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LIMITES** Limite de una funcion es saber cual es el valor de la funcion acercandonos a cierto valor.
** limx"3
f x^ h = 7 A quiere decir que cuando x se acerca a 3 la funcion f x^ h = y se acerca a 7
** Definición:
limx"a
f x^ h = b
las definiciones de abajo no es obligatorio que f x^ h este definida en x = a
** limx"a
f x^ h = b , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x - a 1 d( f x^ h - b 1 f" ,
** limx"a+
f x^ h = b , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; a 1 x 1 a + d( f x^ h - b 1 f" ,
** limx"a-
f x^ h = b , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; a - d 1 x 1 a ( f x^ h - b 1 f" ,
** limx"a
f x^ h =+3, 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x - a 1 d( f x^ h 2 f" ,
** limx"a
f x^ h =-3, 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x - a 1 d( f x^ h 1-f" ,
** limx"+3
f x^ h = cte , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 2 d( f x^ h - cte 1 f" ,
** limx"-3
f x^ h = cte , 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 1-d( f x^ h - cte 1 f" ,
** limx"+3
f x^ h =+3, 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 2 d( f x^ h 2 f" ,
** limx"+3
f x^ h =-3, 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 2 d( f x^ h 1-f" ,
** limx"-3
f x^ h =+3, 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 1-d( f x^ h 2 f" ,
** limx"-3
f x^ h =-3, 6f 2 0,7 d 2 0 ; 6x d D f ; x 1-d( f x^ h 1-f" ,
se empieza por f x^ h - b 1 f AA hasta llegar a x - a 1 g f^ h
luego si d = g f^ h & se cumple limx"a
f x^ h = b
Los pasos a seguir por resolver un limite por definicion
1 cogemos f x^ h - b =transformarS g x^ h x - a
2 sacar Dg por ejemplo Dg = R - c,d" ,
3 sacar d1 =
21
a - d
21
a - c* 4 A se coge el nº mas pequeño sea ese nº h
si Dg = R A le damos un valor al azar a 0 1 d1 # 1
4 asi que x - a 1 d1 ( x - a 1 h (- h 1 x - a 1 h
5 por ultimo acotar g x^ h sabiendo que - h 1 x - a 1 h
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
Recuerda estas formulas
** a $ 0 siempre ; -a = a ; a = 0 , a = 0 ; a.b = a . b
ba =
b
asiendo b ! 0 ; a
2 = a2 = a2 ; a + b # a + b ; a - b # a - c + c - b
a - b $ a - b ; a # b ,- b # a # b si b fuera negativo A seria imposible
a $ b , a #- b 0 b # a si b fuera negativo A seria verdad siempre
** an - bn = a - b^ h an-1 + an-2b + an-3b2 + an-4b3 + .........................^ h
** an + bn = a + b^ h an-1 - an-2b + an-3b2 - an-4b3 + .... - ... + ........^ h
observacion de las potencias = n - 1/
mas adelante haremos algunos ejercicios para entenderlo mejor
Formulas de limites
1 limx"a
f x^ h6 @n = limx"a
f x^ h7 An2 lim
x"af x^ h! g x^ h6 @= lim
x"af x^ h! lim
x"ag x^ h
3 limx"a
f x^ h.g x^ h6 @= limx"a
f x^ h. limx"a
g x^ h
4 limx"a g x^ h
f x^ h=limx"a
g x^ h
limx"a
f x^ h
5 limx"a
k.f x^ h6 @= k. limx"a
f x^ h siendo k = Cte.
6 limx"a
k = k siendo k = Cte.
7 limx"a
f x^ h6 @g x^ h = limx"a
f x^ h7 A limx"ag x^ h
8 limx$a
fog x^ h6 @= f limx"a
g x^ h7 A si f es continua en g x^ h
9 limx"a
f x^ hn = limx"a
f x^ hn cuidado con D f si n es par
10 limx"alog
bf x^ h7 A= log
blimx"a
f x^ h7 A cuidado con D f
11 limx"a
sen f x^ h6 @= sen limx"a
f x^ h7 A , lo mismo pasa con cos , tag , cotg , arcsen ....etc.
Indeterminaciones
como resolverlos
100
a) si no hay raices cuadradas, factorizamos
b)si hay raices cuadradas,utilezaremos el conjugado
c)aplicar regla de l´hopital
23
3
a) se divide el numerador y el denominador por el x de mayor grado (potencia)
b)si son exponentes divideremos por el exponente de de mayor base
c) regla de l´hopital
3 3 -3
a) en la mayoria de los casos basta con efectuar el calculo
b)en raices cuadradas basta con multiplicar por el conjugado
c) si son exponentes, se multiplica por el exponente de mayor base
d) aplicar regla de l´hopital,antes hay que transformarlo en caso
1 ó 2 aplicando estas formulicas que son interesantes
a-b =
ab1
b1 -
a1
, ab =
b1a
, a-b = ab b1 -
a1
` j
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
4 13
Aplicar la formula : limx"a
f(x)6 @g(x) = 13 = e limx"ag(x). f(x)-17 A# -
5 00 y30
Aplicar la formula : limx"a
f(x)6 @g(x) = e limx"ag(x)Lnf(x)7 A
6 0.3
pasar la expresion que da 0 al denominador ,por las formulas
que hay arriba,y luego resolverlo por el metodo del caso 2
** En los limites de indeterminación siempre hay que buscar la manera de convertirlos en 00
o bien3
3
para despues factorizar , aplicar l´hopital...
CONTINUIDAD** Definición:
**la función f es continua,cuando podemos dibujar la grafica de f sin realizar ningún salto.
limx"a
f x^ h = b , 7f 2 0 ,d 2 0 / f x^ h - b 1 f cuando x - a 1 d
** f x^ h es continua en el punto x = a ,3 lim
x"af x^ h = f a^ h = cte
2 7 limx"a
f x^ h = cte
1 7 f x^ h = cte d RZ
[
\
]]]]]]]]]]]]
** f x^ h es continua a la derecha en x = a Ssi limx"a+
f x^ h = f a^ h = cte
** f x^ h es continua a la izquierda en x = a Ssi limx"a-
f x^ h = f a^ h = cte
** f x^ h es continua en el punto x = a , limx"a+
f x^ h = limx"a-
f x^ h = f a^ h = cte
** fog x^ h es continua en x = a si g x^ h es continua en x = a y f x^ h es continua en g a^ h
** todas las funciones seguientes son continuas sobre su D f
polinomicas , racionales , raices , trigonometricas , inversas , exponenciales , logaritmecas
** Propiedades
** la y/ la de% un nº limitado de funciones continuas en un intervalo es a su vez una función continua.
** el cociente de dos funciones continuas en un intervalo es también una función continua en ese intervalo, excepto
en los puntos que anulan el denominador.
** Teorema de Bolzano
f a^ h .f b^ h 1 0
de distinto signo1 2 344444444 44444444
f x^ h continua en a,b6 @4( 7 c d a,b@ 6/f c^ h = 0
DERIVABILIDAD** Definición:
f es derivable en x = a , 7 k d R/limx"a x - a
f x^ h - f a^ h= k
o bién
limh"0 h
f a + h^ h - f a^ h= k
** Teorema:
si f es derivable sobre el intervalo I ( f es continua sobre Isi f es derivable en x = a ( f es continua en x = a
% 1reciproco es falso.
** Derivabilidad a la derecha
limh"0+ h
f a + h^ h - f a^ h= lf a+^ h
o bién
limx"a+ x - a
f x^ h - f a^ h= lf a+^ h
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Derivabilidad a la Izquierda
limh"0- h
f a + h^ h - f a^ h= lf a-^ h
o bién
limx"a- x - a
f x^ h - f a^ h= lf a-^ h
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]
** f es derivable en x = a , lf a+^ h = lf a-
^ h , es decir cuando ambas tienen valores
finitos iguales o bién ambos son infinitos de igual signo.
