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Repartido 5 Profesor Fernando Díaz Matemática A 3ro E.M.T. Iscab 2016 1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. Definición: Se llama derivada de una función f(x) en un punto x=a, y se representa (a) x d f d (a) f D (a) ´ f , al siguiente límite (si existe): h ) a ( f ) h a ( f lim a x ) a ( f ) x ( f lim ) a ( f 0 h a x Ejemplo: Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo: f (x) = 2x 2 + 5x Solución: h h h h lím h h h lím h f h f lím f h h h 18 5 10 ) 4 4 ( 2 18 ) 2 ( 5 ) 2 ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ' 2 0 2 0 0 13 ) 13 2 ( ) 13 2 ( 13 2 18 5 10 2 8 8 0 0 2 0 2 0 h lím h h h lím h h h lím h h h h lím h h h h Interpretación geométrica: El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente imposible encontrar propiedades generales para todas. Si nos restringimos a las funciones continuas ya pueden establecerse algunas propiedades importantes como los teoremas de Bolzano y de Weierstrass. Pero en las funciones continuas todavía se plantean muchos problemas como puede ser la determinación de la recta tangente en un punto de la gráfica. Con la definición intuitiva de que la tangente es la recta que toca a la curva sólo en ese punto la recta de la primera figura no sería tangente, mientras que en las otras figuras habría varias tangentes (alguna bastante extraña) en un mismo punto.

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Repartido 5

Profesor Fernando Díaz Matemática A 3ro E.M.T. Iscab 2016

1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN

GEOMÉTRICA.

Definición: Se llama derivada de una función f(x) en un punto x=a, y se representa

(a)xd

fd(a)fD(a)´f , al siguiente límite (si existe):

h

)a(f)ha(flim

ax

)a(f)x(flim)a(f

0hax

Ejemplo: Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo: f (x) = 2x2 + 5x

Solución:

h

hhhlím

h

hhlím

h

fhflímf

hhh

18510)44(218)2(5)2(2)2()2(2'

2

0

2

00

13)132()132(13218510288

00

2

0

2

0

hlím

h

hhlím

h

hhlím

h

hhhlím

hhhh

Interpretación geométrica:

El conjunto de funciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente imposible

encontrar propiedades generales para todas. Si nos restringimos a las funciones continuas ya

pueden establecerse algunas propiedades importantes como los teoremas de Bolzano y de

Weierstrass. Pero en las funciones continuas todavía se plantean muchos problemas como puede

ser la determinación de la recta tangente en un punto de la gráfica. Con la definición intuitiva de

que la tangente es la recta que toca a la curva sólo en ese punto la recta de la primera figura no

sería tangente, mientras que en las otras figuras habría varias tangentes (alguna bastante extraña)

en un mismo punto.

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Lo cierto es que esa definición intuitiva sólo es válida para la circunferencia y curvas similares:

cerradas y convexas (“sin baches”). Para el caso general hace falta una nueva definición que sea

válida siempre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que ésta pueda aplicarse. Y

esa definición es la siguiente:

“La recta tangente a una curva en un punto P(a, f(a)) es la posición límite hacia la que

tienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto Q de la curva, cuando el

segundo punto Q se acerca a P”.

Para poder hallar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas A(a, f(a)),

si la escribimos en forma punto-pendiente:

y – f(a) = m(x – a)

necesitamos saber el valor de la pendiente m.

Para ello, si tenemos en cuenta que la recta tangente es la posición límite de las secantes,

entonces su pendiente será el límite de las pendientes de las secantes, con lo que:

Punto Fijo Punto Variable Recta Ángulo Pendiente

A……………….P1.........................sec nº 1….........α1….........h

f(a)h)f(aαtgm 11

A……………….P2.........................sec nº 2….........α2….........h

f(a))f(αtgm 22

ha

………………......................................................................................................

………………. …................................................................................................

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Cuando esa situación la llevemos al límite, es decir, cuando acerquemos P hacia A, tendremos:

A…………….A……………......tangente...........α….... (a)´fh

f(a)h)f(alimαtgm

0h

Por tanto, la derivada de una función f(x) en un punto “a” puede interpretarse

geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el

punto (a, f(a)).

Interpretación física:

El cálculo de derivadas o cálculo diferencial surge en el siglo XVII al tratar de resolver una serie

de problemas que aparecían en las Matemáticas y en la Física, como son (entre otros):

- la definición de velocidad

- la determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado.

