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INSTITUTO DE ENSEÑANZA SECUNDARIA “LÓPEZ NEYRA” DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS (CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-1 NÚMEROS REALES .- NÚMEROS REALES .- Es el conjunto numérico formado por los números racionales Q y los números irracionales I. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES .- Según la definición anterior podemos establecer la siguiente clasificación: N + (Naturales +) } ,... 4 , 3 , 2 , 1 { Q (Racionales) Z (Enteros) Cero } 0 { N - (Naturales -) R (Reales) } ,... 4 , 3 , 2 , 1 { Fraccionarios ,.... 3 7 , 25 . 0 , 2 1 I (Irracionales) ,... , 2 , 3 EJERCICIOS: Pág.32 ejercicios propuestos Reflexiona y resuelve- y otro propuesto por el profesor. RECORDEMOS ALGUNAS COSAS DE LOS NÚMEROS RACIONALES .-Todo número racional se puede expresar como un número decimal o como fracción. Recordemos como se pasa de uno a otro: DIVISIÓN REGLAS EJEMPLOS: Pasar varias fracciones propuestas por el profesor a número decimal y viceversa. NÚMERO DECIMAL FRACCIÓN Decimal exacto.- Se suprime la coma decimal, y se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal. Decimal periódico puro.- Se suprime la como decimal, se le resta la parte entera y se divide el resultado por tantos nueves como cifras tiene el período. Decimal periódico mixto.- Se suprime la coma, se le resta la parte entera seguida del anteperiodo, y se divide el resultado por tantos nueves como cifras tiene el período, seguidas de tantos ceros como cifras tiene el anteperiodo. NÚMEROS COMPLEJOS .- En los siglos XV y XVI los algebristas buscan la solución de algunas ecuaciones similares a 0 1 x 2 . Las soluciones tienen la forma 1 x . Más tarde se empezaron a manejar números de la forma 1 2 5 . Todos estos números no son números reales, por este motivo se vio la necesidad de ampliar dicho conjunto, a los nuevos números se les llamó números complejos (No se estudian en este curso ).

TEMA 1: NÚMEROS REALES · 2018. 7. 9. · NÚMEROS REALES.- NÚMEROS REALES.- Es el conjunto numérico formado por los números racionales Q y los números irracionales I. CLASIFICACIÓN

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(CÓRDOBA) Profesor: Fco. Javier del Rey Pulido

Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-1

NÚMEROS REALES.-

NÚMEROS REALES.- Es el conjunto numérico formado por los números racionales Q y los números

irracionales I.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.- Según la definición anterior podemos establecer la

siguiente clasificación:

N+ (Naturales +) },...4,3,2,1{

Q (Racionales) Z (Enteros) Cero }0{

N- (Naturales -)

R (Reales) },...4,3,2,1{

Fraccionarios

,....3

7,25.0,

2

1

I (Irracionales) ,...,2,3

EJERCICIOS: Pág.32 ejercicios propuestos –Reflexiona y resuelve- y otro propuesto por el profesor.

RECORDEMOS ALGUNAS COSAS DE LOS NÚMEROS RACIONALES.-Todo número racional se puede

expresar como un número decimal o como fracción. Recordemos como se pasa de uno a otro:

DIVISIÓN

REGLAS

EJEMPLOS: Pasar varias fracciones propuestas por el profesor a número decimal y viceversa.

NÚMERO

DECIMAL

FRACCIÓN

Decimal exacto.- Se suprime la coma decimal, y se divide por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal.

Decimal periódico puro.- Se suprime la como decimal, se le resta la parte entera y se divide el

resultado por tantos nueves como cifras tiene el período. Decimal periódico mixto.- Se suprime la coma, se le resta la parte entera seguida del anteperiodo, y

se divide el resultado por tantos nueves como cifras tiene el período, seguidas de tantos ceros como

cifras tiene el anteperiodo.

NÚMEROS COMPLEJOS.-

En los siglos XV y XVI los algebristas buscan la solución de algunas ecuaciones similares a 01x2 . Las soluciones

tienen la forma 1x . Más tarde se empezaron a manejar números de la forma 125 .

Todos estos números no son números reales, por este motivo se vio la necesidad de ampliar dicho conjunto, a los nuevos

números se les llamó números complejos (No se estudian en este curso).