** Regla de L´hopital AA Mas bién de BERNOULLI
sean f y g dos funciones continuas y definidas en a,b6 @, derivables en a,b^ h y sea c d a,b^ h/f c^ h = g c^ h = 0
limx" c g x^ h
f x^ h= lim
x" c lg x^ hlf x^ h
= limx" c llg x^ h
llf x^ h= = lim
x" c g n^ h x^ hf n^ h x^ h
mientras f y g sean n veces continuas y derivables la regla de L´hopital se puede aplicar n veces
Tabla de Derivadas
1 y = k cte^ h ( ly = 0
2 y = f x^ h6 @n ( ly = n. f x^ h6 @n-1. lf x^ h
3 y = k.f x^ h ( ly = k. lf x^ h
4 y = f x^ h ! g x^ h ( ly = lf x^ h ! lg x^ h
5 y = f x^ h .g x^ h ( ly = lf x^ h .g x^ h + f x^ h . lg x^ h
6 y =g x^ h
f x^ h( ly =
g x^ h6 @2lf x^ h .g x^ h - f x^ h . lg x^ h
7 y = fog x^ h ( ly = lf og x^ h6 @. lg x^ h
8 y = f-1 x^ h ( ly =lf of-1 x^ h
1
9 y = logaf x^ h ( ly =
f x^ h
lf x^ h
Ln a^ h1
10 y = a f x^ h( ly = a f x^ h . lf x^ h .Ln a^ h
11 y = e f x^ h( ly = e f x^ h . lf x^ h
12 y = senf x^ h ( ly = cosf x^ h . lf x^ h
13 y = cosf x^ h ( ly =- senf x^ h . lf x^ h
14 y = tagf x^ h ( ly =cos2 f x^ h
1lf x^ h = 1 + tag2 f x^ h6 @. lf x^ h
15 y = cotgf x^ h ( ly =sen2 f x^ h
-1lf x^ h =- 1 + cotg2 f x^ h6 @. lf x^ h
16 y = arcsenf x^ h ( ly =1 - f x^ h6 @2
1lf x^ h
17 y = arcosf x^ h ( ly =1 - f x^ h6 @2
-1lf x^ h
18 y = arctagf x^ h ( ly =1 + f x^ h6 @2
1lf x^ h
19 y = arcotgf x^ h ( ly =1 + f x^ h6 @2
-1lf x^ h
20 y = f x^ h6 @g x^ hA para esta formula se utiliza eLna = a
asi que y = eln f x^ h7 Ag x^ h
= eg x^ hLnf x^ hAA solo queda aplicar formulas anteriores
--------------------
Recordad: a.b2n = a2n . b2n a2n . b2n = a.b2n a.b2n+1^ h = a
2n+1^ h
. b2n+1^ h
ba2n
=b2n
a2n
b2n
a2n
=ba2n
ba
2n+1^ h
=b
2n+1^ h
a2n+1^ h
el sentido de la igualdad va según el sentido de las flechas negras
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Ejercicio 1 demostrar que si existe limx"a
f x^ h es unico
sea limx"a
f x^ h = l1 y limx"a
f x^ h = l2
limx"a
f x^ h = l1 + 6f 2 0,7 d 2 0 / x - a 1 d & f x^ h - l1 1 f A
limx"a
f x^ h = l2 + 6f 2 0,7 d 2 0 / x - a 1 d & f x^ h - l2 1 f B
ahora l1 - l2 = l1 - f x^ h + f x^ h - l2 a + b # a + b -a = a
luego l1 - l2 = l1 - f x^ h + f x^ h - l2 # l1 - f x^ h + f x^ h - l2 = f x^ h - l1 + f x^ h - l2
por ultimo como f x^ h - l1 1 f y f x^ h - l2 1 f asi que l1 - l2 1 2f & 21
l1 - l2 1 f
pero como sabemos que f 2 0 y l1 - l2 $ 0 lo que & l1 - l2 = 0 + l1 - l2 = 0 + l1 = l2
En conclusion el limite es único siempre hay una sola solucion^ h
--------------------
** Ejercicio 2
demuestra que limx"-1 x + 1
x2 - 1 =- 2
en este ejercicio la función f x^ h =x + 1x2 - 1
su dominio D f = R - -1" , asi que
limx"-1 x + 1
x2 - 1 =- 2 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d D f ; x - -1^ h 1 d(x + 1x2 - 1 - -2^ h 1 f% /
6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d D f ; x + 1 1 d
llegada6 7 8444444 444444
(
x + 1x2 - 1 + 2 1 f
Comienzo6 7 84444444444 4444444444
A de aqui hay que hacer aparecer x + 1
x + 1x2 - 1 + 2 =
x + 1x2 - 1 + 2x + 2 =
x + 1x2 + 2x + 1 =
x + 1
x + 1^ h2
= x + 1 1 f
luego cogiendo d = f queda demostrado el limite
--------------------
** Ejercicio 3
demuestra que limx"2
2x2 - x + 2^ h = 8
Recuerda:a 1 b 1 c , c
11 b
11 a
1siendo a , b , c de mismo signo
abc ! 0%
a 1 b , b11 a
1siendo a , b de mismo signo
ab ! 0%
en este ejercicio la función f x^ h = 2x2 - x + 2 su dominio D f = R asi que
limx"2
2x2 - x + 2^ h = 8 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d D f ; x - 2 1 d( 2x2 - x + 2 - 8 1 f" ,
6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d D f ; x - 2 1 d
llegada6 7 8444444 444444
( 2x2 - x - 6 1 f
Comienzo6 7 84444444444 4444444444
A de aqui hay que hacer aparecer x - 2
2x2 - x - 6 = x - 2^ h 2x + 3^ h = x - 2 2x + 3g x^ h1 2 34444 4444
1 f I A como ya tenemos x - 2 vamos a acotar g x^ h
fijandonos en Dg = R cogeremos un valor de d al azar siendo 0 1 d # 1 , cojamos d = 1 , se puede coger
21
, 31
, 71
, 101
.... etc.
cogiendo d = 1 y x - 2 1 d = 1 ,- 1 1 x - 2 1 1 A a nosotros nos interesa acotar 2x + 3^ h
x - 2 1 d = 1 ,- 1 1 x - 2 1 1,
X2@
- 2 1 2x - 4 1 2,
+7@
5 1 2x + 3 1 9 ,- 9 1 5 1 2x + 3 1 9
,- 9 1 2x + 3 1 9 , 2x + 3 1 9
Por último I x - 2 2x + 3g x^ h1 2 34444 4444
1 f, x - 2 .9 1 f, x - 2 1 9f
luego cogiendo d = minimo 1, 9f
# - queda demostrado el limite
--------------------
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Ejercicio 4
demuestra que limx"2
4x + 1^ h = 3
en este ejercicio la función f x^ h = 4x + 1 su dominio D f =4
-1, + 38 8 asi que
limx"2
4x + 1^ h = 3 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d D f ; x - 2 1 d( 4x + 1 - 3 1 f# -
6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d D f ; x - 2 1 d
llegada6 7 8444444 444444
( 4x + 1 - 3 1 f
Comienzo6 7 844444444444 44444444444
A de aqui hay que hacer aparecer x - 2
4x + 1 - 3 = 4x + 1 - 3^ h4x + 1 + 3^ h
4x + 1 + 3^ h=
4x + 1 + 3^ h
4x + 1 - 9^ h= 4
4x + 1 + 3^ h
x - 2^ h= 4 x - 2
4x + 1 + 3^ h
1
g x^ h1 2 3444444444 444444444
1 f I
I A como ya tenemos x - 2 vamos a acotar g x^ h A para ello sabemos que 4x + 1 2 0
4x + 1 2 0 , 4x + 1 2 0 , 4x + 1 + 3 2 3 , 0 14x + 1 + 3
11 3
1, 3
-11
4x + 1 + 3
11 3
1,
,
4x + 1 + 3^ h
11 3
1luego I 4 x - 2
4x + 1 + 3^ h
1
g x^ h1 2 3444444444 444444444
1 f, 4 x - 2 311 f, x - 2 1 4
3f
luego cogiendo d =4
3fqueda demostrado el limite
--------------------
** Ejercicio 5
demuestra que limx"1 x - 2
x - 3 = 2
en este ejercicio la función f x^ h =x - 2x - 3
su dominio D f = R - 2" , asi que
limx"1 x - 2
x - 3 = 2 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d D f ; x - 1 1 d(x - 2x - 3 - 2 1 f$ .
x - 2x - 3 - 2 1 f +
x - 2x - 3 - 2x + 4
1 f +x - 2
-x + 11 f +
x - 2
- x - 1^ h1 f ,
-a = aA
x - 2x - 1
1 f + x - 1x - 2
1
g x^ h6 7 8444 444
1 f I
Ahora pasemos a acotar g x^ h A Dg = R - 2" ,
sabemos que x - 1 1 d =21
a
1?
