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DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN

Estudia la derivabilidad de la siguiente función: f(x)=!ex x ≤ 0

1- x2 0 < x ≤ 1x x > 1

1. Estudiar su continuidad

2. Calcular la función derivada, en los intervalos abiertos se deriva f(x) en los puntos de cambio estudiamos las derivadas laterales.

3. Estudiamos la derivabilidad en los intervalos abiertos

Si f no es continua en x=a

f no es derivable en x=a

Si f es continua en x=a

Podría ser o no derivable en x=a

Intervalos abiertos:(-∞,0) D=ℝ, continua de (-∞,0)(0,1) D=ℝ, continua de (0,1)(1,∞) D=ℝ, continua de (1,∞)Puntos de cambio:x=0f(0)=1lim

x→0- f(x)=1 , limx→0+ f(x)=1→ lim

x→0f(x)=1

Por lo tanto, f es continua en x=0x=1f(1)=0

limx→1− f(x)=0 , lim

x→1+ f(x)=1→ no existe limx→1

f(x)

Por lo tanto, f no es continua en x=1 (Disc. Inev. Salto finito)

f(x) ES CONTINUA EN ℝ-{1} , así que f(x) no será derivable en x=1

f’(x)=

ex x < 0x=0

-2x 0 < x < 1∄ x=11 x > 1

Para calcular f’(0) debemos calcular las derivadas laterales, y sólo en el caso en el que coincidan ese será el valor de la derivada, en caso contrario no existirá f’(0)

f′ 0- = e0 =1f′ 0+ = -2· 0 =0Por lo tanto no existe f’(0)

f’(x)=

ex x < 0∄ x=0

-2x 0 < x < 1∄ x=11 x > 1

Intervalos abiertos:(-∞,0) D=ℝ, derivable en (-∞,0)(0,1) D=ℝ, derivable en (0,1)(1,∞) D=ℝ, derivable en (1,∞)

f(x) ES DERIVABLE EN ℝ-{0,1}

f’(x)

f(x)

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DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN

Estudia la derivabilidad de la función: f(x)=|x2 - 4|=x2-4 x < -2

-x2+4 -2 ≤ x ≤ 2x2-4 x > 2

1. Estudiar su continuidad

2. Calcular la función derivada, en los intervalos abiertos se deriva f(x) en los puntos de cambio estudiamos las derivadas laterales.

3. Estudiamos la derivabilidad en los intervalos abiertos

Si f no es continua en x=a

f no es derivable en x=a

Si f es continua en x=a

Podría ser o no derivable en x=a

Intervalos abiertos:(-∞,-2) D=ℝ, continua de (-∞,-2)(-2,2) D=ℝ, continua de (-2,2)(2,∞) D=ℝ, continua de (2,∞)Puntos de cambio:x=-2f(-2)=0

limx→-2- f(x)=0 , lim

x→-2+ f(x)=0→ limx→-2

f(x)=0

Por lo tanto, f es continua en x=-2x=2f(2)=0

limx→2− f(x)=0 , lim

x→2+ f(x)=0→ limx→2

f(x)=0

Por lo tanto, f es continua en x=2

f(x) ES CONTINUA EN ℝ

f’(x)=

2x x < -2x=-2

-2x -2 < x < 2x=2

2x x > 2

f′ -2- = -4f′ -2+ = 4Por lo tanto no existe f’(-2)

f’(x)=

2x x < -2∄ x=-2

-2x -2 < x < 2∄ x=22x x > 2

Intervalos abiertos:(-∞-2) D=ℝ, derivable en (-∞,2)(-2,2) D=ℝ, derivable en (-2,2)(2,∞) D=ℝ, derivable en (2,∞)f(x) ES DERIVABLE EN ℝ-{-2,2}

f′ 2- = -4f′ 2+ = 4Por lo tanto no existe f’(2)

f’(x)

f(x)