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-2

INTERVALOS EN LA RECTA REAL.- Los números reales se pueden representar en una recta, al hacerlo

aparecen los llamados intervalos:

Intervalo abierto: (a,b) bxa

a b

Intervalo cerrado: [a,b] bxa

a b

[a,b) bxa

Intervalos semiabiertos a b

o semicerrados

(a,b] bxa

a b

EJERCICIOS: Pág.33 ejercicios 1 ® y 1.

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL.- Dado un número real a, se define su “valor absoluto de a”

como:

0asia

0asiaa

EJERCICIOS: Pág.33 ejercicios 2 ® y 2 –algunos-.

NÚMEROS IRRACIONALES.- Son números cuya expresión decimal tienen infinitas cifras decimales no

periódicas.

Normalmente raíces como ,....2,2 3 , aunque algunos son números muy conocidos en

matemáticas como ....7182818,2eo....1415926535,3 .

Representación gráfica:

Ej. Representar el número .....4142135623,12 . Nos basamos, en este caso, en un cuadrado de lado 1:

2

Según el Teorema de Pitágoras: 211d222 2d

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-3

RADICALES. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL.- En general, la raíz n-sima de un número real

a, que simbolizamos por n a , es otro número b, que elevado a la potencia n nos da a, esto es:

abbann

El número n es un número natural mayor que 1 y se llama índice de la raíz.

El símbolo es el símbolo de la raíz, se llama radical.

El número a se llama radicando.

RAÍCES CUADRADAS.- Dado un número real positivo a, la ecuación x2=a tiene dos soluciones

ax,ax que se llaman raíces cuadradas de a.

RAÍCES CÚBICAS.- Dado un número real cualquiera a, la ecuación x3=a tiene una solución, que se

simboliza por 3 a y que se llama raíz cúbica de a.

En general:

EJEMPLOS: 33 884

PROPIEDADES DE LOS RADICALES.-

1) SUMA.- Solo podemos sumar radicales semejantes. Ej: 3433348273

2) PRODUCTO.- Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se multiplican los dos radicandos.

nnn baba .

3) COCIENTE.- Para dividir radicales del mismo índice se deja el mismo índice y se dividen los radicandos . nn

n

b

a

b

a .

4) POTENCIA.- Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando. n mm

n aa .

5) RADICACIÓN.- Para hallar la raíz de otra raíz se deja el mismo radicando y se multiplican los índices. mnm n aa .

6) Toda potencia de exponente fraccionario es igual a una raíz que tiene por índice el denominador y por exponente el

numerador: 2nconaaam

nn mnm .

Dado un número real a cualquiera y un número natural n, la ecuación xn=a tiene:

Dos soluciones, una positiva n a y otra negativa

n a , si n es par y a positiva.

Una solución n a , si n es impar y a es un número real cualquiera positivo o negativo.

Ninguna solución real si n es par y a negativo.

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-4

RADICALES EQUIVALENTES.- Dos radicales son equivalentes cuando tienen las mismas raíces.

Ej: 543 243812793

De esta definición se pueden deducir algunas cosas importantes:

Simplificación de radicales.- Para simplificar un radical se dividen el índice y el exponente

del radicando por un divisor común. n mnp mp

aa

Reducción de radicales a común índice.- Para reducir dos o más radicales a común índice se

buscan otros radicales equivalentes a los primeros y que tengan todos ellos el mismo índice.

Ej: 4 53 47,5,3 . Vamos a reducir estos radicales al mismo índice:

Calculamos el m.c.m. de los índices (2,3,4) = 12.

Los radicales equivalentes a los anteriores, pero con el mismo índice, se obtienen:

Colocando como índice común el m.c.m. obtenido.

Y como exponente del radicando, el resultado de dividir ese m.c.m. común, entre cada uno de

los índices iniciales, y el resultado multiplicado por cada uno de los exponentes que tenían

inicialmente.

En este caso se obtienen 12 1512 1612 67,5,3

Extracción de factores de un radical.- Veamos algún ejemplo: 33 3752752

EJERCICIOS: Pág. 34 el 1, 2, 3 y 4 / pág. 35 el 5, 6, 7 y 8 –algunos-.

RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.-Racionalizar es transformar una fracción con radicales en

el denominador, en otra equivalente cuyo denominador no los contenga.

REGLAS GENERALES:

1) Cuando solo hay un sumando en el denominador.- Se multiplica numerador y denominador por dicha raíz.

NOTA.- Esto si son raíces cuadradas.

2) Cuando hay dos sumandos en el denominador.- Se multiplica numerador y denominador por el conjugado del

denominado.