- b
2?
=21, 2
-11 x - 1 1 2
1,
-1@
2-31 x - 2 1 2
-1+
+ 2-31 x - 2 1 2
-1+- 2 1
x - 211 3
-2A mucho cuidado aqui
+ - 2 1x - 2
11 3
-21 2 ,
x - 2
11 2
luego I x - 1x - 2
11 f, x - 1 .2 1 f, x - 1 1 2
f
luego cogiendo d = minimo 21
, 2f
$ . queda demostrado el limite
--------------------
** Ejercicio 6
demuestra que limx"1 2x - 1^ h 3x - 4^ h
1 =- 1
limx"1 2x - 1^ h 3x - 4^ h
1 =- 1 + 6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d D f ; x - 1 1 d(2x - 1^ h 3x - 4^ h
1 - -1^ h 1 f' 1
6f 2 0 7 d 2 0 /6 x d D f ; x - 1 1 d
Final6 7 8444444 444444
(
2x - 1^ h 3x - 4^ h
1 + 1 1 f
Inicio6 7 844444444444444444 44444444444444444
12x - 1^ h 3x - 4^ h
1 + 1 =2x - 1^ h 3x - 4^ h
6x2 - 11x + 5=
2x - 1^ h 3x - 4^ h
6x - 5^ h x - 1^ h= 6x - 5
2x - 1
1
3x - 4
1
g x^ h6 7 8444444444444444 444444444444444
x - 1
2 Dg = R -21
, 34
$ .
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
3 d1 =
21
1 -34 =
61
21
1 -21 =
41
* AA se coge el nº mas pequeño6
1
4 asi que x - 1 16
1(-
6
11 x - 1 1
6
1
5 acotamos g x^ h
* 6x - 5 AA sabemos que -6
11 x - 1 1
6
1(
# por 6A
- 1 1 6x - 6 1 1 (
+1a cada ladoA
0 1 6x - 5 1 2 ( 6x - 5 1 2
*2x - 1
1AA sabemos que -
6
11 x - 1 1
6
1(
# por 2A
-3
11 2x - 2 1
3
1(
+1a cada ladoA
3
21 2x - 1 1
3
4
(4
31
2x - 11
12
3(
2x - 1
11 2
3
*3x - 4
1AA sabemos que -
6
11 x - 1 1
6
1(
# por 3A
-2
11 3x - 3 1
2
1(
-1a cada ladoA
-2
31 3x - 4 1-
2
1
(- 2 13x - 41
1-3
2(
3x - 4
11 2
por ultimo2x - 1^ h 3x - 4^ h
1 + 1 = 6x - 52x - 1
1
3x - 4
1x - 1 1 2 2
32 x - 1 = 6. x - 1 1 f( x - 1 1 6
f
asi que d = minimo valor 61
, 6f
$ .
--------------------
Indeterminación 00
** Ejercicio 7
calcula I = limx"4 x - 4
x4 - 256
1º metodo
I = limx"4 x - 4
x4 - 256 =4 - 4
44 - 256 =00
F.I
I = limx"4 x - 4
x4 - 256 = limx"4 x - 4
x2 - 16^ h x2 + 16^ h; E = limx"4 x - 4^ h
x - 4^ h x + 4^ h x2 + 16^ h< F = limx"4
x + 4^ h x2 + 16^ h6 @ = 8.32 = 256
2º metodo
I = limx"4 x - 4
x4 - 256 =4 - 4
44 - 256 =00
F.I A aplicando l´Hopital
I = limx"4 x - 4
x4 - 256 =
H?
limx"4 1
4x3
= 4. 4^ h3 = 256
--------------------
** Ejercicio 8
calcula I = limx"3 x2 - 9
x2 - 3x
1º metodo
I = limx"3 x2 - 9
x2 - 3x =9 - 99 - 9 =
00
F.I
I = limx"3 x2 - 9
x2 - 3x = limx"3 x - 3^ h x + 3^ h
x x - 3^ h= lim
x"3 x + 3^ h
x =63 =
21
2º metodo
I = limx"3 x2 - 9
x2 - 3x =9 - 99 - 9 =
00
F.I A aplicando l´Hopital
I = limx"3 x2 - 9
x2 - 3x =
H?
limx"3 2x
2x - 3 =6
6 - 3 =63 =
21
--------------------
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Ejercicio 9
calcula I = limx"2 x - 2
ex - e2
I = limx"2 x - 2
ex - e2
=2 - 2
e2 - e2
=00
F.I aplicando l´Hopital
I = limx"2 x - 2
ex - e2
=
H?
limx"2 1
ex
= limx"2
ex = e2
--------------------
** Ejercicio 10
calcula I = limx"1 x2 - 1
1 - x
1º metodo A aplicando Factorizando
I = limx"1 x2 - 1
1 - x=
00
F.I
I = limx"1 x2 - 1
1 - x= lim
x"1 x - 1^ h x + 1^ h
1 - x= lim
x"1 x - 1^ h x + 1^ h x + 1^ h
- x - 1^ h=
4-1
2º metodo A aplicando l´Hopital
I = limx"1 x2 - 1
1 - x= lim
x"1 2x2 x
-1
= limx"1 4.x. x
-1 =4
-1
3º metodo A aplicando conjugado
I = limx"1 x2 - 1
1 - x= lim
x"1 x2 - 1
1 - x
1 + x
1 + x= lim
x"1 x - 1^ h x + 1^ h 1 + x^ h
- x - 1^ h= lim
x"1 x + 1^ h 1 + x^ h
-1 =4
-1
--------------------
** Ejercicio 11
calcula I = limx"1 x - 1
x3 - 1
I = limx"1 x - 1
x3 - 1=
00
F.I
1º metodo A aplicando a3 - b3 = a - b^ h a2 + ab + b2^ h
x - 1 = x33 - 13 = x3^ h3
- 1^ h3 = x3 - 1^ h x23 + x3 + 1^ h
I = limx"1 x - 1
x3 - 1= lim
x"1 x3 - 1^ h x23 + x3 + 1^ h
x3 - 1= lim
x"1 x23 + x3 + 1
1 =31
2º metodo A aplicando L´Hopital
I = limx"1 x - 1
x3 - 1= lim
x"1 13. x23
1
= limx"1 3. x23
1 =31
3º metodo A aplicando Haciendo cambio de variable
Recuerda an = a n1A a1 = a , an existe Ssi
a d R+ si n par
a d R si n impar'
sacamos el minimo común multiplo de indices de las raices m.c.m 1,3^ h = 3
asi que el cambio de variable es t3 = x (t3" 1 & t " 1
x " 1% luego I queda de la seguiente forma
I = limx"1 x - 1
x3 - 1= lim
t"1 t3 - 1
t33 - 1= lim
t"1 t3 - 1t - 1 = lim
t"1 t - 1^ h t2 + t + 1^ h
t - 1 = limt"1 t2 + t + 1^ h
1 =31
--------------------
** Ejercicio 12
calcula I = limx"2 x2 - 2x3
x2 + x - 6
I = limx"2 x2 - 2x3
x2 + x - 6=
00
F.I
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
metodo A haciendo cambio de variable
para esta clase de ejercicios lo 1 es sacar minimo común multiplo de las indices raices^ h
m.c.m 2,3^ h = 6 A asi que el cambio sera de t6 = x - 2
x"2D
&
x " 2^ h & x - 2^ h
t66 7 8444 444
" 0< F
& t6" 0^ h & t " 0^ h
x = t6 + 2
*
I = limx"2 x2 - 2x3
x2 + x - 6= lim
x"2 x x - 2^ h3
x - 2^ h x + 3^ h= lim
t"0 t6 + 2^ ht63
t6 t6 + 2 + 3^ h= lim
t"0 t2 t6 + 2^ h3
t3 t6 + 2 + 3^ h= lim
t"0 t6 + 2^ h3
t t6 + 2 + 3^ h
I =23
0. 5= 0 , t3 = t2 .t = t2 t " t2 es positivo
--------------------
** Ejercicio 13
calcula I = limx"0 x.cosx
senx 1 + cosx^ h
I = limx"0 x.cosx
senx 1 + cosx^ h=
00
F.I
1º metodo A aplicando L´Hopital
I = limx"0 x.cosx
senx 1 + cosx^ h= lim
x"0 cosx - x.senx
cosx 1 + cosx^ h - sen2 x=
12 = 2
2º metodo
I = limx"0 x.cosx
