Derivabilidad de Funcionesficus.pntic.mec.es/dbab0005/matematicas1/Unidad7/Derivabilidad.pdf · Calcula la derivada de f(x) = 1 x en x = 0. Como la función no está definida en

Derivabilidad de Funciones

UNIDAD DIDACTICA 7

1o

de Bachillerato CCSS

Diana Barredo Blanco1

1Profesora de Matematicas

1. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCION

1. Derivabilidad de una funcion

1.1. Derivabilidad de una funcion en un punto

Definicion : Una funcion se dice derivable en un punto x = a, si existe y es finito el lımite:

lımx→a

f(x) − f(a)

x − a

si el lımite anterior no existe, o bien no es finito, la funcion se dice NO derivable en x = a.

Definicion : Si una funcion es derivable en x = a, se define la derivada de f en x = a, y se denota porf ′(a), al valor del lımite anterior:

f ′(a) = lımx→a

f(x) − f(a)

x − a

si la funcion no es derivable en x = a, entonces @ f ′(a)

1.2. Condiciones necesarias para la derivabilidad

Las condiciones necesarias para que una funcion sea derivable en x = a son:

– Que la funcion este definida en x = a, es decir, que ∃f(a)

– Que la funcion sea continua en x = a, es decir, que ∃ lımx→a

f(x) = f(a)

De las anteriores condiciones necesarias se deduce que solo estudiaremos la derivabilidad en aquellospuntos donde la funcion este definida y sea continua, pues en el resto de los puntos la funcion, directa-mente, no puede ser derivable.

Ejemplo:

Calcula la derivada de f(x) =1

xen x = 0.

Como la funcion no esta definida en x = 0, no puede ser derivable en dicho valor, y por lo tanto no existela derivada de esta funcion en x = 0.

@ f ′(0)

Ejemplo:

Calcula la derivada de f(x) = 5x − x2 en los puntos de abscisas x = 4 y x = 5.

La funcion f(x) = 5x − x2 esta definida y es continua en cualquier punto (por ser polinomica), luegotambien esta definida y es continua en los puntos pedidos. Estudiamos la derivabilidad en x = 4 y x = 5.

Para x = 4 :

Por definicion:

f ′(4) = lımx→4

f(x) − f(4)

x − 4

Como f(x) = 5x − x2 =⇒ f(4) = 5 · 4 − 42 = 4, y sustituyendo:

f ′(4) = lımx→4

f(x) − f(4)

x − 4= lım

x→4

(5x − x2) − (4)

x − 4= lım

x→4

5x − x2 − 4

x − 4=

0

0=⇒ (simplificamos)

2 Autor: Diana Barredo

1o Bachiller (CCSS) 1. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCION

f ′(4) = lımx→4

5x − x2 − 4

x − 4= lım

x→4

(−x + 1)(x − 4)

(x − 4)= lım

x→4(−x + 1) = −3

Luego, como el lımite anterior existe y es finito, la funcion es derivable en x = 4, y su valor es laderivada de la funcion en x = 4, es decir:

∃ f ′(4) = −3

Para x = 5 :

Por definicion:

f ′(5) = lımx→5

f(x) − f(5)

x − 5

Como f(x) = 5x − x2 =⇒ f(5) = 5 · 5 − 52 = 0, y sustituyendo:

f ′(5) = lımx→5

f(x) − f(5)

x − 5= lım

x→5

(5x − x2) − (0)

x − 5= lım

x→5

5x − x2

x − 5=

0


f ′(5) = lımx→5

5x − x2

x − 5= lım

x→5

−x(x − 5)

(x − 5)= lım

x→5(−x) = −5


∃ f ′(5) = −5

Ejemplo:

Halla la derivada de f(x) =3

x − 2en los puntos de abscisas x = −1, x = 1, x = 2

La funcion es racional luego, esta definida y es continua en cualquier valor, salvo los que anulan eldenominador.

Para x = 2 :

Para x = 2, la funcion no es derivable pues no esta definida, luego:

@ f ′(2)

Para x = 1 :

Por definicion:

f ′(1) = lımx→1

f(x) − f(1)

x − 1

Como f(x) =3

x − 2=⇒ f(1) =

3

1 − 2=

3

1 − 2=

3

−1= −3, y sustituyendo:

f ′(1) = lımx→1

f(x) − f(1)

x − 1= lım

x→1

3

x − 2− (−3)

x − 1= lım

x→1

3 + 3x − 6

(x − 1)(x − 2)=

0


f ′(1) = lımx→1

3 + 3x − 6

(x − 1)(x − 2)= lım

x→1

3x − 3

(x − 1)(x − 2)= lım

x→1

3(x − 1)

(x − 1)(x − 2)= lım

x→1

3

x − 2=

3

1 − 2= −3


∃ f ′(1) = −3

Autor: Diana Barredo 3


Para x = −1 :

Por definicion:

f ′(−1) = lımx→−1

f(x) − f(−1)

x − (−1)= lım

x→−1

f(x) − f(−1)

x + 1

Como f(x) =3

x − 2=⇒ f(−1) =

3

−1 − 2=

3

−3= −1, y sustituyendo:

f ′(−1) = lımx→−1

f(x) − f(−1)

x + 1= lım

x→−1

3

x − 2− (−1)

x + 1= lım

x→−1

3 + x − 2

(x + 1)(x − 2)=

0

0⇒ (simplificar)

f ′(−1) = lımx→−1

3 + x − 2

(x + 1)(x − 2)= lım

x→−1

x + 1

(x + 1)(x − 2)= lım

x→−1

1

x − 2=

1

−1 − 2=

1

−3= −1

3

Luego, como el lımite anterior existe y es finito, la funcion es derivable en x = −1, y su valor es laderivada de la funcion en x = −1, es decir:

∃ f ′(−1) = −1

3

1.3. Derivabilidad de las funciones elementales

Toda funcion polinomica es derivable en todo IR

Toda funcion racional es derivable en todo IR.