Ej: Racionalizar 53

6y

3

5

.

EJERCICIOS: Pág. 36 el del 9 y 10 –algunos-.

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-5

LOGARITMOS. PROPIEDADES.- Sea 1ay0a , definimos el logaritmo en base a de un número P, y lo

designamos como Ploga , como el número al que hay que elevar la base a para que se obtenga P. Es decir:

pabplogb

a

Ejemplos:

38log2 ya que 328 3

8

1log2 ya que 3

32

2

1

8

1

225log5 ya que 2525 2

25

1log5 ya que 2

25

5

1

25

1

4000.10log10 ya que 410000.10 40001,0log10 ya que 4

10000.10

10001,0

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS.-

1. Logaritmo de la base: 1aloga . El logaritmo en base a de a es uno.

2. Logaritmo de la unidad: 01loga . El logaritmo de la unidad es cero.

3. Logaritmo de un producto: BlogAlog)BA(log aaa . El logaritmo de un producto de varios factores es igual

a la suma de los logaritmos de cada uno de los factores.

4. Logaritmo de un cociente: BlogAlogB

Alog aaa

. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los

logaritmos del numerador y del denominador.

5. Logaritmo de una potencia: AlognAlog an

a . El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente

por el logaritmo de la base.

Este caso se puede aplicar también al logaritmo de una raíz, basta con expresar dicha raíz en forma de

potencia. Ejemplo: n

AlogAlog

n

1AlogAlog a

an

1

an

a

6. Cambio de base: Por último vamos a indicar como podemos pasar de un logaritmo en cualquier base otro

en la base decimal: alog

xlogxloga

LOGARITMOS MAS IMPORTANTES: DECIMALES Y NEPERIANOS.-Dentro de los logaritmos que

nos podemos encontrar existen dos que destacan:

1) Los de base 10, denominados logarítmos decimales. Se expresan loglog10

2) Los de base e, llamados logaritmos neperianos. Se expresan lnloge

EJERCICIOS: Pág. 39 el 1 –algunos-, 3, 4 y 5 / pág. 49 el 30, 31, 32 y 33 / pág. 50 el 36, 37 y 38.

Los logaritmos anteriores son los que suelen traer las calculadoras, a partir de ahora

de ahora nos ocuparemos de los decimales que son los más utilizados.

e se llama el número e. Su valor es e=2,718281...

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-6

EXPRESIÓN DECIMAL DE NÚMEROS REALES: APROXIMACIONES.- Los números reales reflejan con

absoluta precisión el resultado de un cálculo teórico, por ejemplo, podemos obtener un números como:

...,13

53,

5

23,625,3 3

Vamos a fijarnos en este último: 13

53 . Si calculamos su valor real sale ...621111091́

13

53

Este valor, en la práctica es poco operativo al tener infinitos decimales, por ello es necesario tomar un valor

aproximado: 6211́ó621́ó61́ etc. Se dice que hemos aproximado, respectivamente, con 2, 3 ó 4

cifras significativas.

Al pasar del valor exacto al aproximado se producirá un error que será mayor o menor dependiendo de la

aproximación que se ha tomado.

Existen dos tipos de errores:

aproximadoValor)exacto(realValorabsolutoError realValor

absolutoErrorrelativoError

Para que las cantidades aproximadas sean fiables, el error que se comete debe estar controlado, es decir,

debe ser menor que cierta cantidad llamada cota de error. Por ejemplo, si la aproximación ha sido 1´6,

como la segunda cifra es la décima, tomamos 0´1:2 = 0´05.

RESUMEN.- Tomando las aproximaciones anteriores, sus correspondientes errores y cotas serán:

Valor real ó exacto ...621111091́13

53

Valores aproximados 1´6 1´62 1´621

Errores absolutos 0´02 0´001 0´0001

Cotas de error absoluto 0´1:2 = 0´05 0´01:2 = 0´005 0´001:2 = 0´0005

Como vemos los errores absolutos son menores que la cota de error.

EJERCICIO: Pág. 41, el 1 (resuelto).

NOTACIÓN CIENTÍFICA. SU USO EN LA CALCULADORA.- En determinadas áreas de la ciencia

(Física, Química, Biología, …) aparecen números reales que o bien son muy grandes (Ej: distancia entre dos estrellas) o bien muy pequeños (Ej: masa de un electrón), estas características los hacen bastante

incómodos a la hora de expresarlos, es por ello por lo que se recurre a la llamada notación científica.

