4. Continuidad y Derivabilidad

CURSOS O

CURSOS O

Departamento de Matemáticas FundamentalesFacultad de Ciencias

M. Teresa Ulecia GarcíaRoberto Canogar McKenzie

Módulo IV:Continuidad y derivabilidad

MATEMÁTICAS ESPECIALES (CAD)

Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales

2

1. Introducción

A finales del siglo XVI los problemas de movimiento eran el tema principal de la Física. La gran cantidad de observaciones acumuladas impulsa a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas de movimiento y las funciones, como imágenes abstractas de los procesos de movimiento y éstos y su dependencia comienzan a ser objeto de cálculo. Los viejos problemas de determinación de tangentes, áreas y volúmenes contribuyeron en gran medida a impulsar los procedimientos de cálculo. Con Newton y Leibnitz (siglo XVII) aparecen los conceptos de límite y derivada. Sin embargo, hasta la segunda mitad del siglo XIX no se comprendió bien el significado de la continuidad pues se pensaba que toda función continua debía de ser derivable en casi todos los puntos y ni siquiera había acuerdo entre los matemáticos de entonces sobre el concepto de función. Cauchy dio las primeras definiciones correctas de límite, de función continua y de derivada y Bolzano hizo el primer estudio riguroso de las funciones continuas.

Objetivos • Interpretar el significado de la continuidad de una función en un punto y en un intervalo,

y determinarla analíticamente y gráficamente.

• Comprender y utilizar la variación en un intervalo, variación media e instantánea para

interpretar situaciones de la vida cotidiana.

• Interpretar y usar las relaciones existentes entre los conceptos de continuidad y

derivabilidad.

• Determinar la derivada de una función utilizando las operaciones con derivadas y la

regla de la cadena.

• Resolver situaciones que impliquen la utilización de rectas tangentes y normales a una

curva y adquirir técnicas algebraicas y gráficas para su resolución.


3

2. Esquema

Continuidad de una función en un punto

Continuidad de una función en un

intervalo

Variación media

Variación instantánea

Derivada de una función en un punto

Interpretación

geométrica

Interpretación física

Derivadas laterales

Función derivada

Derivadas y

operaciones

Derivadas de funciones

notables

Reglas de derivación

Recta tangente y recta normal

Como indica el esquema del módulo, el módulo comienza con el concepto de

continuidad en un punto y en un intervalo.

Más tarde, se estudia la variación media e instantánea de una función para llegar al

concepto de la derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica.


4

El estudio de las derivadas laterales se justifica con el fin de analizar la derivabilidad

de una función en un punto y la relación entre la derivabilidad y la continuidad de una

función.

Se introduce, a continuación, el concepto de función derivada, distinguiéndolo del

concepto de derivada de una función en un punto y reconociendo su relación con la pendiente

de la recta tangente en dicho punto (interpretación geométrica de la derivada).

Para poder calcular derivadas se introduce la regla de los cuatro pasos y con ella se

calculan las derivadas de la suma, diferencia, producto, cociente y composición de dos

funciones (regla de la cadena).

Por último, las reglas de derivación y el cálculo de la recta tangente y normal a una

curva en un punto constituyen la parte final del módulo.


5

3. Prueba de autoevaluación inicial

1.- Dada la función:

a) Es continua en 2−=x .

b) Es discontinua en 0=x ..

c) Es continua en 2=x .

d) Es continua en R.

2.- La función anterior:

a) Es derivable en 2−=x .

b) Es derivable en 0=x .

c) Es derivable en 2=x .

d) Es derivable en R.

3.- Existe recta tangente a la función de la pregunta primera en:

a) 2−=x .

b) 0=x .

c) 2=x .

d) Todos los puntos.


6

4.- La ecuación de la recta tangente a la función:

21)(

xxxf−

=

En el punto de abscisa 3=x es:

a) 3+= xy

b) 03 =−+ yx

c) 2

33−= xy

d) xy 3=

5.- La función:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥+

<+= 3,4

31

3,2)( 2 xx

xaxxf

Es continua en todos los puntos si:

a) 1=a

b) 3=a

c) 0=a

d) 1−=a

6.- La función:

⎩⎨⎧

≥<

=1,41,

)(2

xxxx

xf

a) Es continua en R.

b) Es derivable en R

c) Es derivable en }{1−R .

d) Es continua en 1=x

7.- Para que la función:


7

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤<−

−≤−+

=− 12

112

112)(

1

23

xsibe

xsix

axsiaxx

xfx

Sea continua en 1−=x y 1=x , a y b deben valer:

a) 2=a y 1−=b .

b) 0=a y 0=b

c) 2=a y 0=b

d) 1=a y 2=b

8.- Si las tangentes a la curva de ecuación:

186)( 23 −−+= mxxmxxf

En los puntos A(1,f(1)) y B(-2,f(-2)) son paralelas, m es igual a:

a) m = 0.

b) m = 4.

c) m = -1.

d) m = -2.

9.- Para que la derivada de la función

mxmxxf

++

=2

1)(2

En 21

=x valga 1, m debe valer.

a) 2.

b) -2.

c) -1.

d) 3.

10.- La derivada de la función:

11log)1()( 22cos

+−

−−−+=xxxxexf x


8

Es:

a)

11

11

1212)(

2

22cos

+

−−−

+−−⋅−=′

x

xx

xxesenxxf x

b) 1

11

11212)(

2

22

++

−−

−+−−=′ −

xxxxxexf senx

c) 1

11

1

1

212)(2

22cos

++

−−

−+−−⋅−=′

xxx

xxesenxxf x

d) 1

11

1)1

1)(1(2)(2

2cos

++

−−

−+−−+⋅−=′

xxx

xxxesenxxf x


9

Soluciones a la prueba de Autoevaluación inicial 1 → c

2 → b

3 → b

4 → c

5 → a

6 → c

7 → c

8 → b

9 →b

10 →d


10

4. Contenidos conceptuales

Continuidad de una función en un punto Consideremos la gráfica de la función f(x) = 2x2

En el punto de abscisa x = 2 se cumplen las siguientes condiciones:

1. Existe f(2) = 8.

2. Existe 2

)(lim→x

xf, pues existen los dos límites laterales y son

iguales:

−→=

28)(lim

xxf

y +→=

28)(lim

xxf

luego 2

8)(lim→

=x

xf.

3. El valor del límite y el valor de la función en x= 2 coinciden, es 8.

Se dice entonces que la función es continua en x = 2. Generalizando,

Una función es continua en el punto x = a si cumple:

1. Existe f(a).

2. Existe ax

xf→

)(lim.

3. Se cumple ax

afxf→

= )()(lim.

Cuando alguna de estas condiciones no se cumpla, diremos que la función presenta una

discontinuidad en a.


11

La idea intuitiva de la continuidad es que las funciones continuas se pueden dibujar sin

levantar el lápiz del papel. También cuando a pequeñas variaciones de la variable x

corresponden pequeñas variaciones de la variable y.

En cambio, en el caso de la función:

⎩⎨⎧

>+≤−

=2,12,34

)(xxxx

xf

La función está definida en x = 2 y en ese punto vale 5, es decir, f(2) = 5, pero no tiene

límite en x = 2, pues los límites laterales no son iguales:

+→=

23)(lim

xxf

y −→=

25)(lim

xxf

.

Por tanto es discontinua en dicho punto. Su representación gráfica nos lo confirma:

Continuidad de una función en un intervalo Una función f es continua en un cierto intervalo (a,b) si lo es en todos los puntos del

intervalo. En el ejemplo anterior la función f es continua en el intervalo )2,(−∞ y en el

intervalo ),2( +∞ .

Variación media Dada una función y = f(x), llamamos variación media de la función entre x1 y x2,

siendo 1x < x2, al valor )()( 12 xfxf − .


12

Por ejemplo, si el espacio recorrido por un móvil viene dado por la expresión

53)( 2 +−= ttte , donde t es el tiempo en segundos, la representación gráfica es la parábola:

El espacio recorrido entre los segundos 4 y 8 es la variación del espacio en el intervalo

[ ]8,4 :

36945)4()8( =−=− ee .

Es decir, entre t = 4 y t = 8 el móvil ha recorrido 36 metros.