Las funciones potenciales, son derivables en todo IR.

Las funciones radicales son derivables en todos los valores reales para los que esten definidas y queno anulen el radicando.

Las funciones exponenciales son derivables en todo IR

Las funciones logarıtmicas son derivables en todo su dominio.

Las funciones trigonometricas son derivables en todo su dominio.

Ademas, tenemos las siguientes propiedades:

La suma de funciones derivables es derivable.

La diferencia de funciones derivables es derivable.

El producto de funciones derivables es derivable.

El cociente de funciones derivables es derivable, salvo en los puntos que se anule el denominador.

El valor absoluto de una funcion derivable es derivable en todo IR, salvo en los valores que anulanla funcion.

La composicion de funciones derivables es derivable.



1.4. Derivabilidad de funciones a trozos

Sea la funcion a trozos:

f(x) =

�f1(x) x < c

f2(x) x ≥ c

El estudio de la derivabilidad de esta funcion exige el estudio de la derivabilidad en cada trozo y en elpunto singular x = c.

Lo estudiaremos siguiendo el siguiente esquema:

1. Estudio de la derivabilidad para x < c

Para los valores menores que c, la expresion algebraica de la funcion f(x) es:

f1(x)

luego el estudio de la derivabilidad se hara sobre dicha expresion algebraica.

2. Estudio de la derivabilidad para x > c

Para los valores mayores que c, la expresion algebraica de la funcion f(x) es:

f2(x)

luego el estudio de la derivabilidad se hara sobre dicha expresion algebraica.

3. Estudio de la derivabilidad para x = c

Para el valor x = c, tendremos que aplicar la definicion de derivabilidad de una funcion en unpunto, ya que la expresion algebraica de la funcion, a la izquierda de x = c, es distinta de suexpresion a la derecha.

Ejemplo:

Estudia la derivabilidad de la siguiente funcion en x = −3,−2, 0, 2, 4.

f(x) = ��x − 1 x ≤ −3

x2 − 3x + 2 −3 < x < 0

x − 4

x − 2x ≥ 0

Para x = −3 :La funcion no es continua en el punto x = −3 (los lımites laterales son distintos)

lımx→−3−

f(x) = lımx→−3

(x − 1) = −3 − 1 = −4

lımx→−3+

f(x) = lımx→−3

(x2 − 3x + 2) = 9 + 9 + 2 = 20 �� =⇒ @ lımx→−3

f(x)

y, por lo tanto, la funcion no puede ser derivable en x = 3, es decir:

@f ′(3)

Para x = −2 :Para x = −2, la funcion es derivable por ser polinomica en −3 < x < 0. Vamos a calcular laderivada de la funcion en x = −2.

f ′(−2) = lımx→−2

f(x) − f(−2)

x − (−2)= lım

x→−2

(x2 − 3x + 2) − 12

x + 2= lım

x→−2

(x − 5) · (x + 2)

x + 2= −7

La funcion es derivable en x = −2 y el valor de la derivada, en dicho punto, es −7.



Para x = 0 :Para x = 0, la funcion es continua luego, a priori, es posible que sea derivable. Vamos a estudiarla derivabilidad en x = 0 :

lımx→0−

f(x) − f(0)

x − 0= lım

x→0−

(x2 − 3x + 2) − 2

x= lım

x→0−

x · (x − 3)

x= lım

x→0−

(x − 3) = −3

lımx→0+

f(x) − f(0)

x − 0= lım

x→0+

x − 4

x − 2− 2

x= lım

x→0+

(x − 4) − 2(x − 2)

x − 2x

= lımx→0+ � −1

x − 2 =1

2

La funcion NO es derivable en x = 0 ya que, al ser los lımites laterales distintos,

@f ′(0) = lımx→0

f(x) − f(0)

x − 0

Para x = 2 :El punto x = 2 no pertenece al dominio de la funcion, es decir, no existe f(2). Al no estar definidala funcion en x = 2, obviamente, no puede ser derivable.

Para x = 4 :Para x = 4, la funcion es derivable por ser una funcion racional en x ≥ 0, y no anularse eldenominador en x = 4.. Vamos a calcular la derivada de la funcion en x = 4 :

f ′(4) = lımx→4

f(x) − f(4)

x − 4= lım

x→4

x − 4

x − 2− 0

x − 4= lım

x→4

1

x − 2=

1

2

La funcion es derivable en x = 4 y el valor de la derivada, en dicho punto, es1

2.

Ejemplo:

Estudiar la derivabilidad de la funcion: f(x) = |x − 3|La expresion algebraica de la funcion modulo es:

f(x) = x − 3, si x ≥ 3−(x − 3) si x < 3

a) Estudio del Dominio

La funcion esta definida para cualquier valor, es decir: Dom(f) = IR.

b) Estudio de la Continuidad

Para x < 3 : La funcion es continua por ser polinomica (f(x) = −x + 3).

Para x > 3 : La funcion es continua por ser polinomica (f(x) = x − 3).

Para x = 3 : Estudiamos las condiciones de continuidad en el punto x = 3.

1) ∃f(3) = 0 (f(3) = 3 − 3 = 0)

2) ∃ lımx→3

f(x) = 0 (pues estudiando los lımites laterales por la derechae izquierda, se obtiene para ambos el valor 0)

3) f(3) = lımx→3

f(x) (pues ambos tiene valor 0)

Como para x = 3 se cumplen las tres condiciones de continuidad, la funcion es continua en x = 3.

Luego la funcion es continua en cualquier valor, y tiene sentido estudiar su derivabilidad en cualquierpunto

c) Estudio de la Derivabilidad



Para x < 3 : La funcion es derivable por ser polinomica (f(x) = −x + 3).

