of 66 /66
Departamento de Matemática Mestrado em Matemática Aplicada em Actuariado, Estatística e Investigação Operacional Avaliação de responsabilidades de Fundos de Pensões com tábua de mortalidade dinâmica Sara Costa Orientadores: Professora Doutora Maria de Lourdes Belchior Afonso Professor Doutor Pedro Alexandre da Rosa Corte Real Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade Nova de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Matemática e Aplicações - Actuariado, Estatística e Investigação Operacional Lisboa, Setembro de 2009

Mestrado em Matemática Aplicada em Actuariado, Estatística ... · Departamento de Matemática Mestrado em Matemática Aplicada em Actuariado, Estatística e Investigação Operacional

  • Author
    letuyen

  • View
    223

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Mestrado em Matemática Aplicada em Actuariado, Estatística ... · Departamento de Matemática...

Departamento de Matemtica

Mestrado em Matemtica Aplicada em Actuariado, Estatstica e Investigao Operacional

Avaliao de responsabilidades de Fundos de Penses com tbua de mortalidade dinmica

Sara Costa

Orientadores: Professora Doutora Maria de Lourdes Belchior Afonso Professor Doutor Pedro Alexandre da Rosa Corte Real

Dissertao apresentada na Faculdade de Cincias e Tecnologias da Universidade Nova de Lisboa para obteno do grau de Mestre em Matemtica e Aplicaes - Actuariado,

Estatstica e Investigao Operacional

Lisboa, Setembro de 2009

Agradecimentos Agradeo desde j a todos os que tiveram a pacincia de ler este trabalho, que nunca teria sido possvel sem a orientao da Prof. Dr. Maria de Lourdes Belchior Afonso e do Prof. Dr. Pedro Alexandre da Rosa Corte Real da Universidade Nova de Lisboa, Faculdade de Cincias e Tecnologia. Agradeo o incentivo e o apoio concedido durante todo este tempo dado pela Prof. Dr. Lourdes Afonso, sem a sua ajuda este projecto no teria chegado a bom porto. Ao meu marido, Srgio Lopes, a pacincia, incentivo e a fora que me deu, aos meus pais, Amrico Costa e M de Ftima Costa pelo apoio e coragem. Proporcionaram todas as condies para que fosse possvel concretizar este projecto. Foram eles, juntamente com a Prof. Dr. Lourdes Afonso que mais sofreram com a minha dedicao a esta causa. Dedico-lhes este trabalho e agradeo do fundo do corao toda a pacincia e fora. Espero poder compens-los de algum modo por tudo o que fizeram por mim.

Resumo Com o avano dos anos, as reas da economia, poltica, mercado de trabalho e sistemas financeiros tm sofrido grandes alteraes. Neste sentido, a demografia tem acompanhado estas alteraes, bem como a esperana mdia de vida. O envelhecer da populao tem vindo a aumentar cada vez mais, enquanto que a taxa de natalidade cada vez menor o que influencia directamente a sustentabilidade da Segurana Social. Neste enquadramento, a actualizao da proteco social algo a ter-se mais em considerao e a evoluo demogrfica veio reforar a necessidade de mudana dos sistemas actuais, com o intuito de haver maior capacidade de resposta e flexibilidade no sentido de garantir proteco e apoio face aos riscos que surjam. Os pressupostos tradicionalmente usados nas avaliaes de probabilidades de sobrevivncia a longo termo, tal como Plano de Penses, so tabelas de mortalidade e invalidez estticas. Neste sentido, no presente trabalho ir projectar-se a esperana mdia de vida para um dado perodo, tendo em considerao o decremento de morte e invalidez, com a adaptao do modelo discreto para contnuo, proporcionando maior adaptabilidade populao e rapidez computacional. Projectar o aumento da esperana mdia de vida importante porque torna o modelo mais realista, tendo em considerao a evoluo da populao. A utilizao deste novo modelo com o aumento de esperana mdia de vida em vez do tradicional modelo discreto, tem como resultado responsabilidades mais elevadas. Este facto era previsvel na medida em que existe uma maior esperana mdia de vida, a probabilidade de sobrevivncia maior, tendo por isso impacto no clculo de responsabilidades da populao.

Abstract As time goes by, the areas of economy, politics, labor market and financial systems have undergone major changes. In this sense, the population has followed these changes and the average life expectancy increased. The aging of population is growing more and more, while the birth rate is the lowest ever, that directly influences the good performance of Social Security. In this context, the updating of the social protection is something to be taken more into account and the demographic changes reinforce the need of change the existing systems in order to have greater response capability and flexibility, to ensure protection and support against the risks that may appear. The assumptions used in traditional assessments of probability of survival in the long term, such as Pension Plan, are static tables of mortality and disability. This project will work on the average life expectancy for a given period, taking into account the decrement of death and disability, with the adaptation of the discrete model to continuous to provide greater adaptability population and computational speed. Projecting an increase in the average life expectancy is important because it makes the model more realistic, in line with the evolution of the population. Using this new model, with the increase of average life expectancy instead of the traditional discrete model has higher responsibilities as a result. This was predictable, if existing a higher life expectancy, the probability of survival is greater, and therefore impact on the calculation of liabilities of the population.

1

ndice

1. INTRODUO....................................................................................................... 6

2. OPROBLEMADAMANUTENODASPENSES ................................... 8

2.1. Sistema de Segurana Social....................................................................................... 8

2.2. O problema de envelhecimento na Europa e em Portugal...................................... 9

2.3. Desemprego estrutural e a instabilidade no emprego............................................ 14

2.4. Proteco Social e Sistemas de Penses.................................................................. 14

3. FUNDOSDEPENSESESISTEMASDEPENSES .................................. 16

3.1. Conceitos ..................................................................................................................... 16

3.2. Fundos de Penses e Sistemas de Penses em Portugal......................................... 19

4. DESENHODEUMPLANODEPENSES..................................................... 21

4.1. Avaliao Actuarial de Plano de Penses................................................................ 21

4.2. Notao........................................................................................................................ 24

4.3. Tendncias da mortalidade ....................................................................................... 25

4.3.1. Noes base de mortalidade ................................................................................ 25

4.3.2. Modelo de projeco de mortalidade................................................................. 28

4.3.3. Formulrio para avaliao do Plano..................................................................... 29

4.3.4. Tipos de cobertura................................................................................................... 30

5. METODOLOGIAEAPLICAOPRTICA................................................. 32

5.1. O Plano de Penses..................................................................................................... 32

5.2. Mtodo Actuarial......................................................................................................... 32

5.3. Estatstica da populao ............................................................................................ 33

5.4. Tabelas de Decrementos ............................................................................................ 37

5.5. Estimativa de parmetros de Lei de Gompertz ........................................................ 40

2

5.5.1. Estimativa de parmetros de Lei de Gompertz para Tabela de Mortalidade TV73/77 40

5.5.2. Estimativa de parmetros de Lei de Gompertz para Tabela lquida de Mortalidade e Invalidez ........................................................................................................... 42

5.5.3. Esperana Mdia de Vida...................................................................................... 45

5.6. O Modelo Proposto...................................................................................................... 47

6. RESULTADOSEAPLICAOPRTICA ..................................................... 49

7. COMENTRIOSFINAIS ................................................................................... 56

8. BIBLIOGRAFIA .................................................................................................... 58

9. TABELADEACRNIMOS................................................................................ 60

10. ANEXO................................................................................................................ 61

3

ndice de Figuras Figura 1 Distribuio das responsabilidades da Segurana Social .................................. 8 Figura 2 ndice de fecundidade ( (INE, 2008), estatsticas demogrficas) .................... 10 Figura 3 Pirmide Etria ((Bureau, 2002-2007), estimativa de populao para ano 2008)........................................................................................................................................... 11 Figura 4 Evoluo de Pensionistas (Fonte: INE, inqurito ao emprego, Fevereiro de 2008) ................................................................................................................................. 11 Figura 5 Nvel de renovao da populao (Fonte: Eurostat-Portugal)......................... 12 Figura 6 Estrutura das famlias por nmero de filhos. (Fonte: INE) ............................. 12 Figura 7 Populao estrangeira (Fonte: INE) ................................................................ 13 Figura 8 Populao desempregada (Fonte: INE) ........................................................... 14 Figura 9 Repartio do montante total dos Fundos de Penses (Fonte: Fundos de penses 2007).................................................................................................................... 19 Figura 10 Mortalidade dos participantes (Fonte: Fundos de penses 2007) ................. 20 Figura 11 Populao em anlise. ................................................................................... 33 Figura 12 Percentagem de activos por idade. ................................................................ 34 Figura 13 Percentagem de inactivos por idade. ............................................................. 34 Figura 14 Mdia de servio passado para participantes activos. ................................... 35 Figura 15 Mdia de futuro servio para participantes activos. ...................................... 35 Figura 16 Mdia salarial dos participantes activos. ....................................................... 36 Figura 17 Penso mdia de participantes pensionistas. ................................................. 36 Figura 18 Desenvolvimento de taxas unidecremento de morte e de invalidez.............. 37 Figura 19 Desenvolvimento da probabilidade morte e invalidez em ambiente de multidecremento. .............................................................................................................. 39 Figura 20 Comparao entre lx lquido com o decremento morte e invalidez, lx de mortalidade e invalidez. .................................................................................................... 40 Figura 21 Grfico de relao entre lx exacto e lx estimado do decremento mortalidade............................................................................................................................................ 41 Figura 22 Grfico de relao entre fora de mortalidade exacta e estimada. ................ 42 Figura 23 Grfico de relao entre lx exacto e lx estimado considerando a tbua lquida............................................................................................................................................ 43 Figura 24 Relao entre a fora de mortalidade, Tx ,exacta e estimada. ...................... 44 Figura 25 Comparao de esperana de vida calculada atravs de fora de mortalidade, modelo contnuo, e da tabela de mortalidade, modelo discreto. ....................................... 45 Figura 26 Comparao de esperana de vida calculada atravs de Tx e da tabela lquida com os decrementos de mortalidade e de invalidez.......................................................... 46 Figura 27 Comparao de esperana de vida................................................................. 48 Figura 28 Valor actual dos benefcios totais entre modelo discreto e contnuo. ........... 51 Figura 29 Valor actual dos benefcios totais entre o modelo discreto e o MCEMV. .... 52 Figura 30 Valor actual dos benefcios totais entre o modelo contnuo e o MCEMV.... 52 Figura 31 Mdia de VABT entre os vrios modelos. .................................................... 53 Figura 32-Comparao da anuidade dos pensionistas do modelo discreto e contnuo..... 53 Figura 33 Comparao da anuidade dos pensionistas do modelo discreto e MCEMV. 54

