Seqdidaticas em Matemática

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MATEMÁTICA

SEQUÊNCIA DIDÁTICA 01

ÁREA: Ciências da Natureza

DISCIPLINA: Matemática

SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

1- Tratamento da informação: leitura e interpretação de tabela e gráficos; 2- Construção de gráficos diversos retratando problemas do cotidiano.

OBJETIVOS:

1- Interpretar informações contidas em tabelas e gráficos como forma de comunicação, reconhecendo sua importância no cotidiano, como instrumento de análise;

2- Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto, listas e/ou tabelas;

3- Resolver situações problemas a partir de dados contidos em tabelas e/ou gráficos.

DESCRITORES: 21,34 e 35. (PAEBES)

TEMPO ESTIMADO: 10 aulas

MATERIAL NECESSÁRIO: Computador, papel milimetrado e a Revista do Educador/Matemática Vol.III 1º série do Ensino Médio PAEBES .

DESENVOLVIMENTO:

1ª Etapa :

Distribua os alunos em grupos. Cada grupo receberá a Revista do Educador/Matemática Vol.III 1º série do Ensino Médio PAEBES – 2009 referentes a 10 escolas próximas. Peça ao que elege o seu relator. Dica Importante: Utilize a Revista do Educador/Matemática Vol.III 1º série do Ensino Médio PAEBES – 2009 das 10 escolas, de modo que o nome dessas escolas seja fictício . O professor, nesse momento, fará uma leitura direcionada aliando a importância da revista como instrumento avaliativo e estatístico, fazendo um comentário geral dos pontos relevantes dos conteúdos.

2ª Etapa :

Após a leitura e os comentários, direcione para cada grupo um estudo mais profundo dos aspectos que proporciona o resultado da escola. Faça um comentário sobre Proficiência média , Participação e Percentual de estudantes por nível d e proficiência e padrão de desempenho.

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3ª Etapa : Professor nesse momento você poderá explorar a revista de forma que os grupos de alunos comecem a construir a coleta de dados para a futura construção da tabela. 4ª Etapa : Peça ao grupo que organize as informações coletadas e elabore os gráficos em papel milimetrado, 5ª Etapa : Após a construção dos gráficos faça uma análise com cada grupo no que diz respeito principalmente ao padrão de desempenho e depois faça um paralelo do resultado da escola do seu aluno com as escolas vizinhas. Peça a cada grupo que registre todas as observações e apresente um relatório de sugestões para que a turma alcance um melhor resultado. 6ª Etapa : Organize um boletim informativo com os gráficos e os relatórios produzidos por cada equipe e divulgue na comunidade escolar.

Dicas Importantes:

Para a construção de gráficos sugerimos:

Em 2D e 3D, utilizando ferramentas tais como:

geogebra, cabri geométrico ( Caso o computador não

tenha, procure baixar na internet) como também em

outros programas.

Dicas Importantes: Para a coleta de dados sugerimos :

Que o aluno faça as seguintes anotações: SRE, Município, Nome da Escola, Proficiência Média, Número de alunos que

participaram e o Padrão de desempenho.

Sugestões:

Para a confecção de tabelas e gráficos

podemos trabalhar também com jornais,

outras revistas, notícias da internet e temas

sugeridos pelos os alunos.

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AVALIAÇÃO:

1- Participação nas atividades propostas por meio de: produção de material, apresentação oral e visual do material.

2- Resolução de Problemas.




SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

1- Os eixos cartesianos: a representação de pontos por meio de coordenadas; 2- Resolução de problemas do cotidiano envolvendo funções.

OBJETIVOS:

1- Identificar e localizar os pontos no Plano Cartesiano;

2-Estabelecer relações entre conceito de função e situações práticas do cotidiano do aluno;

3- Associar o conhecimento da matemática com os conteúdos da física e da disciplina de educação física para compreender o uso das funções como modelo matemático de situações do mundo real.

DESCRITOR: 6. ( PAEBES/2008)


MATERIAL NECESSÁRIO : Laboratório de informática e/ou jogos, papel milimetrado, cronômetro, trena, pranchetas, piscina, quadra esportiva e obstáculos usados nas aulas de educação física.

APRESENTAÇÃO DO PROJETO :

Professor você poderá explorar outros recursos para abordar o assunto Coordenadas Cartesianas com seus alunos, utilizando tanto os jogos como também os softwares. Apresente a seus alunos o software Google Earth e faça também um comentário sobre o que é o GPS (Sistema_de_Posicionamento_Global).

O Google Earth, que combina os sofisticados recursos de pesquisa do Google com imagens de satélite, mapas, terrenos e edificações em 3D para colocar informações geográficas do mundo todo à sua disposição. Comente sobre a relação que existe da localização de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas com a localização geográfica das cidades, ou

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seja, latitude e longitude. O Google Earth, http://dl.google.com/earth/client/branded/redirect/Google_Earth_BZXV.exe

O GPS, http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_Posicioname nto_Global , que é muito utilizado na aviação, viagens marítimas e que hoje começa a ser utilizado, também, em automóveis de passeio para fornecer, através de mapas, a melhor rota para que um motorista possa se deslocar de um lugar o seu destino.

Nas etapas seguintes mostraremos uma forma de trabalhar as coordenadas cartesianas, através de jogos de dama, xadrez e batalha naval, pois, através deles iniciaremos o ponto referencial (ponto de partida) e os caminhos e estratégias a seguir.

DESENVOLVIMENTO:

1ª Etapa

1-Distribua os alunos em grupos direcionando em equipes, de acordo com a afinidade peculiar de cada jogo. (dama, xadrez, batalha naval).

Dicas importantes:

Após o final de cada jogo, faça os seguintes questi onamentos aos seus alunos e peça que anote as respostas.

• Qual foi o ponto de partida de cada jogada?

• Vocês partiram sempre do mesmo ponto?

• Os caminhos seguidos depois do inicio de cada jogada são os mesmos?

2 - Solicite o grupo que represente graficamente os passos das últimas 05 (cinco) jogadas.

3 - Solicite um aluno da equipe para representar graficamente a posição de determinada peça do jogo.

4- Em seguida discutam com os alunos como é feita a representação de um ponto em um

sistema de coordenadas cartesianas, trabalhe a nomenclatura (eixo x (abscissa) eixo y

(ordenada). Conte para eles sobre a origem do nome “cartesiano” e quem foi Descartes.

Peça a eles que acessem o site:

pt.wikipedia.org/.../Sistema_de_coordenadas_cartesi ano

www.educ.fc.ul.pt/.../descartes/matematica.htm.

2ª Etapa:

1-Mostre ao aluno como aplicar o conteúdo (Plano Cartesiano/Função do 1º Grau) numa situação prática com abordagem de Física e Educação Física, por meio de corridas ou natação;

2-Divida a turma em grupos. Cada grupo de alunos terá funções específicas para cronometrar, anotar e correr;

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3-Oriente os alunos a construir uma tabela com o nome do atleta registrando a distância e o tempo gasto na atividade física;

4-Proponha ações em que o aluno faça o cálculo da velocidade média (Vm). É importante comparar os resultados obtidos da atividade física e a transformação das unidades.

Dicas Importantes:

Faça um questionamento sobre o conceito de velocida de média, como por exemplo:

• Qual a velocidade do aluno na hora da partida?

• Qual a velocidade do aluno na hora da chegada?

• Tendo esses dois valores, podemos concluir a velocidade média do seu colega?

• Qual a relação entre as unidades utilizadas, para concluir a velocidade média?

5- Neste momento, professor, você está construindo o significado das coordenadas de um ponto e está ajudando-os a perceberem que podem tirar conclusões sobre a posição de um determinado objeto por meio de suas coordenadas. Agora, faça uma relação entre as variáveis (destacar a variável dependente e independente), e mostre os conceitos de domínio e imagem;

6- Solicitem um aluno da equipe para a elaboração de uma tabela e representar graficamente a posição da (velocidade x tempo).

Nota: A atividade física fica a critério do professor junto à turma como corrida, corrida com obstáculo, natação de acordo com o profissional de educação física.

3ª Etapa:

1- Demonstre todas as tabelas confeccionadas pelos grupos e a partir das diferenças encontradas, é o momento de conceituar Função.

2- Agora, faça uma relação entre as variáveis (destacar a variável dependente e independente), e mostre os conceitos de domínio e imagem. E as diferentes formas de representar a função (gráficos, tabelas, diagramas e conjuntos).

Sugestões:

Nessa 2ª etapa, poderá trabalhar com outras relações de grandezas. Tais como: Quantidade Preço, Lado de um quadrado X Área, Tempo X

Capacidade.

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AVALIAÇÃO:

1- A avaliação poderá ocorrer durante as atividades desenvolvidas na aula, observando a participação dos alunos nas discussões e na atividade de consolidação dos conhecimentos. Ou ainda, uma atividade de marcação de pontos em um sistema de coordenadas.

2- Atividades escritas para verificação da aprendizagem dos conteúdos.




SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

1- Representação dos números reais na reta real; 2- Operações e propriedades das operações com números reais.

OBJETIVOS:

1- Relacionar os números reais com sua representação na reta numérica a fim de identificar a sua posição;

2- Reconhecer as propriedades das operações como fundamentais na resolução de situações concretas do dia a dia.

