Tema 2 Derivabilidad de funciones

Derivada de una funcin en un punto. Derivadas lateralesDada una funcin definida en un intervalo abierto I, definimos como incremento hacia la derecha del punto

De igual forma definimos incremento hacia la izquierda de

Definimos como derivada lateral por la derecha (o derivada por la derecha) de en el punto al siguiente imite, si existe

Definimos derivada por la izquierda (o derivada por la izquierda) de en el punto al siguiente imite, si existe

Si ambas son finitas y entonces:

Derivada de en el punto , es decir, es derivable o diferenciable en

Grficamente: y

x y

x

Funcin derivadaSi la funcin es derivable (intervalo abierto) se dice que la funcin es derivable en I .

Funcin derivadaPropiedades de las funciones derivadasSean e funciones derivadas en I (abierto) entonces: Si Si Si

entonces Derivacin en cadena.EjemploDerivar:

Funcin inversa:Si y existe la funcin inversa entonces:

Ejemplo

Otro

Otro

Luego:

Derivada de funcin elevada a funcinQueremos obtener

EjemploDerivada de

Derivacin de funciones elementalesSea que es funcin derivable calculamos su funcin derivada segn la definicin.

Sea derivable

Tabla de derivadasSea ----- lo borro

Interpretacin geomtrica de la derivada. Recta tangente y normalSea una funcin derivable en un intervalo que contenga a el punto y cuya grafica suponemos que es como la siguiente figura.y

Q

P

NOTA: Sabemos de la geometra analtica que la recta que pasa por los puntos y tiene ecuacin:

En nuestro caso la recta ser:

Tomando los lmites cuando :

Ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto (aplicada en la grafica al final)=pendiente de la recta tangente a en el punto Donde hay una tangente, hay una normal (perpendicular a la tangente)

NOTA: sabemos de la geometra analtica que dadas las rectas de ecuaciones:(m=pendiente)

Si entonces las rectas son paralelasSi Entonces las rectas son perpendiculares

La ecuacin de la recta normal en sera:

y

y=f(x) Recta tangente a la curva, por los puntos P y Q y Qt=tangente cuando h0n=recta normal

P

EjemploHallar las ecuaciones de la recta tangente y normal de las siguientes curvas en los puntos indicados en cada caso:

(Tomar angulos del 1er cuadrante)

Tangente:

Normal:

Tangente:

Normal:

Tangente:

Normal:

Derivacin paramtricaLa funcin se dice que est en su forma explcita (y despejada en funcin de x) puede ocurrir que las coordenadas estn dadas en funcin de uno o ms parmetros entonces son las ecuaciones paramtricas En el plano.t (parmetros) En el espacio

EjemploEcuacin de la recta (subespacio de dimensin 1)

Estas dos son las ecuaciones paramtricas de la recta.Igualmente para una curva

EjemploObtener de la funcin de ecuaciones parametricas

Derivacin Implcita(De esto habr un ejercicio de examen fijo)Cuando en una funcin no se puede despejar y en funcin de x (o bien no conviene o existen varios valores de y para un solo valor de x, o sea no existe funcin explicita) entonces se dar: Funcion en forma implicita Representa una curva sobre el plano cartesiano que puede tener una o ms tangentes en un punto, es decir, existe: Para obtener utilizaremos el mtodo de derivacin implcita que consiste en derivar la expresin respecto a x teniendo en cuanta que y es funcion de x, aunque no podemos despejar, o sea, cada vez que dervamos y se tendr en cuenta la derivacin de funcin, y se llegar a una expresin:

EjemplosObtener en las siguientes funciones:

8x

Derivamos implcitamente:

Derivando de forma implcita:

Funciones transcendentesEs transcendente cuando no es polinmica, es decir, aparecen x e y dentro de logaritmos, cosenos, senos, etc.No se puede despejar x en funcin de y (o viceversa) y por tanto, para obtener hay que proceder con derivacin implcita.EjemplosObtener en las siguientes funciones:a) b)

a)

b)

OtroHallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto

Comprobamos que el punto pertenece a la curva:

El punto (0,1) pertenece a la curva

La recta tangente:

La normal:

Hallamos por derivacin implicita

Derivabilidad y continuidad. Derivadas InfinitasDe la definicin de derivada Y si por la izquierda tambin existe Teorema:Si es derivable en , entonces es continua (La derivabilidad es condicin suficiente para la continuidad).Si Si La continuidad es condicin necesaria para la derivabilidad.En definitiva: una funcin es en un punto puede ser:Continua y derivableContinua y no derivableNo continua y no derivable

Puntos de no derivabilidadCuando la funcin no es derivable en el punto puede ocurrir: no es continua en Ejemplo

En efecto:

No continua, no derivable

y ambas finitasEjemplo: en En efecto:

Luego: No derivable

-2

x=2

son infinitas de distinto signoEjemplo: en En efecto:

Punto x=2 Punto de retroceso

son infinitos del mismo signoEjemplo: en En efecto:

Punto de inversiony

x x=2

Derivadas sucesivas. Derivada ensimaSi la funcin es derivable en

Si es derivable (Derivada primera)Si la funcin es derivable en

Si es derivable (Derivada segunda)As seria continuamente con la derivada tercera, cuarta, etc. Hasta la ensima que sera:

[(=apostrofe]Si la funcin es derivable en

Si es derivable (Derivada ensima)Para obtener derivadas ensimas utilizamos el principio de induccin matemtica.

Ejemplosa) b) c)

a) Suponemos que es para n-1 Si volvemos a derivar:

b) Suponemos que sigue para n-1 Volviendo a derivar:

c) Suponemos que sigue para n-1 Volviendo a derivar:

Formula de LeibnizObtiene la derivada ensima de un producto de funciones y ambas con derivadas de orden n en un intervalo I (abierto)

Es como el binomio de Newton, intercambiando exponentes por rdenes de derivacin.La frmula de Leibniz no aconsejable para hallar la derivada ensima de un producto, en general, sin embargo es muy utilizada cuando se trata de:A) Ampliar la derivada de orden A de un producto de funciones.B) Ampliar la derivada ensima de un producto de funciones en el que una de ellas es un polinomio.EjemploHallar la derivada cuarta de llamando:

Formula de Leibniz:

EjemploHallar la derivada ensima de: llamando:

Formula de Leibniz:

Diferencial de una funcinDada la funcin derivable en el punto se define como diferencial (de 1er orden) de la funcin en al producto:

yRecta tangente cuya pendiente es

dy

Variacin o incremento de la ordenada segn la recta tangente a en

Todo esto se utiliza para aproximar una curva por los segmentos de las tangentes.

Propiedades de las diferenciales de 1er ordenSean funciones diferenciales (abirto), entonces:I) II) como sonsecuencia de integrar:

III)

Diferenciales de rdenes superioresSea funcin diferenciable hasta orden (abierto): (Diferencial de 1er orden) (Diferencial de 2o orden) (Diferencial de 3er orden) . (Diferencial ensimo.)

EJERCICIOSDesde la pg. 15

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