- el cálculo de los valores máximos y mínimos que alcanza una función.

En estos y otros problemas similares de lo que se trata, en el fondo, es de estudiar, de

medir y cuantificar, la variación de un determinado fenómeno, la rapidez con que se produce un

cambio.

La tasa de variación media (TVM), o cociente incremental, nos da una primera idea de la

rapidez con que varía un fenómeno en un intervalo determinado. Se define como el cociente:

Δx

Δy

Δx

f(x)Δx)f(x

h

)f(xh)f(x

xx

)f(xf(x)

ab

f(a)f(b), 00

0

0

baTVM

es decir, nos dice cuanto variaría la función por cada unidad de variación de la variable

independiente dentro del intervalo considerado suponiendo que esa variación fuese uniforme en

todo el intervalo.

La tasa de variación media coincide, evidentemente, con el valor de la pendiente de la recta que

une los puntos de coordenadas (x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)).

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El valor obtenido al calcular la T.V.M. de una función en un intervalo determinado no

quiere decir que en todo el intervalo se haya mantenido ese porcentaje de variación; de hecho, no

suele ser así. Además, lo que interesa normalmente es saber lo que ocurre en un punto

determinado: la velocidad en un instante dado, la trayectoria que seguirá un disco al ser lanzado,

el punto en que un proyectil alcanza su máxima altura, etc.

Por tanto, el problema es estudiar la variación instantánea (T.V.I.) de la función en un

punto determinado x0. Para ello lo que haremos será estudiar su variación en intervalos [x0, x] (o

[x, x0]) cada vez mas pequeños haciendo que x se aproxime a x0. En el momento en que x

coincida con x0 la T.V.M. se convertirá en la tasa de variación instantánea que es lo que

realmente nos interesa.

Pero el problema es que en el cociente que define la T.V.M. al llegar a coincidir x con x0

el denominador valdría 0. Por ello se define la tasa de variación instantánea como:

0

0

xx

00

0h0

xx

)f(xf(x)lim

h

)f(xh)f(xlim)(

0

xTVI

Y este límite es lo que hemos llamado derivada de la función f en el punto x0.

Por tanto la derivada puede interpretarse también como la tasa de variación instantánea, es

decir, como la razón de cambio instantánea de una función.

Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto. Ecuación de la recta

normal.

Como vimos en la interpretación geométrica de la derivada, ésta es la pendiente de la

recta tangente a la función (realmente a la gráfica de la función) en el punto de coordenadas

))(,( afaP , por lo que la ecuación de la recta tangente será:

)).((')( axafafy

NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación de la recta en

la forma punto-pendiente: ).( 11 xxmyy

La normal a una curva en un punto ))(,( afaP es la perpendicular a la recta tangente

en dicho punto.

Si la pendiente de la tangente es ),(' afmt la pendiente de la normal será

)(' afm N

1 (ya que el producto de ambas debía ser -1) y la ecuación de la recta normal

nos viene dada por:

)()('

)( axaf

afy 1

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Si f ´(a) = 0, la recta tangente será horizontal y de ecuación y = f(a). En ese caso la recta

normal es vertical y de ecuación x = a.

Ejemplos.

1. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por 3)( xxf en el punto

de abscisa x = 2.

Calculamos la derivada de la función dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia

definición tendremos:

3 3 3 2 2 3 3

0 0 0

(2 ) (2) (2 ) 2 (2 3.2 3.2 ) 2'(2) lím lím lím

h h h

f h f h h h hf

h h h

2 2 3 2 22 2 2

0 0 0

3.2 3.2 .(3.2 3.2 )lím lím lím(3.2 3.2 ) 3.2 12h h h

h h h h h hh h

h h

En consecuencia, 12

1

)2('

1y 12)2(' 12)2('

fmfmf Nt

Una vez que hemos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva,

podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la forma punto-

pendiente:

Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas )8,2())2(,2( f , las

ecuaciones de las rectas pedidas son:

Ecuación de la recta tangente: 162 )2.(128 x yxy

Ecuación de la recta normal: 6

49

12

1 )2(

12

18 x yxy

2. Dada la parábola de ecuación ,1282 xxy hallar el punto donde la tangente es paralela

al eje de abscisas.

