PROBLEMAS DE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD

Considera la función f(x)= x3

+ px donde p es un número real.

Escribir (en función de p) la ecuación de la recta tangente a la grafica

f(x) en el punto de abscisa x = 1. Determinar después p, de manera que

la recta tangente anterior pase por el punto (2, 0).

Si y = x3

+ px para calcular la tangente a la curva en x0 = 1 + p

mt = y’(1) ; y’ = 3x2 + p ; mt = 3·1

2 + p = 3 + p

La ecuación de la recta tangente es y - y0 = mt ( x - x0 )

y – ( 1 + p) = (3 + p)·(x - 1)

y – 1 – p = (3 + p) · x -3 – p ; y = (3+ p) · x - 2

Si la recta pasa por (2,0) 0 = (3 + p) ·2 – 2

0 = 6 + 2p – 2 ; 2p = - 4 ; p = 2

¿Cuántos puntos hay en la función f(x) = │x2 + 6x + 8 │que no

tengan derivada? Justificar la respuesta.

Al resolver la ecuación x2 + 6x + 8 = 0;

2

26

2

32366

x ; x1 = - 2; x2 = - 4

Los valores x = - 4 y x = - 2 hacen que f(x) = 0, y éstos son los puntos que discutir

pues, antes de - 4, entre - 4 y - 2 y después de - 2, la f(x) es continua y su derivada

también por ser funciones polinómicas.

Los puntos (-4, 0) y (-2, 0) no poseen derivada ya que sus derivadas laterales no

coinciden.

Además la f(2) no esta definida

Estudiar la continuidad

c) Representar la gráfica.

a) En (-, -1] y = 0 es f. constante => continua en R

En (-1, 2) y = ax3 + bx es f. polinómica a, b => continua en R

En (2, ) y = 11x – 16 es una recta continua en R

Para a = 1 y b = - 1 la f(x) es continua en R

b)

Las tres funciones f ’(x) en cada intervalo son continuas ya que dos son funciones

constantas y la otra un polinomio de 2º grado.

x y x y

y = 11x - 16

-1 0 2 6

0 0 3 17

1 0

2 6

Si no me piden la continuidad de f(x), podemos calcular si es derivable al calcular la

f´(x) y ver si es continua en R.

En (-∞, -2) f´(x) =

esta definida en (-∞, 0) (0, ∞) ya que en x = 0 no ,

f´(x) esta definida en (-∞, -2) D f´(x) es continua en (-∞, -2)

f(x) es derivable en (-∞, -2).

En (-2, 1) f´(x) = - 1 definida en R por ser funcion constante f´(x) es continua en

R f´(x) es continua en (-2, 1) R f(x) es derivable en (-2, 1)

En (1, ∞) f´(x) = 2x definida en R por ser funcion polinomica de grado 1 f´(x) es

continua en R f´(x) es continua en (1, ∞) R f(x) es derivable en

(1, ∞)

Como la f(x) es a,b R, funciones polinómicas de grado 1 o 0 podemos decir que

f(x) es continua en (-∞,0) , (0,1) y (1,∞)

f ‘(x) continua en (-∞,0), (0,1) y (1,∞) => f´(x) es derivable

Las 3 funciones f ´(x) son continuas en sus intervalos por motivos similares

Dada la función polinómica de segundo grado f(x) = a·x2 + b·x + c ,

determina los coeficientes a,b y c , si se sabe que la grafica de esa

función pasa por los puntos (1, 2) y (2, 6) y que en este último punto, la

recta tangente a la curva tiene como ecuación 7x – y – 8 = 0.

