Sistemas de ecuaciones lineales

Versin Agosto de 2010

Pontificia Universidad Catlica de Chile

ndice1. Conceptos bsicos 1

1.1. Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Notacin matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Eliminacin de Gauss 82.1. Algoritmo de eliminacin de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Solucin general de un sistema lineal 103.1. Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1. Sistemas simultneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2. Combinaciones lineales y el producto Ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.3. Sistemas homogneos e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1. Conceptos bsicos

Definicin: Una ecuacin lineal con n incgnitas es una expresin de la formaa1x1 +a2x2 + +anxn = b,

donde a1,a2, . . . ,an son constantes reales que se conocen con coeficientes de la ecuacin y x1,x2, . . . ,xn son lasvariables o incgnitas de la ecuacin. La constante b se conoce como coeficiente libre o resultado de la ecuacin.

Nota: Recordemos que un hiperplano en Rn es el conjunto de todos los vectores de Rn perpendiculares a un vectorfijo (conocido como el vector normal al hiperplano), es decir, dado un vector n = (a1,a2, . . . ,an), podemos definir elhiperplano con normal n por

H = {x Rn :n (x p ) = 0}

dondep es el vector de posicin de un punto P contenido en el hiperplano. Usando componentes: x = (x1,x2, . . . ,xn)y p = (p1, p2, . . . , pn), tendremos que

H = {x Rn : a1x1 +a2x2 + +anxn = b},

con b = a1 p1 + a2 p2 + + an pn = n p . De esta manera, toda ecuacin lineal con n incgnitas representa unhiperplano en Rn.

Definicin: Un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incgnitas tiene la forma:a11x1 +a12x2 + +a1nxn = b1a21x1 +a22x2 + +a2nxn = b2

.

.

.

am1x1 +am2x2 + +amnxn = bm

donde ai j,bi R para 1 i m y 1 j n.

Resolver el sistema de ecuaciones antes planteado consiste en determinar n nmeros reales x1, x2, . . . , xn quesatisfagan simultneamente las m ecuaciones del sistema. Cada n-tupla que satisface todas las ecuaciones del sistemaser una solucin del sistema. A lo largo de este captulo desarrollaremos mtodos sistemticos para determinar elconjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales cualquiera.

Notemos, adems, que geomtricamente hablando, resolver el sistema de ecuaciones equivale a determinar lainterseccin de los hiperplanos determinados por cada una de las ecuaciones.

Ejemplos:Los ejemplos ms familiares de sistemas de ecuaciones se desarrollan en R2 y en R3. En estos casos podemos

visualizar las soluciones, al ser intersecciones de rectas (hiperplanos en R2) y de planos (hiperplanos en R3).

1. Consideremos el sistema de 3 ecuaciones y 2 incg-nitas:

5x+2y = 17x+4y = 13x+ y = 5

que puede resolverse geomtricamente, graficandolas 3 rectas en R2 (Ver figura).

-2 -1 0 1-2

-1

0

1

2

3

4

1

Segn el grfico, existe una nica solucin del sistema que corresponde al punto de interseccin de las tresrectas: (1,2). Resolviendo analticamente el sistema, deberamos obtener la misma solucin. De hecho, aldespejar de la tercera ecuacin la incgnita y, tendremos que y = 3x+ 5 y, al reemplazar esta expresin en laprimera ecuacin, obtendremos

5x+2y =1 = 5x+2(3x+5) =1 = 11x =11 = x =1

Y, por tanto, y = 3x+5 = 3 (1)+5 =3+5 = 2. As, los valores x =1 e y = 2, satisfacen tanto la primeraecuacin como la tercera ecuacin, pues de ellas hemos obtenidos estos nmeros. Para comprobar que se tratade una solucin del sistema completo, debemos reemplazar los valores en la segunda ecuacin:

7x+4y = 7 (1)+4 2 =7+8 = 1 = (1,2) satisface la segunda ecuacin.

As, hemos comprobado analticamente que (x,y) = (1,2) es solucin del sistema. Por el procedimientoseguido, es claro que estos valores son la nica solucin posible.

2. Consideremos ahora el sistema 5x+2y = 17x+4y = 13x+ y = 54x2y = 5

que coincide en sus primeras tres ecuaciones con el sistema del ejemplo anterior. Luego, como sabemos que lasprimeras tres rectas slo se intersectan en el punto (1,2), la nica posibilidad para que el nuevo sistema tengasolucin es que la cuarta recta tambin pase por este punto, es decir, la cuarta ecuacin debe ser satisfecha porlos valores x =1 e y = 2:

4x2y = 4 (1)2 2 =44 =8 6= 5

Por tanto, este nuevo sistema no tiene ninguna solucin.

3. Por ltimo, consideremos sistemas en R3 (buscamos, entonces, intersecciones de planos). Primero, tomemos elsistema de tres ecuaciones y tres incgnitas

5x+2y+ z = 13x+4y2z = 1

8x+6y z = 2

Segn cun hbiles seamos dibujando, podramos intentar resolver el sistema geomtricamente (Cules sonlas posibilidades para las posiciones relativas de los planos?).Pero ya con tres variables comienza a vislumbrarse la dificultad de resolver geomtricamente sistemas de ecua-ciones lineales y la inminente necesidad de desarrollar mtodos analticos. En este caso, intentaremos reducirel problema eliminando una de las incgnitas. Para esto, despejamos de la tercera ecuacin la variable z:

z = 8x+6y2

y al reemplazar esta expresin para z en las primeras dos ecuaciones, obtendremos un sistema de dos ecuacionesy dos incgnitas: {

5x+2y+(8x+6y2) = 13x+4y2(8x+6y2) = 1 =

{13x+8y = 113x8y = 3

y, ahora es claro que este sistema no tiene solucin (pues, sumando ambas ecuaciones obtendremos que 0=2,una contradiccin), por lo que el sistema original tampoco tendr soluciones. En lenguaje geomtrico, tenemosque los tres planos del sistema no se intersectan en ningn punto los tres al mismo tiempo.La siguiente figura presenta las posiciones relativas que deben tener estos planos en R3: considerndolos apares, se intersectan en una recta, pero no existen puntos que pertenezcan a los tres planos al mismo tiempo.

2

Si ahora consideramos nicamente las primeras dos ecuaciones del sistema anterior:{5x+2y+ z = 1

3x+4y2z = 1

podemos concluir geomtricamente que este sistema tiene solucin y, de hecho, tiene infinitas soluciones (unarecta de soluciones), pues los vectores normales a estos planos son n1 = (5,2,1) y n2 = (3,4,2) respecti-vamente. Y, claramente, los vectores n1 y n2 no son paralelos. Por tanto, los planos no son paralelos y debenintersectarse en una recta. Para obtener la ecuacin vectorial de esta recta interseccin, notamos que su vectordireccin d es ortogonal a n1 y a n2 , luego, podemos decir que

d = (8,13,14).

Y para determinar un punto de posicin de la recta, buscamos algn punto (x,y,z) que satisfaga las dos ecua-ciones del sistema. Por ejemplo:

Si asumimos que x = 0, entonces{

2y+ z =14y2z = 1 = y =

18, z =

34.

Luego, la recta interseccin tiene ecuacin:

x =

(0,18 ,

34

)+ (8,13,14)

1.1. Sistemas equivalentesCon los anteriores ejemplos podemos comenzar a comprender las dificultades que implica resolver sistemas de

ecuaciones lineales sin establecer una estrategia sistemtica para enfrentar el problema. Cuando trabajamos con sis-temas de dos o tres variables y de tres o cuatro ecuaciones, el problema es an manejable, pero cmo manejaremosla situacin si nuestro sistema de ecuaciones tiene 100 variables y 80 ecuaciones o si el sistema tiene 10.000 variablesy 10.000 ecuaciones?

