16
CARLOS CAMPOS APANCO 1. LOS NÚMEROS REALES En esta primera parte conocerás los distintos conjuntos de números que forman a los números reales, así también, aprenderás a manejar algunas de sus propiedades. 1.1. Introducción a los números reales Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra- cionales y los números irracionales. No incluyen a números complejos como tales, por ejemplo i = -1 o 5 - 3i. Todo el cálculo que aprenderás en este curso estará técnicamente basado en los números reales. En esta sección aprenderás a distinguir los distintos conjuntos de números que forman parte de los números reales. Breve historia de los números: Los números reales así como los países o las personas también tienen una historia y son pro- ducto del esfuerzo e imaginación de muchas personas. Están formados por diversos conjuntos de números que aparecieron paulatinamente a lo largo del tiempo. Los primeros números que el hombre conoció son los naturales. Estos números son los que utilizamos cotidianamente para contar objetos, dentro de ellos tenemos al 0, 1, 2, etc. El sím- bolo para denotar el conjunto de los naturales es una letra N. Así pues tenemos que: N = {0, 1, 2, 3, ...}. Después tenemos al conjunto de los números enteros. Los enteros incluyen tanto a los natu- rales como a sus inversos aditivos. Este conjunto se denota con una letra Z, que proviene de que en alemán zahl significa número. Z = {... - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. 1

1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

  • Upload
    others

  • View
    13

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

CARLOS CAMPOS APANCO

1. LOS NÚMEROS REALES

En esta primera parte conocerás los distintos conjuntos de números que forman a los númerosreales, así también, aprenderás a manejar algunas de sus propiedades.

1.1. Introducción a los números reales

Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen a números complejos como tales, por ejemploi =√−1 o 5− 3i. Todo el cálculo que aprenderás en este curso estará técnicamente basado

en los números reales.En esta sección aprenderás a distinguir los distintos conjuntos de números que forman partede los números reales.Breve historia de los números:Los números reales así como los países o las personas también tienen una historia y son pro-ducto del esfuerzo e imaginación de muchas personas. Están formados por diversos conjuntosde números que aparecieron paulatinamente a lo largo del tiempo.Los primeros números que el hombre conoció son los naturales. Estos números son los queutilizamos cotidianamente para contar objetos, dentro de ellos tenemos al 0, 1, 2, etc. El sím-bolo para denotar el conjunto de los naturales es una letra N. Así pues tenemos que:

N = {0, 1, 2, 3, ...}.

Después tenemos al conjunto de los números enteros. Los enteros incluyen tanto a los natu-rales como a sus inversos aditivos. Este conjunto se denota con una letra Z, que proviene deque en alemán zahl significa número.

Z = {...− 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3...}.

1

Page 2: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

A continuación están los números racionales, que son todos aquellos que podemos expresarcomo el cociente de dos enteros. Es decir todos los que tienen una representación de la formap

qcon p, q números enteros. Este conjunto de números se representa con la letra Q, que viene

de la palabra inglesa quotient que significa cociente.

Q =

{...,−13,2

7,5

14, ...

}.

Los números racionales fueron conocidos desde la época de los fenicios y los egipcios. Al-gunos griegos que seguían las enseñanzas filosófico-religiosas de Pitágoras (582 A.C) creíanque todo segmento de línea recta se puede medir con números racionales. Curiosamente, losmismos pitagáricos descubrieron que estaban equivocados al utilizar el teorema de Pitágorasy descubrir que la diagonal de un cuadrado de lado con longitud 1 no se puede medir conun número racional. Es entonces cuando surge la necesidad de nuestro siguiente conjunto denúmeros: los irracionales.Los números irracionales aparecen para expresar medidas de segmentos de recta que no sepueden explicar como cociente de dos números enteros.Ejemplos de números irracionales son

√2 y

√2 +√3 a los que se les conoce como núme-

ros algebraicos porque se pueden obtener como raíces finitas de números racionales. Otrosejemplos son los irracionales trascendentes como los números π y e. Se les llama trascenden-tes porque aparecen en funciones como exponencial, logaritmo, seno y coseno, mismas queveremos más adelante en el curso.Una característica de los irracionales es que sus cifras decimales son infinitas y no son perió-dicas.Todos los números juntos: naturales, enteros, racionales e irracionales forman al conjunto delos números reales.Desde que el hombre trabajó por primera vez con los números naturales, hasta que formalizóel concepto de número real pasaron miles de años. La construcción formal de los númerosreales se terminó con los trabajos del matemático alemán Georg Cantor en 1871.En síntesis, los números naturales son parte de los enteros que a su vez son parte de losracionales. Los racionales junto con los irracionales forman el conjunto de los números reales.

