ECUACIONES. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. …webs.ono.com/joaquinmateopo0/ALGEBRA/TEMAS/ecuaciones.pdf · Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces. Si

Ecuaciones. Resolucin de ecuaciones. Aproximacin numrica de races.

ECUACIONES. RESOLUCIN DE ECUACIONES.

APROXIMACIN NUMRICA DE RAICES.

ndice

1. INTRODUCCIN............................................................................................................................................................2

2. CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS POR RADICALES..................................................................................2

Ecuacin...............................................................................................................................................................................2

Ecuaciones polinmicas de una variable de primer, segundo, tercer y cuarto grado..........................................................3

Ecuaciones polinmicas de una variable de grado superior a cuatro...................................................................................7

Teorema fundamental del lgebra........................................................................................................................................7

Frmulas de Cardano Vieta..................................................................................................................................................8

Regla de Ruffini....................................................................................................................................................................9

Otros mtodos para buscar races.......................................................................................................................................11

3. ACOTACIN DE RACES DE POLINOMIOS...........................................................................................................13

Cotas de races....................................................................................................................................................................13

Algoritmo de Horner..........................................................................................................................................................15

Nmero de races ...............................................................................................................................................................17

Delimitacin de races .......................................................................................................................................................23

4. MTODOS NUMRICOS DE RESOLUCIN DE ECUACIONES...........................................................................24

Teorema del punto fijo ....................................................................................................................................................24

Mtodo de aproximaciones sucesivas .............................................................................................................................25

Cotas de error .....................................................................................................................................................................28

Mtodo de Newton (o de las tangentes) ............................................................................................................................30

Mtodo de Regula Falsi (o de las secantes) .......................................................................................................................31

Mtodo de Biserccin ........................................................................................................................................................31

Interpretacin geomtrica de algunos mtodos numricos ................................................................................................33

5. CONCLUSIONES..........................................................................................................................................................35

1


1. INTRODUCCIN.

En las primeras civilizaciones avanzadas, como la egipcia, la babilnica o la griega, existan

algunos problemas que no hacan cuestin a una cantidad fija, tal y como se recoge en algn pairo

egipcio (ver http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/algebra.htm) o tablilla babilnica (ver

http://www.uned.es/geo-1-historia-antigua-

universal/NOTICIAS/TABLILLA_MATEMATICA_PLIMPTON.htm), pudindose considerar este

tipo de problemas como antecedente muy remoto de las ecuaciones. Sin embargo, la primera

civilizacin que trat las ecuaciones de primer grado de forma ms rigurosa, fue la civilizacin

rabe, que se utilizara posteriormente en Europa, tras su traduccin.

Sin embargo, la dificultad se produjo al intentar resolver ecuaciones de grado mayor que 2, a

lo cual dedicaron bastantes esfuerzos los matemticos italianos del siglo XVI. En esta poca, la

invencin de los smbolos algebraicos fue gradual, y se asocia al Matemtico Vite, gran parte la

notacin simblica asociada a las ecuaciones.

Con la contribucin de muchos matemticos a lo largo de la historia, como Lagrange, Euler,

Abel, Gauss, Galois, etc., se ha avanzado en el estudio y anlisis de ecuaciones, as como su

relacin con el lgebra, otras ramas matemticas y cientficas

2. CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS POR RADICALES.

Ecuacin

Entendemos por ecuacin, una igualdad entre expresiones matemticas (algebraicas,

diferenciales, etc.) que solamente se verifica para unos determinados valores denominados

incgnitas o variables, los cuales estn representados por medio de letras.

Cuando tenemos varias ecuaciones, denominamos sistema de ecuaciones.

Si encontramos valores que al sustituir por las variables se cumple la igualdad, decimos que

estos valores son solucin de la ecuacin.

Debido a las caractersticas del tema, haremos mayor hincapi en las ecuaciones del tipo

algebraico, y en particular las ecuaciones polinmicas de una variable. Donde una ecuacin

algebraica, es aquella cuyos miembros de la igualdad son expresiones algebraicas, es decir

expresiones matemticas representadas por letras y nmeros.

2


Si las expresiones de las ecuaciones son polinomios, las denominamos ecuaciones

polinomiales, y su grado vendr dado por el grado del polinomio que resulta al simplificar la

ecuacin (operar e igualar la expresiones polinomiales a cero). Algunas ecuaciones de primer

grado ya eran conocidas y resueltas hace ms de 2.000 aos, en civilizaciones como la China o

Babilnica. Algunas de segundo grado, ya fueron resueltas en las civilizaciones de Grecia y

Roma, se resolvan algunas ecuaciones de segundo grado. Los algebristas italianos, obtuvieron ms

tarde soluciones generales para ecuaciones de tercer y cuarto grado.

Posteriormente se ha ido demostrando la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones por

mtodos algebraicos cuando su grado es mayor que cuatro.

Conviene recordar:

Las constantes no nulas son polinomios de grado 1, y el 0 por convenio, tiene grado.

Si P x es un polinomio de una variable, r es raz de P, entonces P r =0 .

Cuando dos ecuaciones admiten las mismas soluciones o races, se dice que son

equivalentes.

Ejemplo: Las ecuaciones x12=0 y 2 x 2 4 x2=0 , son equivalentes por

tener como raz x=1

Cuando queremos hallar las races de ecuaciones polinmicas, solemos resolver ecuaciones

equivalentes representadas por un polinomio igualado a cero.

Ejemplo: Para resolver la ecuacin x22 x1 = x23 x2 , es ms fcil resolver x 1=0

Ecuaciones polinmicas de una variable de primer, segundo, tercer y cuarto grado

Denominamos, ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales, cuando una vez

simplificada la ecuacin se puede representar como

a xb=0 a ,b , c , a0

La solucin de esta ecuacin, despejando la x es x=ba . Si adems, a la ecuacin, le

imponemos la condicin de que dicha solucin pertenezca a algn conjunto numrico A

(habitualmente , ,o ), esta solucin existir si y solo si ba A .

Hay que observar, que podemos extender estas ecuaciones a , si a ,b .

3


Ejemplo.- La ecuacin 2. x 1=0 no tiene ninguna solucin natural, ya que

x = 12

Denominamos, ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadrticas, cuando una vez

simplificada la ecuacin se puede representar como

a x2b xc =0 a ,b , c , a0

Dicha ecuacin cuadrtica con coeficientes complejos la podemos escribir:

x2 p xq =0 p=ba

,q=ca

Y teniendo en cuenta que

x2 p xq = x2 p x p2 2

p2 2

q = x p2 2

p2 2

q=0

Es decir:

xp2 2

= p2 2

q xp2 = p2 2q x =p2 p2 2qx =b

2ab2a 2ca =b2a b24ac4a2

x =bb24a c

2a

Hay que observar:

Si b24 a c0 Dichas races no existen en

Si b24 a c=0 Entonces b

2 a es raz doble de la ecuacin.

Si b24 a c0 Dichas races son reales y distintas.

Ejemplo.- La ecuacin 6 x25 x1=0 tiene por soluciones x=12

y 13

Si adems, a la ecuacin, le imponemos la condicin de que dicha solucin pertenezca a

algn conjunto numrico A (habitualmente , , , o ), esta solucin existir so y sol si

bb24a c2a

A .