Calculamos la derivada de la función dada en un punto cualquiera x:

2 2

0 0

( ) ( ) (( ) 8 12) ( 8 12)'( ) lím lím

h h

f x h f x x h x x xf x

h h

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2 2 2 2

0 0

( 2 8 8 12) ( 8 12) 2 8lím límh h

x xh h x h x x xh h h

h h

0 0

.(2 8)lím lím(2 8) 2 8h h

h x hx h x

h

Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: si

tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada

a cero nos queda:

4 082 0)(' xxxfmt

Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenada correspondiente del punto la

obtenemos sustituyendo en la función: 4124.84)4( 2 f

En consecuencia, el punto de tangencia tiene por coordenadas (4, 4).

2.- DERIVADAS LATERALES.

Como una derivada es un límite, para que exista, han de existir y coincidir los límites laterales

que, en este caso, se llaman derivadas laterales de la función en el punto:

Derivada por la izquierda.

Se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si

es que existe:

)('

af =h

afhaf

h

)()(lim

0

o )('

af =ax

afxflím

ax

)()(

Derivada por la derecha:

Se llama derivada por la derecha de la función f en el punto x = a al siguiente límite, si es que

existe:

).('

af =h

afhaflimh

)()(

0

o ).('

af = ax

afxf

ax

)()(lím

Evidentemente, una función es derivable en un punto sí, y sólo sí, es derivable por la

izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales son iguales.

Si las derivadas laterales existen pero no coinciden, se debe a que la función tiene un

punto anguloso.

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Ejemplo:

Este es el caso de la función xxf )( que en el punto x = 0 tiene por derivadas laterales

.1)0('y 1)0(' ff

Derivabilidad en un intervalo.

Una función es derivable en un intervalo abierto ),( ba si es derivable en cada uno de

sus puntos.

Una función es derivable en un intervalo cerrado ba, si es derivable en cada uno de

los puntos del intervalo abierto ),( ba y derivable por la derecha en ax y por la izquierda en

.bx

Ejemplo

En la gráfica podemos observar que la

función es derivable en el intervalo (n,p)

pero no en el (m,p) ya que en este último

intervalo contiene un punto anguloso

Relación entre continuidad y derivabilidad.

La derivabilidad es una propiedad de las funciones más restrictiva que la continuidad, ya

que existen funciones continuas que no son derivables.

La implicación de que una función derivable es continua se demuestra en el siguiente

TEOREMA: "Si una función es derivable en un punto (derivada finita), entonces es

continua en dicho punto"

En consecuencia, las funciones derivables forman un subconjunto de las funciones

continuas.

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Demostración:

f será continua en a si: )a(f)x(flim)3),a(f)2),x(flim)1axax

Por ser derivable en a ax

)a(f)x(flim)a(´f

ax

, luego tiene que existir todo lo que interviene

en ese límite, en concreto f(a).

Además, en caso de existir el límite, será:

00)a(´f)ax(limax

)a(f)x(flim

)ax(ax

)a(f)x(flim)a(f)x(flim)a(f)x(flim

axax

axaxax

por tanto existe )x(flimax

y además coincide con f(a), con lo que se cumplen las tres

condiciones así que f es continua en a.

NOTA: Sin embargo, el recíproco de este teorema no es cierto: Una función continua en

un punto no es necesariamente derivable en dicho punto.

Ejemplo: Esto podemos verlo fácilmente estudiando la función xxf )( en el punto x = 0.

En efecto, esta función es continua en x = 0

0)(lím 0)(lím)(lím

0)(lím)(lím

0

00

00

xfxxf

xxf

x

xx

xx

Como f(0) = 0, entonces f es continua en x = 0.

Veamos ahora la derivabilidad en x = 0:

)0(')0('

1lím)0()0(

lím)0('

1lím)0()0(

lím)0('

00

00

ff

h

h

h

fhff

h

h

h

fhff

hh

hh

Por tanto, la función ( ) | |f x x no es derivable en el punto x = 0.

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3.- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS

Hasta ahora sólo hemos estudiado la derivada de una función en un punto y el resultado

es un número real por tratarse de un límite.

