of 52 /52
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 22 DE MAIO DE 2017 TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA MOMENTO 12 Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ Universidade Federal Fluminense 1

TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA MOMENTO 12 · departamento de matemÁtica aplicada. instituto de matemÁtica e estatÍstica. 22 de maio de 2017. tÓpicos em educaÇÃo matemÁtica

Embed Size (px)

Text of TÓPICOS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA MOMENTO 12 · departamento de matemÁtica aplicada. instituto de...

  • DEPARTAMENTO DE MATEMTICA APLICADAINSTITUTO DE MATEMTICA E ESTATSTICA

    22 DE MAIO DE 2017

    TPICOS EM EDUCAO MATEMTICA

    MOMENTO 12

    Humberto Jos Bortolossi

    http://www.professores.uff.br/hjbortol/

    Universidade Federal Fluminense1

  • RESUMO ANALTICO:HISTRIA DA MATEMTICA NA FORMAO DO

    PROFESSOR DE MATEMTICA por Antonio Miguel e Arlete de Jesus Brito

  • OBSERVAES E DESDOBRAMENTOS

  • MARCAES

    Apresenta aspectos histricos do uso da histria da matemticano ensino da matemtica a partir do sculo XX (incluindo oHPM).

    No Brasil: I Encontro Paulista de Educao Matemtica em1989 (Aspectos Histricos no Processo de Ensino-aprendizagem da Matemtica); Seminrio Nacional de Historiada Matemtica realizado no Recife em abril de 1995; IV e VEncontros Nacionais de Educao Matemticos (IV e VENEM), realizados, respectivamente, em Blumenau em janeirode 1992 e em Aracaju em julho de 1995.

    Defesa de que Histria da Matemtica no seja uma disciplinaisolada mas, sim, distribuda de forma orgnica ao longo dasvrias disciplinas especficas.

  • MARCAES

    Defendem uma participao orgnica na histria na formaodo professor concebendo a histria como fonte de umaproblematizao que deveria contemplar as vrias dimenses damatemtica (lgica, epistemolgica, tica, esttica, etc.) e daeducao matemtica (psicolgica, poltica, axiolgica,didtico-metodolgica, etc.), o que remete, inevitavelmente, osformadores de professores a destacar e discutir com seus alunosas relaes de influncia recproca entre matemtica e cultura,matemtica e sociedade, matemtica e tecnologia, matemtica earte, matemtica e filosofia da matemtica, etc., fazendo comque o discurso matemtico abra-se ao dilogo com os demaisdiscursos que se constituem com ele, a partir dele, contra ele, afavor dele, etc.

  • MARCAES

    Histria da Matemtica na formao do professor deMatemtica: benefcios a longo prazo, contrapondo os aspectoshistricos e culturais em um currculo quase sempre com nfaseunilateral e exclusiva nos aspectos lgicos e dedutivos.

    Aleksandrov et al. (1985, p.17-89): a matemtica, ao longo deseu desenvolvimento histrico, teria passado por quatro etapasqualitativamente distintas, a saber, a etapa da matemticaprtico-emprica, a etapa da matemtica das magnitudesconstantes (matemtica elementar: aritmtica, geometria,lgebra e trigonometria), a etapa da matemtica das magnitudesvariveis (as geometrias analtica e projetiva, o clculodiferencial e integral, a teoria das sries, a teoria das equaesdiferencias) e a etapa da matemtica abstrata ou moderna.

  • MARCAES

    A funo da abstrao e da generalizao: a histria poderiaauxiliar os futuros professores a perceber que o movimento deabstrao e generalizao crescentes por que passam muitosconceitos e teorias em matemtica no se deve, exclusivamente,a razes de ordem lgica, mas interferncia de outrosdiscursos na constituio e no desenvolvimento do discursomatemtico. Exemplo: trigonometria do tringulo retngulopara funes trigonomtricas (agrimensura, astronomia grega,cordas vibrantes, impulsos eltricos).