Hay que observar, que podemos extender estas ecuaciones a , si a ,b , siempre

existe solucin en .

4


Denominamos, ecuaciones de tercer grado, cuando una vez simplificada la ecuacin se

puede representar como

a x3b x2c xd =0 a ,b , c , d , a0

La frmula que permite resolver ecuaciones de tercer grado fue descubierta por Del Ferro,

alrededor del ao 1500, y posteriormente hallada de nuevo por Tartaglia y publicada por Cardano

en su obra Ars magna.

La solucin de esta ecuacin se fundamenta en los siguientes principios:

Se dividen todos los trminos por a, obteniendo la ecuacin

x3B x2C xD =0 B=ba

, C=ca

, D=da

Se sustituye x por otra incgnita y, tal que x= y B3 , siendo

B3 es el Baricentro del

tringulo de vrtices los afijos de las races de la ecuacin. Con ello se busca eliminar el

trmino en x2 y obtener la siguiente ecuacin equivalente

yB3 3

B . yB3 2

C yB3 D =0 y3 B2

3C. y2. B333 CB3 D=0

y 3 p . yq=0 ; p=B2

3C ;q=2. B

3

33CB

3D

Para resolver esta ltima ecuacin, se establece

y = u + v

obteniendo la ecuacin

u3v3uv.3u v pq=0

Si uv verifica la ecuacin y adems, se cumple 3 u v p=0 , se obtiene el sistema

de ecuaciones equivalente

u3v3=q

u v= p3

u3v 3=q

u3 .v3= p3

33

Y denominando

z1=u3 ; z 2=v

3

Teniendo en cuenta, las frmulas de Cardano Vieta, z1=u3 ; z 2=v

3 sern solucin de la

ecuacin de segundo grado:

t 2q . t p3

33=0 .

5


Cuyo discriminante es:

=q24 . p3

33=4 . p327. q333

Y cuyas races son

u3=z1=q2 v3= z2=q2 Luego ser:

u=3 z1=3q 4 . p327. q3332

v= 3 z2=3q 4. p327. q3332

Y deshaciendo los cambios, obtenemos:

y=uv=3q 4 . p327 . q3332 3q 4 . p327 .q3332

x= y B

3=

3q 4 . p327 .q3332 3q 4 . p327. q3332 B3Adems

=4 . p327 .q333 0 , u3 y v3 son reales, luego u y v consta de una raz real y dos conjugadas, al igual que uv , y por tanto tambin x.

=4 . p327 .q333 =0 , u3v3=q2 , luego u=v consta de una raz real y dos conjugadas, luego u + v consta de tres races reales, y por tanto, tambin x.

=4 . p327 .q333 0 , u3 y v3 , no son races reales, luego u y v consta de tres races complejas, al igual que u + v, y por tanto, tambin x.

Denominamos, ecuaciones de cuarto grado, cuando una vez simplificada la ecuacin se

puede representar como

a x4b x 3c x2d xe =0 a ,b , c , d , e ,a0

6


Ferrari (Matemtico discpulo de Cardano) encontr el mtodo general de resolucin de este

tipo de ecuaciones, y consiste en transformar la ecuacin

x4ba

x3ca

x2da

xea=0 a0

En la ecuacin:

x 2 p xq.x2r xs =0

Y resolver las ecuaciones de segundo grado.

x2 p xq=0

x2r xs=0

Ecuaciones polinmicas de una variable de grado superior a cuatro

Las ecuaciones ecuaciones de grado superior a cuatro son de la forma

an xnan1 x

n1...a1 xa0 =0 a0, a1, ... , an1 ,an , an0 ;n4

Aproximadamente en el ao 1770, Matemticos como Lagrange, Ruffini y Abel, se

afanaron en demostrar la imposibilidad de aplicar mtodos algebraicos para la resolucin de

ecuaciones de grado superior a cuatro. Sin embargo, fue Galois quien definitivamente (en la noche

anterior a su muerte en un duelo) expuso sus ideas sobre la resolucin de ecuaciones de grado n

mediante radicales.

Segn Galois esta resolucin depende de la existencia o no de ciertas propiedades (frmulas

de Cardano-Vietta), ya que la resolucin mediante radicales, de estas ecuaciones no es posible,

salvo casos triviales, pues no hay ningn algoritmo que permita la descomposicin del polinomio

en factores irreducibles.

Teorema fundamental del lgebra

Uno de los problemas ms habituales en las Matemticas es el clculo de races de un

polinomio a(x). Es decir, la determinacin de los nmeros complejos x para los que se cumple la

ecuacin a(x) = 0. La demostracin de dicho teorema se basa en el las propiedades de funciones

analticas complejas y funciones enteras, es decir, tiene carcter topolgico.

Teorema fundamental del lgebra.- Dado un polinomio de grado n > 0 y con

coeficientes complejos an xnan1 x

n1...a1 xa0 =0 a0, a1, ... ,an1 , an , an0 . Se

cumple r1 tal que a r 1 = 0

7


Teniendo en cuenta este teorema, si r1 es una raz de a(x), resulta que

xr1 |a x

Por lo tanto existe un polinomio b x de grado n1 tal que:a x = an . xr1. bx .

Aplicando ahora el teorema fundamental del lgebra al polinomio b(x), existe r2 tal

que un polinomio b r2 = 0 . Y siguiendo este razonamiento, reiteradamente, llegaremos a una

factorizacin de la forma:a x = an .xr1 . xr2 . ... . xrn

El nmero de veces que se repite una raz ri de a(x) se denomina raz mltiple.

Teniendo en cuenta estas observaciones del teorema fundamental, deducimos que el nmero

de races de un polinomio complejo (contando multiplicidades) coincide con su grado. Adems,

salvo factores, un polinomio est completamente caracterizado por sus races.

Para ver, que no se cumple necesariamente en el conjunto de los nmeros reales,

basta considerar la ecuacin x21= 0 . cuya soluciones son x=1 .En ocasiones, lo que nos interesa es conocer la relacin existente entre los coeficientes y las

races de un polinomio, para lo cual solemos utilizar las frmulas de Cardano Vieta.

Frmulas de Cardano Vieta

Si a x es un polinomio con el coeficiente director an=1 (esto es siempre posible,

pues si an1 , basta dividir todos los coeficientes ai por an ). Es decir,

a x = xnan1 xn1...a1 xa0 = 0 . Como por el teorema fundamental del lgebra,

existirn n races complejas r1 , r 2 , , r n , contando multiplicidades, tales que:

a x = xr1. xr 2 .... .xrn

Desarrollando dicha expresin e igualando los coeficientes en trminos de races, obtenemos

la relacin (frmulas de Cardano Vieta) :

a0 =1n . r1 . r 2 . r3 . . r n

a1 =1n1

i=1

n

ji

n

r j

a2 =1n2

i , j=1

n

ki , j

n

r j

.................................

an1 =1 i , j=1

n

r j

8


# Demostracin:Si consideramos el polinomio:

a x = xr1. xr 2 .... .xrn

Y utilizamos el desarrollo de Taylor para el polinomio a(x) en torno al punto x = 0. Como,

a(x) es derivable hasta orden n en cualquier intervalo (-a, a) real, ser:

a x =

i=0

n

a i 0

i !. x io xn

Donde, o xn es una funcin que tiende a cero cuando x tiende a cero. Y teniendo en

cuenta que grado a x=n , ser o xn=0 .

