Matemática discreta e Lógica Matemática

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Indução MatemáticaGrafos

Matemática discreta e Lógica Matemática

AULA - Conjuntos, Funções, Indução e Grafos

Prof. Dr. Hércules A. OliveiraUTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Ponta Grossa

Departamento Acadêmico de Matemática

Prof. Dr. Hércules Oliveira - UTFPR Matemática discreta e Lógica Matemática

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Conjuntos

Definição 1

1 Um Conjunto é uma coleção de objetos não ordenada.

Definição 2

1 Os objetos são chamados de elementos. Diz-se que elespertencem ao conjunto.

a ∈ A (1)

Exemplo:A = {a, b, c, d}


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Definição 3

1 Dois conjuntos sãoIguais se e somente se eles tem os mesmoselementos.

Diagrama de Venn


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Definição 3

1 Dois conjuntos sãoIguais se e somente se eles tem os mesmoselementos.

Diagrama de Venn


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Definição 4

Definição 4

O conjunto A é umSubconjuntode B se e somente se todo elementode A for também um elemento de B.

A ⊆ B (2)

Definição 5

ConsidereS um conjunto. Se há exatamenten elementos distintos emS, em quen é um número inteiro não negativo, dizemos queS é umconjunto finitoem quen écardinaldeS. O cardinal é representadopor |S|.


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Definição 6

Um conjunto é ditoinfinito se ele não é finito.

Definição 7

Dado um conjuntoS, o conjunto das partesdeS é o conjunto de todosos subconjunto do conjuntoS. O conjunto de partes deS é indicadoporP(S).


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Produto Cartesiano

Definição 8

A n-upla ordenada(a1, a2, · · · , an) é a coleção ordenada que tema1

como o primeiro elemento, ea1 como o n-ésimo elemento.

Exemplo: Pares ordenados:(a, b) = (x, y).


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Definição 9

O Produto CartesianodeA comB, indicado por

A× B (3)

é o conjunto de todos os pares ordenados(a, b), em quea ∈ A eb ∈ B.

A× B = {(a, b)|a ∈ A∧ b ∈ B} (4)


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Operação com conjuntos

Definição 1

SejamA eB conjuntos. Auniãodos conjuntosA eB, indicada porA∪ B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão emA ouemB, ou em ambos.

Definição 1

SejamA eB conjuntos. Ainterseçãodos conjuntosA eB, indicadaporA∩ B, é o conjunto que contém aqueles elementos que estão emAe emB, simultaneamente.


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Definição 4

SejamA eB conjuntos. AdiferençaentreA eB, indicada porA− B, éo conjunto que contém aqueles elementos que estão emA, mas nãoestão emB. Complemento.


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Definição 5

ConsidereU como o conjunto universo. O complemento do conjuntoA, indicado por̄A , é o complemento deA em relação aU. U − A


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Definição 6

A uniãode uma coleção de conjuntos é o conjunto que contémaqueles elementos que são membros de, pelo menos, um dosconjuntos da coleção.

A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An =

n⋃

i=1

Ai (5)

Definição 7

A interseçãode uma coleção de conjuntos é o conjunto que contémaqueles elementos que são membros de todos os conjuntos da coleção.

A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An =n⋂

i=1

Ai (6)


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Funções

Definição 1

SejamA eB conjuntos não vazios. Umafunçãof deA paraB é umadeterminação exatamente um elemento deB emA. Escrevemosf (a) = b seb for o único elemento deB determinado pela funçãofpara o elementoa deA. Sef é uma função deA paraB, escrevemosf : A → B.

Função - mapeamento ou transformação.

Definição 2

Sef é uma função deA paraB, dizemos queA é odomíniodef eB éo contradomíniodef . Sef (a) = b, dizemos queb é aimagemdea ea é aimagem inversadeb.Além disso, sef é uma função deA paraB,dizemos quef mapeiaA paraB.


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Funções

Definição 3

Sejamf1 e f2 funções deA paraR. Então,f1 + f2 e f1f2 também sãofunções deA paraR definidas por

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), (7)

(f1f2)(x) = f1(x)f2(x). (8)

Exemplo

Consideref1 e f2 funções deR aR, tal quef1(x) = x2 ef2(x) = x− x2. Quais são as funçõesf1 + f2 e f1f2?


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Princípios da Indução Matemática

Para demonstrar queP(n) é verdadeira para todos os números inteirosn, em queP(n) é uma função proposicional, completamos doispassos:

Passo base

Verificamos queP(1) é verdadeira.

Passo de Indução

Mostramos que a proposição condicionalP(k) → P(k+ 1) éverdadeira para todos os números inteiros positivosk.


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Exemplo

Mostre que sen for um número inteiro positivo, então

1+ 2+ · · ·+ n =n(n+ 1)

2. (9)

Solução

P(n) = n(n+1)2 . Mostrar queP(1) é verdadeira e queP(k) implica em

P(k+ 1).

