznos y 8,000 kilos de cerezas. La compañía produce tres mezclas de frutas, quevende en latas de un kilo. La primera combinación contiene la mitad de peras y la mitad de duraznos.La segunda combinación contiene cantidades iguales de cada fruta. La tercera combinación tiene lamitad de duraznos y la mitad de cerezas. Las ganancias por lata vendida de cada combinación son de$3, $4 y $5 respectivamente. ¿Cuántas latas de cada combinación deberán producirse con el objeto demaximizar ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima?

7.12 Un fabricante de muebles necesita una hora para hacer un archivero, una hora para haceruna silla y cuatro horas para hacer una mesa. El fabricante estima que no podrá vender más de 15archiveros, 10 sillas y 3 mesas a la semana. Además él no quiere trabajar más de 30 horas a la semana.Si sus ganancias son de $25 por archivero, $60 por silla y $90 por mesa, ¿cuántos archiveros, sillas ymesas debe fabricar para maximizar ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima?

7.13 Jimmy Carter tiene almacenadas 121 toneladas de cacahuate y 49 toneladas de nuez de laIndia. Produce dos mezclas. La barata consta de 80% de cacahuate y de 20% de nuez, mientras que lamezcla de lujo consta de 30% de cacahuate y de 70% de nuez. Si vende a 5,000 y 8,000 dólares latonelada de cada una de estas mezclas, ¿ qué cantidades de cada mezcla debe producir para maximizarsus ingresos? ¿Cuál es el ingreso máximo?

7.14 Un empleado de una tienda de helados quiere crear la combinación más rica en caloríasque quepa en un vaso de 12 onzas. Los ingredientes son jarabe, crema, soda y helado. Para que se veacomo soda y sepa a soda la mezcla no debe contener más de 4 onzas de helado; debe tener al menostanta soda como la cantidad total de jarabe y crema combinados, y no más de una onza más de jarabeque de crema. El número de calorías por onza en cada uno de los ingredientes es, respectivamente,jarabe 75, crema 50 y helado 40. La soda no contiene calorías. ¿Cuántas onzas de cada ingredientedebe usar? ¿Cuántas calorías tendrá el producto?

7.15 Resuelva los siguientes programas lineales usando el método de las dos fases. En cadacaso grafique la región factible y la trayectoria simplex.

109

a)

Max x + 5y

s.a. 2 ≤ y ≤ 3

x ≥ 1

x + y ≤ 5

x,y ≥ 0

b)

Max 2x + 4y

s.a 3 ≤ x ≤ 5

x − y ≤ 2

x + 2y ≤ 13

x, y ≥ 0

7.16 Resuelva los siguientes programas lineales usando el método de las dos fases. En casonecesario transforme el programa lineal en uno equivalente de maximización y use el método simplex.

a)

Max 3x − y

s.a. x + y ≤ 4

2x + 3y ≥ 18

x,y ≥ 0

b)

Min − x + 2y − 3z

s.a. x + y + z = 6

− x + y + 2z = 4

z ≤ 2

x,y, z ≥ 0

7.17 Escriba el problema dual de cada uno de los siguientes programas lineales:a)

Max 3x + 2y − z

s.a. x − z ≤ 5

2x + y ≤ 3

x,y, z ≥ 0

110

b)

Min x − y

s.a. 3x − y ≥ 3

x + y ≥ −8

y ≥ 5

x ≥ 3

x,y ≥ 0

c)

Max w + 2x − y − z

s.a. x + 2z ≤ 5

w + 3y ≤ −2

w,x,y, z ≥ 0

7.18 Resuelva los siguientes ejercicios utilizando dualidad.a)

Min 5x + 3y

s.a. 2x + y ≥ 1

x + 2y ≥ 1

x + y ≥ 3

x,y ≥ 0

b)

Min 2x + 3y

s.a. 2x + y ≥ 1

x + 2y ≥ 1

x,y ≥ 0

c)

Min 3x + 4y + 6z

s.a. 4x + 7y + z ≥ 3

x + 3y + 5z ≥ 7

2x + y + 4z ≥ 10

x,y, z ≥ 0

111

7.19 Resuelva el siguiente ejercicio utilizando dualidad:Un fabricante produce dos alimentos a base de carbohidratos y proteínas. Cada kilogramo del

primer alimento cuesta $5 y contiene un 90% de carbohidratos. Cada kilogramo del segundo alimentocuesta $10 y contiene un 60% de carbohidratos. ¿Qué cantidades de estos dos alimentos proporcionandos kilos de carbohidratos y un kilo de proteínas a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo por kilo de estamezcla?

