NÚMEROS REALES

Lic. MAURICIO OLAYA

NÚMEROS REALES

Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

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COMPETENCIAS MATEMÁTICAS

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NÚMEROS REALES

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TÉRMINO:

Una combinación de número o letras que junto a un signo aritmético forman las expresiones o ecuaciones matemáticas.

Ejemplo: 4nx3xy3

2

1) Término2) Valor

absoluto3) Tablas de

multiplicar4) Ley de los

signos para la suma

5) Ley de los signos para la multiplicación

NÚMEROS REALES

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VALOR ABSOLUTO:

Es la distancia que hay desde el número indicado hasta el cero, se designa con dos barras verticales.

Ejemplo: 22

55

4

1

4

1

1) Término2) Valor

absoluto3) Tablas de

multiplicar4) Ley de los

signos para la suma

5) Ley de los signos para la multiplicación

Requisitos

NÚMEROS REALES

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Debes saber las tablas de multiplicar de memoria.

Se recomienda estudiarlas si no las dominas bien.

En particular se deben conocer los cuadrados de los números del 1 al 20.

Ejemplos:(6)(8) = 48

42 = 16

152 = 225

1) Término2) Valor

absoluto3) Tablas de

multiplicar4) Ley de los

signos para la suma

5) Ley de los signos para la multiplicación

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Cuando los números enteros tienen el mismo signo, se suman y el resultado queda con el mismo signo de los números sumados.

219462

16853

NÚMEROS ENTEROS

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Cuando los números enteros tienen distinto signo, se resta el mayor (en valor absoluto) con el menor (en valor absoluto) y el resultado (en valor absoluto) queda con el signo del mayor.

Ejemplo: 235

426

NÚMEROS ENTEROS

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Si delante de un paréntesis, corchete o llave, no hay nada o un signo positivo, entonces se considera que hay un signo positivo que al retirar el paréntesis mantiene el signo de los términos que estaban dentro de el.

Ejemplo: 54235423 5423

5423 0

NÚMEROS ENTEROS

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Si delante de un paréntesis, corchete o llave, hay un signo negativo, entonces al retirar el paréntesis se cambia el signo de los términos que estaban dentro de el.

Ejemplo:

412 412

1

412412

NÚMEROS ENTEROS

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Para sumar o restar números enteros

Eliminar los paréntesis, llaves y corchetes aplicando las propiedades que correspondan.

Sumar primero todos los positivos por un lado y los negativos por otro poniéndoles el signo correspondiente al resultado de cada uno.

Restar ambos y poner el signo del mayor a la diferencia.

NÚMEROS ENTEROS

Ejemplos

NÚMEROS ENTEROS

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1. Resolver: 853514952757

853514952757

853514952757 Ahora elimine los corchetes.

853514952757 Ahora elimine las llaves.

Sume los positivos y luego sume el valor absoluto de los negativos poniendo el resultado con signo negativo y finalmente reste.

4327

16

Elimine primero, los paréntesis.

Ejercicios

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NÚMEROS ENTEROS

1. Resolver:

Respuesta: -10

2. Resolver:

Respuesta: 4

3. Resolver:

Respuesta: 4

53167132513

932157434383 )(

9257610364

Ejercicios

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NÚMEROS ENTEROS4. Resolver:

A) 5 + (-8) + (-9) + 7

B) –8 + (-7) + 3 + 9

C) –6 + 5 + (-2) + (-1)

D) 12 + 7 + (-37) + 14

E) (-23) + (-35) + 43 + (-33)

F) (-63) + 45 + (-38) + 17

G) 3462 + (-5237) + (-1304) + (-7064)

H) 2062 + (-3896) + 6438 + (-7068)

I) [(-2) – 4] – (-7)

J) –2 – [4 – (-7)]

-5

-3

-4

-4

-48

-39

-10143

-2464

1

-13

Respuesta

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Para hallar el producto de dos números enteros:

Se multiplican sus valores absolutos.El resultado es un número positivo si los dos

números tienen el mismo signo.El resultado es un número negativo si los dos

números tienen el signo diferente. Regla de los signos de la multiplicación:

15)5)(3(

NÚMEROS ENTEROS

35)7)(6(

(+) (+) = (+)(+) (-) = (-)(-) (+) = (-)(-) (-) = (+)

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Cociente de dos números enteros:

En una división exacta se cumple siempre:Dividendo = divisor x cociente

Dividir dos números entre sí es encontrar un tercer número cuyo producto por el divisor nos de el dividendo.