Si desarrollamos el polinomio, como suma de monomios, es decir:

a x = xr1. xr 2 .... .xrn= xnan1 . x

n1an2 . xn2...a1. xa0

Identificando los coeficientes a i de a x , con los coeficientes del desarrollo de Taylor

a i=a i0

i !; i = 0,1,2 , ... , n

obtenemos las frmulas de Cardano Vieta.

Ejemplo.- Sea la ecuacin x4 x 22 = 0 , y sean r1, r 2, r3, r 4 sus races complejas.

Como fcilmente se comprueba que r1 =1 y r2 = 1 son races de la ecuacin. Utilizando

las relaciones de Cardano Vieta:

a0 = 14 . r 1 . r 2 . r3 .r 4 r3 . r 4 =2

a3 = 143 .r1r 2r 3r 4 r 3r 4 = 0

Que resolviendo el sistema se obtiene, r3=2. ; r3=2.

Regla de Ruffini

En general cuando el grado de una ecuacin es superior a 2, un modo numrico sencillo para

conocer posibles races (particularmente races enteras) es mediante la regla de Ruffini, que esta

basado en la divisin entera de polinomios

Si p(x) es un polinomio ! polinomios q(x), R(x) (con grado de R(x) < 1) tal que

p x = q x.xaR x

Que en el caso particular de que a sea raz, se tiene

p a = q a .0Ra = R a = 0

9


Adems, si a es raz del polinomio

p x = an . xnan1 . x

n1a1 . xa0Ser:

p a =a . an .an1an1 . a

n2a1a0=0

Es decir:

a . an . an1an1 .a

n2a1 =a0

Luego, si a es raz, a | a0 .

Por lo que, en el caso de que busquemos races enteras, si a0 es un nmero entero,

tendremos que buscarla entre los divisores enteros de a0 .

La regla de Ruffini permite calcular los coeficientes del polinomio cociente y el resto de

una divisin entera de un polinomio por xa , sin necesidad de efectuar la mencionada

operacin de la divisin.

Ejemplo.- Sea la ecuacin x45 x35 x2 5 x 6=0 . Por tanteo probamos lo

divisores de 6

1 5 5 -5 -6X = 1 1 6 11 6

1 6 11 6 0 Resto = 0, x = 1 es raz del polinomio.

1 5 5 -5 -6X = -1 -1 -4 -1 6

1 4 1 -6 0 Resto = 0 , x = - 1 es raz del polinomio.

1 5 5 -5 -6X = 2 2 14 38 66

1 7 19 33 60 Resto 0 , x = 2 no es raz del polinomio.

1 5 5 -5 -6X = -2 -2 -6 2 6

1 3 -1 -3 0 Resto = 0 , x = - 2 es raz del polinomio.

1 5 5 -5 -6X = 3 3 24 87 246

1 8 29 82 240 Resto 0 , x = 3 no es raz del polinomio.

1 5 5 -5 -6X = -3 -3 -6 3 6

1 2 -1 -2 0 como el Resto = 0 , x = - 3 es raz del polinomio.

Y dado que un polinomio de cuarto grado tiene como mximo cuatro races, que es el

nmero de races distintas que hemos encontrado, ser p(x) = (x-1) . (x+1) . (x+2) . (x+3) = 0

Es decir, las soluciones sern { -3, -2, -1, +1 }

10

file:///J:/VARIOS/JOAQU?N/mate/~history/BiogIndex.html


Otros mtodos para buscar races

Para busca races racionales por tanteo, podemos utilizar el siguiente resultado

Sea el polinomio con coeficientes enteros

a x = x nan1 xn1...a1 xa0 ; a0 , a1 , ... , an

Si pq es un cero de a(x) con p , q primos entre si. Entonces

p | a0 y p | an# Demostracin

Si pq es raz de a(x) ser

a pq = pq n

an1 pq n1

...a1 pq a0 = 0Como p y q son primos entre si, eliminando denominadores obtenemos:

a0 . P0 . qna1 . p

1 .qn1a2 . P2 . qn2an1 . p

n1 . qan . pn . q0 = 0

Y puesto que m.c.d. p , q=1 , aplicando el teorema de Euclides para el anillo de

nmeros enteros resulta que p | a0 y p | an . C. Q. D.

Ejemplo.- Sea la ecuacin 4 x 45 x 21=0 , como los divisores enteros de a0 = 1

son {1,1} y los divisores enteros de a4 = 4 son {4,2,1,1,2, 4} . Si probamos las

races de la forma pq , con p {1,1} y q {4,2,1,1,2, 4} , obtenemos que

{1,12,

1,12

}

son races de la ecuacin.

Sea el polinomio de variable compleja, con coeficientes reales, es decir de la forma:

p z = an . znan1 . z

n1...a1 . za0 ; a0 , a1 , ... , an ; z

Si z0=ab. es solucin de p z =0 , entonces z=a b. es tambin solucin de

p z =0

# Demostracin:

Teniendo en cuenta las propiedades de los nmeros complejos conjugados, fcilmente se

comprueba, que si Q(z) es un polinomio con coeficientes reales, tal que:

Q z =j=0

m

b j . zj

11


Entonces:Q z =

j=0

m

b j . zj=

j=0

m

b j . zj=

j=0

m

b j . zj=

j=0

m

b j . zj

Luego:

Si z0=ab. es raz de p(z).

Se cumplir

0=0= p z0=p ab =p ab.

Luego

z0=ab. es tambin raz de p(z)

Ejemplo.- Sea la ecuacin x42 . x21=0 . Como es raz compleja de dicha

ecuacin, por el resultado anterior ser tambin raz compleja (las dos races, son races

dobles).

En resumen si queremos hallar las races de una ecuacin polinmica, de la forma

P x=0 , procederemos de la siguiente forma:

Si es lineal o de primer grado, despejamos la variable.

Si es cuadrtica, aplicamos la frmula para ecuaciones de segundo grado.

Si el grado es mayor que dos y a0 , sera conveniente probar las races entre los

divisores de a0 (si es un nmero pequeo) y descomponer P x en producto de

polinomios lineales o cuadrticos y hallar las races.

Si no se cumple el punto anterior, y a0 y an1 son nmeros enteros pequeos, buscar

races racionales de la forma pq , siendo p divisor de a0 y q divisor de an1 , y

descomponer el polinomio en producto de polinomios lineales o cuadrticos y hallar las

races.

Si nos siguen quedando polinomios sin resolver de grado mayor que dos y conocemos

algunas races reales o complejas, intentamos descomponer el polinomio en producto de

polinomios lineales o cuadrticos y seguidamente los resolvemos (hay que tener en cuenta,

que si los coeficientes de P(x) son reales por cada raz compleja, su conjugado tambin es

raz compleja).

Si nos siguen quedando polinomios de grado mayor que dos. Utilizamos los mtodos

expuestos anteriormente para descomponer polinomios de grado tres y cuatro y volvemos a

aplicar los puntos anteriores.

12


Finalmente, si al descomponer nos quedan polinomios de grado mayor o igual a cinco, aunque no conozcamos todas sus races, podemos conocer un entorno real o complejo de

dichas races o saber el nmero de races reales que tiene. Para ello, utilizaremos los

resultados que se recogen a continuacin.