7.20 Una mujer quiere elaborar un programa semanal de ejercicios, el cual incluirá trote,ciclismo y natación. A fin de variar el ejercicio, ella planea dedicar al ciclismo por lo menos el mismotiempo que le dedicará al trote y la natación combinados. Además quiere nadar al menos dos horas porsemana. Si en el trote consume 600 calorías por hora, en el ciclismo 300 calorías por hora y en lanatación 300 calorías por hora, ¿cuántas horas deberá dedicar a cada tipo de ejercicio, si quiere quemaren total al menos 3000 calorías semanales en el menor tiempo posible?

7.21 Un fabricante quiere producir latas de comida para perros. Desea que el contenido de unalata satisfaga el requerimiento mínimo diario de carbohidratos y proteínas de un perro promedio. Lascarnes disponibles para la elaboración de este producto son bistec, carne de caballo e hígado. Un kilode bistec cuesta $15 y proporciona 500 gramos de proteínas. Un kilo de carne de caballo cuesta $10 yproporciona 600 gramos de carbohidratos y 100 gramos de proteínas. Un kilo de hígado cuesta $25 yproporciona 400 gramos de carbohidratos y 300 gramos de proteínas. Se estima que el requerimientomínimo diario de un perro promedio es de 600 gramos de carbohidratos y 300 gramos de proteínas.¿Qué combinación de las tres carnes deberá elegir el fabricante de manera que se satisfagan estosrequerimientos a un costo mínimo? ¿Cuál será este costo?

7.22 El gerente de Aurrerá desea anunciarse en Excélsior y en El Universal. El anuncio enExcélsior le cuesta $60,000 diarios y en El Universal $50,000 diarios. Entre los suscriptores de dichosperiódicos se estima que por cada día de permanencia del anuncio, éste será visto por 200,000 lectoressi aparece en Excélsior y por 100,000 lectores si aparece en El Universal. Pero El Universal es máspopular que Excélsior entre los no suscriptores, de tal suerte que por cada día de permanencia delanuncio, éste será leído por 300,000 no suscriptores de Excélsior y por 400,000 no suscriptores de ElUniversal. El gerente ha determinado que el anuncio debe ser visto al menos por 5 millones desuscriptores y al menos por 9 millones de no suscriptores. ¿Cuántos días debe colocar el anuncio encada diario para que su costo sea mínimo?

7.23 El dietista del Reclusorio Sur planea el menú para los desayunos. El desayuno incluyepan, frijoles y huevo. Se tiene interés en proporcionar por lo menos 290 unidades internacionales devitamina A, 200 unidades de vitamina B y 210 unidades de vitamina C. La siguiente tabla proporcionalas cantidades de vitamina A, B y C que tiene cada porción de cada uno de estos alimentos, así comosu costo:

112

$12203020Huevo

$15501030Frijoles

$10102050Pan

CBACosto

Vitaminas

$12203020Huevo

$15501030Frijoles

$10102050Pan

CBACosto

Vitaminas

¿Cuántas porciones de cada alimento se deben dar para obtener la dieta más barata que satisfagalos requerimientos nutritivos arriba mencionados?


7.24

Maximizar P = 10x + 12y

s.a. x + y ≤ 60

x − 2y ≥ 0

x,y ≥ 0

7.25

Maximizar P = 5x + 6y

s.a. x + y ≤ 80

3x + 2y ≤ 220

2x + 3y ≤ 210

x,y ≥ 0

7.26

Maximizar Z = 7x + 3y

s.a. 3x − y ≥ −2

x + y ≤ 9

x − y ≥ −1

x,y ≥ 0

7.27

Minimizar C = 2x + y

s.a. 3x + y ≥ 3

4x + 3y ≥ 6

x + 2y ≥ 2

x,y ≥ 0

113

7.28 Producción para utilidad máxima. Un fabricante de juguetes prepara un programa deproducción para dos nuevos juguetes, muñecas y soldados, con base en la información concerniente asus tiempos de producción dados en la tabla que sigue:

3 hrs.1 hr.1 hr.Soldados

1 hr.1 hr.2 hrs.Muñecas

AcabadoMáquina BMáquina A

3 hrs.1 hr.1 hr.Soldados

1 hr.1 hr.2 hrs.Muñecas

AcabadoMáquina BMáquina A

Por ejemplo, cada muñeca requiere de 2 horas en la máquina A. Las horas disponibles empleadaspor semana son: para operación de la máquina A. 70 horas; para la B, 40 horas; para acabado, 90horas. Si las utilidades en cada muñeca y cada soldado son de $4 y $6, respectivamente, ¿cuántosjuguetes de cada uno debe producir por semana el fabricante con el fin de maximizar la utilidad? ¿cuáles esta utilidad máxima?

7.29 Formulación de dieta. Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento Bcontiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B$0.80 por unidad, ¿cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo?¿cuáles el costo mínimo?

7.30 Extracción de minerales. Una compañía extrae minerales de una mina. El número delibras de los minerales A y B que pueden extraerse de cada tonelada de la mina I y II se dan en la tablasiguiente, junto con los costos por tonelada de las minas:

$60$50Costo por tonelada

50 lb200 lbMineral B

200 lb100 lbMineral A

Mina IIMina I

$60$50Costo por tonelada

50 lb200 lbMineral B

200 lb100 lbMineral A

Mina IIMina I

Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿cuántas toneladas de cadamina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo? ¿cuál es el costo mínimo?

7.31 Costo de construcción. Una compañía química está diseñando una planta para producirdos tipos de polímeros, P1 y P2. La planta debe tener una capacidad de producción de al menos 100unidades de P1 y 420 unidades de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las cámarasprincipales de reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600,000 y escapaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día; el tipo B es un diseño más

114

económico, cuesta $300,000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de P2 por día. Acausa de los costos de operación, es necesario tener al menos 4 cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas cámaras de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de construcción y satisfacer elprograma de producción requerido? (Suponga que existe un costo mínimo.)

7.32 Utilice el método simplex para resolver los problemas siguientes:a)

Maximizar Z = x1 + 2x2

s.a. 2x1 + x2 ≤ 8

2x1 + 3x2 ≤ 12

x1,x2 ≥ 0

b)

Maximizar Z = −x1 + 3x2

s.a. x1 + x2 ≤ 6

− x1 + x2 ≤ 4

x1,x2 ≥ 0

c)

Maximizar Z = 8x1 + 2x2

s.a. x1 − x2 ≤ 1

x1 + 2x2 ≤ 8

x1,x2 ≥ 0

d)

Maximizar Z = 2x1 + x2 − x3

s.a. x1 + x2 ≤ 1

x1 − 2x2 − x3 ≥ −2

x1,x2,x3 ≥ 0

e)

Maximizar W = x1 − 12x2 + 4x3

s.a. 4x1 + 3x2 − x3 ≤ 1

x1 + x2 − x3 ≥ −2

− x1 + x2 + x3 ≥ −1

x1,x2,x3 ≥ 0

7.33 Flete por envío. Una compañía de fletes maneja los envíos de dos corporaciones, A y B,que están ubicadas en la misma ciudad. La corporación A envía cajas que pesan 3 lb cada una y tienenun volumen de 2 pies3; B envía cajas de 1 pie3 que pesan 5 lb cada una. Ambas corporaciones envían

115

al mismo destino. El costo de transporte para cada caja de A es $0.75 y para B es $0.50. La compañíade fletes tiene un camión con capacidad de carga de 2400 pies3 y una capacidad máxima de 36,800 lb.En un acarreo, ¿cuántas cajas desde cada corporación debe transportar este camión de modo que elingreso de la compañía de fletes sea máximo? ¿cuál es el ingreso máximo?

