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INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS (CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-1 NÚMEROS REALES .- NÚMEROS REALES .- Es el conjunto numérico formado por los números racionales Q y los números irracionales I. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES .- Según la definición anterior podemos establecer la siguiente clasificación: N + (Naturales +) } ,... 4 , 3 , 2 , 1 { Q (Racionales) Z (Enteros) Cero } 0 { N - (Naturales -) R (Reales) } ,... 4 , 3 , 2 , 1 { Fraccionarios ,.... 3 7 , 25 . 0 , 2 1 I (Irracionales) ,... , 2 , 3 EJERCICIOS: Pág.32 ejercicios propuestos Reflexiona y resuelve- y otro propuesto por el profesor. RECORDEMOS ALGUNAS COSAS DE LOS NÚMEROS RACIONALES .-Todo número racional se puede expresar como un número decimal o como fracción. Recordemos como se pasa de uno a otro: DIVISIÓN REGLAS EJEMPLOS: Pasar varias fracciones propuestas por el profesor a número decimal y viceversa. NÚMERO DECIMAL FRACCIÓN Decimal exacto.- Se suprime la coma decimal, y se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal. Decimal periódico puro.- Se suprime la como decimal, se le resta la parte entera y se divide el resultado por tantos nueves como cifras tiene el período. Decimal periódico mixto.- Se suprime la coma, se le resta la parte entera seguida del anteperiodo, y se divide el resultado por tantos nueves como cifras tiene el período, seguidas de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo. NÚMEROS COMPLEJOS .- En los siglos XV y XVI los algebristas buscan la solución de algunas ecuaciones similares a 0 1 x 2 . Las soluciones tienen la forma 1 x . Más tarde se empezaron a manejar números de la forma 1 2 5 . Todos estos números no son números reales, por este motivo se vio la necesidad de ampliar dicho conjunto, a los nuevos números se les llamó números complejos (No se estudian en este curso ).

TEMA 1: NÚMEROS REALES · 2018. 7. 9. · NÚMEROS REALES.- NÚMEROS REALES.- Es el conjunto numérico formado por los números racionales Q y los números irracionales I. CLASIFICACIÓN

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    (CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido

    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-1

    NÚMEROS REALES.-

    NÚMEROS REALES.- Es el conjunto numérico formado por los números racionales Q y los números

    irracionales I.

    CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.- Según la definición anterior podemos establecer la

    siguiente clasificación:

    N+ (Naturales +) },...4,3,2,1{

    Q (Racionales) Z (Enteros) Cero }0{

    N- (Naturales -)

    R (Reales) },...4,3,2,1{

    Fraccionarios

    ,....3

    7,25.0,

    2

    1

    I (Irracionales) ,...,2,3 EJERCICIOS: Pág.32 ejercicios propuestos –Reflexiona y resuelve- y otro propuesto por el profesor.

    RECORDEMOS ALGUNAS COSAS DE LOS NÚMEROS RACIONALES.-Todo número racional se puede

    expresar como un número decimal o como fracción. Recordemos como se pasa de uno a otro:

    DIVISIÓN

    REGLAS

    EJEMPLOS: Pasar varias fracciones propuestas por el profesor a número decimal y viceversa.

    NÚMERO

    DECIMAL

    FRACCIÓN

    Decimal exacto.- Se suprime la coma decimal, y se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal.

    Decimal periódico puro.- Se suprime la como decimal, se le resta la parte entera y se divide el

    resultado por tantos nueves como cifras tiene el período. Decimal periódico mixto.- Se suprime la coma, se le resta la parte entera seguida del anteperiodo, y

    se divide el resultado por tantos nueves como cifras tiene el período, seguidas de tantos ceros como

    cifras tiene el anteperiodo.

    NÚMEROS COMPLEJOS.-

    En los siglos XV y XVI los algebristas buscan la solución de algunas ecuaciones similares a 01x2 . Las soluciones

    tienen la forma 1x . Más tarde se empezaron a manejar números de la forma 125 .

    Todos estos números no son números reales, por este motivo se vio la necesidad de ampliar dicho conjunto, a los nuevos

    números se les llamó números complejos (No se estudian en este curso).

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-2

    INTERVALOS EN LA RECTA REAL.- Los números reales se pueden representar en una recta, al hacerlo

    aparecen los llamados intervalos:

    Intervalo abierto: (a,b) bxa

    a b

    Intervalo cerrado: [a,b] bxa

    a b

    [a,b) bxa

    Intervalos semiabiertos a b

    o semicerrados

    (a,b] bxa

    a b

    EJERCICIOS: Pág.33 ejercicios 1 ® y 1.

    VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL.- Dado un número real a, se define su “valor absoluto de a”

    como:

    0asia

    0asiaa

    EJERCICIOS: Pág.33 ejercicios 2 ® y 2 –algunos-.

    NÚMEROS IRRACIONALES.- Son números cuya expresión decimal tienen infinitas cifras decimales no

    periódicas.

    Normalmente raíces como ,....2,2 3 , aunque algunos son números muy conocidos en

    matemáticas como ....7182818,2eo....1415926535,3 .

    Representación gráfica:

    Ej. Representar el número .....4142135623,12 . Nos basamos, en este caso, en un cuadrado de lado 1:

    2

    Según el Teorema de Pitágoras: 211d222 2d

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-3

    RADICALES. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL.- En general, la raíz n-sima de un número real

    a, que simbolizamos por n a , es otro número b, que elevado a la potencia n nos da a, esto es:

    abbann

    El número n es un número natural mayor que 1 y se llama índice de la raíz.

    El símbolo es el símbolo de la raíz, se llama radical.

    El número a se llama radicando.

    RAÍCES CUADRADAS.- Dado un número real positivo a, la ecuación x2=a tiene dos soluciones

    ax,ax que se llaman raíces cuadradas de a.

    RAÍCES CÚBICAS.- Dado un número real cualquiera a, la ecuación x3=a tiene una solución, que se

    simboliza por 3 a y que se llama raíz cúbica de a.

    En general:

    EJEMPLOS: 33 884

    PROPIEDADES DE LOS RADICALES.-

    1) SUMA.- Solo podemos sumar radicales semejantes. Ej: 3433348273

    2) PRODUCTO.- Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican los dos radicandos.

    nnn baba .

    3) COCIENTE.- Para dividir radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se dividen los radicandos . nn

    n

    b

    a

    b

    a .

    4) POTENCIA.- Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando. n mmn aa .

    5) RADICACIÓN.- Para hallar la raíz de otra raíz se deja el mismo radicando y se multiplican los índices. mnm n aa .

    6) Toda potencia de exponente fraccionario es igual a una raíz que tiene por índice el denominador y por exponente el

    numerador: 2nconaaa mnn mnm .

    Dado un número real a cualquiera y un número natural n, la ecuación xn=a tiene:

    Dos soluciones, una positiva n a y otra negativa n a , si n es par y a positiva.

    Una solución n a , si n es impar y a es un número real cualquiera positivo o negativo.

    Ninguna solución real si n es par y a negativo.

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-4

    RADICALES EQUIVALENTES.- Dos radicales son equivalentes cuando tienen las mismas raíces.

    Ej: 543 243812793

    De esta definición se pueden deducir algunas cosas importantes:

    Simplificación de radicales.- Para simplificar un radical se dividen el índice y el exponente

    del radicando por un divisor común. n mnp mp

    aa

    Reducción de radicales a común índice.- Para reducir dos o más radicales a común índice se

    buscan otros radicales equivalentes a los primeros y que tengan todos ellos el mismo índice.

    Ej: 4 53 4 7,5,3 . Vamos a reducir estos radicales al mismo índice:

    Calculamos el m.c.m. de los índices (2,3,4) = 12.

    Los radicales equivalentes a los anteriores, pero con el mismo índice, se obtienen:

    Colocando como índice común el m.c.m. obtenido.

    Y como exponente del radicando, el resultado de dividir ese m.c.m. común, entre cada uno de

    los índices iniciales, y el resultado multiplicado por cada uno de los exponentes que tenían

    inicialmente.

    En este caso se obtienen 12 1512 1612 6 7,5,3

    Extracción de factores de un radical.- Veamos algún ejemplo: 33 3 752752

    EJERCICIOS: Pág. 34 el 1, 2, 3 y 4 / pág. 35 el 5, 6, 7 y 8 –algunos-.

    RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.-Racionalizar es transformar una fracción con radicales en

    el denominador, en otra equivalente cuyo denominador no los contenga.

    REGLAS GENERALES:

    1) Cuando solo hay un sumando en el denominador.- Se multiplica numerador y denominador por dicha raíz.

    NOTA.- Esto si son raíces cuadradas.

    2) Cuando hay dos sumandos en el denominador.- Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del

    denominado.