4

Figura 34 Comparao de anuidade entre modelo contnuo e MCEMV....................... 54 Figura 35 Comparao de variaes de anuidades entre os vrios modelos. ................ 55

5

ndice de Tabelas

Tabela 1 Idade Normal de Reforma na Europa (Fonte: Mercer) ................................... 10 Tabela 2 Esperana de vida nascena (Fonte: INE).................................................... 13 Tabela 3 Estatstica de participantes activos.................................................................. 33 Tabela 4 Estatstica de participantes inactivos............................................................... 33 Tabela 5 Tabela de mortalidade e invalidez e respectivas taxas unidecremento. .......... 38 Tabela 6 Tabela de probabilidade morte e invalidez em ambiente de multidecremento............................................................................................................................................ 38 Tabela 7 Tabela Lquida. ............................................................................................... 39 Tabela 8 Tabela de probabilidade da tbua lquida e Tx . ............................................ 43 Tabela 9 Comparao do Valor Actual dos Benefcios Totais dos Activos com os diferentes modelos. ........................................................................................................... 50 Tabela 10 Comparao do Custo Normal com os diferentes modelos. ......................... 50 Tabela 11 Comparao do Valor Actual das Penses em Pagamento com os diferentes modelos. ............................................................................................................................ 50

6

1. Introduo No decorrer dos ltimos anos a economia, a poltica, o mercado de trabalho, e os sistemas financeiros tm sofrido grandes alteraes. Neste sentido a demografia, as estruturas familiares, a taxa de natalidade e mortalidade, e a esperana mdia de vida tm acompanhado estas alteraes. Todos estes factores unidos exercem um impacto nos sistemas de Segurana Social do tipo pay-as-you-go, onde os actuais contribuintes do sistema financiam as despesas dos actuais beneficirios. Este tipo de sistema no possui reservas e no existe financiamento antecipado dos benefcios. Um dos principais factores que influenciam a sustentabilidade da Segurana Social o envelhecer da populao, que tem vindo a aumentar numa populao onde a natalidade cada vez menor. Tambm se tem observado um aumento da populao desempregada, o que implica a diminuio de contribuies para o sistema de Segurana Social. Neste enquadramento, a actualizao da proteco social algo a ter-se mais em considerao e torna-se cada vez mais importante adaptar as reformas existentes. A questo demogrfica, a globalizao de economia, as implicaes do mercado na vida da populao vieram reforar a necessidade de mudana dos sistemas actuais, de modo a terem mais capacidade de resposta e maior flexibilidade no sentido de garantir proteco e apoio de forma a fazer face aos riscos que surjam. neste sentido que os Fundos de Penses comeam a possuir um papel mais importante para solues financeiras de aforro para a reforma, sendo necessria uma maior adaptao de pressupostos actuariais, demogrficos e econmicos populao em anlise, de modo a permitir a estabilidade do financiamento das penses e o crescimento econmico. Assim sendo, o presente trabalho tem como objectivo avaliar um plano de penses de benefcio definido (de uma populao fictcia), tendo em considerao o aumento de esperana mdia de vida com o decorrer dos tempos, bem como o adaptar do modelo usualmente discreto, com decremento de morte e invalidez, ao contnuo. Ao executar esta avaliao atravs de um modelo contnuo, com projeco de esperana mdia de vida pretende-se atingir um modelo mais realista, usando o facto da esperana mdia de vida ter vindo a aumentar com o decorrer dos tempos. Por sua vez, o modelo contnuo mais facilmente adaptvel populao bem como mais rpido computacionalmente. Este texto composto de 8 seces, em que a primeira seco consiste numa breve introduo do tema abordado. Na segunda seco analisa-se o problema da manuteno das penses, na terceira apresentam-se breves conceitos de Fundos e Sistemas de Penses. Na quarta seco mostra-se o desenho de um plano de penses. Na seco 5, apresenta-se

7

a metodologia e aplicao prtica da avaliao das responsabilidades do plano. Posteriormente apresentam-se resultados e por fim os comentrios finais.

8

2. O problema da manuteno das Penses

2.1. Sistema de Segurana Social O sistema de Segurana Social o instrumento institucional que possibilita a proteco de qualquer cidado na sociedade, em situaes de pobreza, excluso social, desemprego, invalidez, reforma, etc. Actualmente, quando se fala em sistema de Segurana Social, inclui-se uma srie de mecanismos de proteco pblica de riscos sociais, tais como subsdio e prestaes compensatrias em caso de doena, maternidade (assim como paternidade e adopo), encargos familiares, como abonos de famlia e subsdio de funeral, proteco na invalidez, velhice e morte, e proteco no desemprego. O sistema de Segurana Social pblico e contm trs realidades distintas. A ordem jurdica, que estabelece os direitos dos cidados proteco pela Segurana Social. As instituies, atravs das quais os beneficirios e contribuintes estabelecem vnculos jurdicos de direitos, e obrigaes que constituem as relaes jurdicas da Segurana Social. Os organismos de coordenao normativa e de apoio tcnico, ao nvel da administrao central do Estado que integram o aparelho administrativo da Segurana Social. A filosofia de proteco social existente assenta num sistema integrado, em que as responsabilidades devem ser partilhadas pelo Estado, pela empresa e pelos prprios indivduos. a conhecida teoria dos trs pilares.

Figura 1 Distribuio das responsabilidades da Segurana Social O primeiro pilar o Estado, este pilar de participao obrigatria, gerido pelo Estado em regime de repartio e garante uma base de solidariedade mnima. O segundo pilar (a empresa), de participao facultativa e complementar ao primeiro, gerido em regime de capitalizao e financiado pelas empresas e trabalhadores. O terceiro pilar (o indivduo), de participao facultativa e em regime de capitalizao, concede direitos a penses adicionais com base na poupana privada e voluntria dos indivduos. A implementao de um esquema de benefcios implica custos, custos estes que tm que ser financiados. Os principais sistemas de financiamento so: o sistema de repartio

9

(modelo Europeu) ou Pay as you go e o sistema de capitalizao (modelo Americano) ou Pay as you earn. No sistema de repartio, que o que est actualmente em vigor na maioria dos pases europeus, so os actuais contribuintes do sistema que financiam as despesas dos actuais beneficirios. O sistema no tem reservas e no existe o financiamento antecipado dos benefcios. No sistema de capitalizao, so as contribuies realizadas, durante o perodo activo do indivduo, que vo financiar os benefcios a receber. Desta forma constituda uma reserva que vai capitalizando ao longo do tempo. Neste sistema cada gerao financia os seus prprios benefcios e no os benefcios da gerao precedente como acontece no sistema de repartio. Vamos ver se seguida um dos factores importantes quando se fala de Segurana Social o envelhecimento da populao.

2.2. O problema de envelhecimento na Europa e em Portugal Quando se fala de finanas pblicas, um dos problemas que surge o do envelhecimento da populao, que torna o sistema de proteco social insustentvel a prazo, pela sobrecarga que colocar s contas do Estado. De modo a responder a estas tendncias demogrficas, os pases europeus tm tomado medidas como o aumento da idade de reforma, o aumento das carreiras contributivas, a reduo do valor das penses, entre outras.

Idade Normal de Reforma Pas Masculino (M) Feminino (F)

Europa Ocidental ustria 65 60 Blgica 65 64 Dinamarca 65 65 Finlndia 65 65 Frana 65 65 Alemanha 65 65 Grcia 65 60 Irlanda 66 66 Itlia 62 62 Luxemburgo 65 65 Malta 61 60 Holanda 65 65 Portugal 65 65 Espanha 65 65 Sucia 65 65 Reino Unido 65 60 Mdia 64,6 63,6

10

Idade Normal de Reforma Pas Masculino (M) Feminino (F)

Europa Oriental Repblica Checa 62 59 Estnia 65 60 Letnia 62 61 Litunia 61 59 Polnia 65 60 Eslovquia 60 55 Eslovnia 60 54 Mdia 62,1 58,3 Tabela 1 Idade Normal de Reforma na Europa (Fonte: Mercer) Como se pode observar na Tabela 1 a Idade Normal de Reforma (INR) actualmente, em quase todos os pases da Europa Ocidental, aos 65 anos. A idade de reforma varia tambm, nalguns pases, conforme o sexo. No Reino Unido e na ustria a idade de reforma de 65 anos para os homens e 60 para as mulheres. O envelhecimento demogrfico continua a ser um grande desafio mesmo aps o alargamento da Unio Europeia. Apesar da populao dos novos Estados-Membros ser mais jovem do que a dos Estados-Membros que compunham a Unio Europeia, isto no contribuiu para diminuir o problema do envelhecimento populacional da Europa. A linha demogrfica da Europa no se alterou, o que se deve a uma queda das taxas de fecundidade na maioria dos novos pases membros. Na Figura 2 apresenta-se a evoluo do ndice de fecundidade em Portugal, que como se pode observar tem vindo a decrescer.

Figura 2 ndice de fecundidade ( (INE, 2008), estatsticas demogrficas) Portugal tambm sofreu uma grande alterao demogrfica nas ltimas dcadas, passando de um dos pases menos envelhecidos da Europa para um dos mais envelhecidos.

11

Nos presentes anos a pirmide etria no apresentou sustentao na base e alarga-se em cima.

Figura 3 Pirmide Etria ((Bureau, 2002-2007), estimativa de populao para ano 2008) Como se pode verificar, os pensionistas tm aumentado no decorrer do perodo em anlise, 2002-2007. Mas este aumento s se verifica em pensionistas com idades superiores a 65 anos. Para os que tm idade inferior a 65 anos, ou seja beneficirios de pr-reforma existe uma diminuio, no mesmo perodo.

Figura 4 Evoluo de Pensionistas (Fonte: INE, inqurito ao emprego, Fevereiro de 2008) Durante vrias dcadas registaram-se baixas nas taxas de fertilidade na Europa, uma tendncia que se reforou com o alargamento. Encontrando-se, contudo, a fertilidade abaixo do nvel de renovao da populao (Figura 5), surge o problema do desaparecimento dessa populao, o que faz com que alguns pases adoptem medidas pr-natalidade, no sentido de motivar os cidados a ter mais filhos.

