Embed Size (px)
Citation preview
Capítulo 4: Lógica Capítulo 4: Lógica MatemáticaMatemática
Capítulo 4: Lógica Capítulo 4: Lógica MatemáticaMatemática
Autor: José Alfredo Jiménez Murillo
Objetivos
Comprender el concepto de proposición y la forma en que se pueden elaborar proposiciones compuestas usando conectores lógicos.
Evaluar proposiciones lógicas por medio de tablas de verdad.
Comprender los conceptos de tautología, contradicción, equivalencia lógica y regla de inferencia.
Representar enunciados en forma de teorema usando simbología lógica.
Demostrar teoremas por medio del método deductivo directo y contradicción.
Distinguir entre argumentos válidos y no validos.
Representar predicados con notación lógica, usando los cuantificadores existencial y universal.
Demostrar proposiciones por medio de inducción matemática.
-
-
-
-
-
-
-
-
La lógica estudia la forma del razonamiento y en particular determina si un razonamiento o teorema es falso o verdadero, lo cual hace que sea ampliamente aplicada en filosofía, matemáticas, computación, electrónica, eléctrica y mecánica.
Lógica matemática
No surgió con el uso de las computadoras, por el contrario se ha consolidado porque es una herramienta fundamental para mejorar el software y hardware.
Tiene sus inicios en el siglo III a. C. con la “Teoría silogista” de Aristóteles.
Una proposición o enunciado es una oración, frase o expresión matemática que puede ser falsa o verdadera, pero no ambas a la vez.
Las proposiciones se indica por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Proposición
Ejemplos:
p: El planeta tierra tiene forma plana.
q: España es el único país de habla hispana de la comunidad Europea.
r: x > (y-5)
s: El FC Barcelona será campeón de la Champions league este año.
t: Formatea el disco por favor.
u: Hola.
t y u no son proposiciones válidas porque no pueden tomar un valor de falso o verdadero
r y s son válidas aunque se debe esperar para saber si son verdaderas o falsas
Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones “compuestas”. Se dice que una proposición es compuesta cuando está integrada por dos o más proposiciones simples conectadas por medio de operadores lógicos.
Proposiciones compuestas
Los operadores lógicos son:
And
Or
Not
X-or
Básicos
Nand
Nor
X-Nor
Compuestos
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es .
Operador and (y)
Ejemplo
Una persona puede votar si es mayor de edad y tiene credencial de elector.
Sean:
p: Puede votar.
q: Es mayor de edad.
r: Tiene credencial de elector.
q r p = qr
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 = falso
1 = verdadero
Operador or (o)
Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: , +, .
Ejemplo
Una persona puede ingresar a los Estados Unidos de América, si nació en ese país o recibe una visa.
Sean:
p: Ingresa a los Estados Unidos.
q: Nació en Estados Unidos.
r: Recibe una visa.
q r p q r
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Lógicamente equivalente
En lógica matemática en lugar del signo = se utilizan los signos y para indicar equivalencia lógica
Operador not (no)
El operador lógico not tiene como función negar la proposición. Esto significa que si a alguna proposición verdadera se le aplica el operador not, se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: ´, , , ~.
p p′
1 0
0 1
Sean:
p: Aprobé el examen de matemáticas.
p’: No aprobé el examen de matemáticas
p p’’
p’’’’ p’
p’’’’ p
El resultado de este operador es verdadero sólo si una de las proposiciones es verdadera, ya que cuando ambas son verdaderas el resultado es falso. Este operador se indica por medio del símbolo .
Operador or exclusivo (xor)
p q p q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Equivale a:
p q p’ q p q’
A B
A B
Todos los operadores lógicos tienen su equivalente en teoría de conjuntos.
Una proposición condicional es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuestas) p y q, y que se indica de la siguiente manera:
Proposición condicional ()
p q “Si p entonces q”
Ejemplo
Un candidato a la presidencia de México dice:
“Si salgo electo presidente de la República, entonces el desempleo se reducirá al 3% el año siguiente.”
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Donde:
p: Salió electo.
q: El desempleo se redujo al 3% el año siguiente.