Regla de los signos de la división:

3)5()15(

NÚMEROS ENTEROS

6)7()42(

(+)÷(+) = (+)(+) ÷ (-) = (-)(-) ÷ (+) = (-)(-) ÷ (-) = (+)

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Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir:a

b/ a y b son enteros, y b es distinto de cero

Q =

15, 0 NO es racional

a: numerador y b: denominador

NÚMEROS RACIONALES

23;19;0;4;3

13

2;9

7;5

4;2

1

1,1;723,0;35,2;5,0

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NÚMEROS RACIONALES

Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador.

Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador.

Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria.

Las fracciones se pueden clasificar en:

𝟒𝟓

𝟏𝟎𝟕

𝟐𝟏𝟑

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NÚMEROS RACIONALES

Simplificar una fracción:

Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número.

𝟑𝟔𝟒𝟓

=𝟑𝟔÷𝟗𝟒𝟓÷𝟗

=𝟒𝟓

𝟐𝟎𝟔𝟎

=𝟐𝟎÷𝟏𝟎𝟔𝟎÷𝟏𝟎

=𝟐÷𝟐𝟔÷𝟐

=𝟏𝟑

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NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓNSe analiza primero si tienen el mismo denominador, de ser así se coloca el mismo denominador y se efectúa la suma entre numeradores. Toda respuesta deberá simplificarse hasta donde sea posible.

𝟏𝟑

+𝟕𝟑

=𝟖𝟑

𝟐𝟓

+𝟒𝟓

+𝟔𝟓

+𝟕𝟓

=𝟏𝟗𝟓

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NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓNSi los denominadores son diferentes el procedimiento consiste en multiplicar los denominadores entre si y poner el resultado como el nuevo denominador de la expresión resultado. Luego se multiplican el numerador de la primera expresión con el denominador de la segunda expresión para sumarlo con la multiplicación del denominador de la primera expresión con el numerador de la segunda expresión. Esta multiplicación que algunas personas llaman “en cruz” o “cruzados”, se pone en el numerador de la fracción resultado. Toda respuesta deberá simplificarse hasta donde sea posible.

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NÚMEROS RACIONALES

ADICIÓN

𝟐𝟑

+𝟕𝟗

=𝟐∗𝟗+𝟑∗𝟕

𝟑∗𝟗=

𝟏𝟖+𝟐𝟏𝟐𝟕

=𝟑𝟗𝟐𝟕

=𝟏𝟑𝟗

𝟓𝟔

+𝟏𝟐

=𝟏𝟎+𝟔𝟏𝟐

=𝟏𝟔𝟏𝟐

=𝟒𝟑

𝒂𝒃

+𝒄𝒅

=𝒂∗𝒅+𝒃∗𝒄

𝒃∗𝒅

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NÚMEROS RACIONALES

SUSTRACCIÓN

𝟓𝟑−

𝟔𝟏𝟏

=𝟓∗𝟏𝟏−𝟑∗𝟔

𝟑∗𝟏𝟏=

𝟓𝟓−𝟏𝟖𝟑𝟑

=𝟑𝟕𝟑𝟑

𝟗𝟓−

𝟕𝟐

=𝟏𝟖−𝟑𝟓

𝟏𝟎=−𝟏𝟕𝟏𝟎

=−𝟏𝟕𝟏𝟎

𝒂𝒃−

𝒄𝒅

=𝒂∗𝒅−𝒃∗𝒄

𝒃∗𝒅

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NÚMEROS RACIONALES

MULTIPLICACIÓN

𝟒𝟑∗

𝟏𝟏𝟏𝟕

=𝟒∗𝟏𝟏𝟑∗𝟏𝟕

=𝟒𝟒𝟓𝟏

(𝟗𝟓 )(−𝟕𝟑 )= (𝟗 ) (−𝟕 )

(𝟓 ) (𝟑 )=−𝟔𝟑

𝟏𝟓=−𝟐𝟏

𝟓

𝒂𝒃∗

𝒄𝒅

=𝒂∗𝒄𝒃∗𝒅

Para multiplicar dos fracciones sólo basta multiplicar entre si numeradores con numeradores y denominadores con denominadores. Por lo general es una buena costumbre simplificar las fracciones antes de efectuar la multiplicación.