senx 1 + cosx^ h= lim
x"0 xsenx
cosx1 + cosx^ h
= 1 12 = 2
--------------------
** Ejercicio 14
calcula I = limx"0 senx
ex - e-x
I = limx"0 senx
ex - e-x
=00
F.I
1º metodo A aplicando L´Hopital
I = limx"0 cosx
ex + e-x
=1
1 + 1 = 2
2º metodo A limx"0 x
ax - 1 = Lna
I = limx"0 senx
ex - e-x
= limx"0 senx
e-x e2x - 1^ h= lim
x"0 senxe-x e2x - 1^ h
2x2x = lim
x"0 senx2x
2xe2x - 1^ h
e-x = 2.1.1.1 = 2
--------------------
** Ejercicio 15
calcula I = limx"0 1 + x3 - 1
1 + x - 1
I = limx"0 1 + x3 - 1
1 + x - 1=
00
F.I
1º metodo A Haciendo cambio de variable es muy parecido al ejercicio 11^ h
sacamos el minimo común multiplo de indices de las raices m.c.m 2,3^ h = 6
asi que el cambio de variable es t6 = 1 + x (t6" 1 & t " 1
x " 0% luego I queda de la seguiente forma
I = limx"0 1 + x3 - 1
1 + x - 1= lim
t"1 t63 - 1
t6 - 1= lim
t"1 t2 - 1t3 - 1 = lim
t"1 t - 1^ h t + 1^ h
t - 1^ h t2 + t + 1^ h= lim
t"1 t + 1^ h
t2 + t + 1^ h=
23
2º metodo A aplicando a3 - b3 = a - b^ h a2 + ab + b2^ h
1 + x^ h - 1 = 1 + x^ h33 - 13 = 1 + x^ h3^ h
3- 1^ h
3 = 1 + x^ h3 - 1^ h 1 + x^ h23 + 1 + x^ h3 + 1_ i,
, 1 + x^ h3 - 1 =1 + x^ h
23 + 1 + x^ h3 + 1_ i
1 + x^ h - 1=
1 + x^ h23 + 1 + x^ h3 + 1_ i
x
1 + x^ h - 1 = 1 + x^ h22 - 12 = 1 + x^ h2^ h
2- 1^ h
2 = 1 + x^ h2 - 1^ h 1 + x^ h2 + 1^ h
^ h
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
, 1 + x^ h - 1 =1 + x^ h + 1^ h
1 + x^ h - 1=
1 + x^ h + 1^ h
x
I = limx"0
1 + x^ h23 + 1 + x^ h3 + 1_ i
x1 + x^ h + 1^ h
x
= limx"0 1 + x^ h + 1^ h
1 + x^ h23 + 1 + x^ h3 + 1_ i
=23
--------------------
** Ejercicio 16
calcula I = limx"1 x4 - 1
x3 - 1
I = limx"1 x4 - 1
x3 - 1=
00
F.I
Haciendo cambio de variable es muy parecido al anterior^ h
sacamos el minimo común multiplo de indices de las raices m.c.m 3,4^ h = 12
asi que el cambio de variable es t12 = x (t12" 1 & t " 1
x " 1% luego I queda de la seguiente forma
I = limx"1 x4 - 1
x3 - 1= lim
t"1 t124 - 1
t123 - 1= lim
t"1 t3 - 1t4 - 1 = lim
t"1 t - 1^ h t2 + t + 1^ h
t2 - 1^ h t2 + 1^ h= lim
t"1 t - 1^ h t2 + t + 1^ h
t - 1^ h t + 1^ h t2 + 1^ h=
34
--------------------
** Ejercicio 17
calcula I = limx"a x - a
x - asiendo a $ 0
I = limx"a x - a
x - a=
00
F.I
1º metodo A aplicando el conjugado
I = limx"a x - a
x - a= lim
x"a x - a
x - a
x + a
x + a< F = limx"a x - a^ h x + a^ h
x - a = limx"a x + a^ h
1 =2 a
1
2º metodo A Factorizando
I = limx"a x - a
x - a= lim
x"a x - a^ h x + a^ h
x - a< F = limx"a x + a^ h
1; E =2 a
1
2º metodo A l´Hopital
I = limx"a x - a
x - a= lim
x"a 12 x
1
= limx"a 2 x
1 =2 a
1
--------------------
** Ejercicio 18
calcula I = limx"0 bx
sen ax^ h
I = limx"0 bx
sen ax^ h=
00
F.I
1º metodo A l´Hopital
I = limx"0 bx
sen ax^ h=
H?
limx"0 b
a.cos ax^ h=
ba
2º metodo
I = limx"0 bx
sen ax^ h= lim
x"0 axsen ax^ h
bxax: D = lim
x"0 axsen ax^ h
ba: D =
ba
--------------------
** Ejercicio 19
calcula I = limx"1 x - 1
x2 - 1 + x - 1
I = limx"1 x - 1
x2 - 1 + x - 1=
00
F.I
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
I = limx"1 x - 1
x2 - 1 + x - 1= lim
x"1 x - 1
x2 - 1+ lim
x"1 x - 1
x - 1= lim
x"1 x - 1x2 - 1 + lim
x"1 x - 1
x - 1
x + 1
x + 1( 2
I = limx"1 x - 1^ h
x - 1^ h x + 1^ h+ lim
x"1 x + 1^ h x - 1
x - 1' 1 = lim
x"1x + 1 + lim
x"1 x + 1^ h x - 1
x - 1^ h2
) 3
I = limx"1
x + 1 + limx"1 x + 1^ h
x - 1= 2 +
20 = 2
--------------------
** Ejercicio 20
calcula I = limx"-3 x3 + 2x23
x2 + 2x - 3
I = limx"-3 x3 + 2x23
x2 + 2x - 3=
00
F.I
Recuerda: a2n+1^ h =- -a
2n+1^ h
I = limx"-3 x3 + 2x23
x2 + 2x - 3= lim
x"-3 x2 x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ hA sea f x^ h =
x2 x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ h
hagamos la tabla para saber cual es el campo de existencia de x + 3^ h x - 1^ h
x - 3 - 3 1 + 3
x - 1 - - 0 +
x + 3 - 0 + +
x - 1^ h x + 3^ h + 0 - 0 +
x + 3^ h x - 1^ h existe Ssi x d -3, - 3@ @, 1, + 36 6 luedo D f = -3, - 3@ 6, 1, + 36 6I = lim
x"-3 x2 x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ h= lim
x"-3 x + 3^ h3
x + 3
x23
x - 1
I = limx"-3- - - x + 3^ h3
- x + 3^ h
x23
- x - 1^ h= lim
x"-3-- - x + 3^ h6
x23
- x - 1^ h= 0
33
2 = 0
limx"-3+ x2 x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ hno existe porque la función f x^ h =
x2 x + 3^ h3
x + 3^ h x - 1^ hno esta definida en 3+
--------------------
Indeterminación3
3
** Ejercicio 21
calcula I = limx"3 x + 3
x2 + 1 - x + 2
I = limx"3 x + 3
x2 + 1 - x + 2=
3
3 - 3F.I
I = limx"3 x + 3
x2 + 1 - x + 2= lim
x"3 x 1 +x3
` j
x2 1 +x21
a k - x 1 -x2
` j
= limx"3 x 1 +
x3
` j
x 1 +x21
a k - x 1 -x2
` j
I =
limx"-3 x 1 +
x3
` j
-x 1 +x21
a k - x 1 -x2
` j
= limx"-3 1 +
x3
` j
- 1 +x21
a k - 1 -x2
` j
=1
-1 - 1 =- 2
limx"+3 x 1 +
x3
` j
x 1 +x21
a k - x 1 -x2
` j
= limx"+3 1 +
x3
` j
1 +x21
a k - 1 -x2
` j
=1
1 - 1 = 0
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
--------------------
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Ejercicio 22 anoto 3 =!3^ hcalcula I = lim
x"3 la xm + lb x
m-1 + lc xm-2 + ..............
