Los Números 1.1 Reales - Libreria onlinelibreriaonline.pe/previews/algebra_np_unidad_01.pdf · El conjunto de los números racionales, ... 2do.-Por extensión los números reales

10 Álgebra 11Und. 1 El Conjunto R

1.1.1. El Álgebra

La palabra árabe al-jabru, que significa reducción, es el origen de la palabra álgebra.

El álgebra es la rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas, de este modo el álgebra es el idioma de las matemáticas. Al igual que en la arit-méticas las operaciones fundamentales del álgebra son: adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.

El álgebra es una ciencia antigua cuyos orígenes se remontan al segundo milenio a.J.C, en el antiguo Egipto y Babilonia que apare-ce como un conjunto de reglas para resolver ecuaciones lineales e indeterminadas con varias incógnitas. Los matemáticos griegos Pitágoras, Euclides, Eudoxo y Arquímedes se interesaron por el álgebra por el punto de vista geométrico. Los matemáticos alejan-drinos Herón y Diofante continuaron con la tradición egipcia y babilónica y ya en el siglo III después de J.C, el segundo inició el uso de las letras para representar a las incógnitas.

En el siglo IX el matemático árabe Al-Jwarizmi, escribió uno de los primeros libros árabes de álgebra sistematizando la teoría funda-mental de ecuaciones.

En la imagen el monumento a este sabio árabe.

La mayoría de las obras manufacturadas por el hombre, que requieren de precisión, se va-len de los ajustes y tolerancias.

Para tal efecto los diseñadores efectúan me-didas de alta precisión utilizando instrumen-tos como el que muestra la imagen llamado vernier digital. Este instrumento expresa las medidas en mediante números constituidos por enteros y decimales. Esto revela la insufi-ciencia de los conjuntos numéricos naturales, enteros e incluso los racionales, dando lugar a los números reales.

1.1Los Números Reales

A principios del siglo XIII se inicia un importante aporte de los europeos al álgebra árabe, entre los que resaltan Fibonacci (con el estudio de las sucesiones), Descartes (con la geometría ana-lítica), Abel y Galois (con el desarrollo de los grupos), Gaüss (con el estudio de las estructuras), Hamilton (en la aritmética de los complejos), Grassmann y Gibbs (con el álgebra vectorial), Voole (con el tratamiento algebraico de la lógica básica); han contribuido a desarrollar lo que en la actualidad se denomina álgebra moderna o abstracta.

1.1.2. Conjuntos Numéricos N, Z, Q

1.1.2A. El conjunto N

El conjunto de los números naturales, denotado por N, es el conjunto cuyos elementos son cada uno de los números naturales.

En este texto asumimos que la construcción de los números naturales es en base a los axiomas modificados de Peano, según los cuales los naturales tienen un primer elemento que es el cero (0), desde el cual todos tienen sucesores y antes del cual no hay antecesores. El conjunto de los números naturales es infinito, es decir, no existe un último elemento.

== { ; ; ; ; ...; }0 1 2 3 n

Al conjunto de los números naturales que no incluyen el cero lo denotaremos por N*:

* = {1; 2; 3;...; } * = - {0}n ∧∧

1.1.2B. El conjunto Z

El conjunto de los números enteros es el que tiene por elementos a los números naturales que poseen signos positivo o negativo, excepto el cero.

== {- ;...; - ; - ; - ; ; ; ; ;...; }n n3 2 1 0 1 2 3+ + + +

En el conjunto de los números enteros se pueden reconocer a los siguientes conjuntos:

Conjunto de enteros positivos: −−

++

== ++ ++ ++ ++

==

{ ; ; ; ...; }

{ ; ...; ; ; }

1 2 3

3 2 1

n

n - - - -Conjunto de enteros negativos:

De este modo el conjunto Z se puede escribir así: = ∪ ∪+ −

{ }0

El conjunto de los enteros que no incluye el cero, denotado por Z*, está dado por:

* {- ;...; - ; - ; - ; ; ; ;...; } * - { }== ∧∧ ==n n3 2 1 1 2 3 0+ + + +

1.1.2C. El conjunto Q

El conjunto de los números racionales, denotado por Q, es aquel que tiene por elementos a todos los números de la forma a/b, donde a es un número entero y b es un número entero no nulo.


= ∈ ∧ ∈{ }S ab

a b| *

La expresión a/b es una división indicada llamada fracción y en general todo número natural o entero puede expresarse como una fracción.

De acuerdo con la definición de Q se puede prever que existen números racionales positivos y negativos, tal que:

= ∪ ∪ ∧ = −+ −{ } * { }0 0

1.1.3. Números Irracionales

1.1.3A. DefiniciónLos números irracionales, cuyo conjunto es denotado por I, son aquellos que no pueden ex-presarse en la forma a/b siendo a y b enteros y se caracterizan por poseer, en su parte decimal, infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo.

