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Wilton Oltmanns Encarnación.
ID: UD35569SGE44143
Para nunca cansarme de luchar y de ser yo, de vez en cuando trato de soñar y pensar
que mis derrotas y fracasos algún dia se convertirán en gloria de éxito. Wilton Oltmanns
3
INTRODUCCION
Este manual didáctico de Cálculo Diferencial es un material de estudio que sirve de soporte de
estudio a estudiantes, profesores y seguidores de las matemáticas. Éste está confeccionado bajo
técnicas pedagógicas para que los interesados en las matemáticas adquieran el conocimiento
concerniente al cálculo diferencial con introducción a la geometría analítica. Está estructurado bajo
varios capítulos haciendo incapies en la geometría analítica y en el estudio de las conicas. Entre estos
se encuentran Capitulo 1: Introduccion a la geometria analítica, Capítulo 2: Las Cónicas, capítulo 3:
Relaciones y funciones, capítulo 4: Límite, continuidad y asíntotas, Capitulo 5: Límites, capítulo 6:
Aplicaciones de derivadas.
Se espera que este manual sea de mucha ayuda y que cada persona después de estudiar las
teorías se sienta en capacidad de realizar las prácticas que están contenidas en este.
Wilton Oltmanns
4
CONTENIDO
1. Capítulo 1: Introducción a la Geometría Analítica. ..................................................................... 9
1.1 Geometría Analítica ........................................................................................................................ 9
1.1.1 Distancia entre dos puntos. ................................................................................................. 9
1.1.2 Punto medio de un segmento. ........................................................................................... 11
1.1.3 Parámetros, ecuaciones y tipos de la recta ....................................................................... 11
1.1.4 Pendiente de una recta ...................................................................................................... 12
1.1.5 Intercepto de una recta. ..................................................................................................... 14
1.1.6 Ecuación Segmentaria de una recta. ................................................................................ 15
1.1.7 Ecuación punto pendiente de una recta. ........................................................................... 16
1.1.8 Ecuación de la recta dados dos puntos .............................................................................. 16
1.1.9 Rectas paralelas y perpendiculares ................................................................................... 17
1.1.10 Haz de rectas ..................................................................................................................... 18
1.1.11 Distancia de un punto a una recta. .................................................................................... 23
1.1.12 Distancia entre dos rectas paralelas ................................................................................. 24
1.2 Gráfica o Lugar Geométrico ......................................................................................................... 25
1.3 Práctica # 1: Introducción a La Geometría Analítica ................................................................... 30
2. Capítulo 2: Las Cónicas ................................................................................................................ 33
2.1 Historia de las cónicas .................................................................................................................. 33
2.2 Concepto de cónicas. ..................................................................................................................... 33
2.3 La Circunferencia .......................................................................................................................... 34
2.3.1 Ecuación Canónica. ................................................................................................................ 35
2.3.2 Ecuación Ordinaria ................................................................................................................. 36
2.3.3 Ecuación General. Demostración ........................................................................................... 36
2.3.3.1 Demostración de la Ecuación General partiendo de la ecuación Ordinaria. .................... 37
2.3.4 Realización de la gráfica de una circunferencia. .................................................................... 38
2.4 La Elipse ........................................................................................................................................ 40
2.4.1 Elementos de una Elipse ......................................................................................................... 40
2.4.2 Demostracion de la Ecuacion Ordinaria de una Elipse. ......................................................... 41
2.4.2.1 Deduciones de las ecuaciones de una Elipse. ...................................................................... 42
2.4.3 Realización de la gráfica de una Elipse. ................................................................................. 47
2.5 La Parábola .................................................................................................................................... 48
5
2.5.1 Ecuaciones de la parábola ...................................................................................................... 49
2.5.2 Representación grafica de una parábola. ................................................................................ 50
2.6 Hipérbola ....................................................................................................................................... 51
2.6.1 Elementos de una Hiperbola con centro en el origen ............................................................. 52
2.6.2 Ecuaciones de una hipérbola .................................................................................................. 52
2.7 Práctica # 2: Las cónicas ............................................................................................................. 55
3. Capítulo 3: Relaciones y Funciones ............................................................................................. 59
3.1 Importancia del Cálculo Diferencial ............................................................................................. 59
3.2 Relaciones y Funciones ................................................................................................................. 60
3.3 Clasificación de las funciones elementales. .................................................................................. 61
3.4 Propiedades de una relación. ........................................................................................................ 62
3.5 Dominio y Rango de una función ................................................................................................ 63
3.6 Función. Concepto y Defininición. ............................................................................................... 64
3.6.1 Clasificación de las funciones según su aplicación ............................................................... 64
3.6.2 Función par e impar ................................................................................................................ 65
3.6.3 Funciones algebraica. Clasificación. ...................................................................................... 66
3.7 Práctica #3: Relaciones y Funciones. ............................................................................................ 69
4. Capítulo 4: Limites, continuidad y Asintotas. ............................................................................. 72
4.1 Limite. Concepto ........................................................................................................................... 72
4.2 Resolución de Limite por proceso de evaluación.......................................................................... 72
4.3 Resolución de límites por propiedades......................................................................................... 73
4.3.1 Propiedades de los límites. .................................................................................................... 73
4.4 Operaciones con límites e indeterminaciones ............................................................................... 75
4.4.1 Sustitución Directa ............................................................................................................... 75
4.4.2 Técnica de factorización o cancelación .................................................................................. 75
4.4.3 Límites de funciones racionales. ........................................................................................... 76
4.4.4 Límite de Funciones Irracionales. .......................................................................................... 77
4.5 Indeterminaciones y Operaciones con el Infinito. ......................................................................... 77
4.5.1 Indeterminación de 0/0 que se resuelven por factorización o producto conjugado. ............... 79
4.5.2 Indeterminación de tipo 𝟎𝟎 𝒆 ∞∞. ....................................................................................... 80
4.6 Resolución de límites por comparación de infinitos cuando se obtiene ( ) ......................... 81
4.7 Resolución de limites racionales de indeterminación de ( ) ............................................... 81
6
4.8 Indeterminacion de tipo∞. 𝟎 ......................................................................................................... 82
4.8.1 Resolución de indeterminación de tipo 𝟏∞. ........................................................................... 82
4.9 Límite. Definición épsilon- Delta de límite. ................................................................................ 84
4.10 Resolucion de Límites con valor absoluto. ................................................................................. 85
4.11 Teorema del Sanwich .................................................................................................................. 88
4.12 Continuidad ................................................................................................................................. 90
4.12.1 Tipos de Continuidad ............................................................................................................ 90
4.12.2 Discontinuidad. Tipos ........................................................................................................... 91
4.12.3 Continuidad de una función en un intervalo ......................................................................... 91
4.12.4 Definición formal de Continuidad ........................................................................................ 92
4.13 Asíntotas ...................................................................................................................................... 92
4.13 Práctica #4: Límite, Continuidad y Asíntota. .............................................................................. 96
5. Capítulo 5: Derivadas .................................................................................................................. 100
5.1 Derivada. Conceptos ................................................................................................................... 100
5.2 Connotación de derivadas ........................................................................................................... 100
5.2.1 Connotación de derivadas n-esima. ...................................................................................... 101
5.3 Resolución de derivadas por el método de los incrementos....................................................... 101
5.3.1 Resolución de derivadas por la definición. ........................................................................... 103
5.4 Resolución de derivadas por fórmulas ........................................................................................ 104
5.4.1 Teorema 1: Derivada de una función en un punto ................................................................ 104
5.4.2 Teorema 2. La regla de la constante ..................................................................................... 104
5.4.3 Teorema 3. Regla de una variable respecto a ella misma. .................................................... 105
5.4.4 Teorema 4. Regla del múltiplo constante. ............................................................................ 105
5.4.5 Teorema 5. Regla de las potencias. ...................................................................................... 106
5.4.6 Teorema 6: Regla de cadena ................................................................................................. 106
5.4.7 Teorema 7. Regla de la suma................................................................................................ 107
5.4.8 Teorema 8. Demostración de la regla de la derivada de un producto. ................................ 108
5.4.9 Teorema 9. Derivada del cociente. ....................................................................................... 109
5.4.10 Teorema 10: Diferenciabilidad implica continuidad. ........................................................ 112
5.4.11 Teorema 11: Derivada de la función Seno ......................................................................... 113
5.4.12 Teorema 12: Derivada de la función coseno. ..................................................................... 114
5.4.13 Teorema 13: Derivada de la función Tangente .................................................................. 115
7
5.4.14 Teorema 14: Derivada de la función cotangente. ............................................................... 116
5.4.15 Tabla de derivadas de funciones trigonométricas generales .............................................. 117
5.4.16 Teorema 15: Derivada de una función elevada a exponente numérico. ........................... 118
5.4.17 Teorema 16: Derivadas funciones potenciales inversas. ................................................... 118
5.4.18 Teorema 17: Derivadas para cualquier raiz (n-esima) ........................................................ 118
5.4.19 Teorema 18: Derivada con valor absoluto .......................................................................... 118
5.4.20 Funciones exponenciales en base a. Definicion y Propiedades. ....................................... 119
5.4.21 Derivada de la función exponencial en base a. ................................................................... 120
5.4.22 Función Inversa de la función exponencial natural. .......................................................... 120
5.4.22.1 Gráfica de la función exponencial natural. ...................................................................... 121
5.4.22.2 Operaciones con funciones exponenciales. ..................................................................... 121
5.4.22.3 Propiedades de la función exponencial natural. .............................................................. 121
5.4.22.4 Teorema 20 erivada de la función exponencial natural. ................................................. 122
5.4.23 Teorema 21: Derivada de una función elevada a otra f unción. ......................................... 123
5.4.24 Teorema 22: Derivadas de logaritmo vulgar o base 10. ..................................................... 124
2.4.25 Teorema 23. Derivada de la función logaritmo natural. .................................................... 125
5.5 Derivación logarítmica ................................................................................................................ 126
5.6 Teorema 24: Derivadas con valores absolutos. ........................................................................... 126
5.7 Teorema 25: Funciones inversas ................................................................................................. 127
5.7.1 Teorema 27: Funciones trigonométricas inversas. Definiciones .......................................... 127
5.7.1.1 Las gráficas de algunas funciones trigonométricas inversas. ............................................ 128
5.7.2 Teorema 28: Derivadas de las funciones trigonométricas inversas ...................................... 129
5.7.2.1 Teorema 29: Demostracion de la derivada del seno inverso. ........................................... 129
5.8 Funciones hiperbólica. ................................................................................................................ 130
5.8.1 Definición de las funciones hiperbólicas. ............................................................................. 131
5.8.2 Grafica del coseno hiperbólico ............................................................................................. 131
5.8.3 Derivadas de funciones hiperbólicas. ................................................................................. 132
5.9 Teorema 31. Definiciones de Funciones hiperbólicas inversas. ................................................. 133
5.10 Derivación de funciones hiperbólicas inversas. ........................................................................ 133
5.11 Derivación implícita .................................................................................................................. 134
5.11.1 Derivada parcial. ................................................................................................................. 134
5.11.2 Teorema 32 : Funciones de una variable independiente definidas implícitamente. ........... 134
8
5.12 Las formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital .................................................................. 136
5.12.1 Teorema 33. Regla de L’Hôpital ........................................................................................ 136
5.13 Práctica #5: Derivadas ............................................................................................................... 138
6. Capítulo 6: Aplicaciones de derivadas ...................................................................................... 142
6.1 Interpretación de una derivada. .............................................................................................. 142
6.1.1 Razón de cambio promedio. ................................................................................................. 142
6.1.2 Razón de cambio instantáneo o tasa de variación instantánea. ............................................ 143
6.1.3 Ecuación de la recta tangente ............................................................................................... 144
6.1.4 Ecuación de la recta normal.................................................................................................. 145
6.2 Teorema 34: Fermat para puntos críticos. ................................................................................... 148
6.3 Teorema 35: Rolle ....................................................................................................................... 149
6.4 Teorema 36: valor medio de Lagrange ....................................................................................... 150
6.5 Teorema de Cauchy ..................................................................................................................... 150
6.6 Valores Críticos de una Función ................................................................................................. 151
6.6.1 Pasos para conseguir los puntos críticos de una función. .................................................... 152
6.7 Práctica #6: Derivadas ................................................................................................................ 154
7. Bibliografía ................................................................................................................................... 156
9
2 2 2
Teorema de Pitágoras BC AB AC
1. Capítulo 1: Introducción a la Geometría Analítica.
1.1 Geometría Analítica
La Geometría Analítica tiene como base el estudio de figuras geométricas mediantes técnicas del
análisis matemático combinadas con el álgebra, aplicada en cierto sistema de coordenadas. Este campo
de la matemática es la base del Cálculo Diferencial creada por Pierret Fermat y René Descartes.
Cuando se tiene dominio de esta rama de las matemáticas, pues entonces el estudio del Cálculo
resulta ser más fácil, por la razón de que en una se tiene un enfoque desde un punto de vista geométrico
y en la otra el enfoque se ve mediante un proceso de límite y derivadas.
1.1.1 Distancia entre dos puntos.
Fue Euclides, matemático de la antigüedad y aún vigente por sus grandes aportes, quien dió una
solución para hallar la distancia entre dos puntos. Con ayuda del teorema de Pitágoras definió la
distancia entre dos puntos la cual viene dada.
Demostración:
2 2 2
Como el Teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rect ngulo la suma
del cuadrado de los catetos es igual a la hipoatenusa al cuadrado. es decir que
en el triangulo anteior por lo que s
á
BC AB AC
2 2 2 2 2
2 1
2 2
1 2
2 1
2 1
ustituyendo por
los valores tenemos que
d x x y
d x y x x y y
y
10
x
y
x
y
2 2
2 2
2 2
PQ 3 4 2 5 1 49 50 5 2
QR -3-4 4-5 49 1 50 5 2
PR (3 3) ( 2 4) 81 36 117
d unid
d unid
d unid
Ejemplo 1: Calcular la distancia entre los puntos A (-3, 5); B (2,-2) y haga la grafica.
AB̅̅ ̅̅ = √(X2 − X1)2 + (Y2
− Y1)2
AB̅̅ ̅̅ = √(2 + 3)2 + (− 2 − 5)2
AB̅̅ ̅̅ = √(5)2 + (− 7)2
AB̅̅ ̅̅ = √25 + 49 = √74 = 8.6 Unidades
Ejemplo 2: Calcular la distancia entre los puntos A (4, 5) y B (5,8) . Haga la gráfica.
AB̅̅ ̅̅ = √(X2 − X1)2 + (Y2
− Y1)2
AB̅̅ ̅̅ = √(5 − 4)2 + (− 8 − 5)2
AB̅̅ ̅̅ = √1 + 169 = √170
AB̅̅ ̅̅ = 13.03 Unidades
Ejemplo 3: Calcula el perímetro del triángulo con vértices P(3,-2); Q(4,5); R(-3,4).
Este triángulo es Isósceles y su perímetro es P= 5 2+ 5 2 + 117 24.96 p unid
11
1.1.2 Punto medio de un segmento.
Para calcular el punto medio de un segmento de recta se utiliza la siguiente expresión:
1 2 1 2x y,
2 2
x ypm
1 2
1
Ejemplo 1: Calcular el punto medio del segmento de rectaP -2,-2 , P 4,3 ;
luego busca la distancia de P PM y haz la gráfica correspondiente a todo lo pedid
2 4 2 3 1, 1,
2 2 2
Ahora se b
o.
usca
PM
1
2 2
1 2 1 2 1
22
la distancia de .
11 2 2 9 2.5 3.4 unid
2
PPM
PPM x x y y
1.1.3 Parámetros, ecuaciones y tipos de la recta
Pendiente (m): Es la inclinación que tiene una recta. Esta inclinación es con respecto al eje x
(abscisa).
Interceptos: Son los puntos (0,b) y (a,0) donde la recta corta tanto al eje X como al eje Y.
La Ecuación de la recta: Es la forma de expresar matemáticamente una recta. La primera es la
ecuación canónica o llamada también analítica y la ecuación general.
Ecuación canónica: 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏
Ecuación general: 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 = 0
12
Hay diferentes tipos de rectas:
Rectas verticales (𝒙 = 𝒙𝟎) : Estas rectas son paralelas al eje de las x.
Rectas horizontales(𝒚 = 𝒚𝟎) : Estas rectas son paralelas al eje de las Y
Rectas oblicuas: Es cualquier recta que no sea ni vertical ni horizontal.
1.1.4 Pendiente de una recta
En matemática y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de una recta con
respecto al eje horizontal.
La teoría Euclidiana dice que para graficar o determinar una recta, basta sólo con dos
puntos. Tomando en cuenta la distancia entre dos puntos debemos tomar en
cuenta que la pendiente viene dada también por punto final menos punto
inicial, por lo que la pendiente se determina via la tangente del angulo de inclinación, obteniendo como
resultado
Puede ser de cuatro formas:
a) m > 0: la recta presenta inclinación hacia la derecha; es decir, el ángulo es agudo.
)
2 1
2 1
y yym Tan
x x x
13
b) m < 0: la recta presenta inclinación hacia la izquierda, es decir, el ángulo es obtuso.
c) m = 0: la recta es horizontal, luego el ángulo = 0
d) Si m= indeterminado, la recta es vertical, luego el ángulo = 90.
Como se observa en las figuras anteriores la pendiente es muy importante debido a que se
utiliza en nuestra vida cotidiana. En el techo de la casa es muy usual dejar cierta pendiente para que el
agua corra y no estanque ya que por este motivo empiezan las filtraciones o en la bolsa de valores
también es utilizada para indicar cuanto esta al alza o a la baja, en la venta del petróleo, entre otros.
14
Ejemplo 1: Obtener la inclinación de la recta que pasa por los puntos (5,2) y (6,3)
2 1
2 1
y ym
x x
3 2 11
6 5 1
, Se ve que 𝑚 > 0
1.1.5 Intercepto de una recta.
Son los puntos donde la recta corta al eje x y al eje y, es decir, a la abscisa y a la ordenada. En
la ecuación canónica, el intercepto corresponde al valor de b. En la ecuación general se debe despejar y,
para identificar el intercepto. Aunque es bueno hacer notar que (0,b) el intercepto está en el eje de la
ordenada y cuando hagamos (a,0) el intercepto estará en el eje de las x.
Retomando las ecuaciones canónica y general de la recta; se resalta que se puede transformar de
una en la otra. A partir de la ecuación canónica se llega a la general, llevando toda la ecuación a cero. A
partir de la general, se obtiene la canónica; despejando y.
Ejemplo: Dada la ecuación 2 6 9 3x y obtener las coordenadas al origen o interceptas y
construir la recta.
2 6 9 3
2 6 9 3 0
2 6
2 6 12
6 12
2
3 6
6
12 0x y
x y
x y
x y
yx
x y
a
6 2 12
2 12
6
12
3
2 6 1
2
2 0
y x
xy
x y
y x
b
15
1.1.6 Ecuación Segmentaria de una recta.
Es aquella ecuación que está determinada por un segmento de recta, es decir, que en esta se conocen
los intercepto.
Si se busca la pendiente (𝑥 − 0 , 𝑦 − 𝐵) ⋀(𝐴 − 𝑥 , 0 − 𝑦) como los vectores tienen la misma direccion
y sentido, pues entonces se puede afirmar que son proporcionales y por lo tanto se tiene que 𝑥 ∶ 𝐴 −
𝑥 ∷ 𝑦 − 𝐵: −𝑦 la cual por conveniencia se expresa como
𝑥
𝐴−𝑥=
𝑦−𝐵
−𝑦 multiplicando en cruz (𝐴 − 𝑥)(𝑦 − 𝐵) = −𝑥𝑦 → 𝐴𝑦 − 𝐴𝐵 − 𝑥𝑦 + 𝐵𝑥 = −𝑥𝑦
aplicando el método de eliminacion 𝐴𝑦 − 𝐴𝐵 + 𝐵𝑥 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥 = 𝐴𝐵
dividiendo por AB se obtiene la ecuación:
𝒙
𝑨 +
𝒚
𝑩 = 𝟏, ∀𝑨, 𝑩 ≠ 𝟎
Ejemplo 1: Hallar la ecuación segmentaria de la recta cuyos puntos de cortes con los ejes son A=-2 y
B=4.
𝑥
𝐴 +
𝑦
𝐵 = 1 → −
𝑥
2 +
𝑦
4 = 1
16
1.1.7 Ecuación punto pendiente de una recta.
La ecuación de la recta dados un punto y su pendiente se obtiene mediante la expresión
1 1y y m x x
1: Calcular la ecuaci n de la recta cuya pendiente m 2 y pasa
y 6 3 3 18
por el
x +4 y-6 3x+12,
punto P 4, 6 .
0
Ej
y
emplo ó
x
1.1.8 Ecuación de la recta dados dos puntos
Dados dos puntos 1, 1 2 2 2( ); ( , )p x y p x y y luego aplicando el criterio de la ecuación punto
pendiente y haciendo los respectivos despeje se obtiene la expresión:
2 11 1
2 1
y yy x x y
x x
Ejemplos 1: Buscar la ecuación de la recta dados los siguientes puntos.
2 11 1
2 1
6 4 102 4 2 4
4
A 2,4 y
2 2
5 10 4 5 1 5 14
B 4,
04
6
y yy x x y
x x
y x y x
x x x y
17
1 2m m
Ejemplos 2: Buscar la ecuación de la recta dados los siguientes puntos.
A 4, 6 y B 8,4
4 6 104 6 4 6
8 4 12
10 40 10 32 5 166
12 12 1
5 6 1
2 12 6 6
6 0
Dados
x y
y x x
x x x
1.1.9 Rectas paralelas y perpendiculares
A) Rectas paralelas:
Dos rectas no verticales son paralelas, si y solo si, sus pendientes son iguales, es decir
Ejemplo: hallar la forma general de las ecuaciones de las recta que pasa por el punto
A(2,-1) y es paralela a la recta 2x – 3y = 5.
1 1
El punto dado es A 2, 1 y la ecuaci n dada es 2x – 3y 5
cuya pendiente 2 / 3.
2 2 7y 1 2
3 3 3
3 y 2 x 7 es la recta paralela buscada. –
ó
m
y y m x x x y x
3y 2x 7 0
1 1
Ejemplo: Dado la recta 4 6 8 y el punto A 4, 1
buscar una ecuación que sea paralela.
4 2,
6 3
2 2 8 2 8 1 4 1 1
3 3 3 3 3
2 53 2 3 02 5
3 3
5
y y m x x m
y x y x x
x y
x y
y x y x
18
Rectas Perpendiculares
Dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si sus pendientes son una opuesta e inversa de si
misma.
B) Perpendicular a la recta 2x – 3y = 5
1
2
2
1 1
El punto dado es A 2, 1 y pendiente 2 / 3.
1 3
2
3 3y 1 2 1 3
2 2
es la r2 3 4 0 ecta perpendicular buscada.
m
m mm
y y m x x x y x
y x
1.1.10 Haz de rectas
Como ya se sabe una recta queda determinada por dos puntos o por un punto y su pendiente, por lo
tanto un Has de Recta se puede definir como un conjunto de rectas que tienen un mismo punto en
común.
1
2
1m
m
19
Formación de un haz de Recta que pasan por un punto dado en 𝑹𝟐.
Para que esto pueda suceder basta con conocer el punto y alternar la pendiente m, por lo que
hay que partir de la ecuación punto pendiente y-𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1)
Ejemplo: Encuentra un haz de Recta que pasan por el punto 𝑃1 (−1,6)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 6 = 𝑚 (𝑥 + 1)
𝑦 = 𝑚(𝑥 + 1) + 6
Sustituyendo
1) Si m=0 → 𝑦 = 6
2) Si m= -1→ 𝑦 = 5 − 𝑥
3) Si m= 1 → 𝑦 = 𝑥 + 7
4) Como 𝑚 ∈ 𝑅 entonces se forman Infinitas Rectas
20
Enfoque general de la ecuación genérica que produce un Haz de rectas que tienen un
punto en común.
Si S≅ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 𝑦 𝑟 ≅ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 𝑂
Para formal el Haz de recta se muestra una combinación.
𝛼 𝑆 + 𝛽𝑟 = 0
𝛼(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶) + 𝛽 (𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹) = 𝑂
Donde 𝛼⋀𝛽 𝜖𝑅 ≠ 0 simultaneamente.
Ejemplo: Encontrar el Haz de rectas y la ecuación faltante dado el siguiente gráfico.
21
Como solo se conoce la ecuación de una de las rectas 𝑦 =1
3 𝑥 , pues hay que buscar la otra
aplicando la ecuación segmentaria 𝑋
𝐴 +
𝑦
𝐵= 1 →
𝑋
5 +
𝑌
3= 1
Buscando la ecuación general o Implícita 15(𝑥
5) + 15 (
𝑦
3) = 15
3x + 5 y – 15 = 0 Por lo tanto S=1
3 𝑥 − 𝑦 = 0 → 9 + 5
S= 𝑥 − 3𝑦 = 0 𝑦 3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0 Estas son las ecuaciones generales de las dos rectas de
arriba en el gráfico y 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷 (𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎 es la Ecuación Genérica del Haz de
recta, como ya se dijo 𝛼 𝑦 𝛽 no deben ser simultáneamente 0.
Ejemplo1: Hallar la recta que pertenezca al Haz de recta y que contenga al punto p(1, −1).
Como la recta son x-3y= 0 𝑦 3𝑥 + 5𝑦 − 15 =0 .
La forma genérica del Has de recta es: 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷 (𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎
Sustituyendo por los valores del punto p.
𝛼(1 − 3(−1) + 𝛽(3(1) + 5(−1)−15) = 0
𝛼(4) + 𝛽(3 − 20) = 0 → 𝟒𝜶 − 𝟏𝟕𝜷 = 𝟎 Por lo que 𝜶 =𝟏𝟕𝜷
𝟒 la cual es la ecuación de las
constantes, por lo que ahora si se sustituye por un valor arbitrario
Si 𝛽 = 1 → 𝛼 =17
4 produce una de las ecuaciones del haz de rectas que pasa por p.
Como 𝜶(𝒙 − 𝟑𝒚) + 𝜷(𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 − 𝟏𝟓) = 𝟎
17
4(𝑥 − 3𝑦) + 1(3𝑥 + 5𝑦 − 15) = 0
17
4𝑥
51
4𝑦 + 3𝑥 + 5𝑦 − 15 = 0
29
4𝑥 −
31
4𝑦 − 15 = 0
Eso implica que finalmente 29x-31y-60= 0 es la ecuación general.
22
Ejemplos 3: Calcular la ecuación del Haz determinado por las rectas secantes:
3𝑥 − 𝑦 = 1 𝑦 𝑥 + 4𝑦 = 9 y además de eso encuentra la ecuación del Haz que tiene como
pendiente m=1
2
Solución: El centro del has en el punto q donde se cortan la recta:
{3x − 4y = 1x + 4y = 9
{3x − 4y = 1x + 4y = 9
→ {12x − 4y = 4
x + 4y = 9𝟏3x = 13
donde x =1, y=2
Por lo tanto 𝑄(1 , 2) es el punto de intersección como se tiene punto pendiente m=1
2 ; 𝑄(1 ,2)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) → 𝑦 − 2 =1
2 (𝑥 − 1)
y=1
2𝑥 −
1
2+ 2 → 𝑦 −
1
2𝑥 −
3
2 =0
2y-x-3=0
Claro también se puede aplicar los métodos anteriores de la ecuación forma general para coregir
la recta a través del Haz x(𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐) + 𝛽(𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹) = 0
Haz de rectas paralelas
La forma general de la recta es Ax+By+C=0 para que la rectas sean paralelas deben tener la
misma pendiente. Eso indica que A y B deben permanecer y C es el termino variante.
Ejemplo: determine la ecuación del Haz de recta paralelas a 2x+y-4=0., (0 , 4) ; (2 , 0).
Para tener rectas paralelas solo hay que cambia a C por diferente valores
23
1.1.11 Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento
perpendicular a la recta. Se sabe qque una recta tiene la forma 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 +
𝒄 = 𝟎 y están dando el punto 𝒑(𝒑𝟏, 𝒑𝟐) por lo tanto multiplicando los
coeficientes de la ecuación con la respectiva coordenada del punto se
obtiene la expresión:
1 2
2 2( , )
ap bp cd p r
a b
1 2
2 2 2 2
Ejemplo 1: Calcula ladistancia del puntoP 2, 1 a la recta de ecuaci
3(2) 4( 1) 5 3( , )
n
3x 4y 5
5(3) 4
.
( )
0
ó
ap bp cd p r Unid
a b
2 2
Ejemplo 2 : Hallar la distancia desde el origen a la
30 30 5( , )
20 2(4) ( 2)
recta 4 2 30 0
d o r Un
y
i
x
d
r
24
1.1.12 Distancia entre dos rectas paralelas
Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas,
se toma un punto cualquiera P de una de ellas y
se calcula la distancia a la otra.
1 2
1
) Hay que verificar que las dos rectas son par
Ejemplo : Hallar la distancia entre las rectas r 2x
alelas.
2 2 4 2
5y 10 0 y
s 4x
y 5 5 10 5
10y+9 0
a
x xm m
y y
m
2 las rectas son paralelas
) Coger un intercepto de cualesquiera de las rectas.
r 2x 5y 10 0 (0,2)
) Buscar la distancia desde el intercepto encontrado hasta la otra recta,
es decir desde p hasta s
m
b
p r
c
1 2
2 2 2 2
.
4(0) 10(2) 9 11( , )
1164 ( 11.02 unida
0)des
ap bp cd p r
a b
25
1.2 Gráfica o Lugar Geométrico
Según Navarro, T. El lugar geométrico es la línea que contiene todos los puntos, y solo ellos,
cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada en dos variables. Dicho autor sigue argumentando que
hay ciertos elementos que se deben tomar en cuenta a la hora de graficar, pues así se sabe el
comportamiento de la gráfica. Entre estos se encuentran:
a) Los intercepto.
b) La simetría.
c) Extensión sobre los ejes de coordenadas o Dominio.
d) Las Asíntotas
e) El bosquejo de la gráfica.
Ejemplo 1: Dada la función 𝑦2 − 4𝑥 − 20 =0. Hallar: Intercepto, Simetría, Dominio, Asintotas y
grafica.
Intercepto
En la abscisa x si y =→ (0)2 -4x-20=0 entonces -4x=20,→ 𝑥 = −5, 𝒑𝟎(−𝟓, 𝟎)
En el eje y ordenada si x = 0→ 𝑦2 − 4(0) − 20 = 0, entonces 𝑦2 = 20 → 𝑦 = 2√5
por lo que , 𝒑𝟏 = (𝟐√𝟓 , 𝟎).
Simetría
Para saber si hay simetría respecto a x se sustituye a y por (−𝑦) y si la ecuación no se altera es porque
hay una simetría respecto a y.
𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0 , (−𝑦)2 − 4𝑥 − 20 = 0, 𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0 Hay simetría.
Simetría con el eje y se hace el mismo proceso pero con 𝑥 = −𝑥
𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0 → 𝑦2 − 4𝑥(−𝑥) − 20 = 0
𝑦2 + 4𝑥 − 20? Por lo que
𝑦2 − 4𝑥 − 20 ≠ 𝑦2 − 4𝑥 − 20. No hay simetría respeto a y.
Simetría respecto al origen 𝑦 = −𝑦 , 𝑥 = −𝑥
𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0, (−𝑦)2 − 4𝑥(−𝑥) − 20 = 0
𝑦2 + 4𝑥 − 20 = 0 Esto indica que la función es simetría respecto al origen.
26
Dominio y Rango
Dominio o extensión sobre el eje x. 𝑦2 − 𝑥4 − 20 =0
Para encontrar el dominio hay que poner la función en forma explicita
𝑦2 − 𝑥4 − 20 =0
𝑦2 = 20 + 4𝑥 → 𝑦 = √20 + 4𝑥
4𝑥 + 20 > 0 , 4𝑥 > −20 Demi {𝑥𝑥⁄ ∈ 𝑅 ∋ 𝑥 > 5 }
𝑥 > −5 son los valores que se pueden dar ala grafica.
Rango.
No es más que la extensión sobre el eje y se debe despejar a y
𝑦2 − 𝑥4 + 20 =0, −4𝑥 = −20 − 𝑦2 x por lo que 𝑥 = −𝑦2−20
−4 →𝑥 =
𝑦
4+ 5
No hay ningún valor que me determine la función R ={𝑦
𝑦 ∈ 𝑅 ∋ 𝑦 ≠?⁄ }
Asíntotas
Una asíntota es una línea recta a la que se aproxima infinitamente una curva sin nunca tocarla. Estas se
cumple principalmente por funciones racionales de la forma
𝒇(𝒙) =𝒑(𝒙)
𝑸(𝒙) =
𝒂𝒎 𝒙𝒎 + 𝒂𝒎−𝟏 𝒙𝒎−𝟏+⋯+𝒂𝟎
𝒃𝒏 𝒙𝒏 + 𝒃𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 +⋯+𝒃𝟎
Donde:
a) Si m < 𝑛 → 𝑦 = 0 es una A .H
b) Si m = n →𝑎𝑚
𝑏𝑛= 𝑦 es una A.H
c) si m> 𝑛 → no hay A .H, si oblicua siempre y cuando m+1= n
d) si 𝑄𝑟= 0 y 𝑝(𝑥) ≠ 0 hay A H.
Por lo tanto en 𝑦2 − 4𝑥 − 20 = 0 no ha asíntotas.
27
Ejemplo 2: Graficar 𝑦 = 2𝑥+4
𝑥+1
Intercepto (0,4); (−2,0)
Simetría no hay
Dominio: {𝑥𝑥⁄ ∈ ℝ ∋ 𝑥 ≠ −1} ⋀ Rango: {
𝑦𝑦⁄ ∈ ℝ ∋ 𝑦 ≠ −2}
Asíntotas 𝑥 = −1 es una A.V y 𝑦 = 2 es una A.H
Gráficos
Ejemplo 3: Hacer la grafica de la función 𝑓(𝑥) =7𝑥+4
𝑥2−4𝑥+4
Intercepto (0,1); (0) =4
4= 1 ; (
−4
7, 0)
7𝑥+4
2𝑥−4𝑥+4= 0 → 7 𝑥 + 4 = 0 por lo tanto x=-
4
7
Simetría: no hay
Dominio 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0, (𝑥 − 2)2 = 0 → 𝑥 = 2,
Dom: : {𝑥𝑥⁄ ∈ ℝ ∋ 𝑥 ≠ −2}
Asíntotas: 𝑦 =𝑝(𝑥)
𝑄(𝑥)=
𝑎𝑚 𝑥𝑚+ 𝑎𝑚−1 𝑥𝑚−1+⋯+𝑎0
𝑏𝑛 𝑥𝑛+ 𝑏𝑛−1 𝑥𝑛−1 +⋯+𝑏0
Como en 𝑦 =7𝑥+4
𝑥2−4𝑥+4; 𝑚 < 𝑛 → 𝑦 = 0 es una asíntota horizontal y x = 2 es una A.V.
28
Ejemplo 4: Graficar la función 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0
Intercepto:
Para 𝑦 = 0 → 𝑥 = 2, ∴ (2,0)
Para 𝑥 = 0 → 𝑦 = −2
3, ∴ (0, −
2
3)
Simetría:
Con el eje x: No hay simetría
Con el eje y: No hay simetría
Con el origen: Tampoco hay simetría.
Dominio:
𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 =2−𝑥
𝑥−3
Dom: {𝑥𝑥⁄ ∈ 𝑅 ∋ 𝑥 ≠ 3 }
29
Asintotas:
* 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑦 =2−𝑥
𝑥−3 ∴ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴. 𝑉.
* 𝑥𝑦 + 𝑥 − 3𝑦 − 2 = 0 → 𝑥 =2+3𝑦
𝑦+1 ∴ 𝑦 = −1 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴. 𝐻
Grafica:
30
Cálculo Diferencial
1.3 Práctica # 1: Introducción a La Geometría Analítica
Nombre: ___________________________Matrícula:________________________
Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1) 3,5 ; 2, 9
2) A 1,2 ; 0, 3
313) ; 4, 92 7
2 1
Busc
14) e ; ,707 2 3
5) .25,5 ; 5
a la distancia entre los puntos dados.
Hallar la pendiente de la recta que pasa po
.33,2
31 1
r los
6) ; 95 4 4
pun
p p
A
Q Q
e
o o o
p p
7) 4,7 2, 3
8) 4,3 3, 2
9) 2,3 4,3
10) 5,4 5,4
tos:
y
y
y
y
11) pendiente 4 e intercepto 1/3
12) pasa por el punto 4, 2 y pendien
Hallar la ecuación de la recta que
te -6
13) pasa por los puntos
cum
8,1
ple co
3,
n las co
1
nd
ic
iones de
:
14)
y
Intercepta en x=5 y en y=-2
31
1 2
1 2
1 2
1 2
1
2
3
1
1
15) 3,5 ; 5,0
16) 0,3 ; 6,1
17) 0,7 ; 1, 1
1 118) , ; 4,82 4
19) 3,0 ; 2
20) 1, 1
; 3
21) 4, 3 ; 20
22) 2,0 ; 1
23) 2 3 4 0; 3,7
Hallar la ecuación de la rect
24) 4 2 0
:
;
a
p p
p p
p p
p p
p m
p m
p m
p m
x y p
x y p
1
2
3
3,7
125) 4 2; , 45
26) 5 7 12; 1,0
127) 2 9 0; 0,03
y x p
y x p
x y
38) 2
En l
x+5y-
as ecuacio
8=0
nes dadas hallar los
3 4
parametros:
39) 2 4 2
2 140) 4 3 3
x
x y
41) 3y-2x-8=0 -4x+6y-10 =
De cada par de rectas determinar si son
0 ..................................
paralelas,perpendicu
...
142) 5 0 4x-2y = 8
lares u obli a
2
cu s.
x y
.....................................
43) 3x+4y-9=0 3x-4x-10=0 .....................................
44) 2x+3y=1 2 9 .............................x y
.......
:
28) 2x-8y=0
29) 3x-7y-1=0
30) x+y=-6
31) x-3y+2=0
32) 6x-5=0
33) 4y-2=0
134) 2 3 2
2435)
Busca los interceptos d
0.2x+ 0.410
36) 5 10 15
37) 3 62
e
yx
x y
x y
32
45) Hallar la ecuación de la recta que pasa por 2,4 y es paralelaa 6x-2y-5=0
46) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punt
Resolver los problemas propuest
o 5,4 y es
perpendicular a la
os
ct
:
re
a que pasa por 1,1 y 3,7 .
47) Cuál es la ecuación general de la recta que pasa por Q 3,4 y su pendiente
es el doble de la pendiente de la recta 4x-6y-12=0?
48) Una recta corta al eje x en 5 y es paralela a la recta 2 5 0
49) Una recta cuya ecuación es 5y-4x-20=0 limita un triángulo rectángulo
con los ejes coordenados. ¿Cuál es el área de dicho triángu
x y
1 2 3 4
lo?.
50) los vectores de un cuadrilatero son: p 3,2 ; 3,1 ; 4, 3 ; 2, 3
a) Graficar la figura b) Buscar la pendiente c) Buscar la ecuación.
d) Buscar distancia y punto medio de cada segmento.
51) H
p p p
allar la forma general de la ecuación de la recta que pasa
por el punto 3, 5 y son:
a) Paralela a 3x-2y=7 c) Perpendicular a 4x-6y-9=0
b) Paralela a 6x-8y+4=0 d) Perpendicular 5x
3 7 0y
55. ¿Para cuales valores de x la distancia entre los puntos (-5, 2) y (x, 6) es 12?
56. Dados P(2, -6) y Q(2, -1).
Encuentra la pendiente de la recta que pasa por esos puntos.
Busca la ecuación en la forma punto – pendiente.
Busca la ecuación en la forma canonica.
Busca la ecuación en la forma ordinaria.
Busca la ecuación en su forma general.
Busca la ecuación en la forma simétrica o segmentaria.
Busca el ángulo de inclinación de la recta.
57. Si Q(-1,4) es un punto por el cual pasa una recta que es paralela a la recta que pasa por los puntos
S(-1,3) y Z(-8,2). Encontrar la ecuación de esa recta.
58. Si M(3,2) es un punto por el cual pasa una recta recta que es perpendicular a la recta que pasa por
Q(6, -3) y R(1, 2). Determinar la ecuación de la recta.
33
2. Capítulo 2: Las Cónicas
2.1 Historia de las cónicas
https://www.scribd.com/doc/30860157/Historia-de-Las-Conicas-y-La-Geometria-Analitica
enfocan que el descubrimiento de las conicas se le atribuye al matemático Griego Menecmo quien
vivio aproximadamdnte en el siglo IV A.C (Aproximadamente en el año 350 a.c). Aunque fue
Apolonio de Perga (Siglo II A.C) quien logra hacer un estudio profundo respecto a estas.
2.2 Concepto de cónicas.
Son curvas que se forman cuando un plano intersecta a un cono circular recto. Entre estas se
encuentran la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbole. Cada una de esta figura será un caso
especial de la ecuación 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 para la cual hay que aclarar que A,B,C
no deben ser todos al mismo tiempo igual a cero. Dependiendo de la posición de inclinación del plano
respecto al cono se van a formar diferentes conicas tales como: Circunferencia, Elipse, Parabola y
luego la hipérbola.
34
2.3 La Circunferencia
Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro.
A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta
formado por dos radios alineados se llama diámetro, el cual es la mayor distancia posible entre dos
puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del
diámetro es el doble de la del radio, el cual es el segmento que va
desde el centro hacia un punto cualquiera de la circunferencia. La
circunferencia sólo posee longitud.
Una circunferencia se forma solo si el plano al cortar al cono en su
eje, se forma ángulos de 90.
35
Ecuaciones de la circunferencia
Las ecuaciones de la circunferencia son la canónica, ordinaria y la general
2.3.1 Ecuación Canónica.
Como 𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Como d= r → 𝑑2 = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Ejemplo 1: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es c(0,0)
y 𝑟 = 8 𝑐𝑚.
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 , como r = 8 eso implica que 𝑥2 + 𝑦2 = 82 → 𝑥2 + 𝑦2 = 64.
36
2.3.2 Ecuación Ordinaria
Sea 𝑐 = (ℎ, 𝑘) el centro de la circunferencia el cual esta ubicado en un punto
cualquieratal que (ℎ, 𝑘) ≠ (0,0). Aplicando el mismo criterio anterior
respecto a la distancia entre dos puntos.
𝑑2 = (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
Ejemplo 2: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(3,5) y con radio r = 2. Hacer su respectiva
gráfica.
Se tiene que h = 3, k = 5, r = 2 por lo tanto
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 4
Ejemplo 3: Si (𝑥 + 5)2 + (𝑦 − 2)2 = 144 ; hallar h,k,r.
h= -5, k = 2, r =12.
2.3.3 Ecuación General. Demostración
La ecuación de una cónica es 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥𝑦 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Por lo que de aquí se deriva la ecuación general que lleva una circunferencia asumiendo que B=A, por
lo que 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0. Partiendo de esta expresión via complexión de cuadrado se
puenden contrar los parámetros de una ciercunverencia tales como el centro y el el radio.
37
Demostración:
𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Divididiendo por A.
𝐴𝑥2
𝐴+
𝐴𝑦2
𝐴+
𝐷𝑥
𝐴+
𝐸𝑦
𝐴+
𝐹
𝐴= 0
𝑥2 + 𝑦2 +𝐷𝑥
𝐴+
𝐸𝑦
𝐴+
𝐹
𝐴= 0, hacer compleccion de cuadrados
(𝑥2 +𝐷𝑥
𝐴) + (𝑦2 +
𝐸𝑦
𝐴) = −
𝐹
𝐴
(𝑥2 +𝐷𝑥
𝐴+ (
𝐷
2𝐴)
2
) + (𝑦2 +𝐸𝑦
𝐴+ (
𝐸
2𝐴)
2
) = −𝐹
𝐴+ (
𝐷
2𝐴)
2
+ (𝐸
2𝐴)
2
(𝑥 +𝐷
2𝐴)
2
+ (𝑦 +𝐷
2𝐴)
2
=𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹
4𝐴2
Pero como bien se sabe la ecuación ordinaria es:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 haciendo la respectiva sustituciones entre cada una de las ecuaciones para buscar el
centro y radio se tiene que:
−ℎ =𝐷
2𝐴 → ℎ = −
𝐷
2𝐴
−𝑘 =𝐸
2𝐴 → 𝑘 = −
𝐸
2𝐴
𝑟2 =𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹
4𝐴2→ 𝑟 =
1
2𝐴√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹
2.3.3.1 Demostración de la Ecuación General partiendo de la ecuación Ordinaria.
Esta es la forma demostrada de la Ecuación General.
𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Para llegar a esta forma se hace el siguiente proceso:
Paso 1: Se opera
Paso 2: Se ordena y se iguala a cero.