Ejemplos: Volumen de la Tierra = 1.080.000.000.000.000.000 m3 = 1´08 x 1018 m3

Diámetro de un virus = 0´000000003 m = 3´0 x 10-9 m

NOTA.- El número decimal que va delante solo puede tener una cifra en la parte entera.

Cada alumno debe saber manejar su propia calculadora.

EJERCICIOS: Pág. 42 el 4. EJERCICIOS: Pág. 48 a 51 –algunos-, el 26-b.

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-7

ARITMÉTICA MERCANTIL.-

AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES.- Es muy frecuente encontrarnos frases como: “El

paro subió durante el pasado mes un 3%” o “Este pantalón costaba 40 € y está rebajado un 20%”. La

primera corresponde a lo que llamamos un aumento porcentual, mientras que la segunda es una disminución

porcentual. Aunque todos sabemos calcular estos aumentos o disminuciones, vamos a ver de forma general

como se hace.

Supongamos que tenemos una cantidad Co a la que se le aplica un aumento porcentual del r%, ¿en qué

cantidad se transforma?,

Pasamos de: AumentoCC oo

El aumento lo podemos calcular con una simple regla de tres, o simplemente aplicando a la

cantidad inicial el porcentaje dado, es decir: oC100

rAumento .

Por tanto la cantidad final será: oo C100

rCC .

Sacando factor común:

100

r1CC o (Aumento porcentual).

El mismo razonamiento es válido para la disminución porcentual, la única diferencia es que en

lugar de aumentar disminuye

100

r1CC o (Disminución porcentual).

La cantidad que aparece entre paréntesis se denomina Índice de variación = 100

r1IV ,

de esta forma expresión general queda: IVCC o

Algunas veces, a la cantidad inicial se le aplica varios aumentos o disminuciones seguidas. Veamos un

ejemplo: En coste de la vida, en un cierto país, subió el 15% un año y el 6% al año siguiente, y bajó el 5% durante el tercer año. ¿Cuál fue la subida total en esos tres años? Vamos a partir de 100 €

AÑO Cantidad inicial (€) % IV Cantidad final (€)

1er año 100 +15 1,15 115

2º año 115 +6 1,06 121,90

3er año 121,90 -5 0,95 115,81

Por tanto hemos pasado de 100 a 115,81, esto equivale a una subida del 15,81%.

EJERCICIOS: Pág. 54 el 1 / pág. 55 el 2 y 3.

TASAS Y NÚMEROS INDICES.- (Leer libro)

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-8

INTERESES BANCARIOS.- Como sabemos, cuando dejamos un dinero al banco, éste no lo deja allí

depositado, sino que “negocia” con él y paga a los clientes por dejarlo unos intereses. Lo mismo ocurre

cuando es el banco el que nos presta dinero y nosotros debemos pagarle a él unos intereses.

El porcentaje que nos paga el banco por depositar un dinero, durante un año, se llama rédito (r%).

Si inicialmente depositamos en el banco un capital inicial Co al r%, después de un año, esta cantidad sufre un

aumento porcentual y se convierte en un capital final Cf que era:

100

r1CC of

Si pasan n años, el capital será

n

of100

r1CC

(n años al r% anual)

EJERCICIOS: Pág. 57 el 1® .

Normalmente el banco no tarda un año en pagar los intereses, suele hacerlo al mes, al trimestre, etc.

dependiendo de cuando lo hace se llama periodo de amortización al tiempo que pasa desde que se deposita el dinero, hasta que se cobran intereses. Esto significa que como r % es anual:

Si se pagan los intereses por meses: será el rédito 12

r% mensual, y por tanto el capital será

m

of200.1

r1CC

(m meses al r% anual)

Si se pagan los intereses por días: será el rédito 365

r% mensual, y por tanto el capital será

d

of500.36

r1CC

(d días al r% anual)

EJERCICIOS: Pág. 58 el 1® y 1.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.- Existen conjuntos de números reales que guardan cierta relación entre

sí, se llaman sucesiones numéricas. Veamos ejemplos:

1, 3, 5, 7, 9, ... (números impares)

1, 2, 4, 8, 16, ... (potencias de dos)

,9

1,

7

1,

5

1,

3

1… (inversos de los números impares)

Algunas veces estas series numéricas se pueden representar mediante una “fórmula”, llamada término

general, por ejemplo: n

5n2a

2

n

. Dando valores a n se obtienen los términos (a1, a2, a3, a4, ..., an):

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-9

7521

512a

2

1

2

13

2

58

2

522a

2

2

3

23

3

518

3

532a

2

3

, ...

