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Los fundamentos de la matemática y los teoremas de Gödel Mario A. Natiello Centre for Mathematical Sciences Lund University Sweden Los fundamentos de la matemática y los teoremas de Gödel – p.1/23

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  • Los fundamentos de la matemtica ylos teoremas de Gdel

    Mario A. Natiello

    Centre for Mathematical Sciences

    Lund University

    Sweden

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.1/23

  • Contenido

    Trataremos los siguientes puntos:

    Qu cosa es la matemtica ?

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.2/23

  • Contenido

    Trataremos los siguientes puntos:

    Qu cosa es la matemtica ?

    La bsqueda de la certeza

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.2/23

  • Contenido

    Trataremos los siguientes puntos:

    Qu cosa es la matemtica ?

    La bsqueda de la certeza

    El programa de Russell

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.2/23

  • Contenido

    Trataremos los siguientes puntos:

    Qu cosa es la matemtica ?

    La bsqueda de la certeza

    El programa de Russell

    El programa de Hilbert

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.2/23

  • Contenido

    Trataremos los siguientes puntos:

    Qu cosa es la matemtica ?

    La bsqueda de la certeza

    El programa de Russell

    El programa de Hilbert

    Gdel o convivir con la incerteza

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.2/23

  • Contenido

    Trataremos los siguientes puntos:

    Qu cosa es la matemtica ?

    La bsqueda de la certeza

    El programa de Russell

    El programa de Hilbert

    Gdel o convivir con la incerteza

    Lakatos y el progreso de la ciencia

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.2/23

  • Contenido

    Trataremos los siguientes puntos:

    Qu cosa es la matemtica ?

    La bsqueda de la certeza

    El programa de Russell

    El programa de Hilbert

    Gdel o convivir con la incerteza

    Lakatos y el progreso de la ciencia

    Lecturas sugeridas.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.2/23

  • Contenido

    Trataremos los siguientes puntos:

    Qu cosa es la matemtica ?

    La bsqueda de la certeza

    El programa de Russell

    El programa de Hilbert

    Gdel o convivir con la incerteza

    Lakatos y el progreso de la ciencia

    Lecturas sugeridas.

    FIN

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.2/23

  • Qu cosa es la matemtica ? I

    Discusin milenaria:

    Una ciencia experimental: La matemtica estudiaobjetos determinados por la experiencia.

    Una ciencia abstracta platnica: Los objetos delas matemticas existen en el mundo de las ideas,mientras los objetos del mundo real son slo unplido reflejo de los objetos matemticos.

    Una ciencia que estudia las relaciones entreobjetos naturales una vez despojados de todapropiedad contingente.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.3/23

  • Qu cosa es la matemtica ? II

    Un ejercicio de lgica.

    Un sistema de convenciones que facilita lasrelaciones sociales, especialmente de naturalezapblica, y que a travs de los siglos hademostrado ser til, constituyendo uningrediente escencial de la diferencia entre lasupervivencia y la muerte.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.4/23

  • Qu cosa es la matemtica ? III

    J. S. Mill: La matemtica es la ciencia emprica devalidez ms general.

    Puede la afirmacin 3 + 2 = 5: ser verificada experimentalmente? ser puesta a prueba? ser refutada?

    El concepto de nmero como abstraccin de laexperiencia. El nmero 2 representa aquello que,segn nosotros, dos manzanas, dos personas, doshojas, dos metros, dos meses, etc., tienen encomn.

    De vuelta a los contenidos

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.5/23

  • La bsqueda de la certeza I

    El siglo XIX represent un intento de generar rigor ycerteza en el edificio de las matemticas.

    Peano: Organizar el conocimiento de losnmeros naturales con un puado de axiomas yreglas (inspirado por el programa de Euclides): 0 es un nmero. Todo nmero tiene un sucesor. 0 no es el sucesor de ningn nmero. Dos nmeros distintos no tienen jams el

    mismo sucesor. Si una propiedad vale para el nmero 0 y cada

    vez que vale para un nmero k, tambin valepara el sucesor de k, entonces vale para todoslos nmeros.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.6/23

  • La bsqueda de la certeza II

    Es este sistema completo y consistente? Cmo estconcebido?

    Conceptos elementales no definidos (nmero,sucesor, propiedad).

    Axiomas: Verdades bsicas tenidas porindudables y que no necesitan demostracin.

