20
NÚMEROS REALES (lR) La unión del conjunto de los racionales (Q) y los irracionales (Q’) genera el conjunto de los números reales el cual se expresa como lR. Es decir: OPERATORIA EN lR El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional (excluyendo la división por cero). La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional. Por otra parte, la operación entre un número racional (Q) y un irracional (Q’) da como resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero. OBSERVACIÓN No son números reales las expresiones de la forma , con a < 0 y n par.

NÚMEROS REALES (lR)preuniversitarioportezuelo.cl/wp-content/uploads/2017/11/...NÚMEROS REALES (lR) La unión del conjunto de los racionales (Q) y los irracionales (Q’) genera el

  • Upload
    others

  • View
    14

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

NÚMEROS REALES (lR)

La unión del conjunto de los racionales (Q) y los irracionales (Q’) genera el conjunto de los

números reales el cual se expresa como lR.

Es decir:

OPERATORIA EN lR

• El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional

(excluyendo la división por cero).

• La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.

• Por otra parte, la operación entre un número racional (Q) y un irracional (Q’) da como

resultado un irracional, EXCEPTUÁNDOSE la multiplicación y la división por cero.

OBSERVACIÓN

No son números reales las expresiones de la forma √𝒂𝒏

, con a < 0 y n par.

GUÍA PSU MATEMÁTICA

NÚMEROS REALES

1.- ¿Qué tipo de número es (√2 + √5)2 ?

A) Un número entero. B) Un número decimal finito.

C) Una fracción impropia.

D) Un numero decimal periódico.

E) Un numero decimal infinito no periódico.

2.- ¿Cuál de los siguientes números es un numero racional que está ubicado entre √2 y √5?

A) √2+√5

2

B) √3

2

C) √3

D) 2

E) 1

3.- Sea ℚ el conjunto de los números racionales, ℚ∗ el conjunto de los números irracionales

y ℝ el conjunto de los números reales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I. ℚ ∩ ℚ∗ = ℝ

II. ℚ ∪ ℚ∗ = ℝ

III. ℝ ∩ ℚ∗ = ℚ∗

a) Solo I

b) Solo II

c) Solo III

d) Solo I y II

e) Solo II y III

4.- A partir de los datos de la figura, ¿Cuál(es) de las siguientes medidas, expresada(s) en

centímetros, representa(n) un número irracional?

I. 𝑚(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )

II. 𝑚(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )

III. 𝑚(𝐴𝐷̅̅ ̅̅ )

A) Solo III

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

5.- Respecto del número irracional √2, ¿?que afirmación(es) es (son) verdadera(s)?

I. Puede representar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos

miden 1 unidad cada uno.

II. Corresponde a una solución de la ecuación x2 = 2.

III. Es un número irracional comprendido entre 2 y 3.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

6.- Sea r un número racional. De las siguientes expresiones, ¿Cuál(es) representa(n)

siempre a un número irracional?

I. √𝑟

II. 3r2

III. r√2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

7.- Si 𝑥 = √2 + √3, ¿Cuál de los siguientes números no es irracional?

A) x2

B) x2 + 1

C) x2 – x

D) x2 – 1

E) x2 – 2√3x

8.- Si a es un número irracional, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I. (−𝑎)2 es positivo.

II. (1

𝑎)

2

es racional.

III. −𝑎 es racional.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) I, II y III

9.- ¿Cuál(es) de los siguientes números no es (son) irracionales?

I. √2 ∙ √18

II. 7 + 7√7

III. √6

√216

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

10.- Sean a = -2 y b = √−𝑎, ¿Cuál de las siguientes expresiones pertenece a ℝ+?

A) ab

B) a – b

C) b – a

D) (-b) – (-a)

E) −𝑎

−𝑏

11.- Sabiendo que el número irracional 𝜋 = 3,14159…, ¿Cuál de las siguientes alternativas

muestra una aproximación por redondeo de 𝜋 a la milésima?

A) 3,14

B) 3,141

C) 3,142

D) 3,1416

E) 3,146

12.- Sabiendo que el número irracional e = 2,7182818…, ¿Cuál de las siguientes

alternativas muestra una aproximación por truncamiento de e a la centésima?

A) 2,718

B) 2,7182

C) 2,7183

D) 2.71

E) 2,72

13.- Sean m, k, n ∈ ℝ. ¿Qué propiedad describe la igualdad m ∙ (k + n) = m ∙ k + m ∙ n?

A) Propiedad aditiva.

B) Propiedad conmutativa de la adición.