Vamos a destacar dos casos muy conocidos, las llamadas progresiones aritméticas y las progresiones

geométricas.

En las progresiones aritméticas un término se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija llamada

diferencia (d).

En la progresión geométrica, que es en la que nos vamos a fijar:

Son aquellas sucesiones de números reales, tales que cada uno de sus términos, excepto el

primero, se obtienen multiplicando el anterior por una cantidad constante, llamada razón (r).

Su término general tiene la forma 1n

1n raa , donde an es el término n-ésimo, a1 es el primer

término y r es la razón.

Suma de los términos de una progresión geométrica.- La suma de los n primeros términos de

una progresión geométrica es igual a la diferencia del último an por la razón r, menos el primer

término a1, dividido por la razón menos 1.

1r

araS 1n

n

( 1r )

EJERCICIOS: Pág. 62 el 1®, 2®, 1 y 2 / pág. 63 el 1®, 3 y 4.

EJERCICIOS: Pág. 71 el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9 (porcentaje).

EJERCICIOS: Pág. 71 el 11 / pág. 72 el 14, 15, 16 y 17 (intereses).

EJERCICIOS: Pág. 73 el 38, 39 y 41 (progresiones).

EJERCICIOS: Pág. 73 el 1 (AUTOEVALUACIÓN).

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-10

ÁLGEBRA.-

LAS IGUALDADES EN ÁLGEBRA.- En álgebra existen dos tipos de igualdades:

Identidades.- Dos expresiones algebraicas se dice que son identidad, cuando operando en una de

ellas se llega a la otra. Ej: x1025x)5x(22 (al desarrollar el binomio llegamos al 2º miembro)

Ecuaciones.- Dos expresiones algebraicas se dice que son ecuación, cuando operando en una de

ellas no se llega a la otra. Ej: x12xx23 (ahora no se puede operar para llegar el 2º miembro)

REPASO DE POLINOMIOS.- Recordar de forma muy breve los siguientes conceptos:

Recordar:

DIVISIÓN DE POLINOMIOS.-

Dados dos polinomios D(x) y d(x), se pueden encontrar mediante división entera de polinomios otros dos

polinomios c(x) (cociente) y r(x) (resto) que verifiquen estas dos relaciones:

D(x) = d(x)·c(x) + r(x)

Grado r(x)<grado d(x)

EJERCICIOS: Pág. 99 el 1-a-d.

REGLA DE RUFFINI.- La división de polinomios, en las cuales el divisor es de la forma (x-a), siendo a un número real, se pueden hacer de la forma habitual, pero es más sencilla y rápida de usar la regla de

Ruffini.

Veamos un ejemplo: )2x(:)1x3x8x( 24

Aplico Ruffini 1 0 -8 3 -1

2 2 4 -8 -10 Cociente: 5x4x2x 23

1 2 -4 -5 -11 Resto: 11 EJERCICIOS: Pág. 77 el 1-b-d.

TEOREMA DEL RESTO.- El resto de la división de un polinomio P(x) por (x-a) es igual al valor numérico

del polinomio P(x) para x=a. Es decir r(x)=P(a).

EJERCICIOS: Pág. 77 el 2-a.

Polinomios

Suma de polinomios

Diferencia de polinomios

Producto de polinomios

Valor numérico de un polinomio.

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-11

RAICES DE UN POLINOMIO.- Se dice que un número a es una raíz (o cero) del polinomio P(x), si el

valor numérico de P(x) para x=a es cero, es decir P(a)=0.

Un polinomio tiene tantas raíces como indica su grado.

Los polinomios con coeficientes enteros pueden tener raíces enteras, aunque a veces pueden ser

fracciones, números irracionales e incluso números complejos (no son números reales). En el primer

caso, las raíces enteras coinciden con divisores del término independiente.

EJEMPLO.- Calcular las raíces de 2xx2x23 .

FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO.- Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de

factores de la forma ...)cx()bx()ax(k , donde a, b, c,... son las raíces del polinomio y k

es el coeficiente de la x de mayor grado.

¡IMPORTANTE!. Algunas veces no es fácil encontrar las raíces del polinomio por no ser estas enteras (son números complejos), en este caso el polinomio

se expresa sin factorizar.

