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Cálculo. Derivadas, Aplicaciones y Teoremas de Derivabilidad 2 Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología Departamento de Matemáticas I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA Curso 2016/17 J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 1 / 54

Cálculo. Derivadas, Aplicaciones y Teoremas de Derivabilidad · 2016. 10. 25. · Cálculo. Derivadas, Aplicaciones y Teoremas de Derivabilidad 2 Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza

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  • Cálculo. Derivadas, Aplicaciones y Teoremas de Derivabilidad2◦ Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología

    Departamento de Matemáticas

    I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

    Curso 2016/17

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 1 / 54

  • Índice

    1 IntroducciónIntroducciónEl problema de la tangenteEl problema de la velocidadDerivada de una función en un puntoRecta tangente y normalFunción derivada

    2 Operaciones con DerivadasOperaciones

    3 Cálculo de DerivadasDerivadas de funciones básicasEjemplos de cálculo

    4 Características de las funciones. OptimizaciónCrecimiento y decrecimientoMáximos y mínimosProblemas de optimización

    5 Concavidad y convexidadConcavidad y convexidad

    Puntos de inflexión6 Teoremas de funciones derivables

    Teorema de RolleEjemplo de aplicaciónTeoremas de Cauchy y de Lagrange

    7 Cálculo de límitesRegla de L’HopitalEjemplos

    8 Representación de funciones¿Cómo representamos una función?Ejemplos IEjemplos II

    9 Problemas Propuestos10 ¡No me cuentes historias!

    Euler y Agnesi11 Geometría básica

    Áreas12 Bibliografía13 Créditos

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 2 / 54

  • Introducción

    Ir a Índice

    1| Introdu

    ión

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 3 / 54

  • Introducción Introducción

    Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar larecta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con laóptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la mismapara poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente eramás "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 4 / 54

  • Introducción Introducción

    Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar larecta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con laóptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la mismapara poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente eramás "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.

    Galileo Galilei (1564-1642) descubrió experimentalmente la fórmula que nos da el espaciorecorrido por un cuerpo que cae por la acción de la gravedad en función del tiempo;esto es

    s =1

    2gt2

    Donde g es la aceleración de la gravedad. Pero no supo calcular la fórmula que relaciona lavelocidad de caída con el tiempo. La solución del problema lleva al concepto de derivada.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 4 / 54

  • Introducción Introducción

    Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar larecta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con laóptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la mismapara poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente eramás "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.

    Galileo Galilei (1564-1642) descubrió experimentalmente la fórmula que nos da el espaciorecorrido por un cuerpo que cae por la acción de la gravedad en función del tiempo;esto es

    s =1

    2gt2

    Donde g es la aceleración de la gravedad. Pero no supo calcular la fórmula que relaciona lavelocidad de caída con el tiempo. La solución del problema lleva al concepto de derivada.

    Otro problema, que no parece tener relación con los anteriores, es el cálculo de máximos ymínimos. El problema que tenían era el de la fabricación de barriles de cerveza con superficiemínima (lo que supone un ahorro en madera, muy cara en aquella época), problema cuyasolución pasa por el concepto de derivada. La solución de este tipo de problemas lo veremos alfinal del tema.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 4 / 54

  • Introducción Introducción

    Uno de los problemas que dio origen al concepto de derivada fue el problema de determinar larecta tangente a una curva cualquiera en un punto. Este problema estaba relacionado con laóptica, pues para la fabricación de lentes se necesita la recta normal a la superficie de la mismapara poder determinar el ángulo de refracción, y se dieron cuenta que determinar la tangente eramás "fácil" que la normal. Teniendo la tangente, calcular la normal es muy sencillo.

    Galileo Galilei (1564-1642) descubrió experimentalmente la fórmula que nos da el espaciorecorrido por un cuerpo que cae por la acción de la gravedad en función del tiempo;esto es

    s =1

    2gt2

    Donde g es la aceleración de la gravedad. Pero no supo calcular la fórmula que relaciona lavelocidad de caída con el tiempo. La solución del problema lleva al concepto de derivada.

    Otro problema, que no parece tener relación con los anteriores, es el cálculo de máximos ymínimos. El problema que tenían era el de la fabricación de barriles de cerveza con superficiemínima (lo que supone un ahorro en madera, muy cara en aquella época), problema cuyasolución pasa por el concepto de derivada. La solución de este tipo de problemas lo veremos alfinal del tema.

    Hubo otros muchos problemas que llevaron al concepto de derivada. Vamos a ver a continuacióncomo resolvieron el problema de la tangente (que ya vimos el curso pasado) y el de la velocidadde caída.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 4 / 54

  • Introducción El problema de la tangente

    Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 5 / 54

  • Introducción El problema de la tangente

    Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

    Para ello, partimos de la recta secante

    que pasa por los puntos A y B

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 5 / 54

  • Introducción El problema de la tangente

    Queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en A

    Para ello, partimos de la recta secante

    que pasa por los puntos A y B

    De la trigonometría sabemos que

    mAB =f (x0 + h) − f (x0)

    h

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 5 / 54

  • Introducción El problema de la tangente

    Para ello, partimos de la recta secante

    que pasa por los puntos A y B

    De la trigonometría sabemos que

    mAB =f (x0 + h) − f (x0)

    h

    Ahora aproximamos B hacia A

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 5 / 54

  • Introducción El problema de la tangente

    Para ello, partimos de la recta secante

    que pasa por los puntos A y B

    De la trigonometría sabemos que

    mAB =f (x0 + h) − f (x0)

    h

    Ahora aproximamos B hacia A

    Cuanto más nos aproximamos,

    más pequeño se hace h

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 5 / 54

  • Introducción El problema de la tangente

    Para ello, partimos de la recta secante

    que pasa por los puntos A y B

    De la trigonometría sabemos que

    mAB =f (x0 + h) − f (x0)

    h

    Ahora aproximamos B hacia A

    Cuanto más nos aproximamos,

    más pequeño se hace h

    Estamos haciendo que h → 0

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 5 / 54

  • Introducción El problema de la tangente

    Para ello, partimos de la recta secante

    que pasa por los puntos A y B

    De la trigonometría sabemos que

    mAB =f (x0 + h) − f (x0)

    h

    Ahora aproximamos B hacia A

    Cuanto más nos aproximamos,

    más pequeño se hace h

    Estamos haciendo que h → 0La pendiente de la tangente en A

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 5 / 54

  • Introducción El problema de la tangente

    Para ello, partimos de la recta secante

    que pasa por los puntos A y B

    De la trigonometría sabemos que

    mAB =f (x0 + h) − f (x0)

    h

    Ahora aproximamos B hacia A

    Cuanto más nos aproximamos,

    más pequeño se hace h

    Estamos haciendo que h → 0La pendiente de la tangente en A

    será

    limh→0

    mAB = limh→0

    f (x0 + h)− f (x0)h

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  • Introducción El problema de la tangente

    A este límite le llamamos

    derivada de f (x) en x = x0

    f′(x0) = lim

    h→0

    f (x0 + h) − f (x0)h

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  • Introducción El problema de la velocidad

    O

    X

    Y

    b

    b

    s1 t1

    s2 t2

    s1 = s(t)

    s2 = s(t +∆t)

    s = 12gt

    Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 6 / 54

  • Introducción El problema de la velocidad

    O

    X

    Y

    b

    b

    s1 t1

    s2 t2

    s1 = s(t)

    s2 = s(t +∆t)

    s = 12gt

    Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 6 / 54

  • Introducción El problema de la velocidad

    O

    X

    Y

    b

    b

    s1 t1

    s2 t2

    s1 = s(t)

    s2 = s(t +∆t)

    s = 12gt

    Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    De la física sabemos que

    vm =s2 − s1t2 − t1

    =s(t +∆t)− s(t)

    ∆t

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 6 / 54

  • Introducción El problema de la velocidad

    O

    X

    Y

    b

    b

    s1 t1

    s2 t2

    s1 = s(t)

    s2 = s(t +∆t)

    s = 12gt

    Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    De la física sabemos que

    vm =s2 − s1t2 − t1

    =s(t +∆t)− s(t)

    ∆t

    Ahora aproximamos 2 hacia 1

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 6 / 54

  • Introducción El problema de la velocidad

    O

    X

    Y

    b

    b

    s1 t1

    s2 t2

    s1 = s(t)

    s2 = s(t +∆t)

    s = 12gt

    Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    De la física sabemos que

    vm =s2 − s1t2 − t1

    =s(t +∆t)− s(t)

    ∆t

    Ahora aproximamos 2 hacia 1

    Cuanto más nos aproximamos,

    más pequeño se hace ∆t y más se parecen vm y v .