2 2 2( ) ( )x h y k r
2 2 2 2 22 2x xh h y yk k r
2 2 2 2 22 2 0x y xh yk h k r
38
Paso 3: Se renombran los coeficientes, debido a que (h y k) serán valores variables y queda:
D= (-2h) , E=(-2k), (ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2) =F al final se tiene que :
Ejemplo 4: Dada la ecuación (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 22. Hallar la ecuación general.
Desarrollando se tiene: 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 10𝑦 + 34 = 4
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 10𝑦 + 30 = 0
Ejemplo 5: Encontrar los parámetros de la ecuación de la circunferencia cuya ecuación general es
25𝑥2 + 25𝑦2 + 20𝑥 + 15𝑦 − 65 = 0.
Solución: A = 25, D = 20, E = 15, F = -65
ℎ = −𝐷
2𝐴 =
−20
2(20)=
−20
50= −
2
5→ ℎ = −
2
5
𝑘 = −𝐸
2𝐴= −
15
2(25)→ 𝑘 = −
3
10
𝑟 = 𝑟 =1
2𝐴√𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐴𝐹 =
1
2(25)√202 + 152 − 4(25)(−65) =
√400 + 225 + 6500
50→ 𝑟 = ~1.7
2.3.4 Realización de la gráfica de una circunferencia.
Al graficar una circunferencia la gráfica va a venir de la ecuación ordinaria la cual al pasarse de
la forma implícita a la explicita se obtiene una función en función de x.
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 al despejar y se tiene que
𝑦 = 𝑘 ± 𝑟2√𝑟2 − (𝑥 − ℎ)2
Ejemplo: Graficar la circunferencia cuya ecuación es (𝑥 + 4)2 + (𝑦 − 3)2 = 25
𝑦 = 3 ± √25−(𝑥 + 4)2
Dominio: 25−(𝑥 + 4)2 ≥ 0 → −(𝑥 + 4)2 ≥ −25 → (𝑥 + 4)2 ≤ 25 → 𝑥 ≤ 1
2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( ) 0x y h x k y h k r
2 2 0x y Dx Ey F
39
x 1 0 -1 -2 -3 -4
y 3 8 7 7.58 7.90 8
y 3 -2 -1 -1.58 1-90 -2
40
2.4 La Elipse
Es una curva cerrada simétrica respecto a dos ejes
perpendiculares entre sí, que resulta de la intersección de un cono
circular recto con un plano oblicuo que atraviesa su generatriz.
2.4.1 Elementos de una Elipse
𝐹 𝑦 𝐹1 ∶ son los focos de la Elipse
𝐹 𝐹1 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅: Este es el eje focal, la cual es la recta que pasa por los focos.
𝑉 𝑦 𝑉1 : Son los vertices, es decir, los puntos donde el eje focal corta la elipse.
41
𝑉 𝑉1 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅: Este es el eje mayor, es la porcion del eje focal que comprende los vertices.
𝐵𝐵1: Es el eje menor, el cual corta a la elipse en dos partes. Esta en y.
𝐶(ℎ, 𝑘): Es el centro, el cual es el punto medio de los focos.
𝑄 𝑄1 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅: Es La cuerda que une dos puntos cualquiera de la Elipse.
𝐸 𝑦 𝐸1 : Cuerda focal: Es una cuerda que pasa por algunos de los focos.
𝐷 𝐷1 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅: Es diametro el cual es una cuerda que pasa por el centro C(h,k).
2.4.2 Demostracion de la Ecuacion Ordinaria de una Elipse.
Como 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 𝑦 𝑘1 + 𝑘 = 2𝑐 → |𝐹𝑃̅̅ ̅̅ | + |𝐹1𝑃̅̅ ̅̅ ̅| = 2𝑎
|√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2| + |√(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2| = 2𝑎
Asumir que el es positivo y pasar el radical al otro lado = √(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2
Elevar al cuadrado ambas miembros
(√(𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦)2)2
= (2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦)2)2
Operar en el paso anterior y eliminar terminos semejantes
(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = (2𝑎)2 − 2(2𝑎)√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦22
(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 − 4𝑎2√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
−2𝑐𝑥 = 4𝑎2 + 2𝑐𝑥 − 4𝑎2√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
Transponer los terminos: 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 + 4𝑐𝑥
𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑎2 + 𝑐𝑥
Elevar al cuadrado ambos miembros
(𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2
= (𝑎2 + 𝑐𝑥)2
𝑎2((𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2) = (𝑎2 + 𝑐𝑥)2
𝑎2𝑥2 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2
42
Eliminando y haciendo la transposicion de terminos
𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2
Factorizando 𝑥2(𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)
Como se dijo al principio que 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 → 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2 por lo que sustituyendo en el paso 8. Se
tiene que 𝑥2(𝑏2) + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2
Dividir el paso anterior por 𝑎2𝑏2 → 𝑥2𝑏2
𝑎2𝑏2 +𝑎2𝑦2
𝑎2𝑏2 =𝑎2𝑏2
𝑎2𝑏2
∴
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1, 𝑎2 > 𝑏2
2.4.2.1 Deduciones de las ecuaciones de una Elipse.
De la ecuación anterior se sacan las siguientes deduciones:
Si la elipse tiene centro en C(0,0) y eje focal en x su ecuacion es: 𝑥2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1
Si la elipse tiene centro en C(0,0) y eje focal en y su ecuacion es:
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎2 = 1
x
y(x^2/9)+(y^2/2)=1
43
Si La Elipse tiene centro en un punto C(h,k) diferente al origen y su eje focal esta en x ,
entonces su respectiva ecuacion está en :
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1
Si la elipse tiene centro en un punto C(h,k) diferente al origen y su eje focal esta en y,
entonces su respectiva ecuacion es :
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2 +
(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2 = 1
Ejemplo1: Dada la ecuacion 5𝑥2 + 4𝑦2 = 20, hallar la ecuacion de la elipse y graficarla.
5𝑥2 + 4𝑦2 = 20 →5
20𝑥2 +
5
20𝑦2 = 1
→𝑥2
205
+𝑦2
204
= 1 ∴ 𝑥2
4+
𝑦2
5= 1
x
y
44
Ejemplo2: Cual es la ecuacion de la Elipse de centro C(0,0), cuyos vertices son V(-6,0) , 𝑉1= (6,0) y
Focos F(-4,0) , 𝐹1= (4,0). Hacer la gráfica.
Sol:
Vértice: |𝑉1𝑉̅̅ ̅̅ ̅| = 2𝑎 → |−6 − 6| = 2𝑎 → 12 = 2𝑎, ∴ 𝑎 = 6
Focos: |𝐹1𝐹̅̅ ̅̅ ̅| = 2𝑐 → |−4 − 4| = 2𝑐 → 8 = 2𝑐 , ∴ 𝑐 = 6
Como se conoce a a y a c entonces falta b.
Como 𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2 → 𝑏2 + 42 = 62 → 𝒃 = √𝟐𝟎
Por lo tanto la ecuación se busca
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 →
𝑥2
62 +
𝑦2
√202 = 1 →
𝑥2
36 +
𝑦2
20= 1
45
Ejemplo 3: Si una Elipse tiene como centro el punto C(-6,4). Su eje Mayor es 12 y es paralelo al eje de
las y. Su eje menor es 6. Cuál es la ecuación de la Elipse y haga su gráfica.
*Eje Mayor: 2𝑏 = 12 → 𝑏 = 6
*Eje menor: 2𝑎 = 6 → 𝑎 = 3
Como su eje focal esta en Y, entonces su respectiva ecuacion es :
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2 = 1 →
(𝑥 − (−6))2
32 +
(𝑦 − (4))2
62
(𝑥 + 6)2
9 +
(𝑦 − 4)2
36 = 1
Ejemplo 4: Si la ecuación general de una elipse es 4𝑥2 + 6𝑦2 − 8𝑥 − 12𝑦 − 14 = 0 encontrar:
Ecuación canónica, valor de a,b,c; centro, longitud lado recto, excentricidad, coordenadas de los
vértices, coordenadas de los focos, grafica.
Ecuación canónica:
Hacer compleción de cuadrados
4𝑥2 + 6𝑦2 − 8𝑥 − 12𝑦 − 14 = 0 → (4𝑥2 − 8𝑥) + (6𝑦2 − 12𝑦) = 14
4(𝑥2 − 2𝑥 + 𝑛) + 6(𝑦2 − 2𝑦 + 𝑚) = 14
4(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 6(𝑦2 − 2𝑦 + 1) = 14+4+6
x
y(x+6)^2/9 + (y-4)^2/36 =1
46
4(𝑥 − 1)2 + 6(𝑦 − 1)2 = 24 →4(𝑥 − 1)2
24+
6(𝑦 − 1)2
24=
24
24
(𝑥 − 1)2
6+
(𝑦 − 1)2
4= 1
Buscar a a,b,c.
𝑎2 = 6 → 𝑎 = √6 , 𝑏2 = 4 → 𝑏 = 2, 𝑐 = √√6 2
− 22 → 𝑐 = √2
Esto es una elipse horizontal.
Centro: c(h,k) = c(1,1)
Longitud del lado recto. L.R=2𝑏2
𝑎=
8
√6
Excentricidad 𝑒 =𝑐
𝑎=
√2
√6=0.58
Coordenadas de los vértices:
𝑉1 = (ℎ − 𝑎, 𝑘) → 𝑉1 = (1 − √6 ,1)
𝑉2 = (ℎ − (−𝑎), 𝑘) → 𝑉2 = (1 + √6 , 1)
Longitud del Eje Mayor: 2𝑎 = 2√6
Longitud Eje menor: 2𝑏 = 2(2) = 4
Gráfica:
47
2.4.3 Realización de la gráfica de una Elipse.
Para representar gráficamente una Elipse se debe despejar la variable dependiente Y y luego
buscar el dominio para el cual esta determinado la curva.
Ejemplo: Hacer la gráfica perteneciente a 𝑥2
4+
𝑦2
8= 1
𝑥2
4+
𝑦2
8= 1 ;
𝑦2
8= 1 −
𝑥2
4 → 𝑦 = √8 − 2𝑥2
Dominio: 8 − 2𝑥2 ≥ 0; 𝑥 ≤ ∓2 por lo tanto el dominio es 𝑥 ∈ [−2,2]
𝑦 = √8 − 2𝑥2
X -2 -1 0 1 2
Y ∓0 ∓2.4 ∓2.8 ∓2.4 ∓0
48
2.5 La Parábola
Es una curva formada por un conjunto puntos p(x,y) de un plano cualquiera, tal que su distancia
al foco F y a la directriz son iguales.
Trujillo, M. (2004) dice que la parábola geométricamente se describe como la curva que resulta al
interceptar un cono circular recto y un plano paralelo a la generatriz del cono.
V (0,0): Es el vértice de la parábola.
Eje de la parábola: Es la recta que pasa por el foco F(p,0) y el vértice v(0,0).
d: Es la distancia focal que se encuentra desde el punto v(0,0) hasta el foco F(p,0) .
D: Es la directriz la cual es una Recta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del
vértice al igual que el vértice del foco.
Radio focal: Es la distancia que hay desde el foco de la parábola hasta cualquier punto de la misma.
49
2.5.1 Ecuaciones de la parábola
Formas de las ecuaciones de una parábola: 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ; 𝑥 = 𝑎𝑦2 + 𝑏𝑦 + 𝑐
𝑦2 = 4𝑝𝑥 , se tiene que si 𝑝 > 0 la parábola abre hacia la derecha, pero si 𝑝 < 0 entonces abre
hacia la izquierda.
𝑥2 = 4𝑝𝑦. En esta ecuación el foco es F (0,p). si 𝑝 > 0 la parábola abre hacia la arriba y para
𝑝 < 0 abre hacia abajo.
La parábola con vértice v(h,k) y eje de simetría vertical (𝑥 − ℎ)2 = ∓ 4𝑝 (𝑦 − 𝑘).
Si el eje de simetría es horizontal entonces: (𝑥 − 𝑘)2 = ∓ 4𝑝 (𝑦 − ℎ).
Ejemplo 1: Cuál es la ecuación de la parábola cuyo vértice es v(0,0)y su foco F(0,3).
El foco está en y, eso indica que la parábola abre hacia arriba.
El foco se encuentra sobre el eje Y en (0, 3), por lo tanto es una parábola vertical con las ramas hacia
arriba y vértice en (0, 0). Su ecuación es de la forma x2 = 4py, siendo p la distancia del vértice a l
foco, es decir, p = 3, sustituyendo este valor en x2 = 4py se tiene que: 𝑥2 = 4 𝑝𝑦 = 4(3)𝑦 → 𝑥2 =
12𝑦
Ejemplo 2: Buscar la ecuación de la parábola cuyo vértice es V(0,0)y foco F(-6,0).
El foco está en x=-6 y abre hacia la izquierda, por lo que la ecuación de la parábola es de la forma
.
pxy 42
22 4 4( 6 2) 4y py x y x
50
Ejemplo 3: Obtén los elementos de una parábola cuya ecuación es 𝑦2 = 28𝑥
Los elementos son: Vértice, foco, directriz, lado recto y eje.
Se sabe que 𝑦2 = 28𝑥 representa una parábola horizontal, por lo que ahora se pueden sacar sus
elementos.
Vértice: v(0,0)
Foco→ 𝑦2 = 28𝑥 implica que 28/4=7, por lo que P=7
Lado Recto (LR): es cuanto abre la parábola, por tanto Esto implica 14 arriba y
abajo.
Directriz: x=-5
Eje: y=0
Realizar un bosquejo de la gráfica de la ecuación.
2.5.2 Representación grafica de una parábola.
Para graficar una parábola se procede de la misma forma que con la circunferencia y la parábola.
Ejemplo 1. Graficar 𝑦2 = −20𝑥
El vértice es v (0,0) y foco: p = (-5,0).
Buscando su dominio en 𝑦 = √−20𝑥 se cumple ∀𝑥 ∈ (−∞, 0]
LR= 4 4(7) 28P
x
y
51
2.6 Hipérbola
Es aquella cónica que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales
la diferencia de las distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos (llamados focos) es constante y
menor que la distancia entre los focos.
Geométricamente la Hipérbola se forma cuando se inclina un plano de forma tal que sea paralelo a dos
generatrices de un cono. Como se nota es una figura que está formada por dos ramas.
52
2.6.1 Elementos de una Hiperbola con centro en el origen
𝐹1 𝑦 𝐹 son los focos.
𝐶(ℎ, 𝑘): es el centro.
𝑉1 𝑉̅̅ ̅̅ ̅̅ = 2𝑎 : es el eje transversal
𝐵1 𝐵̅̅ ̅̅ ̅̅ = 2𝐵 : es el eje conjugado
𝑄1 𝑄̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎 : Es el lado recto.
2.6.2 Ecuaciones de una hipérbola
Si la hipérbola tiene su centro en C (h,k) = (0,0) y su eje transverso esta en x y el conjugado en
y entonces es una hipérbola horizontala y su ecuación es:
𝒙𝟐
𝒂𝟐−
𝒚𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
53
Si la hipérbola tiene su centro en C (h,k) = (0,0) y su eje transverso esta en y y el conjugado en
x entonces es una hipérbola vertical cuya ecuación es:
𝒚𝟐
𝒂𝟐−
𝒙𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
Si C (h, k) ≠ (0,0) y su eje transverso es paralelo al eje horizontal x y el conjugado paralelo a
y , entonces su ecuación es:
(𝒙 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐−
(𝒚 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
Si C (h, k) ≠ (0,0) y su eje transverso es paralelo al eje vertical y y el conjugado paralelo a
x , entonces su ecuación es:
(𝒚 − 𝒉)𝟐
𝒂𝟐−
(𝒙 − 𝒌)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
Ejemplo 1: Cuál es la ecuación de la hipérbola cuyo centro es C(0,0), sus vértices son
𝑉1(−2,0); 𝑉(2,0) y focos 𝐹1(−5 ,0) ; 𝑉(5 , 0).
Solucion:
a=3, c=5 Como 𝑏2 + 𝑎2 = 𝑐2 → 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2
𝑏 = √52 − 32 → 𝒃 = 𝟒
𝑥2
𝑎2−
𝑦2
𝑏2= 1 →
𝑥2
32−
𝑦2
42= 1 ∴
𝑥2
9−
𝑦2
16= 1
54
No des la felicidad de muchos años por el riesgo de una hora.
Marco Aurelio (121-180) Emperador Romano.
55
Cálculo Diferencial
2.7 Práctica # 2: Las cónicas
Nombre: ___________________________Matrícula:________________________
Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________
La circunferencia
I. Defina correctamente :
a) Qué es una cónica?.
b) Qué es una circunferencia
II. Obtén la ecuación canónica de la circunferencia de centro y radio dados.
a) C(-3,5); r = 6
b) C(-4,-1), r = 2
c) 𝐶(1,6), 𝑟 = √7
III. Escribe la ecuación general de una circunferencia dado su centro y su radio.
a) C(2,4); r = √5
b) C(-4,7), r = 1
IV. Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias.
a)
2 21 7 25x y
b) 2 2
8 5 81x y
c) 2 2 1
6 49
x y
d) 2 2
2 1 4x y
e) 2 2
9 16x y
f) 2 214 14 28 112 50 0x y x y
V. Representa gráficamente las circunferencias
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 36
b) (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 5)2 = 49
c) (𝑥 − 6)2 + (𝑦 + 2)2 = 25
d) 2 2 6 0x y .
e) 2 2 8 10 20 0x y x y .
f) 2 24 4 6 8 2x y x y .
56
VI. Hallar la ecuación canónica de la circunferencia dados.
a) r = 5 ; C 2, 8
b) r = 10; C 0, 2
c) r = 4; C 3, 2
VII. Resuelve los siguientes problemas.
a) Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto A(6, 0).
b) Determine la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento que une los puntos :
M (2, 10) y N (8, 4).
c) Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro P(-6, 4) y que sea tangente al eje Y.
d) ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro B(5, 6) y que pase por el origen?
e) Halle la ecuación de la circunferencia de radio r = 4, que sea tangente a los ejes coordenados y
cuyo centro esté en el segundo cuadrante.
f) Calcule el área y el perímetro de la circunferencia cuya ecuación es :2 2 6 4 56 0x y x y .
g) Una circunferencia de radio 4 pasa por los puntos P(1, 3) y Q(7, 3). Encuentre las ecuaciones.
h) Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (3, 0) y (0, 3), y es tangente
a la recta 3x – 3y = 3.
La Parábola
VIII. Determina el vértice, la gráfica y la distancia focal de las siguientes parábolas. a) 𝑦2 = 3x
b) 𝑥2 = 4y
c) (𝑦 + 2)2 = −4(𝑥 − 5)
d) (𝑥 + 8)2 = 12(𝑦 + 10)
IX. Determine las coordenadas del foco, longitud del lado recto y la ecuación de la directriz de las
siguientes parábolas :
a) 2 4x y . b)
25y x
X. Halle la ecuación de las parábolas conforme los datos que se indican:
a) Foco F(0, 6), Directriz : y + 1 = 0.
b) Foco F(0, 5), Directriz el eje X.
d) Vértice V(2, 2), Eje de simetría la recta y + 1 = 0 y que pase por el punto (4, 4)
e) Vértice V(3, 2), Foco F(3, 1).
57
XI. Grafique las siguientes parábolas
2
2
2
2 6
4 6 8 0
3 9 5 2 0
y x y
x x y
x x y
XII. Determine la ecuación de la tangente a la parábola 2 4 4 6 0y x y que es perpendicular a
la recta 2x +3 y + 6 = 0.
La Elipse
XIII. En las siguientes ecuaciones de Elipse obtenga su centro, longitud de los semi-ejes mayor y
menor, longitud de los lados rectos, coordenadas de los focos y vértices, excentricidad y ecuación
de las directrices.
a) 2 2
364 16
x y .
b) 2 26 5 30x y
c) 2 28 2 16 8 14 0x y x y .
d)
2 261
16 4
x y .
e)
2 22 6
125 9
x y
XIV. Representa gráficamente las siguientes elipses.
f) 2 2
13 5
x y
g)
2
253 1
4
xy
h) 2 2
8 6 1x y
i) 2 29 6 18 24 3 0x y x y .
58
XV. Determine las ecuaciones de las siguientes elipses, de forma que satisfagan las condiciones que
se indican:
a) Focos (5, 0) y (5, 0), vértices (7, 0) y (7, 0).
b) Focos (0, 7) y (0, 7), longitud eje menor igual a 14.
XVI. Determine la ecuación de la elipse de centro (8. 4), uno de los focos en (2, 2) y que pasa por el
punto (10, 0).
XVII. Determine la ecuación de la elipse de centro (2, 5), uno de los vértices en (4, 2) y su excentricidad
e = 1/5.
La Hipérbola.
XVIII. Obten las coordenas al centro y semiejes transversos y conjugados de la hipérbola.
a) 2 2
125 4
x y .
b)
2 23 5
14 36
x y .
d) 2 29 16 100x y
XIX. Represente gráficamente las hipérbolas cuyas ecuaciones se muestran a continuación
determinando, en cada caso, los vértices, los focos, la excentricidad, la longitud del lado recto
las ecuaciones de las asíntotas y las ecuaciones de las directrices.
a) 2 2
115 8
x y .
b) 2 2 36x y .
d) 2 29 16 100x y
e)
XX. Determine las ecuaciones de las hipérbolas que satisfagan las siguientes condiciones:
a) Centro (0, 0), foco (5, 0), un vértice en (3, 0).
b) Vértice los puntos (3, 0) y (3, 0), focos (4, 0) y (4, 0).
59
3. Capítulo 3: Relaciones y Funciones
3.1 Importancia del Cálculo Diferencial
El cálculo diferencial consiste en el cambio que experimentan las funciones. Su principal
objeto de estudio son las derivadas, la cuales son la medida de la rapidez con la que varía el valor de
una función según cambia el valor de su variable independiente. Se interesa en el movimiento y la
forma en la que una cantidad se acerca a otra.
Tiene mucha importancia dentro de diferentes ramas del saber, como en el caso de la física
pues se aplica en la velocidad instantánea sobre la razón de cambio del desplazamiento con respecto al
tiempo. En la química le interesa la velocidad instantánea para obtener la rapidez de cómo cambian
las reacciones químicas. En biología se observa cómo crece una población en un determinado tiempo y
en economía tiene basta importancia en la minimización y maximización para diferentes productos.