Para determinar la tasa de variación media de la función en un intervalo dividimos la

variación de la función por la longitud del intervalo considerado. En nuestro caso:

948

)4()8(=

−−

=eeVmedia

En el intervalo [ ]8,4 el espacio ha variado a razón de 9 metros por segundo.

Tasa de variación media o variación media de una función y = f(x) en un intervalo

[ ]ba, es el cociente ab

afbf−− )()( . Su valor coincide con el de la pendiente de la recta que pasa

por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).


13

Variación instantánea En la gráfica del ejemplo anterior se puede observar cómo varía el espacio en función

del tiempo, pero no se puede tener una información precisa de cómo está variando el espacio

en un instante determinado, por ejemplo t = 4. Para obtener esta información estudiaremos

cómo varía el espacio en intervalos que empiezan en t = 4 y tienen amplitudes que se hacen

más pequeñas, es decir, cuando su amplitud tiende a cero.

La tasa de variación media del intervalo [ ]6,4 es:

72

92346

)4()6(=

−=

−−

=eeVmedia

Que coincide con el valor de la pendiente de la recta secante a la curva que une los

puntos A(4,9) y B(6,23). En este intervalo el espacio ha tenido una variación media de 7

metros por segundo.

En el intervalo [ ]5,4 , la variación media es:

61

91545

)4()5(=

−=

−−

=eeVmedia .

En el intervalo [ ]5,4 , el espacio ha variado 6 metros por segundo. La recta secante que

une los puntos A(4,9) y C(5,15) tiene por pendiente 6, menor que las anteriores.

Para conocer la variación instantánea en t = 4 tenemos que calcular la variación media

correspondiente a un intervalo [ ]5,4 , siendo h infinitamente pequeño.

Las distintas tasas de variación media obtenidas corresponden a las pendientes de las

rectas secantes a la curva en los puntos determinados por los extremos de los distintos

b-a

f(b)-f(a)

X

Y

O

f(b)

b

f(a)

a


14

intervalos. Cuando la amplitud del intervalo tiende a 0, los puntos de corte de las secantes con

la curva se van aproximando y las rectas secantes se convierten en la recta tangente.

Así, la variación instantánea de una función f(x) en un punto a es el límite de la tasa

de variación media correspondiente al intervalo [ ]haa +, cuando h se hace infinitamente

pequeño. Su valor coincide con la pendiente de la recta tangente.

Derivada de una función en un punto Dada una función y = f(x) y un punto a, se define la derivada de la función f(x) en el

punto x = a, y se designa )(af ′ , como el límite:

0

)()(lim)(→

−+=′

hh

afhafaf

Como vemos, la derivada es el límite de la tasa de variación media de la función en

intervalos [ ]haa +, cuando h tiende a cero, es decir, la variación instantánea de f(x) en el

punto a.

e

t

A(4,9

B(6,23

C(5,15


15

Interpretación geométrica y física de la derivada de una función en un punto

Como el cociente h

afhaf )()( −+ coincide con la pendiente de la recta secante a la

curva que pasa por (a, f(a)) y conforme va disminuyendo la amplitud del intervalo

considerado, los puntos de corte determinados por las distintas secantes se hacen cada vez más

cercanos, llegando en el límite a coincidir por lo que la secante se convierte en tangente:

f’(a) = tg a

X

Y

O a+h

a

a

f’(a) = tg a

X

Y

O

Recta tangente

a

a


16

Geométricamente, la derivada de una función f(x) en un punto x = a coincide con la

pendiente de la recta tangente en dicho punto. Coincide con la tangente del ángulo α que

forma la recta tangente con el semieje positivo OX.

Supongamos ahora que una partícula se mueve en línea recta y que el espacio recorrido

por ella al cabo de un tiempo x es e(x). La velocidad media de dicha partícula en un intervalo

de tiempo es, por definición, el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo dividido por el

tiempo invertido. Así, la velocidad media entre los instantes a y a+h viene dada por el

cociente

haehae )()( −+

Es decir, )(ae′ (derivada del espacio respecto al tiempo en el instante a).

Derivadas laterales de una función en un punto Si el espacio, en metros, recorrido por un móvil en función del tiempo, en segundos,

viene determinado por la función tttf 38)( 2 += , ¿Cuánto vale la velocidad inicial?

Para obtener la velocidad inicial, hemos de calcular la derivada de f(t) en t = 0:

0

)0()0(lim)0(→

−+=′

hh

fhff

Límite que no podemos calcular, porque la función no está definida a la izquierda del

cero (no tiene sentido considerar tiempo menor de cero). En cambio, sí podemos obtener el

límite lateral por la derecha en t = 0:

30

38lim

0

38lim

0

)0()(lim2

=→

+=

→

+=

→

−

+++ h

h

hh

hh

hh

fhf.

La velocidad inicial del móvil es de 3m/s.

Se llama derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a, y se representa

por )( +′ af , al límite:

+

+

→−−

=′ax

axafxf

af)()(lim)(

La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a, y se representa por

)( −′ af , al límite:


17

−

−

→−−

=′ax

axafxf

af)()(lim)( .

¿Existe la derivada de la función 4)( −= xxf en x = 4?

La función se define de la siguiente manera:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−

≥−=−=

44

444)(

xsix

xsixxxf

Y su representación gráfica es la siguiente:

Como no existe recta tangente en dicho punto, no existe la derivada, es decir, la

función no es derivable en x = 4.

Calculamos sus derivadas laterales en x = 4:

14

404lim

44

)4()(lim)4( −=→

−−−

=→

−−

=′−−

−

xx

x

xx

fxff

14

404lim

44

)4()(lim)4( =→

−−−

=→

−−

=′−+

+

xx

x

xx

fxff

Como )4()4( −+ ′≠′ ff no existe )4(f ′ .

La función f(x) es derivable en x = a cuando existen sus derivadas laterales en dicho

punto y son iguales.


18

Derivabilidad y continuidad La gráfica de una función es la siguiente:

Se observa que en el punto x = 2 presenta un salto, no es continua. Tampoco es

derivable al no existir la tangente en dicho punto.

En x = 4 es continua y no es derivable; no existe la tangente en dicho punto.

En x = 7, la función es continua y es derivable; existe la tangente en dicho punto.

axafxf

→= )()(lim

, o bien ax

afxf→

=− 0)()(lim

Como:

ax

axax

afxf

axafxf

→

=−−−

→=− )()()(lim)()(lim

axafax

axafax

axax

afxf

→=⋅′=−

→⋅′=−

→−− 00)()(lim)()(lim)()(lim

Se deduce que la derivabilidad implica continuidad.

Si una función f(x) es derivable en x = a, entonces la función es continua en dicho

punto.

En cambio, la continuidad no implica derivabilidad como lo muestra el ejemplo

anterior, la función valor absoluto.

Si una función f(x) es continua en x = a, la función no tiene por qué ser derivable en

dicho punto.


19

Función derivada Cuando una función es derivable en todos los puntos de un cierto dominio D, podemos

definir una nueva función )(xf ′ , llamada función derivada, que asocia a cada valor del

dominio D la derivada en dicho punto.

Por ejemplo, sea la función 123

)(3

++= xxxf . Aplicando la definición de derivada,

calculamos la derivada en el punto x = 1:

00

11

31012

3lim1

1)1()(lim)1(

3

→

=−

−++

→

=−−

=′

xx

xx

xx

fxff

Resulta un límite indeterminado que resolvemos factorizando el numerador de la

fracción. Utilizando la regla de Ruffini para la raíz x = 1:

1/3 0 2 -7/3

1 1/3 1/3 7/3

1/3 1/3 7/3 0

1

3)37

31

31(lim

11

)37

31

31)(1(

lim)1(2

2

→

=++

→

=−

++−=′

x

xx

xx

xxxf

En general, para un valor x = a, resulta:

00)12

3()12

3(

lim)()(lim)(

33

axax

aaxx

axax

afxfaf

→

=−

++−++

→

=−−

=′

De nuevo aplicando la regla de Ruffini, resulta:

1/3 0 2 -a3/3-2a

a a/3 a2/3 a3/3+2a

1/3 a/3 a2/3+2 0

2233)2

3331(lim)2

3331)((

lim)( 22

22

22

+=→

+=+++

→

=−

+++−=′ a

ax

aaxax

axax

axaxaxaf

Dándole valores a a y calculando los valores correspondientes de )(af ′ se obtiene la tabla de

valores:


20

a 0 1 -1 2 -2 )(af ′ 2 3 3 6 6

Al representar estos puntos resulta una nueva función 2)( 2 +=′ xxf

Regla de los cuatro pasos Anteriormente, para calcular la derivada de f(x) en el punto x = a hemos utilizado la expresión:

0

)()(lim)(→

−+=′

hh

xfhxfxf

Vamos a obtener una regla que permita calcular la derivada de una función, utilizando

4 pasos:

1. Función incrementada: f(x+h)

2. Incremento de la función: f(x+h)-f(x)

3. Cociente incremental: h

xfhxf )()( −+

4. Límite del cociente incremental, cuando h tiende a cero:

0

)()(lim

→

−+

hh

xfhxf

Este proceso se llama la regla de los cuatro pasos.

Así, para la fundición 2)( xxf = :

1. 2)()( hxhxf +=+


21

2. 22)()()( xhxxfhxf −+=−+

3. h

xhxh

xfhxf 22)()()( −+=

−+

4. 0

)()(lim

0

)()(lim)(22

→

−+=

→

−+=′

hh

xhx

hh

xfhxfxf

Para calcular este límite se utiliza la fórmula del cuadrado de una suma: 2

2)( 22 hxhxhx ++=+

Entonces:

022lim

0

2lim

0

2lim)(222 2

→=+

→

=+

=→

−++=′

hxhx

hh

hxh

hh

xhxhxxf

Análogamente, se obtiene que si 3)( xxf = entonces su derivada es 23)( xxf =′ , si 4)( xxf =

su derivada es 34)( xxf =′ , …, y la derivada de la función nxxf =)( es 1)( −=′ nnxxf . Un

caso particular de esta fórmula es la derivada de la función: 1)( =xf , como 0)( xxf = , resulta

00)( 1 =⋅=′ −xxf .

Derivadas de operaciones con funciones Utilizando de nuevo la regla de los cuatro pasos se demuestran (recomendamos al alumno que

lo haga como ejercicio) las siguientes derivadas:

1. Derivada de la suma (diferencia): La derivada de la suma (diferencia) de dos

funciones derivables es igual a la suma (diferencia) de sus derivadas:

)()()( xvxuxf ±= ⇒ )()()( xvxuxf ′±′=′

Por ejemplo, si 42)( xxxf += , entonces 342)( xxxf +=′ .

Esto se puede generalizar para la suma o resta de un número finito de funciones:

)()()()( xwxvxuxf +−= ⇒ )()()()( xwxvxuxf ′+′−′=′ .

Así, si 4)( =xf ⇒ 1111)( +++=xf ⇒ 00000)( =+++=′ xf . Generalizando, para

kxf =)( , con Rk ∈ , 0)( =′ xf .

2. Derivada del producto: La derivada del producto de dos funciones derivables es igual

a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar más la primera

función sin derivar por la derivada de la segunda:


22

)()()( xvxuxf ⋅= ⇒ )()()()()( xvxuxvxuxf ′⋅+⋅′=′ .

Así, si )1)(()( 245 +−+= xxxxxf , entonces

)12)(()1)(45()( 45234 −+++−+=′ xxxxxxxxf .

Si xxf 7)( = , entonces

7170)( =⋅+⋅=′ xxf .

3. Derivada de un cociente: La derivada del cociente )()(

xvxu de dos funciones derivables,

siendo 0)( ≠xv , es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar

menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido todo por el

denominador al cuadrado:

)()()(

xvxuxf = ⇒

)()()()()()( 2 xv

xvxuxvxuxf′−′

=′

Si 14

)(25

+−

=x

xxxf ⇒ 2

254

)14()4)(()14)(25()(

+−−+−

=′x

xxxxxxf , operando resulta:

181624516)( 2

245

++−−+

=′xx

xxxxxf .

Regla de la cadena La regla de la cadena nos permite calcular la derivada de la composición de dos funciones. Es

una regla muy importante que continuamente se utiliza en el cálculo de derivadas pero que no

vamos a demostrar pues entendemos que excede el nivel de este curso de nivelación.

Si una función )(ufy = es derivable respecto de u, y u es derivable respecto de x, entonces la

derivada de la función compuesta [ ])(xufy = respecto de x es igual al producto de la

derivada de f respecto de u por la derivada de u respecto de x:

[ ])(xufy = ⇒ )()( xuufy ′⋅′=′

Por ejemplo, para calcular la derivada de la función compuesta 62 )3( xxy −= , hacemos

xxxu 3)( 2 −= , 6)( uuf = entonces:

32)( −=′ xxu y 56)( uuf =′ .

Aplicando la regla de la cadena y sustituyendo:

[ ] )32()3(6)( 52 −−=′ xxxxuf .


23

Tabla de derivadas Aplicando las propiedades anteriores y otras que no demostraremos, se calculan las derivadas

de las siguientes funciones:

Función simple Derivada Función

Compuesta

Derivada

ky = 0=′y

xy = 1=′y

)()( xvxuy += )()( xvxuy ′+′=′

)(xuky ⋅= )(xuky ′⋅=′

)()( xvxuy ⋅= )()()()( xvxuxvxuy ′⋅+⋅′=′

)()(

xvxuy =

)()()()()(

2 xvxvxuxvxuy

′⋅−⋅′=′

nxy = 1−=′ nnxy )(xuy n= )()(1 xuxuny n ′⋅⋅=′ −

xy log= x

y 1=′

)(log xuy = )()(

xuxuy

′=′

xy alog= ex

y alog1⋅=′ )(log xuy a= )(log

)(1 xuexu

y a ′⋅⋅=′

xey = xey =′ )( xuey = )()( xuey xu ′⋅=′

xay = aay x log⋅=′ )( xuay = )(log)( xuaay xu ′⋅⋅=′

senxy = xy cos=′ ))(( xuseny = )())(cos( xuxuy ′⋅=′

xy cos= senxy −=′ ))(cos( xuy = )())(( xuxuseny ′⋅−=′

tgxy = x

xtgy 22

cos11 =+=′

))(( xutgy = ))((cos

)(2 xu

xuy′

=′

gxy cot= xsen

xgy 22 1)cot1( −

=+−=′ ))((cot xugy =

))(()(

2 xusenxuy

′−=′

arcsenxy = 21

1x

y−

=′ ))(( xuarcseny =

)(1)(

2 xuxuy

−

′=′

xy arccos= 21

1x

y−

−=′

))(arccos( xuy =

)(1)(

2 xuxuy

−

′−=′


24

arctgxy = 21

1x

y+

=′ ))(( xuarctgy =

)(1)(

2 xuxuy

+′

=′

Recta tangente y normal La ecuación de la recta que pasa por el punto ),( 11 yxA y tiene de pendiente m es:

)( 11 xxmyy −=−

Y la de la recta normal en dicho punto es:

)(111 xx

myy −−=− .

Como para el caso de la recta tangente la pendiente es )( 1xfm ′= , resulta:

))(( 111 xxxfyy −′=− ; )()(

11

11 xx

xfyy −

′−=− .

Por tanto, dada una función f(x), las ecuaciones de la recta tangente y normal en x = a son,

respectivamente:

))(()( axafafy −′=− ; )()(

1)( axaf

afy −′

−=− .

Dada la función 32)( 23 −+−= xxxxf la ecuación de la recta tangente en x = 2 es:

)2)(2()2( −′=− xffy ⇒ )2(51 −=+ xy .

Análogamente, la ecuación de la recta normal es:

)(511 axy −−=+ .


25

5. Resumen teórico

Continuidad de una

función en un punto • .

axafxf

→= )()(lim

Continuidad de una

función en un intervalo

• Una función f es continua en un cierto intervalo

(a,b) si lo es en todos los puntos del intervalo.

Variación media • Variación media de la función f(x) entre x1 y x2,

siendo 1x < x2, es el valor )()( 12 xfxf − .

• Tasa de variación media de una función y = f(x) en

un intervalo [ ]ba, es el cociente ab

afbf−− )()( .

Variación instantánea • La variación instantánea de una función f(x) en un

punto a es el límite de la tasa de variación media

correspondiente al intervalo [ ]haa +, cuando h se

hace infinitamente pequeño. Su valor coincide con

la pendiente de la recta tangente.

Derivada de una función

en un punto • 0

)()(lim)(→

−+=′

hh

afhafaf

Interpretación geométrica

de la derivada

• La derivada de una función f(x) en un punto x = a

coincide con la pendiente de la recta tangente en

dicho punto. Coincide con la tangente del ángulo

α que forma la recta tangente con el semieje

positivo OX.

Interpretación física de la

derivada

• La velocidad instantánea es la derivada del espacio

respecto al tiempo.

Derivadas laterales • Derivada por la derecha:

+

+

→−−

=′ax

axafxf

af)()(lim)(

• Derivada por la izquierda:

−

−

→−−

=′ax

axafxf

af)()(lim)(


26

Derivabilidad • La función f(x) es derivable en x = a cuando

existen sus derivadas laterales en dicho punto y

son iguales.

Derivabilidad y

continuidad

• Si una función f(x) es derivable en x = a, entonces

la función es continua en dicho punto.

• Si una función f(x) es continua en x = a, la función

no tiene por qué ser derivable en dicho punto.

Función derivada • Cuando una función es derivable en todos los

puntos de un cierto dominio D, la función derivada

asocia a cada valor del dominio D la derivada en

dicho punto.

Regla de los cuatro pasos

• Para calcular la derivada de una función, se

utilizan 4 pasos:

1. Función incrementada: f(x+h)

2. Incremento de la función: f(x+h)-f(x)

3. Cociente incremental: h

xfhxf )()( −+

4. Límite del cociente incremental, cuando h

tiende a cero:

0

)()(lim

→

−+

hh

afhaf

Derivadas de operaciones

con funciones

• )()()( xvxuxf ±= ⇒ )()()( xvxuxf ′±′=′

• )()()( xvxuxf ⋅= ⇒

)()()()()( xvxuxvxuxf ′⋅+⋅′=′

• )()()(

xvxuxf = ⇒

)()()()()()( 2 xv

xvxuxvxuxf′−′

=′

Regla de la cadena • [ ])(xufy = ⇒ )()( xuufy ′⋅′=′

Rectas tangente y normal • Tangente: ))(()( 111 xxxfxfy −′=− ;

• Normal: )()(

1)( 11

1 xxxf

xfy −′

−=−


27

6. Actividades resueltas

1.1 Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤+=

012

02)(

2

xsix

xsixxf en el punto x = 0.

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−>−

−≤+=

21

25)(

xsix

xsixxf en el punto x = -2.

Solución

a) La función está definida en x = 0, 220)0( 2 =+=f . Para comprobar si tiene límite

en x = 0, hay que estudiar si existen los límites laterales y son iguales a 2:

+→=+⋅=

01102)(lim

xxf

−→

=+=0

220)(lim 2

xxf

Como los límites laterales son distintos, la función no tiene límite en x = 2 y, por tanto,

es discontinua en dicho punto.

b) 352)2( =+−=−f ; −−→=+−=

2352)(lim

xxf

; +−→=+=

2321)(lim

xxf

Como los tres valores coinciden la función es continua en x = -2.

1.2 Calcula los siguientes límites:

a) 3

)15(lim 3

→+−

xxx

b) 1

11lim 23

4

→−+−

−

xxxx

x

c) 0

9)3(lim2

→

−+

xx

x

Solución

a) 3

131353)15(lim 33

→=+⋅−=+−

xxx

.


28

b) 1

00

11lim 23

4

→

=−+−

−

xxxx

x. Para deshacer esta indeterminada debemos factorizar

los dos términos de la fracción y simplificar. Para ello aplicamos la regla de Ruffini

para x = 1:

Numerador:

1 0 0 0 -1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 0

Denominador:

1 -1 1 -1

1 1 0 1

1 0 1 0

1

224

11lim

1)1)(1(

)1)(1(lim

11

1lim 2

23

2

23

23

4

→

==+

+++

→

=+−

+++−

→

=−+−

−

xx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

x

c) 0

009)3(lim

2

→

=−+

xx

x . Para deshacer esta indeterminada operamos y

simplificamos:

06)6(lim

0

)6(lim

0

969lim

0

9)3(lim22

→=+

→

=+

→

=−++

→

=−+

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

1.3 Estudia la continuidad de la función:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤−=

342

31)(

2 xsix

xsixxf

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+<<

≤+=

212205

02)(

xsixxsi

xsixxf

Solución:


29

a) Esta función viene definida por dos intervalos. Como en ambos la expresión es un

polinomio, la función es continua en el interior de ellos; entonces, el único punto a

estudiar es el extremo de dichos intervalos, es decir, el punto x = 3.

213)3( =−=f ; −→=−=

3213)(lim

xxf

;+→

=+⋅=3

22432)(lim 2

xxf

Como no coinciden los tres valores, la función no es continua en x = 3. Por tanto, esta

función es continua en }{3−R .

b) En este caso nos encontramos con tres intervalos en los cuales la función viene

definida por un polinomio, con lo que es continua en el interior de los tres. Veamos

los extremos:

x = 0: 220)0( =+=f ; −→=+=

0220)(lim

xxf

; +→=

05)(lim

xxf

⇒No es

continua en x = 0.

x = 2: 5122)2( =+⋅=f ; −→=

25)(lim

xxf

; +→=+⋅=

25122)(lim

xxf

⇒Es

continua en x = 2.

La función es continua en }{0−R .

1.4 Estudia la continuidad de la función:

5432

)( 2

2

−−

−−=

xxxx

xf

¿Cómo evitar que sea discontinua en x = -1?

Solución:

Se trata de una función racional, luego es continua salvo en los puntos en que se anule

el denominador:

054 2 =−− xx ⇒ x = -1 y 45

=x

La función es continua en ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫−−

45,1R .

Para evitar que sea discontinua en x = -1 basta con definir la función en este punto

igual al límite que toma en él:


30

100

5432lim

1)(lim

2

2

−→

=−−−−

−→=

xxxxx

xxf

⇒Hay que factorizar y, como los dos

miembros de la fracción son polinomios de grado dos, utilizamos la fórmula de la

ecuación de segundo grado para hallar sus raíces:

Numerador: 1−=x y 23

=x .

Denominador: x = -1 y 45

=x

1

95

)45(4

)23(2

lim

1

)45)(1(4

)23)(1(2

lim

15432lim

1)(lim

2

2

−→

=−

−

−→

=−+

−+

−→

=−−−−

−→=

x

x

x

x

xx

xx

xxxxx

xxf

La función:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−=

−≠−−−−

=

195

15432

)(2

2

xsi

xsixxxx

xf .

2.5 Se considera la función f(x) definida por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤+

<−=

2203

0)(

2 xsiaxxsibx

xsixxf

Calcula los valores de a y b para que f(x) sea continua en todos sus puntos.

Solución:

Continuidad en x = 0:

bbf =+⋅= 03)0( ; −→=

00)(lim

xxf

; +→=+⋅=

003)(lim

xbbxf

⇒ 0=b

Continuidad en x = 2:

aaf 44)2( =⋅= ; −→=+=+⋅=

26623)(lim

xbbxf

;+→

=⋅=2

42)(lim 2

xaaxf

⇒ 64 =a ⇒23

46==a .


31

2.6 ¿Para qué valores de x es discontinua la siguiente f(x)?

253462)( 2

2

−−+−

=xxxxxf

Solución:

Se trata de una función racional, luego es continua salvo en los puntos en que se anule

el denominador:

0253 2 =−− xx ⇒ x = 2 y 31

−=x

La función es continua en ⎩⎨⎧

⎭⎬⎫−−

31,2R .

2.7 Estudia la continuidad de la función: 53

4)(2

2

+−

−=

xxxf .

Solución:

De nuevo nos encontramos con un cociente de polinomios, hay que estudiar los ceros

del denominador.

053 2 =+− x ⇒ 952 =+x ⇒ 42 =x ⇒ 2±=x

La función es continua en }{ 2±−R .

2.8 Dada la función 35)( += xxf , halla la variación media en los intervalos:

a) [ ]4,1

b) [ ]0,5−

c) ¿Con qué valor coincide siempre esa tasa?

Solución:

a) 53

82314

)1()4()()(=

−=

−−

=−−

=ff

abafbfVm

b) 550

223)()(=

++

=−−

=ab

afbfVm

c) Al ser una función lineal, es constante y coincide con la pendiente de la recta.