Para x > 3 : La funcion es derivable por ser polinomica (f(x) = x − 3).

Para x = 3 : Estudiamos la derivabilidad en el punto x = 3.

Para que la funcion sea derivable en x = 3, tiene que existir y ser finito el siguiente lımite:

f ′(3) = lımx→3

f(x) − f(3)

x − 3

Para calcular este lımite, como la funcion esta definida a trozos, hay que calcular obligatoriamente

los lımites laterales y tenemos que fijarnos por cual de los trozos nos estamos moviendo, cuandonos acercamos a un determinado valor por la derecha y/o por la izquierda.

Cuando me acerco a tres por la izquierda (x < 3), la expresion algebraica de la funcion esf(x) = −x + 3; sin embargo, cuando me acerco a tres por la derecha (x > 3), la expresionalgebraica de la funcion es f(x) = x − 3, luego:

lımx→3−

f(x) − f(3)

x − 3= lım

x→3−

(−x + 3) − 0

x − 3= lım

x→3−

(−1) = −1

lımx→3+

f(x) − f(3)

x − 3= lım

x→3+

(x − 3) − 0

x − 3= lım

x→3+(1) = 1

�� ⇒ @ lımx→3

f(x) − f(3)

x − 3

Al no existir el lımite anterior (por ser distintos los lımites laterales), la funcion no es derivableen x = 3, y por lo tanto:

@ f ′(3)

En conclusion, la funcion dada es derivable en todo IR, salvo en x = 3. (notar que el punto dondepierde la derivabilidad es, precisamente, el punto donde se anula la funcion valor absoluto).

Vamos a representar las funciones anteriores:

-2-10123456789

3

Graficamente, los puntos donde la grafica de la funcion presenta discontinuidades o “picos” son puntosdonde la funcion no es derivable.

Intuitivamente, la derivabilidad se traduce en graficas continuas (sin agujeros, ni saltos) y de cambiossuaves de pendiente (sin picos).

x=

25

x=−

5

y=5

La funcion, cuya grafica es la de la izquierda, es unafuncion derivable en todo IR, salvo en:

Los puntos de discontinuidad, a saber,x = −5, 0, 5, 20, 25

El punto x = 15 porque, aunque sea continua endicho punto, presenta un cambio brusco dependiente (graficamente un pico).



1. Calcular la derivada (caso de que exista) de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) f(x) = 3x + 2 en x = 0, x = 1, x = 2, x = −3

b) f(x) =1

x + 3en x = 0, x = 1, x = 2, x = −3

c) f(x) =√

x − 2 en x = −2

d) f(x) =x2

x − 1en x = −1, x = 0, x = 1, x = 2

2. Estudia la derivabilidad, es decir, di en que puntos son derivables las funciones anteriores.

3. Utilizando los resultados obtenidos en el ejercicio anterior, di cuando son derivables las siguientesfunciones y por que:

a) f(x) = (3x + 2) +1

x + 3

b) g(x) = (3x + 2) − 1

x + 3

c) h(x) = (3x + 2) · 1

x + 3

d) p(x) = (3x + 2) ÷ 1

x + 3

e) q(x) =1

x + 3÷ (3x + 2)

4. Dada la funcion:

f(x) =

�3x − 2 si x < 0

x2 − 3x − 2 si x ≥ 0

a) Calcula el dominio

b) Estudia la continuidad

c) Estudia la derivabilidad.

d) Calcula la derivada en x = 0 y x = 2

5. Dada la funcion:

f(x) = ��3x − 2 si x < 0

x2 − 3x − 2 si 0 < x < 2

−6x

5 − xsi x ≥ 2

a) Calcular el dominio


c) Estudia la derivabilidad

d) Calcula la derivada en x = 0, x = 2 y x = 5

6. Dada la funcionf(x) = |x2 − 3x + 2|

a) Calcular el dominio


c) Estudia la derivabilidad

d) Calcula la derivada en x = 0, x = 3 y x = −1


1o Bachiller (CCSS) 2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION

2. Funcion Derivada. Reglas de Derivacion

2.1. Derivada de un funcion

Definicion : Si f es una funcion derivable, la funcion derivada es otra funcion, denotada por f ′, tal quea cada x0 le asocia el valor de la derivada de la funcion f en x0, es decir f ′(x0).

f ′ : x0 −→ f ′(x0)

Ejemplo:

Obtener la funcion derivada de la funcion f(x) = 4

f ′(x0) = lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0= lım

x→x0

4 − 4

x − x0= lım

x→x0

0 = 0

Luego, f(x) = 4 =⇒ f ′(x) = 0

Este resultado es cierto para cualquier funcion constante f(x) = k =⇒ f ′(x) = 0

Ejemplo:

Obtener la funcion derivada de la funcion f(x) = x


f(x) − f(x0)

x − x0= lım

x→x0

x − x0

x − x0= lım

x→x0

1 = 1

Luego, f(x) = x =⇒ f ′(x) = 1

Ejemplo:

Obtener la funcion derivada de la funcion f(x) = 5x


f(x) − f(x0)

x − x0= lım

x→x0

5x − 5x0)

x − x0= lım

x→x0

5(x − x0)

x − x0= lım

x→x0

5 = 5

Luego, f(x) = 5x =⇒ f ′(x) = 5

Este resultado es general: f(x) = kx =⇒ f ′(x) = k

Ejemplo:

Obtener la funcion derivada de la funcion f(x) = ax + b donde a, b son constantes.


f(x) − f(x0)

x − x0= lım

x→x0

(ax + b) − (ax0 − b)

x − x0= lım

x→x0

a(x − x0)

x − x0= lım

x→x0

a = a

Luego, f(x) = ax + b =⇒ f ′(x) = a

Ejemplo:

Obtener la funcion derivada de la funcion f(x) = x2


f(x) − f(x0)

x − x0= lım

x→x0

(x)2 − (x0)2

x − x0= lım

x→x0

(x + x0)(x − x0)

x − x0= lım

x→x0

(x + x0) = 2x0

Luego, f(x) = x2 =⇒ f ′(x) = 2x


2. FUNCION DERIVADA. REGLAS DE DERIVACION

2.2. Reglas de Derivacion

Si una funcion es derivable, la funcion derivada se obtiene aplicando las reglas de derivacion:

Derivada de una CONSTANTE: La derivada de una constante es igual a cero.

f(x) = k =⇒ f ′(x) = 0

Derivada de la funcion IDENTIDAD: La derivada de la funcion identidad es igual a uno.

f(x) = x =⇒ f ′(x) = 1

Derivada de la SUMA: La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadasde cada funcion.

[ f(x) + g(x) ]′ = f ′(x) + g′(x)

Derivada del PRODUCTO por una CONSTANTE: La derivada del producto de una constantepor una funcion es igual al producto de la constante por la derivada de la funcion.

[ k · f(x) ]′ = k · f ′(x)

Derivada del PRODUCTO: La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de laprimera por la segunda MAS la primera por la derivada de la segunda.

[ f(x) · g(x) ]′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)

Derivada del COCIENTE: La derivada del cociente es igual a la derivada del numerador por el de-nominador MENOS el numerador por la derivada del denominador, todo ello dividido entre elcuadrado del denominador. �

f(x)

g(x) �′ =f ′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)

(g(x))2

Derivada de la RECIPROCA: La derivada de la recıproca de una funcion es igual a MENOS laderivada de la funcion dividido entre el cuadrado de la funcion.�

1

f(x)�′ = − f ′(x)

(f(x))2

Derivada de una POTENCIA: La derivada de una potencia de una funcion es igual al exponente,por la misma potencia disminuido en una unidad su exponente, por la derivada de la base.

[ (f(x))k ]′ = k · (f(x))k−1 · f ′(x)

Derivada de la RAIZ CUADRADA: La derivada de la raız cuadrada de una funcion es igual a laderivada del radicando dividido entre el doble de la raız. �

f(x) �′ =f ′(x)

2 ·�

f(x)



Derivada del LOGARITMO: La derivada del logaritmo en base “a” de una funcion es igual a laderivada de la funcion dividido entre la funcion sin derivar y multiplicado por el logaritmo en base“a” del numero “e”.

[ loga f(x) ]′

=f ′(x)

f(x)· loga e

Nota: Si el logaritmo fuera neperiano (ln f(x)), al ser el loge e = 1, el segundo factor es uno, ypor consiguiente, la derivada del neperiano es la derivada de la funcion dividido entre la funcion sinderivar.

Derivada de una EXPONENCIAL: La derivada de la funcion exponencial es igual a la propia fun-cion exponencial por la derivada del exponente y por el logaritmo neperiano de la base.�

ag(x) �′ = ag(x) · g′(x) · ln a

Ejemplo:

Derivar la funcion: f(x) = x2 − 5x + 3

Como es suma de tres sumandos, su derivada es la suma de las derivadas de cada sumando:

f ′(x) = (x2)′ − (5x)′ + (3)′ = 2 · x1 · (x)′ − 5 · (x)′ + (3)′ = 2 · x · 1 − 5 · 1 + 0 = 2x − 5 =⇒

f ′(x) = 2x − 5

Ejemplo:

Calcular la derivada de: f(x) = (9 − x2) · (x3 − 5x)

Como es un producto de dos funciones, aplicamos la regla de derivacion del producto:

f ′(x) = (9 − x2)′ · (x3 − 5x) + (9 − x2) · (x3 − 5x)′

Y derivando cada polinomio como hicimos antes:

(9 − x2)′ = (9)′ − (x2)′ = (9)′ − 2 · x1 · (x)′ = 0 − 2 · x · 1 = −2x

(x3 − 5x)′ = (x3)′ − (5x)′ = 3 · x2 · (x)′ − 5 · (x)′ = 3 · x2 · 1 − 5 · 1 = 3x2 − 5 � =⇒

f ′(x) = −2x · (x3 − 5x) + (9− x2) · (3x2 − 5) = −2x4 + 10x2 + 27x2 − 45− 3x4 + 5x2 = −5x4 + 42x2 − 45

f ′(x) = −5x4 + 42x2 − 45

Ejemplo:

Obten la funcion derivada de: f(x) =2x + 3

x − 1

Como es un cociente de dos funciones, aplicamos la regla de derivacion del cociente:

f ′(x) =(2x + 3)′ · (x − 1) − (2x + 3) · (x − 1)′

(x − 1)2

Y derivando cada polinomio como hicimos antes:

(2x + 3)′ = 2

(x − 1)′ = 1 � =⇒ f ′(x) =2(x − 1) − (2x + 3)

(x − 1)2=

−5

(x − 1)2=⇒

f ′(x) =−5

(x − 1)2



Ejemplo:

Deriva la siguiente funcion: f(x) = (2x + 1)4

Como es una potencia, aplicamos la regla de derivacion de las potencias.

f ′(x) = 4 · (2x + 1)3 · (2x + 1)′ = 4 · (2x + 1)3 · 2 = 8 (2x + 1)3

Ejemplo:

Calcula la derivada de: f(x) =√

2x + 1

Como es una raız cuadrada, aplicamos la regla de derivacion de las raıces cuadradas.

f ′(x) =(2x + 1)′

2 ·√

2x + 1=

2

2 ·√

2x + 1=

1√2x + 1

=⇒

f ′(x) =1√

2x + 1

Ejemplo:

Obten la funcion derivada de: f(x) = 32x+1

Como es una funcion exponencial,

f ′(x) = 32x+1 · (2x + 1)′ · ln 3 = 32x+1 · 2 · ln 3 = 2 ln 3 · 32x+1 =⇒

f ′(x) = 2 ln 3 · 32x+1

Ejemplo:

Deriva la funcion siguiente: f(x) =1

(x − 1)2

Se trata de la funcion inversa, luego aplicando la regla:

f ′(x) = − [ (x − 1)2 ]′

((x − 1)2)2 = −2 · (x − 1) · (x − 1)′

(x − 1)4= −2 · (x − 1)

(x − 1)4= − 2

(x − 1)3=⇒

f ′(x) = − 2

(x − 1)3

Ejemplo:

Calcula la derivada de: f(x) = log (3x2 − 2x)

Es una funcion logarıtmica (logaritmo decimal):

f ′(x) =[3x2 − 2x]′

3x2 − 2x· log e =

6x − 2

3x2 − 2x· log e =

2 (3x − 1)

x(3x − 2)· log e =⇒

f ′(x) =2 log e (3x − 1)

x(3x − 2)



Ejemplo:

Halla la funcion derivada de la siguiente funcion: f(x) = ln � 1

(2x − 3)3 Se trata de una funcion logarıtmica (logaritmo neperiano)

f ′(x) =

�1

(2x − 3)3 �′1

(2x − 3)3

=

− [(2x − 3)3]′

[ (2x − 3)3 ]2

1

(2x − 3)3

=

−3 · (2x − 3)2 · 2(2x − 3)6

1

(2x − 3)3

=

− 3 · 2(2x − 3)4

1

(2x − 3)3

=6

2x − 3=⇒

f ′(x) =6

2x − 3

2.3. Calculo de derivadas en funciones a trozos

Sea la funcion a trozos:

f(x) =

�f1(x) x < c

f2(x) x ≥ c

Para calcular la derivada de esta funcion, en aquellos puntos en que sea derivable, tenemos que hacerloen cada trozo (aplicando las reglas de derivacion) y en el punto singular x = c (aplicando directamentela definicion de derivada de una funcion en un punto).

1. Calculo de la derivada para x < c

Para los valores menores que c, la expresion algebraica de la funcion f(x) es f1(x) luego, aplicandolas reglas de derivacion,

f ′(x) = f ′

1(x) x < c

2. Calculo de la derivada para x > c

Para los valores mayores que c, la expresion algebraica de la funcion f(x) es f2(x) luego, aplicandolas reglas de derivacion,

f ′(x) = f ′

2(x) x > c

3. Calculo de la derivada para x = c

Para el valor concreto de ruptura, x = c, el calculo de la derivada hay que hacerlo, obligatoriamente,aplicando la definicion:

f ′(c) = lımx→c

f(x) − f(c)

x − c

Luego, la funcion derivada de la funcion a trozos es:

f ′(x) = ��f ′

1(x) x < c

f ′

2(x) x > c

f ′(c) x = c

Ejemplo:

Estudia la derivabilidad de la funcion f : (0,+∞) −→ IR definida por

f(x) = ��√

3 + x2 − x si 0 < x ≤ 1

1

x+

x2

4si x > 1

Calcula la funcion derivada.



El dominio de la funcion esDomf = (0, +∞)

Para x ∈ (0, 1) =⇒ f(x) = �3 + x2 − x :

es derivable, por ser composicion de funciones derivables, y la funcion derivada se obtiene aplicandolas reglas de derivacion:

f ′(x) =x√

3 + x2− 1

luego la funcion f(x) es derivable ∀x ∈ (0, 1) y su funcion derivada en dicho conjunto es

f ′(x) =x√

3 + x2− 1 ∀x ∈ (0, 1)

Para x ∈ (1,+∞) =⇒ f(x) =1

x+

x2

4

es derivable, por ser composicion de funciones derivables, y la funcion derivada se obtiene aplicandolas reglas de derivacion:

f ′(x) = − 1

x2+

x

2

luego la funcion f(x) es derivable ∀x ∈ (1, +∞) y su funcion derivada en dicho conjunto es

f ′(x) = − 1

x2+

x

2∀x ∈ (1, +∞)

En el punto x = 1 la funcion no es derivable al no ser continua:

En efecto:lım

x→1−

f(x) = lımx→1

x<1

f(x) = lımx→1

f |(0, 1) = lımx→1

�3 + x2 − x = 1

lımx→1+

f(x) = lımx→1

x>1

f(x) = lımx→1

f |(1, +∞) = lımx→1 �1

x+

x2

4 � =5

4

Luegolım

x→1−

f(x) 6= lımx→1+

f(x) ⇒ @ lımx→1

f(x)

y la funcion f(x), no es continua en x = 1

RESUMIENDO:

La funcion f(x) es derivable ∀x 6= 1 (x ∈ Domf ), y la funcion derivada es:

f ′(x) = �� x√3 + x2

− 1 si x ∈ (0, 1)

− 1

x2+

x

2si x ∈ (1, +∞)