DESCRITOR: 14. (PAEBES)


MATERIAL NECESSÁRIO : Papel milimetrado, compasso, réguas, esquadros, lápis de cor, laboratório de informática.

DESENVOLVIMENTO:

1ª Etapa:

1 - Organize uma sequência de números reais incluindo pelo menos 3 nº irracionais numa lista e solicite aos alunos que desenhem uma reta e represente nela essa sequência de números.

2 - Solicite que os alunos trabalhem em dupla, discutam a melhor forma de representar os números reais na reta numérica e anotem os números que causaram maiores dificuldades na representação.

2ª Etapa:

1 - Questione aos alunos sobre a identificação dos conjuntos numéricos a que pertence os números anotados.

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2 - Oriente aos alunos para que possam resolver situações problemas, cujos resultados sejam tais números dos conjuntos racionais e irracionais.

Dica Importante: • Desenhe um quadrado de lado igual à unidade (1) e calcule a medida da sua

diagonal.

-1 0 1 2

• Use um barbante meça o comprimento da circunferência de um CD (por exemplo). Anote o comprimento em cm. Meça também o diâmetro de CD e anote também em cm. Calcule o quociente entre essas duas medidas.

3ª Etapa:

1 - Retorne na Etapa 1 (representação dos números na reta numérica) e solicite a cada

dupla que encontre a forma adequada de colocarmos o comprimento da diagonal ( 2 ) na reta numérica.

Dicas Importantes:

Após a representação da 2 na reta numérica, é importante questionar:

• Como podemos representar a 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; etc...

• Se pegarmos o valor da 2 na calculadora, é possível representar na reta numérica?

• Se utilizarmos a régua ou o compasso, é possível representar a 2 na reta numérica?

• Qual dos dois instrumentos a representação da 2 na reta numérica, foi feita com maior precisão?

4ª Etapa: 1 - Após as dificuldades e as soluções encontradas pelos alunos é importante que o professor mostre que existem algumas formas de fazer tal representação. Nesse momento o professor poderá utilizar o “Caracol matemático” como um dos recursos para localizar as medidas

( 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; etc...) na reta numérica.

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Dicas Importantes:

• Desenhe a reta numérica com os números inteiros de 0 a 5. • Construa um triângulo retângulo e com os catetos iguais a unidade 1 da reta

numérica. • Use um compasso para transferir a dimensão para transferir a dimensão da

hipotenusa/diagonal ( 2 ), para a reta numérica, tomando como origem o ponto zero.

• Em seguida, faça novo triângulo retângulo (ângulo reto no vértice superior do

anterior) com os catetos iguais à unidade da reta e 2 .Calcule a nova

hipotenusa ( 3 ).

• Para demonstrar a 3 na reta numérica, utiliza o mesmo processo que foi

utilizado para demonstrar a 2 , e assim sucessivamente, até formar o caracol.

DESENVOLVIMENTO: “A Soma de Gauss”.

1ª Etapa:

1- Divida a classe em grupos de 4 aluno.

2- Proponha um desafio único para todos os grupos: Como por exemplo, a soma dos números naturais de 1 a 100.

2ª Etapa:

Peça um aluno de cada grupo que apresente a forma que encontrou o resultado.

3ª Etapa:

Após as apresentações de cada grupo, faça os seguintes questionamentos:

• Qual o grupo para vocês que apresentou essa soma mais rápida?

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• Existe outra forma mais rápida de fazermos essa soma?

Nesse momento, se o professor perceber que a turma ainda não visualizou a técnica, proponha valores menores, isto é, utilizando números naturais de 1 a 20 ou de 1 a 10.

Diante da situação apresentada pelos alunos, o professor apresenta a forma de somarmos com maior rapidez os números naturais pela metodologia utilizada por Gauss.

Por exemplo: A soma dos números naturais de 1 a 20.

• A soma do primeiro número natural (1) mais o último (20).

Logo temos o 1º fator: 1+20 = 21

• A metade do último número natural.

Logo temos o 2º fator: 20 : 2 = 10

Aplicando a metodologia de Gauss, temos: 21.10 = 210

Por conclusão, a soma dos valores de 1 a 20 é igual a 210.

4ª Etapa:

Proponha aos alunos calculem as somas com valores maiores, como por exemplo, 1 a 500, 1 a 1000.

AVALIAÇÃO:

A avaliação poderá ocorrer durante as atividades desenvolvidas na aula, observando a participação dos alunos nas discussões e na atividade de consolidação dos conhecimentos.




SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

1 - Resolver problemas envolvendo equação do 2º grau.

OBJETIVOS:

1- Estabelecer relações entre uma situação problema do cotidiano e competências e habilidades para resolução de atividades envolvendo equação do 2º grau.

DESCRITOR: 17 e 27. (PAEBES)


MATERIAL NECESSÁRIO : Cartolina, Papel cartão, Cola Tesoura e Régua.

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APRESENTAÇÃO DO PROJETO:

Professor você pode iniciar a aula com os seguintes questionamentos?

• Qual a medida da área ideal em metros quadrados de uma sala de aula? • Qual o nº elevado ao quadrado que você encontrou o resultado da medida anterior?

Propomos que após os questionamentos anteriores iniciaremos com uma abordagem no

aspecto histórico, para isto, leve seus alunos ao laboratório de informática e peça a eles que

leiam o documento localizado em:

www.bibvirt.futuro.usp.br/content/download/2373/135 19/file/rpm43_04.pdf .

O documento em questão trata da abordagem aritmética e geométrica da resolução de

equações do 2º grau. No século IX, o matemático árabe Al-Khowarizmi, escreveu a grande

obra matemática chamada “Hisab al-jabr w’al-muqabalah” . Nesta obra Al-Khowarizmi

descreveu métodos para a solução de equações do 2º grau. Ele justificou os resultados

geometricamente, representado os termos da equação utilizando áreas de retângulos e

quadrados , procedimento conhecido por método de completar quadrados . Observe como se

resolve geometricamente, utilizando o método de completar quadrados, a equação x2 + 12x =

64, (ax2 + bx = c).

DESENVOLVIMENTO:

1ª Etapa:

Primeiro, desenhe um quadrado de lado "x" para representar o termo x2. Depois, represente o termo 12x por quatro retângulos de lados 3 e "x", como mostra a figura abaixo:

Dicas Importantes: • No centro temos um quadrado de lado "x", portanto sua área será x2. • Em cada retângulo um dos lados mede "x" e o outro a quarta parte do valor do coeficiente "b", (b/4). Neste caso como o coeficiente "b" é 12, teremos retângulos de medidas "x" e 3, com área 3x .

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• A soma das áreas do quadrado e dos quatro retângulo s é igual ao coeficiente “c” (termo independente da equação) , neste exemplo o valor será 64.

2ª Etapa:

Para completar um quadrado, acrescente quatro quadrados de lado 3.

Dicas Importantes:

Professor faça alguns questionamentos aos seus alun os como:

• Para completar um quadrado, que figuras devem ser adicionadas à figura anterior? • Quais são as medidas dessas figuras?

3ª Etapa:

A figura da “1ª etapa” tem área de 64. Na figura do “ 2ª etapa” foram acrescentados 4 quadrados de área 9 cada um, totalizando 36, formando um quadrado de área 64 + 36 = 100, portanto um quadrado de lado 10.

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Dicas Importantes:

Professor faça alguns questionamentos aos seus alun os como:

• Antes de adicionar essas figuras, a área era de 64, qual será a área depois de se completar o quadrado?

• Como podemos determinar a medida do lado desse quadrado? • Determinando a medida do lado do quadrado, como podemos determinar a medida x?

4ª Etapa:

Sendo assim o lado do quadrado formado tem medida 3 + x + 3 = 10 x = 4.

5ª Etapa:

1- Proponha uma atividade/exercício em que os alunos possam determinar os coeficientes numéricos de uma equação do 2º grau.

2- Proponha uma atividade/exercício em que os alunos possam diferenciar uma equação completa de uma incompleta.

3- Proponha uma atividade/exercício em que os alunos possam determinar as raízes de uma equação do 2º grau.

4- Proponha problemas que envolvam equação do 2º grau 5- Divida a sala em pequenos grupos e propor que os alunos criem problemas envolvendo

equações do 2º grau (sugestões: cercar um jardim ou horta utilizando maquetes ou o próprio ambiente escolar. É interessante que se estabeleça conexão com o conteúdo produto notável.)

6- Proponha a montagem de equações do 2º grau utilizando recursos como barbantes, canudinhos, fios e etc.

AVALIAÇÃO:

A avaliação poderá ser feita observando os grupos realizando a atividade final. Observe a postura dos grupos em relação ao problema apresentado. Também poderão ser utilizados outros instrumentos de avaliação, como: lista de exercícios.




SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO

• Funções de 2 º grau Problemas envolvendo pontos máximos e mínimo.

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OBJETIVOS:

1- Reconhecer valores máximos e mínimos nas funções quadráticas;

2- Aplicar métodos algébricos em situações-problemas de máximos e mínimos;

3- Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico da função polinomial do 2º grau;

DESCRITOR: 17 e 26. (PAEBES)

TEMPO ESTIMADO: 6 aulas.

MATERIAL NECESSÁRIO : barbante ou corda, tnt, tesoura, régua com dimensões variadas com a proposta de construir um cercado qualquer.