En esta seccin, comenzaremos a desarrollar la teora necesaria para resolver sistemas de ecuaciones lineales, sinimportar cuntas variables ni cuntas ecuaciones tengan.

Definicin: Dos sistemas de ecuaciones se dicen sistemas equivalentes si los conjuntos de soluciones de cada sistemacoinciden.

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Ejemplo: Los sistemas de ecuacionesx+ y+ z = 4

2x+ y z = 74x5y12z = 18

4x+4y z = 11x8y = 11x+ y+ z = 4

x+ y+ z = 4

y+ z = 1z = 1

son equivalentes, pues al resolver cada uno de ellos se llega a que x = 5, y =2 y z = 1 conforman la nica solucinde cada uno de los sistemas. Al resolver cada uno de los sistemas, notamos rpidamente que los dos primeros sistemasrequieren mucho ms trabajo que el tercero.

Tambin podemos decir que cada uno de los sistemas anteriores es equivalente al simplsimo sistema:x = 5y = 2z = 1

Al considerar este ejemplo, podemos establecer las lneas generales de nuestro mtodo para resolver sistemas deecuaciones lineales: para resolver un sistema buscaremos una cadena de sistemas equivalentes al original, cada unoms simple de resolver que el anterior.

Para encontrar estos sistemas equivalentes ms simples, utilizaremos esencialmente tres tipos de pasos quecombinarn las ecuaciones originales en nuevas ecuaciones. Para que el sistema formado por estas nuevas ecuacionessea equivalente al original, debemos asegurarnos de que estos pasos sean reversibles.

1.2. Operaciones elementalesLos pasos bsicos que nos permitirn obtener cadenas de sistemas equivalentes se conocen como operaciones

elementales con ecuaciones. Como ya dijimos, existen tres tipos de operaciones elementales:

1. Operaciones de permutacin: consisten en el intercambio en el orden en que se escriben dos ecuaciones.Claramente, el sistema resultante es idntico al original, salvo que dos de sus ecuaciones estn escritas en unnuevo orden. Para indicar que estamos realizando una operacin de permutacin, intercambiando la ecuacini-sima con la ecuacin j-sima, usaremos la notacin:

Ei E j

2. Operaciones de escalamiento: consisten en la multiplicacin de una ecuacin por una constante c. Por ejemplo,cuando multiplicamos una ecuacin por 2, estamos realizando una operacin de escalamiento. Para asegurarnosde que esta operacin sea reversible, debemos asegurarnos de que c 6= 0 (pues para deshacer esta operacindeberemos dividir la ecuacin por la misma constante). Para indicar que estamos realizando una operacin deescalamiento, multiplicando la ecuacin i-sima por c 6= 0, usaremos la notacin:

c Ei Ei (c 6= 0)

3. Operaciones de eliminacin: consisten en la combinacin de dos ecuaciones, especficamente, se realizasumando el mltiplo de una ecuacin a otra. Por ejemplo, si a la ecuacin 2 le restamos la ecuacin 3 mul-tiplicada por 5, estaremos realizando una operacin de eliminacin. En general, nuestra intencin al combinarlas dos ecuaciones ser obtener una nueva ecuacin en la que una variable ya no aparezca (eliminamos estavariable de la ecuacin). La notacin que indicar la realizacin de una operacin de eliminacin ser:

Ei + c E j Ei

Aqu le estamos sumando c veces la ecuacin j-sima a la ecuacin i-sima, obteniendo una nueva ecuacini-sima.

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Veamos cmo usar estas operaciones elementales para resolver un sistema de ecuaciones.

Ejemplos:1. Para resolver el sistema

x + 3z + 4t = 2x + y + 8z + 6t = 3x + y + 9z + 8t = 3x + y + 9z + 9t = 2

construiremos una cadena de sistemas equivalentes realizando distintas operaciones elementales:x + 3z + 4t = 2x + y + 8z + 6t = 3x + y + 9z + 8t = 3x + y + 9z + 9t = 2

E2E1 E2E3E1 E3E4E1 E4

x + 3z + 4t = 2

y + 5z + 2t = 1y + 6z + 4t = 1y + 6z + 5t = 0

E3E2 E3E4E2 E4

x + 3z + 4t = 2

y + 5z + 2t = 1z + 2t = 0z + 3t = 1

E4E3 E4

x + 3z + 4t = 2

y + 5z + 2t = 1z + 2t = 0

t = 1

A travs de estas operaciones hemos logrado obtener un sistema de ecuaciones equivalente (con las mismassoluciones) al sistema original, pero mucho ms fcil de resolver, pues partiendo por la ltima ecuacin obten-emos directamente que:

t =1 = 0 = z+2t = z2 = z = 2

= 1 = y+5z+2t = y+102 = y+8 = y =7

= 2 = x+3z+4t = x+64 = x+2 = x = 0

Y la nica solucin del sistema es el punto (0,7,2,1).

2. Ahora, resolvamos el sistema x + 2y z + t = 0

2x + 5y + 2t = 14x + 8y 4z + 5t = 22x + 4y 2z + 3t = 23x + 7y z + 3t = 1

usando operaciones elementales:x + 2y z + t = 0

2x + 5y + 2t = 14x + 8y 4z + 5t = 22x + 4y 2z + 3t = 23x + 7y z + 3t = 1

E22E1 E2E34E1 E3E42E1 E4E53E1 E5

x + 2y z + t = 0

y + 2z = 1t = 2t = 2

y + 2z = 1

5

E4E3 E4E5E2 E5

x + 2y z + t = 0

y + 2z = 1t = 20 = 00 = 0

El ltimo sistema (que es el equivalente al sistema original) es bastante ms simple de resolver, pues porla tercera ecuacin tenemos que t = 2, de la segunda ecuacin obtenemos y = 1 2z y reemplazando estasexpresiones en la primera ecuacin, tendremos:

0 = x+2y z+ t = x+2(12z) z+2 = x+24z z+2 = x5z+4 = x = 5z4

Ahora, z no queda determinada por ninguna de las ecuaciones. Diremos que z es una variable libre, es decir,puede tomar cualquier valor real y para cada valor que le demos a z obtendremos una solucin distinta de estesistema. Este es un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales que tiene infinitas soluciones. Pero podemoscaracterizar ms especficamente cmo se distribuyen estas infinitas soluciones en R4.De hecho, un punto (x,y,z, t) ser solucin del sistema si y slo si

(x,y,z, t) = (5z4,12z,z,2) = (4,1,0,2)+ z(5,2,1,0)

Por tanto, geomtricamente tendremos que la interseccin de estos hiperplanos es una recta en R4.

1.3. Notacin matricialPara aumentar la eficiencia del proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones lineales, comenzaremos a usar

una notacin abreviada, en la cual conservaremos los elementos esenciales del sistema.

Definicin: Una matriz A de mn es un conjunto ordenado de nmeros que se arreglan en m filas y n columnas:

A =

a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

am1 am2 am3 amn

Fila 1 Fila 2 Fila 3.

.

.

Fila m

Col 1

Col 2

Col 3

Col n

Asociaremos tres matrices a cada sistema. Por ejemplo, para el sistemax + 3z + 4t = 2x + y + 8z + 6t = 3x + y + 9z + 8t = 3x + y + 9z + 9t = 2

consideraremos:

La matriz de los coeficientes

A =

1 0 3 41 1 8 61 1 9 81 1 9 9

que contiene en cada fila los coeficientes de la ecuacin correspondiente. Las columnas, entonces, contienenlos coeficientes de cada una de las variables. El cero que est en la fila 1 y columna 2 de esta matriz estrepresentando el hecho de que en la primera ecuacin no aparece la variable y.