Proposición bicondicional ()
Sean p y q dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente forma:
p q “p si sólo si q”
Ejemplo
“Es buen libro si y sólo si lo editó alfaomega”.
Sean:
p: Es buen libro.
q: Lo editó alfaomega.
p q p q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
La proposición bicondicional sólo es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas.
Usando los diferentes operadores lógicos expuestos, se pueden representar con notación lógica enunciados compuestos con más de una proposición.
Proposiciones compuestas
Representar con notación lógica el siguiente enunciado:
“Si no hago ejercicios de matemáticas y no llego puntual a la clase, entonces reprobaré la materia u obtendré baja calificación”
Ejemplo
Sean:
p: Hago ejercicios de matemáticas.
q: Llego puntual a la clase.
r: Reprobaré la materia.
s: Obtendré baja calificación.
Respuesta:
(p’ q’) (r s)
Ejemplo
Si domino el inglés y tengo conocimientos de computación, entonces conseguiré buen empleo. Si consigo buen empleo, entonces viviré desahogadamente. En conclusión si no vivo desahogadamente y no consigo buen empleo, entonces no domino el inglés o no tengo conocimientos de computación.
Sean:
p: Domino el inglés.
q: Tengo conocimientos de computación.
r: Conseguiré buen empleo.
s: Viviré desahogadamente.
Respuesta:
[(p q) r] [r s ] [(s’ r’) (p’ q’)]
Representar con notación lógica el siguiente enunciado.
Tablas de verdad
Por medio de una tabla de verdad se pueden mostrar todos los resultados posibles de una proposición.
Número de filas = 2n n = número de proposiciones diferentes
Al llevar a cabo la evaluación se debe respetar la siguiente jerarquía de operación:
Jerarquía Operador
1ª. ( )
2ª. ′
3ª.
4ª.
5ª.
q p’ r ( r’ q’ p)
Ejemplo
La tabla de verdad para la siguiente proposición, es como se indica:
01100000111
10010100011
11111010101
11011110001
01100001110
11110101010
01100011100
11110111000
qp’ r(r’q’p)q p’rp’rr’q’pq’pr’q’p’rqp
Tautología es aquella proposición que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables.
Tautología
Ejemplos de tautologías:
p p’ p p’
1 0 1
0 1 1
p q p’ q’ p q (p q) q’ [(p q) q’] p’
0 0 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1
Tautologías comunes
1. Adición:p (p q)
2. Simplificación:(p q) p
3. Absurdo:(p 0) p'
4. Modus ponens:[p (p q)] q
5. Modus tollens:[(p q) q'] p'
6. Transitividad de la bicondicional:[(p q) (q r)] (p r)
7. Transitividad de la condicional:[(p q) (q r)] (p r)
8. Implicaciones lógicas:a) (p q) [(p r) (q s)]b) (p q) [(p r) (q s)]c) (p q) [(q r) (p r)]
9. Dilemas constructivos:a) [(p q) (r s)] [(p r) (q s)]b) [(p q) (r s)] [( p r) (q s)]
Contradicción
Se dice que una proposición es una contradicción o “absurdo” si al evaluar esa proposición el resultado es falso, para todos los valores de verdad.
p p’ p p’
0 1 0
1 0 0
p: La torre Eiffel es alta.
Entonces la proposición p p’ equivale a decir que:
“La torre Eiffel es alta y no es cierto que la torre Eiffel sea alta”.
Por lo tanto, ocurre una contradicción.
Contingencia
Una contingencia es una proposición compuesta cuyos valores, en sus diferentes líneas de la tabla de verdad, dan como resultado unos y ceros.
Prácticamente cualquier proposición que se invente por lo general es una contingencia.
0010011
0011001
1100110
0111100
((q’ p) p’) q(q’ p) p’q’ pq’p’qp
Las reglas de inferencia permiten relacionar dos o más proposiciones para obtener una tercera que es válida en una demostración.
Reglas de inferencia
Ejemplo
“Si estudio mucho y hago ejercicios, entonces aprobaré las materias. Si apruebo las materias, entonces tendré una beca”.
