El Conjunto de los Números Reales · conjunto de los números reales. Números Reales El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números

Apuntes

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Realizó: Prof. Enrique González Tapia Arturo Aceves Jardines 1

UNIDAD 1

El Conjunto de los Números

Reales

Uno aprende haciendo las cosas; porque aunque piense que lo sabe, no tendrá la certidumbre hasta que lo intente.

Sófocles

Número El Conjunto De Los Números Naturales

El Conjunto De Los Números Enteros El Conjunto De Los Números Racionales

Los Números Imaginarios Los Números Complejos

Propiedades Y Operaciones

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NÚMERO Palabra o símbolo utilizado para designar cantidades o entidades que se comportan como cantidades. Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más completa que ella y con mayores posibilidades en sus operaciones. Se enumeran a continuación. Números naturales Números enteros

Números racionales

Números irracionales

Números reales Números imaginarios

Números complejos

NNúúmmeerrooss NNaattuurraalleess Es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {1, 2, 3,…, 9, 10, 11, 12,…}

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación.

NNúúmmeerrooss EEnntteerrooss

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

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NNúúmmeerrooss RRaacciioonnaalleess

Número racional, el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

NNúúmmeerrooss IIrrrraacciioonnaalleess Su descubrimiento, se le atribuye a Pitágoras de Samos, matemático Griego del año 540 A.C. Celebre por su teorema del triángulo rectángulo, en cuyo calculo de la hipotenusa, resulta un número irracional.Dato Curioso: Su nombre se debe a una mala traducción del árabe al latín, hecha por Gerardo de Cremona. Originalmente fueron denominados por los griegos como “sin medida”. Número irracional, número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros. La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales.

NNúúmmeerrooss RReeaalleess El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. El conjunto de los números naturales, se representan con la letra R. Estos números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se llama recta real.

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Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero)

NNúúmmeerrooss IImmaaggiinnaarriiooss El producto de un número real por sí mismo es siempre 0 o positivo, por lo que la ecuación x2 = -1 no tiene solución en el sistema de los números reales. Un nuevo conjunto de números (diferente del de los números reales), el de los números imaginarios, se usa para este fin. El símbolo i representa la unidad de los números imaginarios y equivale a 1− . Estos números, fueron introducidos a las matemáticas, por el matemático suizo Leonhard Euler, y llevados al plano imaginario por primera vez, por el matemático inglés Jhon Wallis. Estos números permiten encontrar, por ejemplo, la solución de la ecuación 9−=x que se puede escribir como 19 −×=x y cuya solución es ix ⋅= 3 Los números bi, b ≠ 0, se llaman imaginarios puros. Un número imaginario se obtiene al sumar un número real y un número imaginario puro.

NNúúmmeerrooss CCoommpplleejjooss

En su forma general, un número complejo se representa como a + bi, donde a y b son números reales. El conjunto de los números complejos está formado por todos los números reales y todos los imaginarios. Los números complejos son de gran utilidad en la teoría de la corriente eléctrica alterna así como en otras ramas de la física, en ingeniería y en ciencias naturales. Entre los números complejos están definidas las mismas operaciones que entre los reales (suma, resta, multiplicación y división)

EEssqquueemmaa DDee LLooss NNúúmmeerrooss

Enteros Fraccionarios

Racionales Irracionales

Negativos

Irracionales

Enteros Fraccionarios

Racionales

Positivos

Números Reales

Cero

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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES. Los números reales poseen diferentes propiedades, estas se resumen en la siguiente tabla. Propiedades de los Números Reales Propiedad

Ejemplo Nombre y descripción

a + b = b + a 7 + 3 = 10 Propiedad Conmutativa de la suma. Cuando sumamos dos números, el orden no tiene importancia

ab = ba 3 * 5 = 5 * 3 Propiedad Conmutativa de la multiplicación. Cuando multiplicamos dos números, el orden no importa

(a + b) + c = a + (b + c) (2 + 4) + 7 = 2 + (4 + 7) Propiedad Asociativa de la suma. Cuando sumamos tres enteros, el orden en que sumemos no importa.