Si pasa por (1, 2) 2 = a · 12 + b · 1 + c

f(x) = a·x2 + b·x + c

Si pasa por (2, 6) 6 = a · 22 + b · 2 + c

Ademas como la tangente tiene de ecuación 7x – y – 8 = 0. y = 7x – 8 , la

pendiente de la recta es m = 7 y a partir de la definición de derivada y´(2) = m = 7

Si f´(x) = 2ax + b 7 = 2a · 2 + b

3·3 + b = 4 b = -5 3 – 5 + c = 2 c = 4

La función es f(x) = 3x2 – 5x + 4

Dada la función f(x)= x³ - 3x + 1 ¿se anula en algún punto de R? En

caso afirmativo, determina un intervalo cerrado de amplitud menor de

dos décimas que contenga el punto donde se anula.

f( ) = 0 ; x³ - 3x + 1 = 0

1 0 -3 1

1 1 1 -2

1 1 -2 -1 No existe x entero

f(x) es continua en R por ser función polinómica f(x) continua en [a,b] R

Elijo [0,1]

signo f(0) ≠ signo f(1)

f(0’25) = (0’25) ³ - 3 · 0’25 + 1 = 1/64 – ¾ + 1 = (1 – 48 + 64) / 64 > 0

f (1/8) = (1/8) ³ - 3(1/8) + 1 = 1/512 – 3/8 + 1 = (1-192+512) / 512 > 0

f(0’4) = (0,4) ³ - 3 · 0’4 + 1 = 0’064 – 1’271 < 0

signo f(0’25) ≠ signo f (0’4) [0’25 , 0’4] 2ª hipótesis

Este intervalo define que existe xo / f(xo) = 0 y la amplitud del intervalo es 0’4 - 0’25

= 0’15 < 0’2

Dada la función y = e7x

, calcular la ecuación de la recta tangente

y la ecuación de la recta normal a f(x) que sea paralelo a la recta

7x – y +2 = 0

Despejar la y en la recta y = 7x + 2 mr = 7

mt =7 por ser r paralela a t

y´ =7e

7x ; y

´ (xo) = mt 7 · e

7xo = 7

e7xo

= 1; e7xo

= e0; 7·xo = 0 x0 = 0 yo = e

0 = 1

ec tangente : y - 1 = 7(x - 0) y- 1 = 7x; y = 7x + 1

ec normal : y – 1 =

(x - 0); 7y – 7 = - x ; y =

· x + 1

Si la tangente es paralela al eje OX (y = 0) mt = mr = 0

Ecuación tangente: y – ln 4 = 0 · (x - 2) y = ln 4

Ecuación normal ; y- ln 4 =

·(x - 2) 0 = x – 2 x = 2

a) [5,∞); y = ; D: x R

El virus se puede propagar como máximo a 100 personas

Demuestra que la ecuación x7 + x

6 + x

5 + x

4 + x

3 + x

2 + x - 1= 0

tiene una raíz positiva

Si tomo una f(x) = x

7 + x

6 + x

5 + x

4 + x

3 + x

2 + x – 1 que es continua en R por ser un

polinomio de grado 7 y elijo un intervalo cerrado [a,b] en el que los signos sean

distintos, por ejemplo [-1,1]

f (-1) = (-1)7+ (-1)

6 + (-1)

5 + (-1)

4 + (-1)

3 + (-1)

2 + (-1) - 1 = - 1 + 1 - 1+ 1- 1+ 1 - 1 - 1

= - 2 0

f (1) = 17 + 1

6 + 1

5 + 1

4 + 1

3 + 1

2 + 1 - 1 = 6 0 Signo f (-1) ≠ signo f (1)

Por ser f (x) continua en [-1,1] y signo f (-1) ≠ signo f (1) se cumplirá el teorema de

Bolzano por lo que existe al menos un x0 (-1,1) / f (x0) = 0, es decir x0 (-1,1) /

x7 + x

6 + x

5 + x

4 + x

3 + x

2 + x – 1 = 0 o lo que es lo mismo, que esta ecuación posee al

menos una solución o raíz que será positiva si f (0) diera negativa y lo da.

f (0) = - 1 0 y f (1) = 6 0 En [0,1] signo f (0) ≠ signo f (1)

a) 1ª Hipótesis: f(x) continua en [-3, 3].

Para a = 8 y b = 2 f(x) es continua en [-3, 3]

b) 2ª Hipótesis: sign f(-3) ≠ sign f(3)

f(-3) = sen (-3) + 2 > 0

sign f(-3) = sign f(3) No verifica Bolzano

f(3) = 8/3 > 0

Para que una función sea continua, la función debe de estar definida en x = 4

Veamos si hay algun valor de a para que si exista el limite de f(x)

Para que exista limite L1 = L2 8 – 2a = 4 2a = 4 a = 2

Para que una función sea derivable, lo primero que tenemos que comprobar es que

esta función sea continua en (0,) que es donde esta definida.

