MATEMATICA APLICADA

NUMEROS REALES II

201422014

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Forma General:

Teorema de Cardamo – Viete

Sean: , las “n” raices de

la ecuacion polinomica.

1. Suma de raices :

2. Producto de raices:

METODO DE LOS VALORES CRITICOS

Inecuaciones PolinómicasP(x) =

El método que facilita la solución de las inecuacionespolinómicas es el método de los valores críticos.

Pasos a seguir:

• Se halla los valores críticos factorizando el polinomioP(x).

• Se ubica los valores críticos en la recta.

• Se determinan los signos de los intervalos devariación.

• La solución será la unión de los intervalos positivos siP(x) > 0 y negativo si P(x) < 0.

Sea el polinomio P(x) = donde P(x) puede factorizarse tal como:

P(x) =

entonces se presentan los siguientes casos:

METODO DE LOS VALORES CRITICOS

-∞ +∞

+ - + + - +

- -

-5 -1 4

+

METODO DE LOS VALORES CRITICOS

-∞ +∞

+ - + + - +

+_+

_+

- 5 - 2 1 3

METODO DE LOS VALORES CRITICOS

x ∈ <- ∞, -3 ] ∪ [ 5 , + ∞ > ∪ {1}

+ +

METODO DE LOS VALORES CRITICOS

ii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico

tienen signos diferentes.

Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el

conjunto

Solución:

factorizando:

(x + 2) (x – 3) < 0 ; PC = {-2, 1, 3}

- 2 1 3

x ∈ <- ∞, -2 > ∪ < 1 , 3 >

+_+_

METODO DE LOS VALORES CRITICOS

TERCER CASO: Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son

reales, en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de

los intervalos y para dar la solución, se sigue el mismo procedimiento de los

casos anteriores.

Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el

conjunto

Solución:

(x + 3) (x + 1) (x – 2) > 0 ; PC = {- 3, - 1, 2}

El factor = 0 no tiene raíces reales, por lo que > 0x R; podemos prescindir de este factor.

-3 -1 2

+ ++_+_

INECUAIONES POR EL METODO DE LOS VALORES CRITICOS

Inecuaciones FraccionariasSon inecuaciones de la forma

Donde Q(x) 0

Al factorizar P(x) y Q(x), se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en

cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es

cerrado.

NOTA.- Si al factorizar al polinomio, uno de los factores está afectado a un

exponente par, el valor crítico que le corresponde no se toma en cuenta, este

mismo criterio se aplica si el valor crítico es un número imaginario.

( ó con ≥ ó ≤ )

METODO DE LOS VALORES CRITICOS Ejemplo 1 : Resolver:

Solucion.

Multiplicación por (-1)

1 - 1 - 22 40

4 4 12 - 40

1 3 - 10 0

2 2 10

1 5 0

- 5 - 5

1 0

Aplicando Ruffini en el numerador.

INECUACIONES

-7 - 5 0 2 4

x ∈ <- ∞, -7 > ∪ [ -5, 0 > ∪ [ 2, 4 ]

PC = { -7, -5 , 0, 2, 4 }

+++ - --

INECUACIONES

2. Resolver:

Solución

> 0, positivo si: X 1

> 0, positivo si: X - 4

Entonces la inecuacion se reduce a:

3 – x < 0

3 < X

CS:

ECUACION E INECUACION DE GRADO SUPERIOR

METODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS

4. Hallar la solución de la siguiente

ecuación:

Solución

1 3 - 5 - 15 4 12

1 1 4 - 1 - 16 - 12

1 4 -1 - 16 - 12

2 2 12 22 12

1 6 11 - 6

- 2 - 2 - 8 6

1 4 3

ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

SISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema lineal de es un conjunto de ecuaciones lineales, con dos o

mas variables o incógnitas, que se verifican en forma simultanea

solo para un determinado conjunto de valores que toman dichas

variables , denominadas conjunto solución ( C.S.)

Por el numero de soluciones el sistema de ecuaciones puede ser:

a) Sistema compatible determinado: el sistema tiene solución única.

b) Sistema compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas

soluciones.

c) Sistema incompatible o inconsistente: el sistema no admite

solucion.

Métodos de Solución :

a) Método de igualación.

b) Método de sustitución .

c) Método de reducción.

SISTEMA DE ECUACIONES

1. Resolver el sistema: 4x + 5y = 1 ……………………( 1 )

3x - 2y = 18…………………..( 2 )

Solución

Por el método de la igualacion:

De ( 1 ) : 4x = 1 – 5y De ( 2 ): 3x = 18 + 2y

x = x

=

3 – 15y = 72 + 8y

y = - 3 …………………….( 3)

Reemplazando Ec. ( 3 ) en Ec. ( 2 )

x = 4

CS. { ( 4, -3 )

SISTEMA DE ECUACIONES2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

7 x + 5y = 9 …………………( 1 )

- 2 x + 11 y = - 15 …………….( 2 )

Solución

Por el método de sustitución:

De ( 1 ) .. ……………..( 3 )

Sustituimos ( 3 ) en ( 1 ):

- 2 x + 11 ( ) = - 15

- 10 x + 99 – 77x = - 75

174 = 87 x

x = 2…………………( 4)