7. Calcula la derivada de las siguientes funciones polinomicas, aplicando las reglas de derivacion:

a) f(x) = 3

b) f(x) = 5x

c) f(x) = 2x4

d) f(x) = x3 − 2x

e) f(x) = x2 − 2x + 3

f) f(x) = (2x3)2

g) f(x) = x5 − 1

h) f(x) = (3x2 + 2)2

i) f(x) = (x2 + 1)5

8. Aplicando la regla de derivacion del producto deriva las siguientes funciones:

a) f(x) = 5x · (x − 1)2

b) f(x) = (4x − 3) · (5x + 2)

c) f(x) = (3x2) · (x + 1)

d) f(x) = 5 · (x3 − 2x + 1)2

e) f(x) = 3x2 · (x + 3)3

f) f(x) = (3x + 2)3 · (x2 − 1)2

9. Aplicando la regla de derivacion del cociente deriva las siguientes funciones:

a) f(x) =1

x

b) f(x) =5

x2 + 1

c) f(x) =−3

(x − 1)3

d) f(x) =x

x2 + 5

e) f(x) =3x2

x + 1

f) f(x) =x3 − 4x2 − 9

x

g) f(x) =2x − 1

2x + 1

h) f(x) =5 − 4x

(x − 1)2

i) f(x) =(4x2 + 1)2

x2 − 1

10. Calcula la funcion derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = ln(3x + 2)

b) f(x) = �ln(x2 − 1)�2c) f(x) = log3 4x3 − 2

d) f(x) = e2x

e) f(x) = ln(x2 + 1)3

f) f(x) = 5(x+1)

g) f(x) = (2x2 + 1) · ex

h) f(x) = ex3−2x+1

i) f(x) = log(3x − 1)2 + log(3x + 1)2

11. Deriva las siguientes funciones:

a) f(x) = 5

�(5x + 3)2

b) f(x) = x · e2x+1

c) f(x) =log x2

x

d) f(x) = 2x2−2x

e) f(x) =√

2x + 3√

x

f) f(x) =1

x√

x

g) f(x) = (x2 + 1) · log2 x

h) f(x) = x · 2x

i) f(x) =x2 + 1

x2 − 1

12. Deriva las siguientes funciones:

a) f(x) = |x|b) f(x) = |2x + 3|c) f(x) = |x2 + 1|

d) f(x) = |x2 − 1|e) f(x) = 1 − |x|f) f(x) = 3 + |2x + 3|

g) f(x) = |x| · ex

h) f(x) = |2x + 3| · lnx2

i) f(x) = |x − 1| − |x|

13. Estudia la derivabilidad y calcula la funcion derivada de la siguiente funcion a trozos:

f(x) = x − 4 x < 0x + 7 x > 0


f(x) = 3x2 + 5 x ≤ 12x3 − 7 x > 1


f(x) = ��3x3 − 5x x ≤ −1

3x2 + 10x −1 < x < 2

5x2 − 3 x ≥ 2


3. APLICACIONES: REPRESENTACION DE FUNCIONES

3. Aplicaciones: Representacion de funciones

Normalmente, el estudio completo de un funcion f(x), supone la determinacion de los siguientes apartados:

1. Dominio de la funcion

2. Continuidad: Puntos de discontinuidad

3. Comportamiento en el infinito: Asıntotas

4. Puntos de corte con los ejes coordenados

5. Derivabilidad: Calculo de la derivada

6. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

7. Maximos y mınimos relativos

8. Tabla de valores.

1- Dominio de la funcion :

El dominio de una funcion es el conjunto de valores x ∈ IR, para los que esta definida la funcion,es decir, para los existe la imagen de la funcion. Los dominios de las funciones elementales ya seestudiaron en temas anteriores. Ademas, si una funcion es composicion de dos funciones, h = f ◦g,su dominio sera:

Dom(h) = {x ∈ IR, tal que: x ∈ Dom(g) y g(x) ∈ Dom(f) }

2- Continuidad :

Las funciones elementales son continuas en todo su dominio y, ademas, la composicion de funcionescontinuas tambien es continua.

3- Comportamiento en el infinito : Asıntotas y Ramas parabolicas

Las asıntotas de una funcion, f(x), son las rectas que verifican que la distancia de un punto de lagrafica (x , f(x)) a dicha recta tiende a 0, cuando el punto recorre una rama infinita. Este cursosolo se estudian las asıntotas y ramas parabolicas de funciones racionales, que se calcularan comose explico en temas anteriores.

4- Puntos de corte con los ejes coordenados :

a) puntos de corte con OX:Los puntos de corte con el eje OX, verifican la condicion de que su segunda coordenada escero luego, las abscisas de dichos puntos, se obtienen resolviendo la siguiente ecuacion:

f(x) = 0

b) puntos de corte con OY :Los puntos de corte con el eje OY, verifican la condicion de que su primera coordenada es cero.Es decir, el punto de corte con OY (que si existe es unico), serıa el punto

(0, f(0))

.


1o Bachiller (CCSS) 3. APLICACIONES: REPRESENTACION DE FUNCIONES

5- Derivabilidad :

Solo se estudiara la derivabilidad de la funcion para aquellos puntos del dominio donde sea continua,pues si no es continua no puede ser derivable.

Las funciones elementales son derivables en cualquier punto de su dominio y, ademas, la composicionde funciones derivables es derivable.

En donde sea derivable, se calcula la derivada tal y como se ha visto en el tema.

6- Intervalos de crecimiento y decrecimiento :

Si una funcion es derivable, la condicion necesaria y suficiente para que sea creciente (decreciente)en un punto, es que su primera derivada sea positiva (negativa) en dicho punto.

Luego, si f(x) es derivable:

f(x) creciente en x0 ⇐⇒ f ′(x0) > 0

f(x) decreciente en x0 ⇐⇒ f ′(x0) < 0

7- Extremos relativos :

Si una funcion es derivable, la condicion necesaria para que sea un punto sea extremo relativo, esque se anule en el la primera derivada.

Luego, si f(x) es derivable:

x0 es un extremo relativo =⇒ f ′(x0) = 0

Ademas, si f(x) es dos veces derivable:

x0 es un maximo relativo ⇐⇒ f ′(x0) = 0 y f ′′(x0) < 0

x0 es un mınimo relativo ⇐⇒ f ′(x0) = 0 y f ′′(x0) > 0

8- Tabla de valores :

La tabla de valores consiste en dar a “x ” unos valores arbitrarios, y calcular la imagen de cadauno de ellos, “ f(x) ”.