3. ACOTACIN DE RACES DE POLINOMIOS.

Cotas de races

Cuando queremos hallar las races de una ecuacin de una variable, a veces lo que nos

interesa, es conocer la regin donde se encuentra dichas races o el nmero de races que contiene

dicha regin (es decir acotar las races).

Dado un polinomio con coeficientes complejos

a x = an . xnan1 . x

n1...a1 . za0 ; a0 ,a1 , ... , an

Se cumplen los siguientes teoremas:

Teorema 1.- Las races r de a x con an0 , verifican:

r1max {a0,a1, ... ,an1}

an

Teorema 2.- Las races r de a x con an0 , verifican

r 1

1max {a1,a2, ... ,an}

a0

#Demostracin :

# Teorema 1.- Si r es raz del polinomio


n1...a1 . xa0

Entonces:

a r = an . rnan1 . r

n1...a1 . ra0 = 0

Si:A = max {a0,a1,a2, ... ,an2,an1}

Despejando r n es:

rn = 1an . an1 . rn1...a1. ra0Por las propiedades del mdulo y por ser rn1rn . Tenemos:

13


r n= 1an.an1. r n1...a1 . ra0an1an .rn1an2an .rn2...a2an.r2a1an.r1a0an .r0

an1an

.rn1an2an

.rn2...a2an

.r2a1an

.r1a0an

.r0Aan

.i=0

n1

ri

=Aan

.rn1

r1Aan

. rn

r1=

max{a0,a1,a2, ... ,an2,an1}an

. rn

r1

Es decir:

r n.r1 max{a0,a1,a2, ... ,an2,an1}

an.rn

Que equivale a que una cota superior para el mdulo de las races de a(x) es:

r 1max {a0,a1,a2, ... ,an2,an1}

an

#Teorema 2.- Basta tener en cuenta que si t=1r es una raz de mdulo mximo para el

polinomio a1x , entonces, r es una raz de mdulo mnimo para el polinomio a x . Por lo tanto, para obtener una cota inferior del polinomio a x con a00 , basta con hacer el

cambio de variable y=1x , obteniendo el polinomio:

a y = an . ynan1 . y

n1...a1 . y1a0 = 1yn .a0 . yna1 . y n1...an1 . yan

Luego por el teorema 1, si t es una raz de a y ser:

t 1r

1max{a1,a2,a3, ... ,an1,an}

a0

Que equivalente a:1

1max {a1,a2, ... ,an}

a0

rc. q. d.

Se observa que las races r de a x con an0 , verifica que en el caso de

que todas las races sean reales, estarn situadas

en intervalos de la forma M ,nm , M ,

y en el caso de que existan races complejas, esta

regin es un corona circular de la forma

mxM .

14


Ejemplo.- Sea el polinomio

x52. x 4 5. x38. x 2 7. x3

Se cumplir

1

1max {7 ,8,5,2,1}3

r1max{3,7,8,5, 2}1

Luego, las races del polinomio estarn en el intervalo 311 ,9 .Algoritmo de Horner

En el caso de que queramos hallar una cota para las races reales de


n1...a1 . xa0 = 0 ,

podemos tambin utilizar el algoritmo de Horner. Utilizando este algoritmo podemos representar

a x comoa x = a0a1...an2an1an . x . x.... x

Podemos hallar para cada s , la sucesin de valores{bn = an , bn1 = bn . san1 , bn2 = bn1 . san2 , , b1 = b2 . sa1 , b0 = b1. sa 0 =a s}

que podemos simplificar colocando los coeficientes en forma habitual, y operando:

an an1 an2 . . . a2 a1 a0

bn . s bn1 . s . . . b3 . s b2 . s b1 . s

bn bn1 bn2 . . . b2 b1 b0=a s

Lo que nos indica que utilizando la divisin entera de polinomios, se puede descomponer

a(x) como:

a x = xs .bn. xn1bn1 . x

n2bn2 . xn1b2. xb1b0

Que en el caso particular, de que s > 0, si se cumple:

bn , bn1 , bn2 , .. . , b2 , b1 , b00

Se tiene que

a x 0, xs

15


Si aplicamos el algoritmo de Horner, al polinomio:

H x =a x=a0 a1. xa2.21.an. x

n

Podemos hallar para cada t , la sucesin de valores{cn = an , cn1 =cn. san1 , cn2 =cn1. san2 , ,c1 =c2 . sa1 , c0 =c1. sa0 =a t }

O colocando los coeficientes en forma habitual

1n . an 1n1 . an1 1

n2 . an2 . . . a2 a1 a0

cn .t cn1 . t . . . c3. t c2 .t c1. t

cn cn1 cn2 . . . c2 c1 c0=at

Lo que nos indica que utilizando la divisin entera de polinomios, se puede descomponer

H(x) como

a x = xt .cn . xn1cn1. x

n2cn2 . xn1c2. xc1c0

Que en el caso particular, de que t > 0, si se cumple:cn , cn1 , cn2 , .. . , c2 , c1 , c0 0

Se tiene que H x = ax 0,xt

Adems, si aplicamos el algoritmo de Horner, al polinomio:

H x =a x=a0 a1 . xa2 .21. an . x

n

Luego, las races de a(x), se encuentran en el intervalo (-t,s). Ejemplo.- Sea el polinomio

a x =x3 2 . x2 x2 .

Como

H x =a x=x3 2. x2x2

Aplicando el algoritmo de Horner a dichos polinomios, para los valores 2 y 3

respectivamente, obtenemos

Si x= 2 H(x); -1 - 2 1 2

-1.2 -4.2 -5.2

-1 - 4 -5 - 8 = H(2) = a(-2) < 0

16


Si x= 3 a(x); 1 -2 -1 2

1.3 1.3 2.3

1 1 2 8 = a(3)

Como los coeficientes de la primera descomposicin son todos menores que cero, y los de la

segunda son mayores que cero. Se tiene que las races reales de a(x) estn en el intervalo

2,3

Nmero de races

Para polinomios a(x), con coeficiente reales, dado que todo polinomio de orden n es

derivable. Si m , M , son tales que:

a m0 y a x0 ; xm a x es decreciente en ,m

a M 0 y a x 0 ; xM a xescreciente enM ,

O se cumple:

a m0 y a x0 ; xm a x es creciente en ,m

a M 0 y a x 0 ; xM a xescreciente enM ,

Se cumplir, que las races estarn en el intervalo m , M

Otro problema fundamental, en el anlisis de races reales de una ecuacin f(x) = 0,

siendo f una funcin real continua y derivable, es calcular el nmero de races que estn

contenidas en un determinado intervalo real [a , b ] . Uno de los mtodos tradicionales

para tratar esta cuestin, es el llamado mtodo Sturm (denominado as, por ser el

Matemtico Charles Sturm el autor del teorema).

El mtodo Sturm consiste en hallar una sucesin (sucesin de Sturm) de funciones

reales f i i = 0,1, 2,... ,m continuas en [a , b ] y derivables en (a,b) que verifiquen las siguientes condiciones

i ) f 0 no tiene ceros mltiples en [a ,b ] .

ii ) f m x no se anula en [a, b].

iii ) Si para algn r [a , b ] y algn j 0 tal que 0 jm se tiene

f j r = 0 , entonces f j1r . f j1r 0 .

iv ) Si para algn r [a ,b ] se tiene f 0r = 0 , entonces f ' 0 r . f 1r 0 .