3.9 Halla la tasa de variación media de la función 1)( 2 += xxf en:


32

a) [ ]2,3−

b) [ ]4,0

c) ¿Es siempre constante? Solución:

a) 51105

23)3()2()()(

=−−

=+−

−−=

−−

=ff

abafbfVm

b) 44

11704

)0()4()()(=

−=

−−

=−−

=ff

abafbfVm

c) Como es una función cuadrática no es constante.

3.10 Una mancha circular de petróleo tiene un radio de 20 m. Calcula:

a) La variación que sufre su área si el radio aumenta en 6 m.

b) La tasa de variación media al pasar el radio de 20 a 25 metros.

c) La tasa de variación media al pasar el radio de 20 a 22 metros.

d) La tasa de variación instantánea.

Solución:

a) El área actual es ππ 40020220 =⋅=A 2m . Cuando el radio aumenta en 6m, el área

es ππ 67626226 =⋅=A 2m , por tanto la variación es πππ 276400676 =−=V 2m .

b) ππππ 32,555

2765

4006252025

)20()25(==

−=

−−

=VVVm .

c) ππππ 422

842

4004842022

)20()22(==

−=

−−

=VVVm .

d) Hallamos la tasa de variación media cuando el radio aumenta en 0,1m:

ππππ 1,401,0

01,41,0

40001,404201,20

)20()1,20(==

−=

−−

=VVVm

Para un aumento de 0,01, resulta:

ππππ 01,4001,0

4001,001,0

4004001,4002001,20

)20()01,20(==

−=

−−

=VVVm .

Para un aumento de 0,001, resulta:

ππππ 001,40001,0

040001,0001,0

400040001,40020001,20

)20()001,20(==

−=

−−

=VVVm .


33

Por tanto, la tasa de variación instantánea es π40 .

4.11 Dada la función 14 2 += xy , calcula la tasa de variación media correspondiente

a los intervalos:

a) [ ]5,2

b) [ ]52,2 ′

c) [ ]022,2 ′

d) [ ]0022,2 ′

e) ¿Hacia qué valor tiende la sucesión de valores obtenidos?

f) ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en 2=x ?

Solución:

a) 283

1710125

)2()5()()(=

−=

−−

=−−

=ff

abafbfVm

b) 18501726

252)2()52()()(

=′−

=−′−′

=−−

=ff

abafbfVm

c) 0861020

173216712022

)2()5,022()()( ′=′

−′=

−′−′

=−−

=ff

abafbfVm

d) 008610020

170320167120022

)2()0022()()( ′=′

−′=

−′−′

=−−

=ff

abafbfVm

e) Tiende a 16.

f) La tasa de variación instantánea en 2=x es, entonces, 16.

5.12 Una empresa ha comprobado que la demanda de artículos de un producto, en

función del precio, viene dada por la expresión 23700)( xxd −= . Calcula:

a) La variación de la demanda si el precio pasa de 5 a 10 euros por unidad. ¿La

variación es positiva o negativa?

b) La variación media correspondiente a los intervalos [ ]10,5 , [ ]7,5 , [ ]15,5 ′ y [ ]015,5 ′ .

c) La variación instantánea en x = 5.

Solución:

a) 225)5.3700()10.3700()5()10( 22 −=−−−=− dd . Es una variación negativa.

b) Para el intervalo [ ]10,5 :


34

455

75300510

)5()10(−=

+−=

−− dd

Para el intervalo [ ]7,5 :

362

7514757

)5()7(−=

+−=

−− dd

Para el intervalo [ ]15,5 ′ :

30310

750387515

)5()15( ′−=′+′−

=−′−′ dd

Para el intervalo [ ]01,5,5 :

0303010

753003575015

)5()015( ′−=′

+′−=

−′−′ dd

c) Observando la sucesión de valores obtenidos, se deduce que la variación

instantánea en 5=x es -30. Lo comprobamos con la definición de derivada:

0

)75700())5(3700(lim

0

)5()5(lim)5(2

→

=−−+−

→

=−+

=′h

hh

hh

dhdd

030)330(lim

0

3307575lim2

→−=−−

→

=−−−

=h

h

hh

hh

5.13 Dada la función 42)( 2 += xxf y el punto 1=x

a) Calcula el valor del cociente incremental h

fhf )1()1( −+ para 1=h , 5,0=h ,

2,0=h y 01,0=h .

b) ¿Cuál es el valor de )1(f ′ .

Solución:

a) 66121

)1()2(1

)1()11()1()1(=−=

−=

−+=

−+ ffffh

fhf

55,0

65,85,0

)1()5,1(5,0

)1()5,01()1()1(=

−=

−=

−+=

−+ ffffh

fhf

4,42,0

688,62,0

)1()2,1(2,0

)1()2,01()1()1(=

−=

−=

−+=

−+ ffffh

fhf

02,401,0

60402,601,0

)1()01,1(01,0

)1()01,01()1()1(=

−=

−=

−+=

−+ ffffh

fhf


35

b) El valor de )1(f ′ es 4.

5.14 Dada la función 3)( 2 −−= xxxf :

a) Calcula )2(f ′ mediante límites.

b) Dibuja la recta tangente a esta parábola en el punto 2=x y otra recta cuya

pendiente sea )2(f ′ , ¿Cómo son ambas rectas?

Solución:

a) 0

)1()3)2()2((lim

0

)2()2(lim)2(2

→

=−−−+−+

→

=−+

=′h

hhh

hh

fhff

03)3(lim

0

3lim

0

13244lim22

→=+

→

=+

→

=+−−−++

=h

h

hh

hh

hh

hhh.

b) Ambas rectas son paralelas.

6.15 Dada la función 23)( 2 −= xxf y el punto 1=x :

a) Completa el siguiente cuadro:

x 2 1,5 1,1 1,01

1)1()(

−−

xfxf

b) ¿Cuál es la pendiente de la tangente a la curva en 1=x ?

Solución:

a) x 2 1,5 1,1 1,01

1)1()(

−−

xfxf

912

)1()2(=

−− ff

5,715,1

)1()5,1(=

−− ff

3,611,1

)1()1,1(=

−− ff

03,6101,1

)1()01,1(=

−− ff

b) La pendiente de la recta tangente a la curva en 1=x es la derivada, )1(f ′ , es decir


36

61

1)1()(lim)1(

→

=−−

=′x

xfxf

f .

6.16 Dada la función polinómica de segundo grado cbxaxy ++= 2 , halla a, b y c si

se sabe que la gráfica de esta función pasa por los puntos (1,2) y (2,6) y que la tangente

a la curva en (2,6) es la recta de ecuación: 87 −= xy .

Solución:

Como pasa por (1,2): cba ++=2 .

Como pasa por (2,6): cba ++= 246 .

Como la pendiente de la recta tangente es 7=m (coeficiente de x en la ecuación

explícita) debe ser 7)2( =′y :

0

)24()2()2(lim

0

)2()2(lim)2(2

→

=−+−++++

→

=−+

=′h

hcbacbhah

hh

yhyy

0

)24()2()44(lim2

→

=++−+++++

=h

hcbacbhahh

0

4lim

0

24)2()44(lim22

→

=++

→

=−−−+++++

=h

hbhahah

hh

cbachbbhaaha

babaahh

+=++→

= 4)4(0

lim.

Por tanto: 74 =+ ba

Se obtiene el siguiente sistema:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=++=++

7464

2

bacba

cba

Las soluciones son:

34

=a , 35

=b y 1−=c .


37

7.17 Halla la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de la función

⎩⎨⎧

≥+−<

=1,31,

)(xxxx

xf , en 1=x .

Solución:

10

lim

0

2)31(lim

0

)1()1(lim −=→

−=

→

−+−−=

→

−+

+++ hhh

hh

h

hh

fhf.

−−−− →

+∞=−=→

−=

→

−+=

→

−+

0

11lim

0

1lim

0

2)1(lim

0

)1()1(lim

hh

hh

h

hhh

hh

fhf

7.18 ¿Es la función 2)( −= xxf derivable en 2=x ?

Solución:

Obtenemos la derivada por la derecha y por la izquierda en este punto.

⎩⎨⎧

<−−≥−

=−=2),2(2,2

2)(xxxx

xxf

10

lim

0

0)22(lim

0

)2()2(lim)2( =→

=→

−−+=

→

−+=′

+++

+

hhh

hh

h

hh

fhff .