    Reglas de inferencia lgica: Toda cosa es idntica a s misma. Una afirmacin matemtica es o cierta o falsa,

    no hay una tercera opcin. Modus ponens, implicacin,

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.7/23

  • La bsqueda de la certeza III

    Grietas en el edificio:

    Los axiomas no son inamovibles. Algunosaxiomas se pueden substituir por otros sin perderla consistencia.

    Las reglas lgico-matemticas pueden llevar aconclusiones inesperadas. Cantor: No todos losconjuntos infinitos son iguales, algunos sepueden contar (enumerar) y otros no.

    Paradojas lgicas.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.8/23

  • La bsqueda de la certeza IV

    La paradoja del barbero: En una isla hay un barbero que afeita slo a

    todos los hombres de la isla que no se afeitana s mismos.

    Quin afeita al barbero?

    Paradoja autoreferencial:Esta afirmacin es falsa.Verdadera o falsa?

    Recurrencia infinita: En una habitacin estntodos los cuadros que no contienen una imagende s mismos. Se puede pintar un cuadro de esahabitacin? Tendra ese cuadro una imagen de smismo ?

    De vuelta a los contenidosLos fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.9/23

  • Bertrand Russell y el logicismo

    Principia Mathematica (con Whitehead, 1910-1913).

    Definir los conceptos bsicos de la matemtica(Peano) en trminos de conceptos de la lgica.

    Clases, clase vaca, nmero, operacionesaritmticas, etc.

    Variables y conectivos (no, o, y, implica).

    Teorema: Frmula vlida obtenida a partir de losaxiomas y las reglas del clculo lgico.

    Objetivo: Liberar la matemtica de los problemasque generan la paradoja del barbero y similares.

    Idea: Romper la cadena autoreferencial.

    De vuelta a los contenidos

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.10/23

  • Hilbert y el formalismo I

    En 1899 Hilbert present un sistema axiomtico parala geometra.

    Elementos bsicos (indefinidos), axiomas y reglasde inferencia.

    Generacin rutinaria de las verdades del sistema(demostrar los teoremas).

    Los conceptos indefinidos conllevan la existenciade modelos o interpretaciones del sistema deaxiomas.

    Un sistema de axiomas ser ms o menosaplicable a un dado contenido.

    Todo lo que puede ser objeto de pensamientocientfico...entra en la esfera del mtodoaxiomtico.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.11/23

  • Hilbert y el formalismo II

    Problema central:

    Es el sistema de axiomas independiente (mnimo,o sea ningn axioma es redundante relativo algrupo) ?

    Est el sistema libre de contradicciones ?(Consistencia: Los teoremas T y T no puedenser ambos demostrados dentro del sistema deaxiomas)

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.12/23

  • El programa de Hilbert

    Una formalizacin de toda la matemtica: Todaslas afirmaciones matemticas deben ser escritasen un lenguaje formal preciso y manipuladassiguiendo reglas bien definidas.

    Completitud: Una demostracin de que todas lasafirmaciones matemticas verdaderas pueden serdemostradas dentro del formalismo.

    Consistencia: Una demostracin de que en elformalismo de la matemtica no se puedenobtener contradicciones. Esta prueba debe usarpreferiblemente razonamientos finitos acercade objetos matemticos finitos.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.13/23

  • El programa de Hilbert (cont.) Conservacin: Una prueba de que cualquier

    resultado acerca de objetos reales obtenidorazonando acerca de objetos ideales (comoconjuntos no numerables) se puede demostrar sinusar objetos ideales.

    Decidibilidad: Debe existir un algoritmo paradecidir la verdad o falsedad de cualquierafirmacin matemtica.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.14/23

  • Hilbert y el formalismo III

    Este programa slo puede ser llevado a caboparcialmente.

    La consistencia de la geometra se puede reducira la consistencia de la aritmtica.

    La geometra euclideana es consistente (Tarski).

    La lgica de primer orden es consistente (Gdel).

    Muchas areas del conocimiento matemtico sehan organizado gracias a los esfuerzosaxiomticos.

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    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.15/23

  • Gdel o convivir con la incerteza

    Teorema 1: En cualquier sistema formal quecontenga la estructura bsica de la aritmtica(nmeros naturales, suma y multiplicacin) sepueden construir afirmaciones aritmticas queson verdaderas pero indemostrables dentro delsistema.O sea: Cualquier teora consistentesuficientemente amplia es incompleta.

    Teorema 2: Para cualquier sistema formal quecontenga la estructura bsica de la aritmtica, elsistema contiene una afirmacin sobre la propiaconsistencia s y slo s es inconsistente.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.16/23

  • Primer teorema de Gdel I

    Consideremos los axiomas de Peano, la suma, elproducto y los smbolos bsicos de la lgica.