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 6 / 54

  • Introducción El problema de la velocidad

    O

    X

    Y

    b

    b

    s1 t1

    s2 t2

    s1 = s(t)

    s2 = s(t +∆t)

    s = 12gt

    Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    De la física sabemos que

    vm =s2 − s1t2 − t1

    =s(t +∆t)− s(t)

    ∆t

    Ahora aproximamos 2 hacia 1

    Cuanto más nos aproximamos,

    más pequeño se hace ∆t y más se parecen vm y v .

    Estamos haciendo que ∆t → 0

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 6 / 54

  • Introducción El problema de la velocidad

    O

    X

    Y

    bb

    s1 t1s2 t2

    s1 = s(t)

    s2 = s(t +∆t)

    s = 12gt

    Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    De la física sabemos que

    vm =s2 − s1t2 − t1

    =s(t +∆t)− s(t)

    ∆t

    Ahora aproximamos 2 hacia 1

    Cuanto más nos aproximamos,

    más pequeño se hace ∆t y más se parecen vm y v .

    Estamos haciendo que ∆t → 0

    La velocidad instantánea en 1

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 6 / 54

  • Introducción El problema de la velocidad

    O

    X

    Y

    bb s1 t1

    s1 = s(t)

    s2 = s(t +∆t)

    s = 12gt

    Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    Para ello, calculamos la velocidad media

    entre las posiciones 1 y 2

    De la física sabemos que

    vm =s2 − s1t2 − t1

    =s(t +∆t)− s(t)

    ∆t

    Ahora aproximamos 2 hacia 1

    Cuanto más nos aproximamos,

    más pequeño se hace ∆t y más se parecen vm y v .

    Estamos haciendo que ∆t → 0

    La velocidad instantánea en 1

    será

    lim∆→0

    vm = lim∆t→0

    s(t +∆t)− s(t)∆t

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 6 / 54

  • Introducción El problema de la velocidad

    O

    X

    Y

    bb s1 t1

    s1 = s(t)

    s2 = s(t +∆t)

    s = 12gt

    Queremos calcular la velocidad instantánea v en la posición s1de una masa m que cae desde O

    A este límite le llamamos

    derivada de s(t) en t = t1

    s′(t) = lim

    ∆t→0

    s(t +∆t)− s(t)∆t

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 6 / 54

  • Introducción Derivada de una función en un punto

    Derivada de una función en un punto

    La derivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos como f′(x0), es el límite,

    si existe y es finito

    f′(x0) = lim

    h→0

    f (x0 + h)− f (x0)h

    También se usa la definición equivalente

    f′(x0) = lim

    x→x0

    f (x)− f (x0)x − x0

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 7 / 54

  • Introducción Derivada de una función en un punto

    Derivada de una función en un punto

    La derivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos como f′(x0), es el límite,

    si existe y es finito

    f′(x0) = lim

    h→0

    f (x0 + h)− f (x0)h

    También se usa la definición equivalente

    f′(x0) = lim

    x→x0

    f (x)− f (x0)x − x0

    Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) =1

    x2en x0 = 1.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 7 / 54

  • Introducción Derivada de una función en un punto

    Derivada de una función en un punto

    La derivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos como f′(x0), es el límite,

    si existe y es finito

    f′(x0) = lim

    h→0

    f (x0 + h)− f (x0)h

    También se usa la definición equivalente

    f′(x0) = lim

    x→x0

    f (x)− f (x0)x − x0

    Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) =1

    x2en x0 = 1.

    f (1 + h) − f (1) = 1(1 + h)2

    − 112

    =−2h − h2

    (1 + 2h + h2)

    f′(x0) = lim

    h→0

    f (x0 + h) − f (x0)h

    = limh→0

    −2h − h2(1 + 2h + h2)

    h= lim

    h→0

    −2 − h1 + 2h + h2

    = −2

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 7 / 54

  • Introducción Derivada de una función en un punto

    Derivada de una función en un punto

    La derivada de una función en un punto de abscisa x0, que denotamos como f′(x0), es el límite,

    si existe y es finito

    f′(x0) = lim

    h→0

    f (x0 + h)− f (x0)h

    También se usa la definición equivalente

    f′(x0) = lim

    x→x0

    f (x)− f (x0)x − x0

    Como ejemplo, calculemos la derivada de f (x) =1

    x2en x0 = 1.

    f (1 + h) − f (1) = 1(1 + h)2

    − 112

    =−2h − h2

    (1 + 2h + h2)

    f′(x0) = lim

    h→0

    f (x0 + h) − f (x0)h

    = limh→0

    −2h − h2(1 + 2h + h2)

    h= lim

    h→0

    −2 − h1 + 2h + h2

    = −2

    Como vemos el cálculo de derivadas aplicando la definición se hace algo "pesado". Más adelanteestudiaremos una tabla de derivadas de funciones elementales, que junto con las operaciones conderivadas, nos permitirán un cálculo rápido de las mismas.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 7 / 54

  • Introducción Recta tangente y normal

    En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0 representabala pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 8 / 54

  • Introducción Recta tangente y normal

    En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0 representabala pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que

    Recta tangente y recta normal

    La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P = (x0, f (x0)) es, en formapunto-pendiente

    y − f (x0) = f′(x0) · (x − x0)

    y la recta normal en el punto P = (x0, f (x0)) es

    y − f (x0) = −1

    f′ (x0)

    · (x − x0)

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 8 / 54

  • Introducción Recta tangente y normal

    En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0 representabala pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que

    Recta tangente y recta normal

    La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P = (x0, f (x0)) es, en formapunto-pendiente

    y − f (x0) = f′(x0) · (x − x0)

    y la recta normal en el punto P = (x0, f (x0)) es

    y − f (x0) = −1

    f′ (x0)

    · (x − x0)

    Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) =1

    x2en x0 = 1.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 8 / 54

  • Introducción Recta tangente y normal

    En la introducción vimos que la derivada de una función en un punto de abscisa x0 representabala pendiente de la recta tangente a la curva (función) en ese punto. Por tanto tenemos que

    Recta tangente y recta normal

    La ecuación de la recta tangente a una curva en el punto P = (x0, f (x0)) es, en formapunto-pendiente

    y − f (x0) = f′(x0) · (x − x0)

    y la recta normal en el punto P = (x0, f (x0)) es

    y − f (x0) = −1

    f′ (x0)

    · (x − x0)

    Como ejemplo, calculemos las recta tangente y normal de la función f (x) =1

    x2en x0 = 1.