Professor você poderá explorar outros recursos para abordar o assunto função de 2º grau com seus alunos, utilizando tanto os jogos como também os softwares. Através do futebol podemos levantar questionamentos do chute de uma bola, como por exemplo:

• Quando o jogador chuta uma bola para cima, o que acontece com a sua trajetória?

• Quando o jogador aumenta a força do chute, a trajetória da bola aumenta ou diminui?

• Quando o jogador aumenta ou diminui a força do chute, o que acontece com a altura da bola?

Através desses questionamentos você terá respostas esperadas para mostrar o conceito matemático, até então desconhecido pelo aluno.

Além do exemplo citado acima, sugerimos a seguir um conjunto de etapas que ajudará o aluno aprimorar os conceitos matemáticos que são abordados na escola, sem levar em conta a aprendizagem que o aluno já traz de sua vida familiar e social.

DESENVOLVIMENTO:

1º Etapa:

Nesta sequência utilizaremos uma situação problema proporcionando ao aluno a possibilidade de resolver situações de natureza diversa, e enfrentar com confiança novas situações.

O Senhor José está numa função que no momento é con siderada impossível, está com 20m de tela na mão, calculando como será a área mai or possível de um cercado, utilizando todos os 20m de tela.

1 – Professor nesse momento, distribua a turma em grupo de 4 alunos e para cada grupo e entregue o material necessário (barbante ou corda, tela, tesoura, régua com dimensões variadas) , para que cada grupo de a melhor solução, para o senhor José.

2 - Solicite um aluno de cada grupo para explicar a solução do grupo, registrando passo a passo de todas as tentativas.

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Dicas Importantes:

No término das explicações de todos os grupos, é o momento propício para você professor fazer os seguintes questionamentos:

• Qual foi o grupo que alcançou a maior área?

• Qual foi à medida que o grupo determinou, para chegar ao resultado?

3 - Conduza os alunos na construção de gráficos, a partir dos pontos encontrados.

4 - Após a construção dos gráficos, faça os seguintes questionamentos:

O que aconteceu na 1ª coordenada para a 2ª coordenada? (assim sucessivamente até o momento que por conclusão o aluno perceba que a partir de um ponto máximo da variável, a curva do gráfico é decrescente. Sendo assim, o aluno perceberá que o ponto máximo é o vértice da parábola.

5 – Depois da percepção do vértice da parábola o professor poderá apresentar as fórmulas que

determine esse vértice xv= a

b

2

−; yv =

a4

∆− .

Nota Importante:

Através desses questionamentos, espera-se que os alunos “enxerguem” as variáveis dependentes e independentes envolvidas no problema e principalmente a relação existente entre elas.

Conduzir o aluno a reconhecer a área máxima através de questionamentos sobre a coordenadas (x,A) encontrada.

2º Etapa:

Proponha atividades diversificadas sobre máximos e mínimos, através da aplicação da fórmula

do vértice da parábola xv= a

b

2

−; yv =

a4

∆− , como um a das ferramentas da álgebra.

AVALIAÇÃO:

1- Avaliar o desempenho do aluno no decorrer da seqüência. 2- Propor ao aluno situações problemas e analisar a capacidade de resolver. 3- Avaliar o desempenho do aluno nas atividades escritas.




SÉRIE: 1º ano

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CONTEÚDO:

Visualização e análise de figuras geométricas;

Congruência, Semelhança e Homotetia

Resolução de problemas envolvendo o conceito de perímetro, área e volume.

OBJETIVOS:

1- Identificar as características das figuras geométricas, para reconhecer as relações entre os elementos de semelhança e congruência;

2- Estabelecer relações entre as figuras geométricas, por meio de análise e comparação de medidas dos seus lados e ângulos;

3- Calcular perímetro e área de figuras geométricas construídas, utilizando as peças do tangran.

4- Aplicar o conceito de área e perímetro na resolução de problemas a partir de situações propostas com tangran.

DESCRITORES: D11,D12.


MATERIAL NECESSÁRIO : folha A4, E.V.A ou papel cartão, régua, tesoura.


Tangram é um jogo (espécie de quebra-cabeça) formado por sete peças, sendo eles cinco triângulos (dois triângulos retângulos grandes, um triângulo retângulo médio e dois triângulos retângulos pequenos), um quadrado e um paralelogramo, que juntas podem montar diversas construções geométricas planas e poligonais. Devido a sua grande diversidade de possibilidades de trabalho, o desafio deste quebra-cabeça pode variar de acordo com o objetivo proposto, podendo ser utilizado desde um instrumento de recreação, até um excelente objeto de ensino e de desenvolvimento do raciocínio lógico de dedutivo. Hoje, o Tangram está cada vez mais utilizado nas aulas de matemática, pois as formas geométricas permitem que os professores e alunos vejam a possibilidade de inúmeras explorações, seja no apoio de algum conteúdo específico no planejamento curricular de matemática, ou como ferramenta a fim de propiciar o desenvolvimento de habilidades do pensamento e do raciocínio lógico-matemático. Nas etapas seguintes desenvolveremos junto com os alunos a construção do Tangran, pois acreditamos que através delas o aluno terá os caminhos necessários para gerar maior produtividade no ensino- aprendizagem.

DESENVOLVIMENTO:

1º Etapa:

Professor, distribua a turma em grupo de 4 alunos e distribua uma folha de papel ofício para cada aluno de cada grupo.

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1 - Peça o aluno que utilize a maior parte da folha e faça um quadrado, recortando a parte que sobra.

2 - Nesse momento, peça o aluno para identificar a marca que ficou no quadrado e recorte exatamente nessa marca. Aproveita o momento e retorno ao conceito da diagonal.

3 - Após ter recortado o quadrado na diagonal, questione ao aluno:

• Quais são as figuras geométricas obtidas?

• E as figuras obtidas são iguais? Justifique

Professor de acordo com a justificativa aproveita o momento para conceituar sobre a semelhança de triângulos e classificação de ângulos.

2ª Etapa:

Reserve esses dois triângulos menores. Vamos trabalhar agora com o triângulo maior que ficou guardado no 1º. Etapa. Utilizando este triângulo (triângulo maior) marque sua altura em relação à hipotenusa como na 1º. Etapa, mas não o recorte. Após esta dobra, você observará que marcou o ponto médio da hipotenusa do triângulo maior (o ponto médio do maior lado do triângulo grande). Agora, projete, ou melhor, leve o vértice do ângulo reto até esse ponto médio e dobre. Abra a figura e veja que há um novo triângulo, menor que os outros que estão reservados. Esta é a terceira peça do Tangran: o triângulo médio. Recorte esse triângulo e reserve.

Faça os seguintes questionamentos?

• Quais figuras obtiveram agora?

• Quais são os ângulos do trapézio e quanto mede cada um?

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3ª Etapa:

Pegue os dois ângulos retos do trapézio e dobre a partir do ponto médio encontrado anteriormente, e faça coincidir como vértice do ângulo obtuso. Marque e recorte

Quais são as duas novas figuras obtidas?

Quais as características dessas duas figuras?

4ª Etapa

Dobre o trapézio ao meio e recorte. Veja que apareceram duas figuras que também são trapézios. Reserve um deles. Com o outro trapézio você deverá formar um quadrado e um triângulo pequeno. Como?! Observe bem o trapézio, note que ele tem dois ângulos retos, um ângulo agudo e um obtuso. Dobre o trapézio fazendo coincidir o vértice do ângulo agudo com o vértice do ângulo reto adjacente. Abra. Você viu que apareceu um quadrado e um triângulo? Corte na linha e separe as figuras que são duas novas peças do Tangran, isto é, o quadrado e um triângulo pequeno. Já temos, portanto, 5 peças.

Faça o seguinte questionamento?

• Que tipo de trapézios são formados após dobrar e recortar o trapézio maior ao meio? Justifique.

5ª Etapa:

Pegue o vértice do ângulo reto, da base maior do trapézio, e dobre até encontrar no vértice do ângulo obtuso. Recorte e obtenha as duas últimas figuras do tangran.

6ª Etapa:

Pegue o trapézio reservado no passo anterior. Dele sairão as duas últimas peças: um paralelogramo e um triângulo pequeno. Como?! Observe novamente o trapézio e agora faça coincidir o vértice do ângulo obtuso com o vértice do ângulo reto não adjacente a ele. Abra e observe a figura. Você verá um triângulo pequeno e a última peça do Tangran que é um paralelogramo (par de lados paralelos). Agora basta recortar as duas figuras.

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Após este 6ª Etapa você terá montado com seus alunos um tangran de 7 peças.

AVALIAÇÃO:

Avaliar a participação e envolvimento dos alunos na construção do tangran;

Avaliar as atividades propostas;

Avaliar o relatório de pesquisa feito pelos alunos.




SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

• Função polinomial do 1º grau.

• Resolver problemas de função polinomial do 1º grau.

• Gráficos da função polinomial e seus coeficientes.

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OBJETIVOS:

1- Reconhecer a forma algébrica de uma função polinomial de 1º grau (y= ax + b ).

2- Construir o gráfico que representa uma função polinomial do 1º grau.

3- Reconhecer a representação algébrica e os coeficientes de uma função do 1º grau, dado o seu gráfico.