    Asociar todos los elementos bsicos de la teora anmeros (p.ej.: 0 000, = 111, 333,1 222, etc.).

    Los axiomas de la teora y los teoremas(afirmaciones verdaderas demostrables dentrodel sistema) tambin son nmeros (p.ej.:0 6= 1 000333111222).

    Las reglas lgicas y las demostraciones deteoremas son funciones que transformannmeros en nmeros.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.17/23

  • Primer teorema de Gdel II

    Esta afirmacin no es un teorema del sistema.

    Si la afirmacin fuera falsa, entonces sera unteorema (demostrable dentro del sistema) yadems falso: imposible.

    Si la afirmacin es verdadera, entonces no es unteorema. O sea: Hay afirmaciones verdaderas queno se pueden demostrar.

    A esta afirmacin tambin se le puede asignar unnmero, o sea que es un elemento vlido delsistema, pero ese nmero no es el nmero deGdel de ningn teorema del sistema.

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.18/23

  • Comentarios

    Un sistema tan amplio como los nmerosnaturales inevitablemente puede hacerafirmaciones acerca de s mismo.

    En 1977 Paris and Harrington encontraron unaafirmacin acerca de los nmeros naturales quees indemostrable dentro del sistema de Peano.

    Goodstein, Kruskal y Chaitin encontraron otrasvariantes.

    Algunos piensan que ciertas conjeturas acerca delos nmeros naturales que hasta hoy no se hanpodido demostrar, son verdades Gdelianas (p.ej:Todo nmero par se puede escribir como la sumade dos nmeros primos (Goldbach)).

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.19/23

  • Segundo teorema de Gdel

    Sea P la afirmacin indemostrable del primerteorema.

    El primer teorema dice: Si el sistema esconsistente entonces P es indemostrable.

    Si el sistema es consistente y esta consistenciafuera demostrable, de la demostracin del primerteorema se seguira que se ha demostrado laafirmacin P es indemostrable. Imposible.Luego, si el sistema es consistente, la consistenciano se puede demostrar dentro del sistema.

    Si el sistema fuera inconsistente, cualquier cosa sepodra demostrar, inclusive que el sistema esconsistente(!).

    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.20/23

  • Comentarios

    Se puede demostrar que el subconjuntoconsistente ms grande dentro del sistema dePeano no tiene ninguna cadena lgica quetermine en una contradiccin.Esto es casi una demostracin de la consistenciadel sistema de Peano, pero ms all no se llega.

    Lmites a los programas de Hilbert y Russell.

    Lmites a ciertos programas de InteligenciaArtificial: No todas las afirmaciones verdaderasson computables por mtodos automticos.

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    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.21/23

  • Lakatos y el progreso de la ciencia

    Cmo se organiza el conocimiento matemtico?

    La certeza absoluta ya no es un objetivo.

    El conocimiento matemtico se construye y refinaartesanalmente, hasta remitirlo a un sistemabsico de axiomas.

    La eleccin, funcionalidad y reconocimiento deconsistencia del sistema de axiomas va por cuentadel usuario.

    No obstante la incerteza, la utilidad y precisinde la matemtica superan cualquier otra creacinintelectual humana.

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    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.22/23

  • Referencias y material de lectura

    Cmo seguimos leyendo?

    Wikipedia (buscar bajo Hilbert, Russell, Gdel,etc.).

    Libros de historia de la matemtica: Kline, Katz,etc.

    Roger C. Lyndon, Notes on Logic, Van Nostrand,1966.

    Imre Lakatos, Proofs and Refutations. The Logicof Mathematical Discovery. Cambridge UniversityPress, 1976.

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    Los fundamentos de la matemtica y los teoremas de Gdel p.23/23

    ContenidoQu'e cosa es la matem'atica ? IQu'e cosa es la matem'atica ? IIQu'e cosa es la matem'atica ? IIILa b'usqueda de la certeza ILa b'usqueda de la certeza IILa b'usqueda de la certeza IIILa b'usqueda de la certeza IVBertrand Russell y el logicismoHilbert y el formalismo IHilbert y el formalismo IIEl programa de HilbertEl programa de Hilbert (cont.)Hilbert y el formalismo IIIG"odel o convivir con la incertezaPrimer teorema de G"odel IPrimer teorema de G"odel IIComentariosSegundo teorema de G"odelComentariosLakatos y el progreso de la cienciaReferencias y material de lectura