    Del ejercicio anterior sabemos que f′(1) = −2 y el punto será P = (x0, f (x0)) = (1, 1)

    Así pues, la recta tangente será

    y − 1 = −2 · (x − 1)

    y la normal

    y − 1 = 12· (x − 1)

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 8 / 54

  • Introducción Función derivada

    Función derivada

    La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función queasocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f

    ′(x); es

    decirf′: IR −→ IRx −→ y ′ = f ′(x)

    f′(x) = lim

    h→0

    f (x + h) − f (x)h

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 9 / 54

  • Introducción Función derivada

    Función derivada

    La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función queasocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f

    ′(x); es

    decirf′: IR −→ IRx −→ y ′ = f ′(x)

    f′(x) = lim

    h→0

    f (x + h) − f (x)h

    Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico(la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo unanueva función.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 9 / 54

  • Introducción Función derivada

    Función derivada

    La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función queasocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f

    ′(x); es

    decirf′: IR −→ IRx −→ y ′ = f ′(x)

    f′(x) = lim

    h→0

    f (x + h) − f (x)h

    Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico(la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo unanueva función.Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos la derivada segundade f y lo representamos como f

    ′′(x). De igual forma hallamos la tercera, cuarta y sucesivas

    derivadas, que representamos como f′′′(x), f IV (x), f V (x), etc.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 9 / 54

  • Introducción Función derivada

    Función derivada

    La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función queasocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f

    ′(x); es

    decirf′: IR −→ IRx −→ y ′ = f ′(x)

    f′(x) = lim

    h→0

    f (x + h) − f (x)h

    Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico(la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo unanueva función.Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos la derivada segundade f y lo representamos como f

    ′′(x). De igual forma hallamos la tercera, cuarta y sucesivas

    derivadas, que representamos como f′′′(x), f IV (x), f V (x), etc.

    Como ejemplo, calculemos la función derivada de f (x) =1

    x2.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 9 / 54

  • Introducción Función derivada

    Función derivada

    La función derivada de una función f dada o simplemente derivada de f , es una función queasocia a cada x donde la función es derivable (existe el límite y es finito) su derivada f

    ′(x); es

    decirf′: IR −→ IRx −→ y ′ = f ′(x)

    f′(x) = lim

    h→0

    f (x + h) − f (x)h

    Nota I: cuando hablamos de derivada en un punto estamos obteniendo un valor numérico(la pendiente), mientras que cuando hablamos de función derivada estamos obteniendo unanueva función.Nota II: cuando hallamos la derivada de la función derivada obtenemos la derivada segundade f y lo representamos como f

    ′′(x). De igual forma hallamos la tercera, cuarta y sucesivas

    derivadas, que representamos como f′′′(x), f IV (x), f V (x), etc.

    Como ejemplo, calculemos la función derivada de f (x) =1

    x2.

    f (x + h) − f (x) = 1(x + h)2

    − 1x2

    =−2xh − h2

    (x2 + 2xh + h2)x2

    f′(x) = lim

    h→0

    f (x + h)− f (x)h

    = limh→0

    −2xh − h2(x2 + 2xh + h2)x2

    h= lim

    h→0

    −2x − h(x2 + 2h + h2)x2

    =−2x3

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 9 / 54

  • Operaciones con Derivadas

    Ir a Índice

    2| Operaiones

    on derivadas

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 10 / 54

  • Operaciones con Derivadas Operaciones

    Derivadas de las operaciones con funcionesSean f (x) y g(x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 11 / 54

  • Operaciones con Derivadas Operaciones

    Derivadas de las operaciones con funcionesSean f (x) y g(x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

    Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

    (f ± g)′ = f ′ ± g ′

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 11 / 54

  • Operaciones con Derivadas Operaciones

    Derivadas de las operaciones con funcionesSean f (x) y g(x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

    Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

    (f ± g)′ = f ′ ± g ′

    Derivada del producto de un número real por una función

    (k · f )′ = k · f ′

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 11 / 54

  • Operaciones con Derivadas Operaciones

    Derivadas de las operaciones con funcionesSean f (x) y g(x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

    Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

    (f ± g)′ = f ′ ± g ′

    Derivada del producto de un número real por una función

    (k · f )′ = k · f ′

    Derivada del producto de dos funciones

    (f · g)′ = f ′ · g + f · g ′

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 11 / 54

  • Operaciones con Derivadas Operaciones

    Derivadas de las operaciones con funcionesSean f (x) y g(x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

    Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

    (f ± g)′ = f ′ ± g ′

    Derivada del producto de un número real por una función

    (k · f )′ = k · f ′

    Derivada del producto de dos funciones

    (f · g)′ = f ′ · g + f · g ′

    Derivada del cociente de dos funciones

    (

    f

    g

    )′

    =f′ · g − f · g ′

    g2

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 11 / 54

  • Operaciones con Derivadas Operaciones

    Derivadas de las operaciones con funcionesSean f (x) y g(x) dos funciones derivables. Entonces tenemos:

    Derivada de las suma o diferencia de dos funciones

    (f ± g)′ = f ′ ± g ′

    Derivada del producto de un número real por una función

    (k · f )′ = k · f ′

    Derivada del producto de dos funciones

    (f · g)′ = f ′ · g + f · g ′

    Derivada del cociente de dos funciones

    (

    f

    g

    )′

    =f′ · g − f · g ′

    g2

    Derivada de una función de función. Regla de la cadena

    [g(f )]′= g

    ′(f ) · f ′

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 11 / 54

  • Cálculo de Derivadas

    Ir a Índice

    3| Cálulo de

    derivadas

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 12 / 54

  • Cálculo de Derivadas Derivadas de funciones básicas

    Tabla de derivadas

    f (x) = k, k ∈ IR f ′ (x) = 0f (x) = x f

    ′(x) = 1

    f (x) = xa o f (x) = ga f′(x) = a · xa−1 o f ′ (x) = a · ga−1 · g ′

    f (x) = n√x o f (x) = n

    √g f

    ′(x) = 1

    n·n√xn−1

    o f′(x) = g

    n· n√

    gn−1

    f (x) = ex o f (x) = eg f′(x) = ex o f

    ′(x) = eg · g ′

    f (x) = ax o f (x) = ag f′(x) = ax · ln a o f ′(x) = ag · ln a · g ′

    f (x) = ln x o f (x) = ln g f′(x) = 1

    xo f

    ′(x) = g

    g

    f (x) = loga x o f (x) = loga g f′(x) = 1

    x·ln a o f′(x) = g

    g·ln a

    f (x) = sin x o f (x) = sin g f′(x) = cos x o f

    ′(x) = cos g · g ′

    f (x) = cos x o f (x) = cos g f′(x) = − sin x o f ′ (x) = − sin g · g ′

    Función simple y compuesta Derivadas

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 13 / 54

  • Cálculo de Derivadas Derivadas de funciones básicas

    Tabla de derivadas

    f (x) = tan x f′(x) = 1 + tan2 x =

    1

    cos2 x

    f (x) = tan g f′(x) = [1 + tan2 g ] · g ′ = g

    cos2 g(x)

    f (x) = arcsin x o f (x) = arcsin g f′(x) =

    1√1 − x2

    o f′(x) =

    g′

    1 − g2

    f (x) = arccos x o f (x) = arccos g f′(x) = − 1√

    1 − x2o f

    ′(x) = − g

    1 − g2

    f (x) = arctan x o f (x) = arctan g f′(x) =

    1

    1 + x2o f

    ′(x) =

    g′

    1 + g2

    f (x) = g(x)h(x) f′(x) = g(x)h(x) · ln g(x) · h′ (x) + h(x) · g(x)h(x)−1 · g ′ (x)

    f (x) =(

    x2 + 1)3x

    f′(x) =

    (

    x2 + 1)3x · ln

    (

    x2 + 1)

    · 3 + 3x ·(

    x2 + 1)3x−1 · 2x

    Función simple y compuesta Derivadas

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 14 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    f (x) =√x2 + x ⇒ f ′ (x) = 2x + 1

    2√x2 + x

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    f (x) =√x2 + x ⇒ f ′ (x) = 2x + 1

    2√x2 + x

    f (x) = ex+1 ⇒ f ′ (x) = ex+1

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    f (x) =√x2 + x ⇒ f ′ (x) = 2x + 1

