Matemática Discreta I BCC101 Introdução Lógica Proposicional

Matemática Discreta IBCC101

IntroduçãoLógica Proposicional

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Bibliografia, Slides, Exercícios etc

Bibliografia: Rosen: Matemática Discreta e

Aplicações Velemann: How to Prove it

Slides, exercícios, avisos, notas: www.decom.ufop.br/lucilia/md1

http://www.decom.ufop.br/lucilia/md1

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Visão GeralMatemática Discreta lida com estruturas matemáticas discretas: constituídas de partes distinguíveis ou separadas.

Discreto vs. Contínuo: Naturais vs Reais

Como computadores operam de maneira descontínua (ou discreta), executando um passo a cada instante, Matemática Discreta é o arcabouço apropriado para descrever Computação.

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Visão Geral

O conceito central da computação é o de ALGORITMO.Matemática Discreta ajuda a entender…ferramentas para a construção de algoritmosferramentas para a análise de complexidade de algoritmosmétodos para a prova de correção de algoritmos

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Matemática Discreta

Lógica Formal e Técnicas de ProvaEstruturas Discretas: conjuntos, relações, funções, árvores, grafosIndução e RecursãoTeoria de números —propriedades de inteirosCombinatória—problemas de contagemAnálise de algoritmosComputabilidade e decidibilidade

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Aplicações

Desenvolvimento de Software e Hardware Projeto de chips, especificação de software,

geração automática de software, prova formal de correção de programas

Teoria da Computação Métodos de prova para estudo de

propriedades de modelos teóricos de computação

Fundamentação para LPsInteligência Artificial Bancos de Dados

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O que é Lógica

Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo Para descrever o mundo, usamos

sentenças declarativas tais como:i. Se eu dormir demais, vou chegar atrasadoii.Eu dormi demaisiii.Eu não cheguei atrasado

Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, podemos obter conclusões:i. De i e ii podemos concluir...ii.De i e iii podemos concluir...

8BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Três Lógicos com chapéus

Três lógicos A, B e C, estão usando chapéus. Os três sabem que cada chapéu é preto ou branco, e que não são todos os chapéus brancos. O lógico A pode ver os chapéus de B e C; B pode ver os chapéus de A e C; e C é cego. Pergunta-se a cada um, primeiro a A, depois a B, depois a C, se ele sabe a cor do seu próprio chapéu. As respostas são: A: ”Não". B: ”Não". C: "Sim". Qual é a cor do chapéu de C e como ele sabe isso?

Como ganhar 1 milhãousando lógica

3 Portas Uma porta tem 1 milhão Uma porta tem uma caneta Uma porta tem uma pipoca

Inscrições nas portasPorta $$: inscrição verdadeira Porta da pipoca: inscrição falsa

CCCanetaCaneta

na porta na porta AA

BBPipocaPipoca

na porta na porta CC

AACanetaCaneta

aquiaqui

Ad

ap

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Th

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ad

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r, T

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19

82

Questão extra: Onde está a

caneta?D

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

O que é Lógica?

• Uma ferramenta para descrever e para raciocinar sobre o mundo– Para descrever o mundo, usamos

sentenças declarativas tais como:i. Amanhã vai chover ou vai nevarii. Nem hoje nem amanhã vai nevar

Apenas nos interessa saber se uma asserção é verdadeira ou falsa, e como isso pode ser determinado (ou provado).

BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 10

Do que precisamos?

Uma linguagem na qual expressar asserções sobre o mundo

Uma interpretação para sentenças da linguagem: nos interessa apenas o valor-verdade de cada sentença

Regras de raciocício para determinação da verdade ou falsidade de sentenças da linguagem.


Verdadeiro, Falso, Asserções

Axioma: Falso é o oposto de Verdadeiro.

Exemplos de asserções:– Lula foi presidente do Brasil.– Cruzeiro vai ganhar o Brasileiro de 2013.– Os peixes voam.– Esta sentença é falsa.

Q: Quais dessas sentenças são verdadeiras? Falsas? Ambos? Nem falsas nem verdadeiras?