(ab)c = a(bc) (3 * 7) * 5 = 3 * (7 * 5) Propiedad Asociativa de la multiplicación. Cuando multiplicamos tres enteros, no importa cuales dos multipliquemos primero.

a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ab + ac

2 * (3 + 5) = 2 * 3 + 2 * 5 (3 + 5) * 2 = 2 * 3 + 2 * 5

Propiedad Distributiva. Cuando multiplicamos un entero por la suma de otros dos números, obtenemos el mismo resultado si multiplicamos el número por cada uno de los términos y a continuación sumamos los resultados.

Propiedades de las Fracciones Propiedad

Ejemplo Descripción

bdac

dc

ba

=⋅ 2110

75

32

=⋅ Para multiplicar fracciones, multiplique los numeradores y denominadores.

cd

ba

dc

ba

⋅=÷ 1514

57

32

75

32

=⋅=÷ Para dividir fracciones, invierta el divisor y multiplique.

cba

cb

ca +

=+ 37

352

35

32

=+

=+ Para sumar fracciones un mismo denominador, sume los numeradores.

bdbcad

dc

ba +

=+ 2122

735372

75

32

=⋅

⋅+⋅=+

Para sumar fracciones con diferentes denominadores, venga un denominador común. Después sume los numeradores.

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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Suma y Resta.

Para sumar y/o restar números complejos, el procedimiento es sencillo. Primero se suman las partes reales, y por separado, se suman las partes imaginarias. Ejemplo 1.1. Realice la suma )83()45( ii ++−

2. Se suman las partes imaginarias (-4i ) + (8i) = 4i )83()45( ii ++− 1. Se suman las partes reales 5 + 3 = 8 el resultado es 8 + 4i

Multiplicación Para multiplicar dos números complejos, se multiplican todos los números entre si, entiéndase, reales con reales, imaginarios con imaginarios y reales con imaginarios. Posteriormente, se realiza una suma o resta de las partes reales y las imaginarias, claro por separado; de la misma forma que se explico antes. Ejemplo 2.2. Resuélvase )83()45( ii +×− Solución: Se multiplican todos los números entre sí, como lo esquematizan las flechas.

232124015)83()45( iiiii −−+=+×− Nótese en este resultado, la aparición de un termino diferente, i2. Este termino, será sustituido por su equivalente de acuerdo a la definición de número imaginario, dada anteriormente, es decir que, 1−=i ; por lo que . Dada esta igualdad, tenemos: 12 −=i

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s.imaginaria partes lasy reales partes lassuman Se 284732 real, númeroun obtiene se 1,-por 32-r multiplica Al 32124015

1i de valor el sutituye Se )1(32124015 32124015

2

2

iiiii

iii

+=+−+=

−=−−−+=

−−+=

DIVISIÓN.

Esta operación, requiere de l utilización de todas las operaciones antes descritas, además de utilizar el término conjugado. Un término conjugado, no es si no, un término igual a quién lo origina, pero con signo contrario, observe los siguientes casos.

Termino Termino conjugado

5i)(2 5i)-(23i)-(-4 3i)(-43)(2a 3)-(2a

2)-(5 )25(

++

++

el procedimiento para dividir dos números complejos, es el siguiente: Primero, se obtiene el conjugado del denominador, posteriormente se multiplica al numerador y al denominador por el conjugado obtenido. De esta manera, la división se transforma en una multiplicación, desarrollándola como se indico en el apartado anterior. Ejemplo 1.3.

Resuelva la división ( )( )i

i−+

325

Solución:

1. Obtengamos el conjugado de (3 – i), por lo tanto su conjugado es (3 + i). 2. Multipliquemos numerador y denominador por este conjugado.

( )( )

( )( ) 10

1113)1(9

)1(21115339

2651533

325

2

2 iiiii

iiiii

ii +

=−−

−++=

−−++++

=++

×−+

de esta manera el resultado es i1011

1013

+ ; Un número complejo, fraccionario.

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*NOTA: El resultado de una división de números complejos, puede dar como resultado un número complejo entero o bien fraccionario, como el caso del ejemplo. Cabe mencionar también, que podemos obtener como resultado de cualquier operación un número puramente imaginario (donde se carece de la parte real) o bien un número real puro (no hay parte imaginaria)

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UNIDAD 2

Operaciones Fundamentales del Álgebra

Cada uno de los problemas que resolví se convirtió en una regla que posteriormente sirvió para resolver otros problemas.

