DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADAINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

22 DE MAIO DE 2017

TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

MOMENTO 12

Humberto José Bortolossi

http://www.professores.uff.br/hjbortol/

Universidade Federal Fluminense1

RESUMO ANALÍTICO:“HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DO

PROFESSOR DE MATEMÁTICA” por Antonio Miguel e Arlete de Jesus Brito

OBSERVAÇÕES E DESDOBRAMENTOS

MARCAÇÕES

• Apresenta aspectos históricos do uso da história da matemáticano ensino da matemática a partir do século XX (incluindo oHPM).

• No Brasil: I Encontro Paulista de Educação Matemática em1989 (Aspectos Históricos no Processo de Ensino-aprendizagem da Matemática); Seminário Nacional de Historiada Matemática realizado no Recife em abril de 1995; IV e VEncontros Nacionais de Educação Matemáticos (IV e VENEM), realizados, respectivamente, em Blumenau em janeirode 1992 e em Aracaju em julho de 1995.

• Defesa de que História da Matemática não seja uma disciplinaisolada mas, sim, distribuída de forma orgânica ao longo dasvárias disciplinas específicas.

MARCAÇÕES

• Defendem uma participação orgânica na história na formaçãodo professor concebendo a história como fonte de umaproblematização que deveria contemplar as várias dimensões damatemática (lógica, epistemológica, ética, estética, etc.) e daeducação matemática (psicológica, política, axiológica,didático-metodológica, etc.), o que remete, inevitavelmente, osformadores de professores a destacar e discutir com seus alunosas relações de influência recíproca entre matemática e cultura,matemática e sociedade, matemática e tecnologia, matemática earte, matemática e filosofia da matemática, etc., fazendo comque o discurso matemático abra-se ao diálogo com os demaisdiscursos que se constituem com ele, a partir dele, contra ele, afavor dele, etc.

MARCAÇÕES

• História da Matemática na formação do professor deMatemática: benefícios a longo prazo, contrapondo os aspectoshistóricos e culturais em um currículo quase sempre com ênfaseunilateral e exclusiva nos aspectos lógicos e dedutivos.

• Aleksandrov et al. (1985, p.17-89): a matemática, ao longo deseu desenvolvimento histórico, teria passado por quatro etapasqualitativamente distintas, a saber, a etapa da matemáticaprático-empírica, a etapa da matemática das magnitudesconstantes (matemática elementar: aritmética, geometria,álgebra e trigonometria), a etapa da matemática das magnitudesvariáveis (as geometrias analítica e projetiva, o cálculodiferencial e integral, a teoria das séries, a teoria das equaçõesdiferencias) e a etapa da matemática abstrata ou moderna.

MARCAÇÕES

• A função da abstração e da generalização: a história poderiaauxiliar os futuros professores a perceber que o movimento deabstração e generalização crescentes por que passam muitosconceitos e teorias em matemática não se deve, exclusivamente,a razões de ordem lógica, mas à interferência de outrosdiscursos na constituição e no desenvolvimento do discursomatemático. Exemplo: trigonometria do triângulo retângulopara funções trigonométricas (agrimensura, astronomia grega,cordas vibrantes, impulsos elétricos).

MARCAÇÕES

• A noção de rigor e o papel da axiomatização: imprimindohistoricidade às disciplinas que fazem parte da formação dessesprofessores, mostrando que os padrões de rigor alteram-se nodecorrer do tempo e fornecendo exemplos interessantes para acompreensão do significado da axiomatização, poderemosajudar os futuros docentes a ter uma visão mais ampla do quesejam rigor e sistemas axiomáticos, facilitando-lhes a percepçãode caminhos a serem seguidos na superação da referidadificuldade presente no processo de ensino-aprendizagem.