  • MARCAES

    A noo de rigor e o papel da axiomatizao: imprimindohistoricidade s disciplinas que fazem parte da formao dessesprofessores, mostrando que os padres de rigor alteram-se nodecorrer do tempo e fornecendo exemplos interessantes para acompreenso do significado da axiomatizao, poderemosajudar os futuros docentes a ter uma viso mais ampla do quesejam rigor e sistemas axiomticos, facilitando-lhes a percepode caminhos a serem seguidos na superao da referidadificuldade presente no processo de ensino-aprendizagem.

  • MARCAES

    Modos de compreender a dimenso esttica da matemtica:acreditamos, portanto, que a histria da matemtica pode fazercom que o futuro professor perceba a existncia de outrospadres de beleza em matemtica, alm do usual (provas "maissimples", por exemplo), tornando, desse modo, maissignificativo a interao de seus alunos com a matemtica. Ahistria pode tambm propiciar ao professor uma reflexo sobrea beleza existente no ato da criao matemtica levando-o aentender a dimenso esttica da matemtica em um outrosentido mais fundamental, fazendo com que a educaomatemtica venha a contribuir para a obteno daquilo que anosso ver, deveria constituir o propsito mais revolucionrio daeducao contempornea: o cultivo da imaginao.

  • MARCAES

    A valorizao da dimenso tico-poltica da atividadematemtica: a participao orgnica da histria na formao doprofessor pode ajud-lo a verificar como e por que a matemticaconstitui-se num espao expresso do poder.

    Por exemplo, so bem conhecidas as histrias sobre o pitagricoHipasus que teria sido morto afogado pelos deuses aodivulgar a descoberta da existncia de grandezasincomensurveis; ou sobre toda a celeuma em torno do clculodiferencial integral entre Newton e Leibniz; ou mesmo sobre ofato de Gauss no ter publicado seus trabalhos de geometriasno-euclidianas com medo da gritaria dos becios.

  • MARCAES

    Hoje, podemos pensar na dimenso tico-poltica da matemticaem dois sentidos. Um deles o das aplicaes estatsticaseleitorais, aquelas utilizadas pelo marketing; frmulas deaplicao economia etc. O outro sentido que podemos apontar o da utilizao da matemtica como instrumento de exclusode muitos alunos do processo de aprendizagem. O discursomatemtico continua sendo um segredo acessvel somente paraalguns iluminados.

  • RESUMO ANALTICO

    6. DESCRIO DO TRABALHO:A descrio deve ser impessoal. O relator deve fazer uma snteseobjetiva e descritiva, evitando emitir comentrios pessoais. Dezlinhas no mximo.

    7. OBJETIVOS DO TRABALHO:Cinco linhas no mximo, preferivelmente comeando com umverbo.

    10. CONCLUSES DO AUTOR:Dez linhas no mximo. Deve-se relatar de forma objetiva eimparcial as concluses do autor.

  • RESUMO ANALTICO

    11. COMENTRIOS DO RELATOR:Essencialmente, uma opinio crtica sobre o trabalho. Agora ahora de expressar a sua opinio. Inclua pontos de concordncia ediscordncia! Indique tambm se o texto que voc analisou trouxealgum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prtica ouatitude como professor em sala de aula. Mnimo de dez linhas.

  • OUTRAS REFERNCIAS

    Balestri, Cyrino e Savioli (2008): A Participao da Histria da Matemtica na Formao deProfessores de Matemtica na ptica de Professores-Pesquisadores.

    A histria da matemtica satisfaz a curiosidade do aluno e o motiva. A histria da matemtica ajuda veicular a Matemtica como uma criao humana,

    uma manifestao cultural. A histria da matemtica ajuda a mudar concepes a respeito da natureza da

    matemtica. A histria da matemtica ajuda a compreender como o conhecimento escolar est

    organizado. A histria da matemtica fornece respostas a alguns por qus. A histria da matemtica oferece contexto para a compreenso de tendncias da

    Educao Matemtica. A histria da matemtica oferece um campo comum aos interesses de especialistas

    de vrias reas do conhecimento, favorecendo a realizao de trabalhosmultidisciplinares.

    A histria da matemtica auxilia na compreenso da noo de rigor matemtico eda dimenso esttica da Matemtica.