Ejemplo 1.- Los siguientes son números irracionales:

12,001305... , 0,99835... , 1,32478...

Algunos de los números irracionales se obtienen mediante operaciones de radicación.

Ejemplo 2.- Los siguientes también son números irracionales:

2= 1,4142..., 3 1,73205...=

Los más célebres números irracionales son identificados mediante símbolos. Algunos de éstos son: pi (p), el número neperiano (e), el número áureo (F), etc.

π = 3,141519...., = 2,718281828..., = 1+ 52

1,61803398.e Φ = ...

1.1.3B. Ubicación de I en la recta numérica

Los números irracionales no son numerables, es decir, entre cualquier par de irracionales exis-ten infinitos números.

En términos geométricos el número irracional 2 resulta ser la hipotenusa del triángulo rec-tángulo mostrado cuyos catetos miden 1. Haciendo centro en 0, se traza un arco cuyo radio

coincide con la longitud de la hipotenusa. La intersección del arco con la recta numérica hori-zontal permite ubicar en ella a los números irracionales + −2 y 2

1.1.4. Números Reales

1.1.4A. Definición

Se denomina número real a todo elemento pertenecien-te al conjunto R, formado por la unión de los números enteros (Z), el cuerpo de fracciones asociado al con-junto anterior (números racionales Q) y el conjunto de los números irracionales I (los no expresables mediante una fracción).

En forma práctica establecemos que:

R Q I R R R R= = *= -+ -∪ ∪ ∪ ∧{0} {0}

Los números reales también se definen como aquellos conceptos, u objetos matemáticos, pri-mitivos que satisfacen un cierto número de propiedades que se toman como axiomas; es decir, se supone que existen ciertos objetos, llamados números reales, que satisfacen 10 axiomas enunciados en las siguientes secciones. [Calculus, Vol 1, PhD Tom Apostol, Ed. Reverté, Bar-celona, 1989]

Observaciones.-

1ro.- Los números reales son números usados para representar una cantidad continua (inclu-yendo el cero y los negativos).

2do.- Por extensión los números reales tampoco son numerables ya que incluyen el conjunto de los irracionales.

3ra.- Los números reales tienen una correspondencia biunívoca con cada punto de una recta geométrica.

1.1.4B. La recta numérica real

La recta numérica real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido y los negativos en el otro, generalmente hacia la derecha e izquierda, respectivamente.

Descripción:


1ra.- Al ubicar los naturales, enteros y racionales en la recta numérica, éstos no logran hacerse corresponder con todos los puntos de la recta, en cambio, todos los números reales se corres-ponden con cada uno de los puntos de la recta.

2da.- Si la línea recta presenta infinitos puntos y a cada punto le corresponde un número real, conclui-mos que los números reales poseen infinitos elementos. Esto nos permite afirmar que el conjunto R es denso, es decir, entre cualquier par de sus elementos existen infinitos números reales.

3ra.- La recta numérica, llamada también recta real, es aquella a la que asociamos el cero con uno de sus puntos, desde allí representamos a los números reales positivos hacia la derecha (semieje positivo) y hacia la izquierda los números reales negativos (semieje negativo).

1.1.5. Axiomas de cuerpo en R

1.1.5A. Adición y Multiplicación en R

Junto con el conjunto de los números reales R se supone la existencia de dos operaciones llamadas adición y multiplicación, tales que para cada par de números reales x e y, se puede formar la suma de x e y, que es otro número real denotado por x+y, y el producto de x por y, denotado por xy o x .y.

Axioma 1. Propiedad Conmutativa

x+y = y+x , xy = yx

Axioma 2. Propiedad Asociativa

x+(y+z) = (x+y)+z , x(yz) = (xy)z

Axioma 3. Propiedad Distributiva

x(y+z) = xy+xz

Axioma 4. Existencia de Elementos Neutros

Existen dos números reales distintos, que se indican por 0 y 1, tales que para cada número real x se tiene:

0+x = x+0 y 1.x= x.1

Axioma 5. Existencia de Negativos

Para cada número real x existe un número real y tal que:

x+y = y+x = 0

Axioma 6. Existencia del Recíproco

Para cada número real x ≠ 0 existe un número real y tal que:

x.y= y.x = 1 , x(yz) = (xy)z

1.1.5B. Teoremas

De los axiomas anteriores se pueden deducir todas las leyes usuales del Álgebra elemental. Las más importantes de ellas se enlistan a continuación. En todos estos teoremas las letras a, b, c, d, representan números reales cualesquiera.

Teorema 1.1. Ley de simplificación para la suma

Si a+b=a+c, entonces b=c

Teorema 1.2. Posibilidad de la sustracción

Dados a y b existe uno y solo un x tal que a+x = b.

