Dpto. Matematica Aplicada. E.T.S.A.M. ester.patino@upm.es

CALCULOContinuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en R2.

1 Continuidad

Definicion 1.1 Dada una f : R2 → R, se considera un punto (x0, y0) ∈ R2 de su do-minio. f(x, y) es continua en (x0, y0) si

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = f(x0, y0)

.

Cuando el punto en el que se quiere estudiar la continuidad es el (0,0) se recomienda hacerun cambio a coordenadas polares: {

x = r cos θy = r sin θ

El lımite quedarıalimr→0

f(r cos θ, s sin θ)

.Si el lımite depende de la direccion θ, no existe ya que el lımite, si existe, es unico.NOTA: Cuando, al pasar a polares, no se pueda calcular el lımite, se “sospecha” que nova a existir. En ese caso se pueden estudiar los lımites iterados o buscar una direccioncon el objeto de encontrar valores distintos para el lımite y ası concluir que no existe.Los lımites iterados se calculan como:

limy→0

(limx→0

f(x, y))

limx→0

(limy→0

f(x, y))

Para calcular los lımites direccionales en (0,0) (segun alguna direccion), por ejemplo segunlas rectas y = mx, se evalua

limx→0

f(x,mx)

Si depende de m no existe el lımite.

2 Derivadas direccionales y derivadas parciales

Definicion 2.1 Dada una f : R2 → R, se considera un punto (x0, y0) ∈ R2 de su dominioy vector v = (v1, v2) ∈ R2 con ‖v‖ = 1. La derivada direccional de f , en la direccion v,en el punto (x0, y0), denotada por Dvf ((x0, y0)), se define por

Dvf (x0, y0) = limh→0

f ((x0, y0) + h(v1, v2))− f (x0, y0)

h= lim

h→0

f (x0 + hv1, y0 + hv2)− f (x0, y0)

h.

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Definicion 2.2 Dada una f : R2 → R, se considera un punto (x0, y0) ∈ R2 de su do-minio. Se define la derivada parcial de f respecto de la variable x en el punto (x0, y0) y

se denota por∂f

∂x(x0, y0) o f ′

x(x0, y0) como sigue:

∂f

∂x(x0, y0) = lim

h→0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)

h.

Se define la derivada parcial de f respecto de la variable y en el punto (x0, y0) y se denota

por∂f

∂y(x0, y0) o f ′

y(x0, y0) como sigue:

∂f

∂y(x0, y0) = lim

h→0

f(x0, y0 + h)− f(x0, y0)

h.

Definicion 2.3 Dada una f : R2 → R con derivadas parciales en un punto (x0, y0) ∈ R2

de su dominio, se denomina vector gradiente de f en (x0, y0) y se denota por ∇f (x0, y0)al vector de derivadas parciales de f en (x0, y0), es decir

Gradiente de f en (x0, y0): ∇f (x0, y0) =(

∂f∂x

(x0, y0) ,∂f∂y

(x0, y0)).

Definicion 2.4 Se define la derivada parcial segunda respecto de las variables xi y xj de

una funcion f , y se denota por∂2f

∂xj∂xi

o Dxixjf o f ′′

xixja la derivada parcial de la funcion

∂f

∂xi

respecto xj.

(Aclaracion: i, j = 1, 2. x1 = x, x2 = y.)

Teorema 2.5 (de Schwarz, igualdad de derivadas cruzadas). Sea f : R2 → R,a = (x0, y0) ∈ R2 un punto de su dominio. Si se verifica que

1. existen∂f

∂xy∂f

∂yen un entorno de (x0, y0),

2. existe∂2f

∂x∂yen un entorno de (x0, y0) y es continua en (x0, y0);

entonces existe∂2f

∂y∂x(x0, y0) y ademas

∂2f

∂x∂y(x0, y0) =

∂2f

∂y∂x(x0, y0).

(Observacion: el teorema es valido para funciones de n variables (con n > 2) y paraordenes mayores de derivacion.)

3 Funcion Diferenciable

Definicion 3.1 Sea f : R2 → R, (x0, y0) ∈ R2 un punto de su dominio. Se dice que f esdiferenciable en (x0, y0) si y solo si

lim(h,k)→(0,0)

f (x0 + h, y0 + k)− f (x0, y0)− ∂f∂x

(x0, y0)h− ∂f∂y

(x0, y0) k√h2 + k2

= 0.

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Proposicion 3.2

f diferenciable en (x0, y0) =⇒ f es continua en (x0, y0).

Proposicion 3.3

f diferenciable en (x0, y0) =⇒ ∃ Dvf (x0, y0) para todo v ∈ R2.

En particular, de la Proposicion anterior y de la definicion de derivadas parciales, se tieneque

Corolario 3.4

f diferenciable en (x0, y0) =⇒ existen∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0)

Proposicion 3.5 (Condicion suficiente de diferenciabilidad). Sea f : R2 → R,(x0, y0) ∈ R2 un punto de su dominio. Supongamos f continua en (x0, y0) y con derivadas

parciales∂f

∂x(x0, y0) ,

∂f

∂y(x0, y0) continuas en (x0, y0). Entonces, f es diferenciable en

(x0, y0).

Proposicion 3.6 Si f es diferenciable en (x0, y0) entonces D~vf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) · ~v .

4 El vector gradiente. Propiedades y aplicaciones

geometricas.

• Sea f : R2 → R una funcion diferenciable en un punto (x0, y0) y consideremos elvector gradiente en dicho punto. Entonces el gradiente representa la direccion demaxima pendiente, es decir, el vector gradiente define la direccion en la cual laderivada direccional en dicho punto es maxima.

El valor de la derivada direccional maxima es Dmaxf(x0, y0) = ‖∇f(x0, y0)‖.

• Para una funcion f : R2 → R el ∇f es perpendicular a las curvas de nivel f(x, y) =C.

• Si f : R2 → R es una funcion diferenciable en un punto a = (x0, y0) del dominio def y se considera la superficie de R3, z = f (x, y) , entonces la ecuacion del planotangente a la superficie en el punto de coordenadas (x0, y0, f (x0, y0)) es

z − f (x0, y0) = f ′x (x0, y0) (x− x0) + f ′

y (x0, y0) (y − y0)

Ejemplo: Hallar el plano tangente a la superficie z = f (x, y) siendo f (x, y) =x2 + xy2 − 2 en el punto a = (1,−1).

Solucion: Punto de tangencia (1,−1, f (1,−1)) = (1,−1, 0) , f ′x (x, y) = 2x+

y2 ⇒ f ′x (1,−1) = 3, f ′

y (x, y) = 2xy ⇒ f ′y (1,−1) = −2. Por tanto la ecuacion

del plano tangente en dicho punto a la superficie tiene por ecuacion:

z = 3 (x− 1)− 2 (y − (−1))

5 = 3x− 2y − z

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• La recta tangente en el punto (x0, y0) segun la direccion ~v = (v1, v2) tiene porecuaciones parametricas:

x = x0 + t · v1y = y0 + t · v2z = f(x0, y0) + t ·D~vf(x0, y0) t ∈ R

• La recta normal a la superficie z = f(x, y) en el punto (x0, y0) tiene por ecuacionesparametricas:

x = x0 + t · f ′x(x0, y0)

y = y0 + t · f ′y(x0, y0)

z = f(x0, y0)− t t ∈ R