Sean:
p: Estudio mucho.
q: Hago ejercicios.
r: Aprobaré las materias.
t: Tendré una beca.
Silogismo hipotético p q q r________ p r
Silogismo hipotético (p q) r r t ________ (p q) t
Reglas de inferencia importantes
10. Adición p q_______ p q
11. Simplificación
p q______ p
12. Silogismo disyuntivo
p q p’______ q
13. Silogismo hipotético p q q r________ p r
14. Conjunción p q_______ p q
15. Modus ponens
p p q______ q
16. Modus tollens
p q q’______ p’
Equivalencia lógica
Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes, o simplemente equivalentes, si coinciden sus resultados para los mismos valores de verdad, y se indican como p q o bien como p q.
p q p’
q’ p q q p q’ p‘ (p q) (q p) p q
0 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 1 1 1
Equivalentes Equivalentes
(p q) (q’ p‘)
(p q) (q’ p‘)
(p q) (q p) (p q)
(p q) (q p) (p q)
Proposiciones equivalentes
17. Doble negacióna) p'' p
18. Leyes conmutativasa) (p q) (q p)b) (p q) (q p)c) (p q) (q p)
19. Leyes asociativasa) [(p q) r] [p (q r)]b) [(p q) r] [p (q r)]
20. Leyes distributivasa) [p (q r)] [(p q) (p r)]b) [p (q r)] [(p q) (p r)]
21. Leyes de idempotenciaa) (p p) pb) (p p) p
22. Leyes de Morgana) (p q)' (p' q')b) (p q)' (p' q')
23. Contrapositivaa) (p q) (q' p')
24. Implicacióna) (p q) (p' q)b) (p q) (p q')'c) (p q) (p' q)d) (p q) (p q')'e) [(p r) (q r)] [(p q) r]f) [(p q) (p r)] [p (q r)]
25. Equivalenciaa) (p q) [(p q) (q p)]b) (p q) [(p’ q) (q’ p)]c) (p q) [(p q) (p’ q’)]
26. Contradiccióna) (p p’) 0
27. Ley de identidada) (p 0) pb) (p 1) 1c) (p 0) 0d) (p p’) 1e) (p 1) pf) (p q q) q
28. Disyunción exclusivaa) (p q) (p q)’
Continuación de proposiciones equivalentes
Por medio de tautologías, reglas de inferencia y equivalencias lógicas es posible demostrar de manera formal si un teorema es falso o verdadero.
Argumentos válidos
y no válidos
Un argumento consiste en una o más hipótesis y una conclusión, de forma que la conclusión se apoye en las hipótesis.
También se puede considerar a un argumento como una serie de proposiciones interrelacionadas que conforman una proposición más compleja, a la cual se le llama teorema.
En general los argumentos lógicos a tratar tienen la siguiente forma:
P Q
La proposición P está integrada por proposiciones más simples llamadas hipótesis, las cuales se encuentran relacionadas por el operador lógico , y Q es la conclusión del teorema que también puede estar conformada por una o más proposiciones simples.
De esta forma el argumento puede tener la siguiente forma:
(p1 p2 ... pn) q
en donde p1, p2,…, pn son las hipótesis y q es la conclusión del razonamiento o teorema.
La validez del argumento depende de la estructura existente entre las hipótesis y la conclusión.
Hay argumentos que son válidos, mientras que otros no lo son. A continuación se ilustra esto en los siguientes 4 ejemplos.
Argumentos válidos y no válidos
Caso en el que el argumento es válido, y tanto las hipótesis como la conclusión son verdaderas.
Ejemplo 1
“Los jugadoderes profesionales de futbol soccer ganan mucho dinero. Ronaldinho es futbolista profesional. Ronaldinho gana mucho dinero.
Considerar que: p1: Los jugadores profesionales de futbol ganan mucho dinero. p2: Ronaldinho es futbolista profesional. q: Ronaldinho gana mucho dinero.
Por lo tanto el enunciado anterior se puede representar con notación lógica de la siguiente manera:
1 1 11 1 11 11
p1 p2 q
Como tanto hipótesis como conclusión son verdaderas (p1 = 1, p2 = 1, q = 1)
Un argumento también es válido cuando todas o alguna de las hipótesis es falsa y la conclusión es verdadera.