C) Clausura para la adición.

D) Propiedad conmutativa de la multiplicación.

E) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

14.- Dado los números reales 𝑎 = √−23

, 𝑏 =3

4 y 𝑐 =

√3

2, ¿Cuál de las siguientes

alternativas muestra a estos números ordenados de manera creciente?

A) a < b < c

B) a < c < b

C) b < c < a

D) c < b < a

E) c < a < b

15.- En la recta numérica, P y Q son dos números reales. ¿En qué lugar de la recta numérica

se ubica el cociente Q : P?

A) A la izquierda del 0.

B) Entre 0 y P.

C) Entre P y Q.

D) Entre Q y 1.

E) A la derecha del 1.

16.- ¿Cuál de los siguientes números reales está entre 0 y 1 en la recta numérica?

A) √5

2

B) √3

2

C) √2

D) √3

E) 𝜋

2

17.- Si la medida del radio de una circunferencia se representa con un número racional, ¿a

qué conjunto numérico pertenece la medida del lado de un cuadrado inscrito en ella?

A) ℚ

B) ℚ∗

C) ℤ+

D) ℤ−

E) ℕ0

18.- ¿A qué conjunto numérico pertenece el número √4

√9?

I. ℤ

II. ℚ

III. ℚ∗

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

19.- ¿Cuál de los siguientes números racionales representa una mejor aproximación por

redondeo de √393

?

A) 3,39

B) 4,56

C) 5,39

D) 6,25

E) 6,56

20.- ¿Cuál de los siguientes números pertenece al conjunto de los números enteros?

A) √900

B) 0,04

C) 𝜋2

D) 𝜋

E) √16

√9

21.- ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a la mitad de 0,02?

I. (0,02)5

II. 10-1

III. 0,01

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

22.- La medida del lado de un cuadrado es un número racional. ¿Cuál(es) de las siguientes

medidas se podría(n) representar con un número irracional?

I. El perímetro del cuadrado.

II. El diámetro de la circunferencia circunscrita al cuadrado.

III. La diagonal del cuadrado.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

23.- ¿Cuál de las expresiones siguientes es equivalente a 5.033?

A) 502 + 33

B) 5 ∙ 10 + 30 + 3

C) 5 ∙ 102 + 33 ∙ 102

D) 5 ∙ 103 + 3 ∙ 10 + 3

E) 50 ∙ 102 + 33 ∙ 10

24.- Si a = √2, ¿Cuál de los siguientes números multiplicados por a resulta un número

racional?

I. √2

II. −√2

III. 2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

25.- ¿Cuál es la representación en notación en notación científica de 0,000000672?

A) 672 ∙ 10-6

B) 67,2 ∙ 10-6

C) 6,72 ∙ 10-6

D) 67,2 ∙ 10-7

E) 6,72 ∙ 10-7

26.- ¿Cuál(es) de las operaciones siguientes resulta(n) un número irracional?

I. √2 + √3

II. √225

III. √2

√8

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

27.- 0,1 : 0,01 =

A) 0,001

B) 0,001

C) 0,1

D) 1

E) 10

28.- 0,2 ∙ 0,02 =

A) 40

B) 4

C) 0,4

D) 0,04

E) 0,004

29.- 0,36 : 0,9 ∙ 0,4 =

A) 1

B) 1,6

C) 0,16

D) 0,016

E) 0,81

30.- (0,5)3 =

A) 125

B) 12,5

C) 1,25

D) 0,125

E) 0,0125

31.- 0,666 =

A) 6 ∙ (100 + 10-1 + 10-2)

B) 6 ∙ (101 + 102 + 103)

C) 6 ∙ (10-1 + 10-2 + 10-3)

D) 6 ∙ (10-2 + 10-3 + 10-4)

E) 6 ∙ 111-3

32.- La suma siguiente; 0,2020020002… + 0,0202202220… da como resultado un número:

A) Racional

B) Irracional

C) Entero

D) Número no real

E) Ninguno de los anteriores

33.- Si la siguiente suma (0,1 + 0,01 + 0,001) es dividida por 0,0001, resulta:

A) 111

B) 11,1

C) 1,11

D) 1.110

E) 1.000

34.- ¿Cuál de los siguientes números es irracional?

A) 1

2

B) √8

√2

C) √5

√75

D) 0,123123123…

E) √16

35.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I. √2 − √5 es un número real.

II. La suma de un irracional con un racional es irracional.

III. La división de dos irracionales siempre da un irracional.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de las anteriores.