Proposições

DEF: Uma proposição é uma asserção que é verdadeira (T) ou falsa (F).

Para evitar dor de cabeça, excluímos as sentenças que não têm significado verdadeiro nem falso, limitando nossa lógica a sentenças às quais se pode atribuir um valor-verdade:


ProposiçõesPodemos ter asserções mais complexas:

Se chover, eu não vou jogar futebol.Se x=2 então x+3=5.

Vai fazer calor ou vai fazer frio.

Como agrupar proposições simples para formar proposições mais complexas?

Como determinar o valor-verdade de proposições complexas, em termos das proposições componentes?


Lógica Proposicional

Supomos um conjunto de proposições atômicas representadas por: p, q, r, s…

E também as constantes: true e false

Proposições mais complexas são formadas a partir de proposições atômicas, usando conectivos lógicos (ou operadores lógicos).


Conectivos Lógicos


Operador Simbolo

Negação (não) Conjunção (ê) Disjunção (ou) Ou exclusivo Condicional (implicação, se então)

➝

Equivalência (bi-implicação) = ⟷

Lógica Proposicional: sintaxe formal

Seja var uma variável de proposição.

O conjunto prop de fórmulas pode ser definido pela seguinte gramática:prop := var |true | false

|(¬ prop) |(prop ∧ prop) |(prop ∨ prop) |(prop ⇒ prop) |(prop = prop)


Fórmulas da Lógica Proposicional

Quais das seguintes sentenças são fórmulas válidas da Lógica Proposicional?

((p ∨ q) ➝ p)((p ∧ ∨ p) ➝ ¬)

Proposições - Exemplos

Seja p = João é estudanteq = João vai ao cinemar = João vai estudar

Expresse cada sentença como uma proposição:

1.João vai ao cinema ou vai estudar 2.João é estudante mas não vai estudar3.Se João vai ao cinema então João não vai estudar4.João não vai ao cinema nem vai estudar 5.João vai ao cinema somente se ele não vai estudar6.É necessário que João não vá ao cinema para que ele vá estudar


Conectivos: precedência associatividade

Para evitar excesso de parênteses, é estabelecida uma precedência entre os operadores lógicos:maior precedência

¬ =∧ ∨ ➝

menor precedência

∧ e ∨ têm associatividade à esquerda

➝ tem associatividade à direita



Exemplos:

¬p ∧ q ➝ r = (((¬p) ∧ q) ➝ r)

p ∧ q ∨ r = ((p ∧ q) ∨ r)

p ∧ q ∧ r = ((p∧q)∧r) = (p∧(q∧r))

p ➝ q ➝ r = (p ➝ (q ➝ r)) ≠ ((p➝q) ➝ r)



Elimine os parênteses desnecessários:

((p ∨ q) ∨ (r ∨ s))(p ➝ (q ➝ (p ∧ q))¬ (p ∨(q ∧ r))¬ (p ∧(q ∨r))

Lógica Proposicional - semântica

O significado de uma proposição é um valor booleano: T ou F

O significado da constante true é TO significado da constante false é F

Existem 2 possíveis interpretações para um símbolo de proposição p : T ou F

Como determinar o significado de fórmulas compostas, como ((p˄q) r) ?