12

Natalidade e mortalidade

77,5

88,5

99,510

10,511

11,512

12,513

13,514

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

Anos

por 1

000

pess

oas

Nascimentos M ortes

Figura 5 Nvel de renovao da populao (Fonte: Eurostat-Portugal) Relativamente ao momento da maternidade antigamente havia tendncia para o casamento e a maternidade precoces, actualmente casa-se mais tarde, e por isso o nmero de anos fecundos tambm diminui. Este adiamento sucessivo de maternidade levou a um aumento de nmero de tratamentos de infertilidade, e causou preocupaes mdicas relativamente aos riscos associados a gravidezes tardias. Na Europa existem pessoas sem filhos contra sua prpria vontade e por vezes o facto de adiarem a maternidade, faz com que nunca se venha a concretizar. Como se pode visualizar na Figura 6, a estrutura de famlias portuguesas com filhos tem vindo a diminuir com o decorrer dos tempos.

Figura 6 Estrutura das famlias por nmero de filhos. (Fonte: INE)

13

Outro facto que tem contribudo para o envelhecimento da populao o aumento da esperana mdia de vida que tem sido gradual no decorrer dos ltimos anos.

Perodo Mulheres Homens

2005-2007 81.57 75.18 2004-20061 81.30 74.84 2003-2004 80.98 74.53 2002-2003 80.57 74.00 2001-2002 80.56 73.68

Tabela 2 Esperana de vida nascena (Fonte: INE) O aumento da esperana de vida torna o topo da pirmide etria mais larga sustentando um volume cada vez maior de inactivos, onde existe um compromisso social do pagamento das suas reformas. Portugal tem envelhecido no decorrer do tempo por diversos factores, tais como: o aumento de esperana mdia de vida, devido a novos estilos de vida, melhores condies, os progressos na medicina, melhor assistncia mdica, a descida da natalidade. Outro factor de evoluo demogrfica a imigrao. Esta tem vindo a aumentar consideravelmente em dimenso e importncia. Em Portugal o maior nmero de imigrantes de nacionalidade brasileira e ucraniana. Na Figura 7 pode-se visualizar a crescente evoluo de populao estrangeira em Portugal.

Figura 7 Populao estrangeira (Fonte: INE)

1 necessrio ter presente a seguinte nota na visualizao da tabela 2: em 2007, o INE adoptou uma nova metodologia para o clculo do indicador Esperana Mdia de Vida idade x, baseada em tbuas completas de mortalidade com perodo de referncia de trs anos consecutivos. Actualmente, esto disponveis as tbuas de mortalidade para homens, mulheres e ambos os sexos, para Portugal, referentes a 2004-2006 e 2005-2007. Face s alteraes metodolgicas, os valores da esperana mdia de vida, calculados segundo esta metodologia, no so comparveis com os valores divulgados at 2007, que so obtidos utilizando tbuas abreviadas de mortalidade com perodo de referncia de dois anos. As Tbuas de mortalidade para Portugal nos perodos 2004-2006 e 2005-2007 so completas.

14

2.3. Desemprego estrutural e a instabilidade no emprego A viabilidade do sistema de Segurana Social no est em risco somente devido ao envelhecimento. O mercado de trabalho tem vindo a orientar-se no sentido de flexibilizao, manifestando-se especialmente em trabalhadores dependentes, que vivem uma situao de insegurana dos seus postos de trabalho. O entrar mais tarde no mercado de trabalho, a diminuio de emprego regular e a tempo inteiro, tm como consequncia o aumento de situaes de trabalho precrio. A ausncia de relaes profissionais entre empregador e empregado faz com que exista uma menor estabilidade do volume de contribuies para o sistema de Segurana Social. Tem-se observado que a populao desempregada tem aumentado no decorrer dos tempos (Figura 8).

Populao desempregada

0,050,0

100,0150,0200,0250,0300,0350,0400,0450,0500,0

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

Unid

ade:

100

0

Populao desempregada procura de novo emprego

procura do primeiro emprego

Figura 8 Populao desempregada (Fonte: INE)

2.4. Proteco Social e Sistemas de Penses Nos ltimos tempos tem-se debatido o tema sobre as alteraes a aplicar na proteco social devido ao importante papel que os sistemas de proteco social tm na consolidao do desenvolvimento das sociedades e da economia. Devido generalizao da proteco social, comeou-se a sentir os efeitos da sua insero, mostrando a necessidade de alteraes na mesma. Tal como j foi anteriormente referido, existem muitas realidades que justificam as reformas e as solues adaptadas. A questo demogrfica, a globalizao da economia, e as implicaes no mercado de trabalho e na vida dos cidados, veio reforar a necessidade de mudana dos sistemas actuais, que futuramente tero de apresentar maior capacidade de resposta, sendo mais flexvel e expandida, no sentido de garantir proteco e dar apoio face aos riscos sociais que surjam.

15

Como j se referiu na seco 2.2, as estruturas familiares tm-se transformado, tornando- -se necessrio adequar a proteco dos pensionistas e a das restantes fases da vida da populao. Em Portugal a fecundidade diminuiu, e foi simultaneamente acompanhada de um progressivo aumento de esperana mdia de vida aos 65 anos. Todas estas realidades fazem com que os sistemas de proteco social se devam adaptar, pois estes formaram-se para situaes econmicas e sociais diferentes das actuais, e das que se prevem. Neste sentido, a crise de sustentabilidade dos sistemas de Segurana Social ocorre essencialmente das perturbaes existentes na demografia e na economia, que afectam os sistemas geridos em regime de repartio e os de capitalizao individual. Contudo a individualizao dos riscos depende de diversos factores, como a inflao, o crescimento econmico, a evoluo do mercado de capitais. Estes factores influenciam qualquer um dos sistemas, os de repartio e os de capitalizao. Esta relao entre os sistemas de penses de repartio e de capitalizao, faz com que a substituio do primeiro pelo segundo, traga nveis desajustados de proteco, especialmente para os indivduos com menor capacidade financeira, tendo como consequncia uma reduo do nvel de proteco social. Num contexto em que a idade mdia da populao tende a subir e a proporo dos activos face aos reformados tende a decrescer o grande desafio encontrar uma forma sustentvel de financiamento do sistema pblico de Segurana Social em sistema de repartio. No se vislumbrando uma transio abrupta e imediata para o sistema de capitalizao, os Fundos de Penses privados so uma boa opo (a nvel do segundo e terceiro pilares) para complementar a proteco na reforma, invalidez ou mesmo doena. Atendendo ao impacto que o aumento da esperana mdia de vida tem na avaliao de responsabilidades, objectivo deste trabalho estudar a importncia desta varivel numa avaliao actuarial de responsabilidades de um Fundo de Penses. Para tal nas prximas duas seces ir-se- abordar os Fundos e Planos de Penses.

16

3. Fundos de Penses e Sistemas de Penses Nesta seco apresenta-se um breve resumo de conceitos relacionados com Fundos de Penses e Sistemas de Penses. Apresenta-se tambm breves estatsticas sobre Fundos de Penses em Portugal.

3.1. Conceitos Antes de nos debruarmos sobre os Fundos de Penses, importante definir o que um Plano de Penses. Os Planos de Penses definem as condies em que se constitui o direito ao recebimento de uma penso a ttulo de reforma por invalidez, por velhice ou ainda em caso de sobrevivncia ou de qualquer outra contingncia equiparvel, de acordo com as disposies no Dec. Lei n. 12 de 20 de Janeiro de 2006. Nos planos de penses existem as figuras de associados e participantes, sendo os primeiros pessoas colectivas cujos planos de penses so objecto de financiamento por um fundo de penses e os segundos, os participantes de um plano, as pessoas singulares com direitos consignados nos planos de penses, independentemente de contriburem ou no para o seu financiamento. Existem ainda os contribuintes, beneficirios e aderentes ao fundo de penses. Os contribuintes do plano so pessoas que contribuem para o fundo, ou ento pessoas colectivas que efectuam contribuies em nome ou a favor dos participantes. Os segundos, so pessoas singulares com direito a benefcios estabelecidos no plano de penses quer tenham sido ou no participantes. Por fim os aderentes so pessoas singulares ou colectivas que aderem a um fundo de penses aberto. (Dirio da Repblica, 20 de Janeiro de 2006) Os benefcios que podem existir num Plano de Penses so a penso de reforma por velhice, a penso por reforma antecipada, a pr-reforma, a invalidez, a sobrevivncia (viuvez e/ou orfandade). Com base nas garantias estabelecidas, os planos de penses classificam-se em planos de contribuio definida (CD), de benefcio definidos (BD) e ainda mistos. No plano de penses de contribuio definida, as contribuies definem-se previamente, e o benefcio resulta do montante das contribuies entregues e rendimentos acumulados. Neste caso o benefcio depende do modo que a empresa decide distribuir as suas contribuies pelos colaboradores, assim como a valorizao e rendimento de activos financeiros em que as contribuies forem investidas. Ainda existem diferentes formas de definio de contribuio, os de contribuio salarial definida, onde se constituem contas individuais e se depositam montantes percentuais do salrio constantes, sendo capitalizados num meio de capitalizao. E os de contribuio nominal definida, onde tambm se constituem contas individuais, e se depositam quantias constantes.

17

Caso os benefcios sejam previamente definidos e as contribuies se calculem de modo a garantir o pagamento dos benefcios, o plano designa-se por plano de penses de benefcio definido. Os planos de penses de benefcio definido podem ser muito diversificados, cada empresa pode adequar um esquema de benefcios aos seus objectivos e s suas possibilidades financeiras. De seguida enumeram-se, seguindo por exemplo (Carvalho, 1993) e (ISP 2007), alguns tipos de planos mais comuns:

Final Pay Plan: garante uma penso de reforma igual a uma percentagem do salrio final.

Average Final Pay Plan: garante uma penso que uma percentagem sobre a mdia dos salrios dos ltimos K anos.

Career Average Pay Plan: garante uma penso calculada como percentagem da mdia de toda a carreira enquanto participante do plano.

Valor fixo: a penso um valor fixo por ano de participao no plano, ou um valor fixo global data de reforma.

Relativamente Segurana Social um plano pode ser:

Complementar Integrado: os montantes estabelecidos so um complemento penso da Segurana Social.

Complementar no integrado: se existe um limite superior para a soma da penso atribuda pelo plano com a penso da Segurana Social.

