Derivada de una función en un punto
Si el límite existe y es finito, la derivada de f(x) en x=p es
Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite.
f '(p) = h→olim
f(p+h) – f(p)h
h→olim
f(p+h) – f(p)h
Interpretación geométrica de la derivada
Al hacer que h → 0, ocurrirá que
• p + h tiende (se acerca) a p
• Q recorre la curva acercándose a P
• La recta secante a la curva se convierte en la recta tangente
• La inclinación de la recta secante tiende a la inclinación de la recta tangente
Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p .
0
( ) ( )lim ( )h
f p h f pf p
h→
+ − ′=
Ecuación de la recta tangente
a
f(a)
αt
αt
Entonces:• Pendiente de la tangente: mt = f '(a)
• Ecuación de la recta tangente: t ≡ y – f(a) = f '(a) (x – a)
t
Ecuación de la recta que pasa por un punto A(a, b) y de pendiente m:
y – b = m (x – a)
Ecuación de la recta normal
Como la tangente y la normal son perpendiculares sus pendientes son inversas y cambiadas de signo. Entonces:
Pendiente de la tangente: mt = f '(p) Ecuación de la recta tangente:
y – f(p) = f '(p) (x – a)
Pendiente de la normal: mn = –1/f '(p)
Ecuación de la normal:y – f(p) = [–1/f '(p)] (x – a)
Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:y – f(p) = m (x – p)
Derivadas laterales
α
a
β
f '(a+) = tg α > 0
f '(a–) = tg β < 0
Por ser f '(a+) ≠ f '(a–), f(x) no es derivable en el punto a.
La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe,
dado por f '(a+) =
h
xfhxfh
)()(lim
*0
−++→
Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y
por la izquierda y las derivadas laterales coinciden.
La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si
existe, dado por f '(a –) =
h
xfhxfh
)()(lim
0
−+−−→
Teorema
Una función derivable en un punto es continua en dicho punto.
( ) ( )( ) ( )
f a h f af a h f a h
h
+ −+ − = ×
( )0 0
( ) ( )lim ( ) ( ) lim h h
f a h f af a h f a h
h→ →
+ − + − = × ÷
0 0
( ) ( )lim limh h
f a h f ah
h→ →
+ −= ×
( ) 0 0 f a′= × =
0lim ( ) ( )h
f a h f a→
+ = ( ) es continua en f x x a=
( ) es derivable en f x x= a
Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto
f'(0–) = h → 0–lim
f(a + h) – f(a)h =
h → 0–lim
– hh = –1
Relación continuidad y derivabilidad
Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.
y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto
f'(0+) = h → 0+lim
f(a + h) – f(a)h =
h → 0+lim
hh = 1
Puesto que las derivadas laterales en 0 son diferentes la función no es derivable en dicho punto.
= tgα
= tg β
Función derivada
f '(3) = h→0lim
f(3 + h) – f(3)h =
h→0lim
(3 + h)2 – 32
h = h→0lim
h (h + 6) h = 6
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:
f '(x) = h→0lim
f(x + h) – f(x) h =
h→0lim
(x + h)2 – x2
h = h→0lim
h (h + 2x) h = 2x
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:
f '(2) = h→0lim
f(2 + h) – f(2)h =
h→0lim
(2 + h)2 – 22
h = h→0lim
h (h + 4) h = 4
Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x
Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.
Para obtener la derivada en x
Máximos y mínimos relativos
Una función f(x) tiene un mínimo (máximo) relativo en x = a si existe un intervalo abierto (a – h, a + h), h > 0 , en el que f(x)> f(a) (f(x)<f(a)) para todo x perteneciente al intervalo.
• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo relativo en el punto m(3, -1). No tiene máximos relativos.
• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en su dominio, R, en el punto m(3, -1). No tiene máximo absoluto en su dominio.
• La función y = x2 – 6x + 8 tiene un mínimo absoluto en el intervalo [1, 2], en el punto (2, 0). En ese mismo intervalo tiene un máximo absoluto en el punto (1, 3).
• La función y = x2 – 6x + 8 no tiene máximos ni mínimos en el intervalo (4, 5).
• m(3, -1)1 5
Derivada en un punto máximo o mínimo (Interpretación geométrica)
Sea f(x) una función definida en el intervalo (a, b). Si la función alcanza un máximo o mínimo en un punto c ∈ (a, b) y es derivable en él, entonces f '(c) = 0
Si la función es constanteentonces f '(c) = 0
Si A es máximo, la tangenteen x = c es horizontal. Su
pendiente es 0
Si A es mínimo, la tangenteen x = c es horizontal. Su
pendiente es 0
f '(c) = 0
f '(c) = 0
f '(c) = 0
X
Y
Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo
[a
]bx
f(x)
x+h
f(x+h)
h
Función creciente en [a, b]
f(x) < f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0
X
Y
[a
]b
x
f(x)
Función decreciente en [a, b]
f(x) > f(x+h), ∀(x, x+h) y h >0
f(x+h)
x+hh
f ’(x) >0 f ‘ (x) < 0
Derivadas y curvatura: concavidad
Las pendientes de las tangentes aumentan ⇒ f ' es creciente ⇒ su derivada que es f “ debe ser f”(x) > 0 ⇒ función convexa
X
Y
[a
]b
α1
α2
x1 x2
tg α1 < tg α2 ⇒ f '(x1) < f '(x2)
X
Y
[a
]bx1 x2
α1
α2
Derivadas y curvatura: convexidad
X
Y
[a
]bx1 x2
a1
a2
X
Y
[a
]b
a1
a2
x1 x2
tg a1 > tg a2 ⇒ f '(x1) > f '(x2)
Las pendientes de las tangentes disminuyen ⇒ f ' es decreciente ⇒ su derivada que es f " debe ser negativa f” (x) < 0 ⇒ función cóncava