36.- ¿Cuál es el número que sigue en la siguiente regularidad numérica;

1, 4, 13, 40, 121, …?

A) 136

B) 243

C) 254

D) 364

E) 850

37.- Sean p y q números primos distintos, luego ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es(son) verdadera(s)?

I. p ∙ q es par

II. p2 ∙ q tiene 6 divisores

III. p + q es siempre primo

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I, II y III

E) Ninguna de las anteriores.

38.- Las edades de Ángela y Beto suman actualmente 27 años, entonces dentro de 7 años

¿cuánto sumaran sus edades?

A) 27 años.

B) 34 años.

C) 41 años.

D) 44 años.

E) 51 años.

39.- 0,1 : 0,001 + 0,13 – 0,001 =

A) 0,1

B) 1

C) 10

D) 100

E) 1.000

40.- ¿Cuál es el numerador de una fracción que es mayor que 1

11 pero menor que

1

9, si se

sabe que su denominador es 99?

A) 1

B) 7

C) 9

D) 10

E) 11

41.- Se dice que un número está escrito en notación científica si: “N = a ∙ 10n, 1 ≤ a < 10”,

luego 0,00034 en notación científica corresponde a:

A) 3,4 ∙ 10-4

B) 3,4 ∙ 10-5

C) 34 ∙ 10-4

D) 34 ∙ 10-5

E) 0,34 ∙ 10-3

42.- ¿Cuál de las siguientes alternativas representa a un número racional?

A) 0,7070070007…

B) √8

C) √3 − √25

D) 𝜋2

E) 0,123321123321…

43.- ¿Cuál de los siguientes decimales está más cerca de 1?

A) 0,99

B) 1,01

C) 0,899

D) 1,009

E) 0,9995

44.- ¿En cuál de las siguientes operaciones se tiene la certeza que el resultado es irracional?

A) La suma de dos irracionales.

B) La división de dos irracionales.

C) El producto entre un irracional y un racional.

D) La suma de un racional y un irracional.

E) Un irracional al cuadrado.

45.- Sean los racionales a = 0,125, b = 0,125̅, c = 0,125̅̅̅̅ y d = 0,125̅̅ ̅̅ ̅, luego el grafico que

mejor los representa es

46.- Si j es racional y k es irracional, entonces es siempre irracional:

I. j ∙ k

II. j + k

III. j2 – k2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I, II y III

E) Ninguna de las anteriores.

47.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I. El reciproco de 1 es 1.

II. El inverso aditivo de -1 es 0. III. Cero elevado a cualquier número es cero.

IV. Los inversos multiplicativos de los naturales mayores que 1, son fracciones propias.

A) Solo I y IV

B) Solo II y III

C) Solo III

D) Solo I, III y IV

E) Ninguna de las anteriores.

48.- ¿Cuál es el número que sigue en la siguiente serie?

2.856.719, 2.956.819, 3.056.919, 3.157.019, ..

A) 3.156.119

B) 3.157.219

C) 3.257.019

D) 3.257.119

E) 3.357.219

49.- La suma de 3 números es 21. El cuociente entre dos de ellos es 2,5 y la suma de estos

dividida por el tercero es 2. ¿Cuál es el menos de los 3 números?

A) 4

B) 6

C) 7

D) 10

E) 14

50.- ¿Cuál es la fracción que sumada con su inversa da como resultado 2,08333…?

A) 1

3

B) 2

7

C) 3

4

D) 5

12

E) 3

4 ó

4

3

51.- ¿Cuántos números cuadrados perfectos que terminan en 9, están comprendidos entre

500 y 8.000?

A) 7

B) 11

C) 14

D) 21

E) 22

52.- Las dos superficies visibles de la figura, siguen la misma secuencia numérica, ¿Cuáles

son los números que están en la fila inferior de la cara indicada por la flecha?

A) 18, 17, 22

B) 24, 23, 28

C) 22, 23, 26

D) 21, 26, 25

E) 21, 23, 28

53.- ¿En qué cifra termina el resultado de la operación (4344 + 4243) ∙ 67542 – 4641 – 5140?

A) 3

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

54.- Se tienen 15 litros de agua mezclados con 20 litros de leche. Si se extrae la mitad de la

mezcla y se sustituye por agua, luego la tercera parte de la mezcla se sustituye por agua y

finalmente la cuarta parte de la nueva mezcla se sustituye por agua, ¿Cuántos litros de leche

contiene la mezcla final?

