LOS NMEROS REALESProf: Haroldo Cornejo OlivarDEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

IntroduccinEl ente bsico de la parte de la matemtica conocida como ANLISIS, lo constituye el llamado sistema de los nmero reales.Nmeros tales como: 1, , 3, 3 e, y sus correspondientes negativos, son usados en mediciones cuantitativas.Existen dos mtodos principales para estudiar el sistema de los nmeros reales. Uno de ellos comienza con un sistema mas primitivo tal como el conjunto de los nmeros naturales o enteros positivos; 1, 2, 3, 4, ... , y a partir de l, por medio de una secuencia lgica de definiciones y teoremas, se construye el sistema de los nmeros reales.

En esta primera parte, se har una presentacin intuitiva del conjunto de los nmeros reales. Se parte de un conjunto primitivo como es el conjunto N de los nmeros naturales y se efectan las sucesivas ampliaciones del mismo, atendiendo mas a la necesidad de resolver ciertas ecuaciones, en las cuales los conjuntos que se van definiendo resultan insuficientes para la solucin, que a un desarrollo axiomtico del mismo.En el segundo mtodo se hace una descripcin formal del sistema de los nmeros reales (asumiendo que existe), por medio de un conjunto fundamental de propiedades (axiomas) de las cuales muchas otras propiedades pueden deducirse.

CONJUNTO DE LOS NMEROS REALESEl conjunto de los nmeros reales est constituido por diferentes clases de nmeros. Entre ellas, se pueden mencionar los siguientes 6 conjuntos:

1. Conjunto de los nmeros naturales. El conjunto de los nmeros naturales, que se denota por N tambin por Z+, corrientemente se presenta asi: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

2. Conjunto de los nmeros enteros.El conjunto de los nmeros enteros, que se denota por Z , corrientemente se presenta as: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} En el conjunto de los nmeros enteros, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en N , como sucede por ejemplo con la ecuacin x + 3 = 1, cuya solucin es x = -2.Puede notarse que N Z. Z. N

3. Conjunto de los nmeros racionales. Q ={a/b a, b son enteros y b0}La introduccin de los nmeros racionales responde al problema de resolver la ecuacin:El conjunto de los nmeros racionales, que se denota por Q, se define de la siguiente manera:ax = b, con a, b R, a 0.sta tiene solucin en Z, slo en el caso particular en que a es un divisor de b

Note que todo entero n puede escribirse como el nmero racional n/1 y, en consecuencia, se puede concluir que:QZZ QN

4. Conjunto de los nmeros irracionales.El conjunto de los nmeros irracionales, que se denota por Q*, est constituido por los nmeros reales que no admiten la representacin racional.Ejemplos de esta clase de nmeros son: el nmero e (base del logaritmo natural), ,Las races de valores que no son cuadrados perfectos, etc.En este conjunto, se pueden resolver ecuaciones que no tienen solucin en Q , como sucede, por ejemplo, con la ecuacin x2 2 = 0, cuyas soluciones son: x =2, que no son nmeros racionales.

En el conjunto R de los nmeros reales, estn definidas dos operaciones: adicin (+) y multiplicacin (), las cuales verifican las siguientes propiedades (llamadas tambin axiomas de cuerpo).

5. Conjunto R de los nmeros realesR =Q Q*.QZN

Axiomas de cuerpo 1. Clausura 2. Conmutativa Sean a, b, c, d a + b a b a + b = b + aa b = b a3. Asociativa a +( b + c )= (a + b) + c a ( b c )= (a b) c 4. Elemento Neutro l! 0 / a + 0 = 0 + a = a l! 1 / a 1 = 1 a = a El real 0 es llamado: elemento neutro aditivo.El real 1 es llamado: elemento neutro multiplicativo.

Para cada nmero real a, existe un real nico llamado el inverso aditivo de a, y que se denota a tal que: a + (-a) = 0Para cada nmero real a 0, existe un real nico llamado el recproco de a, (inverso multiplicativo) y que se denota por a-1 tal que:5. Elemento Inverso a a-1 = a = 16. Distributiva a, b, c, R , a (b+c) = ab + ac

para la adicin x + y = x + z y = z CONSECUENCIAS IMPORTANTES DE LOS AXIOMAS DE CUERPOPara la multiplicacin Si x 0, xy = xz y = zT1. Ley cancelativa:T2. a, b R, la ecuacin: x + a = b, tiene una y solo una solucin en R.T3. x R , x 0 = 0T4. x y = 0 x = 0 v y = 0.T5. x R , si x 0, entonces x-1 = 0.T6. Si y 0, entonces, T7. x R , -(-x) = x.T8. Si x 0, entonces (x-1)-1 = x

T9. x, y R, -(x + y) = (-x) + (-y)T10. Si x 0, y 0, entonces (xy)-1 = x-1.y-1 =T11. Si b 0, d 0, entoncesT12. Si b 0, d 0, entoncesT13. Si b 0, d 0, entoncesT14. x R , -x = (-1)xT15. (-1) (-1) = 1

T16. (-x) (-y) = xyT17. -(xy) = (-x)y = x(-y)T18. y 0T19. x(y-z) = x y x zT20. (x-y) + (y-z) = x zT21. (a-b) - (c-d) = (a+d) (b+c)T22. (a + b) (c + d) = (a c + b d) + (a d + b c)T23. (a - b) (c - d) = (a c + b d) - (a d + b c)T24. a - b = c d a + d = b + cT25. Si x2 = x x, entonces, x2 y2 = (x-y) (x+y)

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