FUNCIONES REALES Y SUS GRAFICAS

Definición X Y

Una función es una triada de objeto (X,Y,f); donde X e Y son dos conjuntos y f es una regla que hace corresponder a cada elemento de X un único elemento de Y . Al Conjunto X se le llama dominio de la función y al conjunto Y conjunto de llegada de la función.

A una función (X, Y, f) se le denota comúnmente por: f: X Y ó X f Y y se lee “la función f de X en Y ”.

Para indicar que a un elemento x de X, f le hace corresponder el elemento y de Y se escribe Y = f(x) , lo cual se lee y es igual a f de x , lo que significa que y es el valor que toma f en x o que y es la imagen de X mediante f.

El elemento x, en este caso, es una preimagen del elemento y. A la variable que usamos para denotar los elementos del dominio se llama variable independiente y la variable que denota la imagen variable dependiente (y).

Ejemplo: z = f(t), en cuyo caso la variable independiente es t y la variable dependiente es z. y = f(x) x = variable independiente y = variable dependiente

Dadas las funciones: f: x y y g : x y Diremos que: f = g f ( x) = g(x)

El rango de la función f: xy es el conjunto formado por todas las imágenes. Esto es Rango de f ={ f(x) Y / X X }

. .x Y=f(x)

Al dominio y al rango de una función f: X Y lo abreviaremos Dom(f) y Rang(f)

Ejemplo 1: X Y

Sean X = {a,b,c,d}, Y={1,2,3,4,5}Y la función f : X Y, cuya regla f está dada por el gráfico 1

El dominio es el conjunto: Dom(f) = X ={a,b,c,d}El rango es el conjunto de llegada: Rang(f) = [3,4,5]La regla f establece que f(a) =3, f(b) = 3, f(c) = 5, f(d) = 4.

Ejemplo 2: Sea X un conjunto cualquiera, a la siguiente función se le llama función identidad del conjunto X.

Ix: X X Ix(x) = xEl dominio, es el conjunto de llegada y el rango es el conjunto X.La regla Ix hace corresponder a cada elemento x el mismo elemento x.

Recuerde: F(x) es una función si se cumple lo siguiente:

1. Que todo elemento del dominio debe tener una imagen 2. Que todo elemento del dominio tiene exactamente una imagen.

Estos Ejemplos :no son funciones.

abcd

12345

gráfico 1

X = Y2 Y =

Porque a x le corresponde dos imágenes cuando X = 4, y Y= 2 (Definiendo el rango: sobre todo el eje y)

X Y

El 3 no tiene imagen

Funciones Reales:

La recta y la ecuación de primer grado.Se llama ecuación de primer grado en dos variables, x e y, a la ecuación:Ax+By+c=0 donde A 0 ó B 0

Pendiente de una recta:La pendiente de una recta mide la razón de elevación ó inclinación de la recta.Si P1(x1, y1 ) y P2(x2,y2) son dos puntos distintos cualesquiera en la recta l la cual no es paralela al eje y: entonces la pendiente (m) denotada por m, está dada por:

m = Ec. (1)

En la ecuación Ec(1), X2 X1 ya que l no es paralela al eje Y

1

2

3

8

7

El valor de m calculado de la Ec(1) es independiente de la selección de los puntos P1 y P2

en la recta. Para demostrar esto supóngase que escogemos dos puntos diferentes p1