También se usa para predecir ciertos modelos matemáticos en diferentes áreas de la ciencia.
http://www.slideshare.net/silvyharoo/clculo-diferencial plantea que las razones del cambio se
representan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en conocer la rapidez a la cual una masa
incrustada de roca fundida se enfría por conducción del calor hacia las rocas que la rodean. Un
ingeniero desea conocer la proporción a la cual el agua fluye hacia adentro o hacia afuera de un
deposito. Un geógrafo urbano se interesa en la razón de cambio de la densidad de población de una
ciudad, al aumentar la distancia al centro de la propia ciudad. Un meteorólogo siente interés por la
razón de cambio de la presión atmosférica con respecto a la altura, En psicología, quienes se interesan
en la teoría del aprendizaje estudia la curva del aprendizaje, la cual presenta en forma de gráfica del
rendimiento P(t) de alguien que aprende una habilidad, como función del tiempo de capacitación t. es
decir en el rendimiento a medida que pasa el tiempo. En sociología, el cálculo diferencial se aplica en
el análisis del esparcimiento de rumores de informaciones.
Como el cálculo diferencial estudia el cambio en las funciones por esa razón la unidad que sigue
a continuación se le llama relaciones y funciones.
60
3.2 Relaciones y Funciones
Desde niveles académicos muy bajos se vienen usando las funciones, pero muchas veces se
trabajan como algo rutinario, simplemente para cumplir con un programa de clase. Las personas
calculan y grafican funciones de todas índoles, sucediendo en la mayoría de los casos que ni se
imaginan la importancia y utilidad de estas, son vistas casi siempre como algo abstracto.
En la vida hay cosas que son dependientes y otras son independientes. Algunos sucesos se
obtienen es dependiendo de los resultados de otros, por ejemplo La cantidad de leche que dé una vaca
dependerá de la cantidad de pasto y líquido que consuma en el día anterior; La cantidad de combustible
gastado por un vehículo dependerá del tiempo que dure encendido. Cuando se va al supermercado se
compra un producto dependiendo de su calidad y su precio. Todo depende de los factores de oferta y
demanda.
Las funciones son de uso en diferentes áreas del saber tales como en la química, física,
economía, estadística, medicina, finanza, etc.
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml plantea que Las funciones, en
matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.
El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para
designar una potencia 𝑥𝑛de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz
utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva y el en 1829 por el matemático alemán,
J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859.
Algunas funciones tiene diferentes uso tales como las funciones cuadráticas la cuales
representan parábolas. Estas se encuentran sumergidas en la naturaleza y hasta en las trayectorias
descritas por los proyectiles. Los telescopios, luces de vehículos, cascadas, etc. Es incalculable el uso
que tienen las funciones de segundo grado en la humanidad.
http://www.buenastareas.com/ensayos/Embriologia-Molecular/6352897.html dice que a las
funciones exponenciales se acostumbra a llamarlas funciones de crecimiento, puesto que su empleo
más extenso está en la descripción de esta clase de fenómenos, como el desarrollo poblacional de:
personas, animales, bacterias; la desintegración radioactiva, crecimiento de una sustancia en una
reacción química, el incremento del capital en el interés compuesto, etc. La función inversa de la
61
función exponencial, es la función logarítmica que se utiliza ampliamente en las ciencias teóricas como
en las aplicadas, por ejemplo, para resolver la ecuación exponencial que se deriva de los estudios de
crecimiento poblacional y de las matemáticas financieras, aun con una calculadora científica muy
buena, se necesitan las funciones logarítmicas para resolverlas.
3.3 Clasificación de las funciones elementales.
Desde niveles medios siempre han planteado que las funciones se clasifican en elementales y
no elementales. Las funciones elementales están formadas por los polinomios, el cociente de
polinomios, los radicales, las funciones trigonométricas y sus inversas, la función exponencial y
logarítmica, así como todas las funciones formadas a partir de las anteriores mediante operaciones
algebraicas o composición de funciones. Mientras que Las funciones no-elementales son aquellas que
pueden ser obtenida mediante un número finito de pasos combinando funciones elementales. Entre
estas se encuentran las inyectivas, biyectivas, sobreyectivas, las cuales caen en el camplo de la
clasificación de las funciones por su aplicación. .
Toda función proviene de una relación y en cada una de estas hay comportamientos importantes
tales como su Dominio, su rango, simetría, periocidad, puntos de cortes, crecimiento y decrecimiento,
puntos críticos: máximo y mínimo, punto de inflexión, concavidad y convexidad, etc. A continuación
se presenta un organigrama de clasificación de las funciones elementales.
Polinomial
Racional
Radical
A t
Con
Tr
stan
asce
te
grad
ndente
Algeb
Expon
Func
enci
ión
al
Logarítmica
Trigonométric
ra
ro
ica
zo
a
on
62
● Conjunto producto: Es el conjunto de los pares ordenados (x, y) donde x є A ^ y є B.
● Relación: Es un subconjunto del conjunto producto que se forma a través de un mandato. En toda
relación se encontrará un primer conjunto llamado conjunto de partida y un segundo llamado
conjunto de llegada.
Ejemplo: Si A= {1, 4,6}, B= {2, 3,7}. Haga el conjunto producto y buscar la relación de acuerdo f: x
> y. Luego grafique la relación en el plano cartesiano y haga el diagrama de Euler-Venn.
a) Conjunto Producto A x B = {(1,2); (1,3) ; (1,7) ; (4,2) ; (4,2) ; (4,7); (6,2); (6,3); (6,7)}.
b) Relación obtenida de acuerdo a F: x >y; R: {(4,2); (4,3); (6,2); (6,3)}
c) Plano cartesiano
Y
x
3.4 Propiedades de una relación.
1) Reflexión: Es una propiedad que dice que todo elemento se relaciona consigo mismo, es decir,
matemáticamente ; ( , )x A x x A .
Ejemplo: sea A= {2, 3, 4}: R: A A donde x = x.
2) Simétrica: Dice que si un elemento x es igual a y entonces y también es igual a x. Matemáticamente
se expresa ,x y A ;( x , y) ∈ A ^ (y , x) ∈ 𝐴. Ejemplo: Sea A = {2, 3, 4,}, R: { (2,4); (4,2) }
63
3) Transitiva: Coloquialmente se usa cuando se dice que Carlos es igual a Pedro y Pedro es igual a
Willy, entonces Carlos es igual a Willy. La definición matemática dice que
, , ; ,x y z A x y A ^ , ,y z A x z A
Ejemplos: x = y ^ y = z x = z ; x < y ^ y < z x < z;
a b ^ b c a c
3.5 Dominio y Rango de una función
Dominio: Es el conjunto de los elementos del conjunto de partida que están relacionados con algún
elemento del conjunto de llegada. Matemáticamente son los elementos para los cuales la función está
definida. ; /x X y Y f x y
Rango: Es el conjunto de los elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún
elemento del conjunto de partida. Matemáticamente se expresa ; /y Y x x y f x .
Ejemplo 1: Dados A ={2,3,4,5} y B = {4,6,9}, siendo , R : A —> B la relación tal que "x + y
8”, determine: a) Conjunto Solución, b) Dominio, c) rango, d) Diagrama de Venn-Euler y e)
Diagrama de coordenadas.
Solución:
a) El conjunto solución es
R = { ( x , y) A X B / x + y 8 } = {( 2, 4 ) ( 2, 6 ) , ( 3, 4 ), ( 4, 4 )} .
b) El dominio es D = { 2, 3, 4} ; c) El rango es D ={ 4, 6 }
d) El diagrama de Venn – Euler es:
64
3.6 Función. Concepto y Defininición.
Concepto: Es toda relación en la cual ningún elemento del dominio tiene más de una imagen en el
rango.
Definición:
Dados los conjuntos X ^ Y ≠ ∅ una función desde X hasta Y connotada por
F: XY es una correspondencia matemática que cumple con los siguientes criterios.
Condición Existencial:
; / ,x X y Y x y f
Condición de Unicidad:
Dice que: 1 2 1 2, ^ ,x y f x y f y y
f(1)= ?, f(-3)= 9, f(6)=? , f(4)= 16; Solamente hay función en -3 y 4.
Ejemplo 1: 2 Sea X 1, 3,6,4, ; 7,9,10,16 . Dada la función y=x
Diga para cuales elementos se cumplen.
Y
Ejemplo 2: Dada la función ;Y X . Cuál es el dominio y rango
Ejemplo 3: Hallar el dominio de la función
1( )
4 5
xf x
x
Domino: 0R , es decir x mayor que cero
Rango: 0R , Y mayor que cero también.
Solución: dom. f: x R/ 4 5 0x . Resolviendo la inecuación obtendremos como resultado 9x
y 1x por lo que el dominio de la función es es , 1 9,U .
3.6.1 Clasificación de las funciones según su aplicación
Inyectiva :
● Asigna a elementos distintos de A, elementos distintos de B.
1 2 1 2 1 2, ;x x A f x f x x x
65
b) Sobreyectiva:
Es cuando todos los elementos del rango son imágenes aunque sea de un solo elemento del dominio; es
decir, cuando el rango sea igual al conjunto de llegada, R = B.
C) Biyectiva: Es cuando una función es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
3.6.2 Función par e impar
a) Función par: Una función es par cuando guarda simetría en el eje de la ordenada. y= (x) es par
f (-x) = f (x); Ejemplo: Sea 2y x
Es par porque sea a cualquier número, f (-a) = f (a)→ 2 2( ) ( )a a → a = a
b) Función impar: Será impar cuando presente simetría con respecto al origen de coordenadas.
Y = f (x) es impar f (-x) = - f (x) ; ^x Ax A x A f x f x
x
y
66
Ejemplo: 3
3 3
( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x x f a f a
a a a a
3.6.3 Funciones algebraica. Clasificación.
Son aquellas en la cual la variable independientemente se somete a las operaciones de adición,
sustracción, multiplicación, división, potencia y radicación. Ejemplo: 4y x
Estas pueden ser:
Explicitas: Cuando las imágenes de x se obtienen f (x) = 5 x - 2 por simple sustitución.
Implícita: Si no se pueden obtener las imágenes de X por simples sustitución, si no que hay que
realizar operaciones.
3 65 2 0xy x xy y
Funciones polinómicas: 0 1 22 f x ||| n
na a x a x a x
Son aquellas que vienen dadas por polinomios, tal como la función cuadrática
2x ; 0f ax bx c a Su gráfica es una parábola,
x
y
2: Graficar a ( ) 2 1Ejemplo f x x x
x
y
67
Función Constante: Viene dada por un número real, y se cumple que es cuando los elementos del
dominio tienen una misma imagen.
: ; ; f R R x R f x a
Funciones a trozos
Son definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
En una función a trozos hay sumergidas distintos tipos de funciones en diferentes intervalos.
Ejemplo: grafica la función:
2 ; 2
4 ; f(
)=
2x
x
x x
Dominio: R-{2}
68
Funciones Racionales: Son aquellas obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio no idénticamente
nulo. Para una única variable x una función racional se puede escribir como:
0 1 2
0 1 2
2
2
( ) |||( )
( ) |||
n
n
n
n
p x a a x a x a xf x
q x b b x b x b x
Ejemplo:
2
3
1f(x) =
1
x
x
Funciones Radicales: El criterio viene dado por x dentro de un radical.f (x) = x
x
y
69
Cálculo Diferencial
3.7 Práctica #3: Relaciones y Funciones.
Nombre: ___________________________Matrícula:________________________
Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________
I. Define:
1. Qué es una relación?.
2. Qué es un conjunto producto?.
3. Defina cada una de las propiedades de una relación y ponga ejemplos?.
4. Qué es un función?.
5. Establezca la diferencia entre el dominio y rango de una función?.
6. Clasificación de las funciones. Defina cada una y ponga ejemplos.
7. Cuándo una función es algebraica?.
8. Cuándo una función es polinómica?. Ponga ejemplos.
9. Cuándo una función es constante?.
10. Explique a través de ejemplos cuando una función es par y cuando es impar?.
11. Hable brevemente sobre cada una de las funciones trascendentes?.
II. 2
Dada : con y y los conjuntos
0,1,2,3 , , determina lo que se te pide de acuerdo a f:x
f A B x A B
A B N y
El conjunto de pares ordenados de -------------------------------
El dominio de la función -------------------------------
El rango de la función --------------------------------
III. Escribe el conjunto solución, el dominio y el rango de las siguientes funciones definidas sobre
A y B.
2) 1; 0,1,2,3,4 ; 1,3,15,25 .
) 3 1; 0,2,4,6,8 ; 1,13,25,49 .
) 2 1; 0,1,2 ; .
) 6 / ; 1,2,3,4,5,6 ; 1,2,3,4,5,6,7,8 .
) 2 / ; 1,2,3,4,5 .
a y x A B
b y x A B
c y x A N B z
d y x A B
e y x x A B
70
IV. Representa gráficamente la función pedida.
Una función inyectiva.
Una función constante.
V. Cuál de las siguientes expresiones representa una función?. Enciéralas.
) 2 1 ) 2 2.
) 2, / . ) 3.
) , 2 / . ) , 2 / .
a y x d y x
b y y y e y x
c f x x f f x x x
VI. Al lado de cada expresión escribe si es algebraica o trascendente; racional o irracional; fraccionaria
o polinómica. ) 5 2 ; ;
) 2 1 ; ;
2) ; ;
1
) ; ;
a y x
b y x
c yx
d z xgy
VII. Escribe si las siguientes funciones tienen simetría respecto al origen o a uno de los ejes, o si no
tiene simetría.
71
2
3
)
) 1
) 3
a y x
b y x
c y x
VIII. Verifica cuál de las siguientes funciones es par o impar. 3 4
2
3
2
3
)
) 1
) 2
) 9 5
) 3 1
)
a y x x
b y x
c y x
d y x
e y x
f g x x
IX. Considerando los conjuntos A={1,2,3,4}; B={2,3,5} y C={3,4,5}, determinar:
a) AxB =
b) BxC =
c) Ax(BUC) =
X. Dado el conjunto x={3,7,10,11,} y las relaciones: cuales son funciones.
1
2
3
3,3 , 7,7 , 10,10 , 11,11
3,7 , 7,10 , 10,11 , 3,11
3,11 , 7,10 , 10,10 , 11,7
R
R
R
XI.
1
2
3
22. Dado el conjunto A= / 5 , obtén el conjunto solución,
el dominio y el rango de las siguientes relaciones R=A A cuyas leyes
de correspondencia se especifican.
R : 4
: es un numero par
:
x n x
x y
R x y
R y x
2
4
5
6
2 2
7
: 2 8
: es un número primo.
: es divisible por .
: es un cuadrado perfecto.
R x y
R x y
R x y
R x y
XII. En los ejercicios a, encontrar el dominio de la función.
2
2
2) 1 ; ) 3 2; )
1 cos
1 5 6) ; ) ; )
31 41
a f x x x b f x x x c g xx
d h x e f x f g xsenx x x
72
4. Capítulo 4: Limites, continuidad y Asintotas.
4.1 Limite. Concepto
El estudio de limite es primordiar para darle solución a muchos problemas presentados en
diferentes ramas del saber humano, principlmante en ingeniería, física, química, y ciencias sociales.
Con este se pretene estudiar cuan rápido se mueve una particula en un determinado momento. La
aplicación del concepto de limite en la vida humana se interpreta como el punto máximo o mínimo al
que se puede llegar. Este es un sinónimo de tope o fin. Un ejemplo sencillo es el de ser humano quien
al nacer tendrá como límite la muerte.
Límite: Es el valor de L al que sea aproxima la variable dependiente y, cuando la variable x se
aproxima a un valor c, es decir, 𝑦 = lim𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿.
4.2 Resolución de Limite por proceso de evaluación.
Este dice que si una función tiene límite este es único, por la propiedad de unicidad de límite. Eso
significa que si este se evalúa a la derecha y a la izquierda su valor es único.
2
2
2
Ejemplo: Cuál es el límite de y = x 1, cuando x tiende a 2.
La representación es de la forma lim x
Evaluación por la izquierda Evaluación por la derecha
1.5 1.25
1.9 2.61
1x
yx
2.5 5.25
2.1 3.41
1.99 2.9601 2.01 3.0401
1.999 2.996001 2.001 3.004001
1.9999 2.996001 2.0001 3.0004
El límite por la izquierda tiende a tres y también por la d
x y
erecha.
73
4.3 Resolución de límites por propiedades
Existen muchos métodos para resolver un limite, pero indiscutiblemente uno de los métodos
mas importante es el de aplicación de las propiedades. El dominio de todas y cada una de esta es un
pilar para la demostración de diferentes teoremas que se verán en el transcurso de este libro.
4.3.1 Propiedades de los límites.
Cuando se vaya a resolver un limite hay que tomar en cuenta las siguientes propiedades:
Si c es una constante y existen los f(x) ( ) y g x
x a x aLim Lim
1) Límite de una constante :
limc c
x a
2) Límite de una variable:
lim x a
x a
3) Límite de un exponente:
lim𝑥→𝑎
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛; Si n ∈ +
4) Límite del producto de una constante por una función:
lim ( )cf x c
x a
lim ( )f x
x a
5) Límite de una suma y resta:
lim ( ) ( )f x g x
x a
lim ( )f x
x a
lim ( )g x
x a
6) Límite de un producto:
lim ( ). ( )f x g x
x a
lim ( )f x
x a
lim ( )g x
x a
74
7) Límite de un cociente:
lim
x a
( )
( )
f x
g x
lim ( )
;lim ( )
f x
x ag x
x a
lim ( ) 0g x
x a
8) Límite de una potencia:
lim ( )n
f x
x a=
lim ( )n
f x
x a
9) Límite de una raíz: lim
x a
n x = n a ; Si n +
10) Límite de una radicación:
limx a
( )n f x = lim ( )nx a
f x
; n +
Si n es par solo será válido para limx a
( ) 0f x
Existen más propiedades de límite, que aunque no se van a usar por ahora pero son necesarias por lo
menos hacerlas notar aquí
11) lim
x
11
x
ex
12) limx
1
1x
x
= 1
13) 0limx
senx
x
=1
14) 0limx
ta
x
gx = 1
Ejemplo: resolver
3 2
1
3 2
1 1 1
3 2
lim 2 4
lim 2 lim lim4
1 2 1 4 1
x
x x x
x x
x x
75
4.4 Operaciones con límites e indeterminaciones
4.4.1 Sustitución Directa
Este método consiste en hacer la sustitución directa del valor, sin necesidad de hacer la sustitución
directa.
Ejemplos : Calcular los siguientes limites
1) 3
Lim
x 1x ²+
23 1 9 1 10
2) 3(2 1) 2(3) 1 5
xLím x
3) 3
22 2
3 (2) 4(2) 8 8 16( )
( 42
(2) 4 4 8) 4x
x xLím
x
4.4.2 Técnica de factorización o cancelación
2
2
4Ejemplo 1: Resolver el im
2x
xL
x
Resolviendo por sustitución directa da 4 4 0
2 2 0
da una indeterminación, eso significa que se
debe factorizar ( 2)( 2)
( 2)( 2)
x xx
x
y la nueva función es
2im ( 2) 2 2 4x
L x
3
3
27 Ejemplo 2 : Resolve i
3 r m
x
xL
x
Este límite por sustitución directa falla 0/0 por lo tanto se debe efectuar o por factorización.
3 27
3 3
Lim x
x x
=
22( 3)( 3 9)
3 9 273 3 3
Lim x x x Limx x
x x x
76
4.4.3 Límites de funciones racionales.
Una función racional es el resultado que se obtiene al dividir un polinomio por otro. Es decir;
( )
( )( )
P xf x
Q x ; Donde P y Q tienen la forma:
2
0 1 2
2
0 1 2
...( )
...
n
n
n
n
a a a x a xf x
b b b x b x
Para calcular el límite de una función racional puede aplicarse la regla para el cálculo de límite
de un consciente de dos funciones, luego se ejecuta el método de sustitución directa.
Ejemplos: Resolver los siguientes limites
lim
1x
5 4 3 22 3 5 4 4 10
1
x x x x x
x
5 4 3 22(1) 3(1) 5(1) 4(1) 4(1) 10 2 3 5 4 4 10 105
1 1 2 2
lim
1
2x
12( ) 5
2 / 2 5 6 1221 7 / 2 7 / 2 7
33
2
2 5x
x
lim
2x
22 2 4 4 4 8 no tiene limite
2(2) 4 4 4
4
4 02
x
x
lim
2x
2 2
2(2) 4 4 4 00
2 4 4 4 8
2 4
4
x
x
77
4.4.4 Límite de Funciones Irracionales.
Una función es irracional cuando la variable independiente está afectado por un radical.
El cálculo que se hace para resolver este tipo de función es el mismo como si se tratara de una función
racional.
Ejemplos: Busca el límite de cada expresión.
a)lim
5x
22 5 24 25 24 49 71
5 2 7 7 7
24
5 2
x
b)lim
2x
2
4
21
16
x
x
2
4
2 21 4 21 25 5
16 16 32 322 16
; Se aplica racionalización 2
5 5 32 5 32 5 32.
3232 32 32 ( 32)
c) lim
4x 0 04 4 4x
4.5 Indeterminaciones y Operaciones con el Infinito.
En los temas anteriores se desgloso las técnicas de cómo encontrar el límite de una función
racional e irracional, pero existen funciones que no son muy explícita y no se resuelven por simple
sustitución directa, sino que hay que aplicarle técnicas para tener el conocimiento del límite. Este es el
caso donde se dan las indeterminaciones que son aquellas expresiones que una vez obtenida no
permiten el conocimientos inmediato del límite, sino que hay que realizar ciertos procesos y aplicar los
métodos necesarios para resolver el problema y poder así encontrar el límite de una determinada
función. Entre los diferentes tipos de indeterminaciones están:
0
0;
0. ; ;
00 ; 1
; ;
0 .
78
Ante de entrar a este tema es importante llevan en cuenta los siguientes criterios de operaciones con
infinito. Nota: Asumir * como multiplicación.