Reemplazando Ec.( 4 ) en Ec. ( 3 )

y = - 1

CS. { ( 2, -1) }

SISTEMA DE ECUACIONES

3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

2 x + 3 y = 10………………………( 1 )

8 x + 11y = 38………………………( 2)

Solución

Por el reducción: 2 x + 3 y = 10 ...x ( - 4 )

8 x + 11y = 38

- 8 x - 12 y = - 40

8 x + 11 y = 38

- y = - 2

y = 2 …………….( 3 )

Reemplazando Ec.( 3 ) en Ec. ( 1 ):

x = 2

CS . { ( 2 , 2 ) }

SISTEMA DE ECUACIONES

EJERCICIOS Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

1. 4 x + 3 y = 26

3 x + 4 y = 23

2. 2 x y + 2 y = 1

x y - y = 1

3.

4. 2 x + 3 y + 5 z = 41

3 x + 4 y + 6 z = 52

5 x - 5 y + 3 z = 5

INECUACIONES

Ejercicios:

Hallar la solución del siguiente sistema inecuaciones:

1. Rpta:

2. Rpta:

3. Rpta:

4. Rpta: < -3,

1>

5. Rpta:

6. Rpta:

VALOR ABSOLUTO

El Valor absoluto de un número real x, denotado por , se define así:

Ejemplo:

ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES

1. x = 0

2.

3.

4.

5.

6.

7.

SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO

VALOR ABSOLUTO

1. Demostrar que si :

solución

Sabemos que: ;

De la condición: , aplicamos la propiedad y obtenemos:

Sumamos : – 4………… - 6 < x < - 2 , extremos de igual signo

invertimos

Obtenemos: ; sumamos 1

Obtenemos:

Entonces:

SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO

Ejemplos:

1. Resolver: Aplicamos el teorema:

( x = y x = - y )

3x – 9 ≥ 0 ( x – 2 = 3x – 9 x – 2 = - ( 3x - 9 ))

x ≥ 3 ( -2x = -7 4x = 11 )

x ≥ 3

2 11/4 3 7/2

SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR

ABSOLUTO

Ejemplos:

2. Resolver:

Aplicamos el teorema:

( x = y x = - y )

VALOR ABSOLUTO

3. Resolver :

Solución

Sabemos que: , entonces se cumple:

1 - = 2 1 - = - 2

1 – 2 = 1 + 2 =

- 1 = 3 =

x = - 3 x = 3

solución : { - 3 , 3 }

CS = { - 3 , 3 }

VALOR ABSOLUTO

4. Resolver :

Solución

Propiedad:

x = - 2 x = 1 x = 2 x = -1

- 2 - 1 0 1 2

CS. { 1, 2 }

VALOR ABSOLUTO

5. Resolver:

Solución

raíces imaginarias raíces imaginarias

no reales no reales

CS :

VALOR ABSOLUTO

6. Resolver:

Solucion

Como se cumple:

CS: [ - 5/2 , - 1/2 ]

VALOR ABSOLUTO

7. Resolver :

Solución:

Si:

( - 2x + 3 < x + 5 ) ( x + 5 < 2x – 3 )

( - 2 < 3x ) ( 8 < x )

( - 2/3 < x ) ( 8 < x )

- 2/3 3/2 8

CS : < 8 , >

VALOR ABSOLUTO 8. Resolver:

Solución:

Sabemos que:

( )

( )

( )

[ 0 ( x + 2 ) ( x – 1 ) 0 ( x - 2 ) ( x

+ 1 ) ]

PC : {-2 , 1, 2, -1 }

-2 -1 1 2

CS: < - , - 2 ] [ 2, >

+_+

++ _

VALOR ABSOLUTO

9. Resolver:

Solución

PC. { -2 , - 2/3, 1/2 }

-2 - 2/3 ½

CS. < - , - 2 ] [ ½ , ]

++_

VALOR ABSOLUTO

10. Hallar el conjunto solución de:

Solución

Factorizando: )

( ) (

)

( ) R (

)

( ) R

( ) R

x < - 3 x > 9

- 3 9

CS: < - , - 3 > < 9 , >

+ +

VALOR ABSOLUTO11. Resolver: |x + 5/ x|≤ 6

Solución

- 6 ≤ x + 5/x ≤ 6

Esto es equivalente a escribir como sigue:

- 6 ≤ x + 5/x ^ x + 5/x ≤ 6

0 ≤ ( x² + 6x +5)/x ^ (x² - 6x +5)/x ≤ 0

0 ≤ ( x + 5)(x +1)/x ^ (x - 5)(x -1)/x ≤ 0

PC x= - 5 , x= -1 x = 1 , x = 5

-

-5 -1 1 5

+++

_+

VALOR ABSOLUTO12. Resolver :

Solución

^

0 < + 4 ^ - 4 < 0

^

-6 -1 - 2/7

CS: < - ∞, -6 > U < - 2/7 , ∞>

+ +

++

SISTEMA DE ECUACIONES

EJERCICIOS Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

1. 4 x + 3 y = 26

3 x + 4 y = 23

2. 2 x y + 2 y = 1

x y - y = 1

3.

4. 2 x + 3 y + 5 z = 41

3 x + 4 y + 6 z = 52

5 x - 5 y + 3 z = 5