DESCRITOR: 20 a 24. (PAEBES)

TEMPO ESTIMADO: 6 dias

MATERIAL NECESSÁRIO: papel milimetrado, régua, calculadora, jornais, revistas, conta de luz e material do Multicurso.


Professor quando se propõe ensinar Função do 1º grau é de suma importância utilizar um Objeto de Aprendizagem para mostrar aos alunos suas aplicações.

O tema Equações do 1º grau, historicamente, tem gerado dúvidas e dificuldades para os alunos a respeito de suas aplicações e da necessidade de se substituir números por letras. É importante que os professores tenham a sua disposição objetos desse tipo que, a partir de situações-problemas possibilitem contextualizar os conteúdos, tornando assim um aprendizado mais significativo para os alunos.

Portanto, nessa sequência será utilizada a questão da utilização da Lan–House e o comprovante de consumo de energia ESCELSA nesse contexto, as duas situações possibilitam aos alunos perceberem que o custo depende do consumo, e em contrapartida o conceito de uma Função.

DESENVOLVIMENTO:

1ª Etapa:

1 – Distribua a turma em grupos de alunos para fazer uma pesquisa na internet sobre o uso da internet, dificuldades de acesso, equivalência de preços na utilização.

2- Solicite cada grupo para fazer uma tabela relacionando o tempo de uso da internet com o preço pago.

3- Após a confecção das tabelas peça ao aluno para verificar o que está acontecendo com o tempo e o preço pago.

4- Nesse momento, o professor analisa junto com a turma a relação do tempo e o preço pago e introduza o conceito de Função.

Para a próxima aula, solicite aos alunos que tragam contas do consumo de energia;

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2ª Etapa:

1 - Peça aos alunos que se dividam em grupo, de acordo com o valor (R$) mais próximo da sua conta de energia.

2 - Solicite cada grupo que calcule os custos fixos (taxa mínima + iluminação pública + outros custos) e o valor pago por kW/h de consumo de energia. (Servindo como referência a conta de menor valor)

Faça o seguinte questionamento

• Qual é o custo fixo?

• É só isso que é pago?

• Como chegar ao valor final?

• Como podemos demonstrar a forma algébrica de expressar o valor final a ser pago no consumo de energia?

Nota Importante:

Cada grupo deverá montar uma equação do 1º grau (y= ax + b) com valores encontrados.

3ª Etapa:

Solicite ao grupo que organize uma tabela apresentando os diversos consumos (kW/h) dos membros do grupo e aplique esses valores na equação formulada anteriormente para o valor final a ser preenchido na tabela.

Exemplo :

Nome do aluno Consumo (x) Taxa Mínima (a) ∑ dos Custos (b) Valor Final (y)

Y= ax + b → y = valor final;

→ a = Taxa mínima paga por kW/h (centavos);

→b = somatório dos custos fixos;

→x = consumo em KW/h.

4ª Etapa:

1 - Solicite ao grupo que construam um gráfico a partir da tabela anterior.

2 - Selecione um dos gráficos anteriores para uma plenária de apresentação.

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Nota Importante:

Peça aos alunos que faça uma observação em relação à leitura do gráfico, questionando

sempre a eles se está clara a relação entre custo X consumo.

5ª Etapa:

Identifique o que os gráficos têm em comum e faça comentário a respeito desta característica. Nesse momento é oportuno fazer os seguintes questionamentos:

• O gráfico é crescente ou decrescente?

• O que torna um gráfico crescente ou decrescente?

Após os questionamentos apresente os coeficientes, mostrando a influência na inclinação da reta.

6ª Etapa:

Solicite aos alunos que pesquisem e tragam diversos gráficos de reta com inclinações diferentes para estudo dos coeficientes da função polinomial do 1º grau.

Separe os grupos por semelhança de retas crescentes e decrescentes e identifiquem as como: coeficientes positivos ou negativos.

AVALIAÇÃO:

Os alunos serão avaliados através da construção do gráfico, apresentação na plenária e atividades escritas.

SEQUÊNCIA 08



SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

1- Os eixos cartesianos: a representação de pontos por meio de coordenadas;

OBJETIVOS:

1- Identificar e localizar pontos no plano;

DESCRITOR: 6. ( PAEBES)


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MATERIAL NECESSÁRIO : Papel milimetrado, prancheta,régua,atlas

geográfico,mapas(municipal,estadual e nacional) laboratório de informática.

DESENVOLVIMENTO:

1ª Etapa

Para iniciar as atividades, divida os alunos em duplas, entregue a eles folhas quadriculadas e

sugira que joguem “batalha naval”. Caso seja necessário, explique que o objetivo do jogo é

afundar os navios do adversário. Para isso, cada jogador dispõe sua frota em um tabuleiro

quadriculado e o adversário deve tentar acertá-los por meio de coordenadas alfanuméricas

(coluna 1, letra B, por exemplo). Peça que cada dupla anote todas as jogadas passo a passo e

faça os comentários pertinentes ao jogo.

Sugestão Complementar:

2 - Divida a turma em grupo com os atlas geográficos e peça que examinem com atenção os

sistemas de coordenadas geográficos anotados neles. Lance algumas questões para orientar a

observação:

• Quais são o marcos e referências deste sistema?

• Para que servem?

• Qual é a sua importância para localizar objetos e pessoas no espaço?

2ª Etapa

Nesta etapa demonstre ao seu aluno, como Descarte demonstrou o sistema de coordenadas

cartesianas.

Ele denominou de Par Ordenado o conjunto de dois elementos onde a ordem é importante.

Criou também uma forma de representá-lo, associando este par ordenado a um ponto no

plano, semelhante ao que fizemos na associação do par à região do mapa, fazendo assim:

• Traçou duas retas perpendiculares, uma horizontal que denominou de eixo x (ou das abscissas) e outra vertical que denominou de eixo y (ou das ordenadas);

• Associou o ponto de intersecção das duas retas ao número zero, denominando-o de origem;

Professor, após o jogo e os questionamentos é o moment o de conversar com a

turma sobre a importância do Sistema de Coordenadas Cartesianas adotada que é

semelhante à que Descartes, um grande matemático e filósofo francês, criou.

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• À direita do zero no eixo x ele associou os pontos da reta aos números positivos e à esquerda aos números negativos;

• Acima do zero no eixo y ele associou os pontos da reta aos números positivos e abaixo de zero aos números negativos;

• Fez corresponder cada ponto do plano a um par ordenado (x, y), como na figura seguinte:

Assim:

O ponto A corresponde ao par (3,1);

O ponto B corresponde ao par (-2,1);

O ponto C corresponde ao par (3,-3);

O ponto D corresponde ao par (-3,-2);

O ponto M corresponde ao par (3,2).

Em homenagem a Descartes, os eixos das abscissas (eixo x) e das ordenadas (eixo y) são chamados de eixos cartesianos e o plano formado com esses eixos chama-se plano cartesiano e os pares ordenados são as coordenadas cartesianas dos pontos.

Professor, para um melhor aprofundamento do conteúdo e conhecimentos sobre Descartes

conduza os alunos ao laboratório, para fazer uma pesquisa através do site:

pt.wikipedia.org/.../Sistema_de_coordenadas_cartesi ano ou

www.educ.fc.ul.pt/.../descartes/matematica.htm, e logo após faça uma plenária.

24

3ª Etapa:

Nesta etapa, sugerimos trabalhar com o mapa de sua cidade ou município com objetivo de fixar

de maneira prática esse conteúdo.

Entregue aos seus alunos cópia do mapa juntamente com a legenda peça para que eles

observem. Explore-o perguntando:

• O que este mapa está representando?

• Qual a finalidade destas retas horizontais e verticais que perpassam o mapa?

Depois de ter explorado bem o mapa, entregue aos alunos em dupla e faça questionamentos referentes à sua cidade, para que eles possam trocar idéias:

Sugestões de perguntas:

• Como você escreveria da forma mais clara, simples e precisa a localização do Hotel?

• E da prefeitura? • E do Hotel? • Quais hotéis estão localizados no espaço entre a padaria A e B do

mapa? • Quais estabelecimentos estão localizados em frente à Prefeitura? • Se invertermos a ordem na localização da pergunta 4, vai alterar o

local?

AVALIAÇÃO:

1- A avaliação poderá ocorrer durante as atividades desenvolvidas na aula, observando a

participação dos alunos nas discussões e na atividade de consolidação dos conhecimentos. Ou

ainda, uma atividade de marcação de pontos em um sistema de coordenadas.

Dica Importante:

Utilizando o programa da internet, a Google Eart , podemos trabalhar a localização de países que participaram da Copa do Mundo.

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SEQUENCIA 09



SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

Representação analítica de retas.

Resolução de problemas do cotidiano envolvendo funções.

Representação dos números reais na reta real.

DESCRITORES: D07 e D08, D14, D19, D20 e D23 (PAEBES )

OBJETIVOS :

• Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta. • Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou um

ponto e sua inclinação. • Identificar a localização de números reais na reta numérica. • Resolver problema envolvendo uma função do 1º grau. • Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em

gráficos. • Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto.


MATERIAL NECESSÁRIO : Laboratório de informática, projetor, softwares, papel milimetrado e régua.

APRESENTAÇÃO :

Com freqüência vemos em jornais e revistas gráficos que representam retas. Assim, é de suma importância que saibamos analisá-los para retirarmos todas as informações necessárias. Para facilitar a resolução de situações-problemas que envolvam gráficos de retas, precisamos conhecer o processo para obter a equação da reta e saber interpretar os seus coeficientes. DESENVOLVIMENTO: 1ª Etapa :

1- O professor deverá selecionar situações-problemas que envolvam gráficos que são retas. (Uma dica seria usar o exemplo 2 da aula 7 do livro do Multicurso – 3ª série.)

2- Distribua a turma em grupos. Entregue a cada grupo uma situação-problema e seu respectivo gráfico.

3- Os alunos deverão analisar os gráficos, retirar dele os dados que julgarem importantes, resolver o problema e registrar, em forma de relatório, suas conclusões e soluções.

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2ª Etapa :

Após analise de cada grupo, faça uma plenária para que cada grupo tenha oportunidade de interferir com novas soluções. E aproveitando o momento o professor poderá intervir através dos questionamentos abaixo.

• Em relação à inclinação da reta, todas são iguais?

• A que conclusão podemos chegar sobre a inclinação das retas ?

• Professor, após as conclusões dos questionamentos, esse é o momento oportuno de conceituar os gráficos quanto ao crescimento e decrescimento, de mostrar a importância e a praticidade em resolver problemas usando a equação da reta e direcioná-los para que resolvam usando a proporção entre segmentos e encontrando a equação geral e reduzida da reta.

3ª Etapa :

1- Professor proporcione as seguintes atividades e peça que anote todas as observações, em relação ao coeficiente angular e linear.

• Se fixarmos a = 0 e modificarmos os valores de b, o que acontece com o

gráfico? • Se fixarmos a > 0 e modificarmos os valores de b, o que acontece com o

gráfico? • Se fixarmos a < 0 e modificarmos os valores de b, o que acontece com o

gráfico? • Se fixarmos b = 0 e modificarmos os valores de a, o que acontece com o

gráfico? • Se fixarmos b > 0 e modificarmos os valores de a, o que acontece com o

gráfico? • Se fixarmos b < 0 e modificarmos os valores de a, o que acontece com o

gráfico?

Professor, leve seus alunos para o laboratório de i nformática e utilize o programa winplot ou geogebra. Proporcione atividades para qu e os alunos compreendam a relação entre coeficientes angular e linear e as im plicações que apresentam em relação ao movimento da reta.

Dica Importante:

Para baixar e conhecer o programa utilize o endereç o do site: www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html

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4ª Etapa :

Para finalizar proporcione uma situação problema, como o exemplo abaixo para verificar se os alunos utilizaram as noções que foram institucionalizadas como ferramenta para resolver novas situações.

O salário fixo mensal de um segurança é de R$ 765,00. Para aumentar sua receita ele faz plantões noturnos em uma boate, onde recebe R$ 65,00 por noite de trabalho. Escreva uma sentença que represente o salário a receber em função do número de plantões realizado.

Observação : Caso a escola não possua laboratório de informática, a etapa 3 poderá ser feita usando papel milimetrado e régua.

AVALIAÇÃO : 1- A participação dos alunos nas discussões e na atividade de consolidação dos

conhecimentos; 2- Construção de gráficos e apresentação dos trabalhos em grupo; 3- Exercícios.

SEQUENCIA 10



SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

• Resolução de problemas do cotidiano envolvendo funções;

• Função polinomial do 2º grau: definições, construção de gráficos, interpretação e

análise de gráficos.

OBJETVOS:

• Resolver problema envolvendo equação do 2º grau;

• Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos;

• Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico de

uma função polinomial do 2º grau.

DESCRITORES: D17, D20, D26. (PAEBES)


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MATERIAL NECESSÁRIO: Computadores com o software WINPLOT instalado, Giz, lousa, régua, lápis, borracha, DVD Nº 01 do Multicurso.

DESENVOLVIMENTO:

1ª Etapa:

A primeira etapa deve ser realizada em sala de aula, onde serão apresentadas seis equações do segundo grau, três com o coeficiente “a” positivo e três com o coeficiente “a” negativo, e neste conjunto de equações termos determinantes zero, negativo e positivo. Peça aos alunos que resolva cada uma delas.

Exemplos:

1. f(x) = x² - 5x + 1 (a>0 e b<0); 2. f(x) = x² + 3x + 6 (a>0 e b>0); 3. f(x) = x² + 4x +4 (a>0 e b>0); 4. f(x) = - x² + 2x (a<0 e b>0); 5. f(x) = -x² - 4x - 4 (a<0 e b<0); 6. f(x) = - x² + x - 5 (a<0 e b>0);

2ª Etapa :

Nesta etapa, com os exercícios resolvidos, distribua em grupo os alunos no laboratório de informática, para trabalhar com gráficos no programa Winplot . Neste momento, é importante o apoio do professor, esclarecendo passo a passo da utilização do programa, como segue abaixo.

Iniciar – Todos os Programas – Winplot.

Para abrir o plano cartesiano : Janela – 2 - dim.

Para a construção dos gráficos, ir em:

Equação – 1.Explícita

Dica Importante: Para baixar e conhecer o programa utilize o endereç o do site: www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/winplot.html

Professor, esse assunto pode ser abordado com a uti lização do DVD Nº 01 do Multicurso por se tratar de uma situação real do cotidiano, se ndo resolvida sem conceituar função.

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Digitar a equação de modo que o programa atenda:

Exemplo: na função f(x) = x² - 5x + 1, o correto seria digitar x^2 - 5x + 1 no espaço em branco na frente de f(x) = , pode-se escolher uma cor de gráfico como preferir e depois apertar OK.

Figura 1 : Exemplo de atividade no winplot

2.1- Tracem, numa mesma janela gráfica, os gráficos das funções do 2º grau f(x) = x2 – 2x + c, com: c = - 3, c = 0, c = 1 e c = 4. Faça os seguintes questionamentos:

a) Que alterações são observadas nos gráficos com a variação de c? b) Em que ponto cada uma das curvas intercepta o eixo y? c) Para que valores de c f admite duas raízes reais? d) Para que valores de c f admite uma raiz real? e) Para que valores de c f não admitem raízes reais?

Professor é importante que apresente as situações abaixo, fazendo os questionamentos e solicite que o aluno registre.

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2.2- Tracem, numa mesma janela, os gráficos das funções do 2º grau f(x) = x2 + bx - 3, com: b = - 4, b = - 1, b = 0, b = 1, b = 2,

Faça os seguintes questionamentos: Que alterações são observadas nos gráficos com a variação de b?

2.3- Observe a família de parábolas traçadas na atividade anterior.

Faça os seguintes questionamentos: a) Que tipo de curva o vértice da parábola descreve quando b = 0, b > 0 e b < 0? b) Determine a equação dessa curva. c) Trace esta curva na mesma janela gráfica onde está traçada a família de

parábolas.

2.4- Tracem, numa mesma janela, os gráficos das funções do 2º grau f(x) = ax2 - 3, com: a = - 2, a = - 1, a = 1 e a = 2.

Faça os seguintes questionamentos: a) Que alterações são observadas nos gráficos com a variação de a? b) O que acontece quando a = 0? c) O valor de a pode influenciar o número de raízes reais de f ? d) Determine se possível, a para que f tenha uma única raiz real?

2.5- Repita a atividade anterior, respondendo as mesmas questões, para

f(x) = ax2 - 2x - 3, com: a = - 2, a = - 1 e a = 2.

2.6- Observe a família de parábolas traçadas na atividade anterior.

Faça os seguintes questionamentos: a) Determine a equação da curva que o vértice da parábola descreve quando a > 0

e a < 0 tomado como parâmetro b = 0 e b ≠ 0.

b) Tracem esta curva na mesma janela gráfica onde está traçada a família de

parábolas. Sugestão: Considere separadamente os casos b = 0 e b ≠ 0.

Sugestões: Os gráficos podem ser confeccionados, utilizando a

planilha eletrônica. Broffice , pelo site: (http://www.broffice.org/ ).

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Recursos Complementares:

Professor, nas atividades da sala de aulas, sugerir a confecção dos gráficos da função utilizando calculadoras e papel quadriculado e após recriar os mesmos gráficos usando os computadores da escola.

AVALIAÇÃO:

Uma atividade interessante que pode envolver os alunos na produção da avaliação é pedir que eles criem funções quadráticas como desafios e troquem com os colegas para a produção no computador. Os pares ou pequenos grupos poderiam apresentar e discutir seus resultados em conjunto e isso permitiria a avaliação do aproveitamento dos alunos, além dos esclarecimentos necessários às dificuldades encontradas.

SEQUENCIA 11



SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

1- Função de 1°grau

2- Construção de gráficos das funções do 1º grau.

Descritores : D19, D23 ,D 24, D25. . (PAEBES)

Professor

Nesta etapa, solicite aos alunos utilizarem vários valores, pois assim os formatos e características dos gráficos modificarão. Permitind o a experimentação e contribuindo para a aprendizagem dos conceitos. Aproveite a oportunid ade para apresentar aos alunos as raízes da função (ou zeros de uma função), valores de x que resultam em y = 0. Também pode solicitar aos alunos para tornarem negativo o valor de x ao quadrado na função e verificarem o que acontece com o vértice da parábol a.