7.34 Producción. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para patio: sillas, mecedoras ysillones. Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la tabla siguiente:

5 unidades2 unidades1 unidadSillón

3 unidades1 unidad1 unidadMecedora

2 unidades1 unidad1 unidadSilla

AluminioPlásticoMadera

5 unidades2 unidades1 unidadSillón

3 unidades1 unidad1 unidadMecedora

2 unidades1 unidad1 unidadSilla

AluminioPlásticoMadera

La compañía tiene disponibles 400 unidades de madera, 500 unidades de plástico y 1450 unidadesde aluminio. Cada silla, mecedora y sillón se vende en $21, $24 y $36, respectivamente. Suponiendoque todos los muebles pueden venderse, determine la producción para que el ingreso total sea máximo.¿Cuál es el ingreso máximo?

7.35 A causa de las reglamentacion es federales nuevas sobre la contaminación una compañíaquímica ha

introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso para complementar o reemplazar unproceso anterior para la producción de un producto químico en particular. El proceso anteriordescarga 15 gramos de dióxido de azufre y 40 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro deproducto químico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dióxido de azufre y 20 gramosde partículas a la atmósfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 30 y 20centavos por litro en los procesos anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno le permite a laplanta descargar no más de 10,500 gramos de dióxido de azufre y no más de 30,000 gramos departículas a la atmósfera cada día,¿cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente ,por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?

SOLUCIONES

7.1a)

Max 2x + 2y

s.a. 2x + y ≤ 4

x + 2y ≤ 5

x,y ≥ 0

b)

116

Max 5x + y

s.a. 3x + y ≤ 7

x + y ≤ 3

x + 2y ≤ 5

x,y ≥ 0

c)

Max − x − 4y

s.a. x + y ≤ 7

− x − y ≤ −5

x ≤ 4

y ≤ 4

x,y ≥ 0

7.2a)

Min x − y

s.a. x + y ≥ 4

− x − 2y ≥ −10

x,y ≥ 0

b)

Min − x − 3y

s.a. x + 2y ≥ 3

− 4x + y ≥ −6

x,y ≥ 0

c)

Min − 2x − 7y

s.a. − 2x − 5y ≥ −8

4x + 6y ≥ 11

x,y ≥ 0

7.3Ejercicio Punto óptimo Valor objetivo óptimo

7.1 (a) 1,2 6(b) 7

3 , 0 − 353

(c) 4,1 8

117

7.2 (a) 0,5 − 5(b) el problema es no acotado(c) 7

8 , 54

212

7.4 a) z = x ó z = x + y, por ejemplob) z = x − y por ejemplo.

Sí: todos los puntos que pertenecen al segmento de recta que une a los puntos 2,0 y 3,1.

7.5 a) No: el problema es no acotadob) Sí: en 0,2 con valor objetivo óptimo igual a 2.c) No: la región factible es vacía.

7.6Inciso Punto óptimo Valor objetivo óptimo

(a) 5, 4 19* (b) 3, 0 ó 2,2 18

(c) 1,2,2 11(d) 0,2,2 8

*(b) En realidad la solución es múltiple: 2 + t, 2 − 2t con 0 ≤ t ≤ 1

7.7 En la tabla del método simplex existe un valor positivo en el renglón z bajo el cual no hayvalores positivos (y por consiguiente no hay pivote en esa columna). En el inciso (a) ésto sucededespués de la primera iteración. En (b), sucede al comienzo.

7.8 Se deben producir:0 unidades de A

6 unidades de B

14 unidades de C

La utilidad máxima será de $88.

7.9 Se deben producir exclusivamente 37.5 libreros del tipo ejecutivo o se pueden producir 25del tipo intelectual, ningún juvenil y 25 del tipo ejecutivo. La solución es múltiple:25t, 0, 37.5 − 12.5t con 0 ≤ t ≤ 1

La ganancia será de $1500.

7.10 Se deben sembrar:8 hectáreas de café23 hectáreas de cacao

La ganancia máxima será de 14,700 dólares.

118

7.11 Se deben producir:8000 latas de la primera combinación18000 de la segunda combinación y4000 de la terceraLa ganancia máxima será de $116,000.

7.12 Deben fabricar:15 archiveros10 sillas1.25 mesasLa ganancia máxima será de $1087.50

7.13 Debe producir:140 toneladas de la mezcla barata30 toneladas de la mezcla de lujoEl ingreso máximo será de 940,000 dólares.