Si una función f es derivable en un subconjunto 'D de su dominio D ( 'D D ), podemos

definir una nueva función que asocie a cada elemento de 'D su derivada en ese punto:

' '' / ' '( )f fD x D f x

Esta nueva función que asigna a cada elemento su derivada correspondiente recibe el

nombre de FUNCIÓN DERIVADA o, simplemente, DERIVADA y se representa por f¨(x)

Ejemplo:

Halla la derivada de 2xy . A continuación, calcula la derivada en el punto x=2.

xdx

dxEntonces

xhx

h

hxh

h

hxh

h

xhxhx

h

xhx

dx

dxy

h

hhhh

2:

2)2(lim

)2(lim

2lim

2lim

)(lim'

2

0

0

2

0

222

0

22

0

2

En x = 2 la derivada es: 2(2)=4

Calcula la derivada de 3xy

2

3

233223

0

33

0

3

3:

333

lim)(

lim'

xdx

dxEntonces

xh

xhxhhxx

h

xhx

dx

dxy

hh

Derivadas sucesivas

Ya hemos visto que la derivada de una función en un punto, si existe, es el valor de la pendiente

de la recta tangente a la curva de la función en ese punto. Si esto se generaliza a todos los puntos,

hemos visto que obtenemos la función derivada f´(x).

Si a esta función (derivada primera) la volvemos a derivar, se obtiene otra función derivada,

llamada derivada segunda ( xf ).

A partir de la función derivada primera se puede definir, si existe, también su derivada

que recibe el nombre de derivada segunda y se representa por '.'f

Análogamente se definirían la derivada tercera, cuarta, quinta,..., n-ésima, y se

representarían por )( , ),( ),( ),(''' (((xfxfxfxf

n54

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Otras formas de representar las derivadas son:

n

n

n

n

fdx

fdf

dx

fdf

dx

df

fDfDfDDf

(

2

2

32

, , '' ,'

, , , ,

Ejemplo: Dada la función: 33xf x

Tenemos que.

29xf x .

xf x 18

Si continuamos con este proceso, obtendremos la derivada tercera, cuarta, quinta, etc.

0

0

18

xV

xIV

x

f

f

f

Observen que, a partir de la cuarta derivada, las siguientes siempre van a ser cero, en este caso

particular que hemos tomado como ejemplo.

Ejemplo:

Consideremos la función senxf x , y calculemos las cuatro primeras derivadas:

xf x cos senxf x xf x cos senxf xIV

A partir de aquí vuelven a repetirse las funciones derivadas, ya que la cuarta derivada, coincide

con la función original.

Ejercicios de aplicación

1) Hallar las cuatro primeras derivadas de 123 24 xxf x

2) Hallar las primeras tres derivadas de x

xf 2

3) Hallar las primeras cinco derivadas de xsenxf x cos12

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4.- REGLAS DE DERIVACIÓN. REGLA DE LA CADENA.

Obtener la expresión de la función derivada de una función dada implica calcular el

límite que define a esa función derivada en un punto genérico usando la expresión que define a la

función original; es decir, calcular

h

f(x)h)f(xlim(x)´f´y

0h

Pero calcular ese límite cada vez que deseemos obtener la derivada de una función resulta

bastante engorroso y, por ello, se obtienen (aunque no las demostraremos) unas expresiones o

fórmulas generales que permiten obtener fácilmente la derivada de cualquier función. Esas

fórmulas o reglas de derivación son las siguientes:

1.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE: Una función constante es siempre

derivable y su derivada vale siempre 0.

f(x) = k f´ (x) = 0

2.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD: La función identidad es siempre derivable y

su derivada vale siempre 1.

f(x) = x f´ (x) = 1

3.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE NATURAL: La función

potencial de exponente natural es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = xn f´ (x) = n xn – 1

4.- DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES: Si dos funciones f y g son derivables la

función suma f + g también es derivable y su derivada es la suma de las derivadas.

(f + g)´ (x) = f´ (x) + g´ (x)

5.- DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES: Si dos funciones f y g son derivables

la función producto f g también es derivable y su derivada vale

(f g)´ (x) = f´ (x) · g(x) + f(x) · g´ (x)

Como caso particular tenemos que si una función f es derivable el producto de un número k por

la función f también es derivable y su derivada vale

(k · f)´ (x) = k f´ (x)

En el caso de tres funciones sería:

(f g h)´ (x) = f´ (x)·g(x)·h(x) + f(x)·g´ (x)·h(x) + f(x)·g(x)·h´ (x)

y así sucesivamente.