P(1)

1 =1(1+ 1)

2. (10)

1+ 2+ · · ·+ k =k(k+ 1)

2(11)


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Exemplo

P(k+ 1)

1+ 2+ · · ·+ k =k(k+ 1)

2(12)

1+ 2+ · · ·+ k+ (k+ 1) =(k+ 1)((k+ 1) + 1)

2=

(k+ 1)(k+ 2)2

(13)

P(k+ 1)

1+ 2+ · · ·+ k+ (k+ 1) =k(k+ 1)

2+ (k+ 1) (14)

1+ 2+ · · ·+ k+ (k+ 1) =k(k+ 1) + 2(k+ 1)

2(15)

1+ 2+ · · ·+ k+ (k+ 1) =(k+ 1)(k+ 2)

2. (16)


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Exemplo

Conjecture uma fórmula para a soma dos primeirosn númerosinteiros positivos e ímpares. Então, demonstre sua conjectura usandoa indução matemática.

Soma

1 = 1 (17)

1 +3 = 4 (18)

1 +3+ 5 = 9 (19)

1 +3+ 5+ 7 = 16 (20)

1 +3+ 5+ 7+ 9 = 25. (21)


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Exemplo


Conjectura

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2n− 1) = n2 (22)

P(1)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2n− 1) = n2 (23)

(1)2 = 1 (24)


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Exemplo


P(k)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = k2 (25)

P(k+1)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2(k+ 1)− 1) = (k+ 1)2 (26)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k+ 1) = (k+ 1)2 (27)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (28)


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Exemplo


P(k)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = k2 (25)

P(k+1)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2(k+ 1)− 1) = (k+ 1)2 (26)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k+ 1) = (k+ 1)2 (27)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (28)


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Exemplo


P(k)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = k2 (25)

P(k+1)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2(k+ 1)− 1) = (k+ 1)2 (26)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k+ 1) = (k+ 1)2 (27)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (28)


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Exemplo

P(k)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = (k)2 (29)

somando 2k+ 1

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + (2k+ 1) (30)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + 2k+ 1 (31)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (32)

Então, comoP(1) é verdadeira eP(k) → P(k+ 1), a soma dosnúmeros inteiros ímpares én2.


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Exemplo

P(k)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = (k)2 (29)

somando 2k+ 1

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + (2k+ 1) (30)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + 2k+ 1 (31)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (32)



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Exemplo

P(k)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) = (k)2 (29)

somando 2k+ 1

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + (2k+ 1) (30)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = k2 + 2k+ 1 (31)

1+ 3+ 5+ · · ·+ (2k− 1) + (2k+ 1) = (k+ 1)2 (32)



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Exemplo

P(n)

Use a indução matemática para mostrar que

1+ 2+ 22 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1 (33)

P(0)

20 = 1 = 20+1 − 1 (34)

P(k)

1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k = 2k+1 − 1 (35)


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Exemplo

P(k+1)


1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k+1 = 2(k+1)+1 − 1 (36)

P(k+1)

1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k+1 = 2(k+2) − 1 (37)

1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k + 2k+1 = 2(k+2) − 1 (38)


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Exemplo

P(k+1)


1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k + 2k+1 = 2k+1 − 1+ 2k+1 (39)

P(k+1)

1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k + 2k+1 = 2(2k+1)− 1 (40)

1+ 2+ 22 + · · ·+ 2k + 2k+1 = 2k+2 − 1 (41)


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Grafos

Definição 1

Um Grafo G = (V,E) consiste emV, um conjunto não vazio devértices(ou nós), eE, um conjunto dearestas. Cada aresta tem um oudois vértices associados a ela, chamados de suasextremidades.Dizemos que uma arestaliga ouconectasuas extremidades.

OBS:

O conjunto de vérticesV deG pode ser infinito. Este é chamado deGrafo infinito . Caso contrário é umGrafo finito .


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Grafos


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Grafos

Definição 2

Um Grafo orientado (ou dígrafo)(V,E) consiste emV, um conjuntonão vazio devértices(ou nós), eE, um conjunto dearestas. E cadaaresta orientada está associada a um par ordenado de vértices. É ditoque aresta orientada associada ao par ordenado(u, v) começa emu etermina emv.


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Grafos

Tipos

Grafo Simples: cada aresta conecta dois vértices diferentesu, v.Multigrafos: arestas multiplas: várias arestas conectadas ao mesmovértices.Multiplicidade m.Laços: Arestas que conectam um vértices a sí mesmo.


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Tipos

Grafo Simples: cada aresta conecta dois vértices diferentes{u, v}.Multigrafos: arestas multiplas: várias arestas conectadas ao mesmovértices.Multiplicidade m.Laços: Arestas que conectam um vértices a sí mesmo.


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FIM


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