RENÉ DESCARTES.

Álgebra, una visión histórica Terminología algebraica

Ley de los signos y de los exponentes Suma y resta algebraica

Multiplicación División algebraica

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ÁLGEBRA, UNA VISIÓN HISTÓRICA.

El álgebra tal y como la conocemos, es el resultado de muchos e innumerables trabajos de diferentes matemáticos a lo largo de varios siglos. Cronológicamente, esta documentado, que los inicios de las matemáticas y del álgebra misma, se remontan a varios siglos antes de nuestra era. Siendo los Asirios, Babilónicos y Egipcios, quines trabajaron con problemas algebraicos e inclusive ecuaciones de primero y segundo grado. En el siglo III en Alejandria Egipto, vivió Diofante, que se ocupó principalmente del análisis diofántico, siendo merecedor del título de padre del álgebra. Escribió Las aritméticas, obra de la que sólo quedan 6 libros de los 13 que la componían. Las Aritméticas, es por muchos historiadores reconocido como el primer libro de lo que hoy se conoce como álgebra. Hacia el siglo IX, en Oriente Próximo aparecieron en la biblioteca del Gran Califa Al-Mamún, un compendio de libros donde se explica la resolución de diferentes problemas. Dichos compendios fueron hechos por Al-Kwarizmi y uno de sus colaboradores Al-Mukabala. Al-Kwarizmi fue un matemático árabe, nacido en Jwārizmī (actualmente Jiva, Uzbekistán). Fue bibliotecario en la corte del califa y astrónomo en el observatorio de Bagdad. Sus trabajos de álgebra, aritmética y tablas astronómicas adelantaron enormemente el pensamiento matemático y fue el primero en utilizar la expresión al-ŷabr. Al-yabr, significa reducción palabra que castellanizada es Álgebra.Álgebra; (del árabe) ecuación o restauración que se logra quitando o agregando ciertos términos. No es sino una teoría de las ecuaciones.Álgebra: Rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible.Después de innumerables trabajos posteriores a los que ya se mencionaron, hubo más, realizados por matemáticos como Fibonacci, Bombelli, Cardano, Tartaglia, Ferrari y otros más. Estos trabajos, le fueron dando poco a poco al álgebra su forma actual. Ahora diferenciamos dos etapas del álgebra, el álgebra Clasica y el álgebra Moderna.

Leonardo Fibonacci El matemático italiano Leonardo Fibonacci dirigió sus estudios hacia el álgebra y la teoría de números, principalmente. El conocimiento matemático de clásicos grecorromanos, árabes e indios constituyó la base fundamental de sus trabajos. Corbis

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Expresión algebraica Expresión algebraica, concatenación de números y letras ligados por operaciones diversas. Por ejemplo:

Son expresiones algebraicas. Las expresiones algebraicas, se clasifican de acuerdo al número de términos que esta posee en, monomios, binomios, trinomios, polinomios. Monomio, producto en el que participan un número y una o varias letras. También a un número se le llama monomio. Son monomios: 4x2y; 3x; 4xz2; xy. Las letras de un monomio se llaman variables o indeterminadas, pues representan números cualesquiera. El conjunto de todas las letras es la parte literal. El número que aparece multiplicando a las letras es el coeficiente. Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras que intervienen. Los números son monomios de grado cero. Exponente, término utilizado en matemáticas para indicar el número de veces que una cantidad se ha de multiplicar por sí misma. Un exponente se escribe normalmente como un pequeño número o letra en la parte superior derecha de la expresión, como x2, leído “x al cuadrado” y que representa x · x; (x + y)3, se lee “x + y al cubo” y significa (x + y) (x + y) (x + y); Por ejemplo: 4x2y es un monomio con coeficiente 4, parte literal x2y, y grado 3, pues la x está al cuadrado y la y elevada a 1; (2 + 1 = 3) Binomio, expresión algebraica que está formada exactamente por dos términos separados por + o -, como x + y o ab - cd. Polinomio, suma de monomios, cada uno de los cuales se denomina término del polinomio. Los polinomios con dos términos se llaman binomios, y los de tres, trinomios. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo componen.