7.14 Debe usar:2.5 onzas de jarabe1.5 onzas de crema4 onzas de soda4 onzas de heladoEl máximo número de calorías será 422.5.

7.15 a) El valor objetivo óptimo es 17.El punto óptimo es 2,3.

b) El valor objetivo óptimo es 26.Un punto óptimo es 5,4

De hecho son óptimos todos los puntos que pertenecen al segmento de recta que une a lospuntos 3,5 y 5,4

7.16 a) La región factible es vacía.b) El valor objetivo óptimo es -4 y se alcanza en el punto 2,2,2.

7.17 Escriba el problema dual de cada uno de los siguientes programas lineales:a)

119

Min 5w1 + 3w2

s.a. w1 + 2w2 ≥ 3

w2 ≥ 2

− w1 ≥ −1

w1,w2 ≥ 0

b)

Max 3w1 − 8w2 + 5w3 + 3w4

s.a. 3w1 + w2 + w4 ≤ 1

− w1 + w2 + w3 ≤ −1

w1,w2,w3,w4 ≥ 0

c)

Min 5w1 − 2w2

s.a. w2 ≥ 1

w1 ≥ 2

3w2 ≥ −1

2w1 ≥ −1

w1,w2 ≥ 0

7.18Inciso Punto óptimo Valor objetivo óptimo(a) 0,3 9(b) 1/3,1/3 5/3(c) 11/3,0,2/3 15

7.19 Las cantidades son:23 kg del primer alimento73 kg del segundo alimento

El costo mínimo será de $26.67

7.20 Deberá realizar:2 horas de trote4 horas de ciclismo2 horas de nataciónEl tiempo mínimo será de 8 horas.

7.21 Cada lata debe contener:

120

0.4 kg de bistec1 kg de carne de caballo0 kg de hígadoEl costo mínimo será de $16.

7.22 Debe colocar el anuncio:22 días en El Excélsior6 días en El UniversalEl costo mínimo será de $1’620,000.

7.23 La dieta debe constar de:3 porciones de pan2 porciones de frijoles4 porciones de huevoEl costo mínimo será de $108.

7.24 x= 40 y= 20 P=640

7.25 x = 30 y=50 P = 450

7.26 x = 9 y = 0 Z= 63

7.27 x = 3/5 y= 6/5 C= 12/5

7.28 15 muñecas 25 soldados Utilidad = $ 210

7.29 4 unidades de Alimento A, 4 unidades de Alimento B , Costo Mínimo $8

7.30 10 toneladas Mina I10 toneladas Mina IICosto Mínimo $ 1,100

7.31 6 Cámaras Tipo A10 Cámaras Tipo BCosto Mínimo $ 6,600,000

7.32 a) x1 = 0x2 = 4

121

Z = 8

b) x1 = 1x2 = 5Z = 14

c) x1 = 10/3x2 = 7/3Z = 94/3

d) x1 = 1x2 = 0x3 = 0Z = 2

e) x1 = 1x2 = 0x3 = 1Z = 13

7.33 0 cajas de A2400 cajas de BIngreso $ 1,200

7.34 0 sillas300 mecedoras100 sillones

7.35 Proceso Anterior 0 litrosProceso Nuevo 1500 litrosUtilidad = $300

122

8. VALORES Y VECTORES PROPIOS

8.1 Calcule el polinomio característico de cada una de las siguientes matrices:

a)1 4

1 −2b)

−7 −2

2 −3

c)5 13

−2 −5d)

0 3

0 0

e)9 −15

0 8f)

6 3 7

0 1 4

0 1 −2

g)

5 0 0

8 −7 −2

13 2 −3

h)

1 −1 0

−1 2 −1

0 −1 1

i)

a 2 5 − 34

0 b π

0 0 c

j)

5 4 2

4 5 2

2 2 2

k)

−7 −2 0 0

2 −3 0 0

0 0 1 4

0 0 1 −2

8.2 Para matrices 2x2 hay una fórmula sencilla para calcular el polinomio característico.Verifique que si A es una matriz 2x2, entonces su polinomio característico es igual a

λ2 − trAλ + detA

Comentario. Los valores propios de una matriz son las raíces de su polinomio característico. Esmuy fácil calcular las raíces de un polinomio de grado 2 de la forma ax2 + bx + c, utilizando laconocida fórmula

x = −b±2 b2−4ac

2a

Para polinomios de grado tres y cuatro las fórmulas de Cardano y Ferrari, respectivamente,expresan las raíces de los polinomios en función de los coeficientes. Estas fórmulas requierenoperaciones elementales y extracción de raíces; su aplicación, sin embargo, es mucho más laboriosa.