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6.- DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES: Si dos funciones f y g son derivables,

en los puntos en que la segunda sea distinta de cero la función cociente también es derivable y su

derivada vale

2g(x)

(x)g´f(x)g(x)(x)f´(x)

g

f

Como caso particular tenemos que si una función g es derivable la función g

1 es derivable en

todos los puntos en que g sea distinta de cero y su derivada vale

2g(x)

(x)g´(x)

g

1

7.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO:

La función potencial de exponente entero negativo es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = x – n f´ (x) = - n · x - n – 1

8.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA: La función logarítmica f(x) = ln (x), que

sólo está definida para los números positivos, es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = ln x f´ (x) = x

1

9.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE REAL: La función

potencial de exponente real f(x) = x a es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = x a f´ (x) = a · x a – 1

Como caso particular tenemos la derivada de la raíz n-ésima (que se deduciría escribiéndola

como potencia de exponente fraccionario y derivando):

n 1n

n

xn

1(x)fxf(x)

Y para la raíz cuadrada: x2

1)x´(fx)x(f

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10.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA DE BASE a: La función logarítmica de

base un número real a (positivo y distinto de 1), que está definida sólo para números positivos, es

siempre derivable y su derivada vale

elogx

1

alnx

1(x)fxlogf(x) aa

11.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a: La función exponencial de

base un número real a (positivo y distinto de 1) es siempre derivable y su derivada vale

elog

aalna(x)faf(x)

a

xxx

Como caso particular podemos considerar la función exponencial de base el número e, que suele

llamarse simplemente función exponencial, cuya derivada es

f(x) = ex f´ (x) = ex

Ésta es la única función que coincide con su derivada.

12.- DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

a) La función seno es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = sen x f´ (x) = cos x

b) La función coseno es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = cos x f´ (x) = - sen x

c) La función tangente es derivable siempre que exista y su derivada vale

f(x) = tg x xtg1xsecxcos

1(x)f 22

2

13.- DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:

a) La función arco seno, definida en [-1,1], es derivable en (-1,1) y su derivada vale

f(x) = arc sen x 2x1

1(x)f

b) La función arco coseno, definida en [-1,1], es derivable en (-1,1) y su derivada vale

f(x) = arc cos x 2x1

1(x)f

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c) La función arco tangente es siempre derivable y su derivada vale

f(x) = arc tg x 2x1

1(x)f

14.- DERIVADA DE UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. REGLA DE LA CADENA:

Dadas dos funciones f y g, si la función f es derivable en un punto x y la función g es derivable

en el punto f(x), la función compuesta gf es derivable en el punto x y su derivada vale

(g◦f)´ (x) = g´ [f(x)] · f´ (x)

15.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN RECÍPROCA O INVERSA: Si una función f es inyectiva

y derivable, con derivada distinta de cero, la función recíproca o inversa f - 1 también es

derivable y su derivada vale

(x)ff

1(x)f

1

1

16.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA: Es un método que permite calcular fácilmente muchas

derivadas y que consiste en tomar logaritmos neperianos en los dos miembros de la función y

derivar a continuación.

Ejemplo: y = x sen x xsenx

1xlncosxy

y

1

Ln (y) = ln (x sen x) yxsenx

1xlnxcosy

Ln (y) = sen x · ln x xsenxxsen

x

1xlnxcosy

17.- DERIVACIÓN IMPLÍCITA: Es un método que se emplea cuando resulta difícil escribir la

función a derivar en la forma y = f(x).

Ejemplo: 2x·y2 + 3y = 5

2y2 + 2y·y´·2x + 3y´ = 0

34xy

2yy

2

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ANEXO: Reglas de Derivación:

OPERACIONES REGLA

SUMA Y DIFERENCIA ( ) ' ' 'f g f g

PRODUCTO ( ) ' ' 'f g f g f g

COCIENTE 2

'. . ''

f f g f g

g g

PRODUCTO POR UN Nº ( . ) ' . 'k f k f

COMPOSICIÓN ( ) ' '( ( )) '( )g f g f x f x

A modo de ejemplo, podríamos comprobarlas con la suma y diferencia:

Suponiendo que las funciones f y g sean derivables, tenemos:

0

( )( ) ( )( )( ) '( ) lím

h

f g x h f g xf g x

h

)(')('

)()()()()()()()(

)()()()()()()()(

000

00

xgxf

h

xghxglím

h

xfhxflím

h

xghxg

h

xfhxflím

h

xghxgxfhxflím

h

xgxfhxghxflím

hhh

hh

Derivada del producto de una constante por una función.