Independente: os valores garantidos no dependem da penso da Segurana Social. Por fim existem os planos de penses mistos, onde se conjugam as caractersticas de benefcio definido e de contribuio definida, ou seja garantem benefcios definidos e benefcios resultantes de contribuies definidas. Tratando-se de planos diferentes relativamente ao tipo de benefcio, estes possuem vantagens e desvantagens. De seguida apresenta-se as vantagens e desvantagens dos diferentes planos. No plano de benefcio definido garantida uma penso a priori, existindo a possibilidade de relacionar o montante da penso com o salrio. Este tipo de plano de fcil integrao na Segurana Social. As responsabilidades com servios passados so fceis de determinar. No ponto de vista de empresa, o conhecimento do reembolso final torna possvel investir em activos adequados, contribuindo para uma boa performance em investimentos. Existe a possibilidade de cobertura dos servios passados, resolvendo situaes de empregados com mais anos de servio. Como pontos menos positivos, existe da parte do Associado uma incerteza relativamente evoluo do custo do esquema, possuindo uma maior exposio ao risco de investimento, da a necessidade de um nvel de financiamento e de avaliaes actuariais peridicas. No ponto de vista do participante as vantagens deste tipo de plano so essencialmente o conhecimento do benefcio final e a menor exposio ao risco de investimento. As principais desvantagens so a ausncia de informao individual sobre o valor investido e no caso da no existncia de direitos adquiridos a perda do benefcio em caso de perda de vnculo com o Associado.

18

No plano de contribuio definida, o custo conhecido e fixo para o Associado, e os custos de gesto so inferiores aos de benefcio definido. O conhecimento dos custos, e a possibilidade de no existncia de um nvel de financiamento a cumprir, torna este tipo de plano mais simples e com um menor custo para gerir. Como pontos menos positivos, h a referir a dificuldade em financiar o servio prestado a participantes que tenham mais anos de servio data de inicio do plano, podendo o benefcio no os satisfazer, devido a no disporem de tempo suficiente para uma capitalizao razovel das suas contribuies. Por outro lado, o risco de investimento recai inteiramente sobre os beneficirios que em conjunto com a incerteza do benefcio final (isto , o no conhecer-se o montante da penso no momento de reforma) constituem as principais desvantagens deste tipo de planos. Possui a vantagem, para o Associado, de no existncia de responsabilidade por financiar, a sua responsabilidade resume-se ao montante de contribuio acordada, se for caso disso. Do ponto de vista do participante, a conta individual possibilita o conhecimento do valor a cada momento. So os beneficirios do plano que beneficiam de uma performance favorvel de investimento. Comparativamente ao plano de benefcios definidos, este plano torna-se mais difcil de integrar na Segurana Social. Consoante o seu financiamento os planos classificam-se em contributivos e no contributivos. Se contributivos, os participantes e o associado contribuem para o plano, caso sejam no contributivos, o plano financiando somente pelo associado. No caso dos planos no contributivos possvel no existirem direitos adquiridos em caso de sada antecipada da empresa. Contudo nos contributivos se a contribuio for obrigatria surge a necessidade da existncia de direitos adquiridos. Estes direitos adquiridos caracterizam-se pelo acesso a benefcios do plano aps a quebra do vnculo laboral com a empresa. Aqui o colaborador tem o direito de transferir o valor da conta para outro esquema compatvel ou ento manter a conta que tem, continuando a capitalizar, no contribuindo mais.

Os Fundos de Penses constituem patrimnios exclusivos realizao de um ou mais planos de penses, ou seja, funcionam como veculos de financiamento do Plano de Penses. Os Fundos de Penses podem classificar-se como fechados ou abertos, podendo estes ltimos permitir adeses individuais ou colectivas. Um fundo de penses fechado quando diz respeito a um s associado ou no caso de existirem vrios associados, se houver um vnculo de natureza empresarial, associativo, profissional ou social entre eles, e a adeso de novos associados dependa de um acordo. Um fundo de penses aberto se no for exigida a existncia de vnculo entre os diferentes aderentes ao fundo, e as novas adeses dependem apenas da aceitao por parte da entidade gestora. Nos Fundos de Penses fechados existe a possibilidade de desenvolver uma estratgia de gesto pensada para o associado em questo, tendo em ateno caractersticas dos participantes e o perfil de risco que os caracterizam. Contudo este tipo de fundo necessita de uma certa dimenso, de modo a permitir a implementao de uma estratgia de gesto

19

eficiente. Os Fundos de Penses abertos asseguram um plano de penses prprio e viabilizam uma diversificao acrescida e uma melhor gesto. O patrimnio de um fundo de penses pode financiar simultaneamente planos de penses e planos de benefcios de sade2. Caso seja gerido de forma conjunta, deve existir uma clara identificao da quota-parte do patrimnio afecto a cada plano. Os planos de benefcios de sade s podem ser financiados atravs de Fundos de Penses fechados e de adeses colectivas a Fundos de Penses abertos. Os Planos de Benefcio de Sade no so objecto de estudo neste trabalho.

3.2. Fundos de Penses e Sistemas de Penses em Portugal No ano 2007 (ISP, 2007) verificou-se uma predominncia dos Planos de BD (95,3%) relativamente ao montante total dos Fundos de Penses. Contudo a taxa dos montantes dos planos de CD tiveram nesse ano um maior crescimento relativamente dos planos de BD, 12% contra 5%. Havendo tambm um aumento do nmero de planos de CD, 43,6% em 2006 para 49,7% em 2007. Havendo uma tendncia para o crescimento de planos de CD. Tomou-se como ponto de partida, para a aplicao prtica, a anlise de um plano de benefcio definido, no s por serem os mais predominantes mas em especial por terem avaliaes actuariais mais complexas do que os planos de contribuio definida. No ano 2007 (ISP, 2007), em Portugal existiam cerca 200 Fundos de Penses fechados e adeses colectivas, deste 94, 4% eram como fechados, existiam cerca de 54 abertos de adeses individuais de fundos abertos, PPR/E, PPA e outras adeses individuais. Veja-se o seguinte grfico que demonstra a repartio do montante total dos Fundos de Penses por tipo de penses:

Figura 9 Repartio do montante total dos Fundos de Penses (Fonte: Fundos de penses 2007)

2 Plano de benefcios de sade o programa estabelecido por uma pessoa colectiva que define as condies em que se constitui o direito ao pagamento ou reembolso de despesas de sade da responsabilidade da pessoa colectiva decorrentes da alterao involuntria do estado de sade do beneficirio do plano e havidas aps a data da reforma por velhice ou invalidez, sobrevivncia, pr-reforma ou reforma antecipada. Art. 2 (Dirio da Repblica, 20 de Janeiro de 2006)

20

Como a maioria dos planos de penses so fechados iremos considerar na aplicao prtica um plano de penses fechado. Relativamente aos pressupostos usados numa avaliao, para clculo de responsabilidades tem-se diferentes tbuas de mortalidade, tal como se apresenta de seguida na figura:

Figura 10 Mortalidade dos participantes (Fonte: Fundos de penses 2007)

Como se verifica a tbua de mortalidade TV73/77 a mais usada, sendo a que se ir utilizar no captulo 5. J as taxas de desconto mais utilizadas encontram-se entre 4,5% e 5,5%, as de crescimento de penses so de 1% a 2 % e de crescimento salarial entre 2,5% e 3% vide (Fundos de penses 2007).

21

4. Desenho de um Plano de Penses Um plano de Penses elabora-se em colaborao com o Associado. Inicia-se por definir o tipo de plano (BD, CD ou Misto), e define-se a natureza do plano, ou seja se ou no dependente da SS. De seguida define-se os participantes, os beneficirios, definindo-se tambm o modo de clculo de salrio pensionvel e os benefcios. A forma de pagamento das penses , geralmente, o ltimo ponto a pensar, optando-se por se fazer o pagamento atravs do fundo ou pela aquisio de uma renda a uma seguradora, transferindo assim o risco de longevidade. No desenho dos planos importante definir a elegibilidade do mesmo, ou seja condio a verificar para ser participante/beneficirio do plano, ou mesmo a portabilidade, os direitos adquiridos, que existem sempre que os participantes mantenham o direito aos benefcios, independentemente da manuteno ou da cessao do vnculo existente com o associado de acordo com as regras definidas. Na construo de um plano de penses deve-se ter presente todos os factores que o influenciam, ou seja, se a empresa PME ou de grandes dimenses, se o grupo etrio relativamente novo ou idoso. E do ponto de vista de empresa deve-se ter em considerao a situao econmica e financeira, bem como a politica salarial existente ou pretendida. Tambm preciso ter em considerao a evoluo dos efectivos, e se existem ou no reformados, ou mesmo acordos prvios. E por fim a inteno de fazer os participantes contriburem ou no para o fundo. De seguida apresenta-se o modo de avaliao dos Planos de penses.

4.1. Avaliao Actuarial de Plano de Penses A avaliao actuarial de um plano de penses corresponde avaliao das responsabilidades do fundo num dado perodo de tempo, de acordo com um determinado mtodo actuarial. Para tal, num plano de BD, determina-se a responsabilidade actuarial, o custo normal e o nvel de financiamento, conceitos a definir mais adiante. J num plano de CD, a avaliao actuarial consiste na estimativa de benefcio futuro, no sendo to complexa quanto no BD. Consiste na projeco da conta individual de cada participante tendo em ateno as contribuies a efectuar e a taxa de rendimento esperada. A avaliao actuarial num plano de BD permite obter um esquema de custos com vista a mdio e longo prazo. Permite determinar as contribuies a efectuar pelo Associado de modo a garantir o equilbrio financeiro do Fundo de Penses relativamente s responsabilidades inerentes a este, e permite determinar tambm a responsabilidade actuarial. Esta ltima consiste no apuramento do valor actual das penses em pagamento da populao reformada e das responsabilidades por servios passados, ou seja, o valor necessrio para fazer face aos benefcios relativos ao tempo de servio j prestado data,

22

para a populao activa. Ainda neste mbito permite determinar o nvel de financiamento do fundo para se decidir se necessrio o Associado proceder a uma contribuio extraordinria para que o fundo possa assegurar o pagamento dos benefcios consignados no Plano de Penses. A avaliao actuarial de toda a importncia no processo de desenho do Fundo de Penses. Permite preparar relatrios para os impulsionadores do plano, com vista a definir o esquema de custos e o nvel de financiamento. Desta forma possvel ajustar a forma de clculo de benefcio e o tipo de benefcios envolvidos antes de constituir o fundo de penses. Para se proceder a uma avaliao actuarial necessria vria informao:

Populao: informao por participante/beneficirio, como o nmero identificativo e nico do indivduo, o grupo em que se encontra activo ou reformado, o sexo do participante/beneficirio, a data de nascimento, a data de admisso na empresa (activos), e na SS (se plano for de natureza complementar mesma), o salrio pensionvel (somente para activos), o tipo de benefcio de que se trata e o valor de penso (somente para os pensionistas) e outra informao relevante para o clculo do benefcio.

Pressupostos actuariais: tabelas de mortalidade, invalidez, de probabilidade de sada do grupo, de reforma, outras.

Pressupostos financeiros: taxas de crescimento salarial futuro, de crescimento de penses, de rendimento do fundo, bem como a taxa tcnica actuarial.