1.2. Números Naturales. Principio de inducción matemática.

Como ya vimos, el conjunto de los números naturales se representa con una letra N. Así pues

N = {0, 1, 2, ...}.

2

Page 3: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

En cambio la letra n representa a cualquier número natural elemento del conjunto de losnúmeros naturales. Así para denotar que n es un número natural que pertenece al conjuntode los números naturales escribimos n ∈ N.Principio de inducción matemática.En esta sección vamos a aprender a utilizar un método para demostrar proposiciones relati-vas a los números naturales llamado el principio de inducción matemática. Al principio puedecostarte trabajo entenderlo, sobre todo si es la primera vez que oyes hablar de él. La dificultadradica en que este tema es muy distinto del tipo de problemas a los que estas acostumbrado,aquí no tienes que encontrar una respuesta, sino demostrar que una afirmación es verdadera.Te recomiendo que hagas suficientes ejercicios hasta dominarlo completamente. Esta secciónte ayudará a desarrollar tu pensamiento lógico matemático.Hay que remarcar que el método de inducción matemática técnicamente sirve para realizardemostraciones de proposiciones, no dice nada acerca de como encontrar fórmulas o enun-ciados verdaderos.Proposiciones: Una proposición relativa a los números naturales es una afirmación que sehace sobre alguna propiedad que cumplen todos los números naturales n. Hay proposicionesfalsas y proposiciones verdaderas.

Ejemplo 1 Enunciamos algunos ejemplos de proposiciones:

1. La suma de dos números naturales consecutivos es un número impar. Es decir n+(n+1)es impar para cualquier n natural.

2. La suma de los primeros n naturales esn(n+ 1)

2. Es decir

1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2.

3. Si la suma de los dígitos de un número natural es divisible entre tres entonces el númeroes divisible entre tres.

4. Si n es natural entonces n = n+ 1.

Las tres primeras proposiciones son verdaderas, así que podemos intentar demostrarlas porel método de inducción. La cuarta proposición es falsa, pues por ejemplo, si n = 1, entoncesla proposición n = n + 1 nos dice que 1 = 2 y esto no es cierto. Como esta proposición esfalsa no la podemos demostrar utilizando inducción matemática.

Análisis de proposiciones: Para tener una idea sobre si una proposición es cierta podemosdarle valores a n y ver si se cumple la proposición.

3

Page 4: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Ejemplo 2 Para la proposición:

1 + 2 + ..+ n =n(n+ 1)

2

tenemos que:Valor de n Lado izquierdo de la igualdad Lado derecho de la igualdad

para n = 1 La suma de todos los números hasta el 1 es:n(n+ 1)

2=

1(1 + 1)

2= 1

1 + 2 + ..+ n = 1

para n = 2 La suma de todos los números hasta el 2 es:n(n+ 1)

2

2(2 + 1)

2= 3

1 + 2 + ..+ n = 1 + 2 = 3

para n = 3 La suma de todos los números hasta el 3 es:n(n+ 1)

2=

3(3 + 1)

2= 6

1 + 2 + ..+ n = 1 + 2 + 3 = 6

para n = 4 La suma de todos los números hasta el 4 es:n(n+ 1)

2=

4(4 + 1)

2= 10

1 + 2 + ..+ n = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Como vemos en todos los casos de nuestra tabla, desde n = 1 hasta n = 4, la proposición

1 + 2 + ..+ n =n(n+ 1)

2

es verdadera. Ahora bien, si queremos probar que es cierta para todo número natural n tene-mos que aplicar inducción matemática.

Antes de irnos sobre el desarrollo del método, tenemos que aprender a expresar simbólica-mente las afirmaciones sobre los números naturales. Para ello usamos la siguiente notación.Decimos que P (n) es cierta si se cumple la afirmación para un número n.Decimos que P (n+ 1) es cierta si se cumple la afirmación para un número n+ 1.

Ejemplo 3 Proposición:

1 + 2 + ..+ n =n(n+ 1)

2.

Para expresar que se cumple la proposición para n decimos: Se cumple P (n), es decir

1 + 2 + ..+ n =n(n+ 1)

2.