axn + bx
n-1 + cxn-2 + ..............
I = limx"3 la x
m + lb xm-1 + lc x
m-2 + ..............
axn + bx
n-1 + cxn-2 + ..............
,cuando x"3
ojo sólo
I = limx"3 la x
max
n
= limx"3 la
axn-m = lim
x"3 la
axk
Si k = 0 A I =la
a
Si k par A I =la
a+3^ h
Si k Impar A I =la
a!3^ h A depende del signo de
la
a
--------------------
** Ejercicio 23
calcula I = limx"+3 x
Lnx^ h3
I = limx"+3 x
Lnx^ h3
=3
3
F.I
1º metodo recordad: lima"+3 a
Lna= 0
I = limx"+3 x
Lnx^ h3
= limx"+3 x
3^ h3
Lnx^ h3
= limx"+3 x
3
Lnxc m3 = limx"+3 x
3
Ln x3^ h
3e o3 =I = lim
x"+3 x3
3.Ln x3^ hd n3 = 3
3 . limx"+3 x
3
Ln x3^ hd n3 = 27.0
3 = 0
2º metodo A cambio de variable x = u3,
u3A+3, u A+3
x A+3%
I = limx"+3 x
Lnx^ h3
= limu"+3 u
3
Lnu3
^ h3
= limu"+3 u
3
3.Lnu^ h3
= 33lim
u"+3 uLnu` j
3
= 27.03 = 0
3º metodo A aplicando l´Hopital
I = limx"+3 x
Lnx^ h3
=
H?
limx"+3 x
3. Lnx^ h2
=
H?
limx"+3 x
3.2. Lnx^ h=
H?
limx"+3 x
3.2=+3
6= 0
--------------------
** Ejercicio 24
calcula I = limx"+3 x x - x
2 + x + 1^ h
x + x + 1
I = limx"+3 x x - x
2 + x + 1^ h
x + x + 1=+3 +3 - 3^ h+3
F.I
el 1º paso es convertir el denominador en un solo 3 para ello utilizaremos su conjugado.
I = limx"+3 x x - x
2 + x + 1^ h
x + x + 1= limx"+3 x
3 - x3 + x
2 + x^ h
x + x + 1=
I = limx"+3 x
3 - x3 + x
2 + x^ h
x + x + 1
x3 + x
3 + x2 + x^ h
x3 + x
3 + x2 + x^ h
= limx"+3 x
3 - x3 - x
2 - x^ h
x + x + 1^ h x3 + x
3 + x2 + x^ h
I = limx"+3 -x
2 - x^ h
x4 + x
4 + x3 + x
2 + x4 + x
3 + x4 + 2x
3 + 2x2 + x
I = limx"+3 x
2 -1 -x1
` j
x2 + x
21 +
x1+x2
1+ x
21 +
x1+ x
21 +
x2+x2
2+x3
1
I = limx"+3 -1 -
x1
` j
1 + 1 +x1+x2
1+ 1 +
x1+ 1 +
x2+x2
2+x3
1
=-1
4=- 4
--------------------
** Ejercicio 25
calcula I = limx"+3 x
3
Ln 3x - 2^ h
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
1º metodo
I = limx"+3 x
3
Ln 3x - 2^ h= limx"+3 x
3
Ln x. 3 -x2` j8 B
= limx"+3 x
3
Lnx + Ln 3 -x2` j
I = limx"+3 x
3
Lnx+
x3
Ln 3 -x2
` j> H = limx"+3 x
3
Lnx+ limx"+3 x
3
Ln 3 -x2
` j= limx"+3 x
3
Ln x3^ h3
+ limx"+3 x
3
Ln 3 -x2
` j
I = 0 ++3
Ln3= 0 + 0 = 0
2º metodo A aplicando l´Hopital
I = limx"+3 x
3
Ln 3x - 2^ h=
H?
limx"+3
3 x23
13x - 2
3
= limx"+3 3x - 2
9 x23
= limx"+3 x 3 -
x2
` j
9 x3
x1` j
3
=
I = limx"+3 x 3 -
x2
` j
9x.x1` j
3
= limx"+3 3 -
x2
` j
9.x1` j
3
=3 - 0
9.0= 0
--------------------
** Ejercicio 26 Recordad: I = limx"3
ax =
si x "-3si 0 1 a 1 1( I =+3
si a 2 1( I = 0$
si x "+3si 0 1 a 1 1( I = 0
si a 2 1( I =+3$
Z
[
\
]]]]]]]]]
calcula I = limx"+3 a
x-1
a2x+1 + b
x
siendo a 2 b 2 1 y a,b^ h d N2
I = limx"+3 a
x-1
a2x+1 + b
x
=
si x A-3( I =00F.I
si x A+3( I =+3
+3F.I* el 1º paso es dividir por el exponente de mayor base
I = limx"+3 a
-1ax
a.a2x + b
x
= limx"+3 a
xa-1
axa.a
x +axbx
a k= limx"+3 a
-1
a.ax +
axbx
=0A
f p
= limx"+3
a2ax = a
2 +3^ h =+3
--------------------
Indeterminación 13 , 0.3
** Ejercicio 27 Recordad: I = limx"a
f x^ h6 @g x^ h = 13
( I = elimx"a
g x^ h f x^ h-1_ i7 A
calcula I = limx"0
cosx + senx^ hx1
I = limx"0
cosx + senx^ hx1= 13
F.I
I = e
limx"0
x1 cosx+senx-1^ h
como limx"0 x
cosx + senx - 1^ h=00
apliquemos la regla de l´Hopital
limx"0 x
cosx + senx - 1^ h=
H?limx"0 1
-senx + cosx^ h= 1 por último
I = e1 = e
--------------------
** Ejercicio 28
calcula I = limx"3 7x
7x - 2` jx
I = limx"3 7x
7x - 2` jx
= limx"3
1 -7x2
` jx
= 13
F.I
1º metodo
I = limx"3
1 -7x2
` jx
= e
limx"3
x 1-7x2 -1d n
= e
limx"3
-7
2d n= e
-7
2
=e27
1
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
2º metodo Recordad: limf x^ h"3
1 +f x^ h
1a k
f x^ h
= e
I = limx"3
1 -7x2
` jx
= limx"3
1 +
-2
7x1
e o
x= limx"3
1 +
-2
7x1
e o-27x
> H 7-2
= e-7
2
=e27
1
--------------------
** Ejercicio 29
calcula I = limx"1 x + 2
2x + 1` jx-1
1
I = limx"1 x + 2
2x + 1` jx-1
1
= 13
F.I
1º metodo A I = limx"a
f x^ h6 @g x^ h = 13
( I = elimx"a
g x^ h f x^ h-1_ i7 A
I = limx"1 x + 2
2x + 1` jx-1
1
= e
limx"1x-1
1x+22x+1 -1d n
= e
limx"1x-1
1x+2x-1d n
= e
limx"1 x+2
1d n= e 3
1
= e3
2º metodo A limf x^ h"3
1 +f x^ h
1a k
f x^ h
= e
I = limx"1 x + 2
2x + 1` jx-1
1
= limx"1
1 +x + 2
2x + 1- 1` jx-1
1
= limx"1
1 +x + 2
x - 1` jx-1
1
=
I = limx"1
1 +
x - 1
x + 2
1
e ox-1x+2
x+2x-1
x-11
= limx"1
1 +
x - 1
x + 2
1
e ox-1x+2> Hx+2
x-1x-11
I = limx"1
1 +
x - 1
x + 2
1
e ox-1x+2> H
limx"1x+2
x-1x-11
= e 31
= e3
--------------------
** Ejercicio 30
calcula I = limx"1
tg4rx
_ itg
2rx
I = limx"1
tg4rx