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La columna de resultados

b =

2332

que contiene los coeficientes libres o resultados de las ecuaciones.

La matriz ampliada del sistema 1 0 3 4 21 1 8 6 31 1 9 8 31 1 9 9 2

que contiene toda la informacin esencial del sistema (tanto los coeficientes como los resultados). Para facilitarla lectura de esta matriz, generalmente vamos a separar la columna de resultados de la matriz de coeficientes enla matriz ampliada y anotaremos:

(A|b) =

1 0 3 4 21 1 8 6 31 1 9 8 31 1 9 9 2

La idea es usar la notacin matricial cuando construimos la cadena de sistemas equivalentes para ahorrar escritura.

Las operaciones elementales que antes realizbamos con las ecuaciones, ahora se realizarn en las filas de la matrizampliada, por lo que tambin comenzaremos a usar una nueva notacin para estas operaciones elementales:

1. Operaciones de permutacin: Pasan de anotarse Ei E j (operacin entre ecuaciones) a anotarse Fi Fj(operacin entre filas).

2. Operaciones de escalamiento: Pasan de anotarse c Ei Ei a anotarse cFi Fi o simplemente cFi (recordarque c 6= 0).

3. Operaciones de eliminacin: Pasan de anotarse Ei+cE j Ei a anotarse Fi+cFj Fi o simplemente Fi+cFj.Resolveremos el siguiente sistema (que ya fue resuelto en el ejemplo 2 de la seccin anterior) usando la notacin

matricial.El primer paso es traspasar el sistema a su matriz ampliada

x + 2y z + t = 02x + 5y + 2t = 14x + 8y 4z + 5t = 22x + 4y 2z + 3t = 23x + 7y z + 3t = 1

=

1 2 1 1 02 5 0 2 14 8 4 5 22 4 2 3 23 7 1 3 1

Ahora, realizaremos a la matriz ampliada las mismas operaciones que antes se aplicaron al sistema para resolverlo:

1 2 1 1 02 5 0 2 14 8 4 5 22 4 2 3 23 7 1 3 1

F22F1F34F1F42F1F53F1

1 2 1 1 00 1 2 0 10 0 0 1 20 0 0 1 20 1 2 0 1

F4F3F5F2

1 2 1 1 00 1 2 0 10 0 0 1 20 0 0 0 00 0 0 0 0

Volvemos a la notacin de sistemas desde la ltima matriz:

x + 2y z + t = 0y + 2z = 1

t = 20 = 00 = 0

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Y terminamos de resolver tal como antes:

t = 2 y y = 12z = x = 5z4

2. Eliminacin de GaussAhora que conocemos la notacin matricial, estamos en condiciones de describir mediante un algoritmo general el

mtodo que hemos estado usando para resolver sistemas de ecuaciones (determinando un sistema equivalente muchoms simple que el original a travs del uso de operaciones elementales). Este algoritmo puede ser aplicado a cualquiermatriz y no slo cuando consideramos la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales.

Vamos a definir dos tipos de matrices especiales.

Definicin: Una matriz est en forma escalonada si cumple las siguientes caractersticas:1. Las filas de la matriz compuestas slo por ceros (filas nulas) estn abajo de todas las filas no nulas.2. En cada fila no nula, avanzando de izquierda a derecha, hay un primer elemento distinto de cero que llamare-

mos pivote. El pivote de una fila est siempre en una columna ms a la derecha que los pivotes de las filas queestn ms arriba.

3. En cada columna que contiene alguno de los pivotes se tiene que todos los elementos que estn bajo el pivoteson cero.

Ejemplo: La matriz

2 1 4 1 0 0 1 80 0 3 1 1 5 0 90 0 0 0 0 125 0 10 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

est en forma escalonada. Los pivotes estn marcados en rojo.

Definicin: Una matriz est en forma escalonada reducida si cumple las siguientes caractersticas:1. La matriz est en forma escalonada (cumple las condiciones 1,2 y 3).2. Todos los pivotes de la matriz son iguales a 1.

3. En cada columna que contiene alguno de los pivotes, el nico elemento distinto de cero es el pivote.

Ejemplo: La matriz

1 8 0 1 1 0 1 00 0 1 1 1 0 2 00 0 0 0 0 1 5 00 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

est en forma escalonada reducida. Nuevamente los pivotes estn en rojo.

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2.1. Algoritmo de eliminacin de GaussEste algoritmo llevar cualquier matriz a una matriz equivalente que est en forma escalonada.

Sea A una matriz de m filas por n columnas:

A =

a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

a(m1)1 a(m1)2 a(m1)3 a(m1)nam1 am2 am3 amn

Paso 1 Asumiremos que la primera columna de A no es nula. Si lo fuera, todo el proceso se realiza con la primeracolumna de A que no es nula.

Nos ubicamos en la primera columna de A y buscamos algn elemento de la columna distinto de cero.Si este elemento no est en la primera posicin (en la fila 1 y en la columna 1), sino que est en la filai-sima, partimos realizando una operacin de permutacin, intercambiando la fila 1 con la fila i.Considerando el punto anterior, podemos asumir que a11 es distinto de cero. Este elemento ser el pivotede la fila 1 y se usar para eliminar elementos de la columna 1.

Paso 2 Transformamos todos los elementos bajo el pivote en cero, realizando operaciones de eliminacin del tipo

Fiai1a11

F1

Paso 3 La matriz equivalente que se obtiene es

a11 a12 a13 a1n0 a22 a23 a2n0 a32 a33 a3n.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

0 a(m1)2 a(m1)3 a

(m1)n

0 am2 am3 amn

Ahora nos concentramos en la submatriz

B =

a12 a13 a

1n

a22 a23 a

2n

a32 a33 a

3n

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

a(m1)2 a(m1)3 a

(m1)n

am2 am3 a

mn

y volvemos al Paso 1 para escalonar esta matriz.

Nota: Recuerde que no todas las columnas tendrn un pivote. Al terminar de escalonar se tendr SIEMPRE unamatriz en forma escalonada que es equivalente a la matriz original. Tambin nos referimos a este algoritmo como elpivoteode la matriz A.

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Ejemplo: Vamos a pivotear la siguiente matriz hasta llevarla a su forma escalonada FE(A) y a su forma escalonadareducida FER(A).

A =

0 3 6 4 91 2 1 3 12 3 0 3 11 4 5 9 7

F4 F1Intercambiamos filas para tener el pivote en laprimera fila (Elegimos el 1 de la Fila 4 comopivote porque esto hace ms simples las ope-raciones de eliminacin que se hacen a conti-nuacin).

1 4 5 9 71 2 1 3 12 3 0 3 10 3 6 4 9

F2 +F1F3 +2F1 Realizamos el Paso 2 para la primera colum-na

1 4 5 9 70 2 4 6 60 5 10 15 150 3 6 4 9

F3 52F2F4 + 32F2

El pivote de la segunda fila est en la Columna2. El pivote es igual a 2. Realizamos el Paso2 para la segunda columna (primera columnade la submatriz)

1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 0 00 0 0 5 0

F4 F3 Intercambiamos las filas 3 y 4 para dejar lafila nula al final

1 4 5 9 70 2 4 6 60 0 0 5 00 0 0 0 0

12F2 15F3Hemos obtenido una matriz que est en formaescalonada y es equivalente a A. La llamamosFE(A).Para encontrar la forma escalonada reducidade A debemos transformar los pivotes en un-os, haciendo operaciones de escalamiento.

1 4 5 9 70 1 2 3 30 0 0 1 00 0 0 0 0

F1 +9F3F2 +3F3

Comenzamos a eliminar los elementos so-bre los pivotes. Para resto, debemos comenzarcon el pivote que est ms a la derecha.