10

lim

0

0)22(lim

0

)2()2(lim)2( −=→

−=→

−−+−=

→

−+=′

−−−

+

hhh

hh

h

hh

fhff .

No es derivable pues las derivadas laterales no coinciden.

8.19 Estudia la continuidad y derivabilidad de ⎩⎨⎧

>≤+−

=11,73

)(xxxx

xf en el punto

1=x .

Solución:

Estudiamos primero la continuidad. Esta función en el único punto en el que puede ser

discontinua es el punto 1, en el que la función cambia su expresión analítica.

Veámoslo:

++ →=

→=

11)(lim

1)(lim

xx

xxf

; −− →=+−

→=

14)73(lim

1)(lim

xx

xxf

.


38

Como los límites laterales no coinciden, la función no es continua en 1=x y, al no ser

continua, no es derivable en este punto.

Estudiamos, entonces, la derivabilidad en el resto de los puntos.

Sea x < 1, 73)( +−= xxf . Por tanto:

30

3lim

0

)73()733(lim

0

)()(lim)( −=→

−=

→

+−−+−−=

→

−+=′

+++

+

hh

h

hh

xhx

hh

xfhxfxf

30

3lim

0

)73()733(lim

0

)()(lim)( −=→

−=

→

+−−+−−=

→

−+=′

++−

−

hh

h

hh

xhx

hh

xfhxfxf

La función es derivable.

Sea x > 1, xxf =)( . Entonces:

10

lim

0

)()(lim

0

)()(lim)( =→

=→

−+=

→

−+=′

+++

+

hhh

hh

xhx

hh

xfhxfxf .

10

lim

0

)()(lim

0

)()(lim)( =→

=→

−+=

→

−+=′

−−−

−

hhh

hh

xhx

hh

xfhxfxf .

La función es derivable.

La función es derivable en }{1−R y su función derivada es:

⎩⎨⎧

><−

=′1,11,3

)(xx

xf .

8.20 Estudia la continuidad y derivabilidad de 2)( 2 += xxf .

Solución:

La función 22)( 22 +=+= xxxf , como es un polinomio, es continua y derivable en

todo R.

8.21 Estudia la derivabilidad de ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤+

<−=

2203

0)(

2 xsiaxxsibx

xsixxf en los puntos 0=x y

2=x .

Solución:


39

Para que sea derivable debe ser continua en 0=x y 2=x .

En 0=x :

++ →=+

→=

0)3(lim

0)(lim

xbbx

xxf

; −− →=−

→=

00)(lim

0)(lim

xx

xxf

, luego:

0=b .

En 2=x :

++ →=

→=

24)(lim

2)(lim 2

xaax

xxf

; −− →=+=+

→=

266)3(lim

2)(lim

xbbx

xxf

,

luego: 64 =a y 23

46==a .

Por tanto esta función para ser continua en 0=x y 2=x debería estar definida de la

siguiente forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<≤<−

=

223

2030

)(2 xsix

xsixxsix

xf .

Estudiamos a continuación la derivabilidad en estos puntos.

En 0=x :

30

3lim

0

0)3(lim

0

)0()0(lim)0( =→

=→

−=

→

−+=′

+++

+

hhh

hh

h

hh

fhff .

10

lim

0

0)(lim

0

)0()0(lim)0( −=→

−=

→

−−=

→

−+=′

−−−

−

hhh

hh

h

hh

fhff .

No es derivable en 0=x .

En 2=x :

−∞=→

−=

→

−+=

→

−+=′

++

+

+

003lim

0

6))2(23(

lim0

)2()2(lim)2(2

hhh

h

hh

fhff .

La función tampoco es derivable en 2=x .

9.22 Dada la función 23)( xxf = , halla las funciones )(xf ′ , )(xf ′′ y )(xf ′′′ .

Solución:


40

=→

−++=

→

−+=

→

−+=′

0

3363lim

0

3)(3lim

0

)()(lim)(22222

hh

xhxhx

hh

xhx

hh

xfhxfxf

xh

hhxh

60

36lim2

=→

+= .

60

666lim

0

6)(6lim

0

)()(lim)( =→

−+=

→

−+=

→

′−+′=′′

hh

xhx

hh

xhx

hh

xfhxfxf

00

0lim

0

66lim

0

)()(lim)( =→

=→

−=

→

′′−+′′=′′′

hhh

hh

xfhxfxf .

9.23 Dada la función 34)( 2 +−= xxxf , resuelve la ecuación 0)( =′ xf .

Solución:

=→

+−−++−+=

→

−+=′

0

)34(3)(4)(lim

0

)()(lim)(22

hh

xxhxhx

hh

xfhxfxf

=→

−+=

→

−+−+−−++=

0

42lim

0

)343442(lim2222

hh

hxhh

hh

xxhxxhhx

420

)42(lim−=

→−+

= xh

xh.

Por tanto, 420)( −==′ xxf ⇒ 2=x .

9.24 Deduce, utilizando la definición de derivada, la función derivada de:

a) xxf =)( .

b) 2)( 2 +−= xxxf

Solución:

a) Empleamos la regla de los cuatro pasos:

1. hxhxf +=+ )(

2. xhxxfhxf −+=−+ )()(

3. h

xhxh

xfhxf −+=

−+ )()(


41

4. 0

lim)(→

−+=′

hh

xhxxf

Para calcular este límite in determinado, como aparecen radicales, multiplicamos

el numerador y el denominador por el conjugado del numerador

0)(

))((lim

0

lim)(→

=++

++−+

→

=−+

=′

hxhxh

xhxxhx

hh

xhxxf

0)(

lim

0)()()(lim

22

→

=++

→

=++−+

=h

xhxhh

hxhxhxhx

02

1)(

1lim

→

=++=

hxxhx .

b) Empleamos, de nuevo, la regla de los cuatro pasos:

1. 2)()()( 2 ++−+=+ hxhxhxf

2. hxhhxxhxhxxfhxf −+=+−−++−+=−+ 2)2(2)()()()( 222

3. h

hxhhh

xfhxf −+=

−+ 2)()( 2

4. 0

002lim)(

2

→

=−+

=′h

hhxhh

xf

Para calcular este límite indeterminado operamos sacando factor común h:

012)12(lim

0

)12(lim

0

2lim)(2

→−=−+

→

=−+

→

=−+

=′h

xxh

hh

xhh

hh

hxhhxf

11.25 Calcula, utilizando las reglas de derivación, la derivada de las siguientes

funciones:

a) 211)( −−=xx

xf

b) 262)( xx

xf +=


42

c) xxxxf 322)( 43 −−=

d) 4

21)( 34

πsenxx

xf −+−=

e) senxxxxf −+= −3cos)(

Solución:

a) 2211)( 211 −−=−−=

−− xxxx

xf ⇒xxx

xxxf2

11)21(1)( 2

232 +−=−−−=′ −− .

b) 2212 6262)( xxx

xxf +=+=

−⇒ x

xxxxxf 12112)

21(2)( 2

3+−=+−==′ − .

c) 21

4143

143 322322)( xxxxxxxf −−=−−= ⇒

xx

xx

xx

xxxxxxxf 3

42

33

42

31

2132

412

31)(

43

4 3

4

3 22

14

3432

−−=−−=−−=′−−− .

d) 4

24

21)( 3434

ππ senxxsenxx

xf −+−=−+−= − ⇒

25

25 646)4()( xx

xxxf +=+−−=′ − .

e) senxxxxf −+= −3cos)( ⇒ xx

senxxxsenxxf cos3cos)3()( 44 −−−=−−+−=′ − .

11.26 Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) )57)(2()( 2 xxxxf −+−=

b) 332)(

xxxf⋅−

=

c) xxxxf ⋅⋅= 43)(

Solución:

a) Se aplica la derivada de un producto de funciones:

=−+−+−−=′−+−+−′+−=′ )5)(2()57)(12()57)(2()57()2()( 222 xxxxxxxxxxxf172415105571910 222 −+−=−+−−+−= xxxxxx .

b) Utilizando la fórmula de la derivada de un cociente:

46

23

6

23

23

33

362

9186

9)2(93

)3()3)(2()3()2()(

xx

xxx

xxxx

xxxxxxf +−

=+−

=−−

=⋅

′−−′−=′ .