Negação

Verdadeiro sse o operando é FalsoDefina p = x < 0, q = x > 10

p é verdadeiro sse x é não negativo(p q) é verdadeiro sse x entre 0 e 10


p ¬ pT FF T

Conjunção

Verdadeiro sse ambos os operandos verdadeiros

Defina p = x > 0, q = x < 10

pq é verdadeiro sse x está entre 0 e 10


p q p q∧

T T TT F FF T FF F F

Disjunção

Verdadeiro sse qualquer dos operandos é verdadeiro

Defina p = x > 0, q = x < 10

p∨q é verdadeiro sse x está fora do intervalo fechado 0 a 10


p q p q∨

T T TT F TF T TF F F

Ou Exclusivo

Verdadeiro sse os operandos tem valores diferentes

Defina p = x > 0, q = y > 0

p⊕q é verdadeiro se (x,y) está no 2o. ou 4o. quadrante


p q p ⊕ q

T T FT F TF T TF F F

Quadrante 1 x > 0, y > 0

Quadrante 2 x < 0, y > 0 Quadrante

4 x > 0, y < 0

Quadrante 3 x < 0, y < 0

y

x

Implicação

Falso sse 1o op. é verdadeiro e 2o é falso

Defina p = x > 10, q = x > 0Considere x = 15, x = 5, e x = -5pq é verdadeiro para todo valor de x

A terceira linha da tabela não ocorre

qp é falso quando x está entre 0 e 10BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP 28

p q p q➝

T T TT F FF T TF F T

Equivalência ou Bi-implicação

Verdadeiro sse ambos os operandos têm o mesmo valor

pq tem o mesmo valor que (p⇒q)(q⇒p)p q tem o mesmo valor que (p q)


p q p = qT T TT F FF T FF F T

Condicional

Diversas maneiras de expressar p ➝ q :se p então q. p implica q. se p, q.p somente se q p é suficiente para q.

Algumas maneiras invertem a ordem de p e q , mas têm a mesma conotação:

q se p q sempre que p q é necessário para p

ExemplosÉ suficiente que x>10 para que x>5É necessário que x>5 para que x>10


Tabela-verdade


Proposição: (p q) (pq)

p q

F F

F T

T F

T T

F

T

T

T

(p q) p

T

T

F

F

(pq)

F

T

T

T

(pq) (pq)

F

T

T

T

Verdadeiro p/ alguma: Satisfatível Verdadeiro p/ todas: Tautologia Falso p/ todas :

Contradição (não satisfazível)

Outra Tabela-verdade


Proposição: (pq)(pq)

p q

F F

F T

T F

T T

F

T

F

(pq) p

T

T

F

F

( p q)

F

T

T

T

(p q) (pq) F

T

F

F F

Sherlock Holms

O mordomo e o cozinheiro não são ambos inocentesOu o mordomo está mentindo ou o cozinheiro é inocenteEntão ou o mordomo está mentindo ou ele é culpado

M = o mordomo é inocente C = o cozinheiro é inocente L = o mordomo está mentindo


M C) L C

L M

Sherlock Holms


M C L M C) L C L M

False False False True False True

False False True True True True

False True False True True True

False True True True True True

True False False True False False

True False True True True True

True True False False True False

True True True False True True

M C), L C ⇒ L M

M C)

L C

L M

O raciocínio com tabela-verdade é viável na

prática?É bom quando existem apenas 2 variáveis

{T,F} {T,F} = possíveis valores de variáveis 2 2 linhas na tabela-verdade

Três variáveis — começa a ficar tedioso{T,F} {T,F} {T,F} = possíveis valores2 2 2 linhas na tabela-verdade

Vinte variáveis — impraticável!2 2 … 2 linhas (220)Você gostaria de preencher um milhão de linhas?Nesse caso, como faria para evitar erros?

Centenas de variáveis — + de1 milhão de anos!

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Knights and Knaves (Raymond

Smullyan)

Você pergunta a um dos nativos se existe ouro na ilha e ele responde: “Existe ouro na ilha é o mesmo que eu sou um knight”. a)Pode-se determinar se o nativo é um knight ou um knave?b)Pode-se determinar se existe ou não ouro na ilha?


Em uma ilha hipotética, os habitantes ou são Knights, que sempre falam verdade, ou Knaves, que sempre mentem.

Knights and Knaves (Raymond

Smullyan)

Seja k = o nativo é um knight o = há ouro na ilha

Temos: (k ∧ (k=o)) ∨ (¬k ∧ ¬(k=o)) = true

Conclusão:•há ouro na ilha•não se pode saber se o nativo é knight ou knave


k o k ∧ (k=o) ¬k ∧ ¬(k=o)

true true true false

true false false false

false true false true

false false false false

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