    A histria da matemtica contribui para valorizao da dimenso tico-poltica damatemtica.

  • AQUECIMENTO: ANACRONISMO EM HISTRIA

  • POR FALAR EM HISTRIA: ANACRONISMO

    A ltima Ceia de Leonardo da Vinci

  • POR FALAR EM HISTRIA: ANACRONISMO

    Os Flintstones de William Hanna e Joseph Barbera

  • POR FALAR EM HISTRIA: ANACRONISMO

    O TEOREMA DE PITGORAS

    a2 = b2 + c2

    Nos tringulos retngulos, o quadradosobre o lado que se estende sobo ngulo reto igual aos quadradossobre os lados que contm o nguloreto.

  • POR FALAR EM HISTRIA: ANACRONISMO

    Wagner (2009): economia crtica de anacronismos.Se desaprendermos tudo que suspeito de ser anacrnico,devemos tambm desaprender nossa linguagemcontempornea, arriscando ficarmos mudos.

    Grattan-Guinness (2005): Histria Herana

    Hon & Goldstein (2008): o problema como anacronismo que ele torna o historiadorem um participante que faz uso de conceitose teorias que no estavam disponveis aopraticante da poca.

  • LIVROS SOBRE SIMETRIA E SUA HISTRIA

  • HON & GOLDSTEIN (2008)

    Simetria, como atualmente aplicada emvrios domnios cientficos, inteiramente diferente do que se entendiapelo termo, simetria, em tempos antigose medievais at o incio do perodomoderno.

    Simetria (grego: summetria, latim:symmetria) teve um nico significadobsico na Grcia antiga:proporcionalidade.(1) Euclides: comensurabilidade.(2) Vitrvio: propores equilibradas.

  • SIMETRIA EM EUCLIDES:COMENSURABILIDADE

    Primeira definio do Livro X de Os Elementos de Euclides

  • SIMETRIA EM EUCLIDES:COMENSURABILIDADE

    Primeira definio do Livro X de Os Elementos de Euclides

    (summetra) , (assumetra) , .

    Magnitudes so ditas comensurveis as que somedidas pela mesma medida, e incomensurveis,aquelas das quais nenhuma medida comum possvelproduzir-se.

  • HON & GOLDSTEIN (2008)

    Existe uma clara diferena entrea concepo de um conceito e atribuirum nome a ele, por um lado, eintuitivamente aplicar o conceito semestar ciente desta aplicao, por outro.

    Muitos historiadores e filsofos fazemuma anlise anacrnica da histria dasimetria.

    O conceito moderno de simetria surgiu com Legendre em 1794 para tratarda congruncia de slidos.

  • O CONCEITO MODERNO DE SIMETRIAQUAL A DEFINIO?

    Seja X um subconjunto no vazio do plano euclidiano IR2.

    Dizemos que uma funo F: IR2 IR2 uma simetria doconjunto X se F satisfaz as duas condies seguintes.

    (1) F uma isometria, isto , F preserva distncias:

    d(P, Q) = d(F(P), F(Q)) para todo P, Q em IR2.

    (2) X invariante por F:

    F(X) = X.

  • RESUMO ANALTICO:HISTORY OF MATHEMATICS IN MATHEMATICS

    EDUCATION por Michael N. Fried

  • OBSERVAES E DESDOBRAMENTOS

  • MARCAES

    Vantagens citadas no uso da Histria da Matemtica no Ensinode Matemtica (e de Cincias): humanizar o assunto, incluirvariedade ao ensino, mostrar abordagens diferentes para ideiascientficas, aprofundar o sentido da natureza da disciplina.

    Dificuldades citadas no uso da Histria da Matemtica noEnsino de Matemtica (e de Cincias): encontrar tempo e lugarpara incluir materiais histricos em um currculo inchado,tenso entre anacronismo e relevncia, tenso entrereconstruo racional til e anlise histrica fiel.

