Matemática EM - Teoremas

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Propriedades e Teoremas, exercícios e resoluções

Text of Matemática EM - Teoremas

  • MATEMTICA

    TAM

    Manual do Professor

    Ensino Mdio

    Aldeir Antnio Neto RochaMestre em Educao pela

    Universidade Federal de Juiz de ForaProfessor da Educao

    Bsica por 15 anosProfessor do Ensino Superior por 8 anosProfessor da Ps-Graduao por 6 anos

    ProPrIEdAdES E TEorEMAS SoBrE dETErMInAnTES

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    SUMrIo

    Planejamento semestral ............................................................................... 3

    Sequncia didtica ........................................................................................ 3

    orientaes didtico-metodolgicas .................................................................. 4

    resoluo comentada das questes .................................................................. 6

    Textos Complementares ............................................................................... 9

  • 3

    SEQUnCIA dIdTICA

    SEQUnCIA ProPrIEdAdES E TEorEMAS SoBrE dETErMInAnTES

    TEMPo PrEvISTo: 4 SEMAnAS

    Objetivos especficos

    Compreender a importncia do estudo dos determinantes como ferramenta matemtica. Compreender e utilizar o Teorema de Laplace para clculo de determinantes. Compreender e utilizar a regra de Chi para clculo de determinantes. reconhecer as situaes em que se leva vantagem no uso desses dispositivos. ReconhecerumamatrizdeVandermondeesuasespecificidades. Conhecer e ter domnio das propriedades dos determinantes. realizar clculos de determinantes utilizando as propriedades como ferramentas facilitadoras do trabalho. Utilizar as propriedades de forma conjugada, como forma de abreviar os clculos. Associar algumas propriedades ao uso da regra de Chi.Identificaraimportnciadosdeterminantesparaaresoluodesistemaslineares.Identificaraimportnciadosdeterminantesparaaresoluodeproblemasprticos. Compreender a regra de Cramer.

    Conceitos fundamentais: Matrizes; determinantes, Teorema de Laplace, regra de Chi, Matriz de vandermonde; Propriedades dos determinantes.

    SEMAnA ConTEdo ESTrATGIAS dE EnSIno

    1.a

    Um pouco de histriaTeorema de Laplaceregra de ChiMatriz de vandermondeMatriz de vandermonde Atividades de reviso e aprofundamento

    Leitura da introduo do captulo e anlise do problema apresentado, com interao entre professor e alunos.Exposio dialogada dos contedos. discusso de questes resolvidas.Atividades de resoluo de questes propostas, individual e/ou em grupos.discusso de respostas.

    2.a

    1., 2., 3., 4., 5., 6. e 7. propriedades dos determinantesAtividades de reviso e aprofundamento

    Apresentao do tema atravs de conversa com os alunos.Exposio dialogada sobre cada uma das propriedades e sua aplicao.Anlise da questo resolvida sobre cada propriedade.Resoluodequestespropostasedemaisatividadesdereflexo.discusso de resultados.

    3.a

    8., 9., 10., 11., 12. propriedades dos deter-minantes Atividades de reviso e aprofundamento

    Apresentao do tema atravs de conversa com os alunos.Exposio dialogada sobre cada uma das propriedades e sua aplicao.Anlise da questo resolvida sobre cada propriedade.Resoluodequestespropostasedemaisatividadesdereflexo.discusso de resultados.

    4.a

    As propriedades e a re-gra de Chi.A regra de Cramer e os sistemas lineares - Intro-duoAtividades de reviso e aprofundamento

    Leitura para retomada do problema inicial.discusso sobre as formas de resoluo da situao-problema.Exposio dialogada dos contedos. discusso de questes resolvidas.Atividades de resoluo de questes propostas, individualmente e/ou em grupos.discusso de respostas.

    PLAnEJAMEnTo SEMESTrAL

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    Propriedades e teoremas sobre determinantes

    Professor, este fascculo destina-se realizao de um estudo mais aprofundado sobre os determinantes de matrizes. recomendvel que, antes de inici-lo, voc verifique o conhecimento dos alunos sobre matrizes e osclculos bsicos de determinantes. Proponha algumas atividades que consigam provocar uma autoavaliao nos alunos econversecomelessobresuasdificuldades.Sefornecessrio,nodeixederealizarumabrevesessodeexposioeatividades sobre tipos de matrizes e clculos de determinantes de segunda e terceira ordem. recorde com eles a regra de Sarrus.