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LEY DE LOS SIGNOS

La ley que nos permite manipular de manera apropiada los signos en las diferentes operaciones algebraicas, es conocida por todos nosotros, ahora solo nos permitiremos recordarla.

Operaciones con Signos Resultado

( + ) * ( + ) ó ( + ) / ( + ) ( + )

( + ) * ( – ) ó ( + ) / ( – ) ( – )

( – ) * ( + ) ó ( – ) / ( + ) ( – )

( – ) * ( – ) ó ( – ) / ( – ) ( + )

LEY DE LOS EXPONENTES

En los cálculos, los exponentes siguen ciertas reglas llamadas leyes de los exponentes. Es decir, si m y n son enteros positivos,

Los exponentes pueden ser enteros positivos o negativos o cero, números racionales, irracionales o complejos. En su uso moderno, de acuerdo con las leyes de los exponentes, escribimos

Términos semejantes son los que tienen la misma parte literal. Para sumar monomios semejantes se suman sus coeficientes y se mantiene la parte literal. Por ejemplo:

7x2y + 11x2y – x2y = (7 +11 –1) x2y = 17x2y

La suma de dos monomios no semejantes no se puede simplificar, se ha de dejar indicada.

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OPERACIONES ALGEBRAICAS

Suma y Resta de Polinomios.

Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificando los terminos semejantes (del mismo grado). Para realizar en la práctica la suma de dos polinomios se sitúan uno sobre otro haciendo coincidir en la misma columna los términos de igual grado, con lo que la simplificación de términos semejantes es automática. Para sumar P(x) = 3x4 –5x2 + 7x con Q(x) = x3 + 2x2 – 11x + 3 se procede así:

La adición de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa. Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios. Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro). Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) - Q(x), al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x).

Multiplicación de Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de uno por cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes. A continuación, con un ejemplo, se ve cómo se procede en la práctica para efectuar el producto de dos polinomios. Para los polinomios P(x) = 3x4 - 5x2 + 11 y Q(x) = x3 + 2x2 + 4:

La multiplicación de polinomios cumple las propiedades asociativa y conmutativa.

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División algebraica Para resolver una división algebraica, el procedimiento es un poco más laborioso, dado que para llevar acabo esta operación, resulta necesario emplear las tres anteriores. Una división consta de 4 partes básicas, que son el dividendo, divisor, cociente y residuo.

2

2

2

2

3

223

22

20mn 20mn 0

8m- 8m- 0

6m 2086 210n- 4 3m-

+

+−−

+

nn

mnnmmmmn

Divisor Dividendo

Cociente

Residuo

El primer paso para resolver una división es, ordenar los términos del dividendo y del divisor, ya sea en orden ascendente o descendente. Después, se procede a dividir, para esto, se toma el primer termino del dividendo y el primer termino del divisor, se dividen sus coeficientes aplicando las leyes tanto de los signos como de los exponentes. Una vez hecha la división, el resultado de ésta se escribe en el cociente. Este termino multiplica a cada uno de los términos del divisor. El procedimiento anterior, se repite cuantas veces fuera necesario; hasta terminar la división (obtener residuo cero o bien, un residuo de grado menor que el divisor) Ejemplo Divida mnmmmn 28620 232 −÷−+ Solución:

1. Acomodaremos en orden descendente los términos del dividendo y del divisor.

2086 2 223 mnnmmm +−−

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2. Ahora tomaremos el primer monomio del dividendo (6m3) y lo dividiremos entre el

primer monomio del divisor (-2m). El resultado se escribe en el cociente, y se procede a multiplicar todo el dividendo por el cociente obtenido.

2

2

2

2

3

223

22

20mn 20mn 0

8m- 8m- 0

6m 2086 210n- 4 3m-

+

+−−

+

nn

mnnmmmmn

Se multiplican y se obtiene 6m3, se coloca debajo del dividendo y se restan (y/o se suman) ambas cantidades

Se repiten los pasos dados. Para esto, se procede a bajar el siguiente monomio del dividendo (-8m2), dado que el residuo de la resta fue cero.