Ejemplo 2
“Las mujeres son jóvenes. Miss universo es mujer. En conclusión, miss universo es joven.”
Aquí: p1: Las mujeres son jóvenes. p2: Miss universo es mujer. q: Miss universo es joven.
Considerando p1 = 0, p2 = 1 y q = 0 se tiene:
p1 p2 q
0 1 10 11
También se considera que un argumento es válido cuando las hipótesis y la conclusión son falsas.
“Los italianos ganaron la segunda guerra mundial. Adolf Hitler es italiano. Por lo tanto, Adolf Hitler ganó la segunda guerra mundial.”
Aquí: p1: Los italianos ganaron la
segunda guerra mundial. p2: Adolf Hitler es italiano. q: Adolf Hitler ganó la segunda
guerra mundial.
Considerando p1 = 0, p2 = 0 y q = 0 se tiene:
0 0 00 01
p1 p2 q
Ejemplo 3
No son argumentos válidos aquellos en donde las hipótesis son verdaderas y la conclusión falsa.
“A toda acción corresponde una reacción de la misma intensidad pero de sentido contrario. La fuerza es directamente proporcional al producto de la masa por la aceleración (F = ma). Por lo tanto, las leyes anteriores son de Boyle Mariotte”.
Aquí: p1: A toda acción corresponde una
reacción de la misma intensidad pero de sentido contrario.
p2: La fuerza es directamente proporcional al producto de la masa por la aceleración (F = ma).
q: Las leyes anteriores son de Boyle Mariotte.
Considerando p1 = 1, p2 = 1 y
q = 0 se tiene:
1 1 01 00
p1 p2 q
Ejemplo 4
Cuando no se sabe si las proposiciones que integran un argumento son falsas o verdaderas, es necesario probarlo en todos los casos posibles teniendo en cuenta que un argumento no es válido solamente cuando a partir de hipótesis verdaderas se desprende una conclusión falsa, esto es, cuando 1 0.
La forma más fácil de determinar si un argumento es válido o no, cuando no se tienen los valores de las proposiciones, es por medio de la tabla de verdad. Si se trata de una tautología se dice que el argumento es válido, en caso contrario el argumento es inválido.
Más sobre argumentos válidos
Tipos de argumentos
Existen dos tipos de argumentos lógicos:
- Inductivos y
- Deductivos
Argumentos Inductivos
En un argumento inductivo se va de lo particular a lo general, se puede decir que es el conjunto de observaciones y datos cuya tendencia permite visualizar o generalizar el comportamiento de un evento.
Al final de la unidad se verá la forma en que es posible demostrar si un argumento es válido por medio de inducción matemática.
En un argumento deductivo se va de lo general a lo particular, se trata de un procedimiento que parte de un teorema integrado por hipótesis y una conclusión.
En nuestro caso, este tipo de argumentos se demostrará formalmente por medio de leyes y reglas conocidas (tautologías, reglas de inferencia y equivalencias lógicas).
Argumentos deductivos
La demostración formal usando el método deductivo se hará por:
- Método directo.
- Contradicción.
Demostración formal
Supóngase que P Q es el teorema que resulta del planteamiento de un problema usando para ello notación lógica, y que P y Q son proposiciones compuestas en las que interviene cualquier número de proposiciones simples que conforman una serie de hipótesis consideradas verdaderas.
Se dice que Q se desprende lógicamente de P, y que por lo tanto el teorema P Q es verdadero. Sin embargo también P Q puede ser falso, si se presenta alguna inconsistencia en la demostración o planteamiento inicial. El teorema por demostrar tiene la forma
Por el método directo
(p1 p2 ... pn) q
En la demostración se deben de colocar primero las hipótesis, seguidas de las proposiciones obtenidas al aplicar reglas de inferencia, tautologías y equivalencias lógicas, hasta llegar a la conclusión. Todas las líneas de la demostración se deben de numerar, con el fin de evitar confusiones en la obtención de nuevas proposiciones que se deben considerar verdaderas. En general, las demostraciones formales deben de tener el siguiente formato:
1.- p1
2.- p2
. .n.- pn
(n+1).- pn+1
. .(m−1).- pm-1
m.- q
Procedimiento
Demostración formal
Ejemplo
Representar en forma de teorema el siguiente enunciado y demostrar si es falso o verdadero usando el método directo.