Un teorema profundo de Abel nos dice que para polinomios de grado mayor o igual a cinco noexiste una fórmula como las anteriores.

123

La carencia de una fórmula explícita propició el desarrollo de diversos métodos numéricos. Estosnos dan aproximaciones de las raíces, tan buenas como se necesiten. Hoy en día existen paquetes decómputo muy sofisticados, como Mathematica, que nos aproximan rápida y satisfactoriamente lasraíces de un polinomio dado.

8.3 Calcule los valores propios de las matrices del ejercicio 8.1. Observe que en el caso delinciso (j) se necesita aplicar la fórmula de Cardano, algún método numérico o algún paquete.

8.4 Calcule la multiplicidad algebraica y la geométrica de los valores propios de las matricesdel ejercicio 8.1 incisos (a), (b), (d)-(h), (k). También encuentre un vector propio de cada valor propio.

8.5 Las siguientes matrices tienen a 11 como valor propio con una multiplicidad algebraicaigual a tres. Calcule, en cada caso, la multiplicidad geométrica y un conjunto máximo de vectorespropios linealmente independientes para este valor propio.

a)

11 0 0

0 11 0

0 0 11

b)

11 2 0

0 11 0

0 0 11

c)

11 2 0

0 11 2

0 0 11

8.6 Determine si cada una de las matrices A dadas a continuación es diagonalizable. En casoafirmativo encuentre una matriz invertible S y una matriz diagonal D tales que

S−1AS = D

a)1 4

1 −2b)

−7 −2

2 −3

c)5 13

−2 −5d)

1 −4

0 1

e)3 1

−1 1f)

−7 −2 0 0

2 −3 0 0

0 0 1 4

0 0 1 −2

8.7 Despeje A de la fórmula S−1AS = D del ejercicio anterior y explique porquéAk = SDkS−1

Con esta fórmula calcule la k-ésima potencia de las matrices del ejercicio 8.6, incisos (a), (b) y (f).

124

8.8 ¿Cuáles de las siguientes son matrices de probabilidad?

a)1 012

12

b)− 1

232

14

34

c)

14

14

12

0 1 013

13

13

d)

1 0 014

13

14

0 0 1

8.9 ¿Cuáles de las siguientes matrices de probabilidad son regulares?

a)12

12

13

23

b)12

12

1 0c)

13

23

0 1

d)0 1

1 0e)

0 1 0

0 0 1

1 0 0

8.10 El 1o. de enero de 2004 la población de México estaba distribuida de la siguiente manera:60% vivía en las ciudades y 40% en el campo. De acuerdo a un estudio se espera que 2% de lapoblación del campo emigre cada año a las ciudades y 5% de la población urbana emigre cada año alcampo. Suponiendo que el número de habitantes permanece constante, ¿cómo estará distribuida lapoblación el 1o. de enero de 2006? ¿Cómo se distribuirá la población a la larga?

8.11 En el área metropolitana la gente interesada en deportes compra el Ovaciones o el Esto(pero no los dos). De acuerdo con un estudio se sabe que el 1o. de septiembre este grupo de lectores sedistribuyó de la siguiente manera: 60% compró el Ovaciones y 40% compró el Esto. De acuerdo almismo estudio se sabe que durante el mes de septiembre el Ovaciones conservó 2

3de sus lectores,

mientras que el 13 restante empezó a leer el Esto. Por su parte el Esto conservó 3

4 de sus lectores, y losrestantes cambiaron sus preferencias por el Ovaciones.

Para simplificar los cálculos supondremos que no hay lectores nuevos y que los existentes siemprecompran uno de los dos periódicos mencionados.

a) ¿Qué proporción de lectores compró cada periódico el 1o. de octubre?b) Si continúa el mismo comportamiento de los lectores en los meses siguientes, ¿qué

porcentaje de lectores comprará a la larga cada periódico?