MARCAÇÕES

• Modos de compreender a dimensão estética da matemática:acreditamos, portanto, que a história da matemática pode fazercom que o futuro professor perceba a existência de outrospadrões de beleza em matemática, além do usual (provas "maissimples", por exemplo), tornando, desse modo, maissignificativo a interação de seus alunos com a matemática. Ahistória pode também propiciar ao professor uma reflexão sobrea beleza existente no ato da criação matemática levando-o aentender a dimensão estética da matemática em um outrosentido mais fundamental, fazendo com que a educaçãomatemática venha a contribuir para a obtenção daquilo que anosso ver, deveria constituir o propósito mais revolucionário daeducação contemporânea: o cultivo da imaginação.

MARCAÇÕES

• A valorização da dimensão ético-política da atividadematemática: a participação orgânica da história na formação doprofessor pode ajudá-lo a verificar como e por que a matemáticaconstitui-se num espaço expressão do poder.

• Por exemplo, são bem conhecidas as histórias sobre o pitagóricoHipasus que teria sido morto “afogado pelos deuses” aodivulgar a descoberta da existência de grandezasincomensuráveis; ou sobre toda a celeuma em torno do cálculodiferencial integral entre Newton e Leibniz; ou mesmo sobre ofato de Gauss não ter publicado seus trabalhos de geometriasnão-euclidianas com medo da “gritaria dos beócios”.

MARCAÇÕES

• Hoje, podemos pensar na dimensão ético-política da matemáticaem dois sentidos. Um deles é o das aplicações – estatísticaseleitorais, aquelas utilizadas pelo marketing; fórmulas deaplicação à economia etc. O outro sentido que podemos apontaré o da utilização da matemática como instrumento de exclusãode muitos alunos do processo de aprendizagem. O discursomatemático continua sendo um segredo acessível somente paraalguns “iluminados”.

RESUMO ANALÍTICO

6. DESCRIÇÃO DO TRABALHO:A descrição deve ser impessoal. O relator deve fazer uma sínteseobjetiva e descritiva, evitando emitir comentários pessoais. Dezlinhas no máximo.

7. OBJETIVOS DO TRABALHO:Cinco linhas no máximo, preferivelmente começando com umverbo.

10. CONCLUSÕES DO AUTOR:Dez linhas no máximo. Deve-se relatar de forma objetiva eimparcial as conclusões do autor.

RESUMO ANALÍTICO

11. COMENTÁRIOS DO RELATOR:Essencialmente, uma opinião crítica sobre o trabalho. Agora é ahora de expressar a sua opinião. Inclua pontos de concordância ediscordância! Indique também se o texto que você analisou trouxealgum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prática ouatitude como professor em sala de aula. Mínimo de dez linhas.

OUTRAS REFERÊNCIAS

• Balestri, Cyrino e Savioli (2008): A Participação da História da Matemática na Formação deProfessores de Matemática na Óptica de Professores-Pesquisadores.

• A história da matemática satisfaz a curiosidade do aluno e o motiva.• A história da matemática ajuda veicular a Matemática como uma criação humana,

uma manifestação cultural.• A história da matemática ajuda a mudar concepções a respeito da natureza da

matemática.• A história da matemática ajuda a compreender como o conhecimento escolar está

organizado.• A história da matemática fornece respostas a alguns “por quês”.• A história da matemática oferece contexto para a compreensão de tendências da

Educação Matemática.• A história da matemática oferece um campo comum aos interesses de especialistas

de várias áreas do conhecimento, favorecendo a realização de trabalhosmultidisciplinares.

• A história da matemática auxilia na compreensão da noção de rigor matemático eda dimensão estética da Matemática.

• A história da matemática contribui para valorização da dimensão ético-política damatemática.

AQUECIMENTO: ANACRONISMO EM HISTÓRIA

POR FALAR EM HISTÓRIA: ANACRONISMO

“A Última Ceia” de Leonardo da Vinci

POR FALAR EM HISTÓRIA: ANACRONISMO

“Os Flintstones” de William Hanna e Joseph Barbera

POR FALAR EM HISTÓRIA: ANACRONISMO

O TEOREMA DE PITÁGORAS

a2 = b2 + c2

Nos triângulos retângulos, o quadradosobre o lado que se estende sobo ângulo reto é igual aos quadradossobre os lados que contêm o ânguloreto.