43

c) Al aplicar la fórmula de la derivada de un producto resulta:

=′⋅⋅+⋅′⋅+⋅⋅′=′ )()()()( 434343 xxxxxxxxxxf

xxx

xxx

xxxxxxxxxxxx

24321

41

31 43

4 3

3

3 2

4432

134343

2 ⋅+

⋅+

⋅=+⋅+⋅⋅= −−− .

11.27 Utilizando las reglas de derivación, calcula la derivada de las siguientes

funciones:

a) xxxf 6)(log)( 3 +=

b) xxxxf −= )log()( 2

Solución:

a) xxxf 6)(log)( 3 += ⇒ 6log6log

)( 3 ⋅+=′ x

xe

xf .

b) Antes de derivar, simplificamos, utilizando las propiedades de los logaritmos:

xxxxxxxf −=−= )log(2)log()( 2 ⇒ 3)log(2112)log(2)( −=−⋅−=′ xx

xxxf .

11.28 ¿Pueden existir dos funciones distintas f(x) y g(x) que tengan la misma

derivada?

Solución:

Sí, si se diferencien únicamente en una constante.

Por ejemplo: 22)( xxf = y 12)( 2 += xxg , en ambos casos, al ser la derivada de una

constante nula, se obtiene como derivada la función xxh 4)( = .

11.29 Utilizando las reglas de derivación, calcula la derivada de las siguientes

funciones:

a) 1

)( 2 +=

xxxf

b) 2cos2)( xxsenxf ⋅=

c) xtgxtgxf 24

41)( −=

Solución:


44

a) 1

)( 2 +=

xxxf ⇒ 22

2

22

2

22

22

)1(1

)1()2(1

)1()1()1()()(

++−

=+−+

=+

′+−+′=′

xx

xxxx

xxxxxxf .

b) 2cos2)( xxsenxf ⋅= ⇒ =′⋅+⋅′=′ )(cos)2(cos)2()( 22 xxsenxxsenxf

xsenxsenxxxsenxxxsenxx 22cos2cos2)()2()2(cos2cos2 2222 −⋅=−⋅⋅+⋅= .

c) xtgxtgxf 24

41)( −= ⇒

)2)(1()1(2)1(441)( 32223 tgxxtgxtgxtgtgxxtgxtgxf −+=+−+=′ .

12.30 Calcula la derivada de y respecto de x, en las siguientes funciones:

a) 754 2 +−= uuy , 372 +−= xxu

b) 32

73 −+

=uu

y , 35 −= xu

Solución:

a) Aplicando la regla de la cadena:

uuuy ′−′=′ 58 , como xxu 72 −=′ , sustituyendo resulta:

=+−−+−+−=−−−+−=′ 3510168392564811216)72(5)72)(37(8 2232 xxxxxxxxxxxy3526216816 23 ++−= xxx

b) Análogamente:

133 )32(7

327 −−+=

−+= uu

uuy ⇒ )23()32)(1(7 223 uuuuuy ′+′−+−=′ − .

35 −= xu ⇒ 5=′u .

Sustituyendo en y′ :

=⋅+⋅−−−+−−=′+′−+−=′ −− 525)35(3()3)35(2)35((7)23()32)(1(7 223223 xxxuuuuuy

23

2223

)3)35(2)35((70)35(105)525)35(3()3)35(2)35((7−−+−

−−−=⋅+⋅−−−+−−= −

xxxxxx .

12.31 Calcula la derivada de la función 32 )5( −= xy .

a) Utilizando la regla de la cadena.

b) Sin utilizar la regla de la cadena


45

Solución:

a) Sea 3uy = , 52 −= xu . Aplicando la regla de la cadena.

xxxxxxxxuuy 150606)2)(2510(3)5()5(33 35242222 +−=+−=′−−=′=′ .

b) 1257515)5( 24632 −+−=−= xxxxy ⇒ xxxy 150606 35 +−= .

12.32 Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) )5log()( 2 xxxf −=

b) xxxxf −= )log()( 2

c) )2(log)( −= xxxf

Solución:

a) )5log()( 2 xxxf −= ⇒ xx

xxf5

52)( 2 −−

=′ .

b) xxxxxxxf −=−= )log(2)log()( 2 ⇒ 1)log(212)log(2)( +=−+=′ xxxf .

c) ))2log((log21)2(log)( −+=−= xxxxxf ⇒

)2

11(21))2log((log

21)(

−+=′−+=′

xxxxxf .

12.33 Calcula el valor de la derivada de la función )

2cos()

2( ππ

+++=

xxseneey en el punto

23π

=x .

Solución:

Con la regla de la cadena, se calcula la función derivada:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−++=′

++)

2()

2cos(

)2

cos()2

( ππ ππ

xsenexeyxxsen

de donde:

[ ] 101)2()2cos()2

3( 10)2cos()2( =⋅+⋅=−+=′ eeseneey sen πππ ππ .

12.34 Derivada y simplifica la función xxy

cos1cos1log

−+

= .


46

Solución:

Utilizando las propiedades de los logaritmos:

[ ])cos1log()cos1log(21 xxy −−+=

Derivando:

=−

−−+−=

−−

+−

=′)cos1(2

coscos)cos1cos1

(21

2 xxsenxsenxxsenxsenx

xsenx

xsenxy

senxxsenx 1)

cos12(

21

2

−=

−−

= .

12.35 Calcula las funciones derivadas de las funciones, simplificando su expresión

cuando se pueda:

a) 3

31)(x

xxf −= para 0≠x .

b) )4log(31)( xxg = para 0>x .

c) senxxxh ⋅= cos)( para Rx∈ .

Solución:

a) 46

23 363)31()3()(xx

xxxxxf −

=−−−

=′

b) xx

xg31

44

31)( =⋅=′

c) xxsenxxxsenxsenxxh 2coscoscoscos)( 22 =−=⋅+⋅−=′

12.36 Deriva xex

senxy 2)cos

log( +=

Solución:

xx etgxex

senxy 22 )log()cos

log( +=+=

Aplicando las reglas de derivación:

xx exsenx

extgx

y 222 2

cos12

cos11

+=+⋅=′


47

13.37 Dada la función 36)( 2 −−= xxxf , calcula las ecuaciones de la recta tangente

y normal en los puntos de abscisas 0=x y 1−=x

Solución:

Primero se calcula la función derivada de 36)( 2 −−= xxxf :

62)( −=′ xxf

Para 0=x : 6)0( −=′y

Por otro lado, la ordenada es 3)0( −=y ; por tanto, la ecuación de la tangente es:

xy 63 −=+ .

La de la recta normal es:

xy613 =+

13.38 Halla la ecuación de la recta tangente a 211x

y+

= en 1=x .

Solución:

Calculamos la función derivada de 211x

y+

= :

22 )1(2xxy

+−=′

Para 1=x : 21

42)1( −=−=′y

Por otro lado, la ordenada es 21)1( =y , luego la ecuación de la tangente es:

)1(21

21

−−=− xy .

13.39 Halla las tangentes a la curva xxy 23 −= , paralelas a la recta xy = .

Solución:

Como la recta xy = tiene de pendiente 1=m , hay que calcular los puntos de la curva

cuya derivada valga 1.

Calculamos la función derivada y la igualamos a 1:

123 2 =−=′ xy implica 1±=x

Para 11 =x : 1)1( −=f , )1,1(1 −P


48

Para 12 −=x : 1)1( =−f , )1,1(2 −P

Las ecuaciones de las tangentes son:

)1(11 −=+ xy , es decir, 2−= xy

)1(11 +=− xy , es decir, 2+= xy


49

7. Actividades propuestas

1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

−≤−=

12

1)(

2

xsix

xsixxf en el punto x = 1.

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤=

321

37)(

xsix

xsixf en el punto x = 3.

2. Calcula los siguientes límites:

a) 1

)13(lim 4

→+−

xxx

b) 2

48lim 2

3

−→−+

xxx

c) 1

1lim 2

2

→−−

xx

xx

3. Estudia la continuidad de la función:

a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+<<−−

−≤+=

322332

31)(

2 xsixxsi

xsixxf

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+<<−−−≤

=21

212512

)(2 xsix

xsixxsi

xf

4. Estudia la continuidad de la función 9

27)( 2

3

−−

=x

xxf en 3=x .

5. Se considera la función f(x) definida por:


50

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−≠+

−==

11

1

1)(

xsix

xsikxf

Calcula k para que f(x) sea continua en todos sus puntos.