1. Infinito más un número ∞ ± c = ∞
2. Infinito más infinito ∞ ± ∞ = ∞
3. Infinito por un número ∞ ∗ ±k = ∞, ∀k ≠ 0
4. Infinito por infinito ∞ ∗ ∞
5. Cero dividido por un número 0
k= 0
6. Un número dividido por cero k
0= ∞
7. Un número partido por infinito k
∞= 0
8. Infinito partido por un número ∞
c= ∞
9. Cero dividido por infinito 0
∞= 0
10. Infinito partido por cero ∞
0 =∞
11. Un número elevado a cero k0 = 1, ∀k ≠ 0
12. Cero elevado a un número 0k = {0; ∀k > 0∞; ∀k < 0
13. La constante k elevada a infinito 0k = {0; ∀k = −∞∞; ∀k = ∞
14. Cero elevado a infinito 0 0
15. Infinito elevado a infinito
Indeterminaciones causadas por el infinito
1. Infinito menos infinito Ind
2. Infinito por cero .0 Ind
3. Cero partido por cero
0
0Ind
79
4. Infinito partido por infinito Ind
5. Cero elevado a cero 0o Ind
6. Infinito elevado a cero 0 Ind
7. Uno elevado a infinito 1 Ind
4.5.1 Indeterminación de 0/0 que se resuelven por factorización o producto conjugado.
Ejemplo 1)
2
4
16im
4x
xL
x
=
2(4) 16 16 16 0
4 4 4 4 0
El resultado da una indeterminación por lo que se tiene que aplicar la técnica de factorización o
cancelación.
lim
4x
( 4)( 4)
( 4)
x x
x
lim
4x 4 4 4 8x
Ejemplo 2) lim
6x
2
2
13 7
6
x
x x
=
2
2
(6) 13 7 49 7 0
(6) 6(6) 36 36 0
.Indeterminación
En este caso cuando se realizan problemas con funciones irracionales se aplica la técnica de radicación
y para resolver esta indeterminación se multiplica y se divide por el conjugado.
222
2 2 2
2 26 6 62 2 2 2
2
6 6 62 2 2
2
13 713 7 13 7 13 49im im im
6 13 7 6 13 7 6 13 7
6 6 636im im im
6 13 7 6 13 7 13 7
12 2 2 2
1436 13 7 49 7
1
7(6) 6 13 7
x x x
x x x
xx x xL L L
x x x x x x x x x
x x xxL L L
x x x x x x x x
80
4.5.2 Indeterminación de tipo 𝟎
𝟎 𝒆
∞
∞.
Cuando se está buscando el límite de una función y falla por sustitución directa, por
cancelación y lo demás método, entonces debemos de ir a la regla algebraica que dice que cuando el
límite da 0/0 se divide cada término de la función por la variable de menor
exponente, por
consiguiente si el limite da / se divide por la variable de mayor exponente.
Ejemplo 1) lim
x
2
2
2 4 3
5 6
x x
x
=
2
2
2
2 2 2 2 2
2
2 22 2
2( ) 4( ) 3 2( ) 4( ) 3 3
5( ) 6 5( ) 6 6
2 4 3 4 3 4 32
2 22 0 0
6 65 6 5 05
55
x x
x x x x x
x
xx x
2
2 2 2 2
2
22
2
22
3
( ) 6
2 1
22 :
0 0
2 1 20 0
Resolviendo El limite de esta f
unc
i
ión es .6 66 1
1
m6
1
x
x
x x x x
x
xx x
xEjemplo L
x
Ejemplo 3) lim
0x
3 2
2
2 3 4
6
x x x
x x
lim
0x
3 2
2
2(0) 3(0) 4(0) 2(0) 3(0) 4(0) 0
(0) 6(0) (0) 6(0) 0
lim
0x
3 2
2 2
2
2 3 4
2 3 4 2(0) 3(0) 4 0 0 4 4 2
6 6 0 6 0 6 6 3
x x x
x xx x x
x x x
x x
81
4.6 Resolución de límites por comparación de infinitos cuando se obtiene ( )
Se puede trabajar por comparación de límites dando como resultado el infinito de la que tenga
mayor exponente. Siempre va a tender al infinito.
Ejemplos: Resolver por comparación de infinitos.
lim
x
5 3(2 3 4 )x x x Por tener 𝑥5 mayor orden
lim
x
3 2 4x x x Por tener 𝑥3 mayor orden
4.7 Resolución de limites racionales de indeterminación de ( )
Cuando se tenga este tipo de indeterminación de una función racional se debe primero resolver
las operaciones algebraicas y luego reducir los términos semejantes. Tomando en cuenta que siempre
se obtendrá una indeterminación de Mientras que, si es una función irracional se resuelve
generalmente multiplicando y dividiendo la función por el conjugado.
Ejemplo 1) Resolver
lim
2x 2
1 2
2 4
x
x x
lim
2x 2
1 2 1 2 ( 2) 2( ) 2 2
2 4 2 ( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x
x x x x x x x x x
lim
2x
2 2
( 2)( 2)
x x
x x
2 2 2(2) 4 4 0
(2 2)(2 2) 0 0
lim
2x
( 1)( 2) 1 1 1lim
( 2)( 2) ( 2) 2 2 4
x
x x x
Ejemplo 2) Resolver
lim
x
3 35x x x
lim
x
3 3( ) 5 ( ) 5x
lim
x
3 3 3 3
3 3
5 5
5
x x x x x x
x x x
3 2 3 2
3 3
( 5) ( )
5
x x x
x x x
/ ó 0/0
82
lim
x
3 2 3 3
3 3 3 3 3 3
( 5) ( ) 5 5
5 5 5
x x x x x x x
x x x x x x x x x
lim
x 3 3
3 3 3 3
5
1 1
1 1 25
x
x x
x x x
x x x x
4.8 Indeterminacion de tipo∞. 𝟎
Para romper este tipo de indeterminación se debe entrar uno de los factores dentro de la raíz del otro y
luego hacer las sustituciones indicadas.
Ejemplo 1: 5
21
Ejemplo 1: Resolver limx x
x ²
1
= 0 = 0. 2
222 2 2
1 1 1(2 ) (2 ) . (2 ) .
5 5 5
Lim Lim Limx x x
x x x x x x
2
2
4 44 2
5 1 0
Lim x
x x
Ejemplo 1)
lim
x 2
1( 4).
16 4x
x
lim
x 2
1 1( 4). . .0
16( ) 4
lim
x
2
2
( 4)
16 4
x
x
lim
x
2 2
2 2
( 4) 8 16 1 1
16 4 16 4 16 4
x x x
x x
4.8.1 Resolución de indeterminación de tipo 𝟏∞.
Este tipo de indeterminación se resuelve transformando la expresión en una potencia del numero e . Es
decir;
( )
11
( )
f x
ef x
83
Ejemplo 1) Resolver
lim
1x
1
12 2
4
x
xx
=
lim
1x
1
12 2
4
x
xx
1 1 2
1 1 02(1) 2 41
4 4
1er paso: Se suma y se resta 1
lim
1x
1
12 21 1
4
x
xx
2do paso: Se pone en a común denominador los últimos sumandos
lim
1x
1
12 21
4
x
xx
3cer paso: Sustituimos por el inverso de lo inverso.
lim
1x
1 4 2 2. .
1 2 2 4
11
4
2 2
x x
x x
x
1 4.
1 2 2
11
4
2 2
x
x x
x
e
lim
1x
4 4
2 2 4e e
x
84
4.9 Límite. Definición épsilon- Delta de límite.
Karl Weierstrass: Matemático alemán, nació en 1815. Ingresa a la universidad de Bon a
estudiar comercio y finanzas para complacer a su padre; pero su interés por las ciencias Matemáticas
fue más grande. Trabajó con la teoría de la serie de potencias, su trabajo más importante fue sobre
elípticas y fue quien dio la definición aritmética de límite junto a Cauchy. Muere en 1897.
0,( ) 0 / ( ) siempre que im f x L f x L x aLx a
> >
Ejemplo 1: Probar que 2
limx
2 1 3x
Debe probarse que dado un 0> ; 0 > ( )f x L < siempre que x a
< Estableciendo una relación
( )f x L Siempre que 2x < ( )
2x -1-3 = 2x - 4 = 2x2 = 2 - 2x
O sea que 2 - 2x < Siempre que - 2x
- 2x < 2
Siempre que - 2x
Por lo que puede tomarse un = 2
.
85
Ejemplo 2. 3
limx
2 5 1x
0 > ; 0> f x L < Siempre que x a <
Si = 0.01 ¿cuánto es ?
2 5 1x < 0.01 siempre que 3x <
Operando a la izquierda tenemos
2 5 1x 2 6x 2 3x 0.01<
2 x -3 0.01< siempre que 3x <
x -3< 0.01
2 . . . . . . . . 3x <
Por lo tanto como = 2
= 0.01
2 = 0.005 que cuando = 0.01 , = 0.005
4.10 Resolucion de Límites con valor absoluto.
Conceptualmente el valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su
signo.
; si 0
; si < 0
a aa
a a
Ejemplo:
19
19 19 9
19
1
Siendo x una variable y a una constante, entonces se dice que;
si x
si x<
x a ax a
x a a
Cuando = 0.01; = 0.005
0.005
86
23
3Ejemplo : Resolver
9
x
x
xLim
Evaluando directamente 2
3 3 0
3 9 0
Aplicando la definición de valor absoluto
; si 0
; si < 0
a aa
a a
,
limx a f x L
3 si x 33
3 si x< 3
xx
x
Esto indica que para valores mayores que 3 la expresión se sustituye por (x-3) pero para valores
menores se sustituye por – (x-3), por lo que se debe calcular limite cuando 3x y cuando 3x ,
esto indica límite lateral izquierda y derecha.
23
3lim
9x
x
x
Haciendo una evaluación por la izquierda y derecha
2.5 0.2 3.5
Evaluación por la izquierd
0.15
2.9 0.1694 3.1 0.16393441
2.99
a Evaluación por la d
0.16694
e a
rech
y yx x
2.01 3.0401
Se nota que el imite por la izquierda es aproximadamente y = -1/6
y por la derecha es y = 1/6. El límite no es único por lo tanto contradice
al teore unicidad de limitema de de , significa que no tiene.
87
3
4 12Ejemplo 2 :
2 1lim
x
x
x
Tomando en consideración el valor absoluto se tiene que;
a)
1 , si 1-x 01
1 , si 1-x<0
xx
x
Resolviendo por separado cada inecuación correspondiente al valor absoluto se tiene que:
1 si x<11
1 si x 1
xx
x
b) Hay que hacer dos evaluaciones con diferentes sustituciones. Como el ejercicio es
3
4 12
2 1limx
x
x
, las evaluaciones se hacen bajo los parametros
1 si x<11
1 si x 1
xx
x
c) De lo anterior se tiene dos evaluaciones las cuales hay una a la derecha y otra a la izquierda
que:
88
4 12 x 1 f
2 1
xsi x
x
Evlauando lim𝑥→3
4𝑥−12
2−(1−𝑥)=
4(3)−12
2−(1−3)=
0
4= 0
4 12 x>1 f
2 1
xsi x
x
Como 𝑥 > 1se procede a operar:
3 3
3 3
3
4 34 12lim lim
2 1 2 1
4 3 4 3
Eliminando térmi
li
4
m lim3
nos semejantes queda
3
4lim
1
x x
x x
x
xx
x x
x x
x x
Conclusión: El limite por la izquierda y por la derecha es diferente por lo tanto
por la propiedad de unicidad no hay limite.
4.11 Teorema del Sanwich
Este teorema recibe varios nombres tales como: Teorema del Emparedado, Teorema de
Estricción, Teorema de compresión y también Teorema de Función Mayor y menor. Su importancia es
trascendente tanto en el mundo del calculo como del análisis matemático.
Este teorema fue utilizado por Arquimedes cuando pretendía demostrar ciertas aproximaciones
del numero 𝜋. Aunque fue Gauss quien hizo un planteamiento racionalmente matemático. Su
importancia radica en el cálculo de límites que dan la impresión que no existen o que son difíciles de
racionar. Se le llama Sanwich porque se utiliza para encontrar el límite de una función muy extraña
que se encuentra entre dos funciones de límite más dóciles.
Teorema: Sea 𝑓(𝑥), 𝑤(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) funciones que cumplen que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑤(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) para toda x con
tendencia a acercarse a a. Si 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 → 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎
𝑤(𝑥) = 𝐿.
Interpretación:
Como 𝑓(𝑥) ≤ 𝑤(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) , por lo tanto lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑳 𝑦 lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑳 → lim𝑥→𝑎
𝑤(𝑥) = 𝑳
89
Demostración:
1) lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 → lim𝑥→𝑎
𝑤(𝑥) = 𝐿, aplicando ahora la definición de
límite para la función superior y la inferior.
2) lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ↔ ∀휀 > 0, ∃ 𝛿1 > 0/|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀 siempre que |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1.
3) lim𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿 ↔ ∀휀 > 0, ∃ 𝛿2 > 0/ |𝑔(𝑥) − 𝐿| < 휀 siempre que |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2.
Sacando ciertas deduciones se puede verificar que
4) Como se cumple que 0 < |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀 → 𝐿 − 휀 < |𝑓(𝑥)| < 𝐿 + 휀
5) Como se cumple que 0 < |𝑔(𝑥) − 𝐿| < 휀 → 𝐿 − 휀 < |𝑔(𝑥)| < 𝐿 + 휀
6) Como ya se sabe 𝑓(𝑥) ≤ 𝑤(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) por lo que de los dos últimos pasos se puede
verificar 𝐿 − 휀 < |𝑓(𝑥)| y que |𝑔(𝑥)| < 𝐿 + 휀 por lo tanto 𝐿 − 휀 < 𝑓(𝑥) ≤ 𝑤(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) < 𝐿 + 휀
7) Partiendo del paso 6, por siguiente afirmación debes ser verdadera:
𝐿 − 휀 < 𝑤(𝑥) < 𝐿 + 휀 por lo tanto por definición |𝑤(𝑥) − 𝐿| < 휀
8) Finalmente lim𝑥→𝑎
𝑤(𝑥) = 𝐿 ↔ ∀휀 > 0; ∃𝛿3 =𝑚𝑖𝑛{𝛿1,𝛿2 }
|𝑥−𝑎|< 𝛿3 𝑦 |𝑔(𝑥) − 𝐿| < 휀.
Q.E.D
Ejemplos: Resolver 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞
𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥
Solución:
Sustituyendo directamente lim𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥=
sin ∞
∞=?, nada se sabe respecto a este asunto, solo que
−1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 por lo que dividiendo por una misma cantidad x se tiene que −1 ≤ sin 𝑥 ≤ 1 =−1
𝑥≤
sin 𝑥
𝑥≤
1
𝑥, aplicando limite
90
− lim𝑥→𝑥
1
𝑥≤ lim
𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥≤ lim
𝑥→∞
1
𝑥 →
−1
0≤ lim
𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥≤
1
0
0 ≤ lim𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥≤ 0 ∴ lim
𝑥→∞
sin 𝑥
𝑥= 0 . Por la aplicación del teorema del Sándwich.
4.12 Continuidad
Un concepto de continuidad de una función dice que una función es continua siempre que se
pueda hacer su grafica sin levantar la punta de un lápiz.
4.12.1 Tipos de Continuidad
Continuidad en un punto:
Una función f se dice que es continua en un punto si se cumplen las siguientes condiciones.
1) ( )f c está definida
2) limx c
( )f x ; exista
3) limx c
( )f x = ( )f c
1) Por ejemplo 2( ) 1f x x es continua en 2, pués
lim( ) (2)
2f x f
x
la condición implica que una
función puede ser continua en los puntos de su dominio, por ejemplo la función 2( ) 4f x x no es
continua para x=3 poque f(3) no esta definida.
2) 1
( )2
f xx
es discontinua en 2 porque f(2) no esta definida y también porque el ( )2
Limf x
x no
existe.
91
4.12.2 Discontinuidad. Tipos
Si una función f no es continua en un punto c entonces es discontinua en ese punto. Si al
menos una de estas tres condiciones deja de cumplirse, se dice que f esdiscontinua (no continua)
en x = c.
Esto puede producirse por varias causas dando así paso a distintos tipos de discontinuidades.
Discontinuidad Evitable o removible:
Esta nos permite redefinir la función a través de un artificio matemático para transformarla en
otra donde haya limite
2 4( )
2
xf x
x
, si se observa esta función es discontinua cuando x = -2 pero si
se factoriza da un hoyito en ese número, por lo que se ha evitado esa discontinuidad.
Discontinuidad inevitable o no removible:
Es aquella que no hay forma de quitarla o transformarla.2
3( )f x
x presenta una
discontinuidad inevitable en x=0 ya que 2
lim 3
0x x
y el infinito no es un número y no hay
forma de transformar la función para evitar eso.
4.12.3 Continuidad de una función en un intervalo
Una función es continua en un intervalo I , es continua en todos los Puntos del
intervalo, es decir; f es continua en I c I reescrita de otra manera via dfinicion f es
continua en ,a b si f es continua en todos y cada uno de los puntos de un intervalo abierto (a,b); f es
continua a la derecha en a y a la izquierda en b, pues una función continua en todo R es continua en
cualquier intervalo de éste.
Ejercicios: Determinar si son continuas las funciones siguientes en el Intervalo indicado, justifique su
respuesta.
)a ( )f x = 1
x; 0,1
92
b) ( )f x 1
1
xx² ; 0,2
c) ( )f x sin x ; 0,2
4.12.4 Definición formal de Continuidad
0,( ) 0 / ( ) ( ) siempre que im f x L f x f a x aLx a
> >
4.13 Asíntotas
Es una línea recta a la que se aproxima infinitamente una curva ( )f x sin nunca tocarla. Hay
tres tipos:
1. Asíntotas Verticales: lim ( )x a
f x
2 1Ejemplo 1: Buscar la asintota vertical en (
5 0 por lo que en 5 hay una A. .
5
V
)
x x
xf x
x
3 2Ejemplo 2: Buscar la asintota vertical en
( ) .
0 4
4
4
xf x
x
x x
2. Asíntotas Horizontales: lim ( )x
f x c
4 3 4 3
4 4
4 3
4 3 4 4 4 4
3
44
4
4
4
4 4
2
24 3 2Ejemplo 3:
4 3 2 24 3 2im im
3 8 1 3 8 1
24 3 2
24 3 2 24 0 0 0por lo que im
3 8
( ) Busc
13 8 1 3
ar las A. .8 1
0
H
0
3
x x
x
x x x x x x x xy L L
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x xLx xx x
x x x
xf x
x x
24
3
8 es una . .y A H
93
2 3 2 3
3 2 3 2
2 3
2 3 3 3 3
3 23 2
3
2 3
2
3
3
2 3 2 3lim lim
2 3
2 3 0 1 0 1 por lo que lim
1 0 1
1 es
2 3Ejemplo 4 : ( ) Buscar las A.
una
H
. .
x x
x
x x x xy
x x x x
x x
x x x x
x xf
x
x xx x
x x
xx x
y A H
Asíntotas Oblicuas:
Es la recta de la forma y mx n
m limx
( )f x
x y n lim
x ( )f x mx siempre y cuando estos límites
existan.
2
2
2
2 2
2
2
2
2
Ejemplo 5 : Buscar la asíntota oblicua en ( )2
Aplicando la definicion hay que empezar buscando lo
2
2lim , resolviendo
s parámetros de m y
se tiene que l
n.
im2x x
x
xx x
x xx x
xf x
xm mxx x x
x
x
2
2
2 2 2 2 2
12
( 2 ) 2 2Ahora se busca a lim
2 2 2 2
2
2 2 2lim , lim 2 1^ 2 por lo que se tiene
22 2 1 0
que 2 es una A.O.
x
x x
x x
x x x x x x x xn x
x x x x
x
x x xn n m nxx x
x x
y x
94
Ejemplos: Busca las asíntotas de las siguientes funciones y realiza la gráfica.
21) 2 ^ 4 . , pero no hay A.H(
6 8.
1) x x
xAf x V
x
22) 2 .
7 4( )
4 4 pero no hay A.H.
xf x
xA
xx V
95
3 1( )
23) 2 . , 3 . .
xf x x AV A H
xy
96
2
3
2
3
24
32
0
0
25
36
5
8
27) lim 4
28) lim 5
629) lim
4
330) lim
2
133
31) lim
1 2 232) lim
533) lim
25
634) lim
36
535) lim
5
836) lim
8
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Cálculo Diferencial
4.13 Práctica #4: Límite, Continuidad y Asíntota.
Nombre: ___________________________Matrícula:________________________
Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________
Encuentre los límites de las siguientes funciones.
2
21
2 4
2
4 2
3 2
31 2
2
3
1) lim 2 4 14) lim
22) lim 1 15) lim
4
43) lim8 16) lim
2
24) lim 2 2 17) lim
2
2 45) lim
3
x x
x x
x x
x x
x
ax bxx
x dx
xx
x
x
x
ax bx
bx x
x
x x
2
2
6 3
2 2
2
22
5 2
2 2 2
3 2 5
18) lim 2 7
96) lim 4 8 19) lim
3
47) lim 20) lim
4
68) lim 9 21) lim
2
2 2 39) lim 22) lim
4
x
x x
x a x
x x
x x
x x
xx
x
ax a x
x x
x xx
x
x x x x
x x
2 2
22 2
3 2 2
3 20 2
2
221 4
10
5
4 5 610) lim 23) lim
2 6 8
6 3 211) lim 24) lim
4 2 6 6
5112) lim 25) lim
4 4
513) lim 26) li
x x
x x
x x
x
x
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x xx
x x x
x
3
3 3 4m
8 3 4x
x x x
x x x
97
3
3
2
32
3
33
2
2 2
2
2
2
2 2 3
3 3
3 352) lim
2
1 853) lim
4
354) lim
2 7
355) lim
1 1
56) lim 2 3 2 5
57) lim 2
5 258) lim
3 5
3 259) lim
4 3 2
III. Compruebe por la definición
x
x
x
x
x
x
x
h
x x
x
x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
x x
h xh x h
xh x h
1
2
2
3
:
60) lim 5 3 2
61) lim3 7 9
62) lim 1 2
x
x
x
x
x
x
2
2
20
2
3
2
2
0
2
23
2
20
2
2
0
3
32
1
37) lim 1
2 2 438) lim
3 12 9
2 239) lim
2
40) lim 2 6
2 441) lim
942) lim
2 5
2 12 443) lim
3 12 9
144) lim 1
3
45) lim4 2
846) lim
4
47) lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x
x x
xx
x
x
x
x
2
2
4
4
1
2
3 2
4
1
748) lim
3 4
2 1 3 249) lim
1
50) lim
51) lim 6
x
x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x x x
x x
98
IV. Busca las asíntotas de las siguientes funciones y haga la gráfica de cinco de ellas:
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
4
2
2
2
1
1
2
3 2
3
363)
1
364)
1
365)
9
1466)
2 7
267)
5
268)
2
69)1
670)
271)
172)
1
73)1
74)
75) 1
176)
2 2
4 2 677)
1
378)
x
x
x
f xx
f xx
f xx
g xx
xg x
x
xg x
x
xf x
x
x xf x
x
xk x
x
xf x
x
xf x
x
f x e
g x x e
z x e
x x xy
x
xy
2
225 x
99
2
2
2
2
2
VI. Encuentra los valores de x si existe algunos en los que f no es continua.
si es descontinua diga si es evitables o removibles.