La función x·Ln x es continua en el intervalo (0,1] en el que esta definida ya que x lo

es por ser un polinomio y Ln x también es continua siempre que no incluyamos el 0.

La función a· (1 – e - x

) también es continua en el intervalo (1,) ya que la función

exponencial lo es para todo valor de R.

El único problema que puede existir es en el valor x = 1, por ello estudiaremos la

continuidad de f(x) en x = 1, obligando a que sea continua y buscando el valor de "a"

que lo consiga.

Veamos ahora si para a = 0 , la f(x) es derivable o no.

Para que una función sea derivable, es necesario que f´(x) sea continua en el intervalo

considerado.

Como hemos tomado el valor de a = 0 para que fuese continua,

Como los limites no son iguales podemos asegurar que la f´(x) no es continua, con lo

que f´(x) no es derivable en x = 1 para ningún valor, ni siquiera para a = 0.

Discutir si la ecuación cos x = 2 – x posee alguna solución real positiva

Creamos una f(x) = cos x – 2 + x para comprobar las hipótesis de Bolzano en (0, b)

f(x) es continua f(x) es continua en [

]

Enunciar el teorema de Bolzano y utilizarlo para probar que todo

número real positivo tiene raíz cuadrada.

El teorema de Bolzano dice que si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado

[a,b] y en los extremos del intervalo toma valores de signos opuestos, es decir sig f(a)

sig f(b), estas dos hipótesis nos asegura que la f(x) se anula por lo menos en un punto

interior a dicho intervalo o lo que es lo mismo, que f(x) corta al eje OX en algún punto

dentro del intervalo.

A partir de este teorema, se pide demostrar que cualquier numero real y positivo,

posee raíz cuadrada.

Para ello estableceremos una relación (función) entre cualquier numero real "a"

positivo y su raíz cuadrada.

Si x es raíz cuadrada de a ( a > 0) entonces x2 = a ==> x

2 - a = 0 .

Mi función será entonces f(x) = x2 - a .

La f(x) es una función continua en toda la recta real por ser una función polinomica de

grado dos.

A continuación vemos como son los signos de mi función en el intervalo (-,+), ya

que nos piden que demostremos para todo R y esto implica la totalidad del eje de

abscisas.

f(-) = (-)2 - a = +

f(+) = (+)2 - a = +

Según Bolzano, como los signos en los extremos del intervalo son iguales, no me

podrá asegurar la existencia de ningún valor de x dentro del intervalo, en el cual la f(x)

se anule. Esto me indica que para cualquier numero real "a" positivo, existirá siempre su

raíz cuadrada.

Escribir la ecuación de la recta tangente a la hipérbola de ecuación

x.y = 6 en el punto de abscisa x = 3. Razonarlo.

tangente será P(3;2)

Sabiendo que la recta tangente es y - y(a) = y'(a) · (x - a) donde a = 3 e y(a) = 2 ,

necesitaremos saber cuanto vale la pendiente de la recta tangente a mi curva en a = 3.

3y - 6 = - 2x + 6 ==> 2x + 3y - 12 = 0

Al existir los limites laterales pero ser distintos , habrá una discontinuidad de 1ª especie

con salto finito único ya que f(0) coincide con uno de los limites laterales.

a) Para que sea continua , basta con que este definida.

El cociente esta definido en R excepto las x que anulan el denominador, que en este

caso es x = - 1

La función será continua en D = x ∊(-∞,-1) ( -1, ∞)

En x = - 1 la f (x) es discontinua de segunda especie por ser sus limites laterales + ∞

b) Aquí el dominio es R excepto las x que hagan x² - 1= 0 , es decir, x = + 1

(-∞,-1) f. polinómica de grado 1 f(x) continua en R

(-1,1) f. constante f(x) continua en R

(1, ∞) f. polinómica de grado 2 f(x) continua en R

En los 3 intervalos la f ‘(x) es continua en R por ser 2 f. continuas y una f. polinómi-

ca de grado 1 f(x) es derivable.

f ‘(x) no es continua f(x) no es derivable

En x = 1 f(x) no es derivable por no ser continua

Mientras no se diga la contrario habrá que buscar la continuidad y la derivabilidad en

toda la recta real.

a) Veamos primero la continuidad.