    Ej: Racionalizar 53

    6y

    3

    5

    .

    EJERCICIOS: Pág. 36 el del 9 y 10 –algunos-.

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-5

    LOGARITMOS. PROPIEDADES.- Sea 1ay0a , definimos el logaritmo en base a de un número P, y lo

    designamos como Ploga , como el número al que hay que elevar la base a para que se obtenga P. Es decir:

    pabplogb

    a

    Ejemplos:

    38log2 ya que 3

    28 38

    1log2 ya que

    3

    32

    2

    1

    8

    1

    225log5 ya que 2

    525 225

    1log5 ya que

    2

    25

    5

    1

    25

    1

    4000.10log10 ya que 4

    10000.10 40001,0log10 ya que 4

    10000.10

    10001,0

    PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.-

    1. Logaritmo de la base: 1aloga . El logaritmo en base a de a es uno.

    2. Logaritmo de la unidad: 01loga . El logaritmo de la unidad es cero.

    3. Logaritmo de un producto: BlogAlog)BA(log aaa . El logaritmo de un producto de varios factores es igual

    a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores.

    4. Logaritmo de un cociente: BlogAlogB

    Alog aaa

    . El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los

    logaritmos del numerador y del denominador.

    5. Logaritmo de una potencia: AlognAlog an

    a . El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente

    por el logaritmo de la base.

    Este caso se puede aplicar también al logaritmo de una raíz, basta con expresar dicha raíz en forma de

    potencia. Ejemplo: n

    AlogAlog

    n

    1AlogAlog aa

    n1

    an

    a

    6. Cambio de base: Por último vamos a indicar como podemos pasar de un logaritmo en cualquier base otro

    en la base decimal: alog

    xlogxloga

    LOGARITMOS MAS IMPORTANTES: DECIMALES Y NEPERIANOS.-Dentro de los logaritmos que

    nos podemos encontrar existen dos que destacan:

    1) Los de base 10, denominados logarítmos decimales. Se expresan loglog10

    2) Los de base e, llamados logaritmos neperianos. Se expresan lnloge

    EJERCICIOS: Pág. 39 el 1 –algunos-, 3, 4 y 5 / pág. 49 el 30, 31, 32 y 33 / pág. 50 el 36, 37 y 38.

    Los logaritmos anteriores son los que suelen traer las calculadoras, a partir de ahora

    de ahora nos ocuparemos de los decimales que son los más utilizados.

    e se llama el número e. Su valor es e=2,718281...

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-6

    EXPRESIÓN DECIMAL DE NÚMEROS REALES: APROXIMACIONES.- Los números reales reflejan con

    absoluta precisión el resultado de un cálculo teórico, por ejemplo, podemos obtener un números como:

    ...,13

    53,

    5

    23,625,3 3

    Vamos a fijarnos en este último: 13

    53 . Si calculamos su valor real sale ...621111091́

    13

    53

    Este valor, en la práctica es poco operativo al tener infinitos decimales, por ello es necesario tomar un valor

    aproximado: 6211́ó621́ó61́ etc. Se dice que hemos aproximado, respectivamente, con 2, 3 ó 4

    cifras significativas.

    Al pasar del valor exacto al aproximado se producirá un error que será mayor o menor dependiendo de la

    aproximación que se ha tomado.

    Existen dos tipos de errores:

    aproximadoValor)exacto(realValorabsolutoError realValor

    absolutoErrorrelativoError

    Para que las cantidades aproximadas sean fiables, el error que se comete debe estar controlado, es decir,

    debe ser menor que cierta cantidad llamada cota de error. Por ejemplo, si la aproximación ha sido 1´6, como la segunda cifra es la décima, tomamos 0´1:2 = 0´05.

    RESUMEN.- Tomando las aproximaciones anteriores, sus correspondientes errores y cotas serán:

    Valor real ó exacto ...621111091́13

    53

    Valores aproximados 1´6 1´62 1´621

    Errores absolutos 0´02 0´001 0´0001

    Cotas de error absoluto 0´1:2 = 0´05 0´01:2 = 0´005 0´001:2 = 0´0005

    Como vemos los errores absolutos son menores que la cota de error.

    EJERCICIO: Pág. 41, el 1 (resuelto).

    NOTACIÓN CIENTÍFICA. SU USO EN LA CALCULADORA.- En determinadas áreas de la ciencia

    (Física, Química, Biología, …) aparecen números reales que o bien son muy grandes (Ej: distancia entre dos estrellas) o bien muy pequeños (Ej: masa de un electrón), estas características los hacen bastante incómodos a la hora de expresarlos, es por ello por lo que se recurre a la llamada notación científica.

    Ejemplos: Volumen de la Tierra = 1.080.000.000.000.000.000 m3 = 1´08 x 1018 m3

    Diámetro de un virus = 0´000000003 m = 3´0 x 10-9 m

    NOTA.- El número decimal que va delante solo puede tener una cifra en la parte entera. Cada alumno debe saber manejar su propia calculadora.

    EJERCICIOS: Pág. 42 el 4. EJERCICIOS: Pág. 48 a 51 –algunos-, el 26-b.

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-7

    ARITMÉTICA MERCANTIL.-

    AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES.- Es muy frecuente encontrarnos frases como: “El

    paro subió durante el pasado mes un 3%” o “Este pantalón costaba 40 € y está rebajado un 20%”. La

    primera corresponde a lo que llamamos un aumento porcentual, mientras que la segunda es una disminución

    porcentual. Aunque todos sabemos calcular estos aumentos o disminuciones, vamos a ver de forma general

    como se hace.

    Supongamos que tenemos una cantidad Co a la que se le aplica un aumento porcentual del r%, ¿en qué

    cantidad se transforma?,

    Pasamos de: AumentoCC oo

    El aumento lo podemos calcular con una simple regla de tres, o simplemente aplicando a la

    cantidad inicial el porcentaje dado, es decir: oC100

    rAumento .

    Por tanto la cantidad final será: oo C100

    rCC .

    Sacando factor común:

    100

    r1CC o (Aumento porcentual).

    El mismo razonamiento es válido para la disminución porcentual, la única diferencia es que en

    lugar de aumentar disminuye

    100

    r1CC o (Disminución porcentual).

    La cantidad que aparece entre paréntesis se denomina Índice de variación = 100

    r1IV ,

    de esta forma expresión general queda: IVCC o

    Algunas veces, a la cantidad inicial se le aplica varios aumentos o disminuciones seguidas. Veamos un

    ejemplo: En coste de la vida, en un cierto país, subió el 15% un año y el 6% al año siguiente, y bajó el 5% durante el tercer año. ¿Cuál fue la subida total en esos tres años? Vamos a partir de 100 €

    AÑO Cantidad inicial (€) % IV Cantidad final (€)

    1er año 100 +15 1,15 115

    2º año 115 +6 1,06 121,90

    3er año 121,90 -5 0,95 115,81

    Por tanto hemos pasado de 100 a 115,81, esto equivale a una subida del 15,81%.

    EJERCICIOS: Pág. 54 el 1 / pág. 55 el 2 y 3.

    TASAS Y NÚMEROS INDICES.- (Leer libro)

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-8

    INTERESES BANCARIOS.- Como sabemos, cuando dejamos un dinero al banco, éste no lo deja allí

    depositado, sino que “negocia” con él y paga a los clientes por dejarlo unos intereses. Lo mismo ocurre

    cuando es el banco el que nos presta dinero y nosotros debemos pagarle a él unos intereses.

    El porcentaje que nos paga el banco por depositar un dinero, durante un año, se llama rédito (r%).

    Si inicialmente depositamos en el banco un capital inicial Co al r%, después de un año, esta cantidad sufre un

    aumento porcentual y se convierte en un capital final Cf que era:

    100

    r1CC of

    Si pasan n años, el capital será

    n

    of100

    r1CC

    (n años al r% anual)

    EJERCICIOS: Pág. 57 el 1® .

    Normalmente el banco no tarda un año en pagar los intereses, suele hacerlo al mes, al trimestre, etc. dependiendo de cuando lo hace se llama periodo de amortización al tiempo que pasa desde que se deposita el dinero, hasta que se cobran intereses. Esto significa que como r % es anual:

    Si se pagan los intereses por meses: será el rédito 12

    r% mensual, y por tanto el capital será

    m

    of200.1

    r1CC

    (m meses al r% anual)

    Si se pagan los intereses por días: será el rédito 365

    r% mensual, y por tanto el capital será

    d

    of500.36

    r1CC

    (d días al r% anual)

    EJERCICIOS: Pág. 58 el 1® y 1.

    PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.- Existen conjuntos de números reales que guardan cierta relación entre

    sí, se llaman sucesiones numéricas. Veamos ejemplos:

    1, 3, 5, 7, 9, ... (números impares)

    1, 2, 4, 8, 16, ... (potencias de dos)

    ,9

    1,

    7

    1,

    5

    1,

    3

    1… (inversos de los números impares)

    Algunas veces estas series numéricas se pueden representar mediante una “fórmula”, llamada término

    general, por ejemplo: n

    5n2a

    2

    n

    . Dando valores a n se obtienen los términos (a1, a2, a3, a4, ..., an):

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-9

    7521

    512a

    2

    1

    2

    13

    2

    58

    2

    522a

    2

    2

    3

    23

    3

    518

    3

    532a

    2

    3

    , ...

    Vamos a destacar dos casos muy conocidos, las llamadas progresiones aritméticas y las progresiones

    geométricas.

    En las progresiones aritméticas un término se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija llamada

    diferencia (d).

    En la progresión geométrica, que es en la que nos vamos a fijar:

    Son aquellas sucesiones de números reales, tales que cada uno de sus términos, excepto el

    primero, se obtienen multiplicando el anterior por una cantidad constante, llamada razón (r).

    Su término general tiene la forma 1n

    1n raa , donde an es el término n-ésimo, a1 es el primer

    término y r es la razón.

    Suma de los términos de una progresión geométrica.- La suma de los n primeros términos de

    una progresión geométrica es igual a la diferencia del último an por la razón r, menos el primer

    término a1, dividido por la razón menos 1.

    1r

    araS 1nn

    ( 1r )

    EJERCICIOS: Pág. 62 el 1®, 2®, 1 y 2 / pág. 63 el 1®, 3 y 4.

    EJERCICIOS: Pág. 71 el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 (porcentaje).

    EJERCICIOS: Pág. 71 el 11 / pág. 72 el 14, 15, 16 y 17 (intereses).

    EJERCICIOS: Pág. 73 el 38, 39 y 41 (progresiones).

    EJERCICIOS: Pág. 73 el 1 (AUTOEVALUACIÓN).

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-10

    ÁLGEBRA.-

    LAS IGUALDADES EN ÁLGEBRA.- En álgebra existen dos tipos de igualdades:

    Identidades.- Dos expresiones algebraicas se dice que son identidad, cuando operando en una de

    ellas se llega a la otra. Ej: x1025x)5x( 22 (al desarrollar el binomio llegamos al 2º miembro)

    Ecuaciones.- Dos expresiones algebraicas se dice que son ecuación, cuando operando en una de

    ellas no se llega a la otra. Ej: x12xx 23 (ahora no se puede operar para llegar el 2º miembro)

    REPASO DE POLINOMIOS.- Recordar de forma muy breve los siguientes conceptos:

    Recordar:

    DIVISIÓN DE POLINOMIOS.-

    Dados dos polinomios D(x) y d(x), se pueden encontrar mediante división entera de polinomios otros dos

    polinomios c(x) (cociente) y r(x) (resto) que verifiquen estas dos relaciones:

    D(x) = d(x)·c(x) + r(x)

    Grado r(x)

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-11

    RAICES DE UN POLINOMIO.- Se dice que un número a es una raíz (o cero) del polinomio P(x), si el valor numérico de P(x) para x=a es cero, es decir P(a)=0.

    Un polinomio tiene tantas raíces como indica su grado.

    Los polinomios con coeficientes enteros pueden tener raíces enteras, aunque a veces pueden ser

    fracciones, números irracionales e incluso números complejos (no son números reales). En el primer caso, las raíces enteras coinciden con divisores del término independiente.

    EJEMPLO.- Calcular las raíces de 2xx2x 23 .

    FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO.- Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de

    factores de la forma ...)cx()bx()ax(k , donde a, b, c,... son las raíces del polinomio y k

    es el coeficiente de la x de mayor grado.

    ¡IMPORTANTE!. Algunas veces no es fácil encontrar las raíces del polinomio por no ser estas enteras (son números complejos), en este caso el polinomio se expresa sin factorizar.

    EJERCICIOS: Pág. 79 el 3-a-c-d, 4 y 5.

    FRACCIONES ALGEBRAICAS.- Llamamos fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios, es

    decir )x(Q

    )x(P.

    Como ocurre con cualquier fracción, la algebraica tiene las siguientes características:

    A veces se puede simplificar.- Para ello debemos factorizar numerador y denominador, y

    esperar a que uno o más factores se puedan simplificar. Ej.:

    3x

    5x2x3

    )3x(x

    )5x2x3(x

    x3x

    x5x2x322

    2

    23

    .