0

( )( ) ( )( )( ) '( ) lím

h

k f x h k f xk f x

h

0 0 0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )lim lím lím '( )h h h

k f x h f xk f x h k f x f x h f xk k f x

h h h

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Derivadas de Funciones Elementales:

T I P O S F O R M A S

S I M P L E S COMPUESTAS

Constante: kxf )( 0)(' xf

F. Identidad: xxf )( 1)(' xf

Potencial 1. nn xnDx '.. 1 ffnDf nn

Logarítmico x

LxD1

)( f

fLfD

')(

ex

xD aa log1

log ef

ffD aa log

'log

Exponencial

xx eeD )( ff efeD '.)(

LaaaD xx .)( LaafaD ff .'.)(

Potencial-exponencial LffgffgfD ggg .'.'.. 1

Raíz Cuadrada x

xD2

1

f

ffD

2

'

Seno xxD cossen fffD cos'sen

Coseno xxD sen cos fffD sen 'cos

Tangente

xxD 2tg1 tg )tg1'.( tg 2 fffD

xxD 2sec tg fffD 2sec'. tg

xxD

2cos

1 tg

f

ffD

2cos

' tg

Cotangente

)ctg1( ctg 2 xxD )ctg1'.( ctg 2 fffD

xxD 2cosec ctg fffD 2cosec' ctg

xxD

2sen

1 ctg

f

ffD

2sen

' ctg

Arco seno 21

1arcsen

xxD

21

'arcsen

f

ffD

Arco coseno 21

1arccos

xxD

21

'arccos

f

ffD

Arco tangente 21

1 arctg

xxD

21

' arctg

f

ffD

Arco cotangente 21

1 arcctg

xxD

21

' arcctg

f

ffD

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EJERCICIOS RESUELTOS.

Dada la función :f definida por

xx

xx

xx

xf

3 si ,6

30 si ,

0 si ,

)( 2

2

Determina los puntos en los que la función f es derivable y en cada uno de ellos calcula su

derivada.

Nuestra función f es una función definida a trozos en cada uno de los cuales está definida

como una función cuadrática o como función lineal. Tanto una como la otra son

funciones continuas y derivables en todo y, por tanto, en el trozo en el que están

definidas.

En consecuencia, la función f es continua y derivable en {0,3} por serlo las funciones

mediante las que está definida.

Estudiemos la continuidad y la derivabilidad de la función f en los puntos x = 0 y x = 3.

En x = 0:

Como en este punto hay un cambio de definición de la función, para estudiar la existencia

de límite en él tendremos que calcular los límites laterales de la función:

0)(lím0)(lím)(lím

0)(lím)(lím

02

00

2

00

xfxxf

xxf

x

xx

xx

Por otra parte, 0)0( f y la función sería continua en el punto x = 0.

Estudiemos la derivabilidad: tendremos que calcular las derivadas laterales

0)0('

0)(0

0

0

)0()()0('

0)(0

0

0

)0()()0('

0

2

00

0

2

00

f

xlímx

xlím

x

fxflímf

xlímx

xlím

x

fxflímf

xxx

xxx

En x = 3.

Continuidad: operamos de igual manera que en x = 0.

)(lím existe no )(lím)(lím18)6(lím)(lím

9)(lím)(lím

333

33

2

33 xfxfxfxxf

xxf

xxx

xx

xx

Por tanto, la función no es continua en x = 3 (presenta en este punto una discontinuidad

inevitable de salto finito) y, en consecuencia, será no derivable en él.

La derivada de la función f nos vendría dada por:

x

xx

x

xx

xf

3 si ,6

30 si ,2

0 si ,0

0 si ,2

)('

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Estudia, según los valores del parámetro a, la continuidad y derivabilidad de la función

:f definida por

2 si

2 si )(

2

2

xxa

xaxxxf

Para cualquier valor distinto de 2, la función f está definida como función cuadrática en

cada uno de los segmentos, para cualquier valor del parámetro a. Como las funciones

cuadráticas son continuas y derivables en todo , también lo serán en cualquier intervalo

abierto de y, por tanto, la función f será continua y derivable, para cualquier valor del

parámetro a, en {2}.