En (- ∞, - 1) y = x2 + 2x + 2 esta definida en R por ser una función polinómica de

grado 2 f(x) esta definida en (- ∞, - 1) R continua en (- ∞, - 1).

Continua en x = - 1

En (-1, 1) y = 1 esta definida en R por ser una función continua f(x) esta defini-

da en (- 1, 1) R continua en (- 1, 1).

Continua en x = 1

En (1, + ∞) y = 2x2 – x esta definida en R por ser una función polinómica de grado 2

f(x) esta definida en (1, + ∞) R continua en (- ∞, - 1).

f(x) es continua R.

b) Veamos si es derivable y para ello tenemos que hallar f´(x).

En (- ∞, - 1) y´ = 2x + 2 esta definida en R por ser una función polinómica de

grado 1 f´(x) esta definida en (- ∞, - 1) R f¨(x) continua en (- ∞, - 1)

f(x) derivable en (- ∞, - 1)

f´(x) continua en x = - 1 f(x) derivable en x = - 1

En (-1, 1) y´ = 0 esta definida en R por ser la función continua nula f´(x) esta

definida en (- 1, 1) R f´(x) continua en (- 1, 1). f(x) derivable en (- 1, 1).

f´(x) no es continua en x = 1 f(x) no es derivable en x = 1

En (1, + ∞) y´ = 4x – 1 esta definida en R por ser una función polinómica de grado 1

f´(x) esta definida en (1, + ∞) R f´(x) es continua en (- ∞, - 1) f(x) es

derivable en (1, + ∞)

F(x) es derivable en toda la recta real excepto en el punto de abcisa x = 1

La función no tiene límite ya que uno de sus límites laterales no existe.

Para que una función sea derivable es necesario que primero sea continua.

La función para todo x distinto de 0 y de 3 es continua por ser cociente de dos

polinomios que solo se anulan en estos dos valores 0 y 3.

Estudiemos la continuidad en x = 3 calculando los limites laterales y f(3).

La función es continua en x = 3. Para ver si es derivable deberemos calcular su

derivada y ver si es continua en x = 3

esto nos dice que la f (x) si es derivable en x = 3

Estudiemos la continuidad de f (x) en x = 0 , f (0) = - 1

La f(x) no es continua en x = 0, por lo que tampoco será derivable para x = 0.

(- ∞, 1) y = x

2 es continua en R por ser una función polinómica de grado 2

continua en (- ∞, 1) C R.

(1, ∞) y = – x2 + ax + b a, b R, f(x) es continua en R por ser una función

polinómica de grado 2 continua en (1, ∞) R.

(- ∞, 1) f '(x) = 2x es continua en R por ser una función polinómica de grado 1

continua en (- ∞, 1) R f (x) derivable en (- ∞, 1)

(1, ∞) f '(x) = - 2x + a a R, f '(x) es continua en R por ser una función

polinómica de grado 1 continua en (1, ∞) R f'(x) derivable en (1, ∞)

Halla los valores de los números a y b para que la f(x) definida por

resulte derivable

Para que sea derivable → ha

Halla el punto P en el que se cortan las funciones ;

. Hallar la ecuación de las rectas tangentes en P a cada

una de las curvas y demostrar que son perpendiculares

(Selectividad Prueba 2005-06)

son perpendiculares ya que mt’ = mt =

Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica y = Ln x , en los

puntos a) x = 1; b) x = e ; c) x = e-1

(-∞,0); y = x; D: (-∞,0) D; f(x) definida y continua en el intervalo (-∞,0)

x y x y

-1 -1 0 0

0 0

0,34

1 0,47

Si obligo a que f(3) = 6 la f(x) será continua, luego para a = 6 mi f(x) será

continua x R

En los intervalos [-1, 0) y (0, 1] la f(x) esta definida para todos los x excepto en

x = 0 en la que se anulan los denominadores es decir definida en (-∞, 0) U (0, ∞) si

es continua en los dos intervalos.