183)
1
84) 2 1
185)
1
86)
387)
9
188)
4
xf x
x
f x x x
f xx
xf x
x x
xf x
x
g xx
2
22 1889)
3
xf x
x
Son nuestras escogencias y no la suerte la que determinan nuestro destino.
Jean Nidetch
2
2
, 1
, 1
2
290)
2
291)
3 10
92) 3 cos
93)
2 794)
5
4995)
7
x x
x x
xf x
x
xf x
x x
f x x x
f x
uf u
u
xf x
x
100
5. Capítulo 5: Derivadas
5.1 Derivada. Conceptos
La derivada de una función se conceptúa desde diferentes puntos de vista.
1.- Concepto geométrico: Es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto
cualquiera de ella.
2.- Concepto físico: Es la velocidad instantánea del movimiento uniformemente
acelerado en un punto único del trayecto.
3. - La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor
de dicha función según cambie el valor de su variable independiente.
𝑚 = 𝑇𝑎𝑛 𝜃 = ∆𝑦
∆𝑥=
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
𝑥 + ∆𝑥 − 𝑥=
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝐿𝑖𝑚∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥= Lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥→
𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝑳𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
Esta es la definición de derivada siempre y cuando el límite exista.
5.2 Connotación de derivadas
Hay varias formas de representar una derivada, todo depende de la connotación
dada por el matemático que trabajó sobre el tema. Es el caso de:
𝑓′(𝑥) : Notación del matematico Lagrange
𝐷𝑥 : Notaciones de Cauchy y Jacobi
101
: Notación de Newton
𝑑𝑦
𝑑𝑥 : Notación de Leibniz
5.2.1 Connotación de derivadas n-esima.
𝑓′(𝑥) Para la primera derivada, 𝑓′′(𝑥) para la segunda derivada, 𝑓′′′(𝑥) para la tercera
derivada, y 𝑓𝑛(𝑥) para las derivadas con (n > 3).
5.3 Resolución de derivadas por el método de los incrementos
Ya se sabe que la derivada de una función f(x) se define como:
0
( ) ( )limx
dy f x x f x
dx x
Esta se puede verificar usando el método de los incrementos la cual se empieza tomando
la función dada como posición inicial de la función y = f(x)
Se reescribe la función y = f(x)
Se Incrementa la función y la variable independiente, siendo esta la posición final
( )y y f x x
Se Resta la posición inicial de la función de la posición final, simplificamos y así
obtenemos el incremento de la función ( )y
Se Dividen los 2 miembros del incremento de la función por el incremento de la
variable independiente ( )x
Se le Aplica límites en ambos miembros del incremento cuando 0x
Es decir que,
( )y f x (Se reescribe la función)
( )y y f x x (Se incrementa 1)
( ) ( )y y f x x f x (Restar el estado 1 a 2)
( ) ( ( )y f x x f x (Incremento de la función)
( ) ( ( )y f x x f x
y x
(Dividir ambos miembros por x )
( ) ( ( )y f x x f x
x x
102
0 0
( ) ( ( )lim limx x
y f x x f x
x x
(Se aplica limite cuando 0x )
Por definición 0
limx
y dy
x dx
0
( ) ( )limx
dy f x x f x
dx x
Ejemplo 1: hallar la derivada de 2y x por el método de los incrementos.
2y x
2 2 2( ) 2 .y y x x x x x x
2 2 22 .y y y x x x x x
22 .y x x x
2 22 . 2 .y x x x x x x
x x x x
Se Aplica límite cuando 0x
0 0lim lim(2 )x x
yx x
x
0 0 0
lim lim 2 lim ) 2(x x x
yx x x
x
Ejemplo 2: hallar la derivada de 24 2 3y x x
2 2 24( ) 2( ) 3 4( 2 . ) 2 2 3y y x x x x x x x x x x
2 2 24 8 4 2 2 3 4 2 3y y y x x x x x x x x
28 4 2y x x x x
28 . 4 2y x x x x
x x x x
0 0lim lim(8 4 2)x x
yx x
x
8 2dy
xdy
103
5.3.1 Resolución de derivadas por la definición.
Este método es igual que el anterior, en diferencia que aquí se aplica
directamente la definición y en el anterior es una forma de ir construyento dla
definición.
Ejemplos: Derivar las siguientes funciones
1) ( ) 16f x x
0
0 0 0 0
Solución:
( ) ( )'( ) lim ,
16( ) 16 16 16 16 16'( ) lim '( ) lim '( ) lim '( ) li
'( ) 1
m 1
6
6
x
x x x x
f x x f xf x
x
x x x x x x xf x f x f x f x
x
f x
x x
5 2
2) ( )2 5
xf x
x
0
0 0
0
0
Solución:
( ) ( )'( ) lim ,
5( ) 2 5 2 5 5 2 5 2
2( ) 5 2 5 2 2 5 2 5'( ) lim '( ) lim
(2 5)(5 5 2) (5 2)(2 2 5)'( ) lim
(2 5)(2 2 5)
1'( ) lim
x
x x
x
x
f x x f xf x
x
x x x x x x
x x x x x xf x f xx x
x x x x x xf x
x x x x
f x
2 2
0 0 0
0
0 10 ( ) 4 25 25 10 10 10 ( ) 25 4 4 10
(2 5)(2 2 5)
29 29 29'( ) lim lim lim
(2 5)(2 2 5) (2 5)(2 2 5
) (2 5)(2 2(0) 5)
29'( ) lim
(2 5)(2
5)
x x x
x
x x x x x x x x x x x x
x x x x
xf x
x x x x x x x x x
f xx
fx
2
29'( )
(2 5)x
x
104
5.4 Resolución de derivadas por fórmulas
Son varios Teoremas existente en cuanto a la derivada de funciones.
5.4.1 Teorema 1: Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = c es el valor del límite, si existe, de un
cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero. Se define como
𝑓′(𝑐) = Limℎ→0
𝑓(𝑐+ℎ)−𝑓(𝑐)
ℎ ó 𝑓′(𝑐) = 𝐿𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑐)
𝑥−𝑐
Ejemplo1: Hallar la derivada de la función f(x) = 4x3 en el punto x = 3.
0
3 3 2 3 3 2
0 0 0
2
0
(3 ) (3)'(3) lim
4(3 ) 4(3) 4(27 27 9 ) 108 4 36 108lim lim lim
lim( 4 36 1010 88)
h
h h h
h
f h ff
h
h h h h h h h
h h h
h h
Ejemplo 2: Calcular la derivada de la función f(x) = x2 + 10x − 25 en x = 1.
0
2 2 2
0 0
2
0
0
Solución:
(1 ) (1)'(1) lim
(1 ) 10(1 ) 25 (1 10(1) 25) 1 2 10 10 25 1 10 25lim lim
12lim
lim( 12) 12
h
h h
h
h
f h ff
h
h h h h h
h h
h h
h
h
Derivadas de funciones algebraicas.
5.4.2 Teorema 2. La regla de la constante
La derivada de una función constante es cero, es decir, ( )
0dy d c
dx dx
Demostración:
Si se aplica la derivada a f(x) = c , entonces se tiene que :
La función tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥0.
105
Incrementando
𝑓′(𝑥) = Lim𝑥→0
𝑐(𝑥 + ∆𝑥)0 − 𝑐(𝑥)0
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = Lim𝑥→0
𝑐(1) − 𝑐(1)
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = Lim𝑥→0
𝑐 − 𝑐
∆𝑥
𝑓′(𝑥) = Lim𝑥→0
0
∆𝑥= 0
Otra forma de demostrarla puede ser directamente de esta forma:
'
0 0 0
( ) ( )( ) lim li li 0m m
h h h
f x h f x c c of x
h h h
Ejemplo: Si f(x)= 4 → 𝑓′(𝑥) = 0
5.4.3 Teorema 3. Regla de una variable respecto a ella misma.
La derivada de una variable respecto a ella misma es igual a la unidad.
( )
1dy d x
dx dx
Ejemplo: Derivar f(x) = x, ( )
1d x
dx
5.4.4 Teorema 4. Regla del múltiplo constante.
Si u es una función diferenciable de x, y c es una constante, entonces su
derivada será igual a la constante por la derivada de la variable, es decir, será igual
a la constante ( )d cx dx
cdx dx
Ejemplo: Derivar ( ) 5 '( ) 5f x x f x
106
5.4.5 Teorema 5. Regla de las potencias.
Si n es un número racional, entonces ( ) nf x x es igual al exponente por la
base elevada al exponente disminuido en 1, es decir; 1n nd
x nxdx
Demostración:
Si n es un entero positivo mayor que 1, entonces el desarrollo del binomio resulta
lim ( )
0
nnd x x x
xdx x x
=
21 2( 1)( ) ( ) ... ( )
lim 2
0
nn n n nn n x
x nx x x x x
x x
Si se elimina el denominador y se sustituye ∆x →0
=
21 1lim ( 1)
( ) ... ( ) ;0 2
nn nn n x
nx x xx
1 10 ... 0 nn nd
x nxdx
nx Q.E.D
Ejemplo: Derivar
1. f(x)= x5 eso implica f '(x)= 5x4
2. f(x)= 3x5 eso implica f '(x)= 3(5x4) = 15x4
5.4.6 Teorema 6: Regla de cadena
Conceptualmente se utiliza para la composición de funciones a veces para poder
llegar a la variable de interés.
Definición:
Si y = f(u) es una función derivable de u, y u = g(x) es una función derivable de x,
entonces y= f(g(x)) es una función derivable de x, es decir, .dy dy du
dx du dx
Ejemplo 1: Derivar 2 3( 1)y x
Solución: 2 1u x por lo tanto la función ahora es 3y u
.dy dy du
dx du dx = ( 23u )(2x) = 2 26 ( 1)x x
107
5.4.7 Teorema 7. Regla de la suma
La derivada de la suma o resta de dos funciones es igual a la suma o resta de las
derivadas de ambas funciones, es decir,
Regla de la suma d
f( ) ( ) '( ) '( )dx
x g x f x g x
Regla de la diferencia d
f( ) ( ) '( ) '( )dx
x g x f x g x
Demostración:
Asumiendo que 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (𝑓 + 𝑔)𝑥
Aplicando la definición de derivada
* 𝑦′ = lim∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥 ó 𝑦′ = lim
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥)
∆𝑥
y 𝑦′ = lim∆𝑥→0
[(𝑓 + 𝑔)(𝑥 + ∆𝑥) − (𝑓 + 𝑔)(𝑥)
∆𝑥]
Aplicando propiedad distributiva y restando la respectiva función
𝑦′ = lim∆𝑥→0
(𝑓)(𝑥 + ∆𝑥) + (𝑔)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
∆𝑥
Ordenar los términos de acuerdo a la definición
𝑦′ = lim∆𝑥→0
[(𝑔)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
∆𝑥+
(𝑓)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥]
Aplicando la propiedad de límite de una suma
𝑦′ = lim∆𝑥→0
(𝑔)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑔(𝑥)
∆𝑥+ lim
∆𝑥→0
(𝑓)(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Sustituyendo según asterisco
𝑦′ = 𝑔′(𝑥) + 𝑓′(𝑥); es decir que
d
( ) ( ) '( ) '( )d
f x g x f x g xx
108
Ejemplos: Derivar
f(x)= 2x3 + x eso implica que f '(x)= 6x2 + 1
6 3f(x)=5x 3 8x eso implica que 5 2f '(x)= 30x 9x
5.4.8 Teorema 8. Demostración de la regla de la derivada de un producto.
La derivada del producto de dos funciones derivable f y g es igual a la primera
función por la derivada de la segunda más la derivada de la primera por la segunda, es
decir: [f( )g( )] ( )g'( ) '( )g( )d
x x f x x f x xdx
Demostración
Como [f( )g( )] ( )g'( ) '( )g( )d
x x f x x f x xdx
se incrementa el miembro izquierdo y
se agrega la parte sin incrementar ( ) (x x) ( ) ( )f x x g y f x g x
Se aplica la definición partiendo del paso anterior.
0
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim
x
d f x x g x x f x g xf x g x
dx x
Estratégicamente se suma y se resta ( ) ( )f x x g x .
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim
x
d f x x g x x f x x g x f x x g x f x g xf x g x
dx x
Se saca el factor común con respecto a ( )g x y ( )f x tratando así de escribir la
definición.
0
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim ( ) ( )
x
d g x x g x f x x f xf x g x f x x g x
dx x x
Ahora se aplica el límite de una suma cuando 0x .
0 0
( ) ( ) ( )( ( ) ( ))[ ( ) ( )] lim[ ( ) ] lim[ ]
x x
d g x x g x g x f x x f xf x g x f x x
dx x x
109
Luego se aplica límite de un producto 0
limx
.
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim[ ( )] lim lim[ ( )] lim
x x x x
d g x x g x f x x f xf x g x f x x g x
dx x x
Por lo que: [ ( ) ( )] ( ) '( ) '( ) ( )d
f x g x f x g x f x g xdx
Ejemplo: Resolver las siguientes derivadas Sea 𝑓(𝑥) = 8𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 4𝑥 + 5
[ ( ) ( )] (8 )(4) (8)(4
'
5) 35 32 40
( ) 67 40
df x g x x x x
x
xd
f
x
x
Ejemplo: f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5)
f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 -5)
=80 2x +20x+40 2x -20 =120 2x +20x-20
5.4.9 Teorema 9. Derivada del cociente.
La derivada del cociente de dos funciones: Es igual a la derivada del numerador
por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por
el cuadrado del denominador.
2
( ) ( ) '( ) ( ) '( )
( ) ( )
d u x v x u x u x v x
dx v x v x
Demostración :
Partiendo del cociente de dos funciones:
( ) ux
v
u xy
v x
Aplicando la definición de derivada en el paso anterior
110
0
( )('
)lim
( )xy
u x x
u xv x x
x v x
Operando
0
( ) ( )lim'x
u x x u x
v x x x v x xy
Se escoge 𝑢(𝑥 + ∆𝑥) y se le resta 𝑢(𝑥), para que la operación no se altere se suma
también la misma expresión.
0
( )lim'x
u x x u u x u x
v x x x v x
xy
x
Se separan a conveniencia los términos convenientemente, sin modificar la expresión y
en busca de la formación de la definición de derivada.
0
( ) ( ) ( )’ lim
x
u x x u x u x u x
v x x x v x x x v x xy
Se hacen los arreglos adecuados en la operación anterior, operando la primera parte en
si misma y la segunda y la tercera juntos.
0
( )
( )lim
('
)x
u x x u x
x u x v x u x v x x
v x x v x v x xy
x
Sacar el factor común 𝑢(𝑥):
0
( )
( ) ( )lim
)’
(x
u x x u x
u x v x v x xx
v x x v x v x x xy
Como el objetivo es formar la definición de derivada y en la segunda parte hay
una inversión en los signos, pues se invierte el proceso multiplicando y dividiendo por
(-1).
111
0
( )
( ) ( )lim'x
u x x u x
u x v x v x xx
v x x v x v xy
x x
Reinscribiendo:
0
( )
( ) ( )lim
)'
(x
u x x u x
u x v x x v xx
v x x v x v xy
x x
Se separan los términos de forma tal que quede la demostración de derivada
0
( )
( ) ( )lim
( ) ( )'
x
u x x u x
xy
v x x v x u x
v x x x v x x v x
Se aplica límite y se hace desarrollo de sus términos
00
0
0 0 0
( )lim
lim ( )( )lim
lim ( ) lim lim ('
)
xx
x
x x x
u x x u x
xx v x x v x
x x x v x x
u
vy
v x
Como
0
( )lim '( )x
u x x u xu x
x
y
0
( )lim '( )x
v x x v xv x
x
entonces se tiene las siguientes aplicaciones de límites.
● 0
lim ( )x
v x x v x
● 0
lim ( )x
u x x u x
● 0
lim ( )x
v x v x
● 0
lim ( )x
u x u x
Haciendo la sustitución correcta
'( ) ( )'( )
( )'
u x u xv x
v vy
x v x x
112
2
'( )'( )
( ) ( )'
u x v xu x
v x v xy
2
'( ) ''
( )
Q.E. D
v x u x u x v xy
v x
Ejemplo: Buscar la derivada de la siguiente función 23 4
( ) 5 2
xf x
x
2
2
2
2
2
2
2
6 (5 2) -5(3 4)'( )
(5 2)
30 12 -15 20
(5 2)
15 8
(5 2)
x x xf x
x
x
x
x
x
x
5.4.10 Teorema 10: Diferenciabilidad implica continuidad.
Si una función f(x) es derivable en un punto c entonces es continua en x=c.
Hipótesis: 1( )f x existe.
Tesis: Demostrar que f(x) es continua en x= c
Demostración:
Asumiendo que ( ) ( ) ( ) ( )f x f a f x f a se divide ambos miembros por ( )x a
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x f a f x f a
x a x a
Luego se transpone término y se aplica límite.
( ) ( )lim[ ( ) ( )] lim ( )x a x a
f x f af x f a x a
x a
Aplicando propiedades de límites:
( ) ( )lim[ ( ) ( )] lim lim( )x a x a x a
f x f af x f a x a
x a
113
Como ( ) ( )
limx a
f x f a
x a
= ( ) 'f a
lim[ ( ) ( )] '( )(lim( ))x a x a
f x f a f a a a
Luego operamos la otra parte del producto:
lim[ ( ) ( )] ( ) '(0)x a
f x f a f a
lim[ ( ) ( )] 0x a
f x f a
∴ lim ( ) ( )x a
f x f a
L.Q.Q.D.
Derivadas de funciones trigonométricas
Límites trigonométrico especiales
a) 0
lim 1x
senx
x y b)
lim 1 cos0
0
x
x x
5.4.11 Teorema 11: Derivada de la función Seno
La derivada del seno es el coseno, es decir, cosd
senx xdx
Demostración:
A partir de la definición de derivada de una función f(x):
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h
Como f(x)=senx entonces
0
( ) ( )'( ) lim
h
sen x h sen xf x
h
A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B),
entonces tenemos
0
( )cos( ) cos( ) ( ) ( )'( ) lim
h
sen x h x sen h sen xf x
h
114
Factorizando y ordenando los términos obtenemos lo siguiente
Como el ( )sen x y el cos( )x no se afectan por el limite tenemos lo siguiente
0 0
(cos( ) 1) ( )'( ) ( ) lim cos( ) lim
h h
h sen hf x sen x x
h h
El valor de los límites son 0 y 1 respectivamente según el teorema del sándwich
0
(cos( ) 1)limh
h
h
&
0
( )limh
sen h
h
Por tanto tenemos que
'( ) ( )(0) cos( )(1)f x sen x x
'( ) cos( ) ( )d
f x x xdx
5.4.12 Teorema 12: Derivada de la función coseno.
La derivada del coseno es el seno cosd
x senxdx
Demostración:
A partir de la definición de derivada de una función f(x):
0
( ) ( )'( ) lim
h
f x h f xf x
h
, Como f(x) = cos(x) entonces
0
cos( ) cos( )'( ) lim
h
x h xf x
h
A partir de la identidad trigonométrica Cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sen(A)sen(B),
entonces tenemos
0
cos( )cos( ) ( ) ( ) cos( )'( ) lim
h
x h sen x sen h xf x
h
Factorizando y ordenando los términos obtenemos lo siguiente
0 0
( )(cos( ) 1) cos( ) ( )'( ) lim lim
h h
sen x h x sen hf x
h h
115
Como el cos( )x y el ( )sen x no se afectan por el limite tenemos lo siguiente
0 0
(cos( ) 1) ( )'( ) cos( ) lim ( ) lim
h h
h sen hf x x sen x
h h
El valor de los límites son 0 y 1 respectivamente según el teorema del sándwich
0
(cos( ) 1)limh
h
h
y
0
( )limh
sen h
h
Por tanto se tiene que:
'( ) cos( )(0) ( )( ( )1)f x x s seen nx x
4 4cos3 (12 1)sin3d
x x x x xdx
5.4.13 Teorema 13: Derivada de la función Tangente
Por regla sabemos que:
2(tan ) secd
x xdx
Aplicando identidades trigonométricas en la tangente se tiene tancos
senxx
x
Por lo que 2sec
cos
d senxx
dx x
Aplicamos la regla del Teorema del Cociente 2
' 'd u vu uv
dx v v
Se sustituye
2
cos cos
cos cos
d dx senx senx x
d senx dx dx
dx x x
Aplicando derivadas individuales a) cosd
senx xdx
b) cosd
x senxdx
Sustituyendo las derivadas anteriores en la expresión general de la derivada:
0 0
cos( )(cos( ) 1) ( ) ( )'( ) lim lim
h h
x h sen x sen hf x
h h
116
2(cot ) cscd
x xdx
2
(cos )(cos )
cos cos
x x senx senxd senx
dx x x
2 2
2
cos
cos cos
x sen xd senx
dx x x
2 2
2
cos
cos cos
x sen xd senx
dx x x
Aplicamos la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen x x
2 2
2
cos
cos cos
d senx x sen x
dx x x
2
1
cos cos
d senx
dx x x
Aplicamos otra identidad trigonométrica
21
cos cos
d senx
dx x x
2seccos
d senxx
dx x
2tan secd
x xdx
Q.E.D.
5.4.14 Teorema 14: Derivada de la función cotangente.
Por regla sabemos que:
Igualamos la cot x a su equivalente:
coscot
xx
senx
Demostraremos que la 2cos
cscd x
xdx senx
Aplicamos la regla del Teorema del Cociente 2
' 'd u vu uv
dx v v
Sustituimos
2
cos coscos
d dsenx x x senx
d x dx dx
dx senx senx
Aplicamos derivadas individuales: a) cos
dx senx
dx
; b) cos
dsenx x
dx
Sustituimos las derivadas anteriores a la expresión general de la derivada:
117
2
cos coscos senx senx x xd x
dx senx senx
2 2 2 2
2 2
cos 1 coscos sen x x sen x xd x
dx senx senx senx
Aplicamos la identidad trigonométrica de 2 2cos 1sen x x
2 2
2 2
coscos 1sen x xd x
dx senx senx senx
Aplicamos otra identidad
trigonométrica
2
2
2 cc
ot css 1
csc cod x
xdx senx sen
dx x
dxx
Q.E.D.
