Funciones reales

2.4.1 FUNCION CONSTANTE

En matemática se llama función constante a aquella función matemática que toma

el mismo valor para cualquier valor de la variable. Se la representa de la forma:

donde a es la constante.

Si es una constante real, la función definida por:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

X

Y

2.4 ALGUNAS FUNCIONES REALES PARTICULARES

Notemos que:

I.

II.

Figura 2.35 Gráfica de la Función

Constante

EJEMPLO Nº29:

a. Sea definida por

. Luego su representación gráfica es:

-1 1

-1

1

X

Y

Notemos que:


b. Sea La función definida por . Luego, su representación

gráfica es:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

X

Y

Notemos que:

I.

II.

Figura 2.37 Gráfica de la función

FUNCIÓN NULA: (Caso particular de la función Constante )

Se llama Función Cero a aquella función definida por para todo , y

su representación gráfica es la siguiente:

-1 1

-1

1

X

Y

Notemos que:

I.

II.

Figura 2.38 Gráfica de la Función Nula

2.4.2 FUNCION IDENTIDAD

En matemáticas una función identidad es una función matemática, de un

conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento.

Sea una función. Se llama Función identidad a aquella función definida

por , y su representación gráfica es la siguiente:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

y

Notemos que:

I.

II.

Figura 2.39 Gráfica de la Función Identidad

2.4.3 FUNCION VALOR ABSOLUTO

En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico

sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo,

3 es el valor absoluto de 3 y también es el valor absoluto de -3.

El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y

norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor

absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos

matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios

vectoriales.

La función valor absoluto es aquella función definida por , tal que

. Su representación gráfica es la siguiente:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Aplicando la definición de Valor Absoluto a expresiones de la forma

, se tiene que

Notemos que:

I.

II.

Figura 2.40 Gráfica de la Función Valor

Absoluto.

EJEMPLO Nº 30:

Pero,

→

→

Por lo tanto,

O como lo muestra la siguiente tabla:

No olvidemos que en el valor absoluto de , sucede que indica el

movimiento horizontal, mientras que indica el movimiento vertical

2.4.4 FUNCION EXPONENCIAL

Sea , es una función real, esta es una función es una expresión

cuya base es , y cuyo exponente es la variable independiente .

Veamos el comportamiento de esta función en el gráfico.

}

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

X

Y

En general una función real de la forma de base real ; distinta

de 1, es llamada Función Exponencial.

Podemos bosquejar la gráfica de la función exponencial a partir de la tabla de

valores:

Notemos que:

I.

II.

Figura 2.41 Gráfico de la Función

Exponencial.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

y

Si comparamos la gráfica de con , son funciones reflejas con

respecto al eje . Además, es una función creciente mientras que

es una función decreciente.

Ahora bien, comparamos la gráfica de ,

podemos notar que a medida que la base crece, su gráfica tiende a estar más

cerrada con el eje y.

Figura 2.41 Comparación de Funciones Exponenciales

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Figura 2.43 comparación de Gráficas de Funciones

Exponenciales con base mayor a 1.

Gráfico de la función exponencial , con .

EJEMPLO Nº 31:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

Figura 2.44 Comparación de Funciones Exponenciales

con base mayor a 0 y menor 1.

Podemos concluir lo siguiente.

A. Si , entonces la función exponencial de base y exponente

se concluye que:

1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje en el punto

.

2. Siempre es una función creciente, es decir, a medida que los valores de

aumentan los valores que toma y aumentan.

B. En general, si , entonces

1. La gráfica asociada a la Función Exponencial intersecta al eje en el punto

.

2. Siempre es una función decreciente, es decir, a medida que los valores de

aumentan los valores que toma y disminuyen, siendo cada vez mas cercanos a

cero, pero nunca cero.

C. En general, para se concluye:

1. El dominio de dicha función, son todos los números reales.

2. El recorrido de dicha función, son todos los números reales

positivos.

3. Si , entonces es creciente.

4. Si , entonces es decreciente.

CASOS ESPECIALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES

Dentro del estudio de las funciones exponenciales existen dos casos de suma

importancia, aquellas funciones que tienen como base los números .

a. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE

Si , entonces . El número es conocido a veces

como número de Euler o constante de Napier.