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OBJETIVOS

• Resolver problemas envolvendo função de 1°grau;

• Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto;

• Reconhecer o gráfico de uma função de polinomial por meio de seus coeficientes;

• Reconhecer a representação algébrica de uma função de 1°grau dada o seu gráfico.


2010 é o ano zero do desenvolvimento sustentável e nada melhor do que se apoderar disso para estar fazendo discussões nas aulas de matemática. Esse tema será abordado nessa sequência, pois ele possibilita ao aluno uma visão prática do conteúdo. Através dessa seqüência o aluno aprende de modo natural a montar a função com base nas informações do texto, analisar o gráfico, consegue entender questões como coeficiente em situação prática. Além do mais a seqüência desenvolve a competência de leitura e escrita uma vez que possui muitos textos e faz com que o aluno ao final tenha acesso a outros tipos de gráfico fazendo menção ao assunto e escrever um texto sobre o que foi observado e discutido em sala.

DESENVOLVIMENTO:

1ª Etapa:

Leia o texto abaixo.

2010 : Ano Zero da economia sustentável e diante disso no final desse ano a GM lançará nos EUA o Volt, carro 100% elétrico que não chegará tão cedo ao Brasil. Mediante a isso uma pergunta se impõe: o carro elétrico é um risco ou uma solução para o planeta? Os carros elétricos precisam ter eficiência elétrica ou transferirão a emissão de gases dos escapamentos para as chaminés das usinas de eletricidade. Em outras palavras: as emissões de dióxido de carbono pelo carburador inexistente nos carros elétricos, e, no entanto eles só poderão circular porque recebem eletricidade produzida em muitos países por usinas movidas o combustível fóssil como, por exemplo, a China onde as usinas geradoras são alimentadas por carvão.

Estimativas americanas indicam que, se eventualmente 250000 carros elétricos fossem plugados para recarga ao mesmo tempo em um inicio de noite, seria necessário erguer outras 160 usinas de energia nos EUA apenas para alimentá-los.

Professor, estes textos possibilitam desenvolver um

diálogo com as diversas áreas do conhecimento.

Física, História e Biologia.

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Para recarregar os carros empresas estudam planos semelhantes aos de celular. As baterias poderão ser carregadas de duas maneiras: em postos especializados ou simplesmente pela troca da bateria gasta por uma completa, sem perda de tempo.

Existem ainda planos que oferecerão o equipamento (carro) a preço baixo em troca da fidelidade na compra dos serviços de energia.

Eles vão acelerar ou frear as mudanças climáticas?Veja, 30 de dezembro de 2009.Disponível em: http://veja.abril.com.br/301209/2-carros-eletricos-p-228.shtml.Acesso em 13 maio.2010.

Professor, após a leitura do texto e dos gráficos. Faça os seguintes questionamentos:

a) “A eletricidade também é suja , observe o gráfico e diga quais são os quatro tipos de energia consideradas limpas?

b) Monte duas fórmulas (chamaremos de função), uma que mostre o valor gasto em R$ em função dos quilômetros rodados do carro elétrico e a outra do carro à gasolina.

Professor, diante às fórmulas montadas pelos alunos, verifique os erros e sugira as adequações cabíveis. E nesse momento, apresente a forma descrita de uma função de 1º grau

por f(x) = ax + b , onde a e b são números reais e a 0≠ , possui alguns casos particulares. Pesquise em livros de Matemática e verifique que tipo de função se identifica com a atividade feita acima.

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c) Usando papel milimetrado e régua, peça aos alunos que monte um gráfico de acordo com a situação acima, com pelo menos três pares ordenados para cada uma das funções acima formada.

2ª Etapa:

Apresente o gráfico abaixo, e peça à turma que retire do mesmo as informações e construa a função que o gerou.

A situação descrita no gráfico abaixo é semelhante ao exercício resolvido acima, porém, agora só possuímos o gráfico de um carro que gasta um valor intermediário ao dos carros elétricos e a gasolina.

3ª Etapa:

Nesse momento é importante comentar sobre uma solução para a diminuição do problema de poluição emitida por carros seria o aumento no transporte por meio de bicicletas ou caminhadas. Quantas pessoas vão sozinhas em seus carros por dia para o trabalho?A carona também poderia ser uma alternativa que ajudaria a diminuir os índices de poluição, já que no carro normalmente cabem 5 pessoas?Pensando assim os funcionários de uma empresa após se conscientizarem dessa problemática da Poluição resolveram adotar o sistema de rodízio de carros. Antes cada funcionário ia ao seu carro para o trabalho agora cada dia um vai com seu carro e dá carona para os quatro colegas. Combinaram um valor fixo para gastos com manutenção de R$ 2 ao dia mais R$ 0,30 por quilometro rodado. Após ler a situação acima responda:

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a) Qual dos gráficos abaixo representa de maneira correta as informações contidas no texto?

b) Qual seria a função criada por esse grupo de amigos para o rodízio dos carros?

c) Se a distância percorrida é de 30 km com ida e volta,quanto cada carro cobra pela viagem por dia? E por semana?

d) Quanto cada amigo paga ao dia?

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e) Outras pessoas dessa empresa acharam a idéia interessante, mas por possuírem carros mais sofisticados o valor fixo para a manutenção foi maior. Observe o gráfico abaixo e diga quanto esse grupo de amigos paga pela manutenção dos veículos.

4ª Etapa:

Atualmente com toda essa problemática de clima e energia, impactos ambientais são evidentes. Fenômenos como tsunamis, terremotos são noticiados quase que diariamente nos telejornais. Ouve-se falar de sustentabilidade e Energias limpas para a diminuição dos efeitos catastróficos na camada de ozônio. Existe até leis que estabelecem o máximo permitido de

emissões de CO 2 pelas usinas de energia, é a chamada bolsa de compensações ou Crédito de

Carbono.

Usando seus conhecimentos matemáticos de diferentes tipos de gráficos e de função,

principalmente (por exemplo, quanto maior a emissão de CO 2 pelas usinas de energia, maior o

valor que elas terão que investir para compra dos créditos de carbono), analise os gráficos abaixo e elabore um texto contendo suas observações.

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Falta definir quanto custa poluir. Veja, 30 de dezembro de 2009.

http://veja.abril.com.br/301209/10-creditos-carbono-falta-definir-quanto-custa-poluir-p-266.shtml.Acesso em

13 de maio 2010.

AVALIAÇÃO:

A avaliação pode ser feita utilizando um ou ambos o s critérios a seguir :

a) Análise do envolvimento dos alunos e da capacidade e interesse que eles apresentaram para compreender a leitura dos gráficos.

b) Análise dos textos e confecção de gráficos.

SEQUÊNCIA 12



SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

• Noções de volume. • Volumes do cubo e do bloco retangular.

DESCRITOR: 13. (PAEBES)

OBJETIVOS:

• Resolver problemas que envolvam volumes do cubo e do bloco retangular.


MATERIAL NECESSÁRIO : Laboratório de Informática, livro didático, material do projeto Multicurso de matemática – Ano I (DVD vídeo-aula, 20ano, volume 2), recipiente impermeável na forma de um cubo ou de um bloco retangular, proveta graduada de 1 litro (caso haja na escola) ou copo graduado de volume usado em casa na cozinha, régua.

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DESENVOLVIMENTO:

1ª Etapa :

Passar dois vídeos do multicurso de matemática do 1º Ano

DVD volume 2 da segunda série.

Episódios:

• Aula 17 – Título: A matemática tem mil e uma utilidades.Resolvendo um problema com volume – Duração: 08’19”

• Aula 18 – Título: “Eureka!” Resolvendo outro tipo de problema com volume – Duração: 08’18”

Após assistir ao vídeo, procure provocar um debate na turma sobre o assunto.

2ª Etapa :

Após o debate na 1ª etapa, separar a sala em grupos, cada um deverá debater entre si sobre um dos vídeos assistidos na aula e anotando os pontos relevantes. Fazer uma plenária, para que cada grupo exponha seu relatório com as mediações possíveis do professor.

3ª Etapa :

Laboratório de Informática (3 aulas).

Após a leitura proporcione atividades para reforçar o conceito de vértices, faces, arestas, lados da região poligonal regular (de cada face), medida da aresta.

Sugestão Complementar.

Professor, uma atividade interessante a ser trabalhada com os alunos é a construção do cubo, pela planificação, vai depender o material disponível na escola:

Pela planificação:

Professor imprima previamente as planificações para que os alunos possam manuseá-las. Existem algumas disponíveis em: * http://www2.ucg.br/design/da2/solidosgeometricos.pd f, no início da página 8 * http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espa cial8.php

Professor, leve seus alunos ao laboratório de infor mática para acessarem os sites: http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espa cial13.php ou http://educacao.uol.com.br/matematica/aprendendo-a- medir-volumes.jhtm para que os alunos pesquisem sobre o assunto.

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Após construção do cubo procure identificar os elementos: vértices, faces, arestas.

4ª Etapa :

Aproveitando o debate e as planificações, é o momento de propor atividades interessantes com noções de volume, utilizando as fórmulas para o cálculo de sólidos geométricos na forma de cubo e bloco retangular.