    2√x2 + x

    f (x) = ex+1 ⇒ f ′ (x) = ex+1

    f (x) = ex2+x ⇒ f ′(x) = (2x + 1)ex2+x

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    f (x) =√x2 + x ⇒ f ′ (x) = 2x + 1

    2√x2 + x

    f (x) = ex+1 ⇒ f ′ (x) = ex+1

    f (x) = ex2+x ⇒ f ′(x) = (2x + 1)ex2+x

    f (x) = sin(x + 1) ⇒ f ′ (x) = cos(x + 1)

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    f (x) =√x2 + x ⇒ f ′ (x) = 2x + 1

    2√x2 + x

    f (x) = ex+1 ⇒ f ′ (x) = ex+1

    f (x) = ex2+x ⇒ f ′(x) = (2x + 1)ex2+x

    f (x) = sin(x + 1) ⇒ f ′ (x) = cos(x + 1)

    f (x) = sin(x2 + x) ⇒ f ′(x) = (2x + 1) cos(x2 + x)

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    f (x) =√x2 + x ⇒ f ′ (x) = 2x + 1

    2√x2 + x

    f (x) = ex+1 ⇒ f ′ (x) = ex+1

    f (x) = ex2+x ⇒ f ′(x) = (2x + 1)ex2+x

    f (x) = sin(x + 1) ⇒ f ′ (x) = cos(x + 1)

    f (x) = sin(x2 + x) ⇒ f ′(x) = (2x + 1) cos(x2 + x)

    f (x) = x2ex+1 ⇒ f ′ (x) = 2xex+1 + x2ex+1

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    f (x) =√x2 + x ⇒ f ′ (x) = 2x + 1

    2√x2 + x

    f (x) = ex+1 ⇒ f ′ (x) = ex+1

    f (x) = ex2+x ⇒ f ′(x) = (2x + 1)ex2+x

    f (x) = sin(x + 1) ⇒ f ′ (x) = cos(x + 1)

    f (x) = sin(x2 + x) ⇒ f ′(x) = (2x + 1) cos(x2 + x)

    f (x) = x2ex+1 ⇒ f ′ (x) = 2xex+1 + x2ex+1

    f (x) =x2

    ex+1⇒ f ′ (x) = 2xe

    x+1 − x2ex+1(ex+1)2

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    f (x) =√x2 + x ⇒ f ′ (x) = 2x + 1

    2√x2 + x

    f (x) = ex+1 ⇒ f ′ (x) = ex+1

    f (x) = ex2+x ⇒ f ′(x) = (2x + 1)ex2+x

    f (x) = sin(x + 1) ⇒ f ′ (x) = cos(x + 1)

    f (x) = sin(x2 + x) ⇒ f ′(x) = (2x + 1) cos(x2 + x)

    f (x) = x2ex+1 ⇒ f ′ (x) = 2xex+1 + x2ex+1

    f (x) =x2

    ex+1⇒ f ′ (x) = 2xe

    x+1 − x2ex+1(ex+1)2

    f (x) = xcos x ⇒ f ′(x) = xcos x · ln x · (− sin x) + cos x · xcos x−1 · 1

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Cálculo de Derivadas Ejemplos de cálculo

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de derivadas:

    f (x) =(

    3x2 + x)2 ⇒ f ′ (x) = 2

    (

    3x2 + x)

    (6x + 1)

    f (x) =√x + 1 ⇒ f ′(x) = 1

    2√x + 1

    f (x) =√x2 + x ⇒ f ′ (x) = 2x + 1

    2√x2 + x

    f (x) = ex+1 ⇒ f ′ (x) = ex+1

    f (x) = ex2+x ⇒ f ′(x) = (2x + 1)ex2+x

    f (x) = sin(x + 1) ⇒ f ′ (x) = cos(x + 1)

    f (x) = sin(x2 + x) ⇒ f ′(x) = (2x + 1) cos(x2 + x)

    f (x) = x2ex+1 ⇒ f ′ (x) = 2xex+1 + x2ex+1

    f (x) =x2

    ex+1⇒ f ′ (x) = 2xe

    x+1 − x2ex+1(ex+1)2

    f (x) = xcos x ⇒ f ′(x) = xcos x · ln x · (− sin x) + cos x · xcos x−1 · 1

    f (x) = (ln x)sin x ⇒ f ′ (x) = (ln x)sin x · ln(ln x) cos x + cos x · (ln x)sin x−1 · 1x

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 15 / 54

  • Características de las funciones. Optimización

    Ir a Índice

    4|

    Caraterístias

    de las

    funiones.

    Optimizaión

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 16 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 17 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    Si observamos la gráfica anterior vemos que en el tramo donde hemos representado la tangente(en verde), la pendiente de ésta es positiva. Este hecho nos lleva a la siguiente definición defunción creciente:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 17 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    Si observamos la gráfica anterior vemos que en el tramo donde hemos representado la tangente(en verde), la pendiente de ésta es positiva. Este hecho nos lleva a la siguiente definición defunción creciente:

    Función creciente

    Decimos que una función f (x) es creciente en un punto de abscisa x0 cuando la derivada en esepunto es positiva; es decir

    f′(x0) > 0 ⇒ f (x) creciente en x = x0

    Para estudiar los intervalos de crecimiento debemos resolver la inecuación

    f′(x) > 0

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 17 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 18 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    De la misma manera que antes, de la gráfica vemos que en el tramo donde hemos representado latangente (en marrón), la pendiente de ésta es negativa. Este hecho nos lleva a la siguientedefinición de función decreciente:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 18 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    De la misma manera que antes, de la gráfica vemos que en el tramo donde hemos representado latangente (en marrón), la pendiente de ésta es negativa. Este hecho nos lleva a la siguientedefinición de función decreciente:

    Función decreciente

    Decimos que una función f (x) es decreciente en un punto de abscisa x0 cuando la derivada en esepunto es positiva; es decir

    f′(x0) < 0 ⇒ f (x) decreciente en x = x0

    Para estudiar los intervalos de decrecimiento debemos resolver la inecuación

    f′(x) < 0

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 18 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    Ejemplo

    Dada la función f (x) = 13x3 − 3

    2x2 − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y

    decrecimiento de la misma .

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 19 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    Ejemplo

    Dada la función f (x) = 13x3 − 3

    2x2 − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y

    decrecimiento de la misma .

    Solución.-

    Hallamos en primer lugar su derivada

    f′(x) = x2 − 3x − 4

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 19 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    Ejemplo

    Dada la función f (x) = 13x3 − 3

    2x2 − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y

    decrecimiento de la misma .

    Solución.-

    Hallamos en primer lugar su derivada

    f′(x) = x2 − 3x − 4

    Para estudiar el crecimiento o decrecimiento resolvemos la inecuación

    x2 − 3x − 4 > 0

    cuya solución gráfica es

    bc bc

    −1 4+ − +

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 19 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Crecimiento y decrecimiento

    Ejemplo

    Dada la función f (x) = 13x3 − 3

    2x2 − 4x + 1, determina los intervalos de crecimiento y

    decrecimiento de la misma .

    Solución.-

    Hallamos en primer lugar su derivada

    f′(x) = x2 − 3x − 4

    Para estudiar el crecimiento o decrecimiento resolvemos la inecuación

    x2 − 3x − 4 > 0

    cuya solución gráfica es

    bc bc

    −1 4+ − +

    Así pues, la función es creciente en (−∞,−1) ∪ (4,∞) y decreciente en (−1, 4).