4

Page 5: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Para expresar que se cumple la proposición para n+1 sustituimos (n+1) en todas las partesde la fórmula que contengan n y decimos:Se cumple P (n+ 1), es decir

1 + 2 + ..+ (n+ 1) =(n+ 1)((n+ 1) + 1)

2

esto es

1 + 2 + ..+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)

2.

Ejemplo 4 Proposición: n3 − n es divisible entre 3.

Para expresar que se cumple la proposición para n decimos: Se cumple P (n) es decirn3 − n

3es un número entero.Para expresar que se cumple la proposición para n+1 decimos: Se cumple P (n+1) es decir(n+ 1)3 − (n+ 1)

3es un número entero.

Método de inducción matemáticaHasta aquí hemos desarrollado la herramienta necesaria para abordar el método de inducciónmatemática. Dicho método consta de dos pasos: la base de inducción y el paso inductivo.La base de inducción consiste en probar la afirmación para un primer natural, digamos paran = 1.El paso inductivo consiste en suponer la proposición cierta para un natural n y luego probarque el hecho de que la afirmación sea cierta para un natural n, tiene como consecuencia quela afirmación es cierta para el natural siguiente n + 1, es decir siempre que se cumple P (n),esto obliga a que se cumpla P (n+ 1).Así, la base de inducción prueba que se cumple la afirmación para n = 1, mediante el pasoinductivo se prueba que se cumple para n = 2, aplicando otra vez el paso inductivo vemosque se cumple para n = 3, y así sucesivamente la afirmación queda mostrada para todos losnúmeros naturales.A continuación haremos unos ejemplos para ilustrar este procedimiento.

Ejemplo 5 Demuestra la siguiente afirmación:Afirmación: La suma de los primeros naturales consecutivos hasta n es:

n(n+ 1)

2

Primero que nada la reescribimos matemáticamente para poder manipularla:

0 + 1 + 2 + 3 + ..+ n =n(n+ 1)

2.

5

Page 6: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Ahora si, procedamos por inducción:Base de inducción: Supongamos n = 1, debemos comprobar que la afirmación, la suma de

los primeros naturales consecutivos hasta n esn(n+ 1)

2es cierta si n = 1.

Ahora bien, la suma de los primeros naturales consecutivos hasta 1, es

0 + 1 = 1.

Y cuando n = 1 el lado izquierdo de la igualdad:n(n+ 1)

2, resulta

1(1 + 1)

2=

2

2= 1.

Como 1 = 1 tenemos que la proposición es cierta para n = 1.Paso inductivo:Hipótesis de inducción: Suponemos que la afirmación es cierta para un cierto n. Es decirsupongamos P (n):La suma de los primeros naturales consecutivos hasta n es

1 + 2 + ...+ n =n(n+ 1)

2.

Utlilizando la hipótesis vamos a demostrar que la afirmación es cierta para el natural siguienten + 1. Es decir utilizando la hipótesis vamos a mostrar P (n + 1): La suma de los primerosnaturales consecutivos hasta n+ 1 es

1 + 2 + ..+ (n+ 1) =(n+ 1)((n+ 1) + 1)

2=

(n+ 1)(n+ 2)

2.

Así pues, tenemos que

1 + 2 + ..+ (n+ 1) = 1 + 2 + ...+ n+ (n+ 1)

= (1 + 2 + ...+ n) + (n+ 1) Agrupando.

=n(n+ 1)

2+ (n+ 1) Sustituyendo.

=n(n+ 1) + (n+ 1)2

2Sumando.

=(n+ 1)(n+ 2)

2Factorizando n+ 1.

Ejemplo 6 Pruebe la siguiente afirmación por inducción matemática:

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ...+ n(n+ 2) =n(n+ 1)(2n+ 7)

6

6

Page 7: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Solución:BASE INDUCTIVA: Demostremos que la afirmación

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ...+ n(n+ 2) =n(n+ 1)(2n+ 7)

6

es cierta para n = 1.1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ...n(n+ 2) = (1)(3)n(n+ 1)(2n+ 7)

6=

1(1 + 1)(2(1) + 7)

6=

1(2)(9)

6= 3

Con lo cual queda probada la base de inducción.PASO INDUCTIVO:Hipótesis inductiva: Supongamos cierta P (n), para algún n ∈ N

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ...+ n(n+ 2) =n(n+ 1)(2n+ 7)

6.

Demostremos P (n + 1). Es decir debemos mostrar utilizando solamente la información de lahipótesis de inducción que:

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ...+ (n+ 1)((n+ 1) + 2) =(n+ 1)((n+ 1) + 1)(2(n+ 1) + 7)

6

=(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 9)

6

Empecemos desarrollando el lado izquierdo de la igualdad, debemos demostrar que es igualal lado derecho.