As taxas de crescimento salarial e de penso so importantes para determinar o nvel de crescimento das responsabilidades do plano. Estas taxas influenciam o plano a partir do momento em que os benefcios esto indexados aos salrios. A taxa de rendimento do fundo usualmente fixada num valor que representa o retorno esperado dos activos representativos do plano nos anos futuros. A taxa tcnica actuarial a taxa de juro terica utilizada para descontar os passivos. Existem muitos outros pressupostos actuariais relacionados com o plano tal como a evoluo da penso da Segurana Social, a elegibilidade, a idade normal de reforma, o nmero de pagamentos de penso no ano, a definio de limites de tempo de servio, o modo de pagamento (rendas vitalcia, remio parcial/total do capital), os direitos adquiridos entre outros. No Dec-Lei n 12/2006 de 20 de Janeiro no seu artigo 76 so enunciados os princpios de clculo de responsabilidade: o clculo das responsabilidades a financiar nos planos de penses de benefcio definido ou mistos efectuado com base nos seguintes princpios: a) Mtodos actuariais reconhecidos que assegurem que o montante do fundo seja adequado aos compromissos assumidos no plano de penses e s contribuies previstas;

23

b) Pressupostos de avaliao prudentes, nomeadamente, taxas de juro e tabelas de mortalidade e de invalidez prudentes e adequadas que contenham, caso se justifique, uma margem razovel para variaes desfavorveis; c) Mtodo e pressupostos de clculo consistentes entre exerccios financeiros, salvo alteraes jurdicas, demogrficas ou econmicas subjacentes relevantes. De modo a proceder avaliao em si preciso definir o mtodo de financiamento a seguir no clculo das responsabilidades. O valor actual do benefcio de reforma deve estar financiado quando o participante passa a beneficirio. O mtodo de financiamento indica como que esse financiamento feito no decorrer do perodo activo do participante. O escolher um mtodo em prol de outro no altera o custo final do plano, apenas tem como consequncia a distribuio anual dos custos no decorrer do tempo em que se forma o patrimnio do fundo. De um modo geral os mtodos com contribuies mais altas nos primeiros anos fazem com que o fundo cresa mais rapidamente, tendo rendimentos financeiros que podem fazer diminuir o custo final do plano. Os mtodos de financiamento variam entre um Pay as you Go at um Initial Funding distribudos por 6 classes. No Pay as You Go os benefcios pagos aos pensionistas so financiados pelas contribuies dos actuais trabalhadores, no se processam quaisquer contribuies at ao momento em que preciso pagar o benefcio e no existe um financiamento de responsabilidades. No Initial Funding o associado financia a totalidade das responsabilidades com o participante, assim o fundo encontra-se sempre financiado. O mtodo de financiamento utilizado no presente trabalho um mtodo da classe 3 o Unit Credit. o mtodo de referncia do ISP no ponto 14 da sua Norma Regulamentar de 1991 (ISP, Norma Regulamentar Nr 298/1991, 13 de Novembro de 1991) alterada em 1996 (ISP, Norma Regulamentar Nr. 21/1996, 05 de Dezembro de 1996) e IAS 19 (Norma Internacional de Contabilidade IAS19, Actualizada em 2002) nos pargrafos 64 a 66. Como os salrios so projectados Idade Normal de Reforma, ir-se- utilizar o mtodo Projected Unit Credit. O mtodo implica que o financiamento dos benefcios realizado antecipadamente, atravs do pagamento das responsabilidades que se prevem acrescer em cada ano de servio, uma vez que o benefcio total INR dividido em tantas partes quanto o nmero total de anos de servio. Assim, no incio de cada ano, a contribuio normal corresponde ao pagamento das responsabilidades que se prevem acrescer durante esse ano e, deste modo, o Fundo Normal no mais do que o valor das responsabilidades actuariais dos anos anteriores que, no final de cada ano, deveriam estar j financiadas logo, em termos simples a responsabilidade actuarial no final de cada ano. A vantagem deste mtodo o permitir a separao das responsabilidades por servios passados das responsabilidades por servios futuros. As responsabilidades por servios passados obtm-se a partir do quociente entre o tempo de servio decorrido e o tempo de servio total estimado aplicado ao valor actual dos benefcios totais. A principal desvantagem deste mtodo a de trazer custos anualmente crescentes, e no permitir um ajustamento automtico de custos derivados de ajustamentos no quadro de

24

efectivos, mesmo que haja ajustamentos salariais. Contudo, o principal objectivo do Projected Unit Credit o de manter o nvel do fundo a 100%. Este mtodo permite o financiamento do valor actual do benefcio de um participante ao longo da sua vida activa. (Winklevoss, 1993) prova que realizando o financiamento pelo Projected Unit Credit o valor actual dos benefcios futuros iguala o valor actual das contribuies normais futuras determinadas pela da prxima seco, 4.3 (vide (Winklevoss, 1993) frmulas 6.2a a 6.2c). Na seco que se segue expe-se a notao utilizada e formulrio actuarial necessrio avaliao pelo mtodo Projected Unit Credit. O formulrio apresentado o usualmente utilizado, pode ser consultado por exemplo em tempo contnuo em (Bowers, Gerber, Hickman, Jones, & Nesbitt, 1986), em tempo discreto em (Winklevoss, 1993) e (Afonso, 2008/09).

4.2. Notao Para uma boa compreenso das frmulas utilizadas neste trabalho, considere-se a seguinte notao: x - idade actual do participante k x+n idade x adicionada de n perodos lx nmero de indivduos com idade x da tbua de mortalidade w - idade limite de tbua de mortalidade i - taxa de juro tcnica das penses r - taxa de rendimento do fundo s - taxa de crescimento salarial v = (1+i)-1 factor de actualizao

tr)1( + - aumento de rendimento do fundo verificado t anos aps a data actual ts)1( + - aumento salarial verificado t anos aps a data actual

INR Idade Normal de Reforma (actualmente em 65 anos) Bk valor de benefcio anual do participante k salk salrio mensal actual do participante k nSal nmero de pagamentos de salrios no ano, do participante k, usualmente 14 Pk penso anual em pagamento ao beneficirio k m - nmero de fraces em que renda vitalcia se subdivide, usualmente 14 N nmero de activos Nr nmero de beneficirios TSTk tempo de servio total do participante k TSPk tempo de servio passado do participante k TSFk tempo de servio futuro do participante k 6 Ver por exemplo (Winklevoss, 1993)

25

4.3. Tendncias da mortalidade A tbua biomtrica uma forma de resumo da vida dos indivduos de uma populao, que indica o nmero de pessoas vivas por idade e sexo. Esta probabilidade depende de diversas variveis, como a idade, sexo, entre outros factores. A idade o factor de risco de maior relevncia, tornando-se essencial e ligado construo de qualquer tbua biomtrica. Antes de apresentar as tendncias da mortalidade apresentam-se algumas noes base da mesma.

4.3.1. Noes base de mortalidade Nesta seco definem-se mais alguns conceitos importantes de matemtica actuarial que so abordados no presente trabalho. Para as notaes procurou-se usar as convenes determinadas pelo Internacional Actuarial Associations Permanent Commitee on Notation.

Funo de sobrevivncia A funo de sobrevivncia denota-se por s(x) e representa a probabilidade de um recm-nascido sobreviver at idade x. Considerando-se que a idade de morte de uma pessoa recm-nascida -X- uma varivel aleatria contnua e Fx(x) a funo de distribuio de X:

( ) Pr( ), 0,xF x X x x= a funo de sobrevivncia define-se como:

( ) 1 ( ) Pr( ), 0xs x F x X x x= = > Como Fx(0)=0 ento s(0)=1

Probabilidade de morte

O tempo futuro de vida de (x), X-x, denota-se por T(x).

Pr( ) ( ) ( ) ( ) ( )Pr( ( ) ) Pr( | )Pr( ) ( ) ( )

1 Pr( ( ) ), 0.

n x

n x n x

x X x n F x n F x s x s x nq T x n X x n X xX x s x s x

p q T x n n

< + + += = + > = = =

>

= = > O smbolo nqx representa a probabilidade de (x) morrer no perodo de n anos. npx a probabilidade de (x) sobreviver idade x+n. Tem-se, tambm, que 0px=1 e oqx=0.

Fora de mortalidade

A fora de mortalidade denota-se por ( )x , e mede a intensidade da morte instantnea, expressa a probabilidade condicional de (x) morrer entre x e x+dx.

26

Ou seja:

0

1

( ) ( ) '( )( ) lim1 ( ) ( )

( ) 0

1

x x

xx

xx

x

F x dx F x s xxF x s x

ondex

ll

+

+ = =

=

(1)

Existem ainda as seguintes formas de equivalncia das equaes expostas acima, que se obtm atravs das frmulas:

0

expt

t x x sp ds +

= (2)

Assim, estas probabilidades e fora de mortalidade relacionam-se na seguinte frmula de probabilidade de morte de (x) antes da idade x+t:

0

t

t x s x x sq p ds +=

(3)

Funes de sobrevivncia compostas

A funo de sobrevivncia composta6, representa a probabilidade de um participante activo estar ao servio do Associado (sobreviver) num certo perodo, tendo em ateno o conjunto de taxas de decrementos a que se encontra exposto, como morte, invalidez, sada ou outras. Como no plano avaliado os decrementos existentes sero a morte e a invalidez, apenas se apresenta sobrevivncia composta com dois decrementos. Para mais decrementos consultar por exemplo (Winklevoss, 1993). Considere-se:

)(' mxq = taxa de mortalidade

)(' ixq = taxa de invalidez

Estas taxas so obtidas a partir das respectivas tbuas de um nico decremento (no caso em estudo TV 73/77 para mortalidade e EKV 80 para invalidez). Um pressuposto usual para transformao de uma taxa de decremento em probabilidade de mltiplos decrementos todos os decrementos ocorrerem numa base uniforme durante o ano, ou seja uma distribuio uniforme de morte7. Tendo q(m) e q(i) como taxas unidecremento para a causa morte e invalidez, respectivamente, e q(m) e q(i) como probabilidade de morte e de invalidez em ambiente multidecremento, a transformao da

7 Ver por exemplo (Bowers, Gerber, Hickman, Jones, & Nesbitt, 1986).

27

taxa unidecremento em probabilidade num duplo decremento, sob um pressuposto de distribuio uniforme de morte, dada por:

= )(')(')(

211 ix

mx

mx qqq (4)

= )(')(')(

211 mx

ix

ix qqq (5)

Assim a probabilidade de um participante activo de idade x sobreviver um ano :

)(1 )()()( imTx qqp += (6) e a probabilidade de sobrevivncia do servio activo, tendo em ateno os decrementos de morte e invalidez, para n anos igual ao produto de sucessivos anos compostos por probabilidades de sobrevivncia:

1( ) ( )

0

nT T

n x x tt

p p

+=

=

(7)

Esperana mdia de vida

O valor esperado da varivel aleatria tempo futuro de vida denota-se por 0xe e designa-se por esperana de vida nascena. Por definio tem-se:

0

0 0

( ( ))x t x x t t xe E T x t p dt p dt

+= = =

(8)

A varivel aleatria TK = usa-se para representar o tempo de vida futura em anos completos de (x). Ao valor esperado de K chama-se esperana de vida incompleta de (x).