  • MARCAES

    Diferenas entre Matemtica e outras Cincias: por exemplo,... a Matemtica frequentemente resolve disputas entre teoriasconflitantes por reinterpretao, dando ento uma forteimpresso de um desenvolvimento cumulativo maior do que emoutras cincias (Kitcher, 1984, p. 159).

    O carter histrico da matemtica frequentemente maisproblemtico do que o carter histrico das cincias naturais: mais difcil, isto , para estudantes e professores ver amatemtica do passado como sendo do passado,verdadeiramente diferente da matemtica do presente.

  • MARCAES

    International Study Group On The Relations between TheHistory and Pedagogy of Mathematics (HPM) em 1970: incioda considerao do papel da histria da matemtica no ensinoda matemtica (conferncias, livros, cooperao internacional).De qualquer modo, o uso de material histrico sempre estevepresente, de uma maneira ou de outra, em educao matemtica,de uma forma ou de outra.

    International Journal for the History of Mathematics Educationeditado por Gert Schubring): uma revista dedicada Histria daEducao Matemtica (existe um grupo de pesquisa quetrabalha nesta rea no Brasil; revista brasileira sobre o assunto:http://www.histemat.com.br/).

  • MARCAES

    Historiografia (Kragh, 1987): o termo usado para significarescritos sobre histria. Na prtica, historiografia pode ter doissignificados. Ela pode significar simplesmente um escrito(profissional) sobre histria, isto , a considerao de eventosno passado como descritos por historiadores; mas ela tambmpode significar teoria ou filosofia da histria, isto , reflexestericas sobre a natureza da histria (H2).

    Historiografia (Wikipedia): historiografia foi mais recentementedefinida como o estudo da maneira como a histria tem sido e escrita a histria dos escritos histricos.

    impossvel separar as consideraes da natureza da histriapor si e seus registros do seu uso para o ensino.

  • MARCAES

    Proclus (412485): ao aprender sobre os primeiros inventoresde ideias matemticas, os estudantes podem descobrir seusprprio poderes para inventar (mutatis mutandis, este ainda um motivo para se introduzir elementos histricos na educaomatemtica).

  • MARCAES

    Existem vrios tipos de relaes com a matemtica do passado:caadores de tesouros, que tentam trazer gemas perdidas nopassado; conquistadores, como Descartes, que referem aopassado para mostrar a superioridade do presente;observadores privilegiados como H. G. Zeuthen, queconsideram que o seu conhecimento matemtico moderno d oprivilgio para interpretarem o passado; historiadoreshistricos da matemtica, que veem o passado comofundamentalmente diferente do presente e veem o tratamento dopassado exigindo mais do que o conhecimento matemtico dopresente; colegas, como Os Elementos de Euclides, aindausado como se fosse um texto escrito por um colega vivo.

  • MARCAES

    Os Elementos de Euclides: um texto histrico que poderia(e j foi) adotado como texto em sala de aula (anlise de textohistrico) no apropriado do ponto de vista didtico.

    Jesuta Andreas Tacquet (16121660): a fim de entender suaimportncia, o estudo da matemtica deve ser conduzido combase na sua histria.

    Na Polnia: O Primeiro Ministro da Educao na Europa Komisja Edukacji Narodowej (17731794) esperandomelhorar e ampliar o conhecimento de matemtica, recomendouque os estudantes se familiarizem com a histria da matemticadesde a antiguidade.

  • MARCAES

    Flix Klein com a sua obra de 1908 Matemtica Elementar doPonto de Vista Superior: ... Eu darei mais ateno, mais do que usualmente feito ... para o desenvolvimento histrico dacincia, para as realizaes dos grandes pioneiros. Eu espero,com discusses desse tipo, promover, como eu gostaria dedizer, sua cultura matemtica geral: apesar do conhecimento dosdetalhes, como estes fornecidos em aulas especiais, deveriahaver uma compreenso do assunto tratado e da relaohistrica.

  • MARCAES

    Dois personagens importantes na histria da Histria daMatemtica e Educao Matemtica nos Estados Unidos:Florian Cajori (18591930) e David Eugene Smith (18601944).