A) 12

B) 10

C) 8

D) 6

E) 5

55.- Un ganadero dispone de cierta cantidad de vacas, las cuales son vendidas vivas. En

cada venta son vendidas la mitad de las vacas más media vaca, si después de la octava

venta le quedan aún 2 vacas, ¿Cuántas vacas tenía al comienzo?

A) 527

B) 765

C) 767

D) 776

E) 787

56.- Si 24 ∙ 38 = n ∙ 64, entonces n =

A) 12

B) 24

C) 27

D) 54

E) 81

57.- Una operación en la fila de siete círculos que se muestra, consiste en tomar dos de ellos

cualquiera y cambiarles el color de cada uno de ellos, es decir, si tomamos el primer par de

círculos y aplicamos la operación el primero quedaría negro y el segundo blanco.

¿Cuál de las siguientes no se podría obtener haciendo la operación definida a lo menos una

vez?

58.- (0,12)2 =

A) 1 ∙ 10-1 + 2 ∙ 10-2 + 4 ∙ 10-3

B) 1 ∙ 10-1 + 4 ∙ 10-2 + 4 ∙ 10-3

C) 1 ∙ 10-2 + 2 ∙ 10-3 + 4 ∙ 10-4

D) 1 ∙ 10-2 + 4 ∙ 10-3 + 4 ∙ 10-4

E) 1 ∙ 10-2 + 4 ∙ 10-4

59.- La combinación correcta de verdaderos (V) y falsos (F), de las siguientes

proposiciones respectivamente es:

I. 5, 2 y √2 son enteros y reales.

II. √36 es un número irracional.

III. 2 es natural y entero.

IV. 3

2,

2

3 y −

1

5 son racionales.

A) FFVV

B) FVFV

C) FVVV

D) VFVV

E) VVVV

60.- El término que sigue en la siguiente regularidad numérica; 5, 17, 65, 257, … es:

A) 768

B) 769

C) 865

D) 975

E) 1025

61.- Si un número entero positivo tiene sus 3 cifras distintas, entonces dicho número es

mayor que 567 si:

(1) La cifra de las centenas es igual a 5.

(2) La cifra de las unidades es mayor que 7.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

62.- Para que √4 − √𝑏 sea un número real, b debe ser

(1) b < 16

(2) b > 0

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

63.- Si a, b y c son números enteros, entonces la expresión 2𝑎√𝑐

𝑏 representa un número

entero si:

(1) a es múltiplo de b.

(2) c es un cuadrado perfecto.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

64.- Se puede determinar si x es un número irracional si:

(1) x tiene un desarrollo decimal infinito.

(2) Su parte decimal no presenta un período.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

65.- Para determinar el producto de los números reales a y b se debe saber que:

(1) a = a-1 y 2b = 1.

(2) b es un número racional positivo y a es un número real positivo.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

66.- Para que el número x = a ∙ 10n esté escrito en notación científica se debe cumplir que:

(1) 1 ≤ |𝑎| < 10

(2) 𝑛 ∈ ℤ − {0}

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

67.- ¿Cuál es el valor de la cifra de las centenas en un número de cuatro cifras?

(1) Las cuatro cifras son impares y distintas.

(2) La cifra de las centenas es la mayor.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

68.- a y b son números enteros y se cumple que son consecutivos si:

(1) a + c < b + c

(2) b – a = 1

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

69.- ¿Cuántos números pares se pueden contar entre los números enteros p y q?

(1) q es 19 unidades mayor que p.

(2) P es par y q es impar.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

70.- ¿Cuál es el duplo de (1

𝑎+ 𝑎)?

(1) 1

𝑎+

1

𝑎= 1

(2) a2 = 4

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) o (2).

E) Se requiere información adicional.

CLAVES GUÍA NÚMEROS REALES

EJER

CLAVE Nº

EJER

CLAVE Nº

EJER

CLAVE Nº

EJER

CLAVE Nº

EJER

CLAVE

1 E 17 B 33 D 49 A 65 C

2 D 18 B 34 C 50 E 66 C

3 E 19 A 35 B 51 C 67 E

4 B 20 A 36 D 52 B 68 B

5 D 21 C 37 B 53 E 69 A

6 C 22 E 38 C 54 E 70 D

7 E 23 D 39 D 55 A

8 A 24 D 40 D 56 E

9 D 25 E 41 A 57 E

10 C 26 A 42 E 58 D

11 C 27 E 43 E 59 D

12 D 28 E 44 D 60 E

13 E 29 C 45 E 61 E

14 A 30 D 46 B 62 C

15 E 31 C 47 B 63 C

16 B 32 A 48 D 64 C