Y aplicar el siguiente teorema:

17


TEOREMA (de Sturm).- Si { f 0, f 1, .... , f m } es una sucesin de Sturm en [a ,b ]

de la funcin f. Si denotamos por

N(t) = Nmero de cambios de signo de { f 0t , f 1t , .... , f mt }

Si a y b no son races de la ecuacin f 0x =0 , entonces, el nmero de races de esta

ecuacin comprendidas en (a, b) es igual a:

N a N b

# Demostracin:

Partiendo del punto a, hagamos variar x a lo largo del intervalo [a ,b ] .

Por la continuidad de las f j , slo puede producirse alteracin en los signos de

{ f 0 x , f 1x , .... , f mx } cuando x coincida con un cero de alguna de las f j , que

adems no ser f m debido a la condicin ii).

Si r es un cero de f j x , con 0 jm , por la condicin iii ), no lo ser ni de

f j1x ni de f j1x y los signos de f j1x y f j1x sern opuestos. Por tanto,

los signos que pueden darse a la izquierda de r en la terna:

{ f j1 x , f j x , f j1x}

Sern de alguna de las formas:

{+,-,-} , {+,+,-} , {-,+,+} , {-,-,-}.

En el primer caso, al pasar a la derecha de r los signos pueden pasar a ser {+,+,-} o seguir

siendo {+,-,-}, si r es por ejemplo raz doble de f j x = 0 . Adems, en este caso no hay

variacin en el nmero de cambios de signo al pasar por r.

En todos los dems casos el razonamiento es el mismo.

En conclusin, el nmero de cambios de signo de { f 0 x , f 1x , .... , f mx } slo puede

variar, cuando x recorre [a ,b] , al atravesar una raz de la ecuacin f 0x = 0 .

Si r es una raz de dicha ecuacin en [a , b] , el signo de f 0x a la izquierda de r

ser opuesto al de la derecha, ya que r ser raz simple por la condicin i).

Adems, no puede ser 0, porque no puede ser f 1x = 0 , por que no se cumplira iii).

Los signos de { f 0 x , f 1x } a la izquierda de r pueden ser, en principio, {+,-}, {-,-},

{-,+} y {+,+}.

En el primer caso {+,-}, a la derecha de r sern {-,-}, luego habr cambio de signo.

18


El segundo caso {-,-}, no puede ser, porque al ser + a la derecha de f 0 en r, y - a la

derecha de f 0 en r, ser f 0 decreciente, es decir f ' 0 r 0 y debido a iv), si el signo de

f 1r es positivo, ser f ' 0 r . f 1r 0 en contra de la hiptesis.

El cuarto caso {+,+}, tampoco se puede dar, por ser f 0 decreciente, y por tanto

f ' 0 r < 0.

En cuanto al tercer caso {-,+} razonando como en el primero vemos que a la derecha de r

ser {+,+}, luego se pierde un cambio de signo.

En resumen, al ir variando x desde a hasta b, la sucesin { f 0 x , f 1x , .... , f mx }

sufre una prdida de uno en el nmero de cambios de signo que presenta cada vez que x pasa por

una raz de f 0x = 0 , y esas son las nicas ocasiones en que el nmero de cambios de signo se

modifica, con lo que queda demostrado el teorema.

En caso de que f no tenga ceros mltiples, entonces f x y f x no tendrn

factores comunes y f m x ser una constante.

En el caso de que f tenga factores mltiples f m no ser constante. Entonces,

aplicaremos el mtodo a la funcin g=ff m

. Ahora g ya no tendr ceros mltiples.

El nmero de races reales de f x (o en caso de races mltiples de g) serN a N b

Para utilizar este resultado en funciones polinomiales p x , hay que saber formar

sucesiones de Sturm a partir de p x = f 0 x . Y se consigue esta sucesin denominando:

f 1x = p ' x .

f 2x al opuesto del resto de dividir f 0 por f 1 .

f 3x al opuesto del resto de dividir f 1 por f 2 .

Hasta que la divisin sea exacta.

Observemos, que este proceso consiste en aplicar el algoritmo de Euclides para calcular el

mximo comn divisor f m de los polinomios p x , p ' x . Es decir, se tiene:

f 0 = p x ;

f 1 = p ' x ;

f 0x = q1x . f 1x f 2x

f 1x = q2 x. f 2 x f 3x

19


....................................................

f m2 x = qm1x . f m1x f m x

f m1x = qmx . f mx

Si p(x) no tiene ceros mltiples p y p' no tendrn factores comunes, luego f m ser una

constante.

En este caso las propiedades i) ii) y iv) de las sucesiones de Sturm son evidentes.

La condicin iii) tambin se cumple, porque se deduce del algoritmo de Euclides que si

f j r = 0 , f j1r y f j1r son de distinto signo.

Pues si ambas nulas, todas las f j r deberan ser nulas, incluidas

f 0r = p r = 0 y f 1r = p ' r = 0 . Esto implicara que r sera raz mltiple de

p x = 0 . Y en este caso caso f m no sera una constante, pero dividiendo p por

f m , obtendramos un polinomio q que tendra los mismos ceros que p , pero todos

simples, y ya sera aplicable el procedimiento anterior para f 0x =q .

En el caso particular de funciones polinomiales p x = ax de grado n0 , con

coeficientes reales, la sucesin de Sturm est formada por polinomios a ix , segn se define en

el siguiente teorema:

Teorema de Sturm. - Sea a x un polinomio con coeficientes reales y de grado

n0 . Si consideramos a0x =a x , a1x=a ' x . La sucesin de polinomios

{ a0x , a1 x ,. .. , amx } , hallados por medio de divisin entera de polinomios mediante

a0x = a1x .q1 x a2x

a1x = a2x .q2x a3x

........................

am1x = am x .qm x

Entonces para un intervalo [r , s ] tal que a r 0 y a s0 . El nmero de

races (contando las races mltiples solo una vez) de a x en el intervalo [r , s ] , ser:

N r N s

Con N(t) = Nmero de cambios de signo de { a0t , a1t ,.... , amt}

A la hora de calcular los cambios de signo, no se tienen en cuenta los valores nulos.

Adems, si multiplicamos la sucesin de Sturm por factores constantes, el nmero de cambios de

signo seguir siendo el mismo, por lo que podemos ir modificando los restos de las sucesivas

divisiones enteras, con el fin de que las divisiones se hagan ms sencillas las operaciones.

20



a x =x1 .

Denominando:a0x =a x =x1

a1x =a ' x =2 . x .

Como:

a0x =a1x .121Obtenemos la solucin de Sturm { a0x , a1x , a3x } = S x = { x

21,2. x , 1 } , que

como se cumple:

S(-2) = { 3, -4, 1 }; S(2) = { 3, 4, 1 };

Ser:

N(-2) N(2) = 2.