    Fracción algebraica irreducible.- Es aquella fracción que no se puede reducir, para ello el

    numerador y el denominador no pueden tener raíces comunes. Ej.: En el ejemplo anterior hemos

    llegado, después de simplificar, a una fracción irreducible.

    Fracciones algebraicas equivalentes.- Son aquellas en las que una se obtiene de la otra

    simplificando (ver ejemplo anterior). Dicho de otra forma, son equivalentes cuando al simplificar las dos, se obtiene la misma fracción. Las fracciones equivalentes se caracterizan porque sus

    productos cruzados coinciden, es decir:

    )x(M)x(Q)x(N)x(P)x(N

    )x(M

    )x(Q

    )x(P

    Reducción a común denominador.- Al igual que en las fracciones numéricas, las algebraicas se

    pueden reducir a común denominador. El proceso es el mismo:

    Se calcula el m.c.m. de los denominadores.

    Vamos pasando de las fracciones iniciales a otras equivalentes que llevan por denominador el m.c.m. calculado antes, y

    por numerador el resultado de dividir el m.c.m. entre cada denominador y multiplicado por el numerador.

    Ej.: )2x(xadoresmindeno.m.c.m)2x(x

    )1x(xy

    )2x(x

    2x

    2x

    1xy

    x

    1

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    Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-12

    Operaciones.- Veamos los ejemplos:

    SUMA y RESTA

    )1x(xadoresmindenolosde.m.c.m

    xx

    5x9xx2......

    )1x(x

    )1x(xx2

    )1x(x

    2x

    )1x(x

    )1x()7x(x2

    xx

    2x

    x

    7x2

    23

    2

    PRODUCTO 1x

    xx3

    )1x()1x(

    x)1x3(

    1x

    x

    1x

    1x32

    2

    COCIENTE 1x

    x2

    )1x()1x(

    xx2

    x

    1x:

    1x

    x22

    32

    2

    EJERCICIOS: Pág.81 el 1, 3, 4 y 5.

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    RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.-

    ECUACIÓN DE PRIMER GRADO.- Vamos a recordarlas con algún ejemplo:

    2x72x2x9x2x32x66

    x2

    6

    x3)1x3(2

    6

    x2

    2

    x

    3

    1x3

    7

    2x

    ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.-

    Definición.- Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación en la que el exponente

    máximo de la incógnita es dos.

    Forma.- Toda ecuación de segundo grado se puede escribir siempre de la forma 0cbxax2

    donde 0a . Los números a, b y c se denominan coeficientes de la ecuación, mientras que x es la

    incógnita.

    Al resolver nuestra ecuación podemos encontrarnos los siguientes casos:

    ECUACIÓN COMPLETA

    0cy,b,aSiendo

    0cbxax2

    Soluciones:

    a2

    ac4bbx

    2

    ECUACIONES INCOMPLETAS

    0cya;0b

    0cax2

    Despejamos x:

    24x;42

    8x;8x2;08x2

    222

    0bya;0c

    0bxax2

    Resolvemos: .0)27x3(x;0x27x3 2

    Dos casos:

    93

    27x;027x3ó0x

    Soluciones de la ecuación.- Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución

    dentro del conjunto de los números reales. Para saber cuantas soluciones tiene la ecuación basta con

    saber el signo del DISCRIMINANTE, que es lo que va dentro de la raíz de la solución general, es

    decir:

    ac4banteminDiscri2 .

    Así:

    DISCRIMINANTE SOLUCIONES EJEMPLO

    0ac4b2 Dos soluciones reales 014x5x2

    0ac4b2 Una solución real doble 09x12x4 2

    0ac4b2 No tiene soluciones reales 03x2x2

    EJERCICIOS: Resolver las ecuaciones de la tabla anterior.

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    APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.-

    Ecuaciones

    bicuadradas

    Llamamos ecuaciones bicuadradas a las

    ecuaciones de la forma 0cbxax 24 .

    Por su forma, muy parecida a la ecuación de

    segundo grado, se resuelve de una forma

    similar.

    Dada la 036x13x 24 .

    Resolviendo como una de 2º grado:

    4x

    9x

    2

    2

    . Por tanto la x será:

    2xy2x

    3xy3x

    43

    21

    .

    EJERCICIOS: Pág. 82 el 1-a y 2-b.