1 4 5 0 70 1 2 0 30 0 0 1 00 0 0 0 0

F14F2

Ahora eliminamos los elementos sobre el si-guiente pivote (hacia la izquierda).

1 0 3 0 50 1 2 0 30 0 0 1 00 0 0 0 0

F14F2 Finalmente, hemos obtenido una matriz en

forma escalonada reducida que es equivalentea A. La llamamos FER(A).

3. Solucin general de un sistema lineal

Definicin: Sea A una matriz y FE(A) una matriz que est en forma escalonada y que es equivalente a A. Se define elrango gaussiano de A (o simplemente el rango de A) como el nmero de pivotes de FE(A). Denotamos este nmeropor r(A).

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Usaremos el rango para decidir cuntas soluciones (si es que existen) tiene un sistema lineal. La siguiente es unapropiedad bsica de los sistemas de ecuaciones lineales que an no hemos demostrado:

Teorema. Si S es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, entonces:

S = #S = 1 #S =

Es decir, todo sistema de ecuaciones lineales o bien no tiene solucin o bien tiene solucin nica o bien tieneinfinitas soluciones. Probaremos este teorema en la siguiente seccin. Por ahora lo asumiremos cierto.

A continuacin, clasificamos los sistemas segn el nmero de soluciones que tienen.

Definicin:

Un sistema lineal que no tiene solucin se dir incompatible (o inconsistente).Un sistema lineal que tiene una nica solucin se dir compatible determinado.

Un sistema lineal que tiene infinitas soluciones se dir compatible indeterminado. En este caso, algunas vari-ables del sistema no quedarn determinadas por las ecuaciones. Estas variables se conocern como variableslibres.

Para decidir si un sistema es compatible o incompatible, se debe hacer un estudio de los rangos de la matriz decoeficientes y de la matriz ampliada del sistema.

Si r(A) 6= r(A|b), entonces el sistema ser incompatibleCundo tendremos que r(A) 6= r(A|b)? Veamos un ejemplo:Si tenemos que la matriz ampliada de un sistema se lleva a la forma escalonada

(A|b)

1 2 25 20 0 3 00 0 0 32

tendremos que r(A|b) = 3, pues FE(A|b) tiene tres pivotes: 1, 3 y 32 . Pero tambin tenemos que

A

1 2 250 0 30 0 0

Luego, r(A) = 2, pues la ltima fila de FE(A) es nula y no tiene pivote.sta ser la situacin en general: cuando r(A|b) 6= r(A) siempre tendremos una fila en la forma escalonada de(A|b) de la forma (

0 0 0 0 | bi)

donde bi 6= 0. Cuando esto ocurre, tendremos en el sistema final una ecuacin de la forma

0 x1 +0 x2 +0 x3 + +0 xn = bi

lo que implica que el sistema completo no tiene solucin (no podemos encontrar valores de x1, x2, x3, . . . , xnque hagan cierto que 0 = bi).

11

Si r(A|b) = r(A) = nmero de variables, entonces el sistema es compatible determinadoLa forma escalonada de (A|b) ser de la forma

p1 b10 p2 b20 0 p3 b3.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0 pn bn0 0 0 0 00 0 0 0 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 0 0 0

(los asteriscos representan los distintos nmeros que se ubicarn sobre los pivotes)Comenzando a resolver el sistema desde la ltima fila no nula hacia arriba (mtodo de sustitucin en reversa")obtendremos el nico valor posible de cada variable.Notemos que para que un sistema de ecuaciones lineales con n variables tenga solucin nica, deber tener, almenos, n ecuaciones (Cuidado! NO estamos diciendo que todos los sistemas con n variables y n ecuacionestienen solucin nica).Si r(A|b) = r(A) < nmero de variables, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Adems, se tieneque

nmero de variables libres = nmero de variables r(A)

Como r(A|b) = r(A), la columna de resultados no contiene pivotes y el sistema tiene soluciones (no hay ecua-ciones que lleven a una contradiccin del tipo 0 = 1). Pero como el nmero de pivotes es menor que el nmerode variables, en la forma escalonada de (A|b) tendremos menos ecuaciones que variables (las dems ecuacionesse volvern nulas durante el proceso de eliminacin gaussiana). Esto llevar a que no todas las variables quedendefinidas de forma nica, es decir, tendremos al menos una variable libre. Por ejemplo, supongamos que lasiguiente matriz es la forma escalonada reducida de la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales:

(A|b)

1 3 0 0 0 0 3 10 0 1 0 0 0 5 00 0 0 1 0 0 0 40 0 0 0 1 1 1 10 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

Las variables libres sern aqullas cuyas columnas no contienen pivotes. En este caso, las variables x2, x6 y x7sern libres. Las dems variables se obtienen despejndolas desde la ltima ecuacin hacia arriba:

x5 + x6 x7 = 1 = x5 = 1 x6 + x7x4 = 4

x3 +5x7 = 0 = x3 =5x7x1 +3x23x7 = 1 = x1 = 13x2 +3x7

12

Si escribimos las soluciones con notacin de vectores, nos queda:

x1x2x3x4x5x6x7

=

13x2 +3x7x25x7

41 x6 + x7

x6x7

=

1004100

+ x2

3100000

+ x6

0000110

+ x7

3050101

(Recordemos que los vectores pueden escribirse tanto horizontal como verticalmente. Al escribirlos comocolumnas, nos es ms fcil visualizar los valores correspondientes de cada componente).

3.1. Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

3.1.1. Sistemas simultneos

Cuando se utilizan sistemas lineales para modelar fenmenos reales, a menudo las relaciones entre las diferentesvariables se mantienen pero los resultados obtenidos de la experimentacin cambian. As, se obtienen una multiplici-dad de sistemas que tienen la misma matriz de coeficientes, pero distintas columnas de resultados. Es decir, estamosconsiderando el caso en que tenemos matrices ampliadas del tipo

(A|b1) (A|b2) (A|b3) (A|bp)

Aplicar el algoritmo de eliminacin gaussiana a cada matriz ampliada por separado sera extremadamente inefi-ciente, pues las operaciones elementales que se realizarn estn guiadas por los coeficientes de la matriz A y estaramoshaciendo el mismo trabajo una y otra vez. Entonces, el procedimiento estndar es construir una matriz ampliada quecontenga la informacin de todos los sistemas y se pivotea esta matriz hasta llevarla a su forma escalonada reducida(as evitamos realizar la sustitucin en reversa para cada sistema por separado). De esta manera estaremos resolviendotodos los sistemas simultneamente.

Ejemplo: Resolvamos simultneamente los sistemasx y + 3z + t = a

2x y + 4z 2t = bx + 2y 4z t = c2x + 3z 2t = d

con

a

bc

d

=

81111

8

,

0120

,

3342

,1230

Partimos construyendo la matriz ampliada:

(A|b1|b2|b3|b4) =

1 1 3 1 8 0 3 12 1 4 2 11 1 3 21 2 4 1 11 2 4 3

2 0 3 2 8 0 2 0

Ahora la pivotearemos:

1 1 3 1 8 0 3 12 1 4 2 11 1 3 21 2 4 1 11 2 4 3

2 0 3 2 8 0 2 0

F22F1F3 +F1F42F1

1 1 3 1 8 0 3 10 1 2 4 5 1 3 40 1 1 0 3 2 1 20 2 3 4 8 0 4 2

F3F2F42F2

1 1 3 1 8 0 3 10 1 2 4 5 1 3 40 0 1 4 2 1 2 20 0 1 4 2 2 2 6

F4F3

1 1 3 1 8 0 3 10 1 2 4 5 1 3 40 0 1 4 2 1 2 20 0 0 0 0 3 0 4

Hemos llegado a la forma escalonada de la matriz (A|b1|b2|b3|b4) y aqu podemos analizar la existencia de solu-

ciones de cada sistema. As tenemos que:

13

El sistema (A|b1) es compatible indeterminado, pues r(A|b1) = r(A) = 3 y tiene una variable libre, puesnmero de variables = 4.