_ itg
2rx
= 13
F.I
I = limx"1
tg4rx
_ itg
2rx
= e
limx"1
tg2rx tg
4rx -1c m
limx"1
tg2rx
tg4rx
- 1_ i = 3.0 F.I Aes pasarlo a la forma
00o3
3
y luego utilizar l´Hopital
cuando tenemos una indeterminación de esta forma)
limx"1
tg2rx
tg4rx
- 1_ i = limx"1
tg2rx1
tg4rx
- 1_ i= limx"1 cotg
2rx
tg4rx
- 1_ iA Aplicando l´Hopital
= limx"1
sen2
2rx
-12r
cos2
4rx1
4r
=2
-1limx"1 cos
2
4rx
sen2
2rx
=2
-1
2
2c m21
=- 1 luego I = e-1
--------------------
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Ejercicio 31
calcula I = limx"
2r
1 + r - 2x^ htgx
I = limx"
2r
1 + r - 2x^ htgx
= 13
F.I
I = limx"
2r
1 + r - 2x^ htgx
= e
limx"
2r
tgx 1+r-2x-1^ h
limx"
2r
tgx r - 2x^ h = 3.0 F.I A limx"
2r
tgx r - 2x^ h = limx"
2r
tgx1
r - 2x^ h= limx"
2r cotgx
r - 2x^ hA aplicar l´Hopital
= limx"
2r
sen2x
-1
-2= limx"
2r
2sen2x = 2 luego I = e
2
--------------------
** Ejercicio 32
calcula I = limx"1
2 - x^ htg
2rx
I = limx"1
2 - x^ htg
2rx
= 13
F.I
I = limx"1
2 - x^ htg
2rx
= e
limx"1
tg2rx 2-x-1^ h
= e
limx"1
tg2rx 1-x^ h
limx"1
tg2rx
1 - x^ h = 3.0 F.I A limx"1
tg2rx
1 - x^ h = limx"1
tg2rx1
1 - x^ h= limx"1 cotg
2rx
1 - x^ hA aplicar l´Hopital
= limx"1
sen2
2rx
-2r
-1=r
2limx"1
sen2
2rx
=r
2luego I = er
2
--------------------
Indeterminación 30 , 00
Recordad: I = limx"a
f x^ h6 @g x^ h =0030' ( I = e
limx"a
g x^ hLn f x^ h_ i7 A
** Ejercicio 33
calcula I = limx"0
cotagx^ hsenxI = lim
x"0cotagx^ hsenx = 30 F.I
I = e
limx"0
senx.Ln cotagx^ hA lim
x"0senx.Ln cotgx^ h = 0.3 F.I
limx"0
senx.Ln cotgx^ h = limx"0
senx1
Ln cotgx^ h=
H?limx"0
sen2x
-cosx
cotgx1
sen2x
-1
= limx"0-cosx
-tgx= limx"0 cos
2x
senx= 0
luego I = e0 = 1
--------------------
** Ejercicio 34
calcula I = limx"2
r 1 - senx
1` jcotgx
I = limx"2
r 1 - senx
1` jcotgx = 30 F.I
I = e
limx"
2r
cotgx.Ln1-senx
1c m
A limx"2
r
cotgx.Ln1 - senx
1` j = 0.3 F.I
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
limx"2
r tgx1
Ln1 - Ln 1 - senx^ h6 @% / =- limx"2
r tgx
Ln 1 - senx^ h=
H?- limx"2
r
cos2x
11 - senx
-cosx
=
= limx"2
r 1 - senx
cos3x=00=
H?limx"2
r -cosx
-3cos2x.senx
= limx"2
r
3cosx.senx = 0
luego I = e0 = 1
--------------------
** Ejercicio 35
calcula I = limx"+3
e-x^ hx
1
I = limx"+3
e-x^ hx
1= 0
0F.I
I = limx"+3
e-x^ hx
1= e
limx"+3x
1 .Ln e-x^ h
A limx"+3 x
1.Ln e
-x^ h = lim
x"+3 x1-xLn e^ h6 @ = lim
x"+3-1^ h =- 1
luego I = e-1
--------------------
** Ejercicio 36
calcula I = limx"+3 1 + x
2` j
Lnx2
I = limx"+3 1 + x
2` j
Lnx2
= 00F.I
I = limx"+3 1 + x
2` j
Lnx2
= e
limx"+3Lnx
2 Ln1+x2
d n
limx"+3 Lnx
2Ln
1 + x
2` j = 2 lim
x"+3 Lnx
Ln1 + x
2` j
= 2 limx"+3 Lnx
Ln2 - Ln 1 + x^ h=+3
+3
=
H?2 limx"+3
x1
1 + x
-1
=- 2 limx"+31 + x
x=- 2 lim
x"+3 xx=- 2
luego I = e-2
--------------------
** Ejercicio 37
calcula I = limx"0
x.senx1, J = lim
x"3x.sen
x1
** I = limx"0
x.senx1
si x " 0,x1" 3 y sen
x1no admite ningún limite x " 0 , lo unico que sabemos
es que esta a cot ada -1 # senx1# 1` j en conclusión x.sen
x1" 0
por último limx"0
x.senx1= 0
** J = limx"3
x.senx1, J = lim
x"3
x1
senx1
haciendo cambio variable a =x1
a " 0
x " 3,x1" 0(
J = limx"3
x1
senx1
= lima"0 a
sena= 1
--------------------
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Ejercicio 38
se considera la función f x^ h =-2x - 1 si x #- 1
x2
si - 1 1 x 1 0
senx si x $ 0)estudiar en los puntos 0 y - 1 la continuidad de f x^ hRespuesta :
f x^ h =-2x - 1 si x #- 1 3
x2
si - 1 1 x 1 0 2
senx si x $ 0 1Z
[
\
]]]]]]]]]
Continuidad en x = 0
f x^ h es continua en x = 0 Ssi limx"0+
f x^ h = limx"0-
f x^ h = f 0^ h
f 0^ h " nos encontramos en la ecuación 1 ( f 0^ h = sen0 = 0
x " 0+ " nos encontramos en la ecuación 1 ( limx"0+
f x^ h = limx"0+
senx = 0
x " 0- " nos encontramos en la ecuación 2 ( limx"0-
f x^ h = limx"0-
x2 = 0
como limx"0+
f x^ h = limx"0-
f x^ h = f 0^ h = 0, f x^ h es continua en x = 0
Continuidad en x =- 1
f x^ h es continua en x =- 1 Ssi limx"-1+
f x^ h = limx"-1-
f x^ h = f -1^ h
f -1^ h " nos encontramos en la ecuación 3 ( f -1^ h =- 2 -1^ h - 1 = 1
x "- 1+ " nos encontramos en la ecuación 2 ( limx"-1+
f x^ h = limx"-1+
x2 = 1
x "- 1- " nos encontramos en la ecuación 3 ( limx"-1-
f x^ h = limx"-1-
-2x - 1^ h = 1
como limx"-1+
f x^ h = limx"-1-
f x^ h = f -1^ h = 1, f x^ h es continua en x =- 1
--------------------
** Ejercicio 39
f x^ h =2 si x = 1x2 - 1
x - 1si x ! 1*
estudia la continuidad de f