POR FALAR EM HISTÓRIA: ANACRONISMO

Wagner (2009): economia crítica de anacronismos.Se desaprendermos tudo que é suspeito de ser anacrônico,devemos também desaprender nossa linguagemcontemporânea, arriscando ficarmos mudos.

Grattan-Guinness (2005): História × Herança

Hon & Goldstein (2008): o problema como anacronismo é que ele torna o historiadorem um participante que faz uso de conceitose teorias que não estavam disponíveis aopraticante da época.

LIVROS SOBRE SIMETRIA E SUA HISTÓRIA

HON & GOLDSTEIN (2008)

• Simetria, como é atualmente aplicada emvários domínios científicos, éinteiramente diferente do que se entendiapelo termo, simetria, em tempos antigose medievais até o início do períodomoderno.

• Simetria (grego: summetria, latim:symmetria) teve um único significadobásico na Grécia antiga:proporcionalidade.(1) Euclides: comensurabilidade.(2) Vitrúvio: proporções equilibradas.

SIMETRIA EM EUCLIDES:COMENSURABILIDADE

Primeira definição do Livro X de Os Elementos de Euclides

SIMETRIA EM EUCLIDES:COMENSURABILIDADE

Primeira definição do Livro X de Os Elementos de Euclides

Σύμμετρα (summetra) μεγέθη λέγεται τὰ τῷ αὐτῷμέτρῳ μετρούμενα, ἀσύμμετρα (assumetra) δέ, ὧνμηδὲν ἐνδέχεται κοινὸν μέτρον γενέσθαι.

Magnitudes são ditas comensuráveis as que sãomedidas pela mesma medida, e incomensuráveis,aquelas das quais nenhuma medida comum é possívelproduzir-se.

HON & GOLDSTEIN (2008)

• Existe uma clara diferença entrea concepção de um conceito e atribuirum nome a ele, por um lado, eintuitivamente aplicar o conceito semestar ciente desta aplicação, por outro.

• Muitos historiadores e filósofos fazemuma análise anacrônica da história dasimetria.

• O conceito moderno de simetria surgiu com Legendre em 1794 para tratarda congruência de sólidos.

O CONCEITO MODERNO DE SIMETRIAQUAL É A DEFINIÇÃO?

Seja X um subconjunto não vazio do plano euclidiano IR2.

Dizemos que uma função F: IR2 → IR2 é uma simetria doconjunto X se F satisfaz as duas condições seguintes.

(1) F é uma isometria, isto é, F preserva distâncias:

d(P, Q) = d(F(P), F(Q)) para todo P, Q em IR2.

(2) X é invariante por F:

F(X) = X.

RESUMO ANALÍTICO:“HISTORY OF MATHEMATICS IN MATHEMATICS

EDUCATION” por Michael N. Fried

OBSERVAÇÕES E DESDOBRAMENTOS

MARCAÇÕES

• Vantagens citadas no uso da História da Matemática no Ensinode Matemática (e de Ciências): humanizar o assunto, incluirvariedade ao ensino, mostrar abordagens diferentes para ideiascientíficas, aprofundar o sentido da natureza da disciplina.

• Dificuldades citadas no uso da História da Matemática noEnsino de Matemática (e de Ciências): encontrar tempo e lugarpara incluir materiais históricos em um currículo inchado,tensão entre anacronismo e relevância, tensão entrereconstrução racional útil e análise histórica fiel.

MARCAÇÕES

• Diferenças entre Matemática e outras Ciências: por exemplo,“... a Matemática frequentemente resolve disputas entre teoriasconflitantes por reinterpretação, dando então uma forteimpressão de um desenvolvimento cumulativo maior do que emoutras ciências” (Kitcher, 1984, p. 159).

• O caráter histórico da matemática é frequentemente maisproblemático do que o caráter histórico das ciências naturais: émais difícil, isto é, para estudantes e professores ver amatemática do passado como sendo do passado,verdadeiramente diferente da matemática do presente.

