1

5 Continuidad y derivabilidad de funciones reales de varias variables reales.

5.1 Funciones reales de varias variables reales. Curvas de nivel. Continuidad.

5.1.1 Introducción al Análisis Matemático.

El espacio n-dimensional, cuyos elementos reciben el nombre de puntos, es el conjunto:

{( ) }

La distancia euclidea entre dos puntos es la aplicación dada por:

( ) √( ) ( )

( ) ( )

Las propiedades de la distancia son:

1. ( ) ( ) 2. ( ) ( )

3. ( ) ( ) ( )

En ,

( ) √( ) | | | |

Por ejemplo, si ( ) | |

En

( ) √( ) ( )

( ) ( )

( ) √( ) ( ) √

Sean y , la bola abierta de centro y radio r , ( ) { ( ) ⁄ }

5.1.2 Funciones reales de varias variables reales.

Una función f de n variables con dominio es una regla que asigna un número real

( ) a cada punto ( ) .

→

El dominio de f, D, son los puntos de en los cuales está definida: ( ) { ( )}

La imagen de f son los valores que toma en : ( ) { ⁄ ( ) }

Si la función se suele representar por ( ), donde x e y son las variables independientes y z la

variable dependiente. Si la función se suele representar por ( ), donde x, y, z son las variables

independientes y w la variable dependiente.

2

Ejercicio: Hallar los dominios de las siguientes funciones y dibujar esos conjuntos en el plano xy.

) ( ) √ √ ) ( )

√ √ ( )

Solución:

) √ √

. El dominio es: ( ) {( ) ⁄ }

)

√

√ ( ) ( )

( ) {( ) ⁄ }

Nota: La gráfica de una función real de dos variables ( ) es una superficie de . Por ejemplo:

→ dada por ( )

5.1.3 Curvas de nivel.

Para una función →

Cortamos la gráfica de la función ( ) por planos horizontales (paralelos al plano xy) . Luego se proyectan

esas intersecciones perpendicularmente sobre el plano xy. Si el plano por el que hemos cortado es la proyección

de la intersección sobre el plano xy se llama curva de nivel k de f. La curva de nivel será por tanto la curva plana de

ecuación ( ) .

Ejemplo: Curvas de nivel de la función ( ) .

Las curvas de nivel son las curvas de ecuación ( )

Son circunferencias de centro ( ) y radio √ .

3

Gráfica de ( ) Corte de la gráfica por el plano Vista desde arriba.

Proyección de las intersecciones en el plano xy Algunas curvas de nivel

Para una función → , la curva de nivel k de f es:

( ) { ( ) ⁄ }

5.1.4 Límite y continuidad de funciones reales de varias variables reales.

• Sean → y decimos que el límite de ( ) cuando tiende a es y escribimos

( )

( ) | ( ) |

La función toma valores “tan cerca como se quiera” del límite l cuando nos aproximamos “lo suficiente” a .

• El concepto de continuidad para funciones de una variable se puede generalizar a funciones de varias variables.

Hablando informalmente, una función de n variables es continua si cambios pequeños en las variables independientes

producen cambios pequeños en los valores de la función.

Formalmente, Sean → y

decimos que f continua en si

( ) ( )

• f continua en si es continua en

4

• Al igual que en el caso de una variable: toda función de n variables que se puede construir a partir de funciones

continuas por operaciones de adición, sustracción, producto, división y composición de funciones es continua allí

donde está definida.

Ejercicio: Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

) ( ) ) ( )

Solución:

) por ser una función polinómica.

) La función g está definida y es continua en los puntos ( ) ⁄ es decir, está definida y es

continua en todo excepto en los puntos de la circunferencia de centro ( ) y radio 2. En ellos el denominador es

cero, luego ( ) no está definida.

5.2 Derivadas parciales. Vector gradiente.

5.2.1 Derivadas parciales de funciones reales de varias variables reales.

Para una función ( ) de una variable, la derivada ( ) mide la tasa de variación de la función cuando

x cambia. Para funciones de dos o más variables queremos ver la velocidad de variación de la función respecto de los

cambios de valores en las variables independientes. Por ejemplo, si ( ) son los beneficios de una empresa cuando

se usan cantidades de dos materias primas distintas, queremos saber cómo y cuánto variarán los beneficios al

variar .

