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LOS NÚMEROS REALES

Los Números Enteros

Los Números Enteros están conformados por los números Naturales que son los Enteros Positivos, los Enteros Negativos y el Cero. Se simbolizan con

la letra Z

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROSADICIÓN.

• Caso 1: cuando los dos números enteros tienen el mismo signo, se suman las dos cantidades y el resultado queda con el mismo signo.

• Caso 2: cuando los dos números tienen signos contrarios, se restan las dos cantidades y el resultado lleva el signo de la cantidad mayor.

SUSTRACCIÓN.

Para sustraer dos números enteros se suma al minuendo el opuesto del sustraendo y su resultado es otro número entero.

MULTIPLICACIÓN.

Para multiplicar dos o más números enteros se multiplican sus cantidades y el signo del producto se obtiene teniendo en cuenta la tabla de signos.

DIVISIÓN.

Para dividir dos números enteros se dividen sus valores y el signo de su resultado se obtiene teniendo en cuenta la tabla de signos.

TABLA DE SIGNOS

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

POTENCIACIÓN.La potenciación de un número entero con exponente un número natural, se halla multiplicando la base por si misma la veces que indique el exponente.Para determinar el signo de su resultado debemos tener en cuenta: Si la base es positiva, la potencia será siempre positiva. Si la base es negativa la potencia será positiva si el exponente es

par, y si el exponente es impar la potencia será negativa.

EJEMPLO 1. • (-8 ) + (-12) = -

20• (- 6) + ( +15) =

9• (-8 ) + ( +8 ) =

0• ( +25) + (-34) =

-9• (+34) + (+66) =

100

EJEMPLO 2. • (+8 ) - (+4) = (+8 ) + (-

4) = +4 • (+8 ) - (-4 ) = (+8 ) +

(+4) = +12 • (- 8 ) - (+4) = (-8 ) + (-4

) = -12• (-8 ) - (-4 ) = (-8 ) +

(+4) = -4EJEMPLO 3.

• (-7 ) . (-10) = 70

• (- 4) . ( +15) = -60

• (-8 ) . ( -8 ) = 64

• ( +30) . (-3) = -90

• (+4) . (+16) = 64

EJEMPLO 4. • (-100 ) ÷ (+25)

= -4• (+ 6) ÷ ( +2 )

= +3• (-8 ) ÷ ( -1 )

= +8• (+200) ÷ (-4)

= -50• (-80) ÷ (-8) =

+10

EJEMPLO 5. • (-3)4 = (-3).(-3).(-3).(-3) =

81• (+5)3 = (+5).(+5).(+5) =

125• (-2 )5 = (-2).(-2).(-2).(-2).(-

2) = -32• (+4)4 = (+4).(+4).(+4).

(+4) =+256• (-10)2 = (-10).(-10) =+100

Se representan con la letra Q, son números de la forma

donde a, b son números enteros y b no es cero.Cuando se representan en forma decimal son decimales finitos o periódicos.13/4 = 3 ¼ = 3,25.0,17 = 0,1717171√4 = ± 2

NÚMEROS RACIONALES

NÚMEROS IRRACIONALES

Los números Irracionales se representan por medio de la letra I. no se pueden expresar de la forma

Su representación decimal es infinita no periódica.

√3 = 1,732050808√2 = 1,414213562 ¶ = 3,141592654 e = 2,718281828

Operaciones con Números Reales

Propiedades de la adición y multiplicación que se cumplen en los Números Reales:

PROPIEDADES ADICIÓN MULTIPLICACIÓNConmutativa a + b = b + a a . b = b . aAsociativa (a + b) + c = a + (b

+ c)(a . b) . c = a . (b . c)

Elemento neutro a + 0 = 0 + a = a a . 1 = 1 . a = aOpuesto: a + (- a) = 0 Recíproco: a . 1/a = 1

si a≠0

ACTIVIDAD 1.Efectuar las siguientes operaciones aplicando las propiedades de la adición en los números reales.1. (-47) + (-18) -15 – (-18) +472. 5 √3 + 8 3√2 - √3 + 7 √3 - 10 3√2 3. -3 + 5 – ( - 7 ) + 7 2 6 2

4. -8 3√2 – ( -3 ) 3√2 + 15 3√2 – 8 3√2 + 6 3√2

5. √2 + 2 √2 - 3 √2 - 5 √2 5 3 5 2

6. 3,56 -0,34 + 4,6 – (- 3,45) – 5

PROBLEMAS:7. Un caracol trata de escalar una roca de 6m de altura. Durante el día sube 2m y en la noche resbala 1m. Determinar en cuantos días alcanza la parte alta de la roca.8. En un entrenamiento atlético Juan y Alejandro recorren, entre los dos, un total de 13,8 Km. Alejandro y Nelson recorren un total de 12 Km. Si Alejandro recorrió la misma cantidad de kilómetros que Nelson y Juan juntos, determinar cuántos Km recorrió cada uno de ellos.9. El perímetro de una rueda de bicicleta es 60¶ cm. Determinar el valor del radio.10. Un terreno de forma rectangular tiene las siguientes medidas 4,56 Km de ancho por 7,2 Km de largo. Determinar el perímetro del terreno.