Estudiemos la continuidad de f en el punto 2:

Para que sea continua tiene que existir límite en el punto 2 y, para ello, los límites laterales

tienen que ser iguales:

4)(lím)(lím

24)(lím)(lím

2

22

2

22

axaxf

aaxxxf

xx

xx

Igualando estos límites laterales obtenemos:

8 424 aaa

En consecuencia, la función sería continua en el punto 2 si .8a Para este valor del

parámetro la función nos queda de la forma:

2 si 8

2 si 8)(

2

2

xx

xxxxf

y su derivada, salvo en el punto 2, es:

2 si 2

2 si 82)('

xx

xxxf

Calculamos la derivada en el punto 2:

2 2

2 2

'(2 ) lím '( ) lím(2 8) 4

'(2 ) '(2 ) '(2) 4'(2 ) lím '( ) lím( 2 ) 4

x x

x x

f f x x

f f ff f x x

La función es derivable en el punto x = 2.

En resumen:

Si ,8a la función es continua y derivable en R {2}.

Si ,8a la función es continua y derivable en R .

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Hallar la ecuación de la tangente a las curvas en los puntos que se indican:

83)( 2 xxf en el punto P(1,11).

1)( 5 xxf en el punto P(0,1)

12 2

3)( xxf en el punto de abscisa x = 0.

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xexxf .)( en el punto de abscisa x = 0.

2. Escribid la ecuación de la recta tangente a la hipérbola 1 yx en el punto de abscisa x = 3.

3. ¿En qué punto de la gráfica de la función 86)( 2 xxxf la tangente es

paralela a la bisectriz del primer cuadrante?

4. Determinar los puntos de la curva 1599 23 xxxy en los cuales la tangente es

paralela a la recta .512 xy

5. Buscar los puntos de la curva 1137 234 xxxxy que tienen la tangente formando

un ángulo de 45º con el eje de abscisas.

6. Estudiar la derivabilidad de la función

1 si 2

1 si 1)(

x

xxf Dibujar la gráfica.

7. Demostrar que la función 2)( xxf no puede tener tangente en el punto de abscisa

2x

8. Dada la función ,)( xxxf hallar ).(''y )(' xfxf Representar gráficamente los

resultados.

9. Estudia la derivabilidad de la función 2)1()( xxf en el intervalo .1,1

10. Estudia la derivabilidad de la función xxf cos)( en el intervalo .,0

11. Halla la derivada de la función

0 si 0

0 si 1

sen)(

2

x

xx

xxf

¿Es 'f continua en ?0x ¿Es 'f derivable en ?0x

12. Calcula m y n para que la función

1 si

1 si 5)(

2

2

xnxx

xmxxxf

sea derivable en todo .

13. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones y, en caso de no sean derivables en algún

punto, dar el valor de sus derivadas laterales:

3 si 3

3 si 13)(

2 xxx

xxxf

1 si 22

1 si 1)(

2

xx

xxxf

14. Consideremos la función ).()( xgxxf Sabiendo que g(x) es continua en 0, probar que

f(x) es derivable en 0 y calcular su derivada. (No se puede suponer que g es derivable; puede

no serlo).

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DERIVABILIDAD. EJERCICIOS

1. Relaciona la gráfica de cada función dada en las figuras a)-d) con las gráficas de sus

derivadas I-IV. Explica las razones de su elección.

2. Para cada una de las siguientes funciones, traza la gráfica de su derivada.

3. Determina la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a. 525163)( 34 xxxxf b. 52 8516)( xxxf c. )83()( 2 xsenxf

d. 2

4 153)(

x

xxf

e. xxxf cos)( 2 f. ))1(tan()( 2 xsenxf

g. x

xxxf

15)(

23 h. )cos(1)53()( 2xxxxf i.

x

senxxxf

tan)(

3

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4. Encuentra la ecuación de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en el origen.

5. Si la recta tangente a )(xfy en (4,3), pasa por el punto (0,2) encuentra )4(')4( fyf

6. Dibuja una función para la cual 1)2('0)1(',3)0(',0)0( fyfff

7. Si xxxf 53)( 2 encuentra )2('f y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la

función en el punto (2,2)

8. Para las siguientes funciones halla la derivada en el punto que se indica

)1,1(;2))1,2(;4))(())1,8(;5) 3323

2

3

2

xyyxcxyxyxbyxa

9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la circunferencia 2522 yx en los

puntos (4,3) y (-3,4)