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 19 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Máximos y mínimos

    En la figura tenemos representadas las rectastangentes a la curva en los puntos máximoy mínimo, y lo que observamos es que estasrectas no tienen inclinación, es decir, su pen-diente es cero. Esto nos lleva a las siguientesdefiniciones:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 20 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Máximos y mínimos

    En la figura tenemos representadas las rectastangentes a la curva en los puntos máximoy mínimo, y lo que observamos es que estasrectas no tienen inclinación, es decir, su pen-diente es cero. Esto nos lleva a las siguientesdefiniciones:

    Máximos y mínimos

    Si una función f (x) presenta un máximo o un mínimo en el punto de abscisas x0, se cumple quef′(x0) = 0. Así pues, para determinar los máximos y mínimos de una función debemos resolver la

    ecuaciónf′(x) = 0

    Además, si f′′(x0) < 0, entonces tenemos un máximo en x0, y si f

    ′′(x0) > 0 tenemos un mínimo

    en x0.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 20 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Máximos y mínimos

    En la figura tenemos representadas las rectastangentes a la curva en los puntos máximoy mínimo, y lo que observamos es que estasrectas no tienen inclinación, es decir, su pen-diente es cero. Esto nos lleva a las siguientesdefiniciones:

    Máximos y mínimos

    Si una función f (x) presenta un máximo o un mínimo en el punto de abscisas x0, se cumple quef′(x0) = 0. Así pues, para determinar los máximos y mínimos de una función debemos resolver la

    ecuaciónf′(x) = 0

    Además, si f′′(x0) < 0, entonces tenemos un máximo en x0, y si f

    ′′(x0) > 0 tenemos un mínimo

    en x0.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0, entonces

    Si

    ®

    f n(x) < 0 n par ⇒ Máx. relativo

    f n(x) > 0 n par ⇒ Máx. relativo

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 20 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Máximos y mínimos

    Ejemplo

    Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 21 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Máximos y mínimos

    Ejemplo

    Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.Solución.-

    Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función

    f′(x) = 3x2 − 12x + 9

    f′′(x) = 6x − 12

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 21 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Máximos y mínimos

    Ejemplo

    Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.Solución.-

    Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función

    f′(x) = 3x2 − 12x + 9

    f′′(x) = 6x − 12

    Segundo: resolvemos la ecuación f′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y

    x = 3. Estos son los posibles máximos y mínimos.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 21 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Máximos y mínimos

    Ejemplo

    Determinar los máximos y mínimos de la función f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.Solución.-

    Primero: calculamos la derivada primera y segunda de la función

    f′(x) = 3x2 − 12x + 9

    f′′(x) = 6x − 12

    Segundo: resolvemos la ecuación f′(x) = 3x2 − 12x + 9 = 0, cuyas soluciones son x = 1 y

    x = 3. Estos son los posibles máximos y mínimos.

    Tercero: llevamos estos valores a la segunda derivada y vemos el signo

    f′′(1) = 6 · 1 − 12 = −6 < 0 ⇒ x = 1 es un máximo

    f′′(3) = 6 · 3 − 12 = 6 > 0 ⇒ x = 3 es un mínimo

    Máximo = (x , f (x)) = (1, 5)

    Mínimo = (x , f (x)) = (3, 1)

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 21 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

    Escribir la función a optimizar.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

    Escribir la función a optimizar.

    Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante lasligaduras.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

    Escribir la función a optimizar.

    Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante lasligaduras.

    Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones delenunciado del problema.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

    Escribir la función a optimizar.

    Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante lasligaduras.

    Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones delenunciado del problema.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

    Escribir la función a optimizar.

    Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante lasligaduras.

    Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones delenunciado del problema.

    Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su productoes un máximo.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

    Escribir la función a optimizar.

    Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante lasligaduras.

    Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones delenunciado del problema.

    Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su productoes un máximo.

    Si x es un número e y el otro, la función a optimizar es f (x , y) = x · y .

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

    Escribir la función a optimizar.

    Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante lasligaduras.

    Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones delenunciado del problema.

    Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su productoes un máximo.

    Si x es un número e y el otro, la función a optimizar es f (x , y) = x · y .La ligadura es que la suma de los dos es 60, esto es x + y = 60. Si despejamos la y(y = 60 − x) y sustituimos su valor en la función, tenemos f (x) = x · (60 − x) = 60x − x2.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

    Escribir la función a optimizar.

    Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante lasligaduras.

    Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones delenunciado del problema.

    Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su productoes un máximo.

    Si x es un número e y el otro, la función a optimizar es f (x , y) = x · y .La ligadura es que la suma de los dos es 60, esto es x + y = 60. Si despejamos la y(y = 60 − x) y sustituimos su valor en la función, tenemos f (x) = x · (60 − x) = 60x − x2.Hallamos la deriva : f

    ′(x) = 60 − 2x e igualamos a cero. f ′(x) = 0 ⇒ x = 30, que

    efectivamente es un máximo (comprobar).

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Características de las funciones. Optimización Problemas de optimización

    Optimización

    Optimizar una magnitud (función) es encontrar los valores que hacen que esa magnitud, sujeta aciertas restricciones, sea máxima o mínima. A las restricciones se las llaman ligaduras.Para optimizar una función seguimos los siguientes pasos:

    Escribir la función a optimizar.

    Si la función tiene más de una variable, obtener la relación entre éstas mediante lasligaduras.

    Hallar los máximos y mínimos de la función, y comprobar que cumplen las condiciones delenunciado del problema.

    Veamos un ejemplo: Hallar dos números naturales cuya suma sea 60 y sabiendo que su productoes un máximo.

    Si x es un número e y el otro, la función a optimizar es f (x , y) = x · y .La ligadura es que la suma de los dos es 60, esto es x + y = 60. Si despejamos la y(y = 60 − x) y sustituimos su valor en la función, tenemos f (x) = x · (60 − x) = 60x − x2.Hallamos la deriva : f

    ′(x) = 60 − 2x e igualamos a cero. f ′(x) = 0 ⇒ x = 30, que

    efectivamente es un máximo (comprobar).

    Así, los números pedidos son x = y = 30.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 22 / 54

  • Concavidad y convexidad

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    5| Conavidad y

    onvexidad

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  • Concavidad y convexidad Concavidad y convexidad

    Figure: Figura 1 Figure: Figura 2

    La concavidad y la convexidad son conceptos que nos hablan de como se curva la gráfica. Lasfunciones cóncavas se "curvan" hacia abajo (figura 1) y las pendientes de sus rectas tangentesvan creciendo. Las funciones convexas se "curvan" hacia arriba (figura 2)y las pendientes de susrectas tangentes van decreciendo. Tenemos por tanto la siguientes definiciones:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 24 / 54

  • Concavidad y convexidad Concavidad y convexidad

    Figure: Figura 1 Figure: Figura 2

    La concavidad y la convexidad son conceptos que nos hablan de como se curva la gráfica. Lasfunciones cóncavas se "curvan" hacia abajo (figura 1) y las pendientes de sus rectas tangentesvan creciendo. Las funciones convexas se "curvan" hacia arriba (figura 2)y las pendientes de susrectas tangentes van decreciendo. Tenemos por tanto la siguientes definiciones:

    Concavidad y convexidad

    Una función f (x) es cóncava en el punto de abscisas x0 si se cumple que f′′(x0) > 0.

    Una función f (x) es convexa en el punto de abscisas x0 si se cumple que f′′(x0) < 0.

    Los puntos donde f′′(x0) = 0 se llaman puntos de inflexión. La función cambia de cóncava o

    convexa o viceversa.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 24 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

    Para f (x) calculamos la segunda derivada: f′(x) = 3x2 − 6x f ′′ (x) = 6x − 6.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

    Para f (x) calculamos la segunda derivada: f′(x) = 3x2 − 6x f ′′ (x) = 6x − 6.

    Resolvemos la ecuación f′′(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0, cuya solución es x = 1.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

    Para f (x) calculamos la segunda derivada: f′(x) = 3x2 − 6x f ′′ (x) = 6x − 6.

    Resolvemos la ecuación f′′(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0, cuya solución es x = 1.