5.4.15 Tabla de derivadas de funciones trigonométricas generales
2
2
[ ( )] c s( ) ( )́ [cot( )] csc ( ) ( )́
[ ( )] s ( ) ( )́ [sec( )] sec( ) tan( ) ( )́
[ ( )] sec ( ) ( )́
d dsen u o u u u u u
dx dx
d dcos u en u u u u u u
dx dx
dtan u u u
dx
[csc( )] csc( )cot( ) ( )́ d
u u u udx
Ejemplos de derivadas trigonométricas
a) ( ) cos(20 )
'( ) 20 (20 )
f x x
f x sen x
b)
4
3 2 4
( ) tan(9 )
'( ) 36 sec (9 )
f x x
f x x x
c) 3
2 3 3
( ) sec(7 )
'( ) 21 sec(7 ) tan(7 )
f x x
f x x x x
118
Derivadas de funciones potenciales
5.4.16 Teorema 15: Derivada de una función elevada a exponente numérico.
1´ ( )́n ny u y nu u
Ejemplo: 4 3 4 2 3(3 1) ´ 3(3 1) (12 )y x y x x
5.4.17 Teorema 16: Derivadas funciones potenciales inversas.
1
1 ( )́´
n n
n uy y
u u
Ejemplo:
3
44 3 4
36´
(
1
(3 1) 3 1)
xyy
xx
5.4.18 Teorema 17: Derivadas para cualquier raiz (n-esima)
1
´´n
n n
uy u y
n u
Ejemplos:
3
4 23
3 4 8´
3 (2 )2
xy
xy x
5.4.19 Teorema 18: Derivada con valor absoluto
Si u es una función derivable de x tal que u≠0, entonces
'ln
d uu
dx u
Demostración:
Si u>0, entonces u u , y el resultado se obtiene aplicando el teorema 3. Si u<0,
entonces u u , y se tiene
119
' 'ln ln( )
d d u uu u
dx dx u u
Q.E.D
Ejemplo: Hallar la derivada de cos
lncos 1
xy
x
Aplicando propiedades logarítmicas:
cosln ln cos ln cos 1
cos 1
xy x x
x
Según el teorema 4, tomamos cosu x y cos 1z x y escribimos:
ln lny u u , derivando la nueva expresión:
' 'dy u z
dx u z , entonces
cos cos 1
dy senx senx
dx x x
Simplificando se tiene :
tancos 1
dy senxx
dx x
5.4.20 Funciones exponenciales en base a. Definicion y Propiedades.
Es aquella que se define como ( ) xf x a , donde 𝑎 > 0 𝑦 ≠ 1.
Propiedades:
Su dominio es ∀𝑥 ∈ 𝑅 y Rango 𝑦 > 0.
Su grafica es creciente ∀𝑏 > 1 y decreciente para 0 < 𝑏 < 1.
La grafica toca al punto (0,1).
120
5.4.21 Derivada de la función exponencial en base a.
La derivada de una función exponencial es igual a dicha función por el
logaritmo natural de la base por la derivada del exponente de la función. Para el caso en
el que el exponente sea x, como la derivada de x es 1, al multiplicarlo por este, el
término no se altera, por tanto decimos que:
( ) ( ) ln . 'u uf x a f x a a u
2
2
21
1
1
2 2
2'( ) 3 ln3
2
Ejemplo 1:
'( ) 3 ln
(
1
3
13
)
x
x
xxf x
x
f
x
x
xf
x
4
4 8 3
8
'( )
Ejemplo
5 l
2 : (
n5 x
) 5
4x
x
f
f
x
x
5.4.22 Función Inversa de la función exponencial natural.
La función inversa de la función logaritmo natural f(x)=lnx se llama función
exponencial natural y se denota por -1 x xf (x) = e ; esto es y = e x = lny.
x
yy = 3^x
y = (1/3)^x
121
La relación inversa entre las funciones logaritmo natural y exponencial natural se puede
resumir como sigue: lnln( ) x xe x y e x
5.4.22.1 Gráfica de la función exponencial natural.
5.4.22.2 Operaciones con funciones exponenciales.
Sean a y b dos números reales arbitrarios.
( )
( )
a)
b)
m n m n
mm n
n
e e e
ee
e
5.4.22.3 Propiedades de la función exponencial natural.
El dominio de ( ) xf x e es (-∞,∞), y su rango es (0,∞).
La función ( ) xf x e es continua, creciente e inyectiva en todo su dominio.
La gráfica de ( ) xf x e es cóncava hacia arriba en todo su dominio.
lim 0 limx x
x xe y e
x
yy = (2)^x; -3.000000 <= x <= 3.000000
122
5.4.22.4 Teorema 20 erivada de la función exponencial natural.
Si u es una función derivable de x.
( ))
b) ( )
xx
u u
d ea e
dx
d due e
dx dx
Demostración de ( )u ud due e
dx dx por la derivación logarítmica.
Asumiendo la función: uy e
Aplicando logaritmo: ln ln uy e
Aplicando las propiedades logarítmicas: ln lny u e u
Derivando: 'y du
y dx
Despejando a y en:
dy duy
dx dx
Sustituyendo a y: udy due
dx dx
En forma general ( ) (́ ) ( )́u uf x e f x u e
3: si
3 ' ( .cos )
44
sen sx enxEjemplo y e y e x
Ejemplo: Hallar la derivada de la función exponencial dada.
2
2 2 2cos 2 (cos 2 )
x
x x x
y e senx
dye x e senx e x senx
dx
123
5.4.23 Teorema 21: Derivada de una función elevada a otra f unción.
Como ya se sabe U y V son funciones derivables de x, entonces se tiene que:
1( ) ' ln 'v v vdu vu u u v v
dx
Demostración:
A continuación se demostrara la regla de derivación para derivar una función elevada a
otra función. A diferencia del resto de demostraciones, esta vez no se hará uso de
la definición de derivada, sino que se demostrara a partir de operaciones algebraicas.
Una función del tipo: 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
Se toma logaritmos neperianos en ambos miembros: ln 𝑦 = 𝑔(𝑥) ln[ 𝑓(𝑥)]
A continuación se deriva:
𝑦′
𝑦= 𝑔′(𝑥) ln[ 𝑓(𝑥)] +
𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
Se hace común denominador:
𝑦′
𝑦=
𝑔′(𝑥) ln[𝑓(𝑥)] 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥)
Despejando recordando que 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) :
𝑦′ =𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) [𝑔′(𝑥) ln[ 𝑓(𝑥)] 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥)]
Operando:
𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−1 [𝑔′(𝑥) ln[𝑓(𝑥)] 𝑓′(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥)]
Luego queda demostrado que:
𝑠𝑖 𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) → 𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)−1 . [𝑔′(𝑥). ln[𝑓(𝑥)] . 𝑓(𝑥) +
𝑔(𝑥). 𝑓′(𝑥)]
124
Ejemplo: derivar 2(3 1)xey x
2 1 2 2
2 1
2 2
2
1
(3 1) (3 1) (3 1) .ln ( )
(3 1) .(6 ) (3 1) ( )(
[6(3 1) (3 1)
)x
x
x x
x
x
x e e x x
x e e x
x e e
dy d de x x x e e
dx dx dx
dye x x x
dyxe x
x edx
xdx
Derivadas de funciones logarítmicas
5.4.24 Teorema 22: Derivadas de logaritmo vulgar o base 10.
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función, por el
logaritmo en base a de e dividido entre la función. a
dLog u
dx= au Log e
u
partiendo
de esta derivada se puede decir que a
dLog u
dx=
ln
u
u a
Demostración:
a
dLog u
dx=
au Log e
u
; aLog e=
ln
ln
e
a =
1
ln a
ln 1
u u
a
=
ln
u
u a
→ a
dLog u
dx=
ln
u
u a
Ejemplos: Buscar la derivada de las siguientes funciones logarítmicas.
y
= 2
3 4 1Log x → 2
8
4 1 ln 3
xy
x
4
2 3y Log x x →
3
4
4 3
3 ln 2
xy
x x
3
615 26y Log x →
2
3
45
15 26 ln 6
xy
x
125
2.4.25 Teorema 23. Derivada de la función logaritmo natural.
Sea u una función derivable en x
11. (ln ) , 0
dx x
dx x
1 '2. ( ) , 0
d du uLn u u
dx u dx u
Ejemplos: Derivación de funciones logarítmicas.
2) Derivar ( ) lna f x x x
Aplicando propiedades logarítmicas, se reescribe antes de derivar:
212
( ) ln( )f x x x
Derivando la nueva expresión, se tiene que:
2
1 2 1
2
dy x
dx x x
2 2
3
( 1)b. Derivar ( ) ln
2 1
x xf x
x
Primero se aplica las propiedades de los logaritmos y luego se deriva:
2 312
( ) ln 2ln( 1) ln( 1)f x x x x
Derivando la nueva expresión:
2 2
2 3 2 3
1 2 1 6 1 4 3'( ) 2
1 2 2 1 1 2 1
x x x xf x
x x x x x x
126
5.5 Derivación logarítmica
Se llama derivación logarítmica al método de emplear los logaritmos para
trabajar en la derivación de funciones no logarítmica.
Ejemplo: Derivar la función
53 2
9
1
( 3)
x xy
x
Aplicando logaritmo en ambos lados:
53 2
9
1ln
(ln
3)y
x x
x
Aplicando las propiedades logarítmicas en 21
5ln 3ln ln( 1) 9ln( 3)y x x x
Derivando la expresión 2
' 3 1 2 9
5 1 3
y x
y x x x
Despejando a 2
3 1 2 9'
5 1 3
xy y
x x x
Sustituyendo a y por su valor en: 2
53 2
9
3 1 2 9 1
( 3)'
5 1 3
xy
x x x
x x
x
5.6 Teorema 24: Derivadas con valores absolutos.
Si u es una función derivable de x tal que u≠0, entonces '
lnd u
udx u
Demostración:
|𝑢| = {𝑢 𝑠𝑖 𝑢 > 0
−𝑢 𝑠𝑖 𝑢 < 0
' 'ln ln( )
d d u uu u
dx dx u u
Q.E.D
2
2
E
ln
jemplo :
l
Hall
n s n
2ln ln s n
2
a l
cos'
s n
a derivada
2' cot
de ln
y x e
xy
sen
x
y x e x
xy
x e
x
x
y xx
127
5.7 Teorema 25: Funciones inversas
Definición de función inversa: Una función g es la función inversa de la otra si
f(g(x))=x para todo x en el dominio de g, y g(f(x))=x para todo x en el dominio de f.
La función g se denota por f-1(se lee como “inversa de f”).
Algunas observaciones relevantes acerca de las funciones inversas.
Si g es la función inversa de f, entonces f es la función inversa de g.
El dominio de f-1 es el rango de f y el rango de f-1 es el dominio de f.
Una función puede no tener función inversa, pero si la tiene es única.
La gráfica de f contiene el punto (a,b) si sólo si la gráfica f-1 contiene el punto
(b,a).
Una función tiene función inversa si y sólo si es inyectiva.
Si f es estrictamente monótona en todo su dominio, entonces ésta es inyectiva
por lo tanto tiene inversa.
Ejemplo: La inversa de la función 2( ) 1f x x es la función
1( ) 1f x x
Para comprobarlo, hay que revisar si las dos funciones compuestas producen la
función identidad:
1 2
1 2 2
( ( )) ( 1) 1 1 1
( ( )) 1 1
f f x x x x
f f x x x x
5.7.1 Teorema 27: Funciones trigonométricas inversas. Definiciones
Ninguna de las seis funciones trigonométricas tiene inversa. Esto se debe a que
son funciones periódicas y por tanto ninguna es inyectiva. Para que tengan funciones
inversas es necesario redefinir el dominio de cada una de ellas.
128
m
Definición de las funciones trigonométricas inversas
-1 1 -2 2
arccos c
in
o
s
Función Do io
y arcsenx sen y x x y
y x y
Rango
-1 1 0
arctan tan - -2 2
cot cot - 0
sec sec 1
x x y
y x y x x y
y arc x y x x y
y arc x y x x
0 ,2
csc csc 1 - , 02 2
y y
y arc x y x x y y
5.7.1.1 Las gráficas de algunas funciones trigonométricas inversas.
129
Gráfica de la función coseno y su inversa.
5.7.2 Teorema 28: Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Si u es una función derivable de x.
2 2
2 2
2
' '( ) (arccos )
1 1
' '( tan ( cot )
1 1
' '( sec ) ( sc )
1
d u d uarcsenu u
dx dxu u
d u d uarc u arc u
dx u dx u
d u d uarc u arcc u
dx dxu u u
2 1u
5.7.2.1 Teorema 29: Demostracion de la derivada del seno inverso.
Demostración:
Si entonces
Derivando a u
cos
Despejando a
1 '
cos cos
y arcsen u u sen y
du dyy
dx dx
dy
dx
dy du u
dx y dx y
130
2 2 2
2
2
Aplicando las propiedades de las identidades trigométricas:
cos 1 cos 1
Sustituyendo en el paso anterior
cos 1
Por lo tanto se tiene que
'; . .
1
sen y y y sen y
y u
dy uQ E D
dx u
Ejemplos: Hallar las derivadas de
2 21) arccos
1' .
11
xe
x
x
x
ef x
ee
e ef x
2
2 4
1 10' . 5
1 2512) arc 5x
5f x sen
df x x
dx xx
3. tan 51
2 5
dyy arc x
dx x
5.8 Funciones hiperbólica.
Las Funciones hiperbólicas proceden del área de una región bajo una hipérbola
comparada con una región de un semicírculo. Sus definiciones provienen de las
combinaciones de las funciones exponenciales de la forma 𝑒𝑥 𝑦 𝑒−𝑥.
131
5.8.1 Definición de las funciones hiperbólicas.
1 csc ; 0
2
1cosh sec
2 cosh
1tanh coth , 0
cosh tanh
x x
x x
e esenhx hx x
senhx
e ex hx
x
senhxx x x
x x
Se elegirá una función en especial para trabajarle con su gráfica y demostración de
derivadas.
5.8.2 Grafica del coseno hiperbólico
La gráfica del coseno hiperbólico está formada por la combinación de las
funciones exponenciales simples siguientes:
𝑦 =𝑒𝑥
2 𝑦 𝑦 =
𝑒−𝑥
2
Dichas combinaciones son muy usuales y a partir de ellas definiremos no solo la
función hiperbólica del coseno, sino también las demás, aplicando las distintas
propiedades. Así, cuando representamos gráficamente las funciones exponenciales
anteriores tenemos:
De lo anterior se deduce que
𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 =𝐞𝐱 + 𝒆−𝒙
𝟐
132
5.8.3 Derivadas de funciones hiperbólicas.
Sea u una función derivable de x.
2 2
( ) (cosh ) ' (csc ) (csc coth ) '
(cosh ) ( ) ' (sec ) (sec tanh ) '
(tanh ) (sec ) ' (coth ) (csc
d dsenhu u u hu hu u u
dx dx
d du senhu u hu hu u u
dx dx
d du h u u u u
dx dx
) 'u
Teorema 30: Demostración de la erivadas del coseno inverso.
Se sabe que el coseno hiperbólico es:
cosh 𝑥 =ex + 𝑒−𝑥
2
Aplicando la derivada a la función:
Rescribiendo la función:
cosh 𝑥 = (1
2) (ex + 𝑒−𝑥)
Derivando: 𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = (
1
2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥(𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 = (
1
2) (𝑒𝑥 + (−𝑥)′(𝑒−𝑥))
Finalmente se obtiene :
𝑑
𝑑𝑥cosh 𝑥 = senh 𝑥 =
ex − 𝑒−𝑥
2→
𝑑
𝑑𝑥cosh 𝑢 = senh 𝑢
𝑑
𝑑𝑥𝑢
Ejemplos de derivación de funciones hiperbólicas.
𝑦 = cosh(3𝑥2 + 5𝑥) 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑛ℎ(3𝑥2 + 5𝑥)(6𝑥 + 5)
𝑦 = cosh(10𝑥5 + 5𝑥 − 3) 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑛ℎ(10𝑥5 + 5𝑥 − 3)(50𝑥4 + 5)
𝑦 = cosh (1
7𝑥5 + 10𝑥 − 𝜋) 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑛ℎ(
1
7𝑥5 + 10𝑥 − 𝜋)(
5
7𝑥4 + 10)
133
32
3
2 3 2 2
3
cos (2 tan )' (6 sec ) coth(2 tan )(6 sec )
(2 t
4) ln (2 tan )
an )
h x xy x x
y s
x x x x
enh x x
senh x x
Funciones hiperbólicas inversas
5.9 Teorema 31. Definiciones de Funciones hiperbólicas inversas.
1 2
1 2
1
1
Función Dominio
ln( 1) (- , )
cosh ln( 1) [1, )
1 1tanh ln (-1,1)
2 1
coth
senh x x x
x x x
xx
x
x
21
21
1 1ln (- ,-1) (1, )
2 1
1 1sec ln (0,1]
1 1sc ln (- ,0) (0, )
x
x
xh x
x
xc h x
x x
5.10 Derivación de funciones hiperbólicas inversas.
1 1
2 2
1 1
2 2
1
2
' '[ ] [ ]
1 1
' '[tan ] [ t ]
1 1
'[sec ]
1
Sea u una función derivable de x
d u d usenh u cosh u
dx dxu u
d u d uh u co h u
dx u dx u
d uh u
dx u u
1
2
' [ sc ]
1
d uc h u
dx u u
134
5.11 Derivación implícita
Se dice que una función está definida implícitamente cuando se da de la
forma F(x,y)=0, es decir que tanto x y y están ligadas de forma tal que a veces no se
pueden separar para resolverla explícitamente como se ha venido haciendo.
5.11.1 Derivada parcial.
Si se tiene una funcion de varias variables, entonces una derivada parcial no es
mas que la derivada de esa funcion respecto a una de sus variables, manteniéndose las
demás constantes. Existen varias connotaciones tales como:
f (x,y,z)
; ; ; ( ); ; y y
x
f ff F x etc
x
5.11.2 Teorema 32 : Funciones de una variable independiente definidas
implícitamente.
Si la variable Y es una función continua de X d y c es constante real con
derivadas continuas, por lo tanto se define la ecuación como:
F(x,y) = c
1. Diferenciando en ambos lados dF(x , y) = 0
2. derivando 0F F
dx dyx y
3. despejando , 0
F
dy Fxx FyFdx Fy
y
Ejemplo: Buscar la derivada de las funciones siguientes:
3 2 51. F( 4 ) 4x y x y
2 53 8F
Fx x xyx
2 51 20F
Fx x yy
135
Luego tenemos que 2 5
2 5
3 8
20 1
dy x xy
dx x y
2 22. 46x y
Solución:
) 2 ; ) 2
2
( 2 )
x y
x
y
a F x b F y
F
dy x
dx y
dy x
dx F y
3. ( , )x y
f x yx y
2
2
2 2
2
2
2 2
2
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ))
( )
( )(1) ( )(1)
( )
2
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
)( )
( )(1) ( )( 1)
( )
2
( ) ( )
2
( )
2
(
y
d dx y x y x y x y
f dx dxax x y
x y x y
x y
x y x y y
x y x y
d dx y x y x y x y
f dy dyb
x x y
x y x y
x y
x y x y x
x y y
x
x
x
x y
2)y
136
5.12 Las formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital
La forma 00
e
son llamadas formas indeterminadas porque no garantizan
que un límite existe, ni indica lo que el límite es, si existe.
5.12.1 Teorema 33. Regla de L’Hôpital
Sean f y g funciones que son derivables en un intervalo abierto (a, b) conteniendo
un c. Asumir que g´(x) existe para todo x en (a,b), excepto posiblemente el propio c. Si
el límite de ( )
( )
f x
g x cuando x tiene a c produce la forma indeterminada 0
0,
entonces, ( ) (́ )
lim lim( ) (́ )x c x c
f x f x
g x g x siempre que el límite exista
Este resultado también aplica si el límite de ( )
( )
f x
g x cuando x tiene a C produce
cualquiera de las formas indeterminadas , ,,
ó
.
Las formas indeterminadas más comunes son:
0 0, , ,0 , ,0 ,1 ,0
Ejemplo 1. Encuentre el límite de:
0
2 2(0) 0 0 0 0lim
0 0 0x
x senx sen
x
Como el cálculo directo nos lleva a la forma
indeterminada
0
0 podemos aplicar la regla de L’HÔpital.
0 0 0
2 2 coslim lim lim2 cos 2 cos0 2 1 1
1x x x
x senx xx
x
Ejemplo 2. Determine el límite csc
0lim(cos ) x
xx
csc csc0
0lim(cos ) (cos0) 1x
xx
Aplicando logaritmo:
csc
0 0lim1 (cos ) limcsc 1 cos (csc0)1 cos0 0x
x xn x x n x n
137
Para poder aplicar el método tenemos que llevarlo a una de las formas0
0ó
Hacemos
csc
01 lim1 (cos ) x
xn y n x
csc
0 0lim1 (cos ) limcsc 1 csc (csc0)1 cos0 0x
x xn x x n x n
0
1 cos 1 cos0 1 1 0lim
0 0 0x
n x n n
senx sen
2 20 0 0
1 cos cos 0 0lim lim lim 0
cos cos (cos0) 1x x x
n x senx x senx sen
senx x x eso implica
1 01 y 0 n yn e e
1y Esto implica que el límite de csc
0lim(cos ) 1x
xx
138
4 3 2
2
2
2
3 16) 2 5 6
4 2
7) 2 ln
8) ( ) 1
19)
3 2
110)
1 2
1 311)
2 3
12) ln
13)1
x
x
x
f x x x x x
f x x x x
f x e x x
f xx
xf x
x
xf x
x
f x x x
ef x
e
Cálculo Diferencial
5.13 Práctica #5: Derivadas
Nombre: ___________________________Matrícula:________________________
Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________
2
2
3 2
I. Utilizando la definición de derivada de una función,
determine la derivada de cada una de las funcione
1) 5 3
32)
3) 2 1
4)
5)
s
cuyas ecuaciones son:
II. Calcular por
2 4
26)
1
m
f x x
f xx
g x x
f x x
f x x x
tg t
t
2
2
edio de la definición de derivada la pendiente de la recta
tangente a las curvas en los puntos que tie
1) 3 1 en x=-1
2) 3 2
nen la abscisa indicada
en x=
:
III. Derive las siguientes
4
f
f x x
f x x x
3 4
3
2
3/2 1
1) 2 5
2) 2
unciones
3
13) 6
2 14)
5) 4
algebraicas:
f x x x x
f x x
f x xx
f x xx x
f x x x
2
2
2
2 314)
4
15) 2
3 216)
2
2 317)
18) 4 3 2 1
19) 2 8 5 2 5
2 320) 1
1
x
xf x
x
f x xe
xf x
x
xf x
x
y x x
y x x x
xy x
x
139
32 5 4 ln(2 3)
3 2 64
2612 4 2
.