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ...+ (n+ 1)((n+ 1) + 2)

Reduciendo términos y observando que el penúltimo término de la suma es n(n+2), tenemosque lo anterior es igual a:

1 · 3 + 2 · 4 + 3 · 5 + ...+ n(n+ 2) + (n+ 1)(n+ 3) =n(n+ 1)(2n+ 7)

6+ (n+ 1)(n+ 3)

=n(n+ 1)(2n+ 7) + 6(n+ 1)(n+ 3)

6

=(n+ 1)(2n2 + 7n+ 6n+ 18)

6

=(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 9)

6

En la primera igualdad usamos la hipótesis de inducción. La última igualdad es el lado izquier-do de lo que queríamos llegar. Así que hemos probado la veracidad de nuestra afirmación.

7

Page 8: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Si quieres practicar, resuelve el siguiente ejercicio.

Ejercicio 1 Prueba que

(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)...(n+ n) = 2n · 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

1.3. Enteros, Racionales e Irracionales

Pasemos a estudiar superficialmente al resto de los conjuntos de números que forman a losreales.Recordemos que los números enteros se escriben como:

Z = {...− 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3...},

los números racionales están dados por los números que tienen una representación comococientes de dos enteros:

Q =

{...,−13,2

7,5

14, ........

}y los irracionales:

I = {.., π,√3, e,√7, ...}.

Estos conjuntos tienen cierta estructura, por ejemplo los números enteros y los racionales songrupos conmutativos con la suma, lo que significa que cumplen las siguientes propiedades:Conmutatividad: a+ b = b+ a.Asociatividad: a+ (b+ c) = (a+ b) + c).Existencia de un elemento neutro: Existe un elemento neutro tal que 0 + a = a+ 0 = a.Existencia de un inverso. Si a ∈ Z entonces existe un entero tal que al sumarlo con a obtene-mos el neutro: a+ (−a) = (−a) + a = 0.Además los racionales forman un semigrupo con la multiplicación, es decir cumplen las pro-piedades de:Conmutatividad: a · b = b · a.Asociatividad: a · (b · c) = (a · b) · c.Existencia de un elemento neutro: Existe un elemento neutro, el 1 tal que 1 · a = a · 1 = a.Existencia de un inverso. Si a ∈ Q y a 6= 0 entonces existe un racional a−1 tal que al mutipli-carlo con a obtenemos el neutro multiplicativo: a · (a−1) = (a−1) · a = 1.Como conjuntos de números, los reales y los racionales se parecen en el sentido de queambos son infinitos, ambos son grupos con la suma y semigrupos con la multiplicación yambos están ordenados. Sin embargo hay una diferencia entre ellos, los reales además decontener a los números racionales también contienen a los irracionales.Los irracionales completan a los números reales, en el sentido de que llenan los huecos deja-dos por sucesiones de números racionales que no tienden a números racionales.

8

Page 9: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Ejemplo 7 La sucesión de números racionales 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... tiende a√2 que es

un número irracional y no está dentro de los números racionales. Por eso se dice que losirracionales completan a los reales.

Ejercicio 2 Muestra que los irracionales no son un grupo con la suma. Es decir que no cum-plen todas las propiedades de grupo.

Ejercicio 3 ¿Cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles no?

12

21

2√2√2√

12√122

√12√3

. Respuesta:√4·3√3

=√223√3

=√4√3√

3= 2

√3√3= 2

1entonces es racional.

1.4. Campo de los números reales.

Como ya hemos aprendido los números reales comprenden a los números naturales, los en-teros, los racionales y los irracionales. Esta sección se llama el campo de los números reales.La palabra campo se refiere a que los números reales son un grupo con la suma y cumplen laspropiedades de semigrupo con la multiplicación. Sin embargo, los úmeros reales no solamenteson un campo, de hecho son un campo ordenado completo.El orden se refiere a que si a y b son números reales (a, b ∈ R) entonces decimos que a < b si0 < b− a.Otra propiedad importante y que usremos con frecuencia del conjunto R es la propiedad dedominio entero, que indica que si a, b ∈ R y a · b = 0 entonces necesariamente uno de los doso bien a o bien b es igual a cero.

1.5. Valor Absoluto de un número real. Propiedades

El valor absoluto de un número real está dado por:

|a| ={

a si a ≥ 0−a si a < 0

Es decir |a| es la distancia que hay entre el número a y el origen.