Comenzamos definiendo las derivadas parciales de una función de dos variables:

Sea → y sea ( ) ( )

La derivada parcial de f con respecto a x en ( ) es:

( ) ( ) ( )

( )

( )

La derivada parcial de f con respecto a y en ( ) es:

( ) ( ) ( )

( )

( )

La derivada parcial de f con respecto a x es la derivada de ( ) con respecto a x cuando y se mantiene

constante. De la misma manera la derivada parcial de f con respecto a y es la derivada de ( ) con respecto a y

cuando x se mantiene constante.

Ejercicio: Calcular las derivadas parciales de ( )

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

Nota: Para funciones de más de dos variables las derivadas parciales se definen de forma análoga.

Sea → y sea ( ). La derivada parcial de f con respecto a en es:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

5

5.2.2 Interpretación geométrica de las derivadas parciales:

Caso de dos variables

La gráfica de la función ( ) representa una superficie S. Si ( ) , entonces el punto ( ) está en la superficie S.

La intersección del plano vertical con la

superficie S es la curva . La recta tangente a la

curva en el punto ( ) y en la dirección

del eje x es la recta .

( )

La intersección del plano vertical con la

superficie S es la curva . La recta tangente a la

curva en el punto ( ) y en la dirección

del eje y es la recta .

( )

Caso de más de dos variables. La derivada parcial de f con respecto a en ( ) es la

pendiente de la recta tangente a la superficie ( ) en la dirección del eje .

5.2.3 Interpretación económica de las derivadas parciales:

Sea →

La tasa marginal de variación de f con respecto a en es el incremento que sufre la función cuando la

variable se incrementa en una unidad y el resto de las variables se mantienen constantes. Si consideramos que el

incremento de una unidad es un incremento “pequeño”, la tasa marginal de variación de f con respecto a en es

aproximadamente la derivada parcial de f con respecto a en .

5.2.4 Gradiente de funciones reales de varias variables reales.

Sea → y sea ( ), si existen todas las derivadas parciales de f en , el vector

gradiente de f en es

( )

(

( )

( )

( ))

(

( )

( )

( )

)

6

Ejercicio: Calcular el vector gradiente en el punto ( ) de las siguientes funciones

) ( ) ) ( )

Solución:

)

( )

( )

( )

( )

} ( ) ( )

)

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

}

( ) (

)

Nota: La existencia de derivadas parciales en un punto no implica la continuidad en el punto y viceversa, la

continuidad en un punto no implica la existencia de derivadas parciales en ese punto.

5.3 Derivadas parciales de orden superior. Matriz hessiana.

5.3.1 Derivadas parciales de orden superior.

Comenzamos definiendo las derivadas parciales de orden superior para una función de dos variables:

Sea → y sea ( ) ( )

Las derivadas parciales

( ) y

( ) se llaman derivadas parciales de primer orden o derivadas

parciales primeras. Estas derivadas parciales son, a su vez, funciones de dos variables. A partir de

( ) se

pueden construir dos nuevas funciones tomando las derivadas parciales con respecto a x e y. De la misma manera se

puede hacer con

( ). Las cuatro funciones así obtenidas se llaman derivadas parciales de segundo orden o

derivadas parciales segundas, de ( ) y se denotan:

( )

{

(

) ( )

( ) ( )

(

) ( )

( ) ( )

( )

{

(

) ( )

( ) ( )

(

) ( )

( ) ( )

Nota: Para funciones de más de dos variables las derivadas de segundo orden se definen de forma análoga, en general

se define

(

) ( )

Ejercicio: Dada ( ) , calcular las derivadas parciales de segundo orden en el punto ( )

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( ) {

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) {

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

En el ejemplo vemos que las derivadas parciales cruzadas

y

coinciden, esto no es casualidad:

Teorema de schwarz: Sea → y ( ) tales que

( )

( )

( ) existen en

( ) y

( ) es continua en entonces existe

( ) y se verifica:

( )

( )

Nota: (sobre la notación), sea por ejemplo →

Si queremos derivar primero respecto a la tercera variable y después respecto a la primera, se puede denotar:

( ) ( )

5.3.2 Matriz hessiana.

Sea → y ( ) tal que admite todas las derivadas parciales de segundo orden en ,

definimos matriz hessiana de f en como:

( )

(

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ))

(

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

)

Ejercicio: Obtener la matriz hessiana de ( )

8

Solución

( ) ( )

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) (

)

Nota: La 1ª, 2ª y 3ª columnas son respectivamente: