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Capitulo II
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Capitulo II
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FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
1.- FUNCIONES
1.1.- CONCEPTO GENERAL DE FUNCION
Definición Dados dos conjuntos A y B denominamos aplicación o función de A en B a toda ley que haga corresponder a cada elemento de A un único elemento de B El conjunto A se llama conjunto de partida o dominio y el conjunto B, conjunto de llegada o conjunto de valores. La ley la indicamos generalmente con una letra minúscula f, g, h, etc.
Figura II.1
Dados los conjuntos A y B, y la ley f, si a x Є A, la ley f le hace corresponder y∈B escribimos indistintamente:
x→y (a x corresponde y) ó f:x→y (f aplicada a x da y) ó y= f(x) (y es la imagen de x) ó x→f(x) ( a x corresponde y)
Ejemplos 1.1. si A = {x/x fue alumno del Colegio Nacional N°1 de la ciudad de Resistencia en 1970}
B = ℝ = {números reales} y f la ley, que a cada x∈A le hace corresponder el promedio obtenido por x durante el año 1970 en el Colegio Nacional N°1 de la ciudad de Resistencia en 1970, f resulta ser una función.
1.2. si A = B = ℝ
la ley: x→ 2x + 1 es una función. En el presente curso, estudiaremos funciones de reales en reales, llamadas también
función real de una variable real, son funciones para las cuales se tiene A ⊂ ℝ y B = ℝ
De acuerdo con la definición, para definir una función deben darse tres elementos
a) el conjunto de partida
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b) el conjunto de llegada c) la ley
Sin embargo, en el presente curso y salvo casos específicamente indicados, la función se
dará solo por la ley conviniendo:
a) el conjunto de definición A, tiene como elementos aquellos números reales para los cuales la ley tiene significado.
Así, si f(x) =1
2x −, dado que el único real para el cual la ley carece de sentido es 2,
resulta:
A = {x/x ≠ 2} = ]∞; 2 [U]2; +∞[ b) el conjunto de valores, B, en lugar de todo ℝ , es directamente el conjunto de las
imágenes de los elementos de A y lo representaremos con el símbolo f(A), es decir, B es el rango o codominio de la función (conjunto de imágenes)
De acuerdo con este convenio, cada elemento de B es imagen de algún elemento de A, cuando se presenta esta situación, se dice que la función es sobre B o más brevemente que la función es suryectiva Ejemplo 1.3
Si g(x) = + x se considera A=B= ℝ + U {0}
En general, para estudiar una función real de una variable real, de la cual solo se conoce la ley se procede como se indica a continuación. i) Determinación del dominio
Se determina el conjunto de reales para los cuales la ley tiene sentido, lo que constituye el dominio de la función y que simbolizaremos con Af, Ag, Ah, si la letra usada para la ley es f, g h respectivamente.
Ejemplos 1.4) f(x) = 3x ; como existe el triplo de todo real x, es: Af = ℝ = ] [;+∞ −∞
1.5 )
h(x) = 1
1x + Como la inversa de un numero existe siempre que este sea
distinto a cero, y la raíz cuadrada (en el campo real) esta definida solo para reales no negativos, resulta h definida para todo x tal q : x + 1 > 0 � x > -1 y por lo tanto ... Ah = {x/x > -1} = ] -1; +∞ [
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ii) Determinación del rango o codominio Se determina el conjunto de las imágenes, la simbolizamos con Bf, Bg, Bh, etc… Asi resulta:
Bf = ℝ = ] [;+∞ −∞
Bh = +ℝ = ] 0 ; +∞ [
Ejercicio propuesto 1.6
Determinar Af, Bf, f(1) y x tal que f(x) =2 para cada una de las funciones f que se dan a continuación.
i) f(x) = x2 vii) f(x) =
1
x
ii) f(x) = 2
1
x
viiI) f(x) = x+1
iii) f(x) = x ix) f(x) = x
x
iv) f(x) = 1
x x) f(x) =
xx
x+
v) f(x) = 2 9x − xi) f(x) = 2x
vi) f(x) = 29 x− vii) f(x) = x−
1.2. Gráfica de una función Hemos visto que dada una función f, para cada x ∈ Af, existe f(x) ∈ Bf, luego podemos obtener pares ordenados en reales (x; f(x)) donde como primera componente consideraremos x ∈Af y como segunda componente su imagen perteneciente e Bf, sabemos además que dado un sistema de referencias en el plano es posible lograr una correspondencia biunívoca con puntos del plano y pares de números reales.
En virtud de esta correspondencia biunívoca entre puntos del plano y pares ordenados de números reales podemos representar en el plano el conjunto de puntos (x; f(x)), ∀ x ∈ Af .
Ese conjunto de puntos recibe el nombre de gráfica de la función f Ejemplo 1.7
Sea f la función de dominio A = {2;3;-1;0} definida de la siguiente manera: f(2) = 5 f(3) = 0 f(-1) = 2 f(0) = 2
su gráfica la constituyen los puntos del plano de coordenadas son: (2;5); (3;0); (-1;2); (0;2) y que hemos representado en la figura II 2
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Fig.II 2
Ejemplo 1.8
Sea g la función
3 2
( ) 1 2 0
0 0
si x
g x si x
si x
≤ − = − < < ≥
Su dominio es Ag = ℝ , su rango Bg = {3;1;0}
Su gráfica resulta:
Fig. II 3
Observación
De acuerdo con la definición de función para cada x ⊂ Af debe existir en correspondencia un solo valor f(x), luego la gráfica de una función es tal, que trazando paralelas al eje y esta se intersecan con la curva en un solo punto, pues s la cortan en mas de uno, para ese x habría dos o mas imágenes.
Fig. II 4 Fig. II 5
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Un caso particular de función es aquel en el que todo elemento de Bf es imágen de un
único elemento de Af. Cuando se presenta esta situación decimos que la función es inyectiva . Dada una función inyectiva (uno a uno) que además sea suryectiva (todo elemento de B
es imagen de alguno de Af., llamamos a tal función correspondencia biunívoca o simplemente función biyectiva (también se observa diciendo que la función es una biyección ). La figura II 6, es un ejemplo de una biyección del conjunto [a; b] en [c; d], en cambio la figura II 5 es la gráfica de una función no inyectiva.
Fig. II 6
Ejemplo 1.9 F(x) = x y Af = {x / 0≤ x ≤ 4} =[ ]0;4
La gráfica resulta
Fig. II 7
Ejemplo 1.10 F(x) = [x] [x] se lee “parte entera de x” y por definición es el mayor entero que no supera al numero dado x, o expresado de otra manera, es el mismo numero x si x es entero, o es el primer entero a la izquierda de x si x no es entero. Así: [3] = 3 [1, 4] = 1
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[-2] = -2 [-2, 5] = -3 Tiene a ℝ como dominio. La gráfica es la de la figura II 8
Fig. II 8
Su dominio es ℤ . Esta función no es una correspondencia biunívoca. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. 11) Indicar entre los conjuntos que siguen aquellos que define una función, graficarlas y señalar además las que sean biyectivas (suponemos que el conjunto de valores coincide con el conjunto de las imágenes).
i) {(x, y) / 2y = x} vi) {(x, y) / -2x = 5} ii) {(x, y) / x+y = 5} vii) {(x, y) / y = 8} iii) {(x, y) / y = │x│} viii) {(x, y) / y2 = 4} iv) {(x, y) / │y│= x} iv) {(x, y) / xy = 1} v) {(x, y) / y = [x] + 1} x) {(x, y) / y = │ [x ] │}
1.3 DEFINICION DE FUNCION PAR
Dada f :A → B Se dice que f es par si se verifica que f(x) = f(-x) ∀ x ∈ Af Si una función es par y un punto (a; b) pertenece a su grafica, también pertenece a la
mismo el punto (–a, b); por lo tanto, resulta simétrica respecto al eje y. Cuando se tiene una función par, para determinar su grafica, basta estudiar la gráfica
correspondiente a la parte positiva. Ejemplo 1. 12
Sea f(x) = │x│ siendo │x│ = │-x│ resulta una función par, por lo tanto basta hacer el estudio para los valores de x > 0, y luego completar por simetría, la gráfica resulta la de figura II 9.
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Fig. II 9
1.4 DEFINICION DE FUNCION IMPAR
Si f es una función para la cual resulta f(x) = -f(-x) ∀ x ∈ fA , se dice que la función es
impar . De la definición resulta que si (a, b) pertenece a la gráfica también pertenece a la misma (-a, -b), la gráfica es por lo tanto simétrica del origen.
Fig. II 10
Propiedades de la función impar.
0 ∈ Af ⇒ f(0) = 0 En efecto:
Sea f (0) = a, entonces se tiene (a = f (0) = - f (-0) = - f (0) = -a ) ⇔ a = a
1. 5 DEFINICION DE FUNCION PERIODICA
Dada una función f de ℝ en ℝ se dice que es periódica de periodo k si ∀ x ⊂ ℝ se verifica que f(x) = f(x+k)
El número k se denomina periodo de la función. Naturalmente una función de periodo k es también periódica de periodo pk con p ∈ ℤ . En efecto: f(x-4k) = f(x-3k) = f(x -2 k) = f(x-k) = f(x) = f(x +k) = f(x+2k). En general: f(x) = f(x+k) → f(x) = f(x+pk) ∀ p ∈ ℤ .
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Si f es periódica de periodo k y un punto (a, b) pertenece a su grafica, también pertenece a la misma el punto (a+k , b); por lo tanto basta conocer la gráfica y el comportamiento de una función correspondiente a un intervalo [a; a+k[ ⊂ ℝ para conocer la función.
La figura II 11 resulta el grafico de una función periódica.
Fig. II 11
EJERCICIO PROPUESTOS 1. 13) Probar: f periódicas ⇒ f no biyectiva. 1. 14) Señalar entre las funciones que se dan a continuación las pares y las impares.
i) f(x) = │x│ v) l (v) = v
v
ii) g(y) = y2 vi) m(w) = w4 – 2
iii) h(z) = 2
1
2z + vii) f(t) = [ ]t
iv) k(u) = u3 viii) h(y) = 3 y
1. 15) Completar las graficas i) y ii) de modo que resulten graficas de funciones pares, y las
iii) y iv) de modo que resulten impares.
i) iii)
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ii) iv)
1. 6 FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE
Dada una función f de dominio A ⊂ ℝ , si para todo par de puntos x1, x2 de A se tiene: i) x1 < x2⇒ f(x1) < f( x2) se dice que f es creciente en A ii) x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f( x2) se dice que f es no decreciente en A iii) x1 < x2 ⇒ f(x1) > f( x2) se dice que f es decreciente en A
iv) x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f( x2) se dice que f es no creciente en A Una función del tipo de i), ii), iii) o iv) se dice monótona .
Las figuras II 12; II 13; II 14 y II 15 ilustran cada uno de los casos.
Fig. II 12 Fig. II 13
Fig. II 14 Fig. II15
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EJERCICIOS PROPUESTOS 1. 16) Para cada una de las funciones del ejercicio 1.11 marcan subconjuntos de ℝ donde la función sea monótona. 2. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES 2.1 FUNCION CONSTANTE
Se denomina así a la función f(x) = k Resulta fA = ℝ ; fB = {k} y su gráfica la de la figura
Fig. II 14
Ejercicio propuesto 2.1) Decir si la función constante es par, o impar, o sea monótona 2.2 FUNCION LINEAL.
Se denomina así a una función de la forma: h(x) = mx, con m ≠ 0
Resulta Ah = ℝ ya que dado m ∈ ℝ para todo real x está definido el producto mx. También es Bh = ℝ ya que siendo m ≠ 0, dado un real y cualquiera, siempre existe un x
tal que mx = y. El alumno ya sabe que la gráfica es una recta que contiene el origen de coordenadas, ya
que f(0) = 0; además f(1) = m recibe el nombre de pendiente de la recta.
Figura II 17
EJERCICIOS PROPUESTOS.
2.2) Probar que la gráfica de la función lineal es una recta. 2.3) Decir si la función lineal es par o impar, justificando la respuesta. 2.4) Establecer en que caso la función lineal es creciente o decreciente.
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2.3 FUNCION AFIN. Se llama así a una función de la forma: g(x) = mx + h m ≠ 0 ; h ≠ 0 También aquí Ag = Bg = ℝ y la gráfica es una recta que intersecta al eje y en el punto
(0;h); h recibe el nombre de ordenada al origen.
Figura II.18
EJERCICIO PROPUESTO 2.5) Dada g(z) = mz + h, probar:
i) Ag = Bg = ℝ ii) La gráfica de g es una recta iii) La intersección de la recta con el eje y es el punto (1;2) iv) Decir si es una función par o impar v) Establecer en que caso es creciente o decreciente
2.4 FUNCION f(u) = 2u
En este caso se tiene Af = ℝ y Bf = 0
+ℝ
La gráfica es la de la figura II.19
Figura II 19
EJERCICIOS PROPUESTOS 2.6) Dada f(u) = µ², probar:
i) Af = ℝ Bf = 0
+ℝ
іі) El origen pertenece a la gráfica iii) f es par іv) f es creciente en 0
+ℝ y decreciente en 0
−ℝ
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2.5 LA FUNCION RECIPROCA
Se llama así a la función g(v) = 1
v
En este caso es Ag = Bg = ℝ - {0}. La gráfica es la de la figura II 20.
Fig. II 20
EJERCICIO PROPUESTO.
2.7) Dada g(v) = 1
v probar:
i) Ag = Bg = ℝ - {0} іі) g es impar. iii) g es decreciente en +
ℝ y en −ℝ , pero no en Ag.
2.6. FUNCION INVERSA
Recordemos que una función ƒ de A en B es una biyección si cada elemento de B es imagen de un único elemento de A.
Así si A = { -2; -1; 0; 1} y B = {-4; -2; 0; 2} se tiene:
i) f(x) = 2x es una biyección de A en B (figura II.21). іі) g(x) = 2 no es una biyección porque el dos es imagen de cuatro elementos y
porque -4; -2 y 0 no son imagen de ningún elemento de A. (figura II.22)
Figura II.21 Figura II.22
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Dada una biyección f de A en B, la misma permite definir una particular función de B en A,
llamada inversa de f , y para la que se usa la notación f ¯¹. Definición:
Dada una biyección f de A en B, se llama inversa de f y se nota f ¯¹ a la función de B en A que haga corresponder a cada elemento de B el único elemento de A. El es imagen por f.
Es decir:
f ¯¹(x) = z ↔ f(z) = x f(x) = z ↔ f ¯¹(z) = x
En el ejemplo anterior sería f ¯¹(x) = 1
2x y f ¯¹(2) = 1 porque f(1) = 2.
GRAFICA DE LA FUNCION INVERSA.
Como trabajamos con funciones reales en reales y recurrimos siempre que podemos a las gráficas, es natural buscar en primer lugar un criterio gráfico para saber si una función es biyectiva, y por lo tanto posee inversa; y luego el procedimiento para graficar la función inversa cuando resta:
i) CRITERIO GRAFICO PARA DECIDIR SI UNA FUNCION ES UNA BIYECCION. Dada f: A → B son puntos de la gráfica de f los puntos (a; f(a)), es decir cada punto de la
gráfica tiene como ordenada un número que es la imagen de la abscisa de dicho punto. Si f es una biyección f(a) = f(b) → a = b ó a ≠ b → f(a) ≠ f(b) por lo tanto no pueden pertenecer a la gráfica dos puntos distintos que tengan la misma
ordenada, lo que gráficamente se traduce en que cada paralela al eje x interseca a la gráfica en un solo punto.
Ejemplo a: Si f es la función cuya gráfica se indica a continuación.
Figura II.23
El codominio B es el intervalo [c;d], tomando 1 ∈ [c;d] y trazando una paralela al eje x,
ésta corta a la curva en tres puntos distintos M, P y Q, y por lo tanto resulta por ejemplo f(m) = f(p) y m ≠ p, luego no es una biyección.
Ejemplo b: Sea g la función cuya gráfica se indica a continuación.
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Figura II.24
El codominio B es el intervalo [a;b] y cualquiera sea y ∈ [a;b] al trazar una paralela al eje
x por dicho punto su intersección con la curva será un solo punto, g es entonces una biyección y admite función inversa g ¯¹. En la figura II.24 se han indicado los números g ¯¹(1) y g ¯¹ (3).
ii) GRAFICA DE f ¯¹ A PARTIR DE LA GRAFICA DE f. Dada una bisección f, un punto (a; b) pertenecerá a la gráfica de f ¯¹ si y sólo si (b;a)
pertenece a la gráfica de f. Ahora bien, dado un punto (b;a) para encontrar el (a;b) basta proceder como indican las
flechas en figura II.25. Siendo δ la recta f(x) = x, entonces (b;b) y (a;a) pertenecen a δ, resultando entonces (b;a) y (a;b) simétricos respecto de δ.
Figura II.25
Como consecuencia se tiene: dada la gráfica de una biyección f, la gráfica de f ¯¹ es la
simétrica de la gráfica de f respecto de la recta f(x) = x. La figura II.26 ilustra esta consecuencia.
Figura II.26
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EJERCICIO PROPUESTO 2.8) Indicar, entre las funciones que siguen, aquellas que sean biyectivas, dar la función
inversa y graficar. i) f(x) = x² { } { }1;0;1;3 1;0;9f fA B= − =
іі) g(z) = z² { } { }1;0;2;3 1;0;4;9g gA B= − =
iii) h(x) = 3 іv) k(z) = -8z v) l(x) =[x] vі) m(u) = 3u – 2 vіі) n(t) = t² vііі) l(w) = w² lA = 0
+ℝ
ix) f(s) = s
ss
=
De las definiciones de función inversa, periódica y par resulta que ninguna función par o
periódica admite inversa. Sin embargo en la mayoría de los casos puede restringirse el conjunto de definición de modo que la función admita inversa.
Por ejemplo la f(x) = x² no admite inversa ya que: ( )2 2x x x= ∀ ∈ℝ
Pero si se considera f(x) = x² y 0fA+= ℝ existe f ¯¹, siendo f ¯¹(x) = x .
O bien si g(z) = z² y 0gA−= ℝ se tiene g ¯¹(z) = z− ; ver Figuras II.27 y II.28.
Figuras II.27 Figuras II. 28
3. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS O CIRCULARES Las funciones trigonométricas o circulares serán definidas como funciones de reales en
reales; pero para ello nos valdremos de los ángulos, ya que una definición analítica exigiría precisar muchos conceptos que demorarían la presentación de estas funciones de manera inconveniente para la finalidad del curso.
Los ángulos serán interceptados como se hace habitualmente en trigonometría, es decir, supondremos que los ángulos son generados por una semirrecta que gira alrededor de su origen, siendo positivos si la semirrecta gira en sentido antihorario y negativos en caso contrario, existiendo ángulos de más de una vuelta en uno u otro sentido.
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Además los ángulos estarán ligados siempre a un sistema de coordenadas, tomando en todos los casos el semieje positivo de las x coincidente con la posición inicial de la semirrecta que genera el ángulo, de esta manera para cada ángulo α positivo o negativo habrá una semirrecta s de origen de coordenadas que indica la posición final de la semirrecta generadora del ángulo.
En la figura II.29 se ha indicado una semirrecta s que daría la posición final correspondiente al ángulo α indicado o a cualquier ángulo α + k vueltas con k∈ ℤ
Figura II.29 Tomando dos puntos cualesquiera de s, distintos del origen, como por ejemplo P(x;y) y
P (x´; y´) se tiene por semejanza de triángulos y la permanencia del signo de las coordenadas en cada cuadrante
( )´1
´
x x
OP OP= ( )´
2´
y y
OP OP=
Y también ( )´3
´
y y
x x= Si s es distinta del eje y
Siendo 2 2OP X Y= + y
2 2´ ´ ´OP X Y= +
Resulta de esta manera que las relaciones (1), (2) y (3) dependen de la semirrecta s y no de los puntos que sobre ella se tomen. Ejercicio Propuesto
3.1) Calcular las relaciones (1), (2) y (3) cuando sea posible suponiendo: i) s coincide con los semieje positivo de las y ii) s coincide con los semieje negativo de las x iii) s coincide con los semieje negativo de las y iv) s es la bisectriz del segundo cuadrante v) s es la bisectriz del tercer cuadrante vi) s es la bisectriz del cuarto cuadrante Suponemos que el lector sabe que el radian es el ángulo central de una
circunferencia que abarca un arco de longitud igual a la del radio, y que además tiene claro el concepto de medida de un ángulo y sabe que por definición es un número positivo o nulo.
De esta manera si se tiene un ángulo de una vuelta generado en uno u otro sentido, su medida en radianes será 2π y en general si
ˆ ˆ kβ α= + vueltas k+∈ℝ
Será ˆ ˆ 2med med kβ α π= + en rad en rad
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Usando los conceptos previamente introducidos y suponiendo siempre los ángulos ligados a un sistema de coordenadas, podemos definir las funciones trigonométricas como funciones de los reales en los reales.
Dado u∈ℝ , si u es positivo existe un ángulo positivo cuya medida en radianes es u , y si u es negativo existe un ángulo negativo cuya medida en radianes es |u |; en cualquiera de los dos casos convenimos en indicar con u dicho ángulo y con u
� la
semirrecta que indica la posición final de la semirrecta generadora. Por ejemplo, en las figuras 30 31yΙΙ ΙΙ se han indicado reales , ,u v w y z , los
correspondientes ángulos ˆ ˆ ˆ, ,u v w y z , y las semirrectas , ,u v w� � �
y z�
.
Fig II 30 Fig II 31 3.1. DEFINICION DE COSENO
Dado u∈ℝ llamamos coseno de u a la relación x
OP correspondiente a un punto P(x;y) de u
�
Ejemplo
0z > 0z
med z z
>
=ɵ
ɵ
0u
med u u
<
=
1 2
1 2
3 4
3 4
cos1
cos1
x x xx
OP OP
x x qz q
OP OP
µ = = = =
= = = =
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NOTA:
Si sobre u�
elegimos el punto P de manera tal que OP=1, el coseno coincide con la abscisa de P
Puede entonces decirse que el coseno del real u es la abscisa del punto de intersección de la semirrecta u
� con la circunferencia de radio unidad y centro en el origen de coordenadas (la
semirrecta u�
se obtiene a partir del real u según lo convenido) Ver figura II33
Figura II-33
Esta segunda definición del coseno es la más conveniente cuando se desea visualizar una propiedad de la función. A la circunferencia de radio unidad y centro en el origen se la llama círculo trigonométrico 3.2. Propiedades del coseno De las mismas definiciones son inmediatas las tres propiedades siguientes: Propiedades 3.1. Para todo real u se tiene |cos u| 1≤ Propiedades 3.2. La función coseno es par, en efecto para todo u∈ℝ resulta cos cos( )u u= − . Propiedades 3.3. La función coseno es periódica de periodo 2π 3.3. DEFINICION DE SENO
Dado u∈ℝ llamamos seno de u a la relación y
OP correspondiente a un punto P(x;y) de u
�.
Así en la figura 32ΙΙi se tiene
1 2
1 2
3 4
3 4
1
1
y y ysenu y
OP OP
y y rsen z r
OP OP
= = = =
= = = =
También aquí puede definirse el seno de un real u como la ordenada del punto de intersección de la semirrecta u
� con la circunferencia de radio unidad y centro en el origen de
coordenadas.
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En la figura 33ΙΙi se tiene:
1 2 3 4; ; ( 1);4 2
y sen y sen y sen y senπ π π= = = − =
3.4 Propiedades del seno Aquí también son inmediatas las siguientes propiedades: Propiedad 3.4. Para todo real u se tiene | | 1sen u ≤ Propiedad 3.5. La función seno es impar, es efecto para todo u∈ℝ Resulta ( )senu sen u= − − Propiedad 3.6. La función seno es periódica de período 2π Relación Pitagórica Para todo u∈ℝ es: 2 2cos 1u sen u+ = -NOTA: 2cos u es una forma convencional de escribir 2(cos )u . Esta propiedad es inmediata si se recurre al círculo trigonométrico.
Fig II-34
3.5. Gráfica de la función seno La función seno (igual que el coseno) es periódica de período 2π , por lo tanto basta determinar su grafica en un intervalo cualquiera de longitud 2π ; pero además es una función impar, se puede entonces determinar su gráfica en el intervalo [ ]0;π , y por simetría respecto al
origen de coordenadas completarla en [ ];π π− , con lo que se habrá obtenido la gráfica en un
intervalo de longitud 2π lo que permite extenderla a todo un conjunto de definición, es decir a todo el eje real. Determinación de la gráfica en el intervalo [ ]0;π
Capitulo II
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Sea [ ]0;u π∈ , se determina u tal que ˆmed u u= con lo que queda determinada la semirrecta u�
que intersecta al círculo trigonométrico en el punto ( )cos ;u sen u , el punto ( );u sen u pertenece a
la gráfica.
Fig. II-35
La figura 36ΙΙi es la gráfica de la función seno en [ ];π π− , para obtenerla se han tomado 5
puntos equidistantes, interiores al intervalo [ ]0;π , y se ha repetido el procedimiento anterior para
cada uno de ellos (de esta manera las semirrectas correspondientes son las que dividen al ángulo llano en seis partes iguales) y luego se ha completado por simetría.
Fig II-36
3.6. Gráfica de la función coseno La función coseno es periódica de período 2π y par, por lo tanto basta analizar su gráfica en [ ]0;π , para lo cual podríamos seguir un procedimiento similar al usado para el seno con el
inconveniente que u coseno no queda determinado directamente sobre el eje y que es el eje sobre el que se indican los valores de la función. Sin embargo, es muy fácil probar usando el círculo trigonométrico, que dado [ ]0;u π∈
resulta cos ( )2
u sen uπ= + donde
3;
2 2 2u
π π π + ∈ , es decir que el punto ( ; ( ))
2u sen u
π+ pertenece
a la gráfica de la función coseno.
Capitulo II
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En la figura II37 se ha dibujado la gráfica del seno en líneas de trazos, se ha tomado [ ]0 0;u π∈ y se ha indicado como conseguir el punto 0 0( ,cos )u u usando la gráfica del seno en
3;
2 2
π π
.
Fig. II 37
Es inmediato que la gráfica del coseno en [ ]0;π es la misma que la del seno en 3;
2 2
π π
pero desplazada hacia la izquierda en una longitud 2
π. Completada por simetría y por
periodicidad la gráfica del coseno es la que se indica en línea llena en figura II 38, donde con líneas de trazos se ha indicado también la gráfica del seno.
Fig. II 38
Ejercicios propuestos 3.2) Indicar tres intervalos donde la función seno sea creciente, y otras tres donde sea
decreciente.
3.3) Ídem que el ejercicio anterior para la función coseno.
3.4) Determinar un intervalo donde sean simultáneamente crecientes el seno y el coseno, y otro donde sean simultáneamente decrecientes.
3.5) La gráfica de la función seno es simétrica respecto de la recta 2x
π=. Expresar
analíticamente dicha propiedad.
Capitulo II
23
3.6) Las funciones seno y coseno por su periodicidad no son biyecciones, pero si en lugar de definirlas en todo ℝ se las restringe a ciertos intervalos, resultan ser biyectivas, elegir algunos intervalos donde:
i) el seno sea una biyección ii) el coseno sea una biyección iii) tanto el seno como el coseno sean biyectivos.
3.7) DEFINICION DE LA TANGENTE
Dado u∈ℝ llamamos tangente de u a la relación y
x correspondiente a un punto
P(x,y) de u�
. Observación
Para que la relación y
xeste definida debe ser 0x ≠ , ó lo que es lo mismo la semirrecta u
�no
debe coincidir con el eje y, esto significa que la función tangente esta definida para todo real u
distinto de 2
kπ + ; con k ∈ℤ .
De la Figura II 39 resulta.
Fig. II 39 ˆ0
ˆ0
u med u u
z med z z z
> =< = − =
Si tomamos el punto A (cos u; sen u) resulta
cos
sen utg u
u=
Puede definirse entonces la tangente de un real como el cociente entre el seno y el
coseno de dicho real, siempre y cuando el coseno sea distinto de cero.
1 2
1 2
y y ytg u
x x x= = =
3 4
3 4
y y qtg z
x x r= = =
Capitulo II
24
3.8) GRAFICA DE LA TANGENTE
Podrá obtenerse fácilmente la gráfica, si podemos determinar gráficamente, dado u, un punto de ordenada tg u.
Ahora bien, la tangente de u ha sido definida como la relación y
x donde (x, y) son las
coordenadas de un punto P(x; y) perteneciente a la semirrecta u�
; pero por la vista al estudiar la función lineal f(x) = mx sabemos que: ( )f x y
m tg ux x
= = = es constante, no solo para los puntos de u�
sino para todos los puntos de la
recta que incluye a u�
: Por lo tanto basta determinar el punto de la recta que incluye a u�
que tenga abscisa igual a 1, dicho punto tendrá coordenadas (1, m) = (1, tg u)
En la figura II 40 se han tomado los mismos reales u y z de la figura II 39, y han indicado
los puntos (1, tg u) y (1, tg z)
Fig. II 40
De esta manera se consigue determinar tg u, buscando la ordenada del punto de intersección x = 1.
En la figura II 41 se tiene la gráfica de la función tangente en ,2 2
π π − . Se ha desplazado
el círculo trigonométrico del origen de coordenadas para que resulte más clara la gráfica
Capitulo II
25
Fig. II 41 Una consecuencia inmediata del estudio anterior es que: tg (u +π ) = tg u u∀ ∈ℝ ya que las semirrectas correspondientes a los reales u π+ y u resultan estar incluidas en una misma recta, por lo tanto la función tangente resulta periódica, de período π y por lo tanto su gráfica resulta la de la figura II 42
Fig. II 42
Capitulo II
26
Ejercicios propuestos 3.7) Decir si la función tangente es par o impar, justificando analíticamente la respuesta. 3.8) Determinar intervalos, si es que existen, donde la función tangente sea creciente o
decreciente. 3.9) Elegir dos intervalos donde la función tangente resulta biyectiva.
3.9) SECANTE, COSECANTE Y COTENGENTE Se conocen con el nombre de secante ; cosecante y cotangente a las reciprocas de las
funciones coseno, seno y tangente respectivamente, es decir:
1
cossen u
u=
1cosec u
sen u=
1cotg u
tg u=
4) FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS
La funciones circulares, por ser periódicas, no admiten inversa si se las considera definidas en ℝ , pero puede restringirse el dominio (de infinitas maneras) de modo que las mismas resulten biyectivas.
Precisamente se conocen con el nombre de funciones circulares inversas a las inversas de las circulares restringidas a dominios adoptados universalmente según se indica a continuación.
4.1) ARCO SENO (arc sen) Se llama arco seno a la inversa se la función seno tomando como dominio de definición
de la misma el intervalo ;2 2
π π −
Es decir: arc sen x = y ⇔2 2
sen y x yπ π = ∧ − ≤ ≤
De la gráfica de la función seno resulta que la gráfica de la función arc sen es la de la figura II 43.
Fig. II 43
Capitulo II
27
4-.2 ARCO COSENO (arc cos)
Se llama función arco coseno a la inversa de la función coseno tomando como dominio de
definición de la misma el intervalo [ ]0;π.
Es decir: arc cos x = y (cos 0 )y x y π⇔ = ∧ ≤ ≤ La gráfica resulta ser la de la figura II.44.
Figura II.44
4.3. ARCO TANGENTE (arc tg) Se llama arco tangente a la inversa de la función tangente tomando como dominio de
definición de la misma el intervalo ;
2 2
π π − , es decir:
2 2
arc tg x y tg y x yπ π = ⇔ = ∧ − < <
La gráfica es la de la figura II.45.
Figura II.45.
Capitulo II
28
5. FUNCION EXPONENCIAL Dado un real positivo a ≠ 1 recibe el nombre de función exponencial de base a, la función
( ) xf x a=
Nota : Se pide que a > 0 porque si a < 0 y
mx
n=
con m y n primos entre sí y n par, la función no tiene sentido y se pide a ≠ 1 porque si a = 1 la anterior coincide con la función constante f(x) = 1.
De la definición resulta:
f
f
A
ZB +
=
=
ℝ
ℝ
El punto (0;1) pertenece a la gráfica de f cualquiera sea a, ya que 0a =1. Analizaremos por separado el caso 0 < a < 1 y el caso a > 1. i) 0 < a < 1
Para concretar tomaremos 1
2a =
Si 1 2x x< resulta: 1 2
1 1
2 2
x x
>
por lo tanto la función resulta decreciente; una tabla de valores
permitirá determinar algunos puntos de la gráfica.
Figura II.46.
Se observa que pueden conseguirse puntos de la gráfica “tan próximos” al eje x como se desee tomando valores de x “suficientemente grandes”, se dice que la curva tiene como asíntota el eje x, o también lim 0 1x
xa si a
→∞= <
Además dado un real positivo k “tan grande” como se quiera, es posible determinar
valores negativos de x (grandes en valor absoluto) para los cuales la función es mayor que k, se dice que lim 1x
xa si a
→−∞= +∞ <
ii) a > 1 En este caso la función es creciente, el comportamiento de la función puede observarse
en el figura II47, donde se han indicado las gráficas de xa para a = 2 y a = e (e es un irracional cuya expresión decimal con doce cifras decimales es: 2,718281828459…)
En este caso se dice:
x -2 -1 0 1 2
1
2
x
4 2 1 1
2
1
4
Capitulo II
29
Figura II.47
Ejemplo 5.1: En la figura II.48 se tiene la gráfica de f(x) = xa para un a dado, obtener a partir de ella la
gráfica de: i) g(x) = xa− ii) h(x) = xa−
Figura II.48. Solución :
i) Para todo x∈ℝ resulta: ( ) ( )xg x a f x−= = − Entonces, dado 0x ∈ℝ para determinar el punto 0 0( ; ( ))x g x de la gráfica, necesitamos
determinar gráficamente 0( )f x− , para ello de la gráfica f obtenemos el punto 0 0( ; ( ))x f x− − y a
partir de éste, por simetría, el 0 0( ; ( ))x f x− . (Las flechas indican en la figura II.49 el camino
seguido partiendo del punto 0x sobre el eje x).
lim
lim 0
x
x
x
x
a
a
→∞
→−∞
= +∞
=
Capitulo II
30
Figura II.49 .