Ejemplo 8 5 es el valor absoluto de -5 que es igual al valor absoluto de 5,

5 = | − 5| = |5|

Propiedades:Algunas de las propiedades más conocidas del valor absoluto son:

9

Page 10: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Figura 1: Gráfica de la función Valor Absoluto.

1. |a| ≥ 0. Esta propiedad se puede observar en la gráfica de la función valor absoluto enla Figura 1.

2. |ab| = |a||b|

3. |ab| = |a|

|b|

4. |a+ b| ≤ |a|+ |b| Desigualdad del triángulo

5. |a| = 0 si y sólo si a = 0

6. |a2| = a2

Otras dos desigualdades que utilizaremos frecuentemente son las siguientes:

7. |a| ≤ b si y sólo si −b ≤ a ≤ b

8. |a| ≥ b si y sólo si a ≥ b o a ≤ −b

Ley de la tricotomíaUna propiedad de los números reales de la que ya hemos hablado es el orden. R es unconjunto ordenado que cumple la ley de la tricotomía. Esto quiere decir que siempre quetengamos dos números reales x y y, se cumple una y sólo una de las siguientes tres opciones:x < y o bien, x > y o bien, x = y.

10

Page 11: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

En general, podemos saber si un número es menor que otro por su ubicación en la recta, losnúmeros más pequeños se ubican a la izquierda. Así a < b entonces a estará a la izquierdade b.En síntesis siempre que tenemos dos números los podemos comparar entre sí y decir en que

Figura 2: Relación de orden en la recta numérica.

orden están.

1.6. Definición de intervalos en los números reales

Finalmente vas a conocer como se define un intervalo de números reales, este concepto teservirá cuando trabajemos con funciones de variable real en la siguiente sección. Un intervaloI es un subconjunto de R tal que si dos números reales x, y están en I, con x ≤ y entoncestodos los números z entre ellos, (es decir tales que x ≤ z ≤ y) también están en el intervalo I.Los distintos tipos de intervalos, se clasifican dependiendo de si contienen o no a sus puntosextremos. Si el intervalo contiene a sus dos extremos se llama intervalo cerrado, si contiene aun extremo si y a otro no entonces es semiabierto, y si no contiene a ninguno de los dos sedice que es abierto. El intervalo cerrado

[a, b] = {z|a ≤ z ≤ b}

es el conjunto de números z tales que z es mayor o igual que a y menor o igual que b. Elintervalo abierto

(a, b) = {z|a < z < b}

es el conjunto de números z tales que z es estrictamente mayor que a y estrictamente menorque b. A los puntos a y b se les llama extremos del intervalo.

Ejemplo 9

11

Page 12: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Figura 3: Representación gráfica del intervalo cerrado [1, 2].

1. Intervalo cerrado: [1, 2], los corchetes indican que los puntos extremos uno y dos estáncontenidos en el intervalo.

2. Intervalo semiabierto: (1, 2], el paréntesis antes del 1 indica que el extremo inferior 1 noestá contenido en el intervalo, el corchete después del 2 indica que el extremo superior2 está en el intervalo.

Figura 4: Representación gráfica del intervalo semiabierto (1, 2].

3. Intervalo semiabierto [1, 2): es el conjunto de números mayores o iguales que uno yestrictamente menores que dos.

Figura 5: Representación gráfica del intervalo semiabierto [1, 2).

4. Intervalo abierto (1, 2): es el conjunto de puntos estrictamente mayores que uno y estric-tamente menores que dos.

12

Page 13: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Figura 6: Representación gráfica del intervalo abierto (1, 2).

Además, también podemos considerar intervalos no acotados, es decir que carecen de algúnpunto extremo. Como ejemplo de intervalos de esta forma tenemos que si a y b son cuales-quiera números reales entonces (a,∞) es un intervalo no acotado superiormente y (−∞, b]es no acotado inferiormente.Finalmente podemos realizar las operaciones unión ∪ e intersección de intervalos ∩.Donde (a, b) ∪ (c, d) = {x|a ≤ x ≤ b o c ≤ x ≤ d} es la unión de intervalos.Donde (a, b) ∩ (c, d) = {x|a ≤ x ≤ b y c ≤ x ≤ d} es la intersección de intervalos.