EJERCICIOS: Pág. 79 el 3-a-c-d, 4 y 5.

FRACCIONES ALGEBRAICAS.- Llamamos fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios, es

decir )x(Q

)x(P.

Como ocurre con cualquier fracción, la algebraica tiene las siguientes características:

A veces se puede simplificar.- Para ello debemos factorizar numerador y denominador, y

esperar a que uno o más factores se puedan simplificar. Ej.:

3x

5x2x3

)3x(x

)5x2x3(x

x3x

x5x2x322

2

23

.

Fracción algebraica irreducible.- Es aquella fracción que no se puede reducir, para ello el

numerador y el denominador no pueden tener raíces comunes. Ej.: En el ejemplo anterior hemos

llegado, después de simplificar, a una fracción irreducible.

Fracciones algebraicas equivalentes.- Son aquellas en las que una se obtiene de la otra

simplificando (ver ejemplo anterior). Dicho de otra forma, son equivalentes cuando al simplificar

las dos, se obtiene la misma fracción. Las fracciones equivalentes se caracterizan porque sus

productos cruzados coinciden, es decir:

)x(M)x(Q)x(N)x(P)x(N

)x(M

)x(Q

)x(P

Reducción a común denominador.- Al igual que en las fracciones numéricas, las algebraicas se

pueden reducir a común denominador. El proceso es el mismo:

Se calcula el m.c.m. de los denominadores.

Vamos pasando de las fracciones iniciales a otras equivalentes que llevan por denominador el m.c.m. calculado antes, y

por numerador el resultado de dividir el m.c.m. entre cada denominador y multiplicado por el numerador.

Ej.: )2x(xadoresmindeno.m.c.m)2x(x

)1x(xy

)2x(x

2x

2x

1xy

x

1

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Aritmética y álgebra MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES (1º Bachillerato) HOJA-12

Operaciones.- Veamos los ejemplos:

SUMA y RESTA

)1x(xadoresmindenolosde.m.c.m

xx

5x9xx2......

)1x(x

)1x(xx2

)1x(x

2x

)1x(x

)1x()7x(x2

xx

2x

x

7x2

23

2

PRODUCTO 1x

xx3

)1x()1x(

x)1x3(

1x

x

1x

1x32

2

COCIENTE 1x

x2

)1x()1x(

xx2

x

1x:

1x

x22

32

2

EJERCICIOS: Pág.81 el 1, 3, 4 y 5.

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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES.-

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO.- Vamos a recordarlas con algún ejemplo:

2x72x2x9x2x32x66

x2

6

x3)1x3(2

6

x2

2

x

3

1x3

7

2x

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.-

Definición.- Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación en la que el exponente

máximo de la incógnita es dos.

Forma.- Toda ecuación de segundo grado se puede escribir siempre de la forma 0cbxax2

donde 0a . Los números a, b y c se denominan coeficientes de la ecuación, mientras que x es la

incógnita.

Al resolver nuestra ecuación podemos encontrarnos los siguientes casos:

ECUACIÓN COMPLETA

0cy,b,aSiendo

0cbxax2

Soluciones:

a2

ac4bbx

2

ECUACIONES INCOMPLETAS

0cya;0b

0cax2

Despejamos x:

24x;42

8x;8x2;08x2

222

0bya;0c

0bxax2

Resolvemos: .0)27x3(x;0x27x32

Dos casos:

93

27x;027x3ó0x

Soluciones de la ecuación.- Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución

dentro del conjunto de los números reales. Para saber cuantas soluciones tiene la ecuación basta con

saber el signo del DISCRIMINANTE, que es lo que va dentro de la raíz de la solución general, es

decir:

ac4banteminDiscri2 .

Así:

DISCRIMINANTE SOLUCIONES EJEMPLO

0ac4b2 Dos soluciones reales 014x5x

2

0ac4b2 Una solución real doble 09x12x4

2

0ac4b2 No tiene soluciones reales 03x2x

2

EJERCICIOS: Resolver las ecuaciones de la tabla anterior.

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APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.-

Ecuaciones

bicuadradas

Llamamos ecuaciones bicuadradas a las

ecuaciones de la forma 0cbxax24 .

Por su forma, muy parecida a la ecuación de

segundo grado, se resuelve de una forma

similar.

Dada la 036x13x24 .