Respuesta :
f x^ h =2 si x = 1 2
x2 - 1
x - 1si x ! 1 1
*
en los ejercicios donde aparece el valor absoluto lo 1º es quitarlo
x - 1 =x - 1 si x # 1
x - 1 si x $ 1$ , pero se observa en la ecuación 1 que x ! 1 asi que x - 1 =
x - 1 si x 1 1
x - 1 si x 2 1$
luego la f queda de la seguiente forma : f x^ h =2 si x = 1x2 - 1
-x + 1si x 1 1
x2 - 1
x - 1si x 2 1
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]] =
2 si x = 1 c
x + 1
-1si x 1 1 b
x + 1
1si x 2 1 a
Z
[
\
]]]]]]]]]]]]]]
sabemos que una funcion cte y una funcion lineal son continuas en todo R, y como f es el cociente
de dos funciones continuas en R( f es continua en R excepto en los puntos que anulen el denominador -1^ hasi que nos queda por estudiar la continuidad en x = 1
f x^ h es continua en x = 1 Ssi limx"1+
f x^ h = limx"1-
f x^ h = f 1^ h
f 1^ h = 2 , limx"1+
f x^ h = limx"1+ x + 1
1=21, lim
x"1-f x^ h = lim
x"1- x + 1
-1=
2
-1
limx"1+
f x^ h ! limx"1-
f x^ h ! f 1^ h( f no es continua en x = 1
por último f es continua en R - -1,1" ,--------------------
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Ejercicio 40
f x^ h =
xr
si x $ r
sen x + b^ h si 0 1 x 1 r
a x - 1^ h2 si x # 0Z
[
\
]]]]]]]]]]
Halla el valor de a y b para que f sea continua en R
Respuesta:
f x^ h =
xr
si x $ r
sen x + b^ h si 0 1 x 1 r
a x - 1^ h2 si x # 0Z
[
\
]]]]]]]]]]
las funciones a x - 1^ h2 , sen x + b^ h yxr
son continuas en todo su dominio
luego los únicos puntos de posible discontinuidad es el salto entre las funciones
para comprobar si la funcion es continua en dichos puntos se evalúan los limites laterales
y la función en los puntos.
continuidad en x = 0
f 0^ h = a 0 - 1^ h2 = a , limx"0+
f x^ h = limx"0+
sen x + b^ h = senb , limx"0-
f x^ h = limx"0-
a x - 1^ h2 = a
para que f sea continua en x = 0 , f 0^ h = limx"0+
f x^ h = limx"0-
f x^ h, a = senb
continuidad en x = r
f r^ h =r
r= 1 , lim
x"r-f x^ h = lim
x"r-sen x + b^ h = sen r + b^ h =- senb , lim
x"r+f x^ h = lim
x"r+ xr
= 1
para que f sea continua en x = r, f r^ h = limx"r-
f x^ h = limx"r+
f x^ h, 1 =- senb
en conclución-1 = senb
a = senb$ ( a =- 1 , senb =- 1 = sen2
-r+
b = r +2r
+ 2kr
b =2
-r+ 2kr*
b = r +2r
+ 2kr
b =2
-r+ 2kr* + b =
2
-r+ 2kr con k d Z
--------------------
** Ejercicio 41
f x^ h =b si x = 0
x2
tg2rx
si x ! 0*halla el valor de b para que f sea continua en x = 0
Respuesta:
f x^ h =b si x = 0
x2
tg2rx
si x ! 0*, f continua en x = 0 , lim
x"0f x^ h = f 0^ h
limx"0
f x^ h = limx"0 x
2
tg2rx
limx"0 x
2
tg2rx
= limx"0r
2
r2x
2
tg2rx
= limx"0r
2
r.x
tgrx` j2 = r2
limx"0 r.x
tgrxa k2 =
limx"0 r.x
tgrx= lim
x"0 rxcosrxsenrx
= limx"0rx.cosrx
senrx= lim
x"0 rxsenrx
cosrx1` j = lim
x"0 rxsenrx
limx"0 cosrx
1= 1.1 = 1
limx"0
f x^ h = r2 , f 0^ h = b
luego para que f sea continua b debe valer r2
--------------------
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Ejercicio 42
f x^ h =2b si x = 0
x2
ex - e
ax + x2
si x ! 0*halla los valores de a y b para que f sea continua en x = 0
Respuesta:
para que la función sea continua en x = 0 , limx"0
f x^ h = f 0^ hlimx"0
f x^ h = limx"0 x
2
ex - e
ax + x2
=00
F.I A aplicando l´Hopital
limx"0 x
2
ex - e
ax + x2
=
H?limx"0 2x
ex - ae
ax + 2x=
01 - a
A 1 - a = 0 + a = 1 asi poder seguir aplicando Hopital^ hlimx"0 2x
ex - ae
ax + 2x=
H?limx"0 2
ex - a
2e
ax + 2=
a=1?limx"0 2
ex - e
x + 2= 1 , f 0^ h = 2b
limx"0
f x^ h = f 0^ h, 2b = 1 , b =21
--------------------
** Ejercicio 43
f x^ h =-2x - 1 si x #- 1
x2
si - 1 1 x 1 0
senx si x $ 0)Estudiar la derivabilidad de f en x = 0 y x =- 1
Respuesta:
f x^ h =-2x - 1 si x #- 1
x2
si - 1 1 x 1 0
senx si x $ 0)( lf x^ h =
-2 si x #- 1
2x si - 1 1 x 1 0
cosx si x $ 0*utilizando la definición $ f
derivabilidad en x = 0
derivada por la derecha
limx"0+ x - 0
f x^ h - f 0^ h= lim
x"0+ x - 0
senx - sen0= lim
x"0+ xsenx
= 1
derivada por la Izquierda
limx"0- x - 0
f x^ h - f 0^ h= lim
x"0- x - 0
x2 - sen0
= limx"0- x
x2
= 0
luego la función no es derivable en x = 0 por no coincidir ambas derivadas.
derivabilidad en x =- 1
derivada por la derecha
limx"-1+ x - -1^ hf x^ h - f -1^ h
= limx"-1+ x + 1
x2 - 1
= limx"-1+
x - 1^ h =- 2
derivada por la Izquierda
limx"-1- x - -1^ hf x^ h - f -1^ h
= limx"-1- x + 1
-2x - 1 - 1= lim
x"-1- x + 1
-2x - 2=- 2
luego la función es derivable en x =- 1 por coincidir ambas derivadas.