1.7. Solución de desigualdades de primer y segundo grado en una y dosvariables.

Para finalizar esta unidad hablaremos de desigualdades que involucran a números reales.Una desigualdad es una relación entre números reales. Ya conoces algunas relaciones, porejemplo, conoces la relación igualdad, y sabes que sigue ciertas reglas. Sabes, por ejemplola propiedad de la suma: Si a = b entonces a + c = b + c, es decir la igualdad se conserva sisumas lo mismo en ambos lados.Así como las igualdades, las desigualdades también tienen sus reglas. A continuación estáuna síntesis de las más importantes:

1. Regla de la suma/resta: Si a < b entonces para todo c ∈ R a+ c < b+ c.

2. Regla del producto/cociente por un real positivo: Si a < b entonces para todo c ∈ Ra · c < b · c.

3. Regla del producto/cociente por un real negativo: Si a < b entonces para todo c ∈ Ra · c > b · c.

4. Regla del valor absoluto menor que: Si |a− x| < c entonces −c < a− x < c.

5. Regla del valor absuluto mayor que: Si |a−x| > c entonces −c > a−x o bien a−x > c.

13

Page 14: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Por ejemplo la desigualdad x < 3 es el conjunto de números reales x tales que x < 3, esdecir, x < 3 = {x|x < 3}.

Figura 7: Representación gráfica de la desigualdad x < 3.

Hasta ahora, hemos trabajado con las desigualdades como conjuntos de puntos, pero comoya vimos en la sección de intervalos, los conjuntos son también lugares geométricos en larecta real.

Ejemplo 10 Encuentra el lugar geométrico de la siguiente inecuación −2x− 3 < −1.Solución:Esta es una desigualdad lineal de una variable, por lo tanto el resultado será un intervalo enla recta. Tenemos −2x − 3 < −1, así que sumando 3 a ambos lados de la desigualdad nosqueda:

−2x− 3 + 3 < −1 + 3 entonces −2x < 2, entonces−2x−2

>2

−2, es decir x > −1.

En notación de intervalos la región donde se cumple esta desigualdad es (−1,∞).

Observa que que las desigualdades de una variable (donde sólo aparece la variable x) tienencomo lugar geométrico uniones de intervalos, coloquialmente podemos decir que viven sobreuna línea. En cambio las desigualdades de dos variables (tales como x, y) viven en el plano ytienen áreas como lugar geométrico.Las desigualdades de una variable de primer grado, es decir donde sólo aparece x, y noaparece x2 ni ninguna otra potencia de x, sin valor absoluto determinan un intervalo, las devalor absoluto con signo ">" definen dos intervalos. Las de una variable de segundo gradopueden formar uno o dos intervalos en la línea.Desigualdades con valor absoluto.Utilizando combinadas las propiedades del valor absoluto y de las desigualdades podemosencontrar los lugares geométricos de expresiones como |3x− 2| ≤ 2.Hagamos algunos ejemplos para poder clarificar un poco el concepto.

Ejemplo 11 Resolver la desigualdad |3x− 2| ≤ 2.Solución: Eliminamos el valor absoluto

−2 ≤ 3x− 2 ≤ 2

14

Page 15: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

con lo cual, para despejar la variable x sumamos 2 a toda la inecuación y obtenemos

−2 + 2 ≤ 3x− 2 + 2 ≤ 2 + 2

o bien0 ≤ 3x ≤ 4

y con la misma idea dividimos entre 3 y las desigualdades quedan como:

0

3≤ 3x

3≤ 4

3

es decir

0 ≤ x ≤ 4

3.

Estas inecuaciones definen el intervalo cerrado

[0,

4

3

].

Ejemplo 12 Resolver la desigualdad |3x− 2| ≥ 2.Solución:Eliminamos el valor absoluto

3x− 2 ≥ 2 o 3x− 2 ≤ −2

con lo cual, para despejar la variable x sumamos 2 a toda la inecuación y obtenemos

3x− 2 + 2 ≥ 2 + 2 o 3x− 2 + 2 ≤ −2 + 2

o bien3x ≥ 4 o 3x ≤ 0

y con la misma idea dividimos entre 3, las desigualdades quedan como:

3x

3≥ 4

3o

3x

3≤ 0

es decir:

x ≥ 4

3o x ≤ 0.

Estas inecuaciones definen la unión de intervalos

(−∞, 0] ∪[4

3,∞).

15

Page 16: 1. LOS NÚMEROS REALES · 2020. 9. 7. · Los números reales comprenden los números naturales, los números enteros, los números ra-cionales y los números irracionales. No incluyen

Referencias

[1] Stewart, J. (2006) Cálculo, Conceptos y Contextos. México. Cengage Learning, 3a. Ed.

16