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MATEMATICA APLICADA NUMEROS REALES II 2014 22014

NÚMEROS REALES II

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UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRES FACULTAD DE MEDICINA HUMANA

UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFACULTAD DE MEDICINA HUMANA MATEMATICA APLICADANUMEROS REALES II201422014

1Ecuaciones de grado superiorForma General: Teorema de Cardamo Viete Sean: , las n raices de la ecuacion polinomica. 1. Suma de raices : 2. Producto de raices:

METODO DE LOS VALORES CRITICOS Inecuaciones PolinmicasP(x) = El mtodo que facilita la solucin de las inecuaciones polinmicas es el mtodo de los valores crticos.Pasos a seguir:Se halla los valores crticos factorizando el polinomio P(x).Se ubica los valores crticos en la recta. Se determinan los signos de los intervalos de variacin. La solucin ser la unin de los intervalos positivos si P(x) > 0 y negativo si P(x) < 0.Sea el polinomio P(x) = donde P(x) puede factorizarse tal como: P(x) =entonces se presentan los siguientes casos:

3METODO DE LOS VALORES CRITICOS

-+

+ - ++ - + - - -5 -1 4 +4METODO DE LOS VALORES CRITICOS

-+

+ - ++ - ++ _+_+- 5- 2135METODO DE LOS VALORES CRITICOS x {1}

++6METODO DE LOS VALORES CRITICOS Si m es impar, los intervalos de variacin contiguos al valor crtico tienen signos diferentes.Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el conjuntoSolucin: factorizando: (x + 2) (x 3) < 0 ; PC = {-2, 1, 3}

- 2 1 3 x < 1 , 3 >

+_+_7METODO DE LOS VALORES CRITICOS TERCER CASO: Cuando alguna de las races del polinomio P(x) = 0 no son reales, en este caso a estas races no se consideran en la determinacin de los intervalos y para dar la solucin, se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.Ejemplo: Sea P(x) = , hallar el conjuntoSolucin: (x + 3) (x + 1) (x 2) > 0 ; PC = {- 3, - 1, 2}El factor = 0 no tiene races reales, por lo que > 0 x R; podemos prescindir de este factor.

-3 -1 2 + +

+_+_8INECUAIONES POR EL METODO DE LOS VALORES CRITICOS Inecuaciones FraccionariasSon inecuaciones de la forma

Donde Q(x) 0 Al factorizar P(x) y Q(x), se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en cuenta que los valores crticos correspondientes al denominador nunca es cerrado.NOTA.- Si al factorizar al polinomio, uno de los factores est afectado a un exponente par, el valor crtico que le corresponde no se toma en cuenta, este mismo criterio se aplica si el valor crtico es un nmero imaginario.

( con )

9METODO DE LOS VALORES CRITICOS Ejemplo 1 : Resolver:

Solucion.

Multiplicacin por (-1)

1 - 1 - 22 40 4 4 12 - 40 1 3 - 10 0 2 2 10 1 5 0 - 5 - 5 1 0

Aplicando Ruffini en el numerador.

10inecuaciones -7 - 5 0 2 4 x [ -5, 0 > [ 2, 4 ]

PC = { -7, -5 , 0, 2, 4 }+++---inecuaciones 2. Resolver:

Solucin > 0, positivo si: X 1 > 0, positivo si: X - 4 Entonces la inecuacion se reduce a: 3 x < 0 3 < X CS:

ECUACION E INECUACION DE GRADO SUPERIORMETODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS 4. Hallar la solucin de la siguiente ecuacin: Solucin 1 3 - 5 - 15 4 12 1 1 4 - 1 - 16 - 12 1 4 -1 - 16 - 12 2 2 12 22 12 1 6 11 - 6- 2 - 2 - 8 6 1 4 3

ECUACIONES DE GRADO SUPERIORSISTEMA DE ECUACIONESUn sistema lineal de es un conjunto de ecuaciones lineales, con dos o mas variables o incgnitas, que se verifican en forma simultanea solo para un determinado conjunto de valores que toman dichas variables , denominadas conjunto solucin ( C.S.)Por el numero de soluciones el sistema de ecuaciones puede ser:Sistema compatible determinado: el sistema tiene solucin nica.Sistema compatible indeterminado: el sistema tiene infinitas soluciones.Sistema incompatible o inconsistente: el sistema no admite solucion.Mtodos de Solucin : a) Mtodo de igualacin. b) Mtodo de sustitucin . c) Mtodo de reduccin.SISTEMA DE ECUACIONESResolver el sistema: 4x + 5y = 1 ( 1 ) 3x - 2y = 18..( 2 ) Solucin Por el mtodo de la igualacion: De ( 1 ) : 4x = 1 5y De ( 2 ): 3x = 18 + 2y x = x =

3 15y = 72 + 8y y = - 3 .( 3) Reemplazando Ec. ( 3 ) en Ec. ( 2 ) x = 4 CS. { ( 4, -3 )

SISTEMA DE ECUACIONES2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 7 x + 5y = 9 ( 1 ) - 2 x + 11 y = - 15 .( 2 ) Solucin Por el mtodo de sustitucin: De ( 1 ) .. ..( 3 )

