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1 BCC101 Matemtica Discreta Demonstrao de Teoremas

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Demonstrao de Teoremas Ex1 Teorema: Sejam a,b R. Se 0 a < b ento a 2 < b 2 O que queremos provar : a,b R. 0a

Demonstrao de Teoremas Conjectura: Sejam x,y R tais que x>3. Ento x 2 2y > 5. A conjectura falsa ou verdadeira? Apresente um contra-exemplo que mostra que essa conjectura falsa. x = 4, y = 6 pois ento temos 4 2 2.6 = 2 < 5 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 7

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No se esquea Para mostrar que uma conjectura verdadeira ( um teorema) devemos construir uma prova da mesma. Para mostrar que uma conjectura falsa, basta apresentar um contra- exemplo para a mesma. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 8

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Estratgias de Prova - Direta A partir do exemplo anterior, podemos deduzir nossa 1 a. estratgia de prova de teoremas: Prova Direta: Para provar uma assero da p q, suponha p e prove q CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 9 [p] q p q

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Exerccios Prove que, para todo n N, se n impar ento 3n+9 par. Prove que se a e b so nmeros racionais, ento a-b racional Prove que se n par ento n 2 par CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 10

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Prova direta mais um exemplo Teorema: Sejam A,B e C conjuntos. Se A C B e a A, ento a A\B. Hipteses: A C B a A Concluso: a A\B a A\B = (a A\B) = (a A a B) = a A a B = a A a B = a A a B CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 11

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Prova direta mais um exemplo Trocamos a demonstrao de a A\B por uma demonstrao envolvendo a A a B, que mais simples. Agora s usar uma das estratgias que envolvem o conectivo Como voc concluiria a prova? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 12

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Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n Z, se n 2 par, ento n par. Queremos provar: n Z. par(n 2 ) par(n) Mais precisamente: n Z.( k Z.n 2 =2k) ( k Z.n=2k) Infelizmente, a estratgia de prova direta no nos ajuda neste caso CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 13

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Estratgias de Prova - Contrapositivo Prova por contrapositivo: Para provar uma assero da p q, podemos provar a assero equivalente q p, ou seja, supomos q e provamos p CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 14

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Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n Z, se n 2 par, ento n par. Ao invs de provar par(n 2 ) par(n) Vamos provar o contrapositivo par(n) par(n 2 ), isto , seja impar(n) impar(n 2 ), ou seja: ( k Z.n=2k+1) ( k Z.n 2 =2k+1) CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 15

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Prova por contrapositivo Teorema: Para todo n Z, se n 2 par, ento n par. Prova: Por contrapositivo. Seja n Z arbitrrio e suponha n impar, isto , n=2k+1, para algum k Z. Ento n 2 = (2k+1) (2k+1) = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 +2k) + 1 ou seja, n 2 impar Portanto, se n 2 par, ento n par CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 16

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Exerccios Sejam a,b,c R e a > b. Prove que, se ac bc, ento c 0. Prove que, se x um nmero irracional, ento x um nmero irracional. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 17

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Mais estratgias de prova Se a e b so nmeros inteiros, ento a 2 4b 2. Quais so as hipteses? Qual a concluso? Que estratgia podemos usar para provar o teorema? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 18

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Prova por contradio Suponha que queremos provar uma concluso C. A idia de uma prova por contradio supor que a concluso a ser provada falsa, isto , supor C, e mostrar que essa suposio nos leva a uma contradio. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 19

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Prova por contradio Teorema: se a,b Z ento a 2 -4b2 Prova: Suponha, por contradio, que a 2 -4b=2 Ento a 2 = 2+4b = 2(1+2b), ou seja a 2 par e, portanto, a par. Ou seja, a = 2c, para algum inteiro c. Substituindo a por 2c na equao acima obtemos: (2c) 2 = 2(1+2b) => 4c 2 = 2 (1+2b) Dividindo ambos os lados por 2: 2c 2 = 1+2b => 1 = 2b 2c 2 = 2(b-c 2 ) Como b,c Z, isso significa que 1 par, o que um absurdo! Portanto a 2 -4b2. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 20

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Mais estratgias de prova Um nmero real x racional se x=a/b, para algum nmero a Z e algum nmero b Z, b0. E x irracional, se ele no racional. Teorema: 2 um nmero irracional Quais so as hipteses? Qual a concluso? Que estratgia podemos usar para provar o teorema? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 21

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Prova por contradio Teorema: 2 um nmero irracional Prova: Suponha, por contradio, que 2 racional, isto , 2 =a/b, para a,b Z, b0. Podemos supor, sem perda de generalidade, que a e b so primos entre si -- mdc(a,b)=1. Ento (a/b) 2 =(2) 2 =2 a 2 =2b 2, ou seja a 2 par e, portanto, a par, i.e., a=2k, para algum k Z. Ento b 2 =a 2 /2=(2k) 2 /2=2k 2, ou seja, b 2 par e, portanto, b par. Mas isso constraiz o fato de que a e b so primos entre si. Portanto, concluimos que 2 irracional CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 22

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Prova por contradio mais exemplos Teorema: O conjunto dos nmeros primos infinito. Quais so as hipteses? Qual a concluso? Como pode ser expressa a negao dessa concluso? Como podemos obter uma contradio, a partir da negao da concluso? CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 23

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Exerccios Prove que a soma de um nmero racional e um nmero irracional um nmero irracional Prove que o conjunto dos nmeros pares infinito Sejam a e b inteiros. Ento a 2 -4b2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 24

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Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma x. f(x), devemos provar que f(x) verdadeira, para x arbitrrio. Exemplo: Prove que, para quaisquer inteiros a,b,c, se a|b e b|c ento a|c. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 25

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Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma x.f(x), devemos mostrar um valor para x, digamos a, tal que f(a) seja verdadeira. Exemplo: Prove que, para todo nmero real x>0, existe um nmero real y tal que y(y+1)=x CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 26

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Erros em provas Considere a seguinte afirmao incorreta: x R. y R. (xy 2 =y-x) O que est errado com a seguinte prova desta afirmao: Prova: Seja x = y/(y 2 +1). Ento y-x = y- y/(y 2 +1) = y 3 /(y 2 +1) = (y/(y 2 +1)) y 2 = xy 2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 27

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Prova de existncia - construtiva Prove que existe um nmero inteiro que pode ser escrito como a soma de dois cubos de diferentes maneiras CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 28 1729 = 10 3 + 9 3 = 12 3 + 1 3

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Prova de existncia - no construtiva Prove que existem nmeros irracionais x e y tais que x y racional. Prova: Considere 2 2. Temos 2 possveis casos: 1)2 2 racional, o que conclui a prova 2)2 2 irracional, e ento, tomando x = 2 2 e y = 2, temos x y = (2 2 ) 2 = 2 2 = 2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 29

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Existncia e Unicidade A prova de uma afirmativa da forma ! x. f(x) tem duas partes: Prova de existncia: ! x. f(x) Prova de unicidade: ( y.f(y) y=x) Exemplo: Prove que, para todo nmero real x>0, existe um nico nmero real y tal que y(y+1)=x CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright 2000 by Rex Page 30