Si queremos que ƒ(x) sea continua en R es necesario que :

En (-∞,3) y = x³ - ax² - 2 es continua a por ser función polinómica

En ( 3,∞) y = x + 4 es continua a por ser función polinómica

Solo para a= ± podemos asegurar que ƒ(x) es continua en R , para los demás

valores de a , los limites laterales de ƒ(x) en x = 3 serán distintos y existiran

discontinuidades de primera especie

No lo contradice, pues la 1º hipótesis no se cumple.

No podemos asegurar que exista x0 en (-2, 3) / f(x0) = 0 , aunque los signos de f(-2)

y de f(3) sean distintos.

La función f(x) = 2senx + 5 ¿toma el valor 6 en el intervalo (0, π/2)?

En caso afirmativo, determina el valor x = c / f(c) = 6

f (0) = 2 sen 0 + 5 = 5

f (π/2) = 2 sen (π/2) + 5 = 7

La f (x) = senx es funcion creciente con lo que f (x) = 2 senx + 5 también es creciente.

Obtener los puntos de la gráfica f(x) = x4 - 7x

3 + 13x

2 + 3x + 4 en

los que la recta tangente sea paralela a la recta y - 3x - 2 = 0

Para buscar los puntos P(xo,y0) , como la recta tangente que pasa por ellos es paralela

a la recta y = 3x + 2, las pendientes de la recta tangente y de la recta dada, deben ser

iguales.

La pendiente de la recta es el coeficiente de la x una vez despejada la y, luego mt = 3

La pendiente de la recta tangente será por tanto mt = 3

Por otro lado, siguiendo la interpretación geométrica de la derivada de una función,

sabemos que la derivada de la función particularizada para un xo debe ser igual que la

pendiente de la recta tangente trazada a la curva por el punto, es decir deberá de valer

mt.

f´(xo) = mt

Calculemos la f´(x) = 4x3 - 21x

2 + 26x + 3 e igualemos a 3.

4x3 - 21x

2 + 26x + 3 = 3 ===> 4x

3 - 21x

2 + 26x = 0

x·(4x2 - 21x + 26) = 0

Como vemos, existirán tres puntos de mi curva, de abscisas 0,

y 2 en los que la

tangente geométrica es paralela a la recta dada.

Solo nos falta calcular las ordenadas correspondientes a cada una de las abscisas.

y(2) = 24 – 7· 2

3 + 13· 2

2 + 3· 2 + 4 = 22 P3 (2 ,22)

Probar, aplicando el teorema de Bolzano, que la ecuación ex + x = 0

tiene alguna solución real.

Bolzano asegura que si f(x)es continua [a,b]y los signos f(a) y f(b) son distintos

existe al menos un valor x (a,b) / f(x0) = 0

Si cojo la f(x) = ex + x y un intervalo de la recta real (-1,1) tal que

Como y = ex es continua en R sera continua en [-1,1]

Como y = x es continua en R sera continua en [-1,1]

Por lo tanto la y = ex + x sera continua en [ -1,1]

Según Bolzano existe al menos un x0 (-1, 1) / esto quiere decir que la

ecuación posee al menos una solución real o un punto de corte de f(x) con el eje de

abscisas.

Probar que el f(x) = x + senx – 1 = 0 es continuo xR y que además

existe una raíz real de la ecuación: x + senx + - 1 = 0

Busco este intervalo ya que en el se verifica la 2ª

hipótesis de Bolzano signo f(a) ≠ signo f(b).

Por Bolzano xo (0, π/2) / f(xo) que existe al menos una raíz ó solución real de la

ecuación: x + senx – 1 = 0

Probar que la ecuación: x³ + 2x² - x - 4 = 0 tiene al menos una raíz

real en el intervalo (1,2)

Si llamamos f(x) = x ³ + 2x² - x – 4 , lo que nos está pidiendo es que aseguremos que

existe al menos un xo (1,2) tal que f(xo) = 0 es decir que f(x) corte al eje OX en al

menos un punto del intervalo.

