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Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio [email protected] Derivadas. Teoremas 02/01/14 1 Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] cel. 955794944

Derivadas. teoremas luis florez

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    Derivadas. Teoremas**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Esquema**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Tasa de variacin media en un intervaloPara una funcin f(x) se define la tasa de variacin media de f en un intervalo [a, b], contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:La tasa de variacin media es una medida de la variacin que experimenta una funcin, en un intervalo, por unidad de variable independiente.Pendiente positivaPendiente negativa**Mg. Luis Alberto Florez Del Carpio - [email protected] - cel. 955794944Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Tasa de variacin media en un intervalo: ejemploLa evolucin en el tiempo del nmero de afiliados a la Seguridad Social en Espaa entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la grfica, donde x representa el tiempo en aos, siendo x = 0 el ao 1980, y f(x) representa el nmero de afiliados expresado en millones. Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el nmero de afiliados aument por trmino medio, en unas 124000 personas por ao.

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  • Tasa de variacin instantnea **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Derivada de una funcin en un puntoSi el lmite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p esDef: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente lmite. **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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    f '(p) = EC \o\al(\s\do15(ho);lim \f(f(p+h) f(p);h))

    EQ \o\al(\s\do15(ho);lim \f(f(p+h) f(p);h))

  • Interpretacin geomtrica de la derivadaAl hacer que h 0, ocurrir que p + h tiende (se acerca) a p Q recorre la curva acercndose a PLa recta secante a la curva se convierte en la recta tangenteLa inclinacin de la recta secante tiende a la inclinacin de la recta tangente Si la funcin f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la grfica de la funcin f en este punto es la derivada de f en p .**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Ecuacin de la recta tangenteaf(a)Entonces: Pendiente de la tangente: mt = f '(a)

    Ecuacin de la recta tangente: t y f(a) = f '(a) (x a)Ecuacin de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m:y b = m (x a)**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Ecuacin de la recta normalComo la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces:

    Pendiente de la tangente: mt = f '(p) Ecuacin de la recta tangente: y f(p) = f '(p) (x a)

    Pendiente de la normal: mn = 1/f '(p)Ecuacin de la normal:y f(p) = [1/f '(p)] (x a)

    Ecuacin de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:y f(p) = m (x p)**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Derivadas lateralesf '(a+) = tg > 0 f '(a) = tg < 0Por ser f '(a+) f '(a), f(x) no es derivable en el punto a.**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • TeoremaUna funcin derivable en un punto es continua en dicho punto.Demostracin: Queremos llegar al lmite de la funcin en el punto**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Relacin continuidad y derivabilidad Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto= tg= tg **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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    f'(0) = EQ \o\al(\s\do17(h 0);lim \f(f(a + h) f(a);h)) = EQ \o\al(\s\do17(h 0);lim \f( h;h)) = 1

    f'(0+) = EQ \o\al(\s\do17(h 0+);lim \f(f(a + h) f(a);h)) = EQ \o\al(\s\do17(h 0+);lim \f(h;h)) = 1

  • Funcin derivada Derivada de f(x) = x2 en el punto 2: Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:Se dice que la funcin derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x Se llama funcin derivada de una funcin f(x) a la funcin f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista. Para obtener la derivada en x **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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    f '(3) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(f(3 +h) f(3);h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f((3 + h)2 32;h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(h (h + 6); h )) = 6

    f '(x) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(f(x + h) f(x); h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f((x + h)2 x2; h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(h (h + 2x); h)) = 2x

    f '(2) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(f(2 +h) f(2);h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f((2 + h)2 22;h)) = EC \o\al(\s\do21(h0);lim \f(h (h + 4); h )) = 4

  • Consecuencias de la definicin de derivadaLa funcin derivada no identifica totalmente a la funcin, pues funciones que se diferencian en una constante, tienen la misma funcin derivada.Ej. f(x)= g(x) + k siendo k constante f(x) = g(x) h(x)= g(x) + k siendo k una constante h(x) = g(x)Geomtricamente, indica que las funciones f(x) y h(x) se obtienen mediante una traslacin de vector paralelo al eje Y y mdulo k k. Por ello las tangentes a las tres funciones son paralelas.**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Derivadas de operaciones con funcionesSean f y g dos funciones derivables en un punto x R y sea c un nmero real. (cf)'(x) = cf '(x)(f + g) '(x) = f '(x) + g'(x)(fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Demostracin de la regla de derivacin del cociente

    Enunciado: La derivada de un cociente **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Derivada de una funcin compuesta: regla de la cadenaSe define la composicin de una funcin f con otra funcin g, y se denota por gf a la nueva funcin dada por (gf) (x) = g(f(x)).La funcin h(x) = (2x 1)2 es la composicin de dos funciones: f(x) = 2x1 y g(t) = t2 Ejemplo:Regla de la cadena: si la funcin g es derivable en el punto f(a) y la funcin f es derivable en a, entonces la funcin gf es derivable en a y su derivada es:(gf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a)Ejemplo:Como (gf)(x) = g(f(x)) = (2x 1)2 (gf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x 1) . (2x 1)' = 2(2x 1) . 2 **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Regla de la cadena: Demostracin**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Derivada de la funcin inversaSe denomina funcin inversa de una funcin f a una nueva funcin, denotada por f1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f1(f(x)) = x.