Conclusión : La gráfica de g es simétrica de la gráfica de f respecto al eje y. ii) Queda como ejercicio probar que la gráfica de h(x) es la que se indica en la figura II.50.
Figura II.50
6. FUNCION LOGARITMO Dado un real positivo a ≠ 1, la función inversa de la exponencial xa recibe el nombre de
función logaritmo de base a. Es decir: ( ) log 1z
af x x z a x a y a+= = ⇔ = ∈ ≠ℝ
El dominio será +ℝ y el conjunto de las imágenes ℝ .
La definición permite escribir cualquier real positivo u en la forma: log log log loga b e hu u u u
u a b e h= = = = Donde a, b, e y h son reales positivos distintos de 1.
Así 10 5log 2 log 2 log 22 10 5ee= = =
Las bases más usadas son 10 y el número e; la base 10 se usó fundamentalmente porque facilita los cálculos, pero el número e es la base que se usa en Análisis Matemático, llamándose a los logaritmos de base e logaritmos naturales o neperianos , para estos logaritmos usaremos la notación ln de modo que para nosotros
Capitulo II
31
ln y significa loge y ó ln y = x xe y⇔ =
EJERCICIO PROPUESTO 6.1) Calcular el x que verifica la igualdad en cada uno de los siguientes casos.
( )
( )( ) ( )
3 4 4
3 3
3 3
3
2
4 4
log 2 log 5 log 2
4log log 2
log 4 log 24
log 2
5
2
2
3
log 2 36
5
log 3 log 7
) 2 ) 4
) 3 5 ) 3
) 3 ) 3
) log 1 ) 3
) log 1 ) 3 log 3 5
) log ) log 1 2
) log 5 ) 2 7
) 4 4
x
x
a a
e
x
i x ix x
ii x x
iii x xi x
iv x xii x
v x xiii a siendo
vi e x xiv x
vii x xv
viii x
+
−
+
+
= =
= =
= =
= − =
= = =
= + =
= =
=i
6.1. GRAFICA DE LA FUNCION LOGARITMO Siendo la función logaritmo la inversa de la exponencial, bastará obtener la curva simétrica
de la gráfica de la exponencial respecto de la recta y = x. (figura II.51)
Figura II.51
6.2. PROPIEDADES DE LA FUNCION LOGARITMO Son propiedades elementales del logaritmo las que siguen:
Propiedad 6.1. log 1 0a =
Propiedad 6.2. log 1a a =
Propiedad 6.3. ( )log log loga a axy x y= +
Capitulo II
32
Propiedad 6.4 . log log loga a a
xx y
y
= −
Propiedad 6.5 . log logy
a ax y x=
Propiedad 6.6. 1
log logy
a ax xy
=
Propiedad 6.7 . 1
loglog
a
b
ba
=
En todos los casos a es positivo y distinto de 1, además x e y positivos (0 < b ≠ 1). Ejercicio 6.2: Demostrar la propiedad 6.5.
Demostración:
Siendo loga xx a= resulta ( )log loga a
yx y xyx a a= =
pero ( )loglog logay xy y
a ax a x y x= ⇒ =
En igual forma se pueden demostrar las demás propiedades.
EJERCICIO PROPUESTO. 6.3) Demostrar las propiedades 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.6 y 6.7.
6.3. CAMBIO DE BASE Si se dispone de una tabla que da los logaritmos en una cierta base b se pueden obtener
los logaritmos en una nueva base a, ya que vale.
1log log
loga b
b
x xa
=
Demostración:
0x∀ > es log loga bx x
a b= Y por propiedad 6.5
log log log loga b b bx a x b=i i De donde
1log log
loga b
b
x xa
=
En particular:
10 10
10
1ln log 2,30259log
logx x x
e
= =
7. GRAFICAS DE FUNCIONES DEFINIDAS A PARTIR DE UNA FUNCION DADA. La gráfica de una función f permite determinar las gráficas de las funciones g ligadas a f por
las siguientes relaciones.
Capitulo II
33
i) g(x) = |f(x)| iv) g(x) = f(x+h) ii) g(x) = f(|x|) v) g(x) = k f(x) iii) g(x) = f(x) + h vi) g(x) = f(kx)
Supongamos sea f una función definida en [a;b], cuya gráfica es la indicada en la figura
II.52.
Figura II.52.
Analizaremos en gráficos distintos cada uno de los casos indicados más arriba. i) g(x) = |f(x)| dada f(x), se tendrá f(x) ≥ 0 ó f(x) < 0, pero
f(x) ≥ 0 ⇔ f(x) = |f(x)| = g(x) f(x) < 0 ⇔ f(x) = - |f(x)| = -g(x)
por lo tanto la gráfica de g(x) = |f(x)| es la que se indica en la línea llena en la fig. II.53.
Resulta Ag = Af Figura II.53
ii) g(x) = f(|x|) dado que: |x| = x ⇔ x ≥ 0 y |x| = -x ⇔ x < 0 Se tendrá g(x) = f(|x|) = f(x) ⇔ x ≥ 0 g(x) = f(|x|) = f(-x) ⇔ x < 0
Capitulo II
34
Figura II.54
Para el [a; b] de la figura II.52 resulta Ag = [-b; b]; para el caso 0 < a < b se tiene
Ag = [-b; -a] U [a; b]. EJERCICIO PROPUESTO 7.1) Analizar los casos i) a < b < 0 ii) a < 0; b < 0 con |a| < b iii) g(x) = f(x) + h
Si 1 1( ; )x y es un punto de la gráfica de f es 1y = f ( 1x ) y por lo tanto g ( 1x ) = f( 1x ) + h = 1y +
h, de donde ( 1x ; 1y + h) será un punto de la gráfica de g. En consecuencia la gráfica de g se obtiene por una traslación de la gráfica de f, de longitud
|h|, en la dirección del eje y, en el sentido positivo de y si h > 0 y en sentido opuesto si h < 0. En la figura II.55 se han graficado dos funciones:
1 2
5( ) ( ) ( ) ( ) 3
2g x f x y g x f x= + = −
Fig-II 55 Se tiene [ ]1 2 ,Ag Ag Af a b= = =
iv) ( ) ( )g x f x h= + Dado 1x estará definido 1( )g x siempre y cuando este definido 1( )f x h+ , es decir
siempre que 1 fx h A+ ∈ y será 1 1 1 1( ; ( )) ( ; ( ))x g x x f x h= + un punto de la gráfica de g.
Capitulo II
35
En consecuencia la gráfica de g se obtiene por una translación de la gráfica de f, de longitud |h| en la dirección del eje x, en el sentido positivo si h<0 y en el sentido negativo si h>0. En la figura 56ΙΙ se han graficado dos funciones: 1 2( ) ( 2) ( ) ( 3)g x f x y g x f x= + = −
Fig II-56
Se tiene: [ ][ ]
1
2
2; 2
3; 3
g
g
A a b
A a b
= − −
= + +
En general [ ];Ag a h b h= − −
v) g(x) = k f(x)
Como primera observación vemos que si existe en x, tal que 1( ) 0f x = resulta también 1( ) 0g x = , es decir las intersecciones de las gráficas de f y de g con el eje x son las mismas.
Además si ( )1 1;x y es un punto de la gráfica de f como 1 1( ) ( )g x k f x k y= = ,
resultará que ( )1 1;x k y pertenece a la gráfica de g; y aquí conviene ver por separado el
caso k > 0 y k < 0.
1°) k > 0 Resulta una dilatación o una compresión en el sentido del eje y (que mantiene fijo el eje x) según k > 1 ó k < 1.