Este x se denota por: b - a.

En particular 0 - a se escribe simplemente -a y se denomina el negativo de a.

Teorema 1.3. b - a = b +(-a)

Teorema 1.4. - (-a) = a

Teorema 1.5. a(b - c) = ab - ac

Teorema 1.6. 0.a = a.0

Teorema 1.7. Ley de simplificación para la multiplicaciónSi y , entonces :ab ac a b c= ≠ =0

Teorema 1.8. Posibilidad de la división

Dados a y b con a ≠ 0 , existe uno solo un x tal que ax = b

La x se denota por b/a o ba y se le llama cociente de b y a. En particular 1/a se escribe también

a-1 y se le llama recíproco de a.

Teorema 1.9. Si a ≠ 0 , entonces: b/a=b.a-1

Teorema 1.10. Si a ≠ 0 , entonces: a a− −( ) =1 1

Teorema 1.11. Si ab = 0, entonces o a = 0 o b = 0.

Teorema 1.12. −( ) = −( ) −( ) −( ) =a b ab a b aby

Teorema 1.13. ab

cd

ad bcbd

b c( ) + ( ) = +( ) ≠ ≠si y0 0

Teorema 1.14. ab

cd

acbd

b c( )( ) = ( )( ) ≠ ≠si y0 0

Teorema 1.15. ab

cd

adbc

b c( ) ÷ ( ) = ( )( ) ≠ ≠si y0 0

Nota. Debe quedar establecido que todos y cada uno de estos teoremas, y los que siguieran, pueden ser demostrados con base en los axiomas precedentes.


1.1.6. Axiomas de Orden

1.1.6A. Definición

Este grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que se establece una ordenación o secuenciación entre los números reales.

Según este concepto se puede decidir si un número real es mayor o menor que otro. Aqui se introducen las propiedades de orden a partir de un conjunto de axiomas referidos al nuevo concepto primitivo de positivo, para definir después los conceptos de mayor que y menor que a partir del concepto de positivo.

1.1.6B. Axiomas

Axioma 7. Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre con x+y y xy.

Axioma 8. Para todo real x ≠ 0 , x x∈ − ∈+ + o , pero no ambos a la vez.

Axioma 9. 0 ∉ +

1.1.6C. Definiciones de los símbolos de orden

Los símbolos < > ≤ ≥, , y se denominan: menor que, mayor que, menor o igual que y mayor o igual que, respectivamente. Estos símbolos se definen del siguiente modo:

a) x y< significa que y - x es positivo

b) y x> significa que x y<

c) x y≤ significa que o x<y o x=y

d) y x≥ significa que x y≤

En virtud que los números reales se ubican en la recta numérica de forma que van aumentan-do de izquierda a derecha, se establece que: Si «x» y «y» son dos números reales, entonces se verifica que x < y si «x» se ubica a la izquierda de «y» en la recta numérica.

Nota.- En referencia a los símbolos −∞ + ∞y , estos representan cantidades infinitamente pequeñas o grandes, respectivamente. Por ello se les llama expresiones no definidas.

1.1.6D. Teoremas

Teorema 1.16. Propiedad de Tricotomía

Para a y b números reales cualesquiera se verifica una y sólo una de las tres relaciones:

a0 entonces ac<bc

Teorema 1.20. Si a ≠ 0 entonces a2>0

Teorema 1.21. 1>0

Teorema 1.22. Si abc

Teorema 1.23. Si a<b, entonces -a>-b . En particular si a<0, entonces -a>0.

Teorema 1.24. Si ab>0, entonces a y b son o ambos positivos o ambos negativos.

Teorema 1.25. Si a<c y b<d, entonces a+b< c+d.

1.1.7. Axioma del Extremo Superior

1.1.7A. Cota Superior de un conjunto numérico

Sea S un conjunto no vacío de números reales y supongamos que existe un número real B, tal que:

x B x S≤ ∈para todo

Entonces se dice que S está acotado superiormente por B a quien se denomina una cota supe-rior para S.

Decimos una cota superior debido a que todo número mayor que B también es una cota supe-rior. Si una cota superior B pertenece también a S, entonces B se llama elemento máximo de S. A lo sumo puede existir un B que sea elemento máximo. Si existe se escribe:

B = máx S

Asi que, B = máx S si B S x B∈ ≤y para todo x de S. Un conjunto sin cota superior se dice que no es acotado superiormente.

Ejemplo 1.- Sea S = +

. Diremos que S es un conjunto no acotado superiormente. No tiene cotas superiores ni elemento máximo.

Ejemplo 2.- Sea S = +

y x uno cualquiera de sus elementos tales que: 0 2≤ ≤x . Diremos que este conjunto S está acotado superiormente por el 2. Asimismo su elemento máximo es el 2.