Sustituimos ( 3 ) en ( 1 ): - 2 x + 11 ( ) = - 15

- 10 x + 99 77x = - 75 174 = 87 x x = 2( 4) Reemplazando Ec.( 4 ) en Ec. ( 3 ) y = - 1 CS. { ( 2, -1) }

SISTEMA DE ECUACIONES3. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 x + 3 y = 10( 1 ) 8 x + 11y = 38( 2) Solucin Por el reduccin: 2 x + 3 y = 10 ...x ( - 4 ) 8 x + 11y = 38

- 8 x - 12 y = - 40 8 x + 11 y = 38 - y = - 2 y = 2 .( 3 ) Reemplazando Ec.( 3 ) en Ec. ( 1 ): x = 2 CS . { ( 2 , 2 ) } SISTEMA DE ECUACIONESEJERCICIOS Hallar el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones: 4 x + 3 y = 26 3 x + 4 y = 23

2. 2 x y + 2 y = 1 x y - y = 1

3.

4. 2 x + 3 y + 5 z = 41 3 x + 4 y + 6 z = 52 5 x - 5 y + 3 z = 5

inecuacionesEjercicios:Hallar la solucin del siguiente sistema inecuaciones:1. Rpta:2. Rpta: 3. Rpta: 4. Rpta: < -3, 1>5. Rpta:6. Rpta:

VALOR ABSOLUTOEl Valor absoluto de un nmero real x, denotado por , se define as:

Ejemplo:

ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES x = 0

22SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

23VALOR ABSOLUTODemostrar que si : solucin Sabemos que: ;

De la condicin: , aplicamos la propiedad y obtenemos: Sumamos : 4 - 6 < x < - 2 , extremos de igual signo invertimos

Obtenemos: ; sumamos 1

Obtenemos:

Entonces:

SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOEjemplos:Resolver: Aplicamos el teorema: ( x = y x = - y ) 3x 9 0 ( x 2 = 3x 9 x 2 = - ( 3x - 9 )) x 3 ( -2x = -7 4x = 11 ) x 3

211/437/2

25SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOEjemplos:Resolver: Aplicamos el teorema: ( x = y x = - y )

26VALOR ABSOLUTO3. Resolver : Solucin Sabemos que: , entonces se cumple: 1 - = 2 1 - = - 2 1 2 = 1 + 2 = - 1 = 3 = x = - 3 x = 3 solucin : { - 3 , 3 }

CS = { - 3 , 3 }

VALOR ABSOLUTO4. Resolver : Solucin Propiedad:

x = - 2 x = 1 x = 2 x = -1

- 2 - 1 0 1 2

CS. { 1, 2 }

VALOR ABSOLUTO5. Resolver: Solucin

races imaginarias races imaginarias no reales no reales CS :

VALOR ABSOLUTO6. Resolver: Solucion Como se cumple:

CS: [ - 5/2 , - 1/2 ]

VALOR ABSOLUTO7. Resolver : Solucin: Si: ( - 2x + 3 < x + 5 ) ( x + 5 < 2x 3 ) ( - 2 < 3x ) ( 8 < x ) ( - 2/3 < x ) ( 8 < x )

- 2/3 3/2 8 CS : < 8 , >

VALOR ABSOLUTO 8. Resolver: Solucin: Sabemos que:

( ) ( ) ( ) [ 0 ( x + 2 ) ( x 1 ) 0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ] PC : {-2 , 1, 2, -1 }

-2 -1 1 2 CS: < - , - 2 ] [ 2, >

+_+++_

VALOR ABSOLUTO9. Resolver: Solucin

PC. { -2 , - 2/3, 1/2 }

-2 - 2/3 CS. < - , - 2 ] [ , ]

++_VALOR ABSOLUTO10. Hallar el conjunto solucin de: Solucin Factorizando: ) ( ) ( ) ( ) R ( ) ( ) R ( ) R x < - 3 x > 9

- 3 9 CS: < - , - 3 > < 9 , >

++

VALOR ABSOLUTO11. Resolver: |x + 5/ x| 6 Solucin - 6 x + 5/x 6 Esto es equivalente a escribir como sigue: - 6 x + 5/x ^ x + 5/x 6 0 ( x + 6x +5)/x ^ (x - 6x +5)/x 0 0 ( x + 5)(x +1)/x ^ (x - 5)(x -1)/x 0 PC x= - 5 , x= -1 x = 1 , x = 5

- -5 -1 1 5 +++_+VALOR ABSOLUTO12. Resolver : Solucin ^

0 < + 4 ^ - 4 < 0 ^

-6 -1 - 2/7 CS: < - , -6 > U < - 2/7 , >

++++SISTEMA DE ECUACIONESEJERCICIOS Hallar el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones: 4 x + 3 y = 26 3 x + 4 y = 23

2. 2 x y + 2 y = 1 x y - y = 1

3.

4. 2 x + 3 y + 5 z = 41 3 x + 4 y + 6 z = 52 5 x - 5 y + 3 z = 5