El sistema (A|b2) es incompatible, pues 4 = r(A|b2) 6= r(A) = 3.

El sistema (A|b3) es compatible indeterminado, pues r(A|b3) = r(A) = 3 y tiene una variable libre.

El sistema (A|b4) es incompatible, pues 4 = r(A|b4) 6= r(A) = 3.

Terminaremos de resolver slo los sistemas compatibles:

FE(A|b1|b3) =

1 1 3 1 8 30 1 2 4 5 30 0 1 4 2 20 0 0 0 0 0

F13F3F2 +2F3

1 1 0 11 2 30 1 0 4 1 10 0 1 4 2 20 0 0 0 0 0

F1+F2

1 0 0 7 1 20 1 0 4 1 10 0 1 4 2 20 0 0 0 0 0

= FER(A|b1|b3)Entonces, obtenemos las soluciones de los dos sistemas compatibles:

Las soluciones del sistema (A|b1) estn dadas por: z = 24t, y =14t, x = 1+7t. Escritas en vectores:x

yzt

=

1+7t14t24t

t

=

1120

+ t

7441

Las soluciones del sistema (A|b3) estn dadas por: z = 24t , y = 14t , x =2+7t . En vectores

x

yz

t

=2+7t 14t 24t

t

=2120

+ t

7441

Cmo se relacionan las soluciones de ambos sistemas?Qu sentido geomtrico tiene tal relacin?

3.1.2. Combinaciones lineales y el producto Ax

Estudiaremos, ahora, la relacin entre la compatibilidad de un sistema y las combinaciones lineales de ciertosvectores. Plantearemos el asunto desde un caso concreto:

Consideremos los vectores u1 =

11000

, u2 =

11100

, u3 =

11110

, u4 =

11111

y u5 =

00011

.Responderemos dos preguntas:

1. Es v =

11012

combinacin lineal de los vectores u1,u2,u3,u4,u5?

14

2. En general, qu debe cumplir un vector w =

a

bc

de

para pertenecer a {u1,u2,u3,u4,u5}?Para responder la pregunta 1, debemos determinar si existen constantes c1, c2, c3, c4, c5 R tales que:

11012

= c1

11000

+ c2

11100

+ c3

11110

+ c4

11111

+ c5

00011

=

c1 + c2 + c3 + c4c1 + c2 + c3 + c4

c2 + c3 + c4c3 + c4 + c5

c4 + c5

Igualando los vectores componente a componente, tendremos que

()

c1 + c2 + c3 + c4 = 1c1 + c2 + c3 + c4 = 1

c2 + c3 + c4 = 0c3 + c4 + c5 = 1

c4 + c5 = 2

Tenemos, entonces, que el vector v es c.l. de los vectores u1,u2,u3,u4,u5 si y slo si el sistema () es compatible.Estudiemos el sistema. Para esto, escribimos la matriz ampliada correspondiente:

1 1 1 1 0 11 1 1 1 0 10 1 1 1 0 00 0 1 1 1 10 0 0 1 1 2

Antes de pivotear la matriz, notemos que las columnas de A coinciden con los vectores u1,u2,u3,u4,u5 y la

columna de resultados es el vector v.Ahora pivoteamos:

(A|b) =

1 1 1 1 0 11 1 1 1 0 10 1 1 1 0 00 0 1 1 1 10 0 0 1 1 2

1 1 1 1 0 10 0 0 0 0 00 1 1 1 0 00 0 1 1 1 10 0 0 1 1 2

1 1 1 1 0 10 1 1 1 0 00 0 1 1 1 10 0 0 1 1 20 0 0 0 0 0

Luego, el sistema () es compatible pues r(A|b) = r(A) = 4 y, por tanto, el vector v es c.l. de los vectores

u1,u2,u3,u4,u5. Adems sabemos que el sistema tiene infinitas soluciones, lo que significa que v puede escribirse deinfinitas maneras como una c.l. de u1,u2,u3,u4,u5.

Ahora, queremos responder la segunda pregunta. Bueno, ya sabemos que w ser c.l. de los vectores u1,u2,u3,u4,u5si y slo si el sistema de ecuaciones con matriz ampliada (A|w) es compatible (las columnas de la matriz A son losvectores u1,u2,u3,u4,u5). Pivoteamos esta matriz:

(A|w) =

1 1 1 1 0 a1 1 1 1 0 b0 1 1 1 0 c0 0 1 1 1 d0 0 0 1 1 e

1 1 1 1 0 a0 0 0 0 0 ba0 1 1 1 0 c0 0 1 1 1 d0 0 0 1 1 e

1 1 1 1 0 a0 1 1 1 0 c0 0 1 1 1 d0 0 0 1 1 e0 0 0 0 0 ba

y vemos que el sistema ser compatible si y slo si ba = 0 (Si ba 6= 0, entonces r(A|w) = 5 6= 4 = r(A)). De

esta forma, tenemos que w es c.l. de u1,u2,u3,u4,u5 si y slo si a = b.Realizaremos una definicin que nos permitir formalizar nuestras observaciones de este ejemplo.

15

Definicin: Sea x = (x1,x2, . . . ,xn) un vector de Rn y sea A una matriz cuyas n columnas son los vectores v1 , v2 ,. . . ,vn . Se define el producto de la matriz A por el vector x por

Ax =[v1

v2 vn ]

x1x2.

.

.

xn

= x1v1 + x2v2 + + xnvn

As, el producto de una matriz por un vector da como resultado un nuevo vector que es una c.l. de las columnasde A cuyos coeficientes son las componentes del vector.

Con esta definicin, podemos escribir todos los sistemas de ecuaciones lineales como una ecuacin vectorial de laforma Ax =

b (o simplemente Ax = b, pues slo usaremos flechas sobre los vectores cuando sea necesario aclararque estamos hablando de vectores).Ejemplos:

1. Sean A =

1 1 3 52 8 0 10 6 1 1

y u = (1,2,3,4) (recordemos que el vector debe tener el mismo nmero decomponentes que las columnas de A). Entonces,

Au =

1 1 3 52 8 0 10 6 1 1

1234

= 1 12

0

+2 18

6

+3 301

+4 51

1

=2814

13

Ahora, en general, si x = (x,y,z, t), tendremos que

Ax =

1 1 3 52 8 0 10 6 1 1

x

yzt

= x12

0

+ y18

6

+ z 301

+ t 51

1

=x y+3z+5t2x+8y t

6y z+ t

Entonces, la ecuacin vectorial Ax= b con b=(3,2,1) (la columna de resultados debe tener tantos componentescomo filas tiene A) representar al sistema de ecuaciones

x y+3z+5t = 32x+8y t = 2

6y z+ t = 1

2. El sistema de ecuaciones

7x1 + x2 + x3 x49x5 = 3x18x2 +3x32x5 = 0

3x19x2 +2x33x4 = 1x1 +2x2 +3x3 x4 + x5 = 6

x1 + x5 = 123x1 + x2 + x3 + x4 x5 = 1

se escribir como la ecuacin vectorial

7 1 1 1 91 8 3 0 23 9 2 3 01 2 3 1 11 0 0 0 13 1 1 1 1

x =

3016

121

16

donde x = (x1,x2,x3,x4,x5).

3. La ecuacin vectorial 1 23 26 09 5

(xy)=

2131

corresponde al sistema

x+2y = 23x+2y = 1

6x = 39x+5y = 1

La definicin del producto Ax nos permite establecer el siguiente resultado:

Teorema. Un sistema de ecuaciones con matriz ampliada (A|b) es compatible si y slo si el vector b es combinacinlineal de las columnas de A.