    Hallamos la tercera derivada y comprobamos si f′′′(x) 6= 0. Como f ′′′ (x) = 6, entonces en

    x = 1 hay un punto de inflexión. Para determinar el punto de inflexión llevamos el valorx = 1 a la función: f (1) = 13 − 3 · 12 = −2. Por tanto = (1,−2) es el P.I..

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

    Para f (x) calculamos la segunda derivada: f′(x) = 3x2 − 6x f ′′ (x) = 6x − 6.

    Resolvemos la ecuación f′′(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0, cuya solución es x = 1.

    Hallamos la tercera derivada y comprobamos si f′′′(x) 6= 0. Como f ′′′ (x) = 6, entonces en

    x = 1 hay un punto de inflexión. Para determinar el punto de inflexión llevamos el valorx = 1 a la función: f (1) = 13 − 3 · 12 = −2. Por tanto = (1,−2) es el P.I..

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

    Para f (x) calculamos la segunda derivada: f′(x) = 3x2 − 6x f ′′ (x) = 6x − 6.

    Resolvemos la ecuación f′′(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0, cuya solución es x = 1.

    Hallamos la tercera derivada y comprobamos si f′′′(x) 6= 0. Como f ′′′ (x) = 6, entonces en

    x = 1 hay un punto de inflexión. Para determinar el punto de inflexión llevamos el valorx = 1 a la función: f (1) = 13 − 3 · 12 = −2. Por tanto = (1,−2) es el P.I..

    Para g(x) calculamos la segunda derivada: g′(x) = 5x4 g

    ′′(x) = 20x3.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

    Para f (x) calculamos la segunda derivada: f′(x) = 3x2 − 6x f ′′ (x) = 6x − 6.

    Resolvemos la ecuación f′′(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0, cuya solución es x = 1.

    Hallamos la tercera derivada y comprobamos si f′′′(x) 6= 0. Como f ′′′ (x) = 6, entonces en

    x = 1 hay un punto de inflexión. Para determinar el punto de inflexión llevamos el valorx = 1 a la función: f (1) = 13 − 3 · 12 = −2. Por tanto = (1,−2) es el P.I..

    Para g(x) calculamos la segunda derivada: g′(x) = 5x4 g

    ′′(x) = 20x3.

    Resolvemos la ecuación g′′(x) = 0 ⇒ 20x = 0, cuya solución es x = 0.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

    Para f (x) calculamos la segunda derivada: f′(x) = 3x2 − 6x f ′′ (x) = 6x − 6.

    Resolvemos la ecuación f′′(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0, cuya solución es x = 1.

    Hallamos la tercera derivada y comprobamos si f′′′(x) 6= 0. Como f ′′′ (x) = 6, entonces en

    x = 1 hay un punto de inflexión. Para determinar el punto de inflexión llevamos el valorx = 1 a la función: f (1) = 13 − 3 · 12 = −2. Por tanto = (1,−2) es el P.I..

    Para g(x) calculamos la segunda derivada: g′(x) = 5x4 g

    ′′(x) = 20x3.

    Resolvemos la ecuación g′′(x) = 0 ⇒ 20x = 0, cuya solución es x = 0.

    Como g′(x) = 5x4 g

    ′′(x) = 20x3 g

    ′′′(x) = 60x2 g IV (x) = 120x gV (x) = 120, es

    g′′(0) = g

    ′′′(0) = g IV (x) = 0, y gV (x) = 120 6= 0

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Concavidad y convexidad Puntos de inflexión

    Puntos de inflexión

    Se llaman puntos de inflexión de una función a los puntos en los cuales la función pasa decóncava a convexa o de convexa a cóncava.

    Si para un punto de abscisa x0 una función verifica que f′′(x0) = 0 y f

    ′′′(x0) 6= 0, decimos que

    en x0 hay un punto de inflexión.

    Si f′(x0) = f

    ′′(x0) = f

    ′′′(x0) = · · · = f n−1(x0) = 0 y n impar, entonces hay un punto de

    inflexión en x0.

    Veamos dos ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de la función f (x) = x3 − 3x2 y deg(x) = x5 − 2.

    Para f (x) calculamos la segunda derivada: f′(x) = 3x2 − 6x f ′′ (x) = 6x − 6.

    Resolvemos la ecuación f′′(x) = 0 ⇒ 6x − 6 = 0, cuya solución es x = 1.

    Hallamos la tercera derivada y comprobamos si f′′′(x) 6= 0. Como f ′′′ (x) = 6, entonces en

    x = 1 hay un punto de inflexión. Para determinar el punto de inflexión llevamos el valorx = 1 a la función: f (1) = 13 − 3 · 12 = −2. Por tanto = (1,−2) es el P.I..

    Para g(x) calculamos la segunda derivada: g′(x) = 5x4 g

    ′′(x) = 20x3.

    Resolvemos la ecuación g′′(x) = 0 ⇒ 20x = 0, cuya solución es x = 0.

    Como g′(x) = 5x4 g

    ′′(x) = 20x3 g

    ′′′(x) = 60x2 g IV (x) = 120x gV (x) = 120, es

    g′′(0) = g

    ′′′(0) = g IV (x) = 0, y gV (x) = 120 6= 0

    Por ser n = 5 impar hay un punto de inflexión en x = 0, es decir en (0,−2).J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 25 / 54

  • Teoremas de funciones derivables

    Ir a Índice

    6| Teoremas de

    funiones

    derivables

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 26 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Teorema de Rolle

    El teorema de Bolzano nos informaba sobre las posibles raíces de una ecuación, pero no delnúmero de las mismas. Vamos a ver un teorema que pone un límite superior al número de raícesen un intervalo. Este teorema, el teorema de Rolle, es además un teorema fundamental delcálculo infinitesimal.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 27 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Teorema de Rolle

    El teorema de Bolzano nos informaba sobre las posibles raíces de una ecuación, pero no delnúmero de las mismas. Vamos a ver un teorema que pone un límite superior al número de raícesen un intervalo. Este teorema, el teorema de Rolle, es además un teorema fundamental delcálculo infinitesimal.

    Teorema de Rolle

    Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b)y que verifica f (a) = f (b); entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que la derivadaprimera en él se anula, f

    ′(c) = 0.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 27 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Teorema de Rolle

    El teorema de Bolzano nos informaba sobre las posibles raíces de una ecuación, pero no delnúmero de las mismas. Vamos a ver un teorema que pone un límite superior al número de raícesen un intervalo. Este teorema, el teorema de Rolle, es además un teorema fundamental delcálculo infinitesimal.

    Teorema de Rolle

    Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b)y que verifica f (a) = f (b); entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que la derivadaprimera en él se anula, f

    ′(c) = 0.

    La interpretación geométrica de este teorema la vemos en las siguientes gráficas.

    b b

    f(a)=

    f(b)

    f (c)f′(c) = 0

    a bc

    b bf (a) = f (b)

    f (c)

    a bc

    b b

    f(a)=

    f(b)

    a b

    Pero, ¿cómo nos ayuda este teorema a calcular el número máximo de raíces?. Esto lo vemos en lasiguiente diapositiva.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 27 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Teorema de Rolle

    Gráfica A Gráfica Bf(a)=

    f(b)

    b

    a b

    b

    f (a) b

    a b

    b

    El teorema de Rolle junto con el de Bolzano nos facilita encontrar intervalos donde la ecuaciónf (x) = 0 tiene, como mucho, una solución. En las gráficas A y B tenemos representada unafunción f (x) que es continua y cumple el teorema de Bolzano en ambos casos. Sabemos portanto que tienen, al menos una raíz en cada intervalo, aunque no sabemos cuantas.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 28 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Teorema de Rolle

    Gráfica A Gráfica Bf(a)=

    f(b)

    b

    a b

    b

    f (a) b

    a b

    b

    El teorema de Rolle junto con el de Bolzano nos facilita encontrar intervalos donde la ecuaciónf (x) = 0 tiene, como mucho, una solución. En las gráficas A y B tenemos representada unafunción f (x) que es continua y cumple el teorema de Bolzano en ambos casos. Sabemos portanto que tienen, al menos una raíz en cada intervalo, aunque no sabemos cuantas.