    Resolución de

    sistemas de

    ecuaciones no

    lineales

    Son sistemas que al resolverlos nos conducen a

    una ecuación de segundo grado. ;01yy2;y2y1;y2

    y

    y1

    :Sustituyo.y1xy2

    y

    x

    1yx

    22

    2x,2/1x;1y,2/1y

    EJERCICIOS: Pág. 101 el 37-a.

    Ecuaciones

    racionales

    Son ecuaciones en las que aparecen las

    incógnitas en los denominadores.

    Siempre hay que comprobar las posibles

    soluciones ya que pueden anular el

    denominador, en este caso no son solución.

    ;012x19x5

    ;x12x6xx12x6

    ;)2x(x

    )2x(x6

    )2x(x

    x)1x()2x(6

    ;62x

    1x

    x

    6

    2

    22

    5/4xy3x

    → Valen las dos ya que ninguna anula el denominador.

    EJERCICIOS: Pág. 84 el 5-c y 6-c.

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    Ecuaciones

    irracionales

    con

    radicales

    Son ecuaciones en las que aparecen las

    incógnitas dentro de uno o más radicales.

    Siempre hay que comprobar las posibles

    soluciones ya que pueden dar lugar a raíces con

    el radicando negativo, en este caso no son

    solución.

    11x;11x

    :cuadradoAl;11x

    22

    0x

    → La solución es válida al sustituir se cumple la ecuación inicial.

    EJERCICIOS: Pág. 83 el 3-a-e y 4-d.

    ECUACIONES EXPONENCIALES.- Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente.

    Vamos a ver distintos casos mediante ejemplos:

    a) 27

    13

    2x1 . En este caso expresamos los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma

    base, para después identificar los exponentes.

    3x133

    13

    27

    13

    23

    3

    x1x122

    . Resuelvo y sale 2xy2x

    b) 156x5x2 . Intentamos lo mismo de antes, expresamos los dos miembros de la ecuación como

    potencias de la misma base, para después identificar los exponentes.

    06x5x5515206x5x6x5x

    22

    . Resuelvo y sale 3xy2x

    c) 332x . Ahora no hay forma de expresar el segundo miembro como potencias de dos, por lo que

    nos vemos obligados a tomar logaritmos en ambos miembros:

    33log2logx33log2logx . Despejando

    2log

    33logx

    d) 1222 1xx . En ese caso, al tener dos sumandos, no se puede hacer como antes, en este caso intentamos “deshacer” las exponenciales para después plantear un cambio de variable.

    122221222xx1xx . Hacemos el cambio de variable: x2t .

    De esta forma la ecuación queda: 4t3

    12t12t312t2t .

    Deshacemos el cambio de variable: x2x 2224 2x

    EJERCICIOS: Pág. 85 el 7-a-c y 8-a-b-d.

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    ECUACIONES LOGARÍTMICAS.- Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en una expresión

    afectada por un logaritmo.

    Siempre hay que comprobar las posibles soluciones ya que pueden dar logaritmos de números negativos, que

    no existen, en este caso no son solución.

    Vamos a ver distintos casos mediante ejemplos:

    a) 350logxlog . La cuestión está en conseguir tanto en el primer como en el segundo miembro

    de la ecuación un solo logaritmo, para ello se van aplicando las propiedades de los logaritmos:

    50

    1000x1000x501000log)x50(log350logxlog 20x (Si vale)

    b) 32log)3x(log5 22 . En este caso:

    55525

    222 2)3x(32)3x(32log)3x(log32log)3x(log5

    32x23x 1x (Si vale, al sustituir da positivo)

    c) )x310(logxlog2 . Ahora:

    10x3xx310x)x310(logxlog)x310(logxlog2 222 5xy2x .

    (La solución es x=2 , la x=-5 no vale)

    EJERCICIOS: Pág.86 el 14-b-c (los alumnos deben hacer más).

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    RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.-

    SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.- Es aquel sistema formado por un conjunto de varias

    ecuaciones lineales (las incógnitas solo pueden llevar como exponente el 1) con varias incógnitas. La forma de nombrar un sistema consiste en expresar su número de ecuaciones seguido de su número de incógnitas, así

    tenemos sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, etc. NOTA.- Nosotros estudiáremos fundamentalmente los primeros.

    Solución de un sistema es el conjunto de valores que verifican todas las ecuaciones del sistema.

    Sistemas equivalentes. Son aquellos sistemas que tienen las mismas soluciones. Para obtener

    sistemas equivalentes se pueden aplicar cualquiera de las siguientes transformaciones:

    Métodos de resolución. Nos vamos a ocupar de cuatro: Sustitución, Igualación, Reducción y Gráfico

    (no lo veremos).