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UNIDAD 5

Ecuaciones Lineales

Ecuación

Ecuación Lineal Ecuaciones Lineales con Coeficientes Enteros

Solución de Ecuaciones Lineales con Coeficientes Enteros Ecuaciones Lineales con Coeficientes Fraccionarios

Solución de Ecuaciones Lineales con Coeficientes Fraccionarios

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ECUACIONES LINEALES.

Introducción. En está unidad estudiarán las ecuaciones lineales y fraccionarias las cuales usamos para el planteamiento y solución de problemas. Además se retomarán las operaciones con fracciones para resolver las ecuaciones fraccionarias. Objetivo. Plantear problemas que conduzcan a ecuaciones lineales y a resolverlas por método algebraico. Hacia el año 300 a.C. Euclides, dejó su obra de la que aquí únicamente se incluyen 4 axiomas:

• Dos cosas iguales a una tercera cosa, son iguales entre sí. • Si cantidades iguales se suman a números iguales, los totales resultan ser

iguales. • Si cantidades iguales se restan de números iguales, los residuos son iguales. • Cosas que coinciden con otra, son iguales entre sí.

Una ecuación se caracteriza por tener algunos números de valor conocido y otros de valor desconocido llamada 1incógnita. Unas y otras se relacionan entre sí de acuerdo con los signos de las operaciones matemáticas. Dicho de otro modo, una ecuación es la proporción de que dos expresiones sean iguales. Ecuación, igualdad en la que intervienen una o más letras, llamadas incógnitas. Es decir, es una igualdad entre expresiones algebraicas.

Las expresiones que están a ambos lados del signo igual son los miembros de la ecuación: primer miembro el de la izquierda, segundo miembro el de la derecha.

3x – 6 = 2x + 1

Miembro izquierdo Miembro derecho Igual Resolver una Ecuación: Es encontrar sus raíces, es decir, el o los valore(s) de la variable(s) 1 Incógnita: Cada una de las letras que participan en una ecuación y cuyo valor hay que averiguar.

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Existen diferentes tipos de ecuaciones, que se mencionan a continuación: Ecuación Entera: Cuando ninguno de sus términos tiene denominador diferente de la unidad. Ejemplo: 7x – 4 = 5x + 3 Ecuaciones Equivalentes: Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones esto es, si todas las soluciones de cualquiera de ellas son soluciones de la otra ecuación. A continuación se presentan dos propiedades que producen ecuaciones equivalentes ya que tienen las mismas raíces, son: Ecuación Fraccionaria: Cuando alguno(s) de sus términos tienen denominador diferente

de la unidad. Ejemplo: 3664

128

25

=+−xx

, estos pueden eliminarse mediante el proceso

denominado supresión de denominadores, mismo que se describe a continuación: Supresión de denominadores: Esta es una operación importantísima que consiste en convertir una ecuación fraccionaria en una ecuación equivalente entera, es decir, sin denominadores. La supresión de denominadores se funda en la propiedad, ya conocida, de las igualdades: Una desigualdad no varía si sus dos miembros se multiplican por una mismacantidad. Regla

Para suprimir denominadores en una ecuación se multiplican todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

1. Se encuentra el m.c.m. de los denominadores. 2. Se multiplica la ecuación por el valor del m.c.m. obtenido.

Ecuaciones Lineales de una Incógnita.

Una ecuación de primer grado(exponente UNO) en su variable o variables se llama ecuación lineal. En esta sección consideraremos ecuaciones lineales con una variable, de la forma, o reducibles a la forma, ax + b = 0 donde x es una variable y a y b son constantes con a distinto de cero.

Para resolver una ecuación de primer grado es preciso aplicar las propiedades de la igualdad y, en general, debemos:

Efectuar, si las hay, las operaciones indicadas.

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Reunir en un miembro todos los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro todas las cantidades conocidas.

Reducir los términos semejantes en cada miembro.

Despejar la incógnita.

Los resultados se comprueban sustituyendo en los dos miembros de la ecuación, la incógnita por el valor obtenido, si éste es correcto la ecuación se convertirá en una identidad.