8.12 Los registros meteorológicos de Villahermosa indican que si un día llueve, la probabilidad

125

de que llueva al día siguiente es 0.6; pero si un día no llueve, la probabilidad de que llueva al díasiguiente es de 0.3.

a) Verifique que la matriz de transición de este proceso es regular.b) Calcule la distribución de probabilidad estacionaria e interprétela.c) Si la probabilidad de que llueva el 4 de octubre es de 0.9 ¿cuál será la probabilidad de que

llueva el 8 de octubre?

8.13 Cada año el departamento de publicidad de la revista Proceso envía cartas a una lista depersonas invitándolas a suscribirse. Dicha lista incluye a los suscriptores. El 60% de éstos renueva sususcripción, mientras que el 25% de los que no están suscritos decide abonarse a la revista. El añopasado el 40% de las personas que recibieron su carta se suscribieron a Proceso. ¿Qué porcentaje delas personas que reciban carta este año ordenará una suscripción? ¿Y qué porcentaje lo hará a largoplazo?

8.14 En un laboratorio se diseña una caja con tres compartimientos. Supóngase que cualquierratón que se encuentre en esta caja cambiará de compartimiento cada minuto de acuerdo a la siguientematriz de probabilidades:

P =

13

23 0

16

23

16

0 23

13

a) Demostrar que P es una matriz de transición regular.b) Si se coloca un ratón en el tercer compartimiento, ¿cuál es la probabilidad de que se

encuentre en el primer compartimiento después de un minuto? ¿ después de dos minutos? ¿después detres minutos?

c) La persona a cargo del experimento decide salir del laboratorio por varias horas y aseguraque cuando regrese encontrará al ratón en el segundo compartimiento de la caja. ¿Cuál es laprobabilidad de que tenga razón?


8.15 Pruebe que la matriz A =−3 4

−2 3es diagonalizable y use este hecho para calcular A4.

8.16 Considérese una comunidad en la cual cada habitante posee un automóvil. Supóngase quecada persona se deshace de su coche al final de cada sexenio para comprar uno nuevo y que sólo haycoches de marca Honda (H), Chrysler (C) y Volkswagen (VW).

a) Complete la siguiente matriz de transición si se sabe que cada sexenio, una persona que tiene unChrysler no comprará un nuevo Chrysler, sino cambiará a Honda o VW con una probabilidad de 1

2 enambos casos.

126

H C VW

T =

H

C

VW

14

34 0

0 34

14

b) Determine si la matriz es regularc) Calcule la distribución de probabilidad estacionaria e interprétela.

8.17 En la actualidad hay tres planes de inversión A,B y C, disponibles para los clientes de unBanco. Un cliente sólo puede usar un plan a la vez y puede cambiar de uno a otro sólo al final de cadaaño. La probabilidad de que alguien en el plan A continue con el es 30% y de que cambie a B es10%. La probabilidad de que alguien en el plan B continue con él es 40% y de que cambie a A es20%. La probabilidad de que alguien en el plan C continue con él es 50% y de que cambie a A es 50%.

a) Construir la matriz de transición para los clientes.b) ¿Cuáles son los planes, más popular y el menos popular a largo plazo?

8.18 Calcule los valores y vectores propios de la siguiente matriz y determine si es diagonalizable.

5 0 1

0 5 0

0 0 5

127

SOLUCIONES

8.1

a) λ2 + λ − 6b) λ2 + 10λ + 25c) λ2 + 1d) λ2

e) λ2 − 17λ + 72f) 6 − λλ2 + λ − 6 = −λ3 + 5λ2 + 12λ − 36g) 5 − λλ2 + 10λ + 25 = −λ3 − 5λ2 + 25λ + 125h) −λ3 + 4λ2 − 3λi) a − λb − λc − λj) −λ3 + 12λ2 − 21λ + 10k) λ2 + 10λ + 25λ2 + λ − 6

Nota: La matriz del inciso (k) está formada por dos bloques. Estos dos bloques son precisamentelas matrices de los incisos (b) y (a). Entonces se tiene que el polinomio característico de la matriz"grande" es el producto de los polinomios característicos de los bloques.