    Para que esta funcin est bien definida es necesario que f cumpla: x1 x2 f(x1) f(x2)

    Las grficas de f y f1 son simtricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Tabla de derivadas de las funciones elementales**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Obtencin de la derivada de la funcin logaritmo neperiano**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Demostracin de la derivada de la funcin seno

    Usando la definicin de derivada:La derivada de sen (x) es Cos (x)**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Obtencin de la derivada de la funcin arcoseno

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  • Obtencin de la derivada de la funcin arco tangente **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Diferencial de una funcinEl diferencial de una funcin en un punto x = a es el incremento de la tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + hTangente a la curva en (a, f(a)): su pendiente es mt = f '(a) = tg at**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Una aproximacin geomtrica al concepto de diferencialSupongamos un cuadrado de lado x, al que incrementamos el lado en una cierta cantidad h. Su superficie se incrementar en:

    f = (x + h)2 x2 = 2xh + h2Si h es muy pequeo, h2 es mucho ms pequeo.

    Entonces: 2xh = 2x dx es el diferencial de la funcin

    f(x) = x2 y se ve que f 2x dx = f '(x) dx El error que se comete al aproximar el incremento por la diferencial es h2.**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Mximos y mnimos relativosUna funcin f(x) tiene un mnimo (mximo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)
  • Derivada en un punto mximo o mnimo (Interpretacin geomtrica)Sea f(x) una funcin definida en el intervalo (a, b). Si la funcin alcanza un mximo o mnimo en un punto c (a, b) y es derivable en l, entonces f '(c) = 0Si la funcin es constanteentonces f '(c) = 0Si A es mximo, la tangenteen x = c es horizontal. Su pendiente es 0Si A es mnimo, la tangenteen x = c es horizontal. Su pendiente es 0f '(c) = 0**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Teorema de Rolle. Interpretacin geomtricaSi una funcin y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es derivable en su interior (a, b). f(a) = f(b).

    Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f '(c) = 0.Geomtricamente este teorema expresa que una funcin que cumpla las hiptesis anteriores va a tener, al menos, un punto (c, f(c)) en el que la tangente es horizontal.**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Teorema de Rolle: DemostracinDemostracin:f es continua en [a,b] => por Teor. de Weierstrass f tiene mximo absoluto M y mnimo absoluto m en [a,b]. x [a,b] m f(x) M. x1 [a,b] f(x1)=M. x2 [a,b] f(x2)=m.

    Si m = M => x [a,b] f(x) = M (la funcin es constante) => f'(x) = 0

    Sino, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo m= f(x2) => (a,b) se comporta como un entorno de x2. Se cumple que x (a,b) f(x2) f(x) por lo que f presenta un mnimo relativo en x2. (1)

    f es derivable por hiptesis. (2)De 1) y 2), por la condicin necesaria para la existencia de mnimos relativos f'(x2)=0 como queramos demostrar

    Si una funcin y = f(x) cumple que: Es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Es derivable en su interior (a, b), y f(a) = f(b).Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f '(c) = 0.**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Teorema del valor medio o de Lagrange. Interpretacin geomtricaSi una funcin y = f(x) cumple que: Es continua [a, b]. Es derivable (a, b).Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que: f(b) f(a) = (b a) f '(c). Es decir: f( c) =Geomtricamente: si una funcin que cumple las hiptesis anteriores va a a tener al menos un punto (c, f(c)) en el que la tangente es paralela a la secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

    Analticamente: si una funcin cumple las hiptesis anteriores, en algn punto c (a,b) la razn incremental o tasa de variacin media (f(b) f(a)) / (b a), es igual a la derivada en dicho punto. **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Definamos una funcin auxiliar g(x) = f(x) + hx, h R.

    g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas. g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables. Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle => f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb ha = h(b - a)

    => por el teorema de Rolle, existe c (a,b) tal g'(c) = 0

    Por definicin de g(x); g(x) = f (x) +h, g(c) =f (c) +h =0 luego f (c ) = h y por tanto:

    Teorema del valor medio o de Lagrange: DemostracinSi una funcin y = f(x) cumple que: Es continua [a, b], y es derivable (a, b).Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que f(b) f(a) = (b a) f '(c).**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Demostracin: Sea h(x) = f(x) + kg(x)1. h es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas en [a,b]. 2. h es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables en (a,b). 3. Queremos que h(a)=h(b) para aplicar el teorema de Rolle. f(a)+kg(a)=f(b)+kg(b), k(g(a)-g(b))=f(b)-f(a)

    De 1),2) y 3) por el teorema de Rolle c (a,b) tal que h'(c) = 0.h'(x)=f'(x)+kg'(x) h'(c)=f'(c)+kg'(c)=0 f'(c)/g'(c) = -k

    Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Consecuencias del teorema del valor medio (I)Si f(x) cumple las hiptesis del teorema de Lagrange en [a, b]:

    f(a) = f(b) + (b a) . f '(c) con c (a, b).

    Si b = a + h, entonces c = a + h con (0, 1).Si f(x) es continua en [a h, a + h] y derivable en su interior entonces:f(a + h) = f(a) + h f '(a + h) con (0, 1).Expresin del valor de una funcin en el entorno de x = a **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Consecuencias del teorema del valor medio (II) Si una funcin f(x) tiene derivada nula en todos los puntos de un intervalo abierto, es constante en dicho intervalo.Caracterizacin de las funciones constantes f(x) es derivable en (a, b). f(x) tiene derivada nula en (a, b).En consecuencia: f(x) = k en (a, b).Aunque f(x) tiene derivada nula en los puntos de (a, b) en los que es derivable (en c no es derivable).

    No es constante en (a, b). **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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    _1293811433.unknown

  • Consecuencias del teorema del valor medio (III)Si dos funciones f(x) y g(x) tienen igual derivada en todos los puntos de un intervalo abierto, entonces difieren en una constante en ese mismo intervalo. Relacin entre funciones con igual derivada En el intervalo (0, 2) las fi(x) son derivables y tienen igual derivada.Entonces se diferencian en una constante, lo que significa que cada una se obtiene de la otra trasladndola paralelamente al eje OY.**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Regla de L'Hpital (I)Este teorema es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, }.Una aproximacin geomtrica al teorema: **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Regla de L'Hpital (II)Este teorema es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, }**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Regla de L'Hpital (III)Este procedimiento es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, }Podemos convertir esa expresin en una 0/0 o en una /**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Regla de L'Hpital (IV)Este procedimiento es vlido sustituyendo u por {a, a+, a, +, } **Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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    Salvando indeterminaciones del tipo 1(, (0, 00

  • Clculo de lmites indeterminados. Ejemplos (I)**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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    1. EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(exx1;x(ex1)) ) =

    EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(ex1;ex1 + xex)) =

    EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(ex;2ex + xex) =)

    EC \f(1;2)

    2. EC \o\al(\s\do25(x0);lim [sen \f(x;2) . ctg x]) =

    Indet 0.

    EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(sen \f(x;2);tg x)) =

    EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(\f(1;2) cos\f(x;2);1+tg2x)) =

    EC \f(1;2)

    3. EQ \o\al(\s\do25(x0);lim \b\bc\[ (\f(r;4x) \f(r;2x(erx + 1)))) =

    r > 0

    Indet

    EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(rerx r;4xerx + 4x)) =

    EC \o\al(\s\do25(x0);lim \f(r2erx;4erx + 4xrerx + 4)) =

    EC \f(r2;8)

  • Clculo de lmites indeterminados. Ejemplos (II)A1A0**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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    4.- EC \o\al(\s\do20(x1+);lim x\s\up12( \f(1;x-1))) =

    Indet 1

    L A = L EC \b\bc\[ (\o\al(\s\do20(x1+);lim (x\s\up12( \f(1;x1))))) =

    EC \o\al(\s\do20(x1+);lim \b\bc\[ (L \b\bc\( (x\s\up12( \f(1;x1) )))) =

    EC \o\al(\s\do15(x1+);lim \f(L x;x1)) =

    EC \o\al(\s\do20(x1+);lim \f(1/x;1)) =

    5.- EC \o\al(\s\do28(x0+);lim \b\bc\( (\f(1;sen x)) \s\up20 (x)) =

    Indet 0

    ( L A = EC L \b\bc\[ (\o\al(\s\do28(x0+);lim \b\bc\( (\f(1;sen x)) \s\up20 (x))) =

    EC \o\al(\s\do28(x0+);lim \b\bc\[ (L \b\bc\( (\f(1;sen x)) \s\up20 (x))) =

    = EC \o\al(\s\do15(x0+);lim \f( L sen x; 1/x)) =

    EC \o\al(\s\do28(x0+);lim \f(ctg x;1/x2)) =

    EC \o\al(\s\do20(x0+);lim \f(x2;tg x)) =

    EC \o\al(\s\do20(x0+);lim \f(2x;1 + tg2x)) =

  • Monotona: crecimiento y decrecimiento en un intervalof(x)f(x+h)Funcin creciente en [a, b]f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0f(x)Funcin decreciente en [a, b]f(x) > f(x+h), (x, x+h) y h >0f(x+h)f (x) >0f (x) < 0**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Derivadas y curvatura: concavidadLas pendientes de las tangentes aumentan f ' es creciente su derivada que es f debe ser f(x) > 0 funcin concavatg 1 < tg 2 f '(x1) < f '(x2)**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Derivadas y curvatura: convexidadtg a1 > tg a2 f '(x1) > f '(x2)Las pendientes de las tangentes disminuyen f ' es decreciente su derivada que es f " debe ser negativa f (x) < 0 funcin cnvexa**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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  • Puntos de inflexinSon los puntos en los que la funcin cambia de curvatura**Mg. Luis Alberto Florez Del [email protected] 955794944

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