Resolviendo como una de 2º grado:

4x

9x

2

2

. Por tanto la x será:

2xy2x

3xy3x

43

21

.

EJERCICIOS: Pág. 82 el 1-a y 2-b.

Resolución de

sistemas de

ecuaciones no

lineales

Son sistemas que al resolverlos nos conducen a

una ecuación de segundo grado. ;01yy2;y2y1;y2

y

y1

:Sustituyo.y1xy2

y

x

1yx

22

2x,2/1x;1y,2/1y

EJERCICIOS: Pág. 101 el 37-a.

Ecuaciones

racionales

Son ecuaciones en las que aparecen las

incógnitas en los denominadores.

Siempre hay que comprobar las posibles

soluciones ya que pueden anular el

denominador, en este caso no son solución.

;012x19x5

;x12x6xx12x6

;)2x(x

)2x(x6

)2x(x

x)1x()2x(6

;62x

1x

x

6

2

22

5/4xy3x

→ Valen las dos ya que ninguna anula el

denominador.

EJERCICIOS: Pág. 84 el 5-c y 6-c.

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Ecuaciones

irracionales

con

radicales

Son ecuaciones en las que aparecen las

incógnitas dentro de uno o más radicales.

Siempre hay que comprobar las posibles

soluciones ya que pueden dar lugar a raíces con

el radicando negativo, en este caso no son

solución.

11x;11x

:cuadradoAl;11x

22

0x

→ La solución es válida al sustituir se cumple

la ecuación inicial.

EJERCICIOS: Pág. 83 el 3-a-e y 4-d.

ECUACIONES EXPONENCIALES.- Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente.

Vamos a ver distintos casos mediante ejemplos:

a) 27

13

2x1 . En este caso expresamos los dos miembros de la ecuación como potencias de la misma

base, para después identificar los exponentes.

3x133

13

27

13

23

3

x1x122

. Resuelvo y sale 2xy2x

b) 156x5x2

. Intentamos lo mismo de antes, expresamos los dos miembros de la ecuación como

potencias de la misma base, para después identificar los exponentes.

06x5x5515206x5x6x5x

22

. Resuelvo y sale 3xy2x

c) 332x . Ahora no hay forma de expresar el segundo miembro como potencias de dos, por lo que

nos vemos obligados a tomar logaritmos en ambos miembros:

33log2logx33log2logx . Despejando

2log

33logx

d) 12221xx . En ese caso, al tener dos sumandos, no se puede hacer como antes, en este caso

intentamos “deshacer” las exponenciales para después plantear un cambio de variable.

122221222xx1xx . Hacemos el cambio de variable: x

2t .

De esta forma la ecuación queda: 4t3

12t12t312t2t .

Deshacemos el cambio de variable: x2x2224 2x

EJERCICIOS: Pág. 85 el 7-a-c y 8-a-b-d.

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS.- Son aquellas ecuaciones en las que la incógnita está en una expresión

afectada por un logaritmo.

Siempre hay que comprobar las posibles soluciones ya que pueden dar logaritmos de números negativos, que

no existen, en este caso no son solución.

Vamos a ver distintos casos mediante ejemplos:

a) 350logxlog . La cuestión está en conseguir tanto en el primer como en el segundo miembro

de la ecuación un solo logaritmo, para ello se van aplicando las propiedades de los logaritmos:

50

1000x1000x501000log)x50(log350logxlog 20x (Si vale)

b) 32log)3x(log5 22 . En este caso:

5552

5222 2)3x(32)3x(32log)3x(log32log)3x(log5

32x23x 1x (Si vale, al sustituir da positivo)

c) )x310(logxlog2 . Ahora:

10x3xx310x)x310(logxlog)x310(logxlog2222 5xy2x .

(La solución es x=2 , la x=-5 no vale)

EJERCICIOS: Pág.86 el 14-b-c (los alumnos deben hacer más).

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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES.-

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.- Es aquel sistema formado por un conjunto de varias

ecuaciones lineales (las incógnitas solo pueden llevar como exponente el 1) con varias incógnitas. La forma de

nombrar un sistema consiste en expresar su número de ecuaciones seguido de su número de incógnitas, así

tenemos sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, etc. NOTA.- Nosotros

estudiáremos fundamentalmente los primeros.

Solución de un sistema es el conjunto de valores que verifican todas las ecuaciones del sistema.