    Por el teorema de Rolle, si ahora igualamos a cero la primera derivada, f′(x) = 0, vemos que en

    los dos casos tiene dos soluciones y por tanto un máximo de tres raíces (tres la gráfica A y una laB).

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 28 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Teorema de Rolle

    Gráfica A Gráfica Bf(a)=

    f(b)

    b

    a b

    b

    f (a) b

    a b

    b

    El teorema de Rolle junto con el de Bolzano nos facilita encontrar intervalos donde la ecuaciónf (x) = 0 tiene, como mucho, una solución. En las gráficas A y B tenemos representada unafunción f (x) que es continua y cumple el teorema de Bolzano en ambos casos. Sabemos portanto que tienen, al menos una raíz en cada intervalo, aunque no sabemos cuantas.

    Por el teorema de Rolle, si ahora igualamos a cero la primera derivada, f′(x) = 0, vemos que en

    los dos casos tiene dos soluciones y por tanto un máximo de tres raíces (tres la gráfica A y una laB).

    ¡Piensalo detenidamente!

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 28 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Ejemplo de aplicación

    Ecuación x − sin x = 1

    Queremos saber cuántas raíces, como máximo, tiene la ecuación x − sin x = 1 en el intervalo[−π,π].

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 29 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Ejemplo de aplicación

    Ecuación x − sin x = 1

    Queremos saber cuántas raíces, como máximo, tiene la ecuación x − sin x = 1 en el intervalo[−π,π].Para ello procedemos de la siguiente forma:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 29 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Ejemplo de aplicación

    Ecuación x − sin x = 1

    Queremos saber cuántas raíces, como máximo, tiene la ecuación x − sin x = 1 en el intervalo[−π,π].Para ello procedemos de la siguiente forma:

    Se pasan todos los términos de la ecuación al primer miembro: x − sin x − 1 = 0.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 29 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Ejemplo de aplicación

    Ecuación x − sin x = 1

    Queremos saber cuántas raíces, como máximo, tiene la ecuación x − sin x = 1 en el intervalo[−π,π].Para ello procedemos de la siguiente forma:

    Se pasan todos los términos de la ecuación al primer miembro: x − sin x − 1 = 0.

    Construimos la función a la que aplicar el teorema, f (x) = x − sin x − 1, y comprobamos quees continua y verifica el teorema de Bolzano en el intervalo.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 29 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Ejemplo de aplicación

    Ecuación x − sin x = 1

    Queremos saber cuántas raíces, como máximo, tiene la ecuación x − sin x = 1 en el intervalo[−π,π].Para ello procedemos de la siguiente forma:

    Se pasan todos los términos de la ecuación al primer miembro: x − sin x − 1 = 0.

    Construimos la función a la que aplicar el teorema, f (x) = x − sin x − 1, y comprobamos quees continua y verifica el teorema de Bolzano en el intervalo.

    Hallamos la derivada e igualamos a cero: f′(x) = cos x − 1 = 0 ⇒ x = 0. Como la

    derivada sólo tiene una raíz, como mucho la ecuación x − sin x − 1 = 0 tendrá dos soluciones.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 29 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Ejemplo de aplicación

    Ecuación x − sin x = 1

    Queremos saber cuántas raíces, como máximo, tiene la ecuación x − sin x = 1 en el intervalo[−π,π].Para ello procedemos de la siguiente forma:

    Se pasan todos los términos de la ecuación al primer miembro: x − sin x − 1 = 0.

    Construimos la función a la que aplicar el teorema, f (x) = x − sin x − 1, y comprobamos quees continua y verifica el teorema de Bolzano en el intervalo.

    Hallamos la derivada e igualamos a cero: f′(x) = cos x − 1 = 0 ⇒ x = 0. Como la

    derivada sólo tiene una raíz, como mucho la ecuación x − sin x − 1 = 0 tendrá dos soluciones.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 29 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Ejemplo de aplicación

    Ecuación x − sin x = 1

    Queremos saber cuántas raíces, como máximo, tiene la ecuación x − sin x = 1 en el intervalo[−π,π].Para ello procedemos de la siguiente forma:

    Se pasan todos los términos de la ecuación al primer miembro: x − sin x − 1 = 0.

    Construimos la función a la que aplicar el teorema, f (x) = x − sin x − 1, y comprobamos quees continua y verifica el teorema de Bolzano en el intervalo.

    Hallamos la derivada e igualamos a cero: f′(x) = cos x − 1 = 0 ⇒ x = 0. Como la

    derivada sólo tiene una raíz, como mucho la ecuación x − sin x − 1 = 0 tendrá dos soluciones.NOTA: El teorema de Bolzano sólo nos dice si hay o no solución, pero no cual es. El teorema deRolle cuantas como máximo.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 29 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Teoremas de Cauchy y de Lagrange

    Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado

    Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b], derivables en el intervaloabierto (a, b). Si g

    ′(x) no se anula en el intervalo (a, b) entonces existe un c ∈ (a, b) que verifica

    f′(x)

    g′ (x)

    =f (b) − f (a)g(b) − g(a)

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 30 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Teoremas de Cauchy y de Lagrange

    Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado

    Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b], derivables en el intervaloabierto (a, b). Si g

    ′(x) no se anula en el intervalo (a, b) entonces existe un c ∈ (a, b) que verifica

    f′(x)

    g′ (x)

    =f (b) − f (a)g(b) − g(a)

    Teorema de Lagrange o de los incrementos finitos

    Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto(a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) que verifica

    f′(x) =

    f (b) − f (a)b − a

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 30 / 54

  • Teoremas de funciones derivables Teoremas de Cauchy y de Lagrange

    Teorema de Cauchy o del valor medio generalizado

    Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas en el intervalo cerrado [a, b], derivables en el intervaloabierto (a, b). Si g

    ′(x) no se anula en el intervalo (a, b) entonces existe un c ∈ (a, b) que verifica

    f′(x)

    g′ (x)

    =f (b) − f (a)g(b) − g(a)

    Teorema de Lagrange o de los incrementos finitos

    Sea f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto(a, b). Entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) que verifica

    f′(x) =

    f (b) − f (a)b − a

    La interpretación geométrica de este teorema la vemos en la siguiente gráfica.

    b

    b

    a bc

    m = f′(c)

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 30 / 54

  • Cálculo de límites

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    7| Cálulo de

    límites

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 31 / 54

  • Cálculo de límites Regla de L’Hopital

    Vimos en el tema de límites que había algunos que no se podían o eran muy difíciles de hallar pormétodos algebraicos, como por ejemplo

    limx→0

    sin x

    x

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 32 / 54

  • Cálculo de límites Regla de L’Hopital

    Vimos en el tema de límites que había algunos que no se podían o eran muy difíciles de hallar pormétodos algebraicos, como por ejemplo

    limx→0

    sin x

    x

    Vamos a ver ahora la llamada Regla de L’Hôpital que nos permite el cálculo de límites a travésde las derivadas, y cuya demostración, que no damos, se sirve del teorema de Cauchy.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 32 / 54

  • Cálculo de límites Regla de L’Hopital

    Vimos en el tema de límites que había algunos que no se podían o eran muy difíciles de hallar pormétodos algebraicos, como por ejemplo

    limx→0

    sin x

    x

    Vamos a ver ahora la llamada Regla de L’Hôpital que nos permite el cálculo de límites a travésde las derivadas, y cuya demostración, que no damos, se sirve del teorema de Cauchy.

