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LOS NÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES

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LOS NMEROS

LOS NMEROS REALES

Los Nmeros Enteros

Los Nmeros Enteros estn conformados por los nmeros Naturales que son los Enteros Positivos, los Enteros Negativos y el Cero. Se simbolizan con la letra Z

OPERACIONES CON NMEROS ENTEROSADICIN.Caso 1: cuando los dos nmeros enteros tienen el mismo signo, se suman las dos cantidades y el resultado queda con el mismo signo.Caso 2: cuando los dos nmeros tienen signos contrarios, se restan las dos cantidades y el resultado lleva el signo de la cantidad mayor.SUSTRACCIN.Para sustraer dos nmeros enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y su resultado es otro nmero entero.MULTIPLICACIN.Para multiplicar dos o ms nmeros enteros se multiplican sus cantidades y el signo del producto se obtiene teniendo en cuenta la tabla de signos.DIVISIN.Para dividir dos nmeros enteros se dividen sus valores y el signo de su resultado se obtiene teniendo en cuenta la tabla de signos.

TABLA DE SIGNOS

OPERACIONES CON NMEROS ENTEROSPOTENCIACIN.La potenciacin de un nmero entero con exponente un nmero natural, se halla multiplicando la base por si misma la veces que indique el exponente.Para determinar el signo de su resultado debemos tener en cuenta:Si la base es positiva, la potencia ser siempre positiva.Si la base es negativa la potencia ser positiva si el exponente es par, y si el exponente es impar la potencia ser negativa.

EJEMPLO 1. (-8 ) + (-12) = -20(- 6) + ( +15) = 9(-8 ) + ( +8 ) = 0( +25) + (-34) = -9(+34) + (+66) = 100

EJEMPLO 2. (+8 ) - (+4) = (+8 ) + (- 4) = +4 (+8 ) - (-4 ) = (+8 ) + (+4) = +12 (- 8 ) - (+4) = (-8 ) + (-4 ) = -12(-8 ) - (-4 ) = (-8 ) + (+4) = -4

EJEMPLO 3. (-7 ) . (-10) = 70(- 4) . ( +15) = -60(-8 ) . ( -8 ) = 64( +30) . (-3) = -90 (+4) . (+16) = 64

EJEMPLO 4. (-100 ) (+25) = -4(+ 6) ( +2 ) = +3(-8 ) ( -1 ) = +8(+200) (-4) = -50(-80) (-8) = +10

EJEMPLO 5. (-3)4 = (-3).(-3).(-3).(-3) = 81(+5)3 = (+5).(+5).(+5) = 125(-2 )5 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-2) = -32(+4)4 = (+4).(+4).(+4).(+4) =+256(-10)2 = (-10).(-10) =+100

Se representan con la letra Q, son nmeros de la forma

donde a, b son nmeros enteros y b no es cero.Cuando se representan en forma decimal son decimales finitos o peridicos.13/4 = 3 = 3,25.0,17 = 0,17171714 = 2 NMEROS RACIONALESNMEROS IRRACIONALES

Los nmeros Irracionales se representan por medio de la letra I. no se pueden expresar de la forma

Su representacin decimal es infinita no peridica.

3 = 1,7320508082 = 1,414213562 = 3,141592654 e = 2,718281828

Operaciones con Nmeros RealesPropiedades de la adicin y multiplicacin que se cumplen en los Nmeros Reales:

PROPIEDADESADICINMULTIPLICACINConmutativa a + b = b + aa . b = b . aAsociativa (a + b) + c = a + (b + c)(a . b) . c = a . (b . c)Elemento neutroa + 0 = 0 + a = aa . 1 = 1 . a = aOpuesto: a + (- a) = 0Recproco: a . 1/a = 1 si a0

ACTIVIDAD 1.Efectuar las siguientes operaciones aplicando las propiedades de la adicin en los nmeros reales.(-47) + (-18) -15 (-18) +475 3 + 8 32 - 3 + 7 3 - 10 32 -3 + 5 ( - 7 ) + 7 2 6 2

-8 32 ( -3 ) 32 + 15 32 8 32 + 6 32

2 + 2 2 - 3 2 - 5 2 5 3 5 2

3,56 -0,34 + 4,6 (- 3,45) 5

PROBLEMAS:7.Un caracol trata de escalar una roca de 6m de altura. Durante el da sube 2m y en la noche resbala 1m. Determinar en cuantos das alcanza la parte alta de la roca.8. En un entrenamiento atltico Juan y Alejandro recorren, entre los dos, un total de 13,8 Km. Alejandro y Nelson recorren un total de 12 Km. Si Alejandro recorri la misma cantidad de kilmetros que Nelson y Juan juntos, determinar cuntos Km recorri cada uno de ellos.9.El permetro de una rueda de bicicleta es 60 cm. Determinar el valor del radio.10. Un terreno de forma rectangular tiene las siguientes medidas 4,56 Km de ancho por 7,2 Km de largo. Determinar el permetro del terreno.