Esto es la tesis del Teorema de Bolzano y para que se verifique, se deben cumplir las

dos hipótesis del Teorema.

a) Que f(x) sea continua en [1,2].

Por ser f(x) una función continua en R ya que es una f.polinómica de grado 3, se puede

asegurar que es continua en [1,2] C R.

b) Que signo f(b) ≠ signo f(a)

signo f(1) ≠ signo f(2)

Al verificar las hipótesis, Bolzano asegura que f(xo) = 0 para al menos un x0 (1,2)

x³ + 2x² - x – 4 = 0 tiene al menos una raíz real en (1,2).

¿Puede ocurrir que exista el 0

limxx

f(x) y que la función no sea

continua en 0x ?

Si existe 0

limxx

es porque sos límites laterales existen y son iguales.

Si además f(x 0 ) = 0

limxx

f(x), la f(x) sería contínua.

La función no será continua en x = x 0 , bien porque f(x 0 ) no esté definida o bien porque

f(x 0 ) exista pero sea 0

limxx

f(x)

¿Que se puede afirmar de una función continua en un intervalo

cerrado [a,b] que toma valores de signos contrarios en los extremos del

intervalo?.

Se puede afirmar que existe un numero c tal que a < c < b y donde f(c) = 0.

Por otro lado se puede afirmar que la función tiene en [a,b] un máximo, es decir, que

existe un c1 [a,b] tal que f(x) f(c1) para todo x [a,b] y que verifica que f(c1) > 0

Asimismo, que existe un valor mínimo, es decir, que existe un c2 [a,b] tal que

f(c2) f(x) y que verifica que f(c2) < 0.

Si llamamos f(c2) = a' y f(c1) = b' puesto que la función toma todos los valores

intermedios entre a' y b' , se puede afirmar que la función transforma el intervalo [a,b]

en el intervalo [a',b'] y de forma que el valor 0 [a',b']

Si damos a f(-1) el valor 3, la f(x) será continua en x = - 1

Sea f(x) = ex + 2. Se pide: a) Representar la gráfica ; b) Hallar los puntos

en los que la recta tangente es paralela a la recta y = x ; c) ¿Hay algún

punto en el que la recta tangente sea horizontal?.

a)

4,7

y = x

y = 2

b) Si la tangente es paralela a y = x mt = mr = 1

El punto de tangencia seria (0,3) y – 3 = x => y = x + 3

c) La única tangente horizontal podría ser y = 2 pero al ser la asíntota solo cortará a la

curva en x = - ∞ ; luego no hay ningún punto.

Para dibujar la función modulo, dibujamos y = x2

– x.

x y El vértice será el máximo ó mínimo.

0 0 y’ = 2x – 1; y’ = 0; 2x – 1 = 0; x = 1/2;

½ - ¼ x y’’= 2

1 0 y’’ > 0 mín (1/2, 1/4, -1/2) = ( ½, - ¼)

-1 2 x x

En la figura hacemos positiva toda la parte de

la función que salga negativa.

La función en (-∞,0) es continua par ser función polinómica de 2º grado en (0,1) es

continua por ser función polinómica de 2ºgrado en (1,∞) es continua por ser función

polinómica de 2 grado.

Dibujamos la gráfica: D = R

La tag a la f(x) que pase por (0,0) es la recta y = 0 que corta a f(x) en (0,0)

(-1,0) y (1,0)

(- ∞, 0) y = cos x – 1 es continua por ser función sinusoidal-función constante.

(0, 2) y = + a es continua a por ser función polinómica.

(2, ∞) y =

es continua b excepto para x = 1 (2, ∞)

Para b = 6 podemos asegurar que la f(x) es continua en x = -1 y en x = 1

La función que representa los valores particulares dados será:

f(x) = x2 la cual es continua en el origen.

Para que sea continua en [-1, 1] , lo debe ser por la izquierda de -1, por la derecha de 1

y en el (-1, 1).