8.2 Sea A =a b

c d. El polinomio característico de A es igual a

detA − λI = deta − λ b

c d − λ

= λ2 − a + dλ + ad − bc = λ2 − trAλ + detA

8.3a) −3,2b) −5,−5c) No tiene valores propios reales.d) 0,0e) 9,8f) 6,−3,2g) 5,−5,−5h) 0,1, 3i) a,b,c

j) Utilizando algún paquete de cómputo encontramos que los valores propios son 1,1,10k) −5,−5,−3,2

8.4 Nota: Para cualquier valor propio λ valen las siguientes desigualdades:1 ≤ mult.geom.λ ≤ mult. alg.λ.

Damos las multiplicidades en la tabla. La primera columna da el valor propio, la segunda la

128

multiplicidad geométrica, la tercera la multiplicidad algebraica y la cuarta un vector propio.

a) −3 1 1 −1,12 1 1 4,1

b) −5 1 2 −1,1

d) 0 1 2 1,0

e) 9 1 1 1,08 1 1 15,1

f) 6 1 1 1,0,0−3 1 1 4,9,−92 1 1 −19,16,4

g) 5 1 1 50,19,86−5 1 2 0,−1,1

h) 0 1 1 1,1, 11 1 1 −1, 0,13 1 1 1,−2,1

k) −5 1 2 −1, 1,0,0−3 1 1 0,0,−1,12 1 1 0,0,4,1

8.5a) La multiplicidad geométrica es 3. Tres vectores propios linealmente independientes son

1,0,0, 0,1,0, 0,0,1.b) La multiplicidad geométrica es 2. Dos vectores propios linealmente independientes son

1,0,0 y 0,0,1.c) La multiplicidad geométrica es 1. Un vector propio linealmente independiente es 1,0,0.

8.6

a) Sí. D =−3 0

0 2, S =

−1 4

1 1

b) Noc) Nod) Noe) Nof) No

129

8.7 Si S−1AS = D, despejando A obtenemos A = SDS−1

Por lo tanto A2 = SDS−1SDS−1 = SD2S−1

También A3 = A2A = SD2S−1SDS−1 = SD3S−1

En general Ak = Ak−1A = SDk−1S−1SDS−1 = SDkS−1.

1 4

1 −2

k

=−1 4

1 1

−3k 0

0 2k

− 15

45

15

15

8.8a) Síb) Noc) Síd) No

8.9a) Síb) Síc) Nod) Noe) No

8.10 La matriz de transición es.95 .05

.02 .98

El primero de enero de 2006 el 56% de la población vivirá en las ciudades y el 44% en el campo.A la larga el 28.57% de la población vivirá en las ciudades y el 71.43% vivirá en el campo.

8.11 La matriz de transición es23

13

14

34

El primero de octubre el 50% de los lectores compró el Ovaciones y el 50% restante compró elEsto. A la larga 42.86% comprará el Ovaciones y 57.14% comprará el Esto.

8.12

a) La matriz de transición es.6 .4

.3 .7Esta matriz es regular.

b) El vector de probabilidades estacionario es 37

, 47.

Esto quiere decir que a la larga la probabilidad de que llueva es de 42.86% y la probabilidad de

130

que no llueva es de 57.14%.c) La probabilidad de que llueva es de 43.2% y de que no llueva es de 56.8%.

8.13 La matriz de transición es.6 .4

.25 .75.

39% de las personas que reciban una carta este año ordenará una suscripción. A la larga lo hará el38.5%.

8.14a) En P2 ningún elemento es igual a cero, luego P es una matriz regularb) 0, 1

9, 4

27c) 2

3.

8.15λ1 = 1λ2 = −1Sí es diagonalizable.

A4 = −11 2

1 1

14 0

0 −14

1 −2

−1 1

8.16a)

● T =

14

34 0

12 0 1

2

0 34

14

b) Si es regularc) H,C,VW = 2

7, 3

7, 2

7

8.17a)

T =

0. 3 0.1 0.6

0. 2 0.4 0.4

0. 5 0 0.5

b) A, B,C = 615 , 1

15 , 815

131

Más popular: Plan CMenos popular: Plan B

8.18λ1 = 5; λ2 = 5; λ3 = 5

v1 = 1,0, 0v2 = 0,1, 0No es diagonalizable.

132

Documents

taller sis ecuaciones.pdf