0

1 2 3

0

1 2 2 3 3 4

1 2 3

1

( ) *Pr( )

2 3 ...*

( ) 2( ) 3( ) ...

...

x x xt

x t x x x

t x x

x x x x x x

x

x x xk x

Kx

e E K k K k

d d d dkl l

l l l l l ll

l l l pl

=

+ + + +

=

+ + + + + +

+ + +

=

= = = =

+ + += = =

+ + += =

+ + += =

(9)

28

possvel relacionar as expresses anteriores, assumindo uma distribuio uniforme de mortes (Bowers, Gerber, Hickman, Jones, & Nesbitt, 1986) e aproximando o integral pela regra dos trapzios:

00 1 1 2

0

0 11

1 1*( ) *( ) ...2 2

1 *2

12

x t x x x x x

x xk

x

e p dt p p p p

p p

e

=

= + + + +

= + =

= +

Assim, a esperana mdia de vida nascena aproximadamente igual esperana de vida incompleta mais meio ano.

4.3.2. Modelo de projeco de mortalidade Ao tentar escolher um modelo para previso da tendncia da mortalidade, importante observar se o modelo escolhido reflecte a mortalidade actual. Para estimar a mortalidade ajustada utilizam-se modelos paramtricos (globais) e no paramtricos (locais), na nomenclatura de (Haberman & Renshaw, 1996). Normalmente os ajustamentos efectuam-se atravs de modelos paramtricos, por ajuste das probabilidades de morte ou das foras de mortalidade a um modelo matemtico. Os modelos matemticos mais usuais representam funes de sobrevivncia com base nas leis de mortalidade, tais como as de Moivre, Gompertz, Makeham e Weibull (Bowers, Gerber, Hickman, Jones, & Nesbitt, 1986). Uma tbua biomtrica de mortalidade define-se como um conjunto de probabilidades de mortes anuais por idade. A construo deve ter em considerao um perodo histrico de estudo superior a um ano, de modo a se ter uma base de dados que se possa estimar. (Haberman & Renshaw, 1996) e (Renshaw & Haberman, 2000) utilizam quatro anos e na elaborao de algumas tbuas biomtricas disponveis no mercado foram utilizados at seis anos de dados. O primeiro modelo a ser reconhecido para fins actuariais foi o modelo de Gompertz (1825), cuja limitao o de considerar somente o factor morte natural no modelo matemtico BCx . O modelo de Gompertz considera que a fora de mortalidade cresce exponencialmente com a idade, aps a maturidade sexual. Para alm disso para elaborao de tabelas biomtricas de mortalidade inclui-se a dimenso temporal de esperana mdia de vida. Neste sentido props o primeiro modelo matemtico para definir a relao entre a fora de mortalidade e a idade, usa-se o seguinte modelo:

xx BC = (10)

29

Esta fora de mortalidade pode interpretar-se como uma frmula de evoluo para a idade, afectada pelo factor multiplicativo para ajustar os efeitos dos anos.

Assim, tomando a fora de mortalidade com os seguintes parmetros: B e C constantes, e 00, que corresponde idade tem-se a seguinte funo de mortalidade: xx BC = e funo de sobrevivncia:

( ) expx t

rx

x

S t BC dr+

=

(11)

Se se tomar { }exp logrC r C= de modo a parametrizar-se a constante C, tem-se a seguinte expresso:

( ) exp ( 1)log

x tx

BS t C CC

=

(12)

Assim com B e C constantes tem-se: ( )

/ log10

x t xC Ct x

B C

p gondeg

+

=

=

(13)

Tendo xx BC = e aplicando-se logaritmo de base 10 a ambos os membros, tem-se a seguinte expresso do tipo linear: log log log log *log *xx B C B x C d m x = + = + = + (14) Donde:

log 10

log 10log 10

yx x

d

m

y

d B Bm C C

= =

= =

= =

(15)

A fora de mortalidade pela lei Gompertz aumenta exponencialmente com a idade, no tendo limite de idade.

4.3.3. Formulrio para avaliao do Plano

MS massa salarial, =

=N

kk nSalsalMS

1.

*INRa - Renda vitalcia Idade Normal de Reforma. A renda pode ser antecipada ou

postecipada, inteira ou fraccionada, constante ou crescente. A notao * indica uma renda vitalcia genrica. Para consulta de formulrio para rendas vitalcias sugere-se por exemplo seco 2.2 de (Neill, 1992). VAB valor actual do benefcio (penso de reforma por velhice) do participante k

30

** ..)1(

1INRxTSFTSFk apr

BVABkkk+

=

(16)

VABT valor actual dos benefcios totais da populao activa para o benefcio reforma por velhice

= +

=N

kINRxTSFTSFk apr

BVABTkkk

1

** ..)1(

1

(17)

VAPP valor actual das penses a pagamento, montante que deve existir data da avaliao para fazer face s responsabilidades assumidas com os actuais beneficirios

=

=Nr

kxk k

aPVAPP1

*.

(18)

CN(%) custo normal em percentagem da massa salarial, de modo a determinar o custo em valor absoluto multiplica-se CN(%) pela MS. Representa o custo anual associado a cada ano de servio prestado pelos participantes activos.

100

1...)1()1(..

CN(%)

N

1k

**

++

==

MSTST

aprsSb

kINRxTSFTSF

TSF

kk kkk

k

(19)

FN fundo normal que corresponde responsabilidade actuarial, numa base de proporcionalidade entre o tempo de servio passado de cada um e o tempo de servio total.

= +

+=

N

1k

** ...)1()1(..FN

k

kINRxTSFTSF

TSF

kk TSTTSPap

rsSb

kkk

k

(20)

O valor actual do benefcio total, se existirem diversos benefcios (velhice, invalidez, sobrevivncia), corresponde soma dos vrios VABT como indicado na prxima seco.

4.3.4. Tipos de cobertura Num plano existem diferentes tipos de cobertura enquanto participante ou beneficirio. Enquanto participante podem existir as seguintes coberturas para alm da velhice: a invalidez e a de sobrevivncia, podendo esta ser imediata e diferida, direitos adquiridos, entre outras. Por exemplo, na cobertura de invalidez pago um benefcio se o participante se invalidar, sendo aquele normalmente calculado tendo por base o salrio e o TSP data de invalidez. No caso de existncia de uma cobertura de sobrevivncia imediata, existe um benefcio que pago ao cnjuge sobrevivo no caso de o participante falecer enquanto activo e na sobrevivncia diferida o benefcio pago ao cnjuge sobrevivo, se o participante falecer aps se ter reformado, i.e. enquanto beneficirio.

31

Os beneficirios podem ser de reforma por velhice, invalidez, sobrevivncia (viuvez e/ou orfandade).

Assim o CN total a soma de cada uma das coberturas, bem como o VABT corresponde ao VABT de todas as coberturas como se indica na frmula 21. Como se pode consultar por exemplo em (Bowers, Gerber, Hickman, Jones, & Nesbitt, 1986) a teoria para financiamento de outras contingncias para alm da velhice uma generalizao desta ltima.

...

.....

..

++++=

++++=diferidasobr

ximediatasobr

xinvalidez

xvelhice

xx

diferidasobrx

imediatasobrx

invalidezx

velhicexx

VABTVABTVABTVABTVABT

CNCNCNCNCN(21)

No captulo que se segue apresentam-se a metodologia e a aplicao prtica no presente estudo.

32

5. Metodologia e Aplicao Prtica Neste captulo apresenta-se o plano de penses a avaliar, bem como os seus benefcios. Iniciar-se- por definir o plano de penses aplicado na presente avaliao na seco 0 que se apresenta de seguida. Na seco seguinte apresenta-se o mtodo usado na avaliao, de seguida as estatsticas da populao existente no plano, por fim apresentam--se as tabelas de decrementos aplicadas na avaliao.

5.1. O Plano de Penses Considere-se que se trata de um plano de penses de benefcio definido. Cuja avaliao uma full valuation. Assim, necessrio efectuar previamente avaliao das responsabilidades uma anlise estatstica da populao para se compreender as caractersticas da populao. A elegibilidade do plano aplica-se a todos os empregados permanentes, o salrio pensionvel corresponde ao salrio idade normal de reforma, e o servio pensionvel o nmero de anos de servio desde a data de admisso. Para o plano em anlise apenas se considera o benefcio de reforma, onde a Idade Normal de Reforma (INR) corresponde aos 65 anos de idade, e a frmula de benefcio corresponde a 10% do seu salrio INR. Como pressupostos demogrficos tem-se a tabela de mortalidade TV73/77, que continua a ser a mais utilizada, para clculo da mortalidade dos participantes e a de invalidez EVK80, que se apresentam no anexo 1. De notar que a metodologia apresentada para dois decrementos facilmente adaptada para mais decrementos. Os pressupostos financeiros tomados na presente avaliao actuarial para determinao de responsabilidades so as seguintes:

Taxa de desconto 5%, encontrando-se dentro do intervalo [5%; 5,5%] para os activos e para os beneficirios [4; 5]%;

Taxa de crescimento salarial 3%, estando no intervalo [2,5%;3%] , o intervalo mais usado nas avaliaes;

Inflao 2% Crescimento de penses 3%

Sendo estas taxas anuais e constantes ao longo do perodo de avaliao.

5.2. Mtodo Actuarial O mtodo de avaliao utilizado na avaliao do grupo de participantes o Projected Unit Credit como foi referido no final da seco 4.1. Aps a descrio do mtodo, benefcios e pressupostos a aplicar procede-se anlise de populao considerada na aplicao prtica.

33

5.3. Estatstica da populao O conjunto de dados diz respeito a uma base de dados de uma populao fictcia. A populao analisada possui as seguintes estatsticas:

ACTIVOS 31-12-2007 Nmero 215 Mdia salrio mensal 1.773 u.m. Idade mdia 37,72 Tempo de servio passado mdio 7,44 Tempo de servio futuro mdio 27,80

Tabela 3 Estatstica de participantes activos.