En la figura 57ΙΙ se han graficado dos funciones:
1 2
1( ) 2 ( ) ( ) ( )
3g x f x y g x f x= =
Fig-II 5 Es [ ]1 2
,g g fA A A a b= = =
Capitulo II
36
2°) k < 0 Resulta ( ) ( ) | | ( ) ( )g x k f x k f x h x= = − = − la función ( ) | | ( )h x k f x= esta en el caso anterior, por lo tanto se sabe graficar h, además si 1 1( ; ( ))x h x pertenece a la gráfica de h se tendrá que 1 1 1 1( ; ( )) ( ; ( ))x h x x g x− = pertenece a la gráfica de g; luego de la gráfica de g es la simétrica de la de h respecto del eje x. En la figura 58ΙΙ se han graficado las funciones:
y 3
4
1( ) ( )
4
( ) 3 ( )
g x f x
g x f x
= −
= −
previamente y con línea de trazos se han indicado las gráficas de
3 4
1( ) ( ) ( ) 3 ( )
4h x f x y h x f x= =
Fig – II 58
[ ]3 4
,g g fA A A a b= = =
vi) ( ) ( )g x f k x= Dado 1x estará definido 1( )g x siempre y cuando este definido 1( )f k x , es decir siempre
que 1k x Af∈ y será 1 1 1 1( ; ( )) ( ; ( ))x g x x f k x= un punto de la gráfica de g. Acá también conviene analizar por separado el caso k > 0 y k < 0. Pero en cualquiera de los dos casos (0) ( 0) (0)g f k f= = y por lo tanto las gráficas de
f y g se intersecan en el eje y. 1°) k > 0
1 1( ; ( ))x f k x pertenece a la gráfica de g; es decir, se tiene una compresión o una dilatación en el sentido del eje x, (que mantiene fijo el eje y) según que 1 1k o k> <
En la figura 59ΙΙ se han graficado dos funciones:
Capitulo II
37
y 1
2
( ) (2 )
1( ) ( )
3
g x f x
g x f x
=
=
resultado: [ ]1 2; 3 ;32 2
a bAg y Ag a b
= =
2°) k < 0
Resulta : ( ) ( ) ( | | )g x f k x f k x= = − Es inmediato que determinada en primer lugar la gráfica de (| | )f k x , que está en el caso 1°, para determinar la gráfica de ( | | ) ( )f k x g x− = basta determinar la simetría de la última respecto del eje y.
En la Figura 60ΙΙ se han graficado las funciones:
y 3
4
3( )
5
( ) ( 3 )
g x f x
g x f x
= −
= −
Previamente en línea de trazos en un caso, y línea de trazos y punto en el otro , se han indicado las gráficas de:
y 3
4
3( )
5
( ) (3 )
h x f x
h x f x
=
=
Aquí se tiene
3
4
5 5;
3 3
1 1;
3 3
g
g
A b a
A b a
= − −
= − −
Fig. II – 59
Fig. II – 60
Capitulo II
38
Ejemplo 7.2. En la figura 61ΙΙ se ha supuesto conocida la gráfica de una cierta función f (representada en trazo continuo) y a partir de ella se han obtenido las gráficas 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5, , , , , , , ,g g g g g h h h h y h ligadas a f por las siguientes relaciones.
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3
( ) ( 4) ( ) ( 4)
7 7( ) ( ) ( ) ( )
4 4
( ) (2 ) ( ) ( 2 )
1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2
g x f x h x f x
g x f x h x f x
g x f x h x f x
g x f x h x f x
g x f x h x f x
= + = −= + = −
= = −
= = −
= = −
Solución:
Fig II-61
Resulta:
[ ]
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
1 1 4
2 4
2 5
3 3 5
, ;2 2
4; 4 ;2 2
4; 4 2 ;2
, 2 ; 2
a bAg Ah a b Ag
b aAg a b Ah
Ah a b Ag a b
Ag Ah a b Ah b a
= = =
= − − = − −
= + + =
= = = − −⋮
Ejercicio Propuesto
Capitulo II
39
7.3.) Determinar las gráficas de las funciones que siguen, indicando en casa caso el dominio de definición de las mismas.
2
2
) ( ) | | ) ( ) cos(2 ) ) ( ) 3ln | 2 |4
1) ( ) | | ) ( ) ) ( ) ln( 2 )
2
| | 2 3) ( ) ) ( ) ) ( ) ( )
| 2 | 4
) ( ) || | 2 | ) ( ) | ln | ) ( ) ( 2) 3
) ( )
i f x sen x vii n x x xiii t x x
ii g x sen x viii p x x xiv v x x
x xiii h x sen x ix q x xv z x x
x x
iv k x x x u x x xvi w x x
v l x se
π= = + =
= = − = −
−= = = −−
= − = = + −
= 2
2
12 ) ( ) ln( 3) ) ( ) 2( ) 1
3 2
1) ( ) (2 ) ) ( ) ln | 3 | ) ( ) ( 2) 3
3
n xi r x x xvvi g x x
vi m x sen x xii s x x xviii h x x
π − = − = − +
= = − = − − −
NOTA Se recomienda no omitir los ejercicios xv, xvi, xvii, y xviii obtenidos a partir de la gráfica de 2( )f x x=
8- FUNCION CUADRATICA (Trinomio de 2 do grado)
Se llama función cuadrática a la función f que sigue 2( )f x ax bx c= + + con a,b,c reales y a ≠ 0 Es posible que esta función, al igual que la lineal, ya sea conocida, pero dada la frecuencia con que la misma aparece en distintas cuestiones creemos oportuno hacer una revisión completa de la misma.
Por comenzar del apartado 2.4 se conoce la gráfica de f en el caso de a=1, b=c=0. resultado de la gráfica de la 2
1( )f x x= indicada en la figura 62ΙΙ .
Fig- II 62 A partir de 1f y por sucesivas aplicaciones de las conclusiones del apartado anterior llegamos a completar el estudio de f. Primer caso: 0 0b c a= = ≠
Resulta 2
2 1( ) ( )f x af x ax= = Y por lo tanto la gráfica, que se llama parábola , será igual que la 1f una curva simétrica
respecto del eje y ,
Capitulo II
40
tal como las indicadas en la figura 63ΙΙ para 1
1; 33
a a y a= ± = ± = ±
Fig- II 63 Se llama vértice de la parábola a la intersección de la parábola con su eje de simetría
(en ese punto la parábola tiene como tangente la perpendicular a su eje). Según que 0 0a o a> < se dice que la parábola tiene su concavidad hacia arriba o
hacia abajo respectivamente. Segundo caso: 0 0b c= ≠
Sea 2
3( )f x ax c= + En este caso y siempre atendiendo a las conclusiones del apartado anterior, se tiene
como gráfica la misma parábola pero desplazada en el sentido del eje y . El eje de la parábola es por lo tanto el mismo eje y, y el vértice el punto (0 ; c), ver figura II-64
Figura II-64
Capitulo II
41
Caso general: a ≠ o b ≠ o c ≠ o cbxaxxf ++= 2)(
Siendo 0≠a puede escribirse
++=a
cx
a
bxaxf 2)(
Y recordando la identidad 222 2)( qpqpqp ++=+ pueden hacerse las siguientes transformaciones
a
bac
a
bxa
a
bc
a
bxa
a
c
a
b
a
bx
a
bxaxf
4
4
2424422)(
2222
2
2
2
22 −+
+=
−+
+=
+−++=
que para simplificar escribimos
khxaxf ++= 2)()( donde a
bh
2= y
a
back
4
4 2−=
De esta última resulta que la gráfica de f es la misma parábola 2
2 )( axxf = pero desplazada en el sentido del eje x según lo indica h y en el sentido del eje y según indica k, de modo que el vértice que en la parábola 2
2 )( axxf = es el origen (0;0) pasa a ser el punto (-h ; k) y el eje de la parábola es la recta paralela al eje y de ecuación x = -h ; estando la concavidad hacia arriba o hacia abajo según sea a mayor o menor que cero.
Figura II-65 Ejercicio propuesto 8.1) Dibujar las parábolas, gráficas de las funciones que siguen:
i) 17122)( 2 +−= xxxf
ii) 2
5
2
1)( 2 +−= xxxg
iii) 242)( 2 −−−= xxxh
iv) 123
1)( 2 −+−= xxxq
v) 3
4
3
5
3
1)( 2 −+−= xxxl
Capitulo II
42
Solución de v)
Se tiene: 2 21 5 4 1 4( ) ( 5 )
3 3 3 3 3l x x x x x= − + − = − − − =
4
3
2
5
3
1
3
4
4
25
2
5
3
122
+
−−=−+
−−= xx
Entonces la gráfica de l(x) es una parábola de eje paralelo al eje y, con la concavidad
hacia abajo y con vértice en el punto
4
3;
2
5, resultando la de la figura II-66
Figura II-66 NOTA: Es muy importante que al resolver los ejercicios el alumno trabaje como se ha indicado en el ejemplo resuelto, es decir no debe recordar las relaciones entre a, b y c y las coordenadas del vértice, sino trabajar algebraicamente para determinarlas.
8.1 Ceros del trinomio de 2do grado Dada una función f si existe un α tal que 0)( =αf , se dice que α es un cero de f. De lo anterior resulta que si una función f tiene un cero α , la gráfica de f interseca al eje x
en el punto )0;(α . Del estudio gráfico que acabamos de hacer resulta que:
cbxaxxf ++= 2)( tiene ceros en algunos casos (cuando interseca al eje x) y en otros no (cuando está totalmente debajo o sobre el eje x).