Aunque se pueden dar los valores que se deseen, es necesario dar como mınimo, todos los valoresque hemos ido calculando en los puntos anteriores, a saber: puntos de corte, extremos relativos. . .

A mayores, se daran los valores que se juzguen necesarios hasta que seamos capaces de dibujar lagrafica con precision adecuada.

Ejemplo:

Sea f la funcion definida por:

f(x) =9x − 3

x2 − 2x

Representa la funcion.

1. Dominio :

Por tratarse de una funcion racional, el dominio es todo IR, salvo los valores que anulan el denom-

inador

x (x − 2) = 0 ⇐⇒ x = 0 o x = 2

Luego,Dom(f) = {x ∈ IR / x 6= 0, y x 6= 2 } = IR \ {0, 2}



2. Continuidad: Puntos de Disontinuidad :

Por tratarse de una funcion racional, es continua en todo su dominio, luego los unicos puntos dediscontinuidad son:

x = 0 y x = 2

Veamos el tipo de discontinuidad:

Para x = 0 :

lımx→0+

f(x) = lımx→0+

9x − 3

x (x − 2)= +∞

lımx→0−

f(x) = lımx→0−

9x − 3

x (x − 2)= −∞

Para x = 2 :

lımx→2+

f(x) = lımx→2+

9x − 3

x (x − 2)= +∞

lımx→2−

f(x) = lımx→2−

9x − 3

x (x − 2)= −∞

Como los lımites laterales son infinitos, tanto para x = 0 como para x = 2, ambas son discon-tinuidades de salto infinito.

3. Comportamiento en el Infinito: Asıntotas :

Las asıntotas verticales, se encuentran en aquellos valores de “x” que anulan el denominador.Luego tiene dos asıntotas verticales de ecuaciones x = 0 y x = 2:

La posicion de la funcion respecto de estas asıntotas viene determinada por los lımites laterales,que ya calculamos en el apartado anterior:

Para x = 0 :lım

x→0−

f(x) = −∞ ; lımx→0+

f(x) = +∞

Para x = 2 :lım

x→2−

f(x) = −∞ ; lımx→2+

f(x) = +∞

Las asıntotas horizontales, oblicuas o ramas parabolicas, que al ser una funcion racional,se obtienen dividiendo numerador entre denominador:

Al ser el grado del numerador estrictamente menor que el del denominador, el polinomiocociente es cero y la funcion tiene una asıntota horizontal, de ecuacion y = 0.

La posicion de la funcion respecto a la asıntota horizontal se obtiene de la siguiente forma:

lımx→−∞

f(x) = lımx→−∞

9x − 3

x(x − 2)= −0

Cuando x tiende a −∞, la funcion se acerca a la asıntota por debajo de ella.

lımx→−∞

f(x) = lımx→−∞

9x − 3

x(x − 2)= +0

Cuando x tiende a +∞, la funcion se acerca a la asıntota por encima de ella.

4. Puntos de Corte con los Ejes :

El punto de corte con OY , sabemos que es (0, f(0)), luego basta calcular f(0).

Pero como 0 6∈ Dom(f), dicha imagen no existe, lo que significa que la funcion no corta al ejeOY.



Los puntos de corte con OX, se obtienen igualando a 0 la funcion y resolviendo la ecuacionresultante:

f(x) = 0 ⇐⇒ 9x − 3

x(x − 2)⇐⇒ 9x − 3 = 0 ⇐⇒ x =

1

3

Luego, hay un unico punto de corte con OX, que es:

A = �1

3, 0

5. Derivabilidad :

Por tratarse de una funcion racional, es derivable en todo su dominio y, aplicando la regla dederivacion:

f ′(x) =

�9x − 3

x (x − 2)�′ =9 (x2 − 2x) − (9x − 3) (2x − 2)

(x2 − 2x)2=

−9x2 + 6x − 6

(x2 − 2x)2

Luego,

f ′(x) =−9x2 + 6x − 6

(x2 − 2x)2

6. Crecimiento y Decrecimiento :

Puesto que la funcion es derivable en su dominio, el signo de su derivada primera determina elcrecimiento de la funcion.

f ′(x) =−9x2 + 6x − 6

(x2 − 2x)2

El denominador es un cuadrado, luego positivo para cualquier valor de x. El numerador es unpolinomio de segundo grado. Veamos cuando se hace cero:

−9x2 + 6x − 6 = 0 ⇐⇒ x =36 ±

√36 − 216

−18=

36 ±√−72

−18

Al ser el radicando negativo, no existe ningun valor que anule el polinomio. Graficamente, se tratade una parabola, con las ramas hacia abajo y que no corta nunca al eje OX. Eso significa, que dichopolinomio es siempre negativo.

f ′(x) =−+

< 0 ∀x ∈ Dom(f)

La funcion derivada existe y tiene signo negativo para cualquier x de Dom(f), luego la funcion esestrictamente decreciente en todo su dominio.

intervalos de decrecimiento: (−∞ , 0) , (0 , 2) , (2 ,+∞)

7. Maximos y Mınimos :

La funcion no tiene ningun maximo ni mınimo relativo, pues la primera derivada, segun acabamosde ver, no se anula nunca.

8. Tabla de Valores :

Resumimos en forma de tabla de valores, todo lo obtenido anteriormente:



x f(x) =9x − 3

x (x − 2)

x → −∞ f(x) → 0

−3 −2

−1 −4

x → 0− f(x) → −∞x → 0+ f(x) → +∞

13 0

1 −6

3 8

x → 2− f(x) → −∞x → 2+ f(x) → +∞x → +∞ f(x) → 0

GRAFICA DE LA FUNCION :

x=

x=



Ejemplo:

Sea f la funcion definida por:

f(x) =x3

(x + 1)2

Representa la funcion.