Solución de Ecuaciones Lineales con una Incógnita y Coeficientes Enteros. Ejemplo 1. Resolver la ecuación 3x – 5 = 13 Solución: a) Se suma +5 en cada miembro de la ecuación. 3x – 5 = 13 +5 +5 3x = 18 b) Se divide entre 3 cada miembro de la ecuación. 3x = 18 3 3 x = 6 c) Es la raíz o resultado de la ecuación. Comprobación: Se sustituye el valor de “x” en la ecuación original. 3 (6) – 5 = 13 18 – 5 = 13 13 ≡ 13 Solución de Ecuaciones Lineales con una Incógnita y Coeficientes Fraccionarios.

Ejemplo 2.

xx 21

51

101

41

−=−Resuelva la ecuación

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Solución: 20x a) se obtiene el m.c.m. de los denominadores.

xx 21

51

101

41

−=− ) b) se multiplica el m.c.m. por la ecuación. 20x (

xxx

xxx

220

520

1020

420

−=− c) se simplifican las fracciones.

5x – 2 = 4x – 10 d) se suma +2, y más – 4x, en los dos miembros de la ecuación. 5x – 2 = 4x – 10 - 4x +2 - 4x + 2

x = - 8 e) es la raíz o resultado de la ecuación. Comprobación.

)8(21

51

)8(101

41

−−=

−− a) se sustituye el valor de “x” obtenido,

en la ecuación original.

161

51

801

41

+=+ b) se obtiene el m.c.m.

80 c) se multiplica el m.c.m. por la ecuación.

161

51

801

41

+=+ ) d) se reducen las fracciones. 80 (

1680

580

8080

480

+=+ e) se simplifican las fracciones.

20 + 1 = 16 + 5 f) se suman las cantidades. 21 ≡ 21

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Solución de Problemas que llevan Ecuaciones Lineales con una Incógnita.

Ejemplo 3. La suma de dos números es 370, y la mayor excede a la menor en 50. Hallar los números. Solución: Se designa con “x” el número menor x El número mayor es x + 50 La suma de ambos números es: x + x + 50 Como la suma de los números es igual a 370 se tiene qué: x + x +50 = 370 Reduciendo términos semejantes: 2x + 50 = 370 Sumando – 50 a los dos miembros de la ecuación: 2x + 50 = 370 - 50 -50 2x = 320

2xse dividen los dos miembros entre 2 = 320 2 2 3

solución de la ecuación, que corresponde al número menor x = 160 por lo tanto x + 50, es igual al valor del número mayor 160 + 50 = 210 Por lo que los valores de los dos números son: el menor es 160 y el mayor 210. Comprobación: x + x + 50 = 370 a) sustituir el valor encontrado de “x” e la ecuación original. 160 + 160 + 50 = 370 370 ≡ 370

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UNIDAD 6

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (cualquier método de solución).

Interpretación gráfica. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

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SISTEMAS DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones lineales es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más

incógnitas, así es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

y es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

⎩⎨⎧

=−=+541332

yxyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++=−−=++

102635541332

zyxzyxzyx

Solución del sistema: la solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. Un sistema de ecuaciones es compatible cuando éste tiene solución, e incompatible cuando no tiene solución. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una solución e indeterminado si este tiene infinitas solución. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una sola incógnita. A este proceso se le conoce como eliminación, y se puede llevar a cabo por diferentes métodos, los más usuales son: a) igualación b) sustitución c) suma o resta Existen algunos otros como el método gráfico mediante el cual puede determinarse la solución del sistema cuando se ha encontrado el punto de intersección de ambas ecuaciones. 8.1. Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (cualquier método de solución). A este tipo de sistemas los llamamos frecuentemente sistemas 2 x 2. Se componen de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. La solución de estos nos lleva a encontrar, valores para dos incógnitas, x, y. Los valores encontrados, deberán satisfacer a todas y cada una de las dos ecuaciones, para poder decir entonces que el sistema esta resuelto. Dichos sistemas pueden ser resueltos por los métodos antes mencionados. Analicemos ahora a cada uno de ellos. Método de la igualación: Al utilizar este método, debemos primero seleccionar una de las dos variables de cada ecuación, y contraponer cada uno de los términos hasta lograr aislar dicha variable