El problema es que para x = 0 (-1, 1) la f (0) = 0

1 no está definida, y aunque

f(x) exista o no ( en este caso es ), podemos asegurar que f (x) en x = 0 no es

continua por no estar definido la f (x), ni en [-1,1] , ni en (-1,1)

Geométricamente la f(x) = 4 en [-3, 3) es la funcion copnstante de pendiente 0,

mientras que la f(x) = 7 – x en [3, 7] es una recta de pendiente – 1, por eso la f(x) no es

derivable, ya que sus pendientes por la derecha y por la izquierda de x = 3 no coinciden.

a)

En (-∞, 3) y = 2x + a esta definida en R para todo valor de a, por ser una funcion

polinomica de grado 1 f(x) definida en (-∞, 3) R

f(x) es continua en (-∞, 3) .

En (3, ∞) y = x2 – 2x esta definida en R para todo valor de a, por ser una funcion

polinomica de grado 2 f(x) definida en (3, ∞) R

f(x) es continua en (3, ∞) .

Para que sea continua en x = 1.

Para que pase por el origen (0,0), cojamos f(x) = 2x² + ax + b ya que x = 0 ≤ 1

0 = 0 + a · 0 + b → b = 0 y a = - 3 .

Veamos si f ‘(x) es continua en x = 1.

Para que la tangente sea paralela al eje OX, este tiene = 0 → mt = = 0.

Hipótesis

¿Se puede asegurar que la función x3 - 3 sen x + 4 toma el valor

cero en algún punto del intervalo [-2,2] ? Razonar la respuesta indican-

do el resultado teórico utilizado.

Para asegurar que algún x0 [-2,2] haga que la ecuación x3 – 3sen x + 4 = 0 se

verifique, me ayudo de una ƒ(x) = x3 – 3 sen x + 4 que según Bolzano:

Si ƒ(x) es continua en x0 [-2,2] y aquí lo es por ser x3 ƒ polinómica de grado 3 ,

sen x f sinusoidal y periódica y 4 una función constante en las que las tres son

continuas e R y la suma de funciones continuas es siempre continua.

Sig ƒ(-2) ≠ sig ƒ(2)

Con lo que se cumplen las dos hipótesis de Bolzano => Existe al menos un

x0 (-2 ,2) / ƒ(x0) = 0, es decir, existe algún valor de x que verifique la ecuación

x3 – 3 sen x + 4 = 0 dentro del intervalo (-2,2)

¿Se puede asignar un valor a f(0) para que la función definida por

Con solo hacer que f(0) = 1 , hace que la función sea continua.

Para que f(x) sea continua en basta [0,5] con observar la continuidad en x = 2

Además f(0) = f(5) ;

x y x y

0 0 2 -1

1 -3/2 3 -2 +

2 -1 4 -2 +

-1 1 + 5/2 5 -2 + 2 = 0

Para que sea derivable antes debe ser continua en x = 2

y derivable en x = 2, para lo cual la derivada debe de ser continua

Además f(0) = f(5)

Un cierto día , la fuerza las olas , medida en Nw , en función del tiem-

po t ( en horas ) es F(t) = | 400- 50 t |. Si la fuerza es menor que 50 Nw,

no se puede practicar surfing porque el mar esta demasiado en calma.

Si es superior a los 200 Nw , las normas de seguridad impiden practi-

carlo. Con estos datos , si t varia desde las 0 a las 24 de ese día ¿ en que

horario puede practicarse surfing?

400----------------------------------

200--------------------------

50------------

0 x1 8 x2 16 24

-400 + 50t t>8

F(t)= | 400 - 50t | = 0 t=8

400 + 50t t<8

400 - 50t < 50 ; 350 < 50t ; t > 7

-400 + 50t < 50 ; 50 t < 450 ; t < 9

Entre los tiempos 7 y 9 horas la F es < 50 y no se practica

400 - 50t > 200; -50t > -200 ; 50 t < 200 ; t < 4

-400 + 50t > 200 ; 50 t > 600 ; t > 12

Entre los tiempos 0 < t < 4 y 12 > t > 24 la F es > 200 y las normas de

seguridad impiden practicarlo.

Solo se practicara surfing entre las horas 4 y 7 y entre las horas 9 y 12 .