Luego, como ya sabamos por la simplicidad de la ecuacin, el nmero de races de a(x) en

el intervalo (-2,2) es 2.


a x =x32. x2x2

Entonces ser

a0x =a x =x32 . x2 x2

a1x =a ' x =3 . x24. x1

multiplicando a1x por 13 , que no cambia el carcter del cambio del signo

obtenemos

a1x =13

.a ' x= x243

. x13

Y determinando la sucesin de Sturm, mediante el proceso de divisin entera, obtenemos:

a0x = a1x .x23149 . x169 a2x =

149

. x 169

= 149

.x87 Tomando :

a2x = x87

21


Tenemos

a1x = a2x .x 421 32147 a3x =

32147

Tomando a3x =1 , que es constante, y ya no hay ms elementos en la sucesin de

Sturm, obtendremos como sucesin de polinomios:

S x ={x3 2 . x2 x2 , x2 43 . x 13 , x87 ,1} Cuyo valor para x= es

S = , , ,1N =2

Para x=0 es

S 0={2 ,13 ,87 }N 0=1Y para x= es

S = , , ,1N =0

Como consecuencia, el nmero de races de a(x) en el intervalo [ ,0] , ser

N N 0=21=1

Y el nmero de races positivas ser:

N 0 N =20=2

De hecho se puede comprobar fcilmente que el nmero de soluciones son:

{1 , 1 , 2 } .

Debido al clculo tedioso de la sucesin de Sturm, podemos utilizar el teorema de

Buldan-Fourier, que podemos enunciar. Sea el polinomio:

p x =an . xnan1 . x

n1. ..a1. xa0 ; a i ; i = 1,2,3, ... , n

Entonces, si:

N x es el nmero de ceros de la sucesin de Sturm de p x

n x es el nmero de ceros de la sucesin { pkx }i=0,1 ,2,3 , , nComo, n x N x , si se cumple:

p k x 0 ; k = 0, 1, 2, , n

Ser:

n x =N x .

22


Luego, si p k a 0 ; pbx 0 ; k = 0,1,2, ,n el nmero de ceros de a(x) en el

intervalo (a,b) ser

n a nb .

Que en el caso particular de a=0 y b= . Segn la regla de Descartes, se cumplir

n a nb=n de cambiosde signo {an , an1 ,,a0 } .

Ejemplo .- Sea el polinomio

p x =x3 x22 . x 3=0 .

Como el nmero de cambios de signos de los coeficientes de p(x) {1,1,2,3} es 3.

Sabemos, por la regla de Descartes, que las tres races reales de la ecuacin, estn en el intervalo

0, . Y teniendo en cuenta que:

{ pk 0:k ={ 0,1,2,3 } }={3,2 ,1,1} n 0=3 .

{ pk 2: k = {0,1,2,3} }={5,10,5 ,1} ' n 2=0

Luego, dichas races, estn dentro del intervalo (0,2).

Delimitacin de races

Una vez, que hemos establecido el intervalo, donde se encuentran las races de un

polinomio, y el nmero de races reales. Lo que nos interesa, es establecer los intervalos [a ,b]

lo ms pequeos posibles que contengan una sola raz, y manipular los intervalos, hasta que

obtengamos el grado de exactitud deseado.

Basta tener en cuenta, que los polinomios con coeficientes reales son funciones continuas y

derivables, y podemos utilizar el teorema de Bolzano (el teorema de Bolzano se cumple, debido a

que la imagen de un compacto es otro compacto), que podemos enunciar como

Si p(x) es un polinomio con coeficientes reales con ab y pa. pb0

c [a , b]tal que pc = 0 .

Adems, utilizando la derivada, obtenemos

Si p ' x 0 x a , b , entonces c es raz nica (este resultado se basa en el

crecimiento o decrecimiento de la funcin en un intervalo, para ello basta aplicar la

definicin de derivada en los puntos de dicho intervalo).

Ejemplo.- Si tenemos el polinomio ax=x 4 4. x 1=0

Como

a' x=4.x3 1={< 0 si x ,1> 0 si x 1,}

23


Y como a. a10 y a1.a 0 , ax tiene nicamente dos races

reales, una en ,1 y otra en 1, .

4. MTODOS NUMRICOS DE RESOLUCIN DE ECUACIONES.

En ocasiones, ya sea por la dificultad de resolver una ecuacin, por la generacin de

errores al operar con nmeros muy pequeos, o simplemente por que solo queremos conocer una

regin donde se encuentra situada la solucin, utilizamos mtodos numricos (aproximaciones

sucesivas hasta un cierto grado de exactitud ) para hallar dichas soluciones.

Teorema del punto fijo

Para calcular las races de una funcin real contractiva1 f en I (continua en

I : 0 d f x , f yd x , y

1 x , y I ) por mtodos numricos. Est basado en el

Teorema del punto fijo2, que podemos enunciar como:

Si f es una aplicacin contractiva en I, ! x X , tal que x= f x .

Lo que equivale a resolver la ecuacin g x=0, siendo g x= f xx .

# La demostracin est basada en que para cualquier sucesin de Cauchy y para todo

0 , a partir de un ciento n0 se cumple d x p , x pq . Siendo la sucesin de Cauchy

de la forma { xn}n0 , con xn1= f xn .

Adems, dicha demostracin proporciona la construccin del punto fijo x, partiendo de un

punto x0 cualquiera. Basta tener en cuenta que:

d xn1 , x pd xn1 , x nd xn , xn1d x n1 , xn2. . .d x p1 , x p=

= d f x n , f x n1d f xn1 , f x n2d f xn2 , f xn3...d f x p , f x p1

k nk n1k n2k p. d x1, x0=k n1k pk1 . d x1, x0 kp

k1 . d x1, x0 Ya que dependiendo del que tomemos, podemos tomar un punto p grande.

Luego, x n ser una sucesin de Cauchy, y por tanto x = limn xn .

1 f es contractiva en I (intervalo), si para P ,Q I , la pendiente de recta que contiene a P y Q est

entre 1,1 {0} . 2 En general, el teorema del punto fijo, lo podemos aplicar a cualquier funcin: f : X X . Donde X es un

espacio mtrico completo (espacio topolgico en el que est definido una distancia d y para cualquier sucesin de Cauchy en X su lmite pertenece a X) y f es una contraccin (cuando existe un k0,1 tal que

d f x , f yk.d x , y para cualquier x , y X )

24


Ya que tomando lmites en la desigualdad

d f xn , f xk. d xn , x

Se obtiene:

limn f xn = x .

Adems, teniendo en cuenta que el lmite de una sucesin es nico, el punto x= f x es

nico.

Mtodo de aproximaciones sucesivas

Si f : [a , b] es una funcin real continua que cumple:

1.- a f xb o bien a f xb s [a , b] .

2.- Im f =[a , b] .

3.- La existencia de una solucin nica3 de la ecuacin x= f x se puede garantizar si

f satisface la condicin de Lipschitz4 :| f x f y |k. | x y | x , y [a ,b] , para algn 0k1 .

Para hallar las races de f x tomamos un punto x0 [a , b] y generamos una

sucesin por recurrencia xn1= f xn; n0 .

Entonces, la solucin de la ecuacin x= f x vendr dada por x=limn x n .