Tabela 4 Estatstica de participantes inactivos.

Figura 11 Populao em anlise. Tal como o grfico ilustra, grande parte, cerca de 2/3, da populao activa.

PENSIONISTAS 31-12-2007 Nmero 121 Mdia salrio mensal 399 u.m. Idade mdia 68,62 Tempo de servio passado mdio 40,00

34

Figura 12 Percentagem de activos por idade. A maior percentagem de activos da populao analisada encontra-se no intervalo de idades dos 31 aos 35 anos, cerca de 43%.

Figura 13 Percentagem de inactivos por idade. A maioria dos pensionistas, 88%, encontra-se entre os 65 e 70 anos.

35

Figura 14 Mdia de servio passado para participantes activos. Os participantes activos com mais tempo de servio, 25 anos, encontram-se no intervalo [56, 60] anos, e os que possuem menos anos de servio, foi quem entrou para o plano mais recentemente, participantes at 30 anos.

Figura 15 Mdia de futuro servio para participantes activos.

36

Como visvel, medida que a idade do participante aumenta, o tempo de servio futuro diminui, como de esperar.

Figura 16 Mdia salarial dos participantes activos. A mdia salarial na INR dos activos na idade actual regista-se nas 34.000 u.m. anualmente e no intervalo de idades 36 e 40 anos. Figura 17 Penso mdia de participantes pensionistas.

37

0,000000

0,010000

0,020000

0,030000

0,040000

0,050000

0,060000

0,070000

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62

MorteInvalidez

11 xx

ll+

A penso mdia dos pensionistas regista-se nos 5.800 u.m. anualmente data de avaliao. De seguida apresentamos a metodologia utilizada para apurar o impacto da utilizao de uma tbua de mortalidade dinmica.

5.4. Tabelas de Decrementos Determine-se agora a tabela lquida considerando os decrementos de morte e de invalidez. Tendo-se lx como modo de representar o nmero esperado de sobreviventes para a idade x de l0 nascimentos (100.000 por instncia) para a mortalidade (TV73/77) e para a invalidez (EVK80). Figura 18 Desenvolvimento de taxas unidecremento de morte e de invalidez. De seguida calcula-se as taxas unidecremento atravs da frmula 1 , , como se visualiza na .

A partir dos 50 anos de idade a invalidez comea a ter um maior impacto. De notar que a partir dos 65 anos (INR) j no se considera o decremento invalidez, pois os participantes j so inactivos e por isso s se aplica o decremento mortalidade.

38

TV73_77 EVK80 Morte InvalidezIdade l(x) l(x) q'(x) i'(x)

34 97.120,00 99.848,11 0,000978 0,000180 35 97.025,00 99.830,13 0,001062 0,000200 36 96.922,00 99.810,17 0,001135 0,000220 63 86.862,00 78.617,12 0,010189 0,054660 64 85.977,00 74.319,91 0,011189 0,061920 65 85.015,00 69.718,02 0,012339 0,000000

Tabela 5 Tabela de mortalidade e invalidez e respectivas taxas unidecremento.

Veja-se o seguinte exemplo para o unidecremento morte:

' 35

34

97025(34) 1 .1 (1 ).1 0,0097897120morte

lq

l

= = =

E para o unidecremento invalidez: ' 35

34

80 99830,11(34) 1 .1. (34 65;1;0) (1 ).1.1 0,00018080 99848,11invalidez

ekvi ifekv

= < = =

Posteriormente calcula-se a probabilidade multidecremento, tendo por base a frmula 4:

Morte Invalidez Idade q(x) q(x)

34 0,000978 0,000180 35 0,001061 0,000200 36 0,001135 0,000220 63 0,009910 0,054382 64 0,010843 0,061574 65 0,012339 0,000000

Tabela 6 Tabela de probabilidade morte e invalidez em ambiente de multidecremento. Veja-se o seguinte exemplo para a morte em ambiente multidecremento

' '(34) (34).(1 0,5. (34)) 0,000978.(1 0,5.0,000180) 0,000978morte morte invalidezq q q= = =

(1) '(1) '( )

2

1(1 * )2

nnq q q=

39

0,000000

0,010000

0,020000

0,030000

0,040000

0,050000

0,060000

0,070000

20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62

Morte

Invalidez

E para a invalidez em ambiente multidecremento:

' '(34) (34).(1 0,5. (34)) 0,000180.(1 0,5.0,000978) 0,000180invalidez invalidez morteq q q= = = Figura 19 Desenvolvimento da probabilidade morte e invalidez em ambiente de multidecremento. Tal como na , verifica-se que a partir dos 50 anos de idade a invalidez continua a ter um maior impacto. Tendo-se por fim a tabela lquida, onde os qx se calculam atravs da frmula 4 :

Idade qT(x) pT(x) l(x) liquido

28 0,000776 0,999224 97.496,97 29 0,000818 0,999182 97.421,28 62 0,056232 0,943768 72.357,23 63 0,064292 0,935708 68.288,40 64 0,072416 0,927584 63.898,03 65 0,012339 0,987661 59.270,77 Tabela 7 Tabela Lquida.

40

0

10.000

20.000

30.000

40.000

50.000

60.000

70.000

80.000

90.000

100.000

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102

108

114

Idade

Popu

la

o TV73_77InvalidezLquida

Veja-se o seguinte exemplo:

34 33

(34) (34) (34) 0,000978 0,000180 0,001158

(34) 1 (34) 0,998842

. (33) 97075,88* 0,998935 96972,48

Tmorte invalidez

T

liqudo liqudo

q q q

p q

l l p

= + = + =

= =

= = =

Figura 20 Comparao entre lx lquido com o decremento morte e invalidez, lx de mortalidade e invalidez. Como se observa, a invalidez comea a ter maior impacto a partir dos 48-50 anos de idade, onde o nmero de indivduos com esta idade comea a diminuir at aos 65 anos, e a partir da a linha comea a tomar a forma de lx para o decremento mortalidade.

5.5. Estimativa de parmetros de Lei de Gompertz Optou-se pelo modelo de Gompertz por ser de fcil aplicao para mensurar o impacto do aumento da esperana de vida nas responsabilidades do fundo. A metodologia apresentada pode ser adaptada a outros modelos de mortalidade.

5.5.1. Estimativa de parmetros de Lei de Gompertz para Tabela de Mortalidade TV73/77

Para se utilizar o modelo contnuo de clculo de probabilidades de sobrevivncia necessrio determinar os parmetros B e C da Lei de Gompertz.

41

O primeiro passo o clculo da fora de mortalidade x

xx l

l 11 += ( Frmula 1) e a sua

transformao numa regresso linear log xy = (Frmula 15) Parametrizando numa regresso linear do modo y=mx+d obtm-se m igual a 0,03381 e d igual a -3,9546, com coeficiente de correlao entre o lx exacto e o lx estimado de 0,99427. Pela frmula xx BC = e pela tem-se:

10 0.00011110 1.0809662

d

m

B BC C= =

= =

Pode-se comparar o modelo discreto (lx exacto) com o modelo contnuo (lx estimado) na figura seguinte:

Figura 21 Grfico de relao entre lx exacto e lx estimado do decremento mortalidade. Como se pode observar o lx estimado menor que o lx exacto, no intervalo entre 43 e os 90 anos, devido uniformizao da fora de mortalidade.

42

Figura 22 Grfico de relao entre fora de mortalidade exacta e estimada. Como bem visvel na figura acima apresentada a fora de mortalidade, do modelo discreto, com o decremento morte mais irregular do que com o modelo estimado, modelo contnuo, devido parametrizao efectuada ao modelo discreto.

5.5.2. Estimativa de parmetros de Lei de Gompertz para Tabela lquida de Mortalidade e Invalidez

Para os participantes activos aplica-se o decremento morte e invalidez, sendo por isso necessrio ajustar os parmetros de lei de Gompertz para a tabela lquida.

semelhana do clculo de parmetros de mortalidade, a primeira etapa o clculo da

fora de mortalidade 11 xx

TT

Tx

ll

+= (Frmula 1) e transformao numa regresso linear

Txy log= (Frmula 15). Observe-se na tabela 8 um extracto dos resultados obtidos.

Idade x q

Tx lx~ T liquida Tx log(

Tx )

34 0,0011 97076 0,0010651 -2,97259719735 0,0012 96972 0,001158 -2,93629323 36 0,0013 96860 0,0012614 -2,89915757737 0,0014 96738 0,0013547 -2,86816215438 0,0015 96607 0,0014895 -2,826946332

43

39 0,0016 96463 0,0016041 -2,79475785840 0,0018 96308 0,0017502 -2,756921939 Tabela 8 Tabela de probabilidade da tbua lquida e Tx .

Veja-se o seguinte exemplo para clculo de Tx de e da funo logaritmo da mesma:

3534

34

34

969721 0,001065197076

log( ) log(0,0010651) 2,72597197

liqudoT

liqudo

T

ll

= = =

= =

Parametrizando numa regresso linear do modo y=mx+d obtm-se m igual a 0,03385 e d igual a -3,8567 na origem de y. O coeficiente de correlao entre o lx exacto e o lx estimado de 0,99615. Pela frmula xTx CB

= (pela Frmula 10 ) e (Frmula 15) : 10 0.000139110 1.0810637

d

m

B BC C

= =

= =

Tendo-se por isso um nmero de indivduos com idade x estimado como se apresenta de seguida em comparao com o exacto da tabela lquida:

Figura 23 Grfico de relao entre lx exacto e lx estimado considerando a tbua lquida.

44

Como se observa no grfico apresentado, a aproximao efectuada subavalia o efeito da invalidez entre os 55 e 65 anos. Efeito este que , usualmente, muito pronunciado nestas idades, onde as tabelas de invalidez apresentam probabilidades superiores mortalidade. Como tal o modelo que se prope usar neste trabalho, por ser um modelo contnuo permite prosseguir os objectivos propostos. No entanto, no ser o mais adequado para usar em avaliaes reais, pois ir subestimar os custos de invalidez.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99 106

113

Fora mortalidade Ux exacta

Fora de Mortalidade Estimado

Figura 24 Relao entre a fora de mortalidade, Tx ,exacta e estimada. Como bem visvel na figura acima apresentada Tx com o decremento de invalidez e morte mais irregular que o modelo aproximado, cujo objectivo o ser linear, observando-se isso mesmo, existe uma linha mais uniforme. Tal como na , Tx com decremento de invalidez e de morte mais irregular que o modelo aproximado. Tendo como base Tx consegue calcular-se a probabilidade de sobrevivncia de um participante de idade x:

0

0 0

0

.