Efectuemos las operaciones indicadas aplicando las propiedades de las operaciones en los números reales: ( 1 + 3√5).(2 √2 – 4) = 2

SOLUCIÓN:

Actividad 2:

1. [ -5(48+(-12))] + [9(-63-(-54))]

2. (2√3 – 5).( -3 √5 – 12)

3. 8 . ( 3 – 4 ) . ( 1 + 5 ) 2 7 2 3 4. -81 √3 -27 √2

5. [( -2 + 5 ).( 3 – 1 )] 3 6 4 2

= ( 1 . 2 √2) + ( 1. -4) + ( 3√5 . 2√2) + (3√5 . -4) 2 2= 2 √2 - 4 + 6 √5 √2 - 12 √5 2 2= √2 - 2 + 6 √10 - 12 √5

La Potenciación.PROPIEDADES:

Producto de potencias de igual base: la multiplicación de potencias de igual base es igual a la misma base elevada a la suma de sus exponentes:

am an = am+n

Todo número real, diferente de cero, elevado al exponente cero es igual a uno.

a0 = 1

Cociente de potencias de igual base: al dividir potencias de igual base dejamos la misma base y el exponente del numerador le sustraemos el exponente del denominador:

am = am – n

an

Potencia de una potencia: una potencia elevada a otra potencia es igual a la misma base elevada al producto de sus exponentes:

( am )n = amxn

Todo número real, elevado al exponente es igual al mismo número real.

a1 = a

Potencia de un producto: la multiplicación de dos o más números reales elevada a una potencia es igual a:

( a.b)n = an bn

Potencia de un cociente: la división de dos números reales elevada a una potencia es igual a:

( a)n = an b bn

TEORÍA DE LOS EXPONENTES

1. Cuando el exponente es cero

( -4)0 = 1. [ 5 ]0 = 1. 2 2. Cuando el exponente es fraccionario. 61/4 = 4√6 (-8 ) 2/3= 3√(-8)2

51/2 = √53. Cuando el exponente es

negativo ( 3)-2 = 1 32

2-3/2 = 2-3/2 = 1 = 1 23/2 √23

• ( 4 )-5/2 = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = 243

9 ( 4 )5/2 √(4 )5 √ ( 22 )5 ( 2 )5

32 32 9 9 32 3 243

• ( 2a1/3b1/2)3. (a-1/2c)-2 = ( 2a1/3b1/2)3. (a-1/2c)-2 = 23 a 3/3 b 3/2 a2/2 c -2 c-1 b-3/2 (c-1 )3 (b-3/2 ) -2 c-3 b6/2

= 23 a 2 b 3/2 c -2 = 8 a2 b3/2- 3 c-2+3 = 8 a2 b-3/2c = 8 a2c c-3 b3 b3/2

ACTIVIDAD 4: simplificar 2 a -2 b -4 c -2 4a-3 b4c-2

RADICACIÓN √4 = ±2 porque 22 = 4 y (-2)2 = 43√8 = 2 porque 23 = 8 √-4 = No tiene solución porque en los números reales no existe un número cuyo cuadrado sea -4.3√-8 = -2 porque (-2)3 = -8

PROPIEDADES Raíz n-ésima de un número elevado a la n. n√an = a.Raíz de un producto. n√(a.b) = n√a . n√bRaíz de un cociente. n√ a = n√a b n√bRaíz de una raíz. n√ m√a = n.m√a

Raíz de una potencia. n√am = am/n

Simplifiquemos: 3√(108a7b6) 3√108a7b6 = 3√33 22 a3 a3 b3 b3

= 3√33 3√22 3√a3 3√a3 3√a 3√b3 3√b3

= 3. 3√22 a . a . 3√a . b .b = 3 a2 b2 3√4aACTIVIDAD 5.

Simplificar:

• 4√(81a8b5c10 )

• 6√(729 x10 y12 z15)

• 6 √12 24 √6

Racionalizar un denominador Cuando el denominador es

una raíz cuadrada, consiste en multiplicar el numerador y el denominador por la misma raíz.

3m = 3m . √m = 3m √m = 3m √m = 3 √m 2 √m 2 √m . √m 2 (√m )2 2 m 2

Cuando el denominador es un binomio que contiene una o las dos raíces cuadradas. Aplicamos la diferencia de cuadrados perfectos.

y = y . (√3 - √y) = y. (√3 - √y) √3 + √y √3 + √y (√3 - √y) (√3)2 - (√y)2

= y. (√3 - √y) 3 - y

ACTIVIDAD 6: Racionalizar el denominador.

• √a √a - 2 √3

• √3 + 2 √3 - 2

BIBLIOGRAFÍA

Matemáticas. Zona Activa 8. Viviana Uni Muñoz. 2011. Enfoque a las matemáticas 9. Luz Alexandra Oicatá Ojeda. 2016.Imagen Números Enteros. http://cmapspublic.ihmc.us/rid=1LK9WD7HR-QLF54L-1VX2/enteros.gifImagen Números Racionales. http://web.educastur.princast.es/proyectos/formadultos/unidades/matematicas_2/ud1/photos/img_25.jpgImagen Números Irracionales.http://e-ducativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//500/553/html/Unidad01/imagenes/3.pngImagen a/b http://4.bp.blogspot.com/-C0sCNL5Kb68/UNeYgGy-P4I/AAAAAAAACYE/NbS-0YxrpgA/s1600/fra%C3%A7%C3%B5es5.jpg