3 La solucin es nica, pues si suponemos que existen dos soluciones distinta x e y tales que f x=x y f y=y , entonces por la condicin de Lipschitz ser:

| f x f y |=| x y |k. | xy |; 0k1 . Y como x es distinto de y, podemos dividir ambas expresiones por | x y | y obtenemos 1k1 que es una contradiccin

4 Si f cumple la condicin 3, entones f es continua, ya que por definicin de funcin continua en un punto y de [a,b], f es continua en y si para cada 0 tal que

| f x f y | , d0 tal que | x y |d

Y por la condicin 3, si tomamos d=k se cumplir:

| f x f y |k. | xy | , y ser | x y |k=d

25


Interpretacin grfica del mtodo interactivo

Como la funcin f es continua en [a , b] . La funcin

g : [a ,b ] : x g x= f xx

es tambin continua en [a , b] .

Y como g a . g b0 , por el teorema del valor intermedio de Bolzano, podemos

asegurar la existencia de un x[a ,b] tal que g x=0 .

Si s es raz de f x , ser s=limn xn , ya que

| xns |=| f x n1s |L. | x n1s |L2. | x n2s |...L

n . | x0s |

Y dado que 0L1 , ser limn Ln=0 , y se cumplir que s es el lmite de {xn}n0 .

Que se cumpla las condiciones 1, 2 y 3 es equivalente a decir que f es una contraccin.

Como conclusin de las condiciones anteriores se obtiene el siguiente teorema

26


Sea f : [a , b][a ,b] una funcin real continua tal que

| f x f y |L. | xy | x , y [a ,b] , para algn 0L1

entonces, existe una solucin x = f(x), que se puede obtener mediante x=limn x n ,

siendo { xn}n0 una sucesin definida por recurrencia dada por x0 [a ,b ] ,

f x n1= f x n

Una condicin equivalente a que f cumpla las condiciones de Lipschitz, es que la funcin

f sea derivable en [a , b] , con derivada acotada | f x |L1 .

Ya que en este caso, por ser f derivada en [a , b] , f es continua en [a , b] .

Y por aplicacin del teorema del valor medio, para cada x , y [a , b] existir siempre un

punto c a ,b tal que

| f x f y |=| f c | . | xy |L. | x y |

Ejemplo.- Para resolver la ecuacin

x log x22 .

Como

f x=log x22

es tal que | f x |= 2.xx221 , x tal que x=log x 22 .Tomando, x0=1 y f x n=x n1 . Se obtiene la sucesin:

Se observa, a partir de la x30 no vara en los cinco primeros decimales luego

x1,31907

Ejemplo.- Para hallar una solucin positiva de la ecuacin x3 x=0 . Como la funcin g x=x3 , es derivable en el intervalo [0,3] . Y se cumple:

| g x | 12

.x3 1 para x [0,3 ] .

Luego g es Lipschitziana, es continua e Im g[0,3] .

27


Tomando

x0=0 ; xn1=xn3Se obtiene los valores

Se observa, a partir de la x11 no vara en los cinco primeros decimales luego

x2,31027

Cotas de error

Bajo las condiciones del teorema expuesto en el apartado anterior, si s es la solucin de la

ecuacin x= f x , para obtener una solucin aproximada de la ecuacin, mediante un

elemento xn de la sucesin de aproximaciones sucesivas, es importante conocer el estudio de

error y el orden de convergencia de | xns | .

Dicha cota de error viene dada por:

| xns | Ln1L . | x1x0 | # Demostracin:

Basta con tomar para todo nmero natural k:

u k=x kxk1 y u0=x0 Entonces, si s raz de x= f x ser:

k=0

u k=s

k=0

m

uk=xm , para todo m

Y se cumplir para todo n

| xn s |= k=n1

uk

28


Adems como f es una funcin Lipschitziana se cumplir:

| uk |L . |u k1 |Lk1 . | u1 |

Y teniendo en cuenta las propiedades de las series geomtricas se tendr

| xn s |= k=n1

uk k=n1

Lk1=Ln

1L. | u1 |=

Ln

1L. | x1x0 | C.Q.D.

Si denominamos e n=xns para todo nmero natural n, si f es una funcin derivable

en el intervalo [a , b] . Por la aplicacin del teorema del valor medio se cumplir:

| en1 |=| xn1s |=| f cn | . | f xn f s |=| f cn | . | en | .

Donde, c n pertenece al intervalo abierto de extremos xn y s. Que por ser:

limn x n=s

Ser

limn f ' cn= f s .

Es decir

limn|e n1 || en |

=| f ' s |

Este resultado nos indica, que aproximadamente el error al pasar de xn a xn1 queda

multiplicada por un factor g c0 , suele decirse que la convergencia de este tipo es lineal o

de primer orden.

Anlogamente, en el caso de que f se una funcin derivable de orden k en el intervalo

[a , b] y f r s =0 para rk , aplicando la frmula de Taylor se cumplir que:

limn|e n1 |

k

| en |k =

1k !

. | f k s |

Y se dir que la convergencia o el mtodo es de orden k.

A partir del mtodo de aproximaciones sucesivas, lo que nos interesa es elegir

convenientemente la funcin f x de forma que sea una contraccin, y tambin construir la

sucesin convergente { xn}n0 tal que f x n=x n1Es aqu, donde intervienen los distintos mtodos numricos, segn las caractersticas de la

funcin que queramos estudiar. Uno de los ms utilizados, es el mtodo de Newton.

29


Mtodo de Newton5 (o de las tangentes)

Sea la funcin g :[a ,b ] TAL QUE:

1.- g ' ' x y es continua.

2.- x [a , b] SIGNO[ g ' x . g ' ' x] ES CONSTANTE.

3.- g a. g b0 .

Entonces, g x=0 , tiene solucin nica x=limn x n . Siendo, xn n=0

una sucesin

recurrente de la forma:

xn1= xn g xng ' xn ; n0Partiendo de un x0 tal que g x0 .g ' ' x00

La demostracin del teorema est basada en aplicar el mtodo de aproximaciones sucesivas

para la funcin:

f x =x g xg ' x En el caso de races mltiples de orden p es decir que g x=xs p . wx la sucesin

queda como:

Ejemplo.- Para determinar mediante el mtodo de Newton las races de la ecuacin:

g x= xkc siendo k1 un nmero natural impar y c una constante real.

Como para cada natural impar k, existe un natural p tal que k=2p1 , y g posee

segunda derivada continua, se cumple para todo x

g ' x . g ' ' x=k 2. k1. x2 . k3 =2.p12 .2.p2 . x2. p2 0

Y por tanto de signo constante. Adems, como k es impar, se cumple

lim x g x . g x = lim x xkc .x kc = lim x c2x 2.k 0 Y podemos aplicar el teorema y obtener la sucesin:

xn1= xn xnkck . xnk1 ; n0

5 Existen variaciones de estos mtodos que se utilizan para acelerar la convergencia de la sucesin.

30

xn1= xn p . g xng ' xn ; n0


Por ejemplo, para n=5 y c=2 si tomamos x0=2 , como g 2 . g ' ' 20 , la

sucesin vendr dada

Que claramente, vemos a partir del sexto trmino que se estabiliza aproximadamente hacia

x = 1,1487

Mtodo de Regula Falsi (o de las secantes)

Cuando f ' (x) es una derivada difcil de calcular, o con excesivas complicaciones, el

mtodo de Newton se suele sustituir por el mtodo de las secante o regula falsi, en el intervalo

[a,b]. Donde la recta derivada a f en un punto, se sustituye por la recta secante a dos puntos, y

la sucesin de aproximacin a la raz viene dada por:

xn1=x n xnxn1. f xnf x n f xn1 ; n0Grficamente el mtodo de Newton o de las tangentes, lo podemos representar:

- Partiendo de un punto x0 .