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(despejar la variable). Una vez aisladas las dos variables, igualamos ambas ecuaciones, la ecuación obtenida, es una ecuación lineal con una sola incógnita. Resuélvase dicha ecuación. Ejemplo: resuélvase el sistema de ecuaciones siguiente:

(2) 1925(1) 1347

=−=+

yxyx

al transponer los términos en la ecuación (1) y aislar x, obtenemos

74y-13x

1347 (1)

=

=+ yx

Hacemos lo mismo con la ecuación 2;

52y19x

1925 (2) +

=

=− yx

Vamos a igualar las ecuaciones obtenidas,

52y19

74y-13 +

= Esta es una ecuación lineal con una sola incógnita, la cual será resuelta

como se indico anteriormente.

26834

651331420141332065

)219(7)413(5

−==−

−=−−+=−+=−

yy

yyyy

yy

una vez que se conoce el valor de y, lo sustituiremos en cualquier ecuación (1 ó 2) y encontramos el valor de x.

37

81374(-2)-13 x(1) =

+==en

Así la solución al sistema es x = 3; y = -2.

Apuntes

Precálculo


Método de sustitución: El objetivo en este método, será el mismo que en el método anterior es decir, reducir el sistema que se plantea, a una sola ecuación lineal con una sola incógnita. Para lograr el objetivo, se hace lo siguiente:

EEjjeemmpplloo:: rreessuueellvvaa eell ssiigguuiieennttee ssiisstteemmaa

(2) 1938(1) 2452

=−−=+

yxyx

Tomamos una de las 2 ecuaciones, transponemos los términos y despejamos a una variable. Seleccionamos la ecuación (1) y despejamos x, así obtenemos:

2524

2452 (1)yx

yx−−

=

−=+

ahora, la ecuación que acabamos de obtener, la sustituimos en la ecuación (2).

511523

1932096193)524(4

1932

5248

−==−

=−−−=−−−

=−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

yy

yyyy

yy

resolviendo la ecuación lineal, obtenemos que

Hemos encontrado el valor de y, calculemos ahora el de x. Para hacerlo, repetiremos el procedimiento descrito en el método anterior, es decir, sustituimos el valor de y en ecuación (1) ó (2).

2148

1915819)5(38

=

==+

=−−

x

xxxEn (2)

Apuntes

Precálculo


Por lo tanto la solución al sistema es x = 1/2 ; y = -5. Método de Suma y Resta: El objetivo general de este método, redunda en el de los dos descritos anteriormente, es decir, reducir el sistema a una sola ecuación con una sola incógnita. Para conseguirlo, procederemos de la siguiente manera. Ejemplo:

Resolver. (2) 2334(1) 2065

−=−=+

yxyx

En este método haremos iguales los coeficientes de una de las dos incógnitas. Para resolver el ejemplo, hagamos iguales los coeficientes de y, multiplicando la ecuación (2) por 2 obteniendo.

(3) 26- 134668 2065

=−=−

+=+

xyxyx

al sumar ambas ecuaciones, hemos eliminado a la variable y obteniendo una sola ecuación con una sola incógnita (ecuación 3), misma que resolveremos como ya se hizo antes.

21326

2613

−=

−=

−=

x

x

x

sustituimos de nueva cuenta este valor en la ecuación (1) ó (2) para encontrar el valor de y. Así la solución al sistema es x = -2; y = 5. Interpretación gráfica. Existen algunos otros como el método gráfico mediante el cual puede determinarse la solución del sistema cuando se ha encontrado el punto de intersección de ambas ecuaciones.

Apuntes

Precálculo


Para encontrar la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, es necesario graficar en el plano xy ambas ecuaciones. La interpretación del gráfico obtenido, es encontrar la solución a dicho sistema. Ejemplo: resuelva el siguiente sistema utilizando una gráfica e interprétela.

(2) 1938(1) 2452

=−−=+

yxyx

graficando obtenemos:

2x+5y=-248x-3y=19

Intercepción de las dos líneas, solución del sistema.