Efectuemos las operaciones indicadas aplicando las propiedades de las operaciones en los nmeros reales: ( 1 + 35).(2 2 4) = 2

SOLUCIN:Actividad 2: [ -5(48+(-12))] + [9(-63-(-54))]

(23 5).( -3 5 12)

8 . ( 3 4 ) . ( 1 + 5 ) 2 7 2 3 -81 3 -27 2

[( -2 + 5 ).( 3 1 )] 3 6 4 2

= ( 1 . 2 2) + ( 1. -4) + ( 35 . 22) + (35 . -4) 2 2= 2 2 - 4 + 6 5 2 - 12 5 2 2= 2 - 2 + 6 10 - 12 5

La Potenciacin.PROPIEDADES:Producto de potencias de igual base: la multiplicacin de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de sus exponentes: am an = am+n

Todo nmero real, diferente de cero, elevado al exponente cero es igual a uno. a0 = 1Cociente de potencias de igual base: al dividir potencias de igual base dejamos la misma base y el exponente del numerador le sustraemos el exponente del denominador: am = am n an Potencia de una potencia: una potencia elevada a otra potencia es igual a la misma base elevada al producto de sus exponentes:( am )n = amxnTodo nmero real, elevado al exponente es igual al mismo nmero real. a1 = aPotencia de un producto: la multiplicacin de dos o ms nmeros reales elevada a una potencia es igual a:( a.b)n = an bnPotencia de un cociente: la divisin de dos nmeros reales elevada a una potencia es igual a:( a)n = an b bn

TEORA DE LOS EXPONENTESCuando el exponente es cero ( -4)0 = 1. [ 5 ]0 = 1. 2

2. Cuando el exponente es fraccionario. 61/4 = 46 (-8 ) 2/3= 3(-8)2 51/2 = 5

3. Cuando el exponente es negativo ( 3)-2 = 1 32 2-3/2 = 2-3/2 = 1 = 1 23/2 23

( 4 )-5/2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 243 9 ( 4 )5/2 (4 )5 ( 22 )5 ( 2 )5 32 32 9 9 32 3 243( 2a1/3b1/2)3. (a-1/2c)-2 = ( 2a1/3b1/2)3. (a-1/2c)-2 = 23 a 3/3 b 3/2 a2/2 c -2 c-1 b-3/2 (c-1 )3 (b-3/2 ) -2 c-3 b6/2

= 23 a 2 b 3/2 c -2 = 8 a2 b3/2- 3 c-2+3 = 8 a2 b-3/2c = 8 a2c c-3 b3 b3/2ACTIVIDAD 4: simplificar 2 a -2 b -4 c -2 4a-3 b4c-2

RADICACIN 4 = 2 porque 22 = 4 y (-2)2 = 438 = 2 porque 23 = 8 -4 = No tiene solucin porque en los nmeros reales no existe un nmero cuyo cuadrado sea -4.3-8 = -2 porque (-2)3 = -8

PROPIEDADES Raz n-sima de un nmero elevado a la n. nan = a.Raz de un producto. n(a.b) = na . nbRaz de un cociente. n a = na b nbRaz de una raz. n ma = n.ma

Raz de una potencia. nam = am/n

Simplifiquemos: 3(108a7b6)

3108a7b6 = 333 22 a3 a3 b3 b3 = 333 322 3a3 3a3 3a 3b3 3b3 = 3. 322 a . a . 3a . b .b = 3 a2 b2 34aACTIVIDAD 5. Simplificar:

4(81a8b5c10 )

6(729 x10 y12 z15)

6 12 24 6

Racionalizar un denominadorCuando el denominador es una raz cuadrada, consiste en multiplicar el numerador y el denominador por la misma raz. 3m = 3m . m = 3m m = 3m m = 3 m 2 m 2 m . m 2 (m )2 2 m 2Cuando el denominador es un binomio que contiene una o las dos races cuadradas. Aplicamos la diferencia de cuadrados perfectos. y = y . (3 - y) = y. (3 - y) 3 + y 3 + y (3 - y) (3)2 - (y)2

= y. (3 - y) 3 - y ACTIVIDAD 6: Racionalizar el denominador.

a a - 2 3

3 + 2 3 - 2

BIBLIOGRAFA

Matemticas. Zona Activa 8. Viviana Uni Muoz. 2011. Enfoque a las matemticas 9. Luz Alexandra Oicat Ojeda. 2016.Imagen Nmeros Enteros. http://cmapspublic.ihmc.us/rid=1LK9WD7HR-QLF54L-1VX2/enteros.gifImagen Nmeros Racionales. http://web.educastur.princast.es/proyectos/formadultos/unidades/matematicas_2/ud1/photos/img_25.jpgImagen Nmeros Irracionales.http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//500/553/html/Unidad01/imagenes/3.pngImagen a/b http://4.bp.blogspot.com/-C0sCNL5Kb68/UNeYgGy-P4I/AAAAAAAACYE/NbS-0YxrpgA/s1600/fra%C3%A7%C3%B5es5.jpg