- El punto xn1 ser la interseccin de la recta tangente a f x en el punto xn ,

con la recta y=0 .

Mtodo de Biserccin

Otro mtodo que suele ser til, para hallar la raz de una funcin real f en un intervalo [a ,b] , es el denominado, mtodo de biserccin y que est basado en el teorema de Bolzano.

Consiste en construir una sucesin de intervalos [an , bn]n0 tales que: f an. f bn0 .

Donde:

[a0, b0]=[a ,b]

[an1 ,bn1]={[an ,anbn2 ] si f an. f anbn2 0[anbn2 ,bn] si f anbn2 . f bn0}

31

0 2,00000 1,625001 1,62500 1,357362 1,35736 1,203733 1,20373 1,153504 1,15350 1,148745 1,14874 1,148706 1,14870 1,14870

n xn xn1


Hasta encontrar un n , tal que f anbn2 =0 .O bien, si s es la raz de f x=0 , que sea

f anbn2 s (Cota de error deseado). En cuyo caso, x=anbn2 ser raz de f o una aproximacin de error de la raz s

de f en [a ,b] .

Adems, teniendo en cuenta que para cada n0 , se cumple

bn an=bn1 an1

2=

bn2 an222

==ba2n

Se cumplir, que si s [a , b] tal que f s=0

sanbn2 ba2nEjemplo.- Sea el polinomio f x =x 4

12=0 . Como f 0 . f 10 , aplicando el

mtodo de biserccin

Obteniendo aproximadamente x = 0,84089642

32


Interpretacin geomtrica de algunos mtodos numricos

Cuando necesitamos una aproximacin de la raz de una funcin f poco precisa, podemos

utilizar el mtodo grfico de aproximacin:

Ejemplo.- Si queremos hallar una raz para la ecuacin

x3 . log x 1=0 . Utilizando la igualdad:

log x= 1x3

.

Que podemos representar grficamente, y que como

sabemos que:

log1 113

log 2 123

Sabemos, que una raz de la ecuacin est en el intervalo

1,2 . De hecho, si observamos la grfica, vemos que

la raz est en el intervalo 1.3 , 1.5 .

Tambin, podemos ver la interpretacin geomtrica de la sucesin numrica de algunos

mtodos numricos para el clculo de races como:

a) El teorema del punto fijo.

Grfico 1Funcin que cumple las condiciones

del teorema del punto fijo

Grfico 2Funcin que no cumple las condiciones del

teorema del punto fino (por ejemplo que no sea |g ' (x)| < 1)

33


b) El mtodo de biserccin.

grfico 3.

c) El mtodo de Newton-Raaphson o de las tangentes.

Grfico 4.- xn1 es el punto de interseccin de la recta tangente a f en xn y la recta y=0 . En ausencia de alguna de las condiciones (por ejemplo que f '' (x) cambie de signo en [a,b] ), el mtodo de Newton, puede no ser correcto.

34


d) Mtodo de Regula Falsi lo de las secantes.

Grfico 5

5. CONCLUSIONES.Como consecuencia del estudio de races polinmicas, a lo largo del este tema, se ha ido

aumentado los resultados tanto prcticos, como tericos de los anillos (en particular, del anillo de

polinomios). Por otra parte, la necesidad de conocer races aproximadas de ecuaciones, para

resolver situaciones reales, junto con la necesidad de adaptar estas situaciones a las tcnicas de

computacin, han hecho posible la utilizacin y el estudio de tcnicas numricas, para el clculo de

races. En particular en este tema, se destaca el mtodo de Newton.

Conviene tambin destacar, que en el estudio de races de polinomios, no slo es interesante

poder conocer el conjunto de races de un polinomio, sino, que tambin es interesante conocer a que

conjunto pertenecen. As, por ejemplo, teniendo en cuenta el teorema fundamental del lgebra,

sabemos que todo polinomio complejo, el nmero de races (contando su multiplicidad) coincide

con el orden del polinomio. Adems, en el caso de que los coeficientes, sean reales, teniendo en

cuenta las propiedades de conjugacin, si z es raz del polinomio, entonces z es tambin

raz.

Teniendo en cuenta, que todo polinomio real de grado uno es irreducible y que todo

polinomio de grado dos, o es irreducible, o es producto de monomios cuyas races son complejas

conjugadas. Utilizando las ecuaciones de Cardano Vietta, se demuestra fcilmente, que dicho

polinomio de grado dos, o es primo de dos monomios irreducibles, o es irreducible.

35


Y en caso de que el polinomio en cuestin, sea de grado mayor que 2, utilizando las

condiciones anteriores podremos descomponer el polinomio en polinomios primos de grado 1 y de

grado 2.

A pesar de que a lo largo del tema, se han estudiado los resultados fundamentales de las

races de polinomios, para sacarle partido a este tema, se debera profundizar en algunos mtodos de

resolucin para ecuaciones concretas, como por ejemplo:

Para resolver por radicales la llamada ecuacin reciproca

a . x4b . x3c . x2b . xa=0

Si dividimos la igualdad por x^2 queda

a .x 2 1x 2 b .x1x c=0Y haciendo el cambio de variable y=x1x .Queda la ecuacin de segundo grado en y

a . y2b . yc2 .a=0 .

Quedado como soluciones para y

y= bb28.a24.a.c

2.a

Y como y= x1x es equivalente a x2 y. x1=0 , serx= y y

2 42

Si p(x) es un polinomio con coeficientes complejos.

Si x=x0 es una raz de orden n en p x , entonces es tambin una raz de orden n-1

del polinomio derivado p ' x . Ya que por el teorema fundamental del lgebra, existir una

descomposicin

p x=xx0n. qx

Siendo qx otro polinomio con coeficientes complejos tal que qx0 0 . Que

derivando se obtiene

p ' x= xx0n1 . n.q xxx0 . q' x

Luego es evidente que x0 es raz de orden n-1 de p ' x .

36

1. INTRODUCCIN.2. CLCULO DE RACES DE POLINOMIOS POR RADICALES.EcuacinEcuaciones polinmicas de una variable de primer, segundo, tercer y cuarto gradoEcuaciones polinmicas de una variable de grado superior a cuatroTeorema fundamental del lgebraFrmulas de Cardano VietaRegla de RuffiniOtros mtodos para buscar races3. ACOTACIN DE RACES DE POLINOMIOS.Cotas de racesAlgoritmo de HornerNmero de racesDelimitacin de races4. MTODOS NUMRICOS DE RESOLUCIN DE ECUACIONES.Teorema del punto fijoMtodo de aproximaciones sucesivasCotas de errorMtodo de Newton5 (o de las tangentes)Mtodo de Regula Falsi (o de las secantes)Mtodo de BiserccinInterpretacin geomtrica de algunos mtodos numricos5. CONCLUSIONES.

Documents

ECUACIONES. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. …webs.ono.com/joaquinmateopo0/ALGEBRA/TEMAS/ecuaciones.pdf · Ecuaciones. Resolución de ecuaciones. Aproximación numérica de raíces. Si