    Aps esse momento de alinhamento (se tiver sido necessrio), propomos que inicie o estudo do captulo pontuando algumas contribuies importantes na histria da matemtica, dentro do campo das matrizes determinantes e dos sistemas lineares. ressalte a natureza histrica da cincia e discuta com os alunos a importncia das descobertas e das elaboraesderegraseteoremasquepossibilitaram,aolongodostempos,oavanocientficoeodesenvolvimentotecnolgico.OtextocomplementarMovendofigurasplanaspodeajud-loamostraraosalunosaimportnciadessecampodeestudoparaoavanodosetorgrfico.

    o problema inicial deve ser discutido no mbito dos conhecimentos prvios dos alunos. Procure estimul-los a buscar as respostas com base nas estratgias que conhecem. Em seguida, faa-os utilizar a frmula apresentada no texto inicial. Essa abordagem representa uma provocao inicial sobre a utilizao de dispositivos diversos para a soluodeproblemas.Digaaelesque,aofinaldesdecaptulo,oproblemaserretomadoparaserresolvidocomoutrasferramentas.

    A partir daqui, o contedo apresenta uma srie de teoremas, regras e propriedades que visam facilitar o clculo dos determinantes. importante ressaltar para os alunos que as propriedades e teoremas no apresentam uma utilidade prtica por si s. um momento de apropriao de tcnicas que sero muito teis em estudos mais adiante, como os sistemas lineares, por exemplo. Estes sim, apresentam uma srie questes de ordem prtica e cotidiana.

    Para o Estudo do Teorema de Laplace importante consolidar o conceito e o clculo dos cofatores. depois disso, mostre a aplicao do teorema. Utilize as questes resolvidas e resolva outras com os alunos, se necessrio. Encerre com as questes propostas. A atividade de raciocnio lgico e numrico deve ser utilizada como um meio de perceber se os alunos conseguiram abstrair a ideia do teorema. Solicite que compartilhem as respostas com os colegas.

    Em seguida, a regra de Chi. Mostre a importncia da reduo da ordem da matriz para que, em alguns casos, o clculo dos determinantes seja abreviado. ressalte para os alunos que, mesmo que algumas vezes o uso dos teoremas e regras no se faa to interessante, o desenvolvimento do raciocnio ser sempre potencializado ao lidar com as conjugaes de todas essas regras. Analise as questes resolvidas e proponha outras. A atividade da seo Investigando pode ser resolvida em casa. na aula seguinte, retome-a com os alunos.

    A matriz de vandermonde vem na sequncia, com uma breve introduo sobre a trajetria do estudioso. veja alguns links disponveis neste manual, para que aqueles que desejarem possam conhecer um pouco mais sobre a vida e a obra de alguns matemticos. Aps desenvolver todo o tema, proponha que os alunos retomem seus conhecimentos sobre logaritmo e discutam a atividade da seo Investigando. Se necessrio, pea que a estudem em casa e discutam na prxima aula.

    Antes de iniciar os estudos sobre as 12 propriedades dos determinantes, converse com os alunos sobre o objetivo dessas propriedades. destaque a importncia delas para abreviar alguns clculos e a facilidade que elas podem trazer quando precisamos relacionar assuntos diferentes. Apresente uma a uma, analisando com eles os exemplos resolvidos, antesdeenunciarapropriedade.Realizeasatividadesdereflexoeraciocnio,sempredeixando-osdiscutirerefletirindividualmente e em grupos primeiro. Aps o estudo da stima propriedade, faa uma pausa para os alunos realizarem as questes propostas. Uma boa estratgia deix-los discuti-las em grupos e, depois, pedir que alguns as faam no quadro para socializar as respostas. depois disso, continue na discusso das outras cinco propriedades, seguindo as mesmas estratgias j mencionadas.

    Para fechar o estudo das propriedades, foi proposto breve estudo de inter-relao dessas propriedades. Apresentamos dois casos em que podemos aproveitar alguma propriedade para facilitar e potencializar o uso da regra de Chi. A ideia das inter-relaes deve ser destacada. voc pode sugerir que os alunos procurem outras circunstncias em que a utilizao de uma propriedade pode se relacionar diretamente com alguma regra ou teorema.

    orIEnTAES dIdTICo-METodoLGICAS

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    Finalizando o captulo, apresentamos a regra de Cramer, como forma de introduzir o estudo dos sistemas lineares. Para tanto, retomamos o problema inicial do captulo, para mostrar como podemos utilizar outras ferramentas para resolver a mesma situao-problema. refaa-o com os alunos, com base nos novos conhecimentos. Mencione aos alunos que esta apenas uma breve introduo para um tema que dever ser estudado em seguida (os sistemas lineares). o texto do professor Elon deve ser utilizado apenas para ttulo de curiosidade e para mostrar que cada mtodo tem suas vantagens e desvantagens e sua aplicao deve ser estudada criteriosamente.