1. Dominio :

Por tratarse de una funcion racional, el dominio es todo IR, salvo los valores que anulan el denominador

(x + 1)2 = 0 ⇐⇒ x + 1 = 0 ⇐⇒ x = −1

Luego,Dom(f) = {x ∈ IR / x 6= −1} = IR \ {−1}

2. Continuidad: Puntos de Disontinuidad :

Por tratarse de una funcion racional, es continua en todo su dominio, luego los unicos puntos dediscontinuidad son:

x = −1

Ademas, como lımx→−1+

f(x) = lımx→−1+

f(x) = −∞, la discontinuidad es de salto infinito.

3. Comportamiento en el Infinito: Asıntotas :

Las asıntotas verticales, se encuentran en aquellos valores de “x” que anulan el denominador.Luego tiene una asıntota vertical de ecuacion x = −1

La posicion de la funcion respecto de esta asıntota viene determinada por los lımites laterales,que ya calculamos en el apartado anterior:

Las asıntotas horizontales, oblicuas o ramas parabolicas, que al ser una funcion racional,se obtienen dividiendo numerador entre denominador:

Al ser el grado del numerador estrictamente mayor que el del denominador, en una unidad,el polinomio cociente es de grado uno y la funcion tiene una asıntota oblicua, de ecuaciony = x − 2.

La posicion de la funcion respecto a la asıntota oblicua se obtiene de la siguiente forma:

lımx→−∞ � x3

(x + 1)2− (x − 2)� = lım

x→−∞

3x + 2

(x + 1)2= −0

Cuando x tiende a −∞, la funcion se acerca a la asıntota por debajo de ella.

lımx→−∞ � x3

(x + 1)2− (x − 2)� = lım

x→+∞

3x + 2

(x + 1)2= +0

Cuando x tiende a +∞, la funcion se acerca a la asıntota por encima de ella.

4. Puntos de Corte con los Ejes :

El punto de corte con OY , sabemos que es O = (0, f(0)), luego basta calcular f(0).

Pero como f(0) = 0, el punto de corte con OY es (0, 0)

Los puntos de corte con OX, se obtiene resolviendo:

0 =x3

(x + 1)2⇐⇒ x3 = 0 ⇐⇒ x = 0

Luego, hay un unico punto de corte con OX, que es:

O = (0, 0)



5. Derivabilidad :

Por tratarse de una funcion racional, es derivable en todo su dominio:

Calculamos la funcion derivada primera de f(x), que existe ∀x ∈ Dom(f):

f ′(x) = � x3

(x + 1)2�′ =

3x2 · (x + 1)2 − x3 · 2 (x + 1)

(x + 1)4=

3x2 · (x + 1) − 2x3

(x + 1)3=

=x2 · [3 (x + 1) − 2x]

(x + 1)3=

x2 · (x + 3)

(x + 1)3

Luego,

f ′(x) =x2 · (x + 3)

(x + 1)3

6. Crecimiento y Decrecimiento :

Estudiamos el signo de la funcion derivada de f(x)

Al ser la funcion un cociente, sera positiva cuando numerador y denominador tengan el mismosigno, y negativa en caso contrario.

- El numerador es un producto de x2 (que es siempre positivo por ser un cuadrado) y de (x+3),luego el signo del numerador coincide con el signo de (x + 3)

- El denominador es una potencia de ındice impar, luego su signo coincide con el signo de labase de la potencia, es decir, con el signo de (x + 1)

El cociente sera positivo cuando:

x + 3 > 0x + 1 > 0 � ⇐⇒ x > −3

x > −1 � ⇐⇒ x > −1

o bien cuando:x + 3 < 0x + 1 < 0 � ⇐⇒ x < −3

x < −1 � ⇐⇒ x < −3

Luego:

- La derivada es positiva cuando x < −3 o x > −1

- La derivada es negativa en caso contrario, es decir, cuando −3 < x < −1

Por lo tanto:

- La funcion es creciente cuando x < −3 o x > −1

- La funcion es decreciente en caso contrario, es decir, cuando −3 < x < −1

intervalos de crecimiento: (−∞ , −3) , (−1 , +∞)

intervalos de decrecimiento: (−3 , −1)

7. Maximos y Mınimos :

Los maximos y mınimos se obtienen igualando a cero la primera derivada:

f ′(x) = 0 ⇐⇒ x2 · (x + 3) = 0 ⇐⇒ x = 0x = −3

x = −3 sera un maximo, pues la funcion pasa en el de ser creciente a ser decreciente.

x = 0 no es maximo ni mınimo, pues la funcion tanto a la izquierda como a la derecha dex = 0 es decreciente. Por consiguiente, deducimos que x = 0 va a ser un punto de inflexion.



Luego:

No tiene mınimos y el maximo esta en

M = �−3,−27

4 8. Tabla de Valores :

Resumimos en forma de tabla de valores, todo lo obtenido anteriormente:

x f(x) =x3

(x + 1)2

x → −∞ f(x) → −∞ asıntota oblicua

-3−27

4Maximo

x → −1− f(x) → −∞ asıntota vertical

x → −1+ f(x) → −∞ asıntota vertical

0 0 Punto de inflexion y punto de corte con ejes

x → +∞ f(x) → +∞ asintota oblicua

GRAFICA DE LA FUNCION :

-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-15-14-13-12-11-10

-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

10

y = x3

(x+1)2

y=

x− 2



16.


Documents

Derivabilidad de Funcionesficus.pntic.mec.es/dbab0005/matematicas1/Unidad7/Derivabilidad.pdf · Calcula la derivada de f(x) = 1 x en x = 0. Como la función no está definida en