    Tipos de sistemas lineales:

    Ej.

    5yx

    8yx

    Ej.

    0yx

    2yx Ej.

    4y2x2

    2yx

    EJERCICIOS: Resolver los tres sistemas puestos como ejemplos, cada uno por un método.

    Multilicar una ecuación del sistema por un número distinto de cero.

    Despejar una incógnita de una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

    Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un

    número cualquiera.

    SISTEMAS

    DE

    ECUACIONES

    COMPATIBLES Tienen solución

    INCOMPATIBLES No tienen solución

    DETERMINADO Una solución

    INDETERMINADO Infinitas soluciones

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    MÉTODO DE GAUSS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.- El método de Gauss consiste en

    ir transformando el sistema en otros equivalentes, hasta escalonarlo (en realidad es una generalización del método de reducción).

    Veamos cómo se hacen estas transformaciones entre filas, con los siguientes ejemplos:

    81z13y10

    6zy

    21z4y3x

    81z13y10

    30z5y5

    21z4y3x

    30z5y5

    81z13y10

    21z4y3x

    12z3yx2

    18zyx3

    21z4y3x

    )3()2()1(

    21z3

    6zy

    21z4y3x

    )4(

    De la tercera ecuación 73

    21z

    .

    Sustituyo en la segunda 176y67y .

    Por último sustituyo estos dos valores en la primera 428321x21283x .

    Solución 7z,1y,4x

    8zy4x6

    2yx2

    3x3

    8zy4x6

    2yx2

    23y10x23

    8zy4x6

    26y13x26

    23y10x23

    8zy4x6

    6z4y3x2

    1z3y2x5

    )3()2()1(

    De la primera ecuación 13

    3x .

    Sustituyo en la segunda 0y022y2y2 .

    Por último sustituyo estos dos valores en la tercera 268z8z06 .

    Solución 2z,0y,1x

    EJERCICIOS: Pág. 91 el IV y V –resueltos-.

    SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES NO LINEALES.- En este caso la clasificación, según el número

    de soluciones que hemos visto anteriormente, ya no es válida. Además en estos casos, casi siempre, el método más apropiado es el de sustitución. Veamos ejemplos.

    EJERCICIOS: Pág.87 1-a ® y 1-b ® / pág. 88 el 3-d.

    1) Dejo igual la 1ª ecuación, la 2ª es la 1ª por -3 más la 2ª y la 3ª es la 1º por -2 más la 3ª.

    2) Cambio entre si la 2º y 3º ecuación.

    3) Simplifico la 2ª ecuación entre 5.

    4) Dejo igual la 1ª y 2ª ecuaciones, la 3ª es la 2ª por -10 más la 3ª.

    1) Dejo igual la 3ª ecuación, la 2ª es la 3ª por 4 más la 2ª y la 1ª es la 3º por 3 más la 1ª.

    2) Simplifico la 2ªecuación entre 13.

    3) Dejo la 2ª y 3ª igual y la 1ª la cambio por la 2ª multiplicada por -10 más la 1ª.

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    INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES (con ejemplos).-

    INECUACIONES.-

    Inecuación.- Es una desigualdad en las que aparecen números y letras, llamadas incógnitas.

    Operaciones con inecuaciones.- Al operar con una inecuación hay que tener en cuenta lo siguiente:

    1) Una inecuación no varía cuando en los dos miembros se suma o resta un mismo número. La

    inecuación tampoco varía si se multiplican los dos miembros por un número positivo.

    2) Una inecuación cambia de sentido cuando los dos miembros se multiplican ó dividen por un

    número negativo (en el caso de dividir, debe ser un número distinto de cero).

    Ejemplo: ;4x2;15x2;51x2

    Divido entre -2 : ;2

    4x

    luego 2x

    Pueden darse distintas posibilidades:

    INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA.-

    EJERCICIOS: Pág.92 el 1®, 2®, 1-d, 2-a y 2-b.

    INECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCOGNITA.-

    EJERCICIOS: Pág.93 el 1®, 3, 3® y 4-b.

    INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS.-

    EJERCICIOS: Pág.94 el 1®, 3®, 1-a, 1-b, 2-a y 2-b.

    SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS.-

    EJERCICIOS: Pág.95 el 1®-a y 3-f.

    EJERCICIOS: Pág.103 el 3-a y 5-a (Autoevaluación).