    Asquestesdevestibularsoapresentadasaofinal.Sodegrandeinteressedosalunosquepretendemfazerosexames vestibulares. no entanto, todas elas so importantes para o desenvolvimento do raciocnio.

    Orientaes para as atividades em dupla ou em grupo: no existem, neste captulo, atividades que devam ser necessariamente resolvidas em grupos. No entanto, essa estratgiamostra-semuito eficiente medida queproporcionasocializao, interaoetrocadeconhecimentos.Semprequeforutilizada,verifiquesetodosestorealmenteparticipandoebuscandoareconstruoconceitualeresoluodosproblemas.Aofinal,sempresoliciteque os grupos apresentem seus resultados. As atividades de investigao podem ser realizadas em casa e os alunos que desejarem podem se reunir para discuti-las.

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    rESoLUo CoMEnTAdA dAS QUESTES

    Propriedades e teoremas sobre determinantes

    Questes Propostas1) a) d11

    4 2 = 6

    b) d32

    2 5 = 3

    c) d21

    12 5 = 7

    d) d22

    4 0 = 4

    e) d13

    1 (0) = 1A2) 11A11 = 4

    A12A12 = 6

    A13A13 = 7

    3) a) A11 = 10

    A12 = 4

    A13 = 1

    det A = 2.10 +3.4 + 4. (1)

    det A = 28

    b) det x = 18

    c) B11 = 17

    B12= 44

    B13 = 111

    detA = 13

    d) det M = 0a 4) X = 3b X = 9 ; 9a 5) det A = 60b det B = 10

    c det C = 6

    d det d = 2X = 16) S = (7) 3, 1, 2)(t8) x) (ty) (tz) (zx) (zy)(yx)Multiplicamos a 3. linha por c, a 2. por b e a 1. 9) por a. Consequentemente, o determinante dever ser dividido por abc ( 1/abc). Em seguida, dividimos a primeira coluna (toda formada de abc) por abc e multiplicamos o determinante por abc. Assim, teremos

    do lado de fora: abc/abc, que podemos cancelar, sobre o segundo membro da identidade.Multiplicamos a 1. linha por x; a 2. linha por y e 10) a 3. linha por w. Para no alterar o determinante, multiplicamos o seu valor por 1/xyw.divide a primeira coluna por 4; divide a terceira 11) coluna5.Assim,essasduascolunasficamiguais,comdet A = 0.

    12) a) divide 1 linha 5 e multiplica o det por 5. = 25

    b) Troca de linhas = 5

    c) divide as duas linhas por -1 e multiplica o det por (1) (1) = 5

    d) divide as duas linhas por 4. Multiplica o det por 4 x 4 = 80

    13) a) Soluo: Primeiro, multiplicamos a primeira linha

    por 2 e, em seguida, somamos segunda linha. Assim, conseguimos uma matriz em que mais fcil a aplicao do teorema de Laplace, j que possui uma filacommuitoszeros.

    Temos: det B =

    Aplicando Laplace:

    = 6

    detA = 6

    b) vamos seguir o mesmo raciocnio anterior. desta vez, as filas escolhidas podem ser a 1 e a 3. Observeque quase todos os seus membros guardam um relao proporcional. Multiplicamos a primeira por 2 e somamos terceira. Assim, teremos uma terceira linha com:

    0 0 2 0a 14) d = 21dx = 21

    dy = 21

    dz = 42

    a) S = ( 1, 1, 2)

    b) S = (5,1)

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    c) S = (2, 1, 4)

    d) S = ( p , p)

    e) S = ( 2, 3)

    f) Podemos admitir que 3x + 2 e ex + y so diferentes de zero.

    Assim,

    . Logo, 2x y 3z = 2

    . Logo, 2x + y z = 1

    o sistema resultante :

    X + y + z =1

    2x y 3z =2

    2x + y z = 1

    d = 4

    dx = 6

    dy = 5

    dz = 3

    S = ( 3/2; 5/4; 3/4)

    Refletindo

    Primeiro, colocamos em forma de sistema1) x + y = 6

    3x + 2y = 14

    a = 1; b = 1 ; c = 6; d = 3 ; e = 2 ; f = 14

    x = 2

    y = 4

    2)

    3) A terceira propriedade um caso particular da 4) quinta.o aluno dever construir a matriz utilizando letras 5) quaisquer e representar todas as parcelas que fazem parte do clculo do determinante. Fazendo isso com a matriz e com sua transposta, dever chegar a uma expresso idntica.

    6)

    Uma possibilidade de resposta:7) Aplica-se o teorema de Laplace seguidas vezes. Escolhasempreasfilascommaiszeros.Exemplo:

    det A =

    det A =

    det A = a (ei of)det A = a . e . i Professor, estimule os alunos a submeterem suas 8) questes aos colegas para que as resolvam. Escolha algumas e solicite que as faam no quadro. Em seguida, faa a correo.

