1 BCC 101 –Matemática Discreta Regras de Inferência, Dedução BCC101 - Matemática Discreta I

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BCC 101 –Matemática Discreta

Regras de Inferência, Dedução

BCC101 - Matemática Discreta I

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Inferência (definição do dicionário) verbo - ato de passar de uma proposição, afirmação, ou

julgamento considerado como verdadeiro para outro cuja verdade se acredita seguir diretamente a partir do primeiro

Inferência Formal (lógica matemática) Linguagem – notação para enunciar teoremas

(premissas e conclusões): fórmulas da linguagem Regras de Inferência – regras para concluir novas

fórmulas a partir de fórmulas já provadas ou hipóteses Inferência Formal (Prova) – um conjunto de hipóteses

juntamente com uma sequência de aplicações de regras de inferência para obter uma conclusão

Inferência Lógica


Inferência – exemplo 1

A copa 2016 é no Brasil e o Brasil vai jogar C B

Se o Brasil jogar, ele vai ganhar B ➝ G

Portanto, a copa 2016 é no Brasil e Brasil vai ganhar

C G

C B, B ➝ G |– C G

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hipóteses conclusãosímbolo de sequente

Quais as regras de inferência usadas?

Inferência, exemplo 2

Paulo joga bola ou vai à escola B E Se chove, Paulo não joga bola C ➝

B Se Paulo vai à escola, ele estuda E ➝ T Portanto, não chove ou Paulo estuda C T

B E, C ➝ B, E ➝ T |– C T

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Quais as regras de inferência usadas?

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Algumas Regras de Inferência

a b {I} a b

E Introdução

a b {EL} a

E Eliminação Esq

a b {ER} b

E Eliminação Dir

Como as regras funcionam: Se temos provas das proposições acima da linha (ou se elas são premissas do sequente a ser provado), podemos inferir a proposição abaixo da linha.

Implica Eliminação

a ab {E} b

Nom

e e

m

Lati

n:

Mod

us

Pon

en

s


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ProvaC B, B ⇒ G |– C G

C B{ER} BC B

{EL} C

{I}

C G

prova de Cdado C Bhipótese

prova de Bdado C B

Pode-se reusar uma hipótese do teorema


prova de Gdado C B e B ⇒ G

{⇒E}B ⇒ G

G

hipótese

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Outro Teorema e sua ProvaTeorema

a b, ac, bd |– c dProva

a b{ER} b

a b{EL} a

{I}c d

{E}ac

{E}bd

c d

a ab {E} b

E ruleModus Ponens


Regras de Inferência

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Introdução da Implicação uma regra um pouco diferente

Implica Introdução

[a] |– b {I} ab

Se existe um prova da proposição b supondo a

proposição aEntão podemos inferir a proposição

ab O que é diferente? A proposição suposta, a, não precisa ser uma premissa do teorema

Suposição Temporária A suposição de a é “admitida” temporariamente na prova Mais tarde, quando usamos a regra I, a hipótese a é descartadaO que! Posso supor o que quiser? Qual é a lógica nisso?O parte de cima da regra não requer que a seja verdadeiro, nem bEla requer apenas que, se a for verdadeiro, então se pode provar b

Também não precisa ser provada a partir das premissas


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Como a Introdução da Implicação é usada

Teorema (Exemplo Introducão da Implicação) |– P Q Q

Prova P Q{ER} Q {I}

P Q Q

Isso prova o sequenteP Q |– Q

Nesse ponto a prova adimite, temporariamente, a hipótese extra P Q


[a] |– b {I} ab

Aplicando a regra Icom a = P Q e b = QTemos P Q |– Qe podemos inferir P Q Q

Aplicando I descarrega-se hipótese extra


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Transitividade da ImplicaçãoPaciência ... – provas, provas, e mais provas

Teorema (Transitividade da Implicação)ab, bc |– ac

Suponha que podemos provar o sequente a |– c Então a regra I levaria à conclusão ac Estratégia da prova

Suponha a Prove a |– c Conclua ac (pela aplicação da regra I)

prova

bc{E} c

a ab{E} b

{I} ac

hipótese adimitida temporariamente

descartada

demais hipóteses

por Iconclusão


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Descarga de hipóteses

Quando se usa uma das seguintes regras I descarrega a 1 hipótese E descarrega as 2 hipóteses PBC descarrega a 1 hipótese

Porque isso ocorre nessas regras? Essas regras têm sequentes como premissas

Nenhuma outra regra descarrega hipóteses


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Descarga de hipóteses

a |– b {I} ab

Ori

gin

a 1

desc

arg

a

Obtenha a conclusão do sequente que origina uma descargaNa subárvore acima da conclusão, ache a folha adequadaDescarregue todas as hipóteses idênticas na subárvore Ao final, as folhas restantes são premissas do teorema

{IL} a b

{E}

{I}

a

a Falso

Falso

(a b) Falso

descarrga


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Como encontrar a hipótese a descarregar


[a] |– b {I} a b

a b [a] |– c [b] |– c{E} c

Ou Eliminação

hipótese descarregada nasubárvore a |– b deve seridêntica à fórmulacorrespondente a a em ab

[a] |– False{PBC} a Redução ao Absurdo

hipótese descarregada nasubárvore a |– c deve seridêntica à fórmulacorrespondente a a em ab

de modo análogo em b |– c, mas casando b em ab

hipótese descarregada nasubárvore a |– False deveser idêntica a a, onde a é a fórmula abaixo da linha


Voltando ao exemplo 2

B E, C ⇒ B, E T |– C T

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{modus tollens} C

C BB

C T

B E

{E}T

E TE

{ IL} C T { IR} C T


hipóteses descarregardas

a b a |– c b |– c{E} c

hipóteses restantes

a{E }

que hipóteses

descarregar?

{E} {ID}b

a b b b{E} b

a

a b a |– c b |– c{E} c

Plano Derive b de a Derive b de b Use E

a b, a |– b (silogismo disjuntivo)


Uma Prova Usando Contradição

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{E} a

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a (a)

Redução ao Absurdo

(a) |– a

[a] |– {PBC} a

Plano Derive Falso de a, dado (a) Conclua a (usando PBC)

{E }

{PBC} a

hipótese restante

Que hipótese descartar?

(a){ F} a

Negação Dupla Dir

Qual a regra para isso?


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((a) a)

Lei do Terceiro Excluído |– (a) a

{()ER} a

((a) a){()EL} (a)

{PBC} (a) a

{ E}

[a] |– {PBC} a

o que descarregar?que hipóteses

restam?conclusão

(a b){()ER} b

o que mais?

Plano Derive Falso de ((a) a) Conclua (a) a, usando PBC


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Lei de DeMorgan — Direto (a b) |– (a) (b)

(a) (b)

Plano Derive a b de ((a) (b)) Note o conflito com a hipótese Conclua (a) (b), usando PBC

(a b){DeMF}(a)(b)

DeMorgan E Direto((a) (b)){()EL} (a){F} a

((a) (b)){()ER} (b){F} b

{I} a b (a b)

{PBC}

{E }

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