Procuraremos determinar analíticamente dichos ceros. Antes que nada observamos que si un número α es un cero de cbxaxxf ++= 2)( ,
también lo es de la función opuesta cbxaxxf −−−=− 2)( , motivo por el cual en el estudio que sigue suponemos que a es positivo (a > 0); se tiene
⇔=−+
+⇔=++ 04
4
20
22
2
a
bac
a
bxacbxax
⇔=
−−+
−++⇔=−−
+⇔ 02
4
22
4
20
4
4
2
22
2
22
a
acb
a
bx
a
acb
a
bx
a
acb
a
bx
⇔
=−−+=−++⇔ 0
2
4
20
2
4
2
22
a
acb
a
bxó
a
acb
a
bx
−+−=−−−=⇔a
acbbxó
a
acbbx
2
4
2
4 22
Capitulo II
43
De esta última concluimos:
Si 02
42
≥−a
acb existe ceros para cbxaxxf ++= 2)(
y estos ceros son
a
acbb
2
42
1
−+−=α a
acbb
2
42
1
−−−=α
Los ceros de cbxaxxf ++= 2)( se llaman también raíces de la ecuación 02 =++ cbxax Si 1α y 2α son los ceros de f, observando la sucesiones de implicaciones anteriores
resulta que puede escribirse ))(()( 21 αα −−= xxaxf Conclusiones : 1o) La gráfica de cbxaxxf ++= 2)( es una parábola de eje paralelo al eje y, de vértice
−−a
bac
a
b
4
4;
2
2
y cuya concavidad está dirigida hacia arriba o hacia abajo según que a sea
mayor o menor que cero respectivamente. 2o) La parábola interseca al eje x si 042 ≥− acb 3o) Gráficamente se dan las siguientes posibilidades:
i) 042 >− acb En este caso existen dos ceros 1α y 2α , supongamos 1α < 2α ; por razones de simetría el
eje de la parábola será la recta de ecuación 2
21 αα +=x (es fácil probar que en todos los casos
1 2
2 2
b
a
α α+ = − ) y según que a sea positivo o negativo se tienen las situaciones ilustradas en
figuras II-67 y II-68. 0>a
Figura II-67 0)(21 === xfesxóxSi αα
] [ 0)(, 21 <∈ xfresultaxSi αα ] [ ] [ 0)(,, 21 >+∞∪∞−∈ xfentoncesxSi αα
Capitulo II
44
0<a Figura II-68 . . 0)(21 === xfentoncesxóxSi αα ] [ 0)(, 21 >∈ xfresultaxSi αα ] [ ] [ 0)(,, 21 <+∞∪∞−∈ xfentoncesxSi αα
ii) 042 =− acb
En este caso existe un solo cero a
b
2−=α (se dice que la ecuación 02 =++ cbxax tiene dos
raíces coincidentes) siendo el eje de la parábola la recta α=x y dependiendo del signo de a, hacia donde está dirigida la concavidad, la función puede presentar una de las situaciones ilustradas en las figuras II-69 y II-70
0>a
0<a
Figura II-69 Figu ra II-70 Si α=x entonces f(x) = 0 Si α=x entonces f(x) = 0 Si α≠x entonces f(x) > 0 Si α≠x entonces f(x) < 0 iii) 042 <− acb En este caso no existen ceros de f y por lo tanto la parábola no corta al eje x, pudiendo presentarse los dos ilustrados en las figuras II-71 y II-72.
Capitulo II
45
0>a 0<a
Figura II-71 Figura II-72
es ℜ∈∀> xxf 0)( ℜ∈∀< xxf 0)( Ejercicios propuestos 8.2) Dibujar las gráficas de las funciones que siguen, determinando en cada caso los ceros y los conjuntos: { }0)(/ >xfx { }0)(/ <xfx
i) 72)( 2 +−= xxxf
ii) 24342)( 2 +−= xxxf
iii) 142)( 2 −−= xxxf iv) )2)(1(3)( +−= xxxf
v) 652)( 2 +−= xxxf
vi) 23)( 2 −−−= xxxf
vii) 653
1)( 2 −+−= xxxf
8.3) Indicar los conjuntos en que están definidas las funciones que se indican a continuación, así como los conjuntos en los cuales la función es positiva o negativa; representar dichos conjuntos sobre un eje real.
i) 1
132)(
2
−+−=
x
xxxf
ii) )2)(1(32)( +−= xxxg
iii) 273)( 2 +−−= xxxh
iv) 862
2)(
2 ++−=
xxxk
v) xx
xxl
2
13)(
2 +−
+=
Capitulo II
46
vi) 33
84)(
2
2
−
++=x
xxxu
Ejemplo 8.4
Determinar los valores de x para los cuales resulta 01
432
>+
−−x
xx
Solución
Será 0)(
)( >xg
xf para un 1x dado si y solo si el signo de )( 1xf es igual al signo de )( 1xg .
Gráficamente habrá que determinar para qué valores de x están las dos gráficas en un mismo semiplano respecto del eje x. De la figura II-73 se tiene que la desigualdad se verifica para ] [∞+∈ ,4x
Figura II-73 Ejemplo 8.5 Determinar los valores de x para los cuales resulta: 1432 +≥−− xxx Solución Gráficamente, dado un real 1x resulta )()( 11 xgxf > si al recorrer la recta 1xx = en el sentido creciente de la y, se encuentra primero la gráfica de g y después la de f. De la figura II-73 se deduce que los valores de x que satisfacen la desigualdad son los x pertenecientes al intervalo ] ]1, −∞− o al intervalo [[ ∞+,5 Ejemplo 8.6
Determinar los valores de x que verifican: 14
22≥
−−
x
x
Solución De la figura II-74 resulta que la desigualdad se verifica para los x pertenecientes al intervalo
[[ ∞+,1x o para los x pertenecientes al intervalo ] ]2, x∞− , donde );( 11 yx es la intersección de las rectas 22 −= xy e )4( −−= xy y el punto );( 22 yx la intersección de las rectas )22( −−= xy e
)4( −−= xy .
Capitulo II
47
Resulta )2;2();( 11 =yx y )6;2();( 22 −=yx , por lo tanto se tiene que la desigualdad se verifica sí
] ] [[ ∞+∪−∞−∈ ;22;x
Figura II-74
Ejercicio propuesto 8.7) Determinar los valores de x que satisfacen:
i) 04
)3( 2
≤−x
x
ii) 08102
12
≤+−
−xx
x
iii) 02
422 2
<+
−+x
xx
iv) 1
12
1
12
1
2
<−−
+
xx
x
9. FUNCIONES HIPERBOLICAS Las funciones hiperbólicas deben su nombre a la relación que existe entre las mismas y las coordenadas de los puntos de una curva llamada hipérbola, relación similar a la que existe entre las coordenadas de los puntos del círculo trigonométrico y las funciones circulares. Pero en este momento nos vemos obligados a definirlas analíticamente a partir de la función exponencial ex. 9.1 COSENO HIPERBOLICO Se llama así a la función f que sigue
2)(
xx eexf
−+=
Y se indica:
2cosh
xx eex
−+=
El dominio de definición es todo ℜ , siendo además (al igual que el coseno) una función par, en
efecto xee
xxx
cosh2
)(cosh =+=−−
Su gráfica puede obtener, como se indica en figura II-75, a partir de las gráficas de ex y e-x, ya que cosh x es la semisuma de dichas exponenciales.
Capitulo II
48
Figura II-75
9.2 SENO HIPERBOLICO Se llama así a la función g que sigue
2)(
xx eexg
−−=
y se escribe 2
xx eexsenh
−−=
Su gráfica puede obtenerse, como en el caso del coseno, a partir de las gráficas de ex y de e-x, resultando la que se indica en figura II-76
Figura II-76
Capitulo II
49
Ejercicios propuestos 9.1) Determinar el conjunto de las imágenes de las funciones coseno hiperbólico y seno hiperbólico. 9.2) Probar que el seno hiperbólico es una función impar. 9.3) Determinar intervalos, si existen, donde la función seno hiperbólico o coseno hiperbólico resulte creciente o decreciente. 9.4) Determinar un intervalo donde sean simultáneamente crecientes el seno y el coseno hiperbólico. 9.5) Restringir, cuando sea necesario, los dominios de definición de las funciones seno y coseno hiperbólico de modo que las mismas resulten bisecciones. 9.3 TANGENTE HIPERBOLICA Se llama así a la función h que sigue
)cosh(
)()(
x
xsenhxh =
Y se nota
)cosh(
)(
x
xsenhxtgh =
Se tiene
x
x
x
x
xx
xx
e
e
e
e
ee
eextgh
2
2
2
2
1
1
1
1−
−
−
−
+−=
+−=
+−=
Su gráfica es la de la figura II-77
Figura II-77 9.4. Algunas propiedades de las funciones hiperbóli cas Usando nada más que las definiciones de seno y coseno hiperbólico pueden demostrarse las siguientes propiedades de las mismas. i) 1cosh 22 =− xsenhx ii) senhyxysenhxyxsenh .coshcosh.)( ±=± iii) senhysenhxyxyx .cosh.cosh)cosh( ±=± de ii) y iii) resulta
iv) ytghxtgh
ytghxtghyxtgh
.1)(
±±=±
Capitulo II
50
de ii) y iv) se tiene v) xxsenhxsenh cosh.22 =
vi) xsenhxx 22cosh2cosh +=
vii) xtgh
xtghxtgh
21
22
+=
de i) y vi) se tienen
viii) )12(cosh2
1cosh 2 += xx
ix) )12(cosh2
12 −= xxsenh
x) 12cosh
12cosh2
+−=
x
xxtgh
Ejercicio propuesto 9.6) Demostrar todas las propiedades enunciadas de las funciones hiperbólicas. A continuación indicamos las propiedades de las funciones hiperbólicas que más se usarán en el curso, y las propiedades similares de las funciones circulares.