    Investigando

    1)

    Como x . 1 = x, temos:

    Aplicando novamente o dispositivo:

    Como b a .1 = b-a, temos:

    Mais uma vez, dividindo:

    Porfim,a . (b a) (c b) (d c)resoluo:2) (log500 log50)(log500 log5) (log50 log5)

    (log5 + log102 log5 log10) (log5 + log102 log5) (log5 + log10 log5)(2 1) (2) (1)det = 2

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    Raciocnio lgico e numrico

    resposta individual. Muitos alunos devem utilizar a 1) estratgia de isolar x na primeira equao e substitu-lo na segunda.Se a linha escolhida tiver elementos iguais a zero, os 2) cofatores que forem multiplicados pelos zeros no precisaro ser calculados, pois seu produto dar zero independentemente do valor do cofator. o exemplo individual.Soluo:3) (5 x) (5 2) (5 1) (x 2) (x 1) (2 1) = 0

    (5 x) (x 2) (x 1) = 0

    Assim, temos:

    (5 x) = 0

    x = 5

    (x 2) = 0

    x = 2

    (x 1) = 0

    x = 1

    S = ( 5, 1, 2)os alunos devem construir uma matriz genrica, 4) utilizando letras ou uma outra utilizando as mesmas letras, porm, acompanhadas do k. A seguir, a cada coluna ou linha que eles retirarem o k, esta letra deve multiplicar o det, do lado de fora da matriz. Ao final,tem-seumasituaocomoesta:

    k . k . k . det

    k3. det Ano. Pois no existe 1/0.5)

    Questes de reviso e aprofundamento

    S ( 2)1) v v F2) o custo de 1 900 dlaresd3) c4) b5) e6) d7) c8) d9) a10) c11) c12) e13) S ( -2 0 1)14) d15) S (1)16) b17) d18) e19) e20) a21) a22) v v F23) e24) b25) 1426) a27) d28) e29) a30) d31)

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    TEXToS CoMPLEMEnTArES

    As tcnicas de animao utilizadas em computao, na Tv e no cinema, que criam a iluso de movimento, nada fariam sem a Matemtica, especialmente as matrizes. Por meio destas, possvel dar vida a figuras geomtricas planas, fazendo-asgirar em torno do centro da tela de um monitor de computador, por exemplo.

    vejamos como isso pode ser feito.Imagine um sistema cartesiano ortogonal (plano

    cartesiano) com origem no centro da tela do monitor (suposta plana) em um ponto qualquer P(x, y).

    Por meio de um produto de matrizes da forma

    obtemos um novo ponto P(x, y) tal que x = ax + cy e y = bx + dy.

    A matriz T = chamada de matriz de

    transformao no plano.A matriz (x y), que tem tantas linhas quantos

    forem os pontos considerados (no nosso caso s tem uma linha), chamada de matriz de pontos.

    TudofuncionacomoseopontoPfosselevadopela matriz T para a posio do ponto P.

    Um exemplo de matriz de transformao a matrizderotaodeumnguloemtornodaorigeme no sentido anti-horrio, dada por:

    Vamos representar graficamente o que ocorrequando=90eP(3,4).

    Observe,nafigura1,queopontoPestexatamen-te na posio em que o P estaria se este girasse no sentido anti-horrioemtornodaorigemdeumngulode90.

    Movendofigurasplanas

    Figura 1

    Agora, vamos fazer a rotao do tringulo ABC em torno da origem de um ngulo de 90, dados osvrtices A (2,2), B (6,5) e C (3,4). nesse caso, a matriz de pontos tem trs linhas.

    Veja na figura 2, graficamente, o que aconte-ceu. note que cada um dos vrtices do tringulo ABC girou em torno da origem de um ngulo de 90 no sen-tido anti-horrio.

    Ligando os pontos, vemos que quem girou foi o tringulo ABC.

    Figura 2

    BIAnCHInI, Edwaldo; PACCoLA, Herval. Curso de Matemtica: volume nico.

    3.ed. So Paulo: Moderna, 2003.

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    referncias e sugestes para consulta

    BoYEr, Carl B. Histria da Matemtica. So Paulo: Edgar Blucher/Edusp, 1974.

    dAnTE, L. roberto. Matemtica: Contexto e aplicaes. 3.ed. So Paulo: tica, 2008.

    HAZZAn, Samuel; IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemtica elementar: Sequncia, matrizes e determinantes. So Paulo: Atual, 2004.

    roSA nETo, Ernesto. Didtica da Matemtica. So Paulo: tica, 1996.

    Links

    http://www.matematica.br/

    http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/page01.htm

    http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/ia.html#C

    http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo1.html

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