MARCAÇÕES

• International Study Group On The Relations between TheHistory and Pedagogy of Mathematics (HPM) em 1970: inícioda consideração do papel da história da matemática no ensinoda matemática (conferências, livros, cooperação internacional).De qualquer modo, o uso de material histórico sempre estevepresente, de uma maneira ou de outra, em educação matemática,de uma forma ou de outra.

• International Journal for the History of Mathematics Educationeditado por Gert Schubring): uma revista dedicada à História daEducação Matemática (existe um grupo de pesquisa quetrabalha nesta área no Brasil; revista brasileira sobre o assunto:http://www.histemat.com.br/).

MARCAÇÕES

• Historiografia (Kragh, 1987): o termo é usado para significarescritos sobre história. Na prática, historiografia pode ter doissignificados. Ela pode significar simplesmente um escrito(profissional) sobre história, isto é, a consideração de eventosno passado como descritos por historiadores; mas ela tambémpode significar teoria ou filosofia da história, isto é, reflexõesteóricas sobre a natureza da história (H2).

• Historiografia (Wikipedia): historiografia foi mais recentementedefinida como “o estudo da maneira como a história tem sido eé escrita – a história dos escritos históricos”.

• É impossível separar as considerações da natureza da históriapor si e seus registros do seu uso para o ensino.

MARCAÇÕES

• Proclus (412–485): ao aprender sobre os primeiros inventoresde ideias matemáticas, os estudantes podem descobrir seuspróprio poderes para inventar (mutatis mutandis, este ainda éum motivo para se introduzir elementos históricos na educaçãomatemática).

MARCAÇÕES

• Existem vários tipos de relações com a matemática do passado:“caçadores de tesouros”, que tentam trazer “gemas” perdidas nopassado; “conquistadores”, como Descartes, que referem aopassado para mostrar a superioridade do presente;“observadores privilegiados” como H. G. Zeuthen, queconsideram que o seu conhecimento matemático moderno dá oprivilégio para interpretarem o passado; “historiadoreshistóricos da matemática”, que veem o passado comofundamentalmente diferente do presente e veem o tratamento dopassado exigindo mais do que o conhecimento matemático dopresente; “colegas”, como “Os Elementos” de Euclides, aindausado como se fosse um texto escrito por um colega vivo.

MARCAÇÕES

• “Os Elementos” de Euclides: é um texto histórico que poderia(e já foi) adotado como texto em sala de aula (análise de textohistórico) ×não é apropriado do ponto de vista didático.

• Jesuíta Andreas Tacquet (1612–1660): a fim de entender suaimportância, o estudo da matemática deve ser conduzido combase na sua história.

• Na Polônia: “O Primeiro Ministro da Educação na Europa –Komisja Edukacji Narodowej (1773–1794) – esperandomelhorar e ampliar o conhecimento de matemática, recomendouque os estudantes se familiarizem com a história da matemáticadesde a antiguidade”.

MARCAÇÕES

• Félix Klein com a sua obra de 1908 “Matemática Elementar doPonto de Vista Superior”: ... Eu darei mais atenção, mais do queé usualmente feito ... para o desenvolvimento histórico daciência, para as realizações dos grandes pioneiros. Eu espero,com discussões desse tipo, promover, como eu gostaria dedizer, sua cultura matemática geral: apesar do conhecimento dosdetalhes, como estes fornecidos em aulas especiais, deveriahaver uma compreensão do assunto tratado e da relaçãohistórica.

MARCAÇÕES

• Dois personagens importantes na história da História daMatemática e Educação Matemática nos Estados Unidos:Florian Cajori (1859–1930) e David Eugene Smith (1860–1944).

MARCAÇÕES

• Florian Cajori (1859–1930): a educação da criança deve estar deacordo em modo e disposição com a educação da humanidadecomo considerada historicamente; ou, em outras palavras, agênesis do conhecimento no indivíduo deve seguir o mesmocurso da gênesis do conhecimento na espécie (princípiogenético).