utilizando$ lf
lf 0^ h = 1 , lf 0+^ h = 1 , lf 0-^ h = 0 ( f no es derivable en x = 0
lf -1^ h =- 2 , lf -1+^ h =- 2 , lf -1-^ h =- 2 ( f es derivable en x =- 1
--------------------
** Ejercicio 44
f x^ h =
x
Ln 1 + x^ hsi x 2 0
x2 + bx + c si x # 0* es derivable en x = 0
Respuesta:
f x^ h =
x
Ln 1 + x^ hsi x 2 0
x2 + bx + c si x # 0*
para que f sea derivable en x = 0 antes tiene que ser continua en x = 0
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
continuidad en x = 0
f 0^ h = c , limx"0+
f x^ h = limx"0+ x
Ln 1 + x^ h=
00
aplicando l´Hopital
= limx"0+ 1
1 + x
1
= limx"0+ 1 + x
1= 1
limx"0-
f x^ h = limx"0-
x2 + bx + c^ h = c
Por último f es continua en x = 0 Ssi f 0^ h = limx"0+
f x^ h = limx"0-
f x^ h( c = 1
derivabilidad en x = 0
limx"0+ x - 0
f x^ h - f 0^ h= lim
x"0+ xx
Ln 1 + x^ h- 1
= limx"0+ x
2
Ln 1 + x^ h - x=
00
aplicar l´Hopital
= limx"0+ 2x
1 + x
1- 1
= limx"0+ 2x
1 + x
1 - 1 - x
= limx"0+ 2x
1 + x
-x
= limx"0+ 2 1 + x^ h-1
=2
-1
limx"0- x - 0
f x^ h - f 0^ h= lim
x"0- xx
2 + bx + 1 - 1= lim
x"0- xx
2 + bx= lim
x"0-x + b^ h = b
luego para que f sea derivable en x = 0 (c = 1
b =2
-1)--------------------
** Ejercicio 45
sea la función f x^ h =0
x
xx si x ! 0*
¿ es continua en x = 0 ?
calcula función reciproca f-1
Respuesta:
el primer paso es hacer desaparecer el valor absoluto,asi que la función queda de la forma seguiente:
f x^ h =0 si x 2 0
x
-x-x =- -x si x 1 0
xx
x = x si x 2 0Z
[
\
]]]]]]]]]] , la función es continua en x = 0 Ssi f 0^ h = lim
x"0+f x^ h = lim
x"0-f x^ h
f 0^ h = 0 , limx"0+
f x^ h = limx"0+
x = 0 , limx"0-
f x^ h = limx"0-
- -x = 0 , luego f es continua en 0
función reciproca f-1
de f
f x^ h = y ,- -x = y +- x = y
2si y # 0
x = y + x = y2
si y $ 0) ,
x =- y2
si y # 0
x = y2
si y $ 0( ,
x =- y.y si y # 0
x = y.y si y $ 0%f x^ h = y , x = y y = f
-1y^ h
por último f-1
x^ h = x x
--------------------
** Ejercicio 46
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = Ln ax2 + bx + c^ h
Respuesta: Recuerda: y = f x^ h6 @n & ly = n f x^ h6 @n-1. lf x^ h , y = Ln f x^ h6 @& ly =
f x^ h1lf x^ h
lf x^ h =ax
2 + bx + c
1ax
2 + bx + c^ hl=ax
2 + bx + c
1ax
2 + bx + c^ h217 Al
lf x^ h =ax
2 + bx + c
121
ax2 + bx + c^ h2
1 -18 B ax2 + bx + c^ hl
lf x^ h =ax
2 + bx + c
121
ax2 + bx + c^ h- 2
18 B 2ax + b^ h =ax
2 + bx + c
1
2 ax2 + bx + c
12ax + b^ h
lf x^ h =ax
2 + bx + c
1
2 ax2 + bx + c
2ax + b=
2 ax2 + bx + c^ h2ax + b
--------------------
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
** Ejercicio 47
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = x x x3
Respuesta:
f x^ h = x x x3 = x.x 3
1
. x 21^ h31 = x.x 3
1
. x61
= x1+
31 +
61
= x 23
( lf x^ h =23
x 23 -1 =
23
x
--------------------
** Ejercicio 48
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = tg a^ hxRespuesta: Recuerda: a
f x^ h6 @l= af x^ hlf x^ h Ln a^ h
f x^ h = tg a^ hx ( lf x^ h =cos
2a^ hx1
a^ hx6 @l=cos
2a^ hx1
a^ hx lna
--------------------
** Ejercicio 49
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = Ln x^ hxRespuesta: Recuerda: f x^ h .g x^ h6 @l= lf x^ hg x^ h + f x^ h lg x^ hf x^ h = Ln x^ hx , f x^ h = x.Ln x^ h( lf x^ h = Ln x^ h + x
x1
= Ln x^ h + 1
--------------------
** Ejercicio 50
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = tg x^ h6 @sen2x
Respuesta: a = eLna
y = tg x^ h6 @sen2x, y = e
Ln tg x^ h7 Asen2x
= e
sen2x.Ln tg x^ h7 A
ly = e
sen2x.Ln tg x^ h7 A
. sen2x.Ln tg x^ h6 @6 @l= tg x^ h6 @sen2x
2senx.cosx.Ln tg x^ h6 @ + sen2x.
tgx1
cos2x
1: Dly = tg x^ h6 @sen2x
sen2x.Ln tg x^ h6 @ + tg2x.
tgx1: D
ly = tg x^ h6 @sen2xLn tg x^ h6 @sen2x
+ tgx6 @--------------------
** Ejercicio 51
Calcula lf x^ h siendo f x^ h = cosx^ hcosx6 @xRespuesta:
y = cosx^ hcosx6 @x , y = cosx^ hx.cosx, y = e
Ln cosx^ hx.cosx
= e
x.cosx.Ln cosx^ h
ly = e
x.cosx.Ln cosx^ h
x.cosx.Ln cosx^ h6 @l= cosx^ hx.cosxcosx.Ln cosx^ h + x cosx.Ln cosx^ h^ hl6 @,
ly = cosx^ hx.cosxcosx.Ln cosx^ h + x -senx.Ln cosx^ h +
cosxcosx
-senx^ h7 A$ .ly = cosx^ hx.cosx
Ln cosx^ hcosx+ Ln cosx^ h-x.senx
- x.senx" ,ly = cosx^ hx.cosx
Ln cosx^ hcosxcosx^ h-x.senx6 @ - x.senx" ,
ly = cosx^ hx.cosxLn cosx^ hcosx-x.senx
- x.senx^ h--------------------
** Ejercicio 52
halla la derivada nésima de y =x + 1
1, z =
x - 1
1, w =
x2 - 1
-2
Respuesta:
y = x + 1^ h-1
ly =- x + 1^ h-1-1= -1^ h1 x + 1^ h-1-1
A- x + 1^ h-2
lly = -1^ h -2^ h x + 1^ h-1-2= -1^ h2 2 x + 1^ h-1-2
A 2 x + 1^ h-3
llly = 2 -3^ h x + 1^ h-4= -1^ h3 2.3 x + 1^ h-1-3
A- 6 x + 1^ h-4
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
lllly = 24 x + 1^ h-5= -1^ h4 2.3.4 x + 1^ h-1-4
se puede deducir de una forma generalizada que lyn = -1^ hn n! x + 1^ h-1-n
1
para estar seguros debemos comprobar lyn+1^ h
lyn+1^ h = -1^ hn n! -n - 1^ h x + 1^ h-2-n
= -1^ hn+1n + 1^ h! x + 1^ h-2-n
lo que demuestra que la formula 1 esta bién generalizada
z = x - 1^ h-1
lz =- x - 1^ h-1-1= -1^ h1 x - 1^ h-1-1
A- x - 1^ h-2
mz = -1^ h -2^ h x - 1^ h-1-2= -1^ h2 2 x - 1^ h-1-2
A 2 x - 1^ h-3
nz = 2 -3^ h x - 1^ h-4= -1^ h3 2.3 x - 1^ h-1-3
A- 6 x - 1^ h-4
mmz = 24 x + 1^ h-5= -1^ h4 2.3.4 x + 1^ h-1-4
se puede deducir de una forma generalizada que lzn = -1^ hn n! x - 1^ h-1-n
2
se demuestra de la misma forma que la anterior.
se observa que w = y - z , lwn = ly
n - lzn
asi que
lwn = -1^ hn n! x + 1^ h-1-n
- -1^ hn n! x - 1^ h-1-n= -1^ hn n! x + 1^ h-1-n
- x - 1^ h-1-n6 @lwn = -1^ hn n!
x + 1^ h1+n
1-
x - 1^ h1+n
1; E = -1^ hn n!x2 - 1^ h1+n
x - 1^ h1+n- x + 1^ h1+n< F
Limites-Continuidad-Derivabilidad BANHAKEIA-TRUSPA