6. ¿Para qué valores de x es discontinua la siguiente f(x)?

xxxxxxf

254)( 23

2

−−+−

= .

7. Estudia la continuidad de la función: 63

9)(2

+−

−=

xxxf .

8. Dada la función 22 2 += xy , calcula la tasa de variación media correspondiente a

los intervalos:

a) [ ]5,1

b) [ ]52,1 ′

c) [ ]021,1 ′

d) ¿Hacia qué valor tiende la sucesión de valores obtenidos?

e) ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en 1=x ?.

9. Dada la función 134)( 2 +−= xxxf . Calcula:

a) La variación que sufre en el intervalo [ ]10,1 .

b) La tasa de variación media en el intervalo [ ]1,1 .

c) La tasa de variación media en el intervalo [ ]011,1 ′ .

d) La tasa de variación instantánea en 1=x .

10. Dada la función 82 +−= xy , calcula la tasa de variación media correspondiente a

los intervalos:

a) [ ]5,2


51

b) [ ]52,2 ′

c) [ ]022,2 ′

d) ¿Hacia qué valor tiende la sucesión de valores obtenidos?

e) ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en 2=x ?

11. Una empresa ha comprobado que la venta de artículos de un producto, en función

del precio, viene dada por la expresión 21000)( xxv −= . Calcula:

a) La variación de la demanda si el precio pasa de 5 a 10 euros por unidad. ¿La

variación es positiva o negativa?

b) La variación media correspondiente a los intervalos [ ]10,5 , [ ]7,5 , [ ]15,5 ′ y [ ]015,5 ′ .

c) La variación instantánea en x = 5.

12. Dada la función 24)( 2 += xxf y el punto 0:

a) Calcula el valor del cociente incremental h

fhf )0()0( −+ para 1=h , 5,0=h ,

2,0=h y 01,0=h .

b) ¿Cuál es el valor de )0(f ′ .

13. Dada la función 13)( 2 −+= xxxf :

a) Calcula )1(f ′ mediante límites.

b) ¿Qué significado tiene )1(f ′ ?

c) Dibuja la recta tangente a esta parábola en el punto 1=x y otra recta cuya

pendiente sea )1(f ′ , ¿Cómo son ambas rectas?.

14. Dada la función 23)( xxf −= y el punto 1=x :

a) Completa el siguiente cuadro:

x 1 0,5 0,1 0,01

1)1()(

−−

xfxf


52

b) ¿Cuál es la pendiente de la tangente a la curva en 1=x ?

15. Dada la función polinómica de segundo grado cbxaxy ++= 2 , halla a, b y c si se

sabe que la gráfica de esta función pasa por los puntos (1,1) y (0,-2) y que la tangente a

la curva en (2,6) es la recta de ecuación: 4+= xy .

16. Halla la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de la función

⎩⎨⎧

≥+−<+

=0,20,73

)(xxxx

xf , en 0=x .

17. ¿Es la función 4)( −= xxf derivable en 4=x ?

18. Estudia la continuidad y derivabilidad de ⎩⎨⎧

>≤+−

=11,73

)(xxxx

xf en el punto

1=x .

19. Estudia la continuidad y derivabilidad de 4)( 2 −= xxf .

20. Estudia la derivabilidad de ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤+−

<=

110

0)(

2

2

xsiaxxsibx

xsixxf en los puntos 0=x y

1=x .

21. Dada la función 18)( 2 −+= xxxf , halla las funciones )(xf ′ , )(xf ′′ y )(xf ′′′ .

22. Dada la función 853)( 2 +−= xxxf , resuelve la ecuación 0)( =′ xf .

23. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) )32(4)( 2 xxxxf +−−=


53

b) 132)(+−

=x

xxf

c) xex

xf +=22)(

d) xxsenxxf

4cos4)(

++

−=

24. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) 2)(xexf

x

=

b) xexf =)(

c) xexxf )2()( 2 +=

25. Utilizando las reglas de derivación, calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) xx exexf += )log()(

b) x

xxxf 1)log()( 42 −=

c) 2

)( 2 +=

xexf

senx

d) 2cos2)( xarxtgxf ⋅=

e) xsenexf arctgx 2)( +=

26. Calcula la derivada de y respecto de x, en las siguientes funciones:

a) uy = , 832 +−= xxu

b) 3

2−

=u

uy , 4

1+

=x

u

27. Calcula la derivada de la función 4)12( += xy .

a) Utilizando la regla de la cadena

b) Sin utilizar la regla de la cadena

28. Derivada y simplifica las siguientes funciones:


54

a) senxsenxxf

−+

=11log)(

b) )1()(x

xtgxf +=

c) axarcsenxaxf +−= 22)(

d) xexf =)(

29. Halla la ecuación de la recta tangente a 1

12

2

−++

=x

xxy en 2=x .

30. Halla la ecuación de las rectas tangentes a senxy = en 0=x y π=x .

31. Halla las tangentes a la curva 23

2

2

+−= xxy , paralelas a la recta 12 −= xy .


55

8. Bibliografía

“Matemáticas. Álgebra-Cálculo-Geometría-Probabilidad” Serie Schaum. ED.

McGrauw-Hill.

“Matemáticas. 3º ESO. Ed. Edelvives.

“Matemáticas. 4º ESO. Opción B. Ed. MCGraw-Hill.

“Matemáticas. 4º ESO. Opción A. Ed. SM.

“Problemas de Matemáticas Especiales”(1989) Cuadernos de la UNED, nº 80.

“Problemas de Matemáticas Especiales”(1995). Mª E. Ballvé y otros. Ed. Sanz y

Torres. Madrid www.maristasleon.com/MATEMATICAS/4eso/mat4eso.htm

www.juntadeandalucia.es/averroes/iesbajoguadalquivir/mat/cuartob/mates4esob.htm


56

9. Prueba de autoevaluación final

1.- Dada la función:

a) Es discontinua en x=0.

b) Es discontinua en x=5.

c) Es discontinua en x=2.

d) Es continua en R.

2.- La función anterior:

a) Es derivable en x=2.

b) No es derivable en x=5.

c) No es derivable en x=0.

d) Es derivable en R.

3.- Existe recta tangente a la función de la pregunta primera en:

a) x=4.

b) x=5.

c) x=3.

d) Todos los puntos.

4.- La ecuación de la recta tangente a la función:

13)( 2 ++

=xxxxf


57

En el punto de abscisa 1=x es:

a) xy =

b) 02 =−+ yx

c) 23

−= xy

d) 1=y

5.- La función:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<=

3,33,

)(2

xx

xaxxf

Es continua en todos los puntos si:

a) 9/1=a

b) 3=a

c) 3/1=a

d) 0=a

6.- La función:

⎩⎨⎧

−≥−<

=1,1,

)(3

xxxx

xf

a) Es continua en R.

b) Es derivable en R

c) Es derivable en }{1−R .

d) Es discontinua en 1−=x

7.- Para que la función:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

≤<−

−≤−

=

1

112

11)( 2

2

xsibx

xsixa

xsiaxxf

Sea continua en 1−=x y 1=x , a y b deben valer:


58

a) 1=a y 1−=b .

b) 0=a y 1−=b

c) 2=a y 0=b

d) 1=a y 2/1−=b

8.- Si las tangentes a la curva de ecuación: 18)1()( 23 −+−+= xmmxmxxf

En los puntos A(1,f(1)) y B(2,f(2)) son paralelas, m es igual a:

a) m = 1.

b) m = 4.

c) m = -1.

d) m = 0.

9.- Para que la derivada de la función

22)(mxx

mxxf++

=

En 0=x valga 1, m debe valer.

a) 2.

b) -1.

c) 1.

d) 3.

10.- La derivada de la función:

11logcos)(

2

+−

−+=xxxexf xsen

Es:

a) xx

xsenexxf xsen

−+−⋅=′

11

cos2cos)(

b) xx

xsenexxf xsen 2cos

cos)( +−⋅=′


59

c) xx

xxsenexf x

−+

+−=′11

cos2)(

2cos

d) xx

xsenexf xsen

−+−=′

11

cos2)(


60

Soluciones a la Prueba de Autoevaluación final 1 → c

2 → b

3 → c

4 → d

5 → a

6 → a

7 → c

8 → d

9 → c

10 →a

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4. Continuidad y Derivabilidad