En este caso tenemos que la base es Observemos su gráfica:

<

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-2 0,05

-1 0,13

0 1

1 2,72


Exponencial con base Neperiana.

b. FUNCION EXPONENCIAL DE BASE 10

Si , entonces . Notemos la base .

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

-1 1/10

0 1

1 10


Exponencial con base 10.

2.4.5 APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL

La función exponencial ayuda en la resolución de problemas matemáticos

de situaciones reales. Observemos algunos casos:

A. Aplicación a problemas físicos:

Según una ley física referida al enfriamiento de un cuerpo, la temperatura

final de un objeto, transcurrido minutos, está dada por la igualdad.

Donde,

es la temperatura del medio en que se encuentra el objeto.

es la temperatura inicial del cuerpo.

es la constante de enfriamiento.

Si consideramos un caso hipotético, donde tenemos una temperatura inicial del

cuerpo de 70 y una constante de enfriamiento de y el cuerpo es ubicado en un

medio que se encuentra a 30 de temperatura. ¿Qué temperatura tendrá

transcurridos 7 segundos?

Reemplazando los valores en la fórmula:

B. Aplicación a un problema de biología.

Un cultivo de bacterias experimenta un crecimiento dado por la relación

Donde:

es la población inicial de bacterias que tienen la capacidad de reproducirse.

es la población de bacterias producidas en un tiempo determinado.

es el índice de crecimiento poblacional por bacteria.

es el tiempo de cultivo.

Consideremos un cultivo con una población inicial de 100 bacterias con

capacidad de reproducirse y con un índice de crecimiento poblacional final de 8

bacterias después de 10hrs.

Reemplazando los valores de la fórmula:

2.4.6 FUNCION LOGARITMO

La función logaritmo, es la función inversa de la función exponencial, es decir, si

, entonces su inversa es . No olvides que la función

logaritmo es la función inversa de la función exponencial, esto es:

Para poder estudiar la función logaritmo analizaremos su gráfica.

Si con

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

1/2 -1

1 0

2 1

1/3 -1

1 0

3 1

Figura 2.47 Comparación de Funciones

Logaritmos con distinta base.

En general, si su base es mayor a ocurre que:

i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje en el punto .

ii. La función es creciente.

Si con

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

1/2 1 1/3 1

1 0 1 0

2 -1 3 -1

Figura 2.48 Comparación de las

Funciones Logaritmo con base menor a 1.

En general, si su base varía entre ocurre que:

i. La gráfica asociada a dicha función intersecta al eje en el punto .

ii. La función es decreciente para todo valor real de .

En general, podemos decir que:

a) El dominio es el conjunto de los números reales positivos

b) El recorrido es el conjunto de los números reales

c) Si , la función es creciente.

d) SI , la función es decreciente.

2.4.7 CASOS PARTICULARES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO

Dentro del estudio de las funciones logaritmos existen dos casos de suma

importancia, aquellas funciones que tienen como base los números .

a. Si

Si , entonces . Que se lee logaritmo natural de .

Observemos su gráfica:

-1 1 2 3 4

-2

2

4

X

Y

1/2 -0,69

1 1

2 0,69


Logaritmo Natural.

b. Si

Si , entonces . Observemos su gráfica:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

0,5 -0,30

1 0

2 0,30

2.4.8 Función Logarítmica Inversa de la Función Exponencial

Sea , una función exponencial, determinemos la función inversa de

despejando la variable .

Sabemos que si , entonces:

Luego, intercambiamos los pares por los de la función en la expresión

, tenemos:


Logaritmo con base 10.

Observemos sus gráficas

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

, Si

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

En general, podemos observar que:

a) Las gráficas son simétricas con respecto a la bisectriz del cuadrante I y el

cuadrante III.

b)

c)

Figura 2.51 Gráfica de la

Función Logaritmo con base

mayor a 0.

Figura 2.52 Gráfica de la

Función Logaritmo con base

mayor a 0 y menor a 1.

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