Demostracin: Un sistema de ecuaciones lineales con matriz ampliada es (A|b) es equivalente a la ecuacin vectorialAx = b. As,

El sistema es compatible existen valores de x1,x2, . . . ,xn que satisfacen todas las ecuacionesdel sistema

el vector x = (x1,x2, . . . ,xn) es una solucin de la ecuacin vectorialAx = b

b = x1v1 + x2v2 + + xnvn, donde A = [v1|v2| |vn].

Propiedades del producto AxSean A una matriz con n columnas, x e y dos vectores de Rn y una constante real. Entonces:

1. A(x+ y) = Ax+Ay

2. A(x) = Ax

La demostracin de estas propiedades es directa de las propiedades de la suma y ponderacin de vectores y dela definicin del producto Ax. Con ellas estamos en condiciones de probar el teorema que planteamos en la seccinanterior:

Teorema. Si S es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, entonces:S = #S = 1 #S =

Demostracin: Supongamos que S es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones Ax = b. Es decir, unvector x0 pertenece a S si y slo si Ax0 = b.Si S = o si S tiene slo un elemento, no tenemos nada que probar. Entonces podemos suponer que S tiene al menosdos elementos distintos: x1 y x2. Debemos demostrar que S contiene infinitos elementos.Esto es simple, pues si tomamos cualquier vector que est en la recta que une x1 con x2, es decir, cualquier vector xtal que

x = x1 + (x2 x1), con R,tendremos que

Ax = A(x1 + (x2 x1)

)= Ax1 +A(x2 x1) = b+

(Ax2Ax1

)= b+ (bb) = b+ 0 = b

As, para cada R tenemos una solucin distinta del sistema Ax = b, es decir, S tiene infinitos elementos. Lo quecompleta la demostracin.

17

3.1.3. Sistemas homogneos e independencia lineal

En esta seccin estudiaremos un tipo especial de sistemas de ecuaciones lineales que juegan un papel especial enuno de los conceptos ms importantes del lgebra Lineal: la independencia lineal.

Definicin: Un sistema de ecuaciones se dir homogneo si la columna de resultados es el vector 0.

Claramente, todo sistema homogneo ser representado por una ecuacin vectorial del tipo Ax = 0. Adems,podemos garantizar que todo sistema homogneo ser compatible, pues x = 0 siempre ser una solucin del sistemaAx = 0 (x = 0 se conoce como la solucin trivial de Ax = 0). Por tanto, el siguiente resultado es evidente.

Teorema. Un sistema homogneo Ax = 0 es compatible determinado si y slo si

r(A) = nmero de variables.

Definicin: Dado un sistema no homogneo Ax = b, con b 6= 0, su sistema homogneo asociado ser Ax = 0 (sistemahomogneo que tiene la misma matriz de coeficientes).

Existe una clara relacin entre las soluciones de un sistema Ax = b y las soluciones de su sistema homogneoasociado.

Teorema. Si S0 es el conjunto de soluciones del sistema Ax = 0 y xp es una solucin particular conocida del sistemaAx = b, entonces el conjunto de todas las soluciones del sistema Ax = b est dado por

S = xp +S0 = {x : x = xp + x0 con x0 S0}

Demostracin: Primero probaremos que al tomar la suma de xp con una solucin del sistema Ax = 0 obtenemos unasolucin del sistema Ax = b. Pero esto es directo, pues si x0 es una solucin de Ax = 0, entonces

Axp = b y Ax0 = 0 = A(xp + x0) = Axp +Ax0 = b+0 = b,

es decir, xp + x0 es solucin de Ax = b. Con esto probamos que xp +S0 S.Ahora, probaremos que cualquier solucin de Ax = b se escribe como la suma de xp y un elemento de S0. Para estoconsideremos un vector x que es solucin de Ax = b. Entonces:{

Ax = bAxp = b

= A(x xp) = AxAxp = bb = 0

As, tenemos que x xp es una solucin del sistema Ax = 0, luego x xp = x0 S0. As,

x = xp + x0 xp +S0.

Con esto probamos que S xp +S0 y obtenemos la igualdad de los conjuntos.

Ejemplo: Consideremos el sistema Ax = b con A = 1 5 2 03 1 9 5

4 8 1 7

y b =79

0

.

Resolveremos simultneamente los sistemas Ax = b y Ax = 0, pivoteando la matriz ampliada (A|b).

18

(A|b) =

1 5 2 0 73 1 9 5 94 8 1 7 0

F2 +3F1F34F1

1 5 2 0 70 16 3 5 120 28 7 7 28

F3

( 17)

1 5 2 0 70 16 3 5 120 4 1 1 4

F3 F2

1 5 2 0 70 4 1 1 40 16 3 5 12

F34F2

1 5 2 0 70 4 1 1 40 0 7 1 4

Entonces las soluciones del sistema Ax = b son:

7z t = 4 = t = 7z4

4y z t =4 = 4y z7z+4 =4 = 4y = 6z8 = y = 3z42

x+5y2z =7 = x =5y+2z7 =5 (3z4)2

+2z7 =152

z+10+2z7

= x = 3 112

z

As, vectorialmente, tenemos que

x

yzt

=

3 112 z

2+ 32z

z

4+7z

=

32

04

+ z 112

32

1

7

De esta manera, tenemos que

S =

32

04

+ 112

32

1

7

El vector xp =

32

04

es una solucin particular y el conjunto S0 = 112

32

1

7

es el conjunto de soluciones del

sistema homogneo asociado (Comprubelo!).

Nuestra intencin a continuacin es contestar la siguiente pregunta:

Dado un conjunto de vectores {u1,u2, . . . ,un}, de cuntas maneras distin-tas puede escribirse el vector 0 como combinacin lineal de los vectoresu1,u2, . . . ,un?

19

Como ya vimos, escribir 0 como c.l. de los vectores u1,u2, . . . ,un equivale a resolver el sistema homogneoAx = 0, donde la matriz de coeficientes del sistema tiene a los vectores u1,u2, . . . ,un como columnas, es decir, dondeA =

[u1 | u2 | . . . | un

]. Entonces, cuando el sistema Ax = 0 es compatible determinado, slo tenemos la solucin

trivial x = 0, que en lenguaje de combinaciones lineales nos dice que la nica forma de escribir 0 como c.l. deu1,u2, . . . ,un es

0 = 0 u1 +0 u2 + +0 un ()

Cuando el sistema Ax = 0 tiene infinitas soluciones, tendremos que 0 se puede escribir de infinitas manerasdistintas como combinacin lineal de los vectores u1,u2, . . . ,un y claramente hay una c.l. distinta de la trivial ().Daremos nombre a ambas situaciones:

Definicin:

Los vectores u1,u2, . . . ,un se dirn linealmente independientes cuando la nica forma de escribir 0 como c.l. deu1,u2, . . . ,un es la trivial (). Es decir, los vectores u1,u2, . . . ,un son linealmente independientes si se cumplela siguiente implicacin:

1u1 +2u2 + +nun = 0 = 1 = 0,2 = 0, . . . ,n = 0.

Los vectores u1,u2, . . . ,un se dirn linealmente dependientes si no son linealmente independientes. Es decir, losvectores u1,u2, . . . ,un se dirn linealmente dependientes si el vector 0 se puede escribir de infinitas manerasdistintas como c.l. de u1,u2, . . . ,un y, por tanto, existen constantes 1,2, . . . ,n no todas iguales a cero talesque

0 = 1u1 +2u2 + +nun.

Abreviaremos frecuentemente linealmente independiente por li y linealmente dependiente por ld. A contin-uacin, ahondaremos un poco en el concepto de ld.

Supongamos que los vectores u1,u2, . . . ,un son ld, entonces existen constantes 1,2, . . . ,n no todas iguales acero tales que

0 = 1u1 +2u2 + +nun.

Entonces existe i {1,2, . . . ,n} tal que i 6= 0 y podemos asumir que i = 1 (podemos ubicar los vectores en otroorden, si es necesario), luego 1 6= 0 y

0 = 1u1 +2u2 + +nun = 1u1 =2u2 nun/

11

= u1 =21

u231

u3 n1

un

As, tenemos que u1 es combinacin lineal de los otros vectores. Diremos que u1 depende linealmente deu2, . . . ,un. De aqu que decimos que los vectores u1,u2, . . . ,un son linealmente dependientes.

Este procedimiento de despejar algunos vectores en funcin de los otros no podr realizarse en el caso en que losvectores u1,u2, . . . ,un sean li.

20

Ejemplos:1. Decidamos si los vectores u1 = (1,2,3), u2 = (4,5,6) y u3 = (2,1,0) son li o ld. Para esto, formamos la matriz

A que tiene estos vectores como columnas y decidimos si el sistema Ax = 0 es determinado (los vectores son li)o indeterminado (los vectores son ld).

A =

1 4 22 5 13 6 0

F22F1F33F1

1 4 20 3 30 6 6

F32F2

1 4 20 3 30 0 0

y como r(A) = 2 < 3 =nmero de variables, tenemos que el sistema tiene infinitas soluciones y, por tanto, losvectores u1,u2,u3 son l.d.Si resolvemos el sistema, nos queda que y = z, que x = 4y2z = 4z2z = 2z y que z es libre, es decir, elconjunto de soluciones es

S0 =

211

Qu significa esto en cunto a la dependencia lineal de los vectores u1,u2,u3?

Bueno, el sistema

1 4 22 5 13 6 0

xyz

=00

0

escrito en lenguaje de combinaciones lineales es equivalente a

x

123

+ y45

6

+ z21

0

=00

0

Reemplazando los valores x = 2z, y =z, z = z, tendremos que

2z

123

z45

6

+ z21

0

=00

0

y asumiendo z 6= 0 (considerando una solucin distinta de la trivial), podemos dividir por z y tendremos que

2u1u2 +u3 = 0 = u3 = u22u1

Claramente, tambin podemos despejar u2 en funcin de u1 y u3, y tambin podemos poner u1 en trminos deu2 y u3.Tambin notemos que si eliminamos u3 (la columna de A sin pivote) del conjunto {u1,u2,u3}, obtenemos elconjunto de vectores li {u1,u2}. En general, cuando tenemos un conjunto de vectores ld y eliminamos aquellosvectores que quedan sin pivotes, obtendremos un conjunto de vectores li.Por ltimo, con todo lo anterior es fcil probar que {u1,u2,u3} = {u1,u2} (Es decir, que como u3 es c.l.de u1,u2, tendremos que todo vectores que es c.l. de u1,u2,u3 puede ser escrito como c.l. de u1,u2 solamente).Demuestre esta afirmacin con todo detalle.

2. Consideremos nuevamente los vectores u1 =

11000

, u2 =

11100

, u3 =

11110

, u4 =

11111

y u5 =

00011

.

21

Ya vimos que estos vectores son ld, pues escalonamos en su momento la matriz A que los tiene como columnasy obtuvimos que

A =

1 1 1 1 01 1 1 1 00 1 1 1 00 0 1 1 10 0 0 1 1

1 1 1 1 00 0 0 0 00 1 1 1 00 0 1 1 10 0 0 1 1

1 1 1 1 00 1 1 1 00 0 1 1 10 0 0 1 10 0 0 0 0

As, tenemos que u5 depende linealmente de u1,u2,u3,u4. Ya sabemos cmo encontrar la relacin de dependen-cia resolviendo el sistema. Pero la matriz A tambin nos permite determinar un nuevo vector u6 que sea li conu1,u2,u3,u4.

Analicemos el problema: para que u6 sea li con u1,u2,u3,u4 necesitamos ubicarlo como la quinta columnade A y debemos tener que al final del escalonamiento esta columna tenga un pivote. Si nos fijamos, la primeraoperacin elemental, que es F2F1F2, hace cero la segunda fila y el resto de las operaciones slo intercambiafilas para llevar esta fila nula hasta abajo en la matriz. Entonces, lo que queremos es que esta fila no se anulecompletamente, de modo que al llevarla al final de la matriz, nos quede un pivote. As, podemos tomar el vectoru6 = (0,1,0,0,0) o cualquier otro vector u6 cuya componentes 1 y 2 sean distintas (para que al restar las filas1 y 2 obtengamos un nmero distinto de cero). Vuelva al comienzo de la seccin 3.1.2 y reflexione sobre larelacin entre encontrar este vector u6 y la respuesta que obtuvimos para la pregunta 2 en ese momento.

3. Con lo que ya sabemos, estamos en condiciones de demostrar la siguiente afirmacin:

Consideramos el conjunto {v1,v2, . . . ,vp} de vectores de Rn. Si p > n, entonces los vec-tores v1,v2, . . . ,vp son ld.

Al considerar la matriz A =[

v1 | v2 | | vp], sabemos que tiene p columnas (el sistema tiene p variables) y

como todas las columnas son vectores de Rn, tambin sabemos que A tiene n filas. Entonces, r(A) n (puesslo hay un pivote por fila no nula, entonces en el mejor de los casos podramos tener un pivote en cada fila deFE(A)).Si tenemos que p > n, entonces, r(A)< nmero de variables y el sistema Ax = 0 es indeterminado, es decir,los vectores v1,v2, . . . ,vp son ld.

Nota: Si p n, no podemos saber si los vectores v1,v2, . . . ,vp son li o ld.

22

MAT1203 LGEBRA LINEALGUA N2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Determine, si existen, las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales:{2a + b c = 7a + 3c = 4

a) Qu sucede si se agrega la ecuacin a+b+ c = 1 al sistema?b) Qu valor debe tomar p para que al agregar la ecuacin 2a b+ 13c = p al sistema original, ste sea

compatible?

2. Determine la interseccin de los hiperplanos indicados en cada caso.

(a)

2x +5y +7z = 2

x +2y +3z = 1y +z = 0

3x +3z = 3

(b)

x y +z 3t +4u = 8

y 3z u = 12x z +3t 3u = 33x 3z = 12

x +y 2z +6t 7u = 5

(c)

x +3y z +v = 1

2x +3y +2t u = 53x +6y z +2t u +v = 44x +9y 2z +2t u +2v = 3

(a)

2x +5y +7z = 0

x +2y +3z = 0y +z = 0

3x +3z = 0

(b)

x y +z 3t +4u = 0

y 3z u = 02x z +3t 3u = 03x 3z = 0

x +y 2z +6t 7u = 0

(c)

x +3y z +v = 0

2x +3y +2t u = 03x +6y z +2t u +v = 04x +9y 2z +2t u +2v = 0

De acuerdo con los resultados, cmo se relacionan (a) y (a), (b) y (b), (c) y (c)? D una interpretacingeomtrica de estas relaciones.

3. Escriba el vector v = (1,2,3,4) como combinacin lineal de los vectores v1 = (1,1,1,1), v2 = (1,2,1,1),v3 = (1,1,2,1).

4. Considere el plano P = {(x,y,z) : 2x3y+ z = 0} en R3 y la matriz

A =

1 1 22 0 11 1 1

.a) Determine dos vectores l.i. u y v tales que P = {u,v}.b) Determine la ecuacin del plano P = {Au,Av}.

5. Sea un escalar distinto de cero. Demuestre que el vector u = (2,2, +1) pertenece al conjuntoU = {(1,1,1),( ,1,2 1),(1, ,2 2)}

sin importar el valor de . Escriba u como c.l. de los generadores de U para el caso en que = 1.

6. Determine todos los valores de para los cuales el vector u = (1, +1, +3, +2) no pertenece al conjunto{(1,1,1,2),(3, +4,3, +7),(2, +3, 34 2 +2, +5)}

23

7. Determine el rango gaussiano de las matrices, llevndolas a su forma escalonada.

A =

5 3 4 23 4 5 14 4 3 26 2 13 3

B =2 2 3 3 12 0 4 2 18 2 11 7 31 10 3 9 2

C =

2 2 18 11 5

4 13 30 3 92 2 0

4 0 0

D =

4 1 1 2 112 1 4 4 14 3 3 0 4

E = 0 1 2 0 4 0 11 32 0 0 3 5 1 8 5

8 2 4 12 28 4 54 14

8. Considere el sistema

5x +4y 3z = ax +3y 2z = b

3x +10y (7 )z = cDetermine condiciones para a,b,c y , de modo que:

a) la interseccin de los planos sea una recta.b) los tres planos no se intersecten.c) los tres planos se intersecten en un punto.

9. Determine e interprete geomtricamente la interseccin de los siguientes hiperplanos para los distintos valoresdel parmetro real a:

(i)

x y + z + 2t = 3

ax ay + 2at = ax + ay + a2z + 2(a+2)t = 3

(2+a)x (2+a)y + 2z + (6+2a)t = 6a

(ii)

ax 2ay + 3az = 14a

2ax + (13a)y + (8a+2)z = 35aax + (1a)y + (a2 +5a+1)z = 43a

(iii)

2ax + 5y + (1a2)z + 2t = 6a

4ax 3y + 3(a21)z t = 10a+52ax + 3y + (1a2)z + t = 5a1

2y + (a21)z + t = a+3

(iv)

ax + y = 1ax ay + z = 1

(a+1)y + 2z = 1x + ay az = 2a

10. Determine una matriz A tal que el sistema Ax =(

01

)tiene conjunto solucin

S ={(

1

): R

}

24

11. Sea A una matriz con tres filas y tres columnas tal que su tercera fila es igual a la suma de las dos primeras.

a) Existe un vector x en R3 tal que Ax = 10

0

?b) Determine todos los vectores b =

b1b2b3

R3 para los cuales el sistema Ax = b tiene al menos unasolucin.

12. Suponga que el conjunto solucin del sistema

Ax =

11

21

es

S =

1000

+

2200

,1

010

,

0031

a) Decida si S es un hiperplano de R4.b) Determine la matriz A.c) Encuentre el conjunto de todos los vectores b R4 para los cuales el sistema Ax = b tiene al menos una

solucin.

13. Sea A una matriz de tres filas y cinco columnas tal que A

50000

= 105

0

, A

44000

= 428

0

, A

33300

= 327

3

, A

22220

= 220

2

y A

11111

= 4103

. Determine la matriz A.

14. En cada caso, considere los distintos valores que puede tomar y

a) decida si los vectores columna de A son l.i. o l.d.b) determine si el vector b pertenece al espacio columna de la matriz A.

25

(i) A =

1 1 11 1 11

y b =

110

(ii) A =

1 1 11 2 1

y b =

01

(iii) A = 2 1 21 3

y b = 0

1

(iv) A = 1 1 5 3 5 1

4 3 2

y b = 13

(v) A =

2 1 1 1 1 3 3 1 1

y b =22

01

15. Estudie el nmero de soluciones del sistema Ax = b y resulvalo, cuando sea posible, para los distintos valoresque pueden tomar y .

a) A = 1 21 1 3

2 +1 1

y b = 12

b) A = 1 1 3 1

y b = 00

c) A = 11 1

1

y b = 1

1

16. Estudie el nmero de soluciones del sistema Ax = b y resulvalo, cuando sea posible, para los distintos valoresque pueden tomar , y .

a) A = 1 21 2

1 2

y b = 00

0

. b) A =

1 1 11 2 2 2

y b = 11

1

.

17. Resuelva simultneamente los sistemas de ecuaciones Ax1 = b1 y Ax2 = b2 donde

A =

1 2 1 34 9 3 101 2 0 3

b1 = 12

3

b2 = 04

8

18. Considere el conjunto

V =

u1 =

5

2153

,u2 =

023

11

,u3 =

15141511

11

a) Los generadores de V son linealmente dependientes. Elimine del conjunto de generadores de V todos losvectores que sea necesario de modo que el conjunto generador sea l.i.

b) Determine cul o cules de los vectores del conjunto A presentado a continuacin pertenecen a V .c) Escriba aquellos vectores de A que pertenezcan a V como c.l. de los generadores l.i. de V encontrados en

la parte (a).

26

A =

35

24223026

v1

,

02310

v2

,14

25

34411327

v3

,

5611

91

v4

,

11011

v5

,

202

523

9

v6

,

101214610

v7

,

152895

7

v8

,

0001

14

v9

,

RESPUESTAS:

1. S0 = (4,15,0)+ {(3,7,1)}. a) S1 = {(2,1,2)}. b) p =23.2.a) S = (1,0,0)+ {(1,1,1)}. a) S = {(1,1,1)}b) S = (1,14,5,0,0)+ {(3,9,3,1,0),(3,10,3,0,1)}. b) S = {(3,9,3,1,0),(3,10,3,0,1)}.c) S = (1,0,0,0,7,0)+ {(3,1,0,0,3,0),(1,0,1,0,2,0),(0,0,0,1,2,0),(1,0,0,0,2,1)}.c) S = {(3,1,0,0,3,0),(1,0,1,0,2,0),(0,0,0,1,2,0),(1,0,0,0,2,1)}.3. v no es c.l. de v1,v2,v3. 4.a) P = {(1,0,2),(0,1,3)}. b) P = {(x,y,z) : 3x+ 2y 3z = 0}. 5. Si = 1,u = 2(1,1,1). 6. {1,0,4}. 7. r(A) = 4, r(B) = 4, r(C) = 3, r(D) = 3, r(E) = 2.8.a) = 0 y ca2b = 0. b) = 0 y ca2b 6= 0. c) 6= 0, para todo a,b,c R.9.(i) Si a = 1, S = (1,0,4,0) + (1,1,0,0). Si a = 0, S = (3,0,0,0) + (0,1,1,0). Si a 6= 0,1, S = {(34a,4 4a,4,0)}. (ii) Si a = 0 a = 1, S = . Si a = 1, S = (1,2,0) + (7,2,1). Si 6= 1,0,1, S ={

2a2 +13a+1a(a+1)

,3a+5a+1

,2

a+1

}. (iii) Si a = 0 a = 1, S = . Si a = 1, S =

(12,1,0,0

)+ (0,0,1,0). Si

a 6=1,0,1, S ={(

12,a,

2a1

,a+1)}

. (iv) Para todo a R, S =.

10. A =(

0 01 0

). 11.a) No. b) b (1,0,1),(0,1,1). 12.a) S. b) A =

1 1 1 31 1 1 3

2 2 2 61 1 1 3

.c) b (1,1,2,1). 13. A =

2 1 0 0 31 8 2 1 00 0 1 0 4

.

17. S1 = (7,2,4,0) + (11,4,6,1) y S1 = (32,12,8,0) + (11,4,6,1). 18.a) {u1,u2} es un conjuntogenerador l.i. de V . b) y c) v1 = 7u1 5u2, v3 = 54u1 3u2, v4 = u1 + 4u2, v6 = 4u1 3u2, v7 = 2u1 + 4u2,v8 =

32u1 +

52 u2 son elementos de V y v2,v5,v9 /V .

27