Sistemas equivalentes. Son aquellos sistemas que tienen las mismas soluciones. Para obtener

sistemas equivalentes se pueden aplicar cualquiera de las siguientes transformaciones:

Métodos de resolución. Nos vamos a ocupar de cuatro: Sustitución, Igualación, Reducción y Gráfico

(no lo veremos).

Tipos de sistemas lineales:

Ej.

5yx

8yx

Ej.

0yx

2yx Ej.

4y2x2

2yx

EJERCICIOS: Resolver los tres sistemas puestos como ejemplos, cada uno por un método.

Multilicar una ecuación del sistema por un número distinto de cero.

Despejar una incógnita de una ecuación y sustituir la expresión obtenida en la otra ecuación.

Sumar una ecuación a otra previamente multiplicada por un

número cualquiera.

SISTEMAS

DE

ECUACIONES

COMPATIBLES Tienen solución

INCOMPATIBLES No tienen solución

DETERMINADO Una solución

INDETERMINADO Infinitas soluciones

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MÉTODO DE GAUSS PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.- El método de Gauss consiste en

ir transformando el sistema en otros equivalentes, hasta escalonarlo (en realidad es una generalización del método de reducción).

Veamos cómo se hacen estas transformaciones entre filas, con los siguientes ejemplos:

81z13y10

6zy

21z4y3x

81z13y10

30z5y5

21z4y3x

30z5y5

81z13y10

21z4y3x

12z3yx2

18zyx3

21z4y3x

)3()2()1(

21z3

6zy

21z4y3x

)4(

De la tercera ecuación 73

21z

.

Sustituyo en la segunda 176y67y .

Por último sustituyo estos dos valores en la primera 428321x21283x .

Solución 7z,1y,4x

8zy4x6

2yx2

3x3

8zy4x6

2yx2

23y10x23

8zy4x6

26y13x26

23y10x23

8zy4x6

6z4y3x2

1z3y2x5

)3()2()1(

De la primera ecuación 13

3x .

Sustituyo en la segunda 0y022y2y2 .

Por último sustituyo estos dos valores en la tercera 268z8z06 .

Solución 2z,0y,1x

EJERCICIOS: Pág. 91 el IV y V –resueltos-.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES NO LINEALES.- En este caso la clasificación, según el número

de soluciones que hemos visto anteriormente, ya no es válida. Además en estos casos, casi siempre, el

método más apropiado es el de sustitución. Veamos ejemplos.

EJERCICIOS: Pág.87 1-a ® y 1-b ® / pág. 88 el 3-d.

1) Dejo igual la 1ª ecuación, la 2ª es la 1ª por -3 más la 2ª y la 3ª es la 1º por -2 más la 3ª.

2) Cambio entre si la 2º y 3º ecuación.

3) Simplifico la 2ª ecuación entre 5.

4) Dejo igual la 1ª y 2ª ecuaciones, la 3ª es la 2ª por -10 más la 3ª.

1) Dejo igual la 3ª ecuación, la 2ª es la 3ª por 4 más la 2ª y la 1ª es la 3º por 3 más la 1ª.

2) Simplifico la 2ªecuación entre 13.

3) Dejo la 2ª y 3ª igual y la 1ª la cambio por la 2ª multiplicada por -10 más la 1ª.

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INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES (con ejemplos).-

INECUACIONES.-

Inecuación.- Es una desigualdad en las que aparecen números y letras, llamadas incógnitas.

Operaciones con inecuaciones.- Al operar con una inecuación hay que tener en cuenta lo siguiente:

1) Una inecuación no varía cuando en los dos miembros se suma o resta un mismo número. La

inecuación tampoco varía si se multiplican los dos miembros por un número positivo.

2) Una inecuación cambia de sentido cuando los dos miembros se multiplican ó dividen por un

número negativo (en el caso de dividir, debe ser un número distinto de cero).

Ejemplo: ;4x2;15x2;51x2

Divido entre -2 : ;2

4x

luego 2x

Pueden darse distintas posibilidades:

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA.-

EJERCICIOS: Pág.92 el 1®, 2®, 1-d, 2-a y 2-b.

INECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA INCOGNITA.-

EJERCICIOS: Pág.93 el 1®, 3, 3® y 4-b.

INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS.-

EJERCICIOS: Pág.94 el 1®, 3®, 1-a, 1-b, 2-a y 2-b.

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS.-

EJERCICIOS: Pág.95 el 1®-a y 3-f.

EJERCICIOS: Pág.103 el 3-a y 5-a (Autoevaluación).