5ª Etapa :

Propor atividades como a resolução de problemas (de preferência com temas ligados ao cotidiano do aluno), envolvendo as noções de volume.

AVALIAÇÃO :

1- Avaliar a participação da turma e do aluno individualmente durante toda a seqüência didática em questão.

2- Avaliar o trabalho desenvolvido na aula com pequenos exercícios avaliativos e diagnósticos.

3- Avaliar o desempenho final do aluno na atividade escrita.

4- A participação dos alunos nas discussões e nas atividades.

SEQUÊNCIA 13 ÁREA: Ciências da Natureza


SÉRIE: 1º ano

CONTEÚDO:

Cálculo de Perímetro e Área de figuras planas.

Descritor: 11 e 12. (PAEBES)

Sugestões: Participação em Blogs. Através dele os alunos pode m criar um ou participar de algum, para tirar dúvida, aumentando assim o seu conhecimento. http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=2007 0

514163041AAp9lKv .

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OBJETIVOS:

• Resolver problemas envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas; • Resolver problemas envolvendo o cálculo de área de figuras planas;


MATERIAL NECESSÁRIO . Dicionário, Laboratório de informática, Software X-Logo, Régua, Esquadro, Transferidor, Compasso, Cartolina, Barbante, Fita Métrica, Calculadora, Objetos Circulares de Tamanhos Variados (4 objetos diferentes no mínimo), Trangran de Material Rígido, Trena, Tesoura,Fita Crep DESENVOLVIMENTO 1ª ETAPA : Na aula anterior, o professor deverá entregar a tarefa de casa: Peça aos alunos que determinem o contorno de sua cama, a tampa de uma panela, o comprimento do quarto, a largura da cerâmica que foi utilizada no piso de sua casa, o comprimento do livro de matemática, o contorno de um CD, o comprimento da área construída da casa, o comprimento do seu quintal, a largura de sua rua, o comprimento da tela da TV, a largura da porta da geladeira, etc...; que utilizando instrumentos diversos de medidas (instrumentos padronizados ou não), Peça também que façam um esboço simples do que foi medido. A não padronização das unidades de medidas deverá ser intermediada pelo professor e certamente enriquecerá a discussão. Logo após, faça uma plenária das medidas efetuadas e apresente o conceito de perímetro.

• De acordo com um dicionário de matemática:

Perímetro – É o comprimento da linha que define uma figura plana. É o mesmo que a soma dos lados da figura.

Dicionário de Matemática- coleção páginas amarelas – Luiz F. Cardoso

• Apresente também o conceito de perímetro de um dicionário convencional.

Perímetro – s. m. Geom. 1. Contorno que limita uma figura plana. 2. Soma dos lados de um polígono.

Sugestões: Professor, possivelmente você encontrará o

aluno que não fez as medidas recomendadas, sugira que os mesmos meçam a largura da sala de aula, o comprimento das janelas, a altura da

porta, o comprimento da mesa, a largura e o comprimento da quadra, etc ...

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3. Circunferência. 4. Linha que limita uma determinada área ou região: Perímetro urbano.

Dicionário Michaelis – UOL

Solicite aos alunos, como tarefa de casa, que correlacionem os três conceitos apresentados e construam o conceito de perímetro. 2ª ETAPA : Levar os alunos ao laboratório de informática para trabalhar perímetro usando um software de fácil utilização, o X – Logo / Tartaruga (material utilizado no material do Multicurso Matemática ). O primeiro passo é baixar o software X - Logo no link http://downloads.tuxfamily.org/xlogo/common/xlogo.jar. disponível na internet existem vários tutoriais que ensinam a manipular o X-logo. Nesta etapa, além de aproximar os alunos da tecnologia, é uma ótima oportunidade de trabalho em equipe onde acontecerão descobertas através de tentativas e trocas de conhecimento. Para orientar e dar sentido aos trabalhos distribua tarefas de construção utilizando o X – Logo. O trabalho pode ser feito em equipe de no máximo 4 pessoas. CONSTRUIR (EXEMPLOS):

• Um quadrado de lado 50; • Um triângulo eqüilátero de lado 100; • Um triângulo retângulo isósceles; • Um hexágono regular de lado 60; • Um pentágono regular de lado 80; • Um retângulo de lados 40 e 90; • Um decágono de lado 20; • Um triângulo escaleno de lados 30, 40 e 50; • Uma circunferência de raio 60.

Ainda no laboratório pedir que os grupos exponham o trabalho realizado, escolhendo ou sorteando uma ou duas construções, para os demais colegas, destacando as estratégias, as dificuldades e até mesmo a não construção por motivos diversos. Após cada apresentação o professor deverá fazer suas considerações e interferências para eventuais enriquecimentos, correções ou caminhos mais fáceis. Lembrar mais uma vez que estamos trabalhando perímetro que significa contorno que limita uma figura plana. É importante que o professor conheça bem o X - Logo para reproduzir com segurança todas as informações necessárias para o trabalho dos alunos. No tutorial destaque antes dos trabalhos as ferramentas, funções e comandos do software. 3ª ETAPA : Nesta etapa, saímos da tecnologia para resgatar o trabalho e a utilização de ferramentas matemáticas manuais e antigas, mas seguindo os mesmos princípios do que foi desenvolvido com o auxílio do software X-Logo. Utilizando régua, compasso, esquadro e transferidor, solicitar aos mesmos grupos que construam manualmente em uma cartolina para futura exposição:

• Um quadrado de lado 20 cm; • Um triângulo eqüilátero de lado 30 cm; • Um triângulo retângulo isósceles; • Um hexágono regular de lado 10cm; • Um pentágono regular de lado 10 cm; • Um retângulo de lados15 cm e 35 cm; • Um decágono de lado 15 cm;

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• Um triângulo escaleno de lados 9cm ,12cm e 15cm; • Uma circunferência de raio 17 cm; • Uma circunferência de diâmetro 40 cm;

Após as construções pedir que os grupos exponham o trabalho realizado, escolhendo ou sorteando uma ou duas construções, para os demais colegas, destacando as estratégias, as dificuldades e até mesmo a não construção por motivos diversos. Após cada apresentação o professor deverá fazer suas considerações e interferências para eventuais enriquecimentos, correções ou caminhos mais fáceis. É importante também destacar as diferenças e semelhanças no trabalho com o software e com instrumentos manuais bem como as preferências de cada grupo. 4ª ETAPA : Numa outra etapa dos trabalhos, seria pertinente ressaltar a diferença do perímetro de figuras planas poligonais e de figuras circulares. É uma ótima oportunidade de relembrar o irracional Pi (π) e suas relações entre circunferência, raio, diâmetro e o significado de cada um. Disponha de uma tabela com quatro objetos circulares de tamanhos diferentes para determinarmos a existência do número π. Faça as devidas medidas com uma fita métrica ou com outro instrumento de medida completando a tabela e com o auxílio de uma calculadora encontre a razão desejada.

Objeto

Comp. da

Circunferência (C).

Diâmetro (D).

Resultado:

C D

Objeto 1 Objeto 2 Objeto 3 Objeto 4

Assim os alunos perceberão a presença do número π em qualquer tamanho de circunferência. O momento também se faz oportuno para comentários a respeito da história deste irracional tão famoso e se o professor julgar interessante apresente aos alunos todo o alfabeto grego. Certamente eles identificarão algumas letras muito utilizadas como simbologia tanto na matemática e suas áreas afins como em outros campos. Ainda nesta etapa proponha um desafio: Se não tivéssemos uma fita métrica ou outro materia l flexível de medida como faríamos para medir o contorno de um objeto circular? Certamente alguém irá propor usarmos um barbante e logo após medi-lo. Logo seu tamanho será igual ao do contorno. Mais uma vez o professor interfere e exclui o uso do barbante. Após uma boa discussão, chegou a hora de aplicar a fórmula para se descobrir o comprimento de uma circunferência conhecendo-se a medida do seu raio.

C = 2. π. r,

Onde, C é o comprimento da circunferência, π vale aproximadamente 3,14 e r representa o comprimento do raio.

É importante também demonstrar o processo e o pensamento algébrico que levou à estruturação de tal fórmula. Nossos alunos devem compreender que as fórmulas não surgiram num passe de mágica e sim de muito trabalho algébrico.

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C = π

d

C = π

2r C = π. 2r C = 2 .π. r

Com o objetivo de validar a expressão com a qual se é possível determinar o comprimento de uma circunferência com o seu raio dado, faça juntamente com seus alunos uma experiência: Em primeiro lugar meça a circunferência de um objeto qualquer com o auxílio de uma fita métrica e anote o resultado. Em seguida faça um risco desse objeto em um papel, estabeleça um risco passando pelo centro, caso haja necessidade recorte a circunferência e dobre ao meio, determinando assim o diâmetro através do vinco e do diâmetro dividido em duas partes iguais descobrindo-se o tamanho do raio que pode ser medido com o auxílio de uma régua. Por último aplique os valores na fórmula/equação, desenvolvendo de maneira adequada os procedimentos algébricos e numéricos até chegar a um resultado. Veremos que os valores são bem próximos, provando assim a veracidade e eficiência de tal fórmula. 5ª ETAPA : Vamos agora utilizar o Tangram numa abordagem numérica para determinarmos o perímetro de cada uma de suas peças. Certamente nesta etapa, o professor terá de retomar “Teorema de Pitágoras” para descobrir algumas diagonais/hipotenusas � a2 = b2 + c2. A proposta inicial seria encontrar as medidas de cada uma das linhas coloridas a partir da malha quadriculada na qual o Tangram está inserido:

4

2

4

2

2

2

Logo após encontrarmos as medidas das linhas vamos encontrar os perímetros de cada uma das figuras lembrando que podemos dividir as medidas ao meio, fazer comparações, observar a malha...