"Si trabajo o ahorro, entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no puedo guardar el coche en mi casa, entonces no ahorro."
Sean:
p: Trabajo.q: Ahorro.r: Compraré una casa.s: Podré guardar el coche en mi casa.
Hipótesis:
(p q) r r s
Conclusión:
s' q'Teorema:
[(p q) r] [r s] [s' q']
1. (p q) r Hipótesis
2. r s Hipótesis
3. q (q p) Adición; 1
4. q (p q) 3; ley conmutativa; 18a
5. q r 4, 1; silogismo hipotético; 13
6. q s 5, 2; silogismo hipotético; 13
7. s' q' 6; contrapositiva; 23
[(p q) r] [r s] [s' q']
Demostración por el método directo del teorema:
Ejemplo
1. (p q) r Hipótesis2. r s Hipótesis3. (p q) s 1, 2; Silogismo hipotético; 134. s’ (p q)’ 3; Contrapositiva; 235. s’ (p’ q’) 4; Ley de De Morgan; 22a6. (q’ p’) q’ Simplificación; 27. (p’ q’) q’ 6; Ley conmutativa; 18b8. s' q' 5, 7; Silogismo hipotético; 13
[(p q) r] [r s] [s' q']
La demostración del mismo teorema por el método directo es la siguiente:
Ejemplo
Por contradicción
El procedimiento de la demostración por contradicción es semejante al del método directo, con la diferencia de que las líneas iniciales de dicha demostración no son únicamente las hipótesis, sino que además se incluye una línea con la negación de la conclusión.
Obviamente el objetivo de la demostración ya no es llegar a la conclusión, sino a una contradicción de la forma:
(p p’) 0
1. (p q) r Hipótesis2. r s Hipótesis3. (s' q' )’ Negación de la conclusión4. [(s’ q’’)’]’ 3; Implicación 24b5. s’ q 4; Doble negación; 176. s’ 5; Simplificación; 117. q 5; Simplificación; 118. (p q) s 1, 2; Silogismo hipotético; 139. s’ (p q)’ 8; Contrapositiva; 2310. s' (p’ q') 9; Ley de De Morgan; 22a11. (p’ q') 6, 10; Modus ponens; 1512. q’ 11; Simplificación; 1113. q q’ 7, 12; Conjunción; 1414. 0 13; Contradicción; 26
[(p q) r] [r s] [s' q']
Demostración por contradicción del teorema:
Por contradicción
Predicados y sus valores de verdad
La lógica de predicados, o lógica de conjuntos, se basa en que las proposiciones son conjuntos de elementos que tienen una propiedad o característica llamada “predicado”, y en este contexto una proposición puede ser verdadera para un grupo de elementos de un conjunto pero falsa para otro.
En la lógica de predicados se debe definir un conjunto universo, dominio o universo del discurso, que contiene a todos los elementos a los cuales se está sometiendo el predicado.
U = {x x es un estudiante de la licenciatura en informática}
p: “Aprobaron matemáticas”
Se debe tener una proposición o predicado:
p(x): “x aprobó matemáticas”
Los elementos del conjunto pueden cumplir o no con ese predicado:
Además se cuenta con los conceptos “Todos” y “Algunos”, que permiten manejar más de un elemento de un conjunto y cuya representación en matemáticas es:
= “Para todo o todos” = “Existe alguno, algunos o al menos un elemento”
Predicados y sus valores de verdad
p(x): “Todos los estudiantes de la licenciatura en informática aprobaron matemáticas”
x p(x): “Todos los estudiantes de la licenciatura en informática aprobaron matemáticas”
x p(x): “Algún o algunos de los estudiantes de la licenciatura en informática aprobaron matemáticas”
Si no se le antepone al predicado el cuantificador universal , es como si lo tuviera. Sin embargo cuando se desea expresar que solamente parte de los elementos del conjunto cumplen con cierta propiedad, siempre se deberá colocar poniendo el cuantificador existencial .