FUNCIONES CIRCULARES
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1cos 22 =+ xsenx
xxsenx 2coscos 22 =−
( )xx 2cos12
1cos2 +=
( )xxsen 2cos12
12 −=
x
xxtg
2cos1
2cos12
+−=
1cosh 22 =− xsenhx
xxsenhx 2coshcosh 22 =+
( )xx 2cosh12
1cosh 2 +=
( )12cosh2
12 −= xxsenh
12cosh
12cosh2
+−=
x
xxtgh
9.4 FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS Las funciones seno hiperbólico y tangente hiperbólica son correspondencia biunívocas y por lo tanto admiten inversa. La inversa de la función seno hiperbólico se llama: argumento seno hiperbólico y la inversa de la función tangente hiperbólica, argumento tangente hiperbólica, es decir
yxsenhxysenh =⇔=arg yxtghxytgh =⇔=arg
O también: [ ] xxsenhsenh =arg
[ ] xxsenhsenh =arg [ ] xxtghtgh =arg
[ ] xxtghtgh =arg
Capitulo II
51
Las gráficas de ciertas funciones son las que se indican en figuras II-78 y II-79, y han sido obtenidas a partir de las gráficas de seno hiperbólico y tangente hiperbólica por simetría respecto de la recta y = x.
Figura II-78 Figura II-79
La función coseno hiperbólico no es una bisección y por lo tanto se hace necesario restringir su dominio de definición para que admita inversa. Se llama argumento coseno hiperbólico a la inversa de la función coseno hiperbólico definida en los reales no negativos. Así será:
)cosh0(cosharg yxxxy =∧≥⇔= Siendo su gráfica la que muestra la figura II-80
Figura II-80
Capitulo II
52
9.6 - Las funciones hiperbólicas inversas expresad as por logaritmos. Las funciones hiperbólicas inversas pueden expresarse por medio de logaritmos, ver apéndice del capitulo II. 10) ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES NOTABLES
10.1) Sea x
senxf1
)( =
Se tiene: i) { }0-ℜ=fA
ii) ( ) ( ) )(111
xfx
senx
senx
senxf −=−=
−=−
=− por lo tanto f es impar
iii) por propiedad de la función seno 1)(1 ≤≤− xf
iv) { }
−Ζ∈=⇒
Ζ∈=⇔= 0;1
;1
0)( pp
xppx
xfπ
π luego
0)( =xf si Ν∈±±±±±= nn
xπππππ1
;4
1;
3
1;
2
1;
1…
Esto indica que dado un real x cualquiera (próximo a cero) siempre existe algún πn
x1
1 ±= más
cerca del cero donde la función se anula; y además los valores más alejados del origen donde
se anula la función son π1
y π1−
v) ( ) ⇔
Ζ∈+=+=⇔= pppx
xf ;412
22
11)(
πππ
( ) Ζ∈+
=⇔ pconp
x41
2
π
Luego 1)( =xf para los siguientes valores de x
…… ;13
2;
9
2;
5
2;
2;
3
2;
7
2;
11
2;
πππππππ−−−
Y por lo tanto los valores de x más alejados del origen para los cuales la función vale 1 son π32−
y π2
vi) Para determinar para que valores de x la función toma el valor -1 podemos proceder como v) o bien tener en cuenta que por ser f impar, resultará f(x) = - 1 si f(-x) = 1 luego f(x) = -1 para los siguientes valores de x
…… ;11
2;
7
2;
3
2;
2;
5
2;
9
2;
13
2;
πππππππ−−−−
Y los valores más alejados del origen para los cuales la función toma el valor -1 serán π2− y
π32
La gráfica resulta la de la figura II.81
Capitulo II
53
Figura II-81
10.2 Sea x
senxxg1
)( =
Para su estudio podemos recurrir a las conclusiones obtenidas al estudiar x
senxf1
)( = ya que
siendo g(x) = x f(x) resultará: i) { }0−ℜ== fg AA
ii) 0)(0)( =⇔= xgxf iii) xxgxf =⇔= )(1)( iv) xxgxf −=⇔−= )(1)( De las iii) y iv) se concluyen que la gráfica de g interseca a la recta y = x en los puntos en que f(x) = 1, y a la recta y = -x en los puntos en que f(x) = -1. v) como 1)( ≤xf será xxfxxg <= )()(
y la gráfica de g estará entre las rectas y = x e y = -x, resultando la que se indica en figura II:82.
Fig. II-82
Capitulo II
54
10.3 Sea x
senxxh1
)( 2=
Razonando como en el caso anterior, y haciendo: )()( 2 xfxxh = , la gráfica de h estará incluida entre las dos parábolas 2xy = , 2xy −= ; resultará
la gráfica que se indica a continuación
Fig. II-83 Apéndice del Capitulo II 9.6 Las funciones hiperbólicas inversas expresadas por logaritmos.
i) Sea f(x) = arg senh x
Será ( ) ( )
x senh f(x) 2
f x f xe e−−= = y multiplicando por )( xfe se tendrá:
2
1
2
1 )(2)( −= xfxf exe o su equivalente
012 )()(2 =−− xfxf xee es una ecuación de segundo grado en )( xfe ,
y por lo tanto tiene como raíces
12)( ++= xxe xf o 12)( +−= xxe xf
Debemos descartar la segunda posibilidad porque xe xf ∀>0)( y xxx ∀<+− 012 , por lo tanto la única posibilidad es que sea
12)( ++= xxe xf es decir
)1(ln)( 2 ++= xxxf
ó bien )1(lnarg 2 ++= xxxsenh
ii) Sea xxf cosharg)( =
Será 0)( >xf ∧ 2
)(cosh)()( xfxf ee
xfx−+==
De esta se tiene: 12 )(2)( += xfxf exe ó 012 )()(2 =+− xfxf xee y de aquí
12)( −+= xxe xf ó 12)( −−= xxe xf
Capitulo II
55
….ó ( )1ln)( 2−+= xxxf ó ( )1ln)( 2−−= xxxf
Pero 111 2 ≥−+⇒≥ xxx
Además 1)1)(1( 22 =−−−+ xxxx
de modo que es: 0)1ln( 2 ≥−+ xx y 0)1ln( 2 ≤−− xx Pero como por definición 0)( ≥xf resulta
[[ ∞+=−+= ;1)1(ln)( 2
fAxxxf
O bien )1ln(cosharg 2 −+= xxx iii) Sea xtghxf arg)( =
queda como ejercicio propuesto probar que: ] [1;11
1ln
2
1arg −∈
−+= xparax
xxtgh
Ejercicio 9.7 Probar
i) 1argcosharg 2 −= xsenhx
ii) 1coshargarg 2 += xxsenh
Solución i) Por definición: )cosh0(cosharg xyyyx =∧≥⇔= pero de 1cosh 22 =− ysenhy
Resulta 11cosh 222 −=−= xyysenh pero 00 ≥⇒≥ ysenhy
Entonces 12 −= xysenh e 1arg 2 −= xsenhy
Por lo tanto 1argcosharg 2 −= xsenhx Solución ii) Queda propuesto como ejercicio. Ejercicio 9.8 Calcular: i) [ ]2argcosh senh
ii)
−3
4argcosh senh
iii)
3
5coshargsenh
iv)
+2
1cosharga
senh ; a > 0
Solución iv) Por las anteriores
2
4arg
4arg1
21arg
21cosharg
222aa
senhaa
senha
senha +=+=−
+=
+
Entonces: 2
4
2
4arg
21cosharg
22 aaaasenhsenh
asenh
+=
+=
+
110 2 ≤−−<⇒ xx
