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Los números reales y naturales. Clasificación de los números. Propiedades de los números reales. Potencias y radicales. Leyes de los exponentes. Operaciones con números enteros. Orden de las operaciones . Docente: Esaú Abimael Ruiz Palomo

Los números reales y naturales

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Page 1: Los números reales y naturales

Los números reales y naturales.

Clasificación de los números.Propiedades de los números reales.

Potencias y radicales.Leyes de los exponentes.

Operaciones con números enteros.Orden de las operaciones.

Docente: Esaú Abimael Ruiz Palomo

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Complejos

Reales

Imaginarios

Irracionales

Racionales

Naturales

Cero

Negativos

Uno

Primos

CompuestosEnteros

Fraccionarios

Exactos

Periódicos

Clasificación de los números

Dar clic en el nombre para revisar cada uno

Se sugiere revisar primero las subclasificaciones.

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Números complejos• Los números complejos son de la forma binómica: a + bi

El número a es la parte real del número complejo.En número b es la parte imaginaria del número

complejo.Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = aSi a = 0 el número complejo se reduce a bi y se dice que es un número imaginario puro.Al conjunto de los números complejos se le denomina

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Números reales• Es el conjunto de números racionales e irracionales.

Se designa por• Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

Dar clic en el operaciones.

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Números imaginarios• Un número imaginario se denota por bi, donde :

b es un número reali es la unidad imaginaria:

Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando negativo.x2 + 9 = 0

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Números racionales• Se llama número racional a todo número que puede

representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.

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Números irracionales• Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

Ejemplos:Π = 3.14159265359…e = 2.71828182845…

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Números enterosEl conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.Z = {... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

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Números fraccionarios• Son aquellos que generalmente se presentan como un

número decimal o como una fracción.• Una fracción es una comparación de números naturales mediante una división.

2/3=0'666666...

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Propiedades de los números reales

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Conmutativa Suma Multiplicación

a+b = b+a ab = ba

El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el resultado.

2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5

 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Asociativa Suma Multiplicación

a+(b+c)=(a+b)+c  a(bc) = (ab)c

Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y no se afecta el resultado.

7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7

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Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Identidad Suma   Multiplicación

a + 0 = a   a x 1= a

Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es laidentidad aditiva. Todo real multiplicado por 1 se queda igual; el 1es la identidad multiplicativa.

-11 + 0 = -11  17 x 1 = 17

Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Inversos Suma Multiplicación

a + ( -a) = 0

a x (1/a) = 1 

La suma de opuestos es cero.El producto de recíprocos es 1.

15+ (-15) = 0

2 x (½) = 1

 Propiedad Operación Definición Que dice Ejemplo

Distributiva Suma respecto aMultiplicación

a(b+c) = ab + ac El factor se distribuye a cada sumando.

2(x+8) =2(x) + 2(8)

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Potenciación y radicaciónPotenciación o exponenciación: Multiplicación de varios factores iguales. Por ejemplo3 x 3 x 3 x 3 = 34 ó 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 46

34

Radicación: Operación opuesta a la potenciación.

BaseExponente

Índice del radical.

Radicando

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Leyes de los exponentes• El resultado de multiplicar dos potencias de la misma base es otra potencia de igual base y cuya potencia es la suma de los dos exponentes, es decir:

an x am = an+m

23 X 26 = (2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2) = 23+6 = 29

• El resultado de dividir dos potencias de la misma base es otra potencia de igual base y cuya potencia es la resta de los dos exponentes, es decir:

= an-m

= = 7 x 7 = 75-3 = 72

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Leyes de los exponentes• El resultado de elevar una potencia a un nuevo exponente es otra potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los dos exponentes, es decir:

(an)m = anxm

(103)4 = 103 x 103 x 103 x 103 = 103+3+3+3 = 103 x 4 = 1012

• Para elevar un producto de varios números a una potencia, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia, es decir:

(a x b x c)n = an x bn x cn

(2 x 3 x 4)2 = (2 x 3 x 4) x (2 x 3 x 4) = 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 = 22 x 32 x42

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Leyes de los exponentes• Para elevar un cociente de dos números a una

potencia, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia, es decir:

()n = ()3 = x x = =

• Un exponente negativo puede representarse de la siguiente manera:

a-n = = = = = 6-2

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Leyes de los exponentes.• Cualquier número elevado a la potencia cero es igual

a uno.a0 = 1

= = = 1 = 50

• Cualquier número elevado a la potencia uno es el mismo número, es decir:

a1 = a = = = 5 = 51

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Leyes de los exponentes

• Puedes acceder a la siguiente página para desarrollar ejercicios acerca del tema:

http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1129

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Operaciones con números enteros.• Suma o adición: a + bAl sumar cantidades del mismo signo el resultado también es de ese signo.9 + 6 = 15 -8 -9 = -17

Para sumar cantidades de diferente signo, se hace la resta de éstas, sin tomar en cuenta el signo, el resultado tiene el signo del número mayor.-9 + 6 = (9 – 6 = 3)-9 + 6 = -3

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Operaciones con números enteros.• Resta o sustracción (a – b):Al restar cantidades y juntar dos signos se aplica la ley de los signos.19 – (-14) = 19 + 14 = 33

• Multiplicación o cociente (a x b; a*b; ab):Para poder realizarlas se deben tomar en cuenta la ley de los signos.(-9) (5) = -45 (+) (+) = +(-5) (-6) = 30 (+) (-) = - (-) (+) = -

(-) (-) = +

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Operaciones con números enteros.• División, cociente o razón (a b; a : b; ):Para poder realizarlas se deben tomar en cuenta la ley de los signos.

= 5

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Orden de las operacionesParéntesis.Exponentes.Multiplicación.División.Adición.Sustracción.

+2 (5 – 3) 2 = +2 (2) 2 = +2 (2) 2 =4 + 2 (2) 2 =4 + 2 = 6

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Fuentes revisadas• http://www.ditutor.com/numeros_naturales/clasificacion_numeros.html• http://

www.pps.k12.or.us/district/depts/edmedia/videoteca/prope/htmlb/SEC_26.HTM• http://

www.aulafacil.com/cursos/l10824/ciencia/matematicas/numeros-decimales/numeros-decimales-exactos-periodicos-puros-periodico-mixto

• https://sites.google.com/site/mago9292/unidad-1-numeros-reales/1-3---propiedades-de-los-numeros-reales

• Ramírez M. (2013) Matemáticas I. Colegio de Bachilleres del Estado de San Luis Potosí.

• S/A (2008) Enciclopedia Temática ilustrada, Tomo II. Arquetipo Grupo Editorial.• SEP (2011) Curso propedéutico para el fortalecimiento de la habilidad

matemática y lectora de los estudiantes de nuevo ingreso a la educación media superior.