( ) exp

exp . exp .

( 1)exp . exp . .log( ) log( )

x

T x

tT

t x x x s

t tx s x s

ts tx x

B C

p S x ds

B C ds B C C ds

C CB C B CC C

+

+

=

= = =

= = = = =

(22)

45

5.5.3. Esperana Mdia de Vida As tabelas de mortalidade e de invalidez tm vindo a evoluir no decorrer do tempo, pois a esperana mdia de vida tem evoludo. No entanto, ainda so estticas quando se pretende avaliar probabilidades de sobrevivncia a longo termo, como o caso dos Planos de Penses. Neste sentido, ir-se- projectar a esperana de vida para um dado perodo, tendo em considerao o decremento de morte e de invalidez, bem como o uso do modelo contnuo. A esperana de vida a dada pelo somatrio de probabilidade de vida obtida atravs de

x xBC = desde a idade 0 at idade 106, no caso em estudo. Veja-se o seguinte exemplo prtico do clculo de esperana mdia de vida atravs do modelo contnuo, com o decremento mortalidade, para um participante de idade 35, e pela frmula 2 e frmula 16 :

35 35 351 1 10

exp exp ( 1) 42,45013log

tx t

k sk k k

Be p ds C CC

+= = =

= = = =

E de seguida o clculo da esperana mdia de vida, atravs do modelo discreto, com o uso da tabela de mortalidade TV73/77:

35 351

39,67862kk

e p

=

= = A esperana mdia de vida calculada atravs da fora de mortalidade com os parmetros B e C estimados, ou seja como modelo contnuo, mais elevada do que com o modelo discreto. Ou seja com o modelo contnuo obtm-se uma esperana de vida mais elevada do que com o modelo discreto, devendo-se tal facto parametrizao efectuada para B e C.

Figura 25 Comparao de esperana de vida calculada atravs de fora de mortalidade, modelo contnuo, e da tabela de mortalidade, modelo discreto.

46

O modelo aproximado agrava um pouco a fora de mortalidade relativamente real usando somente o decremento de morte. Fazendo o mesmo mas agora com a tabela lquida, ou seja com o decremento de mortalidade e de invalidez, tem-se para a mesma idade os seguintes valores (frmula 2 e frmula 15) :

35 35 351 1 10

( 1)exp exp . . 39,7194log( )

t tT T T x

k sk k k

Ce p ds B CC

+

= = =

= = = =

De seguida calcula-se a esperana de vida utilizando a tabela lquida multidecremento, com os decrementos morte e invalidez.

3535 35

1 1 35 1

37,5688kkk k k

le p

l

+

= = +

= = =

Graficamente tem-se:

Figura 26 Comparao de esperana de vida calculada atravs de Tx e da tabela lquida com os decrementos de mortalidade e de invalidez. Como de esperar utilizando Tx a linha mais alisada do que utilizando a tabela lquida com o modelo discreto.

47

5.6. O Modelo Proposto Agora introduz-se no modelo xTx CB

= o aumento da esperana mdia de vida. Esta alterao ao modelo importante no sentido de se mensurar probabilidades de sobrevivncia a longo termo que contemplem um aumento da esperana mdia de vida, tornando assim o modelo mais adaptado realidade. Deste modo, a esperana mdia de vida, funo no s da idade, mas tambm do instante no tempo onde considerada. Assim, um individuo (x), ter uma esperana mdia de vida xe no instante 0 e uma esperana mdia de vida no instante t

xxx eete = )0()( superior anterior. Conseguindo-se introduzir no modelo o impacto da evoluo da esperana mdia de vida. Dado o aumento de esperana de vida e a diminuio de mortalidade procurou-se uma funo multiplicativa que representasse isso mesmo.

)(. tgxxTx DCB

= Tomando-se a fora de mortalidade apresentada acima, torna-se necessrio encontrar uma funo de modo a controlar o crescimento de esperana de vida at ao fim da vida do participante/beneficirio, seja )(tg essa funo:

] [ 1)(0)0(:)(1,0 =+= ggtg Com

=

tse ; tse ;)/(

xx

txxTx DCB

DCB

E a seguinte funo de sobrevivncia:

( ) ( ) ( ).0

exp( )n

t x k x kn xp B C D dk

+ +=

10 Estes valores esto de acordo com as projeces que constam no Relatrio tcnico sobre sustentabilidade da Segurana Social (Segurana Social, Maio 2006).

48

Calculando a primitiva de ( ) ( ).x k x kB C D + + obtm-se,

( )

=

1)log(

exp)( nnxx

txn DCDC

DCBp

Considere-se para o estudo em causa o passar de um perodo de 20 anos, e um de 30 (que funciona como um tempo mximo de aumento da esperana de vida), obtendo-se um D de 0,997. Obtendo-se as seguintes variaes apresentadas graficamente na esperana de vida:

Figura 27 Comparao de esperana de vida. A linha lils (tbua lquida, modelo discreto), mostra o impacto da invalidez at aos 65 anos. A linha azul (tbua lquida, modelo contnuo), est abaixo da linha verde (tbua liquida, modelo contnuo, esperana de vida aumentada) como seria de esperar.

49

6. Resultados e aplicao prtica Tendo por base a anlise efectuada ir-se- aplicar as tbuas lquidas populao em estudo de modo a calcular a responsabilidade actuarial, o VABT (valor actual dos benefcios) e o CN (custo normal), sendo este ltimo somente aplicado aos participantes activos. Tendo por base o ficheiro de populao fictcia que deu origem s estatsticas apresentadas na seco 0 iniciou-se o processo de avaliao. Calculou-se a idade actuarial do participante na data de avaliao; o seu estado, se activo ou inactivo (mais de 65 anos de idade), consoante as regras do Plano de Penses; o tempo de servio passado (TSP), futuro (TSF) e total (TST) atravs da idade de admisso e a data de avaliao; projectou-se o salrio at INR, tendo por base o tempo de servio futuro (TSF) e o seu crescimento salarial. No caso de o participante ser inactivo, o valor do salrio INR corresponde penso actual. Para os activos a penso INR corresponde a 10% do salrio INR. O associar da probabilidade de vida at INR, tendo por base tbua lquida obtida conta da tbua de mortalidade e de invalidez, respectivamente, TV73-77 e EVK-80 foi o passo seguinte. O clculo da probabilidade de sobrevivncia foi realizado recorrendo-se primariamente ao modelo discreto usual, de seguida recorrendo-se ao modelo contnuo e por fim recorrendo-se ao modelo contnuo mas j com o aumento de esperana de vida. Tendo estes resultados tornou-se possvel calcular as responsabilidades dos participantes activos e inactivos. Para os participantes activos calculou-se o VABT e o CN do mesmo tendo por base as frmulas 20 e 21 apresentadas no Captulo 4. Para os participantes inactivos o custo normal nulo para este grupo, devido a j no se encontrarem no activo. E o valor actual dos benefcios corresponde ao valor actual das penses em pagamento, ou seja VAPP. O impacto do modelo desenvolvido ocorre na probabilidade de permanncia do indivduo na empresa *xTSF p (Frmula 23) e na renda vitalcia

*INRa (Frmula 24), nos activos e na

renda vitalcia nos beneficirios.

(0) (1) (2) ( ) ( )( )* ( ) ( ) ( )1 2 3

(0) (1) (2) ( )0 01 2

. . ... exp( .( 1))log( )

x k k x kTSF TSFt k kx x x

TSF x TSF x x k kk kx x x

l l l B C Dp p p C Dl l l C D

+ ++ + +

+ = =+ +

= = = = (23)

* (14)( ) ( ) 2 ( ) ( 1) 3 ( ) ( 1) ( 2)1 1 2

( ) ( )( )1 ( )

( )1 0

...

15 exp( )( 1))24 log( )

t TSF TSF TSF TSF TSF TSFINR INR INR INR INR INR INR INR

INR j j TSF INR jkw INR k TSF j k j TSF

INR j j TSFk j

a a vp v p p v p p p

B C Dv p v C DC D

+ + ++ + +

+ + += + +

+ += =

= = + + + =

= + = + 11 01524

kw INR

k j

= =

(24)

50

Assim no modelo contnuo com esperana mdia de vida tem-se:

* *1

1* *( ) k

Nk TSF x INRk

k

VABT B P ar TSF=

= (17)

=

=Nr

kxk k

aPVAPP1

*. (18)

Neste sentido obteve-se a seguinte variao dos VABT, CN e VAPP com o modelo discreto, o modelo contnuo e modelo contnuo com aumento da esperana de vida:

VABT Modelo Discreto Modelo contnuo Modelo Contnuo com esperana de vida 3.811.693,73 5.054.295,60 5.712.826,47

Tabela 9 Comparao do Valor Actual dos Benefcios Totais dos Activos com os diferentes modelos.

CN Modelo Discreto Modelo contnuo Modelo Contnuo com esperana de vida 110.020,93 145.737,63 164.436,70

Tabela 10 Comparao do Custo Normal com os diferentes modelos.

VAPP Modelo Discreto Modelo contnuo Modelo Contnuo com esperana de vida 7.102.067,42 7.485.162,12 7.857.922,25

Tabela 11 Comparao do Valor Actual das Penses em Pagamento com os diferentes modelos. No entanto, o objectivo do trabalho no mensurar este crescimento mas sim o impacto do aumento da esperana de vida, o que possvel comparando o modelo contnuo com o modelo contnuo com esperana de vida. Esse impacto no caso em estudo de 13%. A variao no CN anloga. No VAPP existe uma variao de 5% entre o modelo discreto e contnuo, e 11% relativamente ao modelo contnuo com esperana de vida. A variao entre o contnuo e o contnuo com esperana de vida de 5%. A variao entre o modelo discreto e o modelo contnuo explicada pela ajustamento realizado como se pode verificar pela e pela . A variao positiva entre o modelo contnuo e o modelo contnuo com esperana de vida expectvel, pois aumentando a esperana de vida a probabilidade de um participante chegar INR aumenta e aumenta tambm o nmero de penses que ir receber enquanto beneficirio. A mais valia deste modelo mensurar em cada Plano o custo desse aumento na esperana mdia de vida.

51

A anlise mais detalhada dos modelos aplicados nas responsabilidades dos participantes activos efectuar-se- sob o VABT e dos pensionistas sob as anuidades. Fazendo uma anlise dos resultados mais aprofundada para o grupo dos activos, que se realizar sob a base do VABT, observa-se na figura apresentada de seguida a comparao entre o modelo discreto, com decremento de morte e invalidez com o modelo contnuo.

VABT - Modelo discreto e contnuo

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

Varia