    Regla de L’Hôpital

    Sean f (x) y g(x) dos funciones continuas que verifican las siguientes hipótesis:

    limx→x0

    f (x) = limx→x0

    g(x) = 0

    g′(x) 6= 0 si x ∈ E∗(x0)

    Existe limx→x0

    f′(x)

    g′ (x)

    Entonces se cumple para cualquier x0 ∈ IR que

    limx→x0

    f (x)

    g(x)= lim

    x→x0

    f′(x)

    g′ (x)

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 32 / 54

  • Cálculo de límites Regla de L’Hopital

    ATENCIÓN: Aunque la regla de L’Hôpital se ha dado para la indeterminación0

    0, es válida

    también para las indeterminaciones∞∞

    , ∞−∞ y 0 · ∞, pues mediante transformaciones se

    pueden expresar como0

    0.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 33 / 54

  • Cálculo de límites Regla de L’Hopital

    ATENCIÓN: Aunque la regla de L’Hôpital se ha dado para la indeterminación0

    0, es válida

    también para las indeterminaciones∞∞

    , ∞−∞ y 0 · ∞, pues mediante transformaciones se

    pueden expresar como0

    0.

    Además, la indeterminación 1∞ que vimos en el curso anterior y las indeterminaciones 00 y ∞0se pueden calcular por L’Hôpital del siguiente modo:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 33 / 54

  • Cálculo de límites Regla de L’Hopital

    ATENCIÓN: Aunque la regla de L’Hôpital se ha dado para la indeterminación0

    0, es válida

    también para las indeterminaciones∞∞

    , ∞−∞ y 0 · ∞, pues mediante transformaciones se

    pueden expresar como0

    0.

    Además, la indeterminación 1∞ que vimos en el curso anterior y las indeterminaciones 00 y ∞0se pueden calcular por L’Hôpital del siguiente modo:

    limx→x0

    f (x)g(x) = limx→x0

    eln

    [

    f (x)g(x)]

    = limx→x0

    eg(x)·ln[f (x)] = elim

    x→x0[g(x) · ln (f (x))]

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 33 / 54

  • Cálculo de límites Regla de L’Hopital

    ATENCIÓN: Aunque la regla de L’Hôpital se ha dado para la indeterminación0

    0, es válida

    también para las indeterminaciones∞∞

    , ∞−∞ y 0 · ∞, pues mediante transformaciones se

    pueden expresar como0

    0.

    Además, la indeterminación 1∞ que vimos en el curso anterior y las indeterminaciones 00 y ∞0se pueden calcular por L’Hôpital del siguiente modo:

    limx→x0

    f (x)g(x) = limx→x0

    eln

    [

    f (x)g(x)]

    = limx→x0

    eg(x)·ln[f (x)] = elim

    x→x0[g(x) · ln (f (x))]

    y limx→x0

    [g(x) · ln (f (x))] es una indeterminación 0 · ∞ que se puede resolver por L’Hôpital.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 33 / 54

  • Cálculo de límites Regla de L’Hopital

    ATENCIÓN: Aunque la regla de L’Hôpital se ha dado para la indeterminación0

    0, es válida

    también para las indeterminaciones∞∞

    , ∞−∞ y 0 · ∞, pues mediante transformaciones se

    pueden expresar como0

    0.

    Además, la indeterminación 1∞ que vimos en el curso anterior y las indeterminaciones 00 y ∞0se pueden calcular por L’Hôpital del siguiente modo:

    limx→x0

    f (x)g(x) = limx→x0

    eln

    [

    f (x)g(x)]

    = limx→x0

    eg(x)·ln[f (x)] = elim

    x→x0[g(x) · ln (f (x))]

    y limx→x0

    [g(x) · ln (f (x))] es una indeterminación 0 · ∞ que se puede resolver por L’Hôpital.

    Vemos algunos ejemplos en la siguiente diapositiva.

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 33 / 54

  • Cálculo de límites Ejemplos

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de límites con L’Hôpital:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 34 / 54

  • Cálculo de límites Ejemplos

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de límites con L’Hôpital:

    limx→0

    sin x

    x=

    0

    0= L’Hôpital = lim

    x→0

    cos x

    1=

    1

    1= 1

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 34 / 54

  • Cálculo de límites Ejemplos

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de límites con L’Hôpital:

    limx→0

    sin x

    x=

    0

    0= L’Hôpital = lim

    x→0

    cos x

    1=

    1

    1= 1

    limx→∞

    ln x

    x2 + 1=

    ∞∞

    = L’Hôpital = limx→∞

    1

    x

    2x= lim

    x→∞

    1

    2x2= 0

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 34 / 54

  • Cálculo de límites Ejemplos

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de límites con L’Hôpital:

    limx→0

    sin x

    x=

    0

    0= L’Hôpital = lim

    x→0

    cos x

    1=

    1

    1= 1

    limx→∞

    ln x

    x2 + 1=

    ∞∞

    = L’Hôpital = limx→∞

    1

    x

    2x= lim

    x→∞

    1

    2x2= 0

    limx→0+

    x · ln x = 0 · ∞ = limx→0+

    ln x

    (1/x)= L’Hôpital =

    (1/x)

    −(1/x2)= 0

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 34 / 54

  • Cálculo de límites Ejemplos

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de límites con L’Hôpital:

    limx→0

    sin x

    x=

    0

    0= L’Hôpital = lim

    x→0

    cos x

    1=

    1

    1= 1

    limx→∞

    ln x

    x2 + 1=

    ∞∞

    = L’Hôpital = limx→∞

    1

    x

    2x= lim

    x→∞

    1

    2x2= 0

    limx→0+

    x · ln x = 0 · ∞ = limx→0+

    ln x

    (1/x)= L’Hôpital =

    (1/x)

    −(1/x2)= 0

    limx→∞

    x

    1

    x = ∞0 = elim

    x→∞

    1

    x· ln x

    = L′Hpital = e0 = 1

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 34 / 54

  • Cálculo de límites Ejemplos

    Veamos algunos ejemplos de cálculo de límites con L’Hôpital:

    limx→0

    sin x

    x=

    0

    0= L’Hôpital = lim

    x→0

    cos x

    1=

    1

    1= 1

    limx→∞

    ln x

    x2 + 1=

    ∞∞

    = L’Hôpital = limx→∞

    1

    x

    2x= lim

    x→∞

    1

    2x2= 0

    limx→0+

    x · ln x = 0 · ∞ = limx→0+

    ln x

    (1/x)= L’Hôpital =

    (1/x)

    −(1/x2)= 0

    limx→∞

    x

    1

    x = ∞0 = elim

    x→∞

    1

    x· ln x

    = L′Hpital = e0 = 1

    limx→∞

    Å

    x2 − 1x

    − x3 − 1x2

    ã

    = ∞−∞ = limx→∞

    Å

    x3 − x − x3 + 1x2

    ã

    = limx→∞

    (−x + 1x2

    )

    =

    ∞∞

    = L’Hôpital = limx→∞

    (−12x

    )

    = 0

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 34 / 54

  • Representación de funciones

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    Representaión

    de funiones

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 35 / 54

  • Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

    Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus característicassiguientes:

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 36 / 54

  • Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

    Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus característicassiguientes:

    Dominio y continuidad

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 36 / 54

  • Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

    Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus característicassiguientes:

    Dominio y continuidadSimetría y periodicidad

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 36 / 54

  • Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

    Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus característicassiguientes:

    Dominio y continuidadSimetría y periodicidadAsíntotas

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas Curso 2016/17 36 / 54

  • Representación de funciones ¿Cómo representamos una función?

    Para representar gráficamente una función cualquiera y = f (x) estudiaremos sus característicassiguientes:

    Dominio y continuidadSimetría y periodicidadAsíntotasPuntos de corte con los ejes

    J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Derivadas C