Es obvio que x p(x) ≠ p(x)
Predicados y sus valores de verdad
x p(x) x U (Para todo x; tal que p, donde x es un elemento de U)
x p(x) x U (Existe algún elemento x; tal que p, donde x es elemento de U)
Se acostumbra indicar junto con el predicado cuál es el dominio para esa proposición.
Los operadores lógicos , , ’, , que se usan en lógica de proposiciones, también son válidos en lógica de predicados.
Predicados y sus valores de verdad
Se puede tener más de un conjunto y más de un predicado, para formar predicados más complejos. Ejemplo:
U = {z z es un objeto}A = {x x es una bicicleta}B = {y y es un televisor}
A U y B U
p: Son de metalq: Son de plásticor: Son de metal y plástico
x p(z): Todos los objetos son de metal.x p(x): Todas las bicicletas son de metal.y p(y): Todos los televisores son de metal.x q(x): Todas las bicicletas son de plástico.y q(y): Todos los televisores son de plástico.
Predicados y sus valores de verdad
x q(x): Algunos objetos son de plástico.x p(x): Algunas bicicletas son de metal.y p(y): Algunos televisores son de metal.x q(x): Algunas bicicletas son de plástico.y q(y): Algunos televisores son de plástico.
x r(x): Todas las bicicletas son de metal y plástico.y r(y): Algunos televisores son de metal y plástico.
x y r(x, y): Todas las bicicletas y todos los televisores son de metal y plástico.
Cuando el predicado tiene más de un parámetro, el orden en que están colocados es importante, sin importar el orden en que se colocan los cuantificadores.
x y r(y, x): Todos los televisores y todas las bicicletas son de metal y plástico.
Predicados y sus valores de verdad
x y r(x, y): Algunas bicicletas y algunos televisores son de metal y plástico.
z y r(x, z): Algunas bicicletas y algunos objetos son de metal y plástico.
El complemento de un enunciado se indica de la siguiente manera:
[x p(x)]’ x p’(x): Ninguna bicicletas es de metal.
Ya que el complemento de todos es “ninguno”.
a)
b) [x p(x)]’ x p’(x): Algunas bicicletas no son de metal.
El complemento de algunos, son los elementos que faltan para completar todos.
Predicados y sus valores de verdad
Valores de verdad para los predicados
Es posible evaluar los predicados de manera semejante a como se realiza con proposiciones.
Los valores que toman los predicados son también falso (0) y verdadero (1).
Los operadores lógicos , , ’, , que se usan en lógica de proposiciones, también son válidos en lógica de predicados.
También es posible obtener las tablas de verdad de dichos predicados.
a)
b)
c)
Ejemplo
Donde:U = {x x es una persona}p: Vive bien.q: Es floja.r: Es trabajadora.
“Si todos las personas son trabajadoras, entonces todas las personas vivirán muy bien. Si algunas personas son flojas o algunas no son trabajadoras, entonces algunas personas no vivirán bien. Por consiguiente; si todas las personas viven bien, entonces todas son trabajadoras y ninguna persona es floja.”
Representar con notación lógica el siguiente predicado y evaluarlo de acuerdo a la experiencia.
[x r(x) x p(x)] [[x q’(x) x r’(x)] [x p’(x)]] [x p(x) [x r(x) x q’(x)]
[r(x) p(x)] [[x q’(x) x r’(x)] [x p’(x)]] [ p(x) [ r(x) q’(x)]
Respuesta:
[0 0] [[1 1] [ 1 ]] [ 0 [ 0 0]]
1 [ 1 1 ] [ 0 0]
1 1 1 1 1 1 1 1
Inducción matemática
Como se mencionó anteriormente, una proposición es una oración, frase, igualdad o desigualdad, que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez.
Además de ser posible probar que una proposición es falsa o verdadera por el método deductivo como se hizo anteriormente por el método directo y contradicción, también es posible probar la validez de una proposición usando para ello el método inductivo.