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NÚMEROS RACIONALES

DIVISIÓN

𝟕𝟐÷

𝟑𝟖

=𝟕∗𝟖𝟐∗𝟑

=𝟓𝟔𝟔

=𝟐𝟖𝟑

𝒐𝒕𝒓𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂

𝟕𝟐𝟑𝟖

=𝟓𝟔𝟔

=𝟐𝟖𝟑

(𝟗𝟓 )÷(−𝟕𝟑 )= (𝟗 ) (𝟑 )

(𝟓 ) (−𝟕 )= 𝟐𝟕−𝟑𝟓

=−𝟐𝟕𝟑𝟓

𝒂𝒃÷

𝒄𝒅

=𝒂∗𝒅𝒃∗𝒄

Para dividir dos fracciones se toma la primera fracción (dividendo) y se multiplica por el inverso multiplicativo de la otra fracción (divisor). Se simplifica el cociente si se es posible.

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NÚMEROS RACIONALES

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

(𝟑𝟐 )𝟒

=𝟑𝟒

𝟐𝟒 =𝟖𝟏𝟏𝟔

(−𝟗𝟓 )

𝟑

=(−𝟗 )𝟑

𝟓𝟑 =−𝟕𝟐𝟗𝟏𝟐𝟓

=−𝟕𝟐𝟗𝟏𝟐𝟓

( 𝒂𝒃 )

𝒏

= 𝒂𝒏

𝒃𝒏

𝒏√ 𝒂𝒃

=( 𝒂𝒃 )

𝟏𝒏=

𝒏√𝒂𝒏√𝒃

𝟑√𝟏𝟐𝟓𝟐𝟕

=𝟑√𝟏𝟐𝟓𝟑√𝟐𝟕

=𝟓𝟑

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EjerciciosResolver:

𝑨¿𝟐𝟑

+𝟒𝟑 𝑩 ¿

𝟑𝟒

+𝟓𝟒

𝑪 ¿𝟑𝟖

+𝟏𝟐

𝑫 ¿−𝟑𝟓

+𝟕𝟓

𝐄¿𝟐𝟓

+𝟑

𝟏𝟎𝑭 ¿

𝟐𝟑

+𝟑𝟓

𝑮¿𝟏𝟐

+𝟒𝟕

𝑯 ¿𝟕

𝟏𝟏−

𝟑𝟏𝟏

𝑰 ¿𝟓𝟑−

𝟐𝟑 𝑱 ¿ 𝟕

𝟏𝟏−(− 𝟑

𝟏𝟏 )

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EjerciciosResolver:

𝑲 ¿𝟏𝟐÷

𝟑𝟖 𝑳¿

𝟐𝟓÷

𝟑𝟏𝟎

𝑴 ¿𝟐𝟓∗

𝟑𝟕

𝑵 ¿𝟑𝟖∗

𝟑𝟓

𝑶 ¿𝟒𝟓∗

𝟕𝟑

𝑷 ¿𝟓𝟕∗

𝟐𝟑

𝐐¿𝟓𝟐∗

𝟑𝟏𝟎

𝑹¿−𝟓𝟑

∗𝟐−𝟕

𝑺¿𝟐−𝟓

∗−𝟑𝟕

𝑻 ¿𝟑𝟕÷−𝟐𝟑

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NÚMEROS REALES

Cuando hay mezcla de sumas, productos, paréntesis, etc…

Primero se realizan los PARÉNTESIS, si les hay. Si hay paréntesis anidados ( uno dentro de otro) se opera de dentro hacia fuera.

Segundo las POTENCIAS y RAÍCES, si las hay.

Tercero los PRODUCTOS y DIVISIONES, si los hay.

Cuarto las SUMAS y RESTAS, si las hay

Si hay una igualdad en el orden o jerarquía en las operaciones, se opera de IZQUIERDA a DERECHA.

GERARQUÍA EN LAS OPERACIONES

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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD POR:

2 Todos los números terminados en 0 o en cifra par 312

3 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 3 321

4 Todo número cuyas dos últimas cifras formen un múltiplo de 4 2512

5 Todo número que termine en 0 o en 5 315

6 Todo número múltiplo de 2 y de 3 a la vez 312

7 Todo número que al suprimir la cifra de las unidades y restar del número que queda el doble de la cifra suprimida, se obtenga un múltiplo de 7

476(35)

8 Todo número cuyas tres últimas cifras formen un múltiplo de 8 13.720

9 Todo número cuya suma de sus cifras sea múltiplo de 9 7.578

10 Todo número que termine en 0. 12.780

11 Todo número en el cual el valor absoluto de la diferencia de la suma de las cifras de lugar par e impar sea múltiplo de 11

8.195

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