• Princípio genético (lei biogenética, princípio do paralelismo,princípio da recapitulação): ontogenia, o desenvolvimento deum indivíduo, recapitula o desenvolvimento da espécie,filogenia. Princípio genético: observador privilegiado.

• Seguidores do princípio genético: Poincaré, Félix Klein, OttoToeplitz.

MARCAÇÕES

• Benchara Brandford (1867–1944): Um Estudo de EducaçãoMatemática.

MARCAÇÕES

• História da Matemática: tema cultural; tema curricular; temamotivacional.

• O tema motivacional é que a história da matemática faz oensino da matemática menos assustador, mais humano, menosformal e mais interessante; o tema motivacional introduz umaconsideração afetiva na questão da história da matemática naeducação matemática (ver o artigo da Lightner (2000)).

MARCAÇÕES

• Enquanto que a questão motivacional é importante, como umtema conectado com a incorporação de história em educaçãomatemática, ela é complicada. O tema motivacional não fazjustiça nem à história e nem à matemática.

• Tema curricular (argumentos conceituais): uma tentativagenuína de ver as ideias matemáticas à luz da história.Frequentemente o tema curricular é realizado tomando-sesimplesmente um problema do passado que permite os alunosexercitarem e desenvolverem habilidades e pensamentomatemática relevantes para seus estudos escolares (o artigo dávários exemplos).

MARCAÇÕES

• Boag (2012): esferas de Dandelin (dá uma nota histórica sobreDandelin e, então, continua com o desenvolvimentomatemático). Qual é realmente o papel do contexto histórico?Estilo: "caçador de tesouros".

MARCAÇÕES

• "Caçador de tesouros": é uma maneira completamente legítimade usar história e é legítima chamá-la de abordagem histórica,se, paradoxalmente, aceitarmos que existe um conteúdomatemático que pode ser separado de todas considerações detempo, cultura e lugar: o ouro que escavamos pode vir na formamoedas não familiares, mas ainda é ouro de qualquer modo.

• Abordagem genética também é uma abordagem curricular, poiscoloca no centro das atenções o desenvolvimento históricocomo uma chave para entender como os estudantescompreendem ideias matemáticas e como eles podem entendê-las melhor.

MARCAÇÕES

• Lipman Bers, Morris Kline, George Pólya e Max Schiffe (totalde 64 matemáticos): memorando em 1962 nas revistas "TheMathematics Teacher" e "The American MathematicalMonthly" (ataque velado ao movimento "New Math"): esteprincípio genérico pode nos salvar de uma confusão comum(princípo genético): se A é logicamente anterior a B em umcerto sistema, B pode ainda justificadamente preceder A noensino, especialmente se B precedeu A na história. Como umtodo, podemos esperar grande sucesso ao seguir as seguintessugestões do princípio genético do que abordagens puramenteformais da matemática.

• Resposta de Begle (1962): aprender a calcular como os egípciose romanos antes de aprender o eficiente sistema decimal?

MARCAÇÕES

• Abordagem genética: as dificuldades conceituais eepistemológicas dos estudantes aparecem em paralelo com asdificuldades conceituais na história (vários exemplos sãoapresentados).

• O desenvolvimento individual é uma função de ideiashistoricamente condicionadas: a ocorrência repetida de ideiasmatemáticas no desenvolvimento individual pode ser devido aofato destas ideias e o seu modo de desenvolvimento estaremimersas na cultura nas quais a educação matemática dascrianças está situada.

MARCAÇÕES

• Abordagem cultural: uma oposição a abordagem genética.

• Luis Radford e Luis Puig: desenvolvimentos biológicos ounaturais inevitavelmente tornam-se afetados e entrelaçados comaspectos históricos-culturais quando indivíduos usam sinais eoutros artefatos culturais, como linguagem. De fato, a união dosdesenvolvimentos natural e histórico constitui a linha decrescimento do indivíduo. Dado que é impossível desassociaresta união das linhas cultural e natural de desenvolvimento, ocrescimento conceitual de cada indivíduo não pode reproduzir oprocesso de formação conceitual histórico-social. Em resumo,filogenia pode não recapitular ontogenia.