En computación es común desarrollar programas en donde se tiene un “valor inicial” para la primera iteración, un incremento o decremento que puede ser aplicado por medio de una expresión matemática llamada término “n-ésimo”, que permite obtener los valores de una sumatoria en cada iteración y un “resultado” de la sumatoria, el cual también es posible representar en forma generalizada por medio de una expresión matemática.
Esto implica que es posible representar algoritmos en forma matemática y probar si esos algoritmos son falsos o verdaderos, usando para ello inducción matemática.
Para usar la inducción matemática en la demostración de algoritmos es necesario que éstos se representen como una sumatoria de la siguiente manera:
x1 + x2 + x3 ... + t = r
Inicio Termino n-ésimo Resultado
En la sumatoria anterior, el primer elemento x1 es el valor obtenido en la primera iteración (n = 1) y se conoce como valor inicial.
Inducción matemática
El término n-ésimo t es una expresión matemática que permite obtener cada uno de los elementos de la sumatoria y que deberá estar en función de n, ya que dependiendo del valor de n se determina si se trata del primero, segundo o n-ésimo elemento.
Finalmente, el resultado r también es una expresión matemática en función de n que permite encontrar el resultado de sumar los n elementos de la sumatoria.
La sumatoria anterior, incluyendo inicio, término n-ésimo y resultado, es la proposición P(n).
Inducción matemática
El principio de inducción matemática establece que la proposición P(n) es verdadera n k si se cumplen las siguientes condiciones:
P(k) es verdadera cuando k = 1.
P(k) es cierta cuando k = n + 1.
a)
b)
Al primer inciso se le conoce como “paso básico” y al segundo se le llama “paso inductivo”.
El método consiste en sustituir n = 1 en el n-ésimo término de la sumatoria. Si el resultado obtenido es igual al primer término de la sumatoria, se dice que se cumple el paso básico.
Inducción matemática
En caso de que se cumpla el paso básico, se procede a probar si la proposición también es verdadera cuando k = n + 1. Se sustituye (n + 1) en lugar de n en el termino n-ésimo de la sumatoria.
Se agrega dicho término en los dos lados de la igualdad, para que no se altere, y se realizan algunas operaciones algebraicas hasta obtener una forma tal que sea fácil de sustituir k = n + 1.
Si el resultado, que ahora está en función de k, tiene la misma forma que la igualdad en función de n, se dice que se cumple el paso inductivo y que, por lo tanto, la proposición P(n) es válida o verdadera. En caso de que no se cumpla el paso básico o inductivo se considera que P(n) es falsa.
Inducción matemática
Ejemplo
Probar por medio de inducción matemática que la siguiente proposición es verdadera:
2 + 5 + 8 +...+ (3n - 1) = 2
1)n(3n
Paso básico. Sustituyendo
k = n = 1 en el término n-ésimo se tiene que: (3n -1) = 3(1) -1 = 2
Iguales
Como el resultado es igual al primer elemento de la sumatoria, se dice que se cumple el paso básico
Paso inductivo. Sea k = n + 1. Sustituyendo (n + 1) en todas las “enes” del término n-ésimo y sumándolo a ambos lados de la igualdad se tiene que:
1]-1)[3(n2
1)n(3n1]-1)[3(n1)(3n...852
21]1)2[3(n1)n(3n
1]-1)[3(n1)(3n...852
22]2[3nn3n2
2]4n6n3n2
(Expresión original)2
1)n(3n1)(3n...852
Ejemplo
2]4n73n2
24)1)(3n(n
21]1)1)[3(n(n 1]-1)[3(n1)(3n...852
Sustituyendo k = n+1
21)k(3k 1]-[3k1)(3n...852
Como la expresión marcada es igual a su equivalente en la expresión original pero ahora en función de k, se dice que se cumple también el paso inductivo y por lo tanto la proposición es verdadera.
Ejemplo
Aplicaciones de la lógica matemática
- Demostración de teoremas matemáticos.
- Diseño de algoritmos.
- Teoría de conjuntos.
- Algebra booleana.
- Creación de lenguajes.
- Inteligencia artificial.
- Bases de datos.
- Sistemas digitales y redes.