1) ( 3)( 2) 6)
12) tan 7)
IV.
94
33) 15cos 8) 3 1 3
1
Derivar la funció
4
n
) sec
sen x x
x
y sen x x x y e
xy y
x
xy y x x x x senx
x
y
6
(2 3)cos6
( 2)
4
5 3 9) sec(9 3)
5) 5 10) cot 1
.
1) arccos
V. Derivar las siguientes funcione
( 3) l (
s
6) og
x x
senh x
x y x
y y x
y x y e x
2 2
2
348
4 cos
3 1
ln( 1)
1)
2) ( 3 1) 7) log ( ( 1))
3) arccos ( 2 1) 8)
4) arctan( 2 1) 9)
5) 9 10)
x
x
arcsenx x
y arcsen x y senh x
y ec x y x
y x x y senh x
y
VI. Evaluar la derivada de la función:
VII. Aplicar la r
1) sec 1 2) coth 3
3) 1 4) 1 cosh
5) 1 tanh 6) cosh
egla de la cadena para derivar l
2
xy x
y h x y x
f x n senhx g x n x
xy n y x x senhx
48 3
52
4
3
cos
216
1) 5 2 2) 2 7
13) tan 3 2 4)
8 8
5) 3 cos 9
5 36
as
siguie
)5 3
7)
8)
6 99) co
ntes funcion s
8
e :
s
x x
y x y x
xy sen t y x
y x x
xy sen
x
y esenx
y e
x xy
x
140
2
3 2 3
2
cos
2 2
3
.
1)2 1 2
5 72)
2 1
1) 5
2) tan
3 2 53)
tan
VIII. Utiliza la definición de derivada para derivar la función
Derive logaritmicamente
x
senx x x
x f x x x g x senx
xh x
x
y e senx
y en e e
x x sen x xy
24 2 23
3
2 22
5
6
2
10
5
3
2
2 cos4)
tan
2 65) ln 3 1 cos
cos tan 6
2 86) log
sec 3
17) ln
1
38)
19)
cos2
3 410)
2 4
1 111)
2 3
12)1
x
x
x x
x senx x xy
x x
sen x xy x
x x
x xy
x
ey
e
arcsen xy
x
xy
x
xy
x
t ty
t t
xy
x
141
2 2
1 2 1 2
3 2
3 3
3
3 2 2
2 5
2 3
2 2
3 2
4 2 3
1)x 16
2) 9
3) 4
4)
5) 3 2 12
6)3 6 4 14
7) (
IX. Encuentra la derivada en:
, ) 3
8) 2
9) 2
10)2 cos 1
11) 18
12) 3 2 0
y xy
y
x y
x xy y
x y y x
x x y xy
x y x y
f x y x x x y
x y y x
xy x y
senx y
x y xy
xy x y x y
3
40
3
6
0
2
0
21) lim
4
4 2 82) lim
6 2
13) lim cos
24) lim
3
1)Regla de la cadena.
2)Ecuacion recta normal
X. Aplique la regla de Hoppital para conseguir el limité.
X
y
I. D
ta
efina.
x
x
x
x
x xy
x x
x xy
x x
y xx
x xy
senx x
ngente.
3)Derivacion implicita.
4)Derivacion logaritmica.
5)Derivada de un cociente.
6)Derivada del logaritmo natural.
7)Regla de Hoppital.
8)Enuncia el teorema del valor medio de cauchy.
9)Cuales son las formas indeterminadas mas comunes.
142
6. Capítulo 6: Aplicaciones de derivadas
Como ya se dijo anteriormente en el inicio del capítulo 3 de que el cálculo
Diferencial cuya base de estudio son limite y derivadas tienes aplicaciones en
diferentes áreas del conocimiento, como en la química estudiando las reacciones, la
biología en el crecimiento poblacional, en economía en la minimización y
maximización de gastos o productos, en la goegrafía para estudiar la razón de cambio en
la ciudad, en psicología para estudiar ciertos procesos de aprendizaje, etc. Son estas
partes de las razones por las cuales ahora se va a estudiar aplicaciones de derivadas.
6.1 Interpretación de una derivada.
La derivada 𝑑𝑦
𝑑𝑥 se interpreta como el cambio al que es sometido la variable
dependiente y a medida que la variable independiente x va variando. A esto es lo que se
le llama en economía Tasa de cambio promedio. Si éste es respecto al tiempo, entonces
en física recibe el nombre de velocidad promedio. 𝑉𝑚 =𝑑𝑓−𝑑𝑖
𝑡𝑓−𝑓𝑖.
Si dicho cambio se efectúa en Geometría Analítica, entonces es una
pendiente 𝑚 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1.
6.1.1 Razón de cambio promedio.
143
Se define como 𝑇𝑎𝑛𝜃 = Δ𝑦
Δ𝑥=
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
Hay que tomar en cuenta que ∆𝑦 es la tasa de variación, osea
Δ𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) y que la tasa de variación promedio (T.V.P) es
Δ𝑦
Δ𝑥=
𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1 que es lo mismo que razón de cambio.
6.1.2 Razón de cambio instantáneo o tasa de variación instantánea.
Desde el punto de vista del cálculo diferencial, es a lo que se le
llama derivada. Esto es velocidad instantánea cuando lim𝑥→0
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥) = 𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝑳𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
Ejemplo1: Calcular la razón de cambio instantáneo de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏
en el punto x=2.
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 1 → 𝑓′(2) = 2(2) + 1 = 5 → 𝑓′(2) = 5
Ejemplo 2: Calcular la tasa de variación y razón de cambio promedio
de la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏 en el intervalo [𝟎, 𝟐].
o Tasa de variación:
Δ𝑦 = 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) = [22 − 2 + 1] − [02 − 0 + 1] = 3 − 1 = 2
→ Δ𝑦 = 2
o Tasa de variación media o cambio promedio:
Δ𝑦
Δ𝑥=
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1=
2
2 − 0= 1
T.V.P = 1
144
6.1.3 Ecuación de la recta tangente
Una recta tangente a una curva es aquella que al tocar un punto de dicha curva
obtiene la misma pendiente, la cual será la derivada de la función en ese punto. Si se
tiene la curva y= f(x) y un punto 𝑝(𝑥0, 𝑦0) la ecuación de la recta tangente se obtiene
mediante la expresión: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎).
Ejemplo3: Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 en el
punto P(1,0).
Datos:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 1
Evaluando en 𝑥0 = 1 , la primera derivada de f(x)
𝑓′(1) = 3(1)2 − 1 = 2
Sustituyendo en 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎)
se tiene que 𝑦 − 0 = 2(𝑥 − 1) → 𝑦 = 2𝑥 − 2.
Llevada a su forma general: 𝒚 − 𝟐𝒙 + 𝟐 = 𝟎
145
Ejemplo 2: Determinar la ecuación de la tangente a la curva f(x) = x2 − x en el punto
P(3,6).
Datos:
𝑓(𝑥) = x2 − x → 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 − 1
Evaluando en 𝑥0 = 3 , la primera derivada de f(x)
𝑓′(3) = 2(3) − 1 = 5
Sustituyendo en 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎)
se tiene que 𝑦 − 6 = 5(𝑥 − 3) → 𝑦 = 5𝑥 − 15 + 6.
Llevada a su forma general: 𝒚 − 𝟓𝒙 + 𝟗 = 𝟎
6.1.4 Ecuación de la recta normal
Una recta es Normal a una curva, si dicha recta es perpendicular a la recta tangente
en el punto tangencial. Como la recta normal y la pendiente en un punto son
mutuamente perpendiculares, la ecuación de la normal a la curva y = f (x) que pasa
por el punto 𝑝(𝑥0, 𝑦0) tiene la forma: 𝒚 − 𝒚𝟎 = −𝟏
𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎).
146
Ejemplo 4: Cuál es la ecuación de la recta normal a la curva y = 1
x en el punto (1,1)?
Datos:
𝑓(𝑥) =1
𝑥→ 𝑓′(𝑥) = −
1
𝑥2
Evaluando en 𝑥0 = 1 la primera derivada de f(x) se tiene que
𝑓′(1) = −1
𝑥2= −
1
(1)2= −1
Sustituyendo en : 𝒚 − 𝒚𝟎 = −𝟏
𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎) → 𝒚 − 𝟏 = − [
𝟏
−𝟏
𝟏
] (𝒙 − 𝟏)
se tiene que 𝑦 − 1 = 1(𝑥 − 1) ; 𝑦 = 𝑥 − 1 + 1 → 𝑦 = 𝑥
Llevada a su forma general: 𝒚 − 𝒙 = 𝟎
Las graficas concerniente a este ejercicio tienen forma:
2) Determine la ecuación de la normal a la curva 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐
𝟐+ 𝟐𝒙 en el punto
𝑝 (1,3
2).
Solución:
Como f () = – 22
xx
²→
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = −
d
d 2
x
²+
d
d (2) = −𝑥 + 2
147
𝑓′(1) = 2 − 𝑥 = 1 por lo que sustituyendo en 𝒚 − 𝒚𝟎 = −𝟏
𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎) →
𝒚 −𝟑
𝟐= −
𝟏
𝟏(𝒙 − 𝟏) → 𝒚 −
𝟑
𝟐= −(𝒙 − 𝟏) → 𝒚 = 𝟏 − 𝒙 +
𝟑
𝟐→
𝒚 =𝟓
𝟐− 𝒙 → 𝟐𝒚 + 𝟐𝒙 − 𝟓 = 𝟎
3) La parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 1 es paralela a la recta 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0. hallar la
ecuación de una recta que sea tangente a la parábola y paralela a la recta dada. Despues
de haberla obtenido busca la recta que sea totalmente Normal a la recta tangente
encontrada.
Recordar que 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) es la ecuación punto pendiente en geometría
analítica y que aquí en calculo diferencial viene dada por
𝒚 − 𝒇(𝒙𝟎) = 𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎) . Para dar solución a este ejercicio como 𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 𝑥 − 1 es una parábola paralela a la recta 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 y se esta
pidiendo buscar otra que sea paralela a dicha recta pero tangente a la parábola,
pues se procede de la siguiente forma 2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 → 𝑦 = 2𝑥 − 6 significa
que la pendiente m=2 y 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 1 pero como ambas son pendiente se
puede afirmar que
𝒇′(𝒙𝟎) = 𝒎 → 2𝑥0 + 1 = 2 ∴ 𝑥0 = 1
2
Ahora se evalúa a 𝑓(𝑥) 𝑒𝑛 𝑥0 𝑓 (1
2) = (
1
2)
2
+2
2− 1 = −
1
4
Sustituyendo en 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0) se tiene que
𝑦 − (−1
4) = 2 (𝑥 −
1
2) → 𝑦 = 2𝑥 − 1 −
1
4 ∴ 𝑦 = 2𝑥 −
5
4 en su forma general
tiene la forma 4𝑦 − 8𝑥 + 5 = 0 esta es la recta tangente a la f(x).
Para buscar la recta Normal simplemente se utiliza la pendiente opuesta de la
inversa de recta tangente, es decir 𝑦 − (−1
4) = 2 (𝑥 −
1
2) ; 𝑦 +
1
4=
−1
2(𝑥 −
1
2) → 𝑦 = −
1
2 𝑥 por lo tanto en su forma general es 2𝑦 + 𝑥 = 0
*
En conclusión:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 1 es la curva dada.
2𝑥 − 𝑦 − 6 = 0 , recta paralela a la curva.
𝑦 − 8𝑥 + 5 = 0 , recta tangente a la curva.
𝟐𝒚 + 𝒙 = 𝟎, recta Normal a la curva en el punto tangencial.
148
6.2 Teorema 34: Fermat para puntos críticos.
El teorema de Fermat para puntos críticos dice que si una función es continua en
un intervalo cerrado [a, b], entonces alcanza un valor máximo y mínimo en ese
intervalo. Matematicamente se expresa de la siguiente forma, siendo D un dominio tal
que sea 𝑓(𝑥): 𝐷 ⊂ 𝑅 𝑦 𝑐 ∈ 𝐷, y se cumple que
f(x) tiene en punto máximo en 𝑥 = 𝑐
f es derivable también en x=c
→ 𝒇′(𝒄) = 𝟎
149
6.3 Teorema 35: Rolle
El teorema de Michel Rolle (matemático francés (1652 - 1719)) es aquel que da
condiciones suficientes para la existencia de un número crítico (o punto crítico) en una
función ƒ.
Este teorema expresa lo siguiente:
Si una función ƒ es continua en un intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo
abierto (a, b) y ƒ (a) = ƒ (b), entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que
ƒ´(c) = 0, osea que se cumple el teorema de Fermat.
Corolario: Si ƒ es continua en un intervalo cerrado [a, b] y ƒ (a) = ƒ (b), entonces ƒ
tiene al menos un número crítico en el intervalo abierto (a, b).
Ejemplo1 : Estudiar si la función f(x) = x − x3 satisface las condiciones del Teorema de
Rolle en el intervalo [0, 1]. en caso afirmativo
determinar el valor de c.
f(x) es una función continua en el intervalo [0, 1]
y derivable en el intervalo abierto (0, 1) por ser
una función polinómica.
Además cumple que:
f(0) = f(1) = 0
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.
2
2
`( ) 0
1 3 0
1 3 0
f c
x
c
1
3
1(0,1)
3
c
Ejemplo 2: ¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el
intervalo [−1, 1]?
La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función
polinómicas. No cumple teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).
150
6.4 Teorema 36: valor medio de Lagrange
Los resultados más útiles del cálculo diferencial se refieren a funciones
derivables en todos los puntos de un intervalo. El teorema del valor medio es
frecuentemente atribuido a Joseph Louis Lagrange; no obstante, fue publicado por
primera vez en 1806 por el físico André Marie Ampére que justificaba el resultado
usando ideas de Lagrange y suponiendo que la función derivada era continua. El
teorema del valor medio es uno de los resultados más útiles del Cálculo. Su utilidad se
debe principalmente a que dicho teorema permite acotar el incremento de una función
cuando se conoce una cota de su derivada.
El teorema del valor medio de Lagrange dice que si una función f(x) es continua en
[a, b] y derivable en (a, b), entonces, existe algún punto c (a, b) tal que
𝑓 ′(𝑐) =𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
La interpretación geométrica del Teorema de Lagrange nos dice que hay un punto en
el que la tangente es paralela a la secante. Es una generalización del teorema de Rolle.
Ejemplo: Se puede aplicar el Teorema de Lagrange a f(x) = x3 en [−1, 2]?
f(x) es continua en [−1, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema
del valor medio:
2
8 ( 1)'( ) '( ) 3
2 ( 1)
Evaluando en c, 3 1c 3
f c f
c
c
6.5 Teorema de Cauchy
El teorema del valor medio de Cauchy es una generalización del teorema del valor
medio de Lagrange y por lo tanto tienen la misma importancia.
Este teorema enuncia como sea f y g continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces
existe al menos un punto c dentro de (a, b) tal que: ( ) ( ) '( )
( ) ( ) '( )
f b f a f c
g b g a g c
Ejemplo: Analizar si el teorema de Cauchy es aplicable en el intervalo [1, 4] a las
funciones: f(x) = x2 − 2x + 3 y g(x) = x3 − 7x2 + 20x – 5.
151
Primero se derivan ambas funciones:
𝑓(x) = 𝑥2 − 2x + 3 → 𝑓′(x) = 2x − 2
𝑔(x) = 𝑥3 − 7𝑥2 + 20x − 5 → 𝑔′(x) = 3𝑥2 − 14x + 20
Ahora se evalúa en la parte izquierda del teorema: a=1 y b=4
f(x) = x2 − 2x + 3 g(x) = x3 − 7x2 + 20x – 5
f(1) = (1)2 -2(1) + 3= 2 g(1) = (1)3-7(1)2+20(1)-5= 9
f(4)= (4)2 -2(4)+3= 11 g(4)= (4)3-7(4)2+20(4)-5= 27
Aplicando el teorema ( ) ( ) '( )
( ) ( ) '( )
f b f a f c
g b g a g c
:
2 2
11 2 2c 2 1 2c 2
27 9 3c 14c 20 2 3c 14c 20
, ahora se despeja a c
Queda demostrado que: g (b) diferente g(a) y g’(c) diferente de 0 por lo que
desarrollando la ecuación anterior 1(3c2-14c+20) = 2c-2(2) → 3c2-14c+20 =
4c-4, 3c2-18c+24= 0
Ahora se obtiene la ecuación 3c2-18c+24= 0 Si se factoriza, ( c-4) ( c-2 )=0, c=2 y c=4,
c=4 se descalifica porque no está dentro de (1, 4) y finalmente c=2.
Comprobando: 2 2
1 2c 2 1 2(2) 2 1 1
2 3c 14c 20 2 3(2) 14c 20 2 2
6.6 Valores Críticos de una Función
Son los valores máximos y mínimos que pueden alcanzar una función en un intervalo
dado.
152
Sea [ 1 , 2 ] un intervalo y y = f () Una función dada; su valor máximo (P) en f (
ε 1 ) y f (ε 2 ) en Q es el mínimo.
Una función y = f (x) alcanzara un valor máximo relativo en x = ε 1 , Si en el
entorno ε 1 cumple
f (f )
Una función y = f (x) alcanzara un valor mínimo (2) en f ( 2 ) si cumple que
; f ( 2 ) f (x)
En el punto P (Máximo) la función pasa de creciente a decreciente y en el punto Q
(mínimo) de decreciente a creciente.
En cada punto critico, la derivada de la función se anula. Esto es, si para = ε hay un
mínimo o máximo si cumple.
f ' (ε ) = 0
6.6.1 Pasos para conseguir los puntos críticos de una función.
1. Hallar la primera derivada
2. Igualar la primera derivada a cero y se hayan las raíces reales de la ecuación
resultante. Estas raíces son los valores críticos de las variables.
3. Se aplican los Criterio de la 2da derivada para extremos relativos
Se asume que f ( ) = 0
Y que f o ( ) existe, de manera que:
Si f" ( ) x < 0, entonces f tiene un máximo relativo en
Si f" ( ) x > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en
Si f" ( ) x = 0, se ignora lo que pasa en
Ejemplo 1: Dada la 3 22 1( ) x xf x x los Mínimos y Máximo.
𝑓′(x) = 3𝑥2 − 24 + 1 por lo que igualando a cero 3𝑥2 − 24 + 1 = 0 sus raíces son
𝑥1 =1
3 ∧ 𝑥2 = 1 → 𝑓′′(x) = 6x − 4 ∴
f" 1
3
= 6 1
3
- 4 = 2 – 4 = - 2 como –2 < 0 entonces 1
3x es un punto
máximo
f" () = 6 - 4 eso implica que f " ( 1 ) = 6 ( 1 ) – 4 = 6 – 4 = 2
153
∴
2 > 0 ; x = 1 es un punto mínimo
2 3 5Ejemplo 2: ( ) x xf x
Primera derivada = 2 -3
Valor critico 3/2, 2da derivada = 14
f 3
14
= 14 14 > 0 Entonces f 3
14
tiene un número mínimo.
Ejemplo 3: Al construir una torre de x apartamentos, su costo total es 𝐶𝑡, expresado
por medio de 𝐶𝑡(𝑥)) = 𝑥2 + 14𝑥 + 24. Cuál es costo promedio de un piso p en función
de x. Cuál es la cantidad de pisos a construir para que el costo medio de piso sea
mínimo?.
El costo total de x pisos viene dado por la expresión
𝐶𝑡(𝑥)) = 𝑥2 + 14𝑥 + 24, por lo tanto el costo promedio de cada apartamento se
obtiene a través de la expresion:
𝐶𝑡(𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚 =𝑥2
𝑥+
14𝑥
𝑥+
24
𝑥→ 𝐶𝑡(𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑥 +
24
𝑥+ 14
Para obtener el costo minimo de la cantidad de pisos a construir, lo primero que hay
que hacer es conseguir los puntos críticos del costo promedio de cada apartamento.
Como 𝐶𝑡(𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝑥 +24
𝑥+ 14 hay que buscar la primera derivada y luego
resolver la ecuación obtenida y esos son los puntos críticos de dicha función.
𝑑
𝑑𝑥𝐶𝑡(𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1 −
24
𝑥2, la cual igualada a cero y luego resuelta para encontrar sus
raíces es: 1 −24
𝑥2 = 0 → 𝑥2 − 24 = 0, por lo tanto 𝑥1 = 4.9 y 𝑥2 = −4.9 son los
puntos críticos, por lo tanto ahora hace falta saber cuál es el máximo y el mínimo para
dar respuesta a este problema.
Sacar la segunda derivada y aplicar los criterios anteriormente vistos:
𝑑2𝐶𝑡 (𝑥) 𝑝𝑟𝑜𝑚
𝑑𝑥=
24
𝑥3
24
𝑥3 =24
(4.9)3 > 0, 𝑥1 = 4.9 es un punto critico minimo.
24
𝑥3=
24
(− 4.9)3< 0, 𝑥2 = −4.9 es un punto crítico máximo.
Conclusión: Se deben construir aproximadamente 5 pisos para que el costo de estos sea
mínimo.
154
Cálculo Diferencial
6.7 Práctica #6: Derivadas
Nombre: ___________________________Matrícula:________________________
Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________
2
2
a) Verificar que se cumpla el teorema de Rolle.
hallar el valor de c.
1) 2 en 0,2
2) 1 2 3 en 1,3
2 33) en 1,3
2
4) ( ) en 0,2
b) Hallar los valores de C en el intervalo
para f
f x x x
f x x x x
x xf x
x
f x sen x
2
2
3
unciones aplicando del valor medio.
5) en 2,1
6) en 0,1
7) 2 en 2,6
8) en ,
f x x
f x x
f x x
f x sen
3 2
3
4 2
2 3
3 2
4
c) Conseguir los puntos maximos y minimos
y haga la grafica.
9) 6 9
10) 12
111) 2
4
12) 10 12 3 2
13) 2 3 12 4
14) ( )
y x x x
y x x
y x x
y x x x
y x x x
f x x x
155
2
3 2
0
0
3 3
4
3
2
5 7
2
d) Determina la ecuacion de la tangente
y la normal a la curva.
14) , 1,3
15) 1, 1
216) , 2
17) 30 en 1,3
e) Integral
18) 2
19) 2 1
20)
121)
22) 1 3 2
y x
y x x x y
yy y
x
x y y x
x dx
x x dx
x dx
x xdx
x
x x
2
2
123)
2
124)
f) Define.
25) Recta normal
26) Recta tangente
dx
x dxx
xdx
x
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