  • MARCAES

    Florian Cajori (18591930): a educao da criana deve estar deacordo em modo e disposio com a educao da humanidadecomo considerada historicamente; ou, em outras palavras, agnesis do conhecimento no indivduo deve seguir o mesmocurso da gnesis do conhecimento na espcie (princpiogentico).

    Princpio gentico (lei biogentica, princpio do paralelismo,princpio da recapitulao): ontogenia, o desenvolvimento deum indivduo, recapitula o desenvolvimento da espcie,filogenia. Princpio gentico: observador privilegiado.

    Seguidores do princpio gentico: Poincar, Flix Klein, OttoToeplitz.

  • MARCAES

    Benchara Brandford (18671944): Um Estudo de EducaoMatemtica.

  • MARCAES

    Histria da Matemtica: tema cultural; tema curricular; temamotivacional.

    O tema motivacional que a histria da matemtica faz oensino da matemtica menos assustador, mais humano, menosformal e mais interessante; o tema motivacional introduz umaconsiderao afetiva na questo da histria da matemtica naeducao matemtica (ver o artigo da Lightner (2000)).

  • MARCAES

    Enquanto que a questo motivacional importante, como umtema conectado com a incorporao de histria em educaomatemtica, ela complicada. O tema motivacional no fazjustia nem histria e nem matemtica.

    Tema curricular (argumentos conceituais): uma tentativagenuna de ver as ideias matemticas luz da histria.Frequentemente o tema curricular realizado tomando-sesimplesmente um problema do passado que permite os alunosexercitarem e desenvolverem habilidades e pensamentomatemtica relevantes para seus estudos escolares (o artigo dvrios exemplos).

  • MARCAES

    Boag (2012): esferas de Dandelin (d uma nota histrica sobreDandelin e, ento, continua com o desenvolvimentomatemtico). Qual realmente o papel do contexto histrico?Estilo: "caador de tesouros".

  • MARCAES

    "Caador de tesouros": uma maneira completamente legtimade usar histria e legtima cham-la de abordagem histrica,se, paradoxalmente, aceitarmos que existe um contedomatemtico que pode ser separado de todas consideraes detempo, cultura e lugar: o ouro que escavamos pode vir na formamoedas no familiares, mas ainda ouro de qualquer modo.

    Abordagem gentica tambm uma abordagem curricular, poiscoloca no centro das atenes o desenvolvimento histricocomo uma chave para entender como os estudantescompreendem ideias matemticas e como eles podem entend-las melhor.

  • MARCAES

    Lipman Bers, Morris Kline, George Plya e Max Schiffe (totalde 64 matemticos): memorando em 1962 nas revistas "TheMathematics Teacher" e "The American MathematicalMonthly" (ataque velado ao movimento "New Math"): esteprincpio genrico pode nos salvar de uma confuso comum(princpo gentico): se A logicamente anterior a B em umcerto sistema, B pode ainda justificadamente preceder A noensino, especialmente se B precedeu A na histria. Como umtodo, podemos esperar grande sucesso ao seguir as seguintessugestes do princpio gentico do que abordagens puramenteformais da matemtica.

    Resposta de Begle (1962): aprender a calcular como os egpciose romanos antes de aprender o eficiente sistema decimal?

  • MARCAES

    Abordagem gentica: as dificuldades conceituais eepistemolgicas dos estudantes aparecem em paralelo com asdificuldades conceituais na histria (vrios exemplos soapresentados).

    O desenvolvimento individual uma funo de ideiashistoricamente condicionadas: a ocorrncia repetida de ideiasmatemticas no desenvolvimento individual pode ser devido aofato destas ideias e o seu modo de desenvolvimento estaremimersas na cultura nas quais a educao matemtica dascrianas est situada.

  • MARCAES

    Abordagem cultural: uma oposio a abordagem gentica.

    Luis Radford e Luis Puig: desenvolvimentos biolgicos ounaturais inevitavelmente tornam-se afetados e entrelaados comaspectos histricos-culturais quando indivduos usam sinais eoutros artefatos culturais, como linguagem. De fato, a unio dosdesenvolvimentos natural e histrico constitui a linha decrescimento do indivduo. Dado que impossvel desassociaresta unio das linhas cultural e natural de desenvolvimento, ocrescimento conceitual de cada indivduo no pode reproduzir oprocesso de formao conceitual histrico-social. Em resumo,filogenia pode no recapitular ontogenia.