MARCAÇÕES

• Abordagem cultural (Rickey, 1996): como professores dematemática, e ainda mais como historiadores da matemática,somos condutores da cultura matemática. É nossa soleneresponsabilidade transmitir essa cultura para nossos estudantes.

• Abordagem cultural: etnomatemática e multiculturalismo.

• O que é história? Elton (1967): história se refere a todos osdizeres, pensamentos, feitos e sofrimentos humanos os quaisocorreram no passado e deixaram um presente depósito; elatrata de tudo isto do ponto de vista de acontecimento, mudançae o particular.

MARCAÇÕES

• The Whig Interpretation of History (Butterfield 1931/1951):anacronismo em historiografia.

• História Whig (anacrônica) é, de fato, particularmente sedutoraquando se trata da matemática. Isto ocorre porque, comoobservamos anteriormente, matemática é facilmenteconsiderada como uma componente constante de pensamentonão somente no mundo moderno, mas também em todas asoutras partes do mundo e em todas as outras épocas.

• Oakeshott (1933): existem diferentes passados, pois a descriçãodo passado é feita em termos de valores, necessidades e ideiasdo presente (passado histórico e passado prático). Passadoprático: procurar no passado o que é útil para o presente.

MARCAÇÕES

• A conclusão parece ser clara. A fim de ter uma abordagemhistórica em educação matemática na qual a história éconsiderada seriamente como uma forma de conhecimento,devemos abraçar uma abordagem nas direções do tema culturale rejeitar as propostas Whiggish (anacrônicas) derivadas dotema curricular. Mas existe uma dificuldade aqui. Não podemosesquecer que educadores matemáticos não são historiadores etêm outras preocupações legítimas. Assim, enquanto que ahistória da matemática pode abraçar o presente para entender opassado, a educação matemática se justifica por si sóprecisamente pelo poder e necessidade da matemática emcontextos modernos, em ciência, engenharia, economia eindústria.

MARCAÇÕES

• Assim, quando educadores matemáticos – mesmo aqueles comsensibilidade e conhecimento histórico reais – confrontam umcapítulo na história da matemática, eles devem prestar atenção,em algum nível, ao contrapeso de sua obrigação em ensinarmatemática em um espírito moderno. Eles devem considerar oquão relevante o capítulo é para as ideias matemáticas modernasque eles precisam tratar, com bem o capítulo se adequa aosassuntos exigidos pelo currículo. Nesse contexto, ocorre umapredisposição natural para a abordagem Whiggish (anacrônica).

• Pergunta: reestruturar a educação de modo que ela promovauma abordagem na qual a história é um objetivo e não umaferramenta?

MARCAÇÕES

• Como integrar textos históricos originais em sala de aula?Hermenêutica: teoria, ciência voltada à interpretação dos signose de seu valor simbólico. Faltam pesquisas!

RESUMO ANALÍTICO

6. DESCRIÇÃO DO TRABALHO:A descrição deve ser impessoal. O relator deve fazer uma sínteseobjetiva e descritiva, evitando emitir comentários pessoais. Dezlinhas no máximo.

7. OBJETIVOS DO TRABALHO:Cinco linhas no máximo, preferivelmente começando com umverbo.

10. CONCLUSÕES DO AUTOR:Dez linhas no máximo. Deve-se relatar de forma objetiva eimparcial as conclusões do autor.

RESUMO ANALÍTICO

11. COMENTÁRIOS DO RELATOR:Essencialmente, uma opinião crítica sobre o trabalho. Agora é ahora de expressar a sua opinião. Inclua pontos de concordância ediscordância! Indique também se o texto que você analisou trouxealgum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prática ouatitude como professor em sala de aula. Mínimo de dez linhas.