1 2

-5

8.3. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Este tipo de sistemas llamados frecuentemente sistemas 3 x 3, se componen de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. La solución de estos nos lleva a caer en la necesidad de encontrar, a diferencia de los sistemas 2 x 2, valores para tres incógnitas, x, y, z. Los valores encontrados, deberán satisfacer a todas y cada una de las tres ecuaciones, para poder decir entonces que hemos resuelto el sistema. La interpretación gráfica de este tipo de sistemas, es un poco más compleja que para los sistemas 2 x 2, ya que al involucrar tres ecuaciones en cada una de las ecuaciones, estamos manejando tres dimensiones. Está consideración nos lleva entonces, a graficar en el plano xyz lo que nos generará planos tridimensionales. Encontrar la solución de un sistema de 3 x 3 usando un gráfico, es posible aunque un poco más complejo. La solución se remite a encontrar y leer la interceptación de los tres planos tridimensionales una vez graficados.

Apuntes

Precálculo


Estos sistemas pueden resolverse también, de manera analítica, usando los métodos de la eliminación por suma y resta, así como el empleo de determinantes. Revisemos cada uno. Método de Suma y Resta: Se procede de la misma manera descrita para un sistema de 2 por 2, haciendo algunos pasos más en el desarrollo del procedimiento.

1. Combinar dos de las tres ecuaciones dadas (sumar o restar) y eliminar una variable. El resultado de esta eliminación es una ecuación lineal con dos incógnitas.

2. Combinar la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos para obtener una nueva ecuación lineal con dos incógnitas.

3. El sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, se resuelve por cualquier

otro método. Suma y resta por ejemplo.

4. Los valores obtenidos, se sustituyen en una de las ecuaciones lineales con tres incógnitas, para encontrar el valor de la tercera variable.

(3) 2z2y-3x(2) -97z-5y2x(1) 64

=+=+

=−+ zyxEjemplo, resuelva:

Combinamos la ecuación (1), multiplicada por 2 y la ecuación (2) para eliminar x.

(4) 215z3y (2) -97z-5y2x

- (1) 12282

=+=+=−+ zx

Combinamos la ecuación (3) y la ecuación (1) multiplicando esta ultima por 3 para eliminar x.

(5) 164z-14y (3) 2z2y-3x

- (1) 183123

==+

=−+ zyx

combinamos (4) y (5) igualando los coeficientes de z para eliminar a esta variable.

Apuntes

Precálculo


(6) 82 41y (5) 4010z-

1035y

(4) 426

==

y + z = +

al resolver la ecuación (6), obtenemos el valor de y = 2

Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones (4) ó (5) para encontrar el valor de z = 3. Análogamente, sustituimos el valor de z e y en cualquiera de las ecuaciones (1), (2) ó (3) para encontrar el valor de x = 1. Estas sustituciones, se hacen de acuerdo a lo descrito en la parte de sistemas de dos por dos. Método de determinantes: Al resolver un sistema de 3 por 3, generaremos un determinante de tercer orden* el cual se resuelve de acuerdo a la regla de Sarrus y Kramer. Usando la regla de Sarrus, un determinante de tercer orden se resuelve de la manera.

333

222

111

cbacbacba

donde a1, b , c son los coeficientes de x,y y z de la ecuación (1). 1 1

Debajo de la tercera fila, repetiremos las dos primeras filas, obteniendo un determinante de la forma.

222

111

333

222

111

cbacba

cbacbacba

=

Negativos, los productos de derecha a izquierda. productos diagonales, positivos de

izquierda a derecha ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]312231123213132321 cbacbacbacbacbacba ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ =

El valor de las variables x, y, z, se calculan de acuerdo la regla de Kramer.

Apuntes

Precálculo


DDzz

DDyy ===

DDxx

Ejemplo:

Resolver

107435532

4

=++−=+−

=++

zyxzyx

zyx

7435321117410535114

−

−−

=x

7435321117103552141

−

−

=y

743532111

1043532

411

−

−−

=z *

* los determinantes son resueltos por la regla de Sarrus. De aquí se obtiene que la solución al sistema es x = 3, y = 2, z = -1.

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