  • MARCAES

    Abordagem cultural (Rickey, 1996): como professores dematemtica, e ainda mais como historiadores da matemtica,somos condutores da cultura matemtica. nossa soleneresponsabilidade transmitir essa cultura para nossos estudantes.

    Abordagem cultural: etnomatemtica e multiculturalismo.

    O que histria? Elton (1967): histria se refere a todos osdizeres, pensamentos, feitos e sofrimentos humanos os quaisocorreram no passado e deixaram um presente depsito; elatrata de tudo isto do ponto de vista de acontecimento, mudanae o particular.

  • MARCAES

    The Whig Interpretation of History (Butterfield 1931/1951):anacronismo em historiografia.

    Histria Whig (anacrnica) , de fato, particularmente sedutoraquando se trata da matemtica. Isto ocorre porque, comoobservamos anteriormente, matemtica facilmenteconsiderada como uma componente constante de pensamentono somente no mundo moderno, mas tambm em todas asoutras partes do mundo e em todas as outras pocas.

    Oakeshott (1933): existem diferentes passados, pois a descriodo passado feita em termos de valores, necessidades e ideiasdo presente (passado histrico e passado prtico). Passadoprtico: procurar no passado o que til para o presente.

  • MARCAES

    A concluso parece ser clara. A fim de ter uma abordagemhistrica em educao matemtica na qual a histria considerada seriamente como uma forma de conhecimento,devemos abraar uma abordagem nas direes do tema culturale rejeitar as propostas Whiggish (anacrnicas) derivadas dotema curricular. Mas existe uma dificuldade aqui. No podemosesquecer que educadores matemticos no so historiadores etm outras preocupaes legtimas. Assim, enquanto que ahistria da matemtica pode abraar o presente para entender opassado, a educao matemtica se justifica por si sprecisamente pelo poder e necessidade da matemtica emcontextos modernos, em cincia, engenharia, economia eindstria.

  • MARCAES

    Assim, quando educadores matemticos mesmo aqueles comsensibilidade e conhecimento histrico reais confrontam umcaptulo na histria da matemtica, eles devem prestar ateno,em algum nvel, ao contrapeso de sua obrigao em ensinarmatemtica em um esprito moderno. Eles devem considerar oquo relevante o captulo para as ideias matemticas modernasque eles precisam tratar, com bem o captulo se adequa aosassuntos exigidos pelo currculo. Nesse contexto, ocorre umapredisposio natural para a abordagem Whiggish (anacrnica).

    Pergunta: reestruturar a educao de modo que ela promovauma abordagem na qual a histria um objetivo e no umaferramenta?

  • MARCAES

    Como integrar textos histricos originais em sala de aula?Hermenutica: teoria, cincia voltada interpretao dos signose de seu valor simblico. Faltam pesquisas!

  • RESUMO ANALTICO

    6. DESCRIO DO TRABALHO:A descrio deve ser impessoal. O relator deve fazer uma snteseobjetiva e descritiva, evitando emitir comentrios pessoais. Dezlinhas no mximo.

    7. OBJETIVOS DO TRABALHO:Cinco linhas no mximo, preferivelmente comeando com umverbo.

    10. CONCLUSES DO AUTOR:Dez linhas no mximo. Deve-se relatar de forma objetiva eimparcial as concluses do autor.

  • RESUMO ANALTICO

    11. COMENTRIOS DO RELATOR:Essencialmente, uma opinio crtica sobre o trabalho. Agora ahora de expressar a sua opinio. Inclua pontos de concordncia ediscordncia! Indique tambm se o texto que voc analisou trouxealgum encaminhamento ou ideia que mudaria a sua prtica ouatitude como professor em sala de aula. Mnimo de dez linhas.

    Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Slide Number 37Slide Number 38Slide Number 39Slide Number 40Slide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52