Triângulo

1

Triângulo

2

Paralelogramo

3

Triângulo

4

Quadrado

5

Triângulo

6

Triângulo

7

4 + 2

+2 =

4 + 4 =

4( 1 + )

Idêntico

ao triângulo

1

2 + 2 + + =

4 + 2 =

2( 2 + )

2 + +

2 + 2 =

2 ( 1 + )

4

Idêntico

ao triângulo

4

2 + 2 + 2 =

4 + 2 =

2 ( 2 +

1

2

3

4

5

6

7

44

Após completarmos a tabela, vale uma discussão sobre a atividade bem como algumas comparações. A mesma abordagem apresentada anteriormente no contexto aritmético poderá ser trabalhada no contexto algébrico, basta substituir o valor 4 do lado do Tangram por x ou até mesmo 4x se considerarmos a malha na qual o Tangram está inserido. 6ª ETAPA : Ainda utilizando o Tangram, mas agora de um material concreto, vamos propor uma atividade de criação de formas e logo após cálculo de perímetro. Utilizando o Tangram, formar um quadrado usando o número de peças determinadas e logo após determinar o Tangram. É interessante que esse trabalho aconteça em grupo e as figuras formadas sejam registradas em cartolina para exposição e socialização entre os colegas. Uma tabela poderá ser formada para organizar melhor o trabalho. a) só duas peças. b) só três peças. c) só quatro peças. d) só cinco peças. e) só seis peças. f) só sete peças. 7ª ETAPA :

CALCULANDO ÁREAS

Na atividade a seguir, vamos redirecionar o trabalho para o cálculo de áreas, como uma extensão dos estudos de perímetro. O cálculo de área de uma figura é feito por comparação com uma definida unidade de área. Em geral, em geometria euclidiana, utiliza-se o quadrado de lado 1 como unidade de área. Nessa atividade, vamos supor que o quadrado Q do Tangram seja essa unidade de área, isto é, definimos que a área de Q é igual a 1. Considerando então a área do quadrado Q como unitária, calculem as áreas das outras peças do tangram: a) A área dos triângulos A . b) A área dos triângulos R . c) A área do triângulo T . d) A área do paralelogramo P .

8ª ETAPA:

RELACIONANDO FORMAS, ÁREAS E PERÍMETROS Sabendo agora a área de cada peça do Tangram, e utilizando ainda o quadrado Q como unidades de área construam as seguintes formas com as áreas informadas abaixo e em seguida determine o perímetro de cada uma das construções. a) retângulo de área 4. b) triângulo de área 4,5. c) paralelogramo de área 6. d) quadrado de área 5. e) quadrilátero que seja retângulo tenha área 8. f) triângulo de área 8.

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g) trapézio de área 3. 9ª ETAPA : EXPLORAR MAIS O CONCEITO ÁREA/SUPERFÍCIE. “Quando medimos superfícies tais como um terreno, o u um piso de uma sala, uma quadra poliesportiva, ou ainda uma parede, obtemos um número, que é a sua área” . “Aliás, o que significa o termo “1 metro quadrado”, “um centímetro quadrado”, “um quilômetro quadrado”? Muitos alunos mecanizam que quando se trata de área utilizamos sempre as denominações m2, cm2, km2, mas não entendem o verdadeiro significado dessa unidade ao quadrado. Para suprir tal deficiência vamos propor o seguinte: Fora da sala de aula, num espaço aberto (seja de cimento ou de terra), vamos limitar uma área quadrilátera utilizando barbante, giz ou até mesmo risco no chão de terra. Vamos utilizar o esquadro para obtermos ângulos retos nos vértices do quadrilátero. No momento da determinação da área seria interessante considerarmos o número de alunos envolvidos nesta atividade. Por exemplo, 33 alunos e o professor, temos 34 pessoas. Determinaremos uma área próxima desse número, por exemplo, 7x 5 = 35. Com base nas suposições acima desenhe no chão um quadrilátero com 7m por 5m. Na sequência solicite aos alunos que marquem nos quatro lados do que foi limitado, intervalos de 1 em 1 metro. Posterior a esse procedimento, ligue os pontos correspondentes existentes nos lados paralelos, transformando a área numa enorme malha quadriculada . Com cada aluno dentro de uma “célula” trabalhe a noção de espaço de quem vem a ser 1m2. Dizer que a área tem 35 metros quadrados significa que podemos dividi-la em 35 pedaços iguais, sendo cada pedaço de 1m x 1m. Este entendimento deverá se estender para os múltiplos e submúltiplos da nossa unidade padrão de medida, bem como poderá ser utilizada com unidades de medidas não padronizadas como o passo, o palmo, a polegada, a jarda... 10ª ETAPA: Aproveitando a etapa anterior construa uma malha quadriculada e selecione atividades envolvendo a utilização da mesma. Além do cálculo de áreas e perímetros de figuras planas, o trabalho poderá se estender ao reconhecimento da conservação ou modificação de medidas dos lados, do perímetro, da área em ampliação e/ ou redução de figuras poligonais ou até mesmo circulares. A criatividade do professor vale muito neste momento, na condução desta etapa, tanto para a seleção das atividades quanto na administração dos trabalhos.

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11ª ETAPA :

Aqui vamos enfatizar as principais figuras geométricas planas e suas áreas que podem ser calculadas a partir de uma determinada fórmula. Nesse momento é importante fazer um diagnóstico prévio do conhecimento, verificando se todos os alunos conhecem as figuras geométricas e as áreas, através da atividade abaixo. Faça fixas com:

1. Nomes das figuras; 2. Com as figuras; 3. Com as fórmulas;

De maneira bem simples, peça aos alunos que separe as fixas identificando a figura com o nome e as fórmulas pertinentes as suas áreas. Sugestões das áreas que devem ser trabalhadas: Região retangular; Região quadrada; Região limitada por um paralelogramo; Região triangular; Região limitada por um trapézio; Região circular; Região de um setor circular.

Após a atividade é o momento de fazer a demonstração das fórmulas das áreas poligonais a partir da área do retângulo, que servirá de referência. Essas demonstrações podem ser feitas através de dobradura, cortes, reconstituições, comparações juntamente com o significado algébrico de cada equação. AVALIAÇÃO . 1- Avaliar a participação da turma e do aluno individualmente durante toda a seqüência didática em questão.

2- Avaliar o trabalho desenvolvido na aula com pequenos exercícios avaliativos e diagnósticos.

3- Avaliar o desempenho final do aluno na atividade escrita.

4- A participação dos alunos nas discussões e nas atividades.

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Bibliografia:

Material Multicurso Ano I

Matemática Fundamental – Uma Nova Abordagem: José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Junior.

Matemática Volume Único: José Roberto Bonjorno.

Matemática Volume Único: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Mauro Degenszajn E Robert.

Matemática Volume Único: Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce.

A Prática Educativa – Como Ensinar: Antoni Zabala.

Sugestões Complementares:

Sites:

www.matematica.br → Página para quem deseja aprender mais sobre

matemática de forma divertida e vendo a sua utilidade no cotidiano.

www.matematica.com.br → A página faz cálculo online de área e volumes de

figuras geométricas e traz simulado com exercícios de vestibulares.

www.math.com → site traz softwares gratuitos para download. Além disso, conta

com programas para elaborar gráficos a partir de equações e gráficos animados. (Em inglês).

htpp//portalmatematico.com/inicial.shtml → Biografias, jogos e programas par

download. http://www.somatematica.com.br - portal matemático (precisa fazer um cadastro) http://portalmatematico.com - portal matemático

http://www.apm.pt/ - Associação de Professores de Matemática (Portugal) http://athena.mat.ufrgs.br/~portosil/licenciatura.h tml - Matemática Elementar - UFRGS http://mat.absolutamente.net/ - Página de Matemática do prof. Paulo Correia. http://www.gregosetroianos.mat.br - Matemática Para Gregos & Troianos

http://www.reniza.com/matematica - Matemática divertida, traz desafios matemáticos http://www.desafios.he.com.br - Matemática, Desafios e Diversão

http://www.matematica.br - assuntos matemáticos, mantido por professores e alunos do IME-USP

http://www.geocities.com/matematicacomprazer - matemática abordada com experimentos (física, ciências e matemática) http://www.geocities.com/jcvmatem/jcvm.html - jornal Círculo Viver Matemática http://www.matemagica.hpg.ig.com.br - traz assuntos sobre matemática com matérias diversas http://www.tvcultura.com.br/artematematica - Arte e Matemática (harmonia, simetria, som, perspectiva, tempo, geometria... ) http://www.klickeducacao.com.br/Portal/Materia/Mate matica/FrontD oor/1, 3858,,00. html - Biblioteca viva de Matemática, traz algumas curiosidades.

Education

Seqdidaticas em Matemática