Definición de Relación y de FunciónRelación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.

Una relación de A en B es cualquier subconjunto de A x B. Si A x B = { (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2 ; 2) , (2 ; 3) }Entonces:

R1= { (1 ; 2) }R = { (x ; y) / x y ; x A , y B}

R = { (2 ; 2) }R =

Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.

(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)  

Sean A y B dos conjuntos no vacíos.Una función F de A en B (f = A B) es un conjunto de pares ordenados tal que todos los elementos de A debe tener un único elemento en B.

Ejemplos:

A B f

A B f

A B f

S i es función

Si es función

No es función

NOTACIÓN:

BA:fDOIMINIO

A B

PREIM AGEN IMAG EN

RANGO

DO MINIO O CO NJU NTO D E

PARTIDA

CO NJU NTO DE LLEGADA

O RANGO

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REALSon aquellas funciones cuyo dominio y

rango es un subconjunto de R.Ejemplo:

f = 0 ; 1 Rf : R R

DOMINIO:Dom(f) = { x / (x ; y) f }RANGO:Ran(f) = { y / (x ; y) f }

REGLA DE CORRESPONDENCIAEs aquella ecuación que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango.Ejemplo:

1

2

3

4

A B

f

2

9

28

65

)x(fy

Variable independienteVariable dependiente

y = x3 + 1f = { (x ; y) / x A y B }

Ejemplo:  

f(5) = 52

f(4) = 42

f(2) = 22

2

5

4

A B

f

16

25

4

Entonces:f(x) = x2 ; x {2 ; 4 ; 5}

Grafica de una función real en variable realLa grafica de una función “f” es la representación geométrica de los pares ordenaos que pertenecen a la función.Gra(f) = { (x ; y) R2 / y = f(x) ; x Domf }Ejemplo:

x

y

3xy F(x) = x3

Dom f = R

TEOREMA:Sea f : R RSi toda recta paralela al eje “y” corta a la grafica a lo más en un punto, dicha grafica será la representación de una función.

x

y

Recta

Es función No es función, es una RELACIÓN

x

y

Recta

NOTA: Generalmente una función estará bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia.

FUNCIONES ESPECIALESFUNCIÓN CONSTANTE Regla de Correspondencia:

Cf )x(

x

y f

c > 0

cDom f = RRan f = {c}

xf )x(

x

y

45°

Y=x a

a

FUNCIÓN IDENTIDAD

Regla de Correspondencia:

Dom f = R

Ran f = R

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Regla de Correspondencia:

|x|f )x(

Dom f = R ; Ran f = 0 ; +

Sea y = |x|, tabulando:3210123y

3210123x

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

y=|x|

FUNCIÓN LINEALRegla de Correspondencia:

0m;bmxf )x(

Pendiente de la rectaDom f = R ; Ran f = R

x

y

b f(x )

m>0 b>0

m>0 b<0

b<0 m<0

b>0 m<0

b

x

y

b

b

Observación:*Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda. Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la derecha.

FUNCIÓN CUADRÁTICA: cbxaxf 2)x( ; a 0

Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma:

k)hx(af 2)x( ; a 0

Donde: V = (h ; k) es el vértice de la parábola.Si: a > 0 la parábola se abre hacia arriba.Si: a < 0 la parábola se abre hacia abajo.

A continuación analicemos la grafica de esta función, teniendo como referencia a su discriminante.

A. PRIMER CASO

Si A > 0, la grafica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:

x

y

x 2x 1

k v

h

f

0

0a

1

x1 , x2 son las raíces reales y diferentes de f(x).Ran f = k ; +; observar que el mínimo valor de la función es kDom f = R

x

y

x 2x 1

k

h

f 0

0a

v

2

x1 , x2 son las raíces reales y diferentes.Ran f = - ; k, observar que el máximo valor de la función es k.

x

y

x 1 = x2

f 0a

x

yx 1 = x2

f 0a

Ran f = 0 ; +Dom f = R

Donde x1 ; x2 son las raíces reales e iguales.Ran f = - ; 0Dom f = R

•Segundo CasoSi + = 0, la grafica podría tener cualquiera de las siguientes formas:

x

y

k

h

f

v 0

0a

x

y

k

h

v 0

0a

Observar que la parábola no interfecta al eje real “x” por lo tanto no existen raíces realesRan f = k ; +

Ran f = - ; k

•Tercer CasoSi + < 0, la grafica de la parábola podría tener cualquiera de las siguientes formas:

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25

Función  Raíz Cuadrada: La función 

es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:

Su dominio es [0, ) y el recorrido es [0, ).