La Fig. a muestra al conjunto S acotado superiormente y con elemento superior o máximo.

Con frecuencia se emplea el término supremo de un conjunto en vez de extremo superior utilizando la abreviatura sup y escribiendo entonces:

B = sup S

Ejemplo 3.- Sea T = y x uno cualquiera de sus elementos tales que: 0 2≤ <x . Podemos afir-mar que este conjunto T es parecido al conjunto S del ejemplo anterior salvo que el punto 2 no está incluido. Diremos que este conjunto está acotado superiormente por el 2 pero no tiene elemento máximo. La Fig. b muestra al conjunto T con extremo superior pero sin máximo.

1.1.7B. Definición de Extremo Superior

Un número B se denomina extremo superior de un conjunto no vacío S si tiene dos propiedades:

1ra. B es una cota superior de S.

2da. Ningún número menor que B es cota superior para S.

1.1.7C. Teorema del Extremo Superior

Dos números distintos no pueden ser extremos superiores para el mismo conjunto.

Este teorema nos expresa que si existe extremo superior para un conjunto S, hay solamente uno y puede decirse que es el extremo superior.

1.1.7D. Axioma del Extremo Superior (Axioma de completitud)

Todo conjunto no vacío S de números reales acotado superiormente posee extremo superior, esto es, existe un número real B tal que B = sup S.

Las definiciones de cota inferior, acotado inferiormente y mínimo, se formulan de un modo parecido. Si S tiene mínimo se denota: min S.

Un número L se llama extremo inferior (o ínfimo) de S si: a) L es una cota inferior para S, y b) ningún número mayor que L es cota inferior para S. El extremo inferior de S, cuando existe, es único y se denota como inf S. Si S posee mínimo entonces: min S = inf S.

1.1.8 Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real «a», denotado por |a|, se define como la distancia, medida sobre la recta numérica, desde el punto «a» hasta el cero (0).

El valor absoluto de «a», es decir |a|, se determina por medio de la siguiente regla:

| |=

, si 0- , si <0

aa aa a

‡‡

Ejemplo.- A continuación calculemos el valor absoluto de los siguientes números:

|-2,31|= 2,31; |0| = 0; |-4,8| = 4,8

Prob. 01.- Demostrar la Propiedad Cancelativa del Producto: ab = ac ∧ a ≠ 0, entonces: b = c.

i) Sealaigualdaddelahipótesis: ab=ac ...(1)

ii) Sia≠0,entoncessurecíprocomultiplicativoesa–1

iii) Multiplicando(1)pora–1: a–1(ab)=a–1(ac)

iv) Agrupandotérminos: (a–1·a)b=(a–1·a)c

v) SegúnlaLeydeRecíprocoMultiplicativo: 1·b=1·c

vi) SegúnlaPENM: b=c lqqd

Prob. 02.- Demostrar que: ab = 0 → a = 0 ∨ b = 0.

i) Siasumimosqueb≠0,entonces: ab a b a= → = → =0 0 0 ab=0

ii) Siasumimosquea≠0,entonces: ab b a b= → = → =0 0 0 lqqd

Prob. 03.- Demostrar que: ∀ a ∈ R se cumple que: a2 ≥ 0.

i) Supongamosa>0

Enestecaso: a·a>0·a → a2>0...(1)

ii) Supongamosa=0

Enestecaso: a·a=0·a → a2=0...(2)

iii) Supongamosa<0

Enestecasoaesnegativoy–aespositivo.Luego:a(–a)<0·(–a) → –a2<0

Deestaúltimarelaciónsedesprendeque–a2esnegativo,luegoa2espositivo:

a2>0...(3)

De(1),(2)y(3)concluimosque:a2≥ 0 lqqd


Prob. 04.- Demostrar que: si a + b = a + c, entonces b = c.

Setiene: a+b=a+c...(*)

Segúnelaxiomadelaexistenciadenegativosexisteunytalque: y+a=0 ...(**)

Entoncessegún(*)podemossuponerque: y+(a+b)=y+(a+c)

Segúnlapropiedadasociativasepuedeagruparasí: (y+a)+b=(y+a)+c

Sustituyendo(**),setiene: 0+b=0+c

Segúnelaxiomadelaexistenciadelelementoneutro,setiene: b=c

Prob. 05.- Demostrar que, dados dos números a y b, existe uno y solo un x tal que:

a+x = b, siendo x = b - a.

Setieneaybyseeligeunytalque: a+y=0 ...(*)

Asimismosea: x=y+b ...(*)

Entonces: a+x=a+(y+b)=(a+y)+b=0+b=b

Porlotantohayporlomenosunxtalque: a+x=b ...(**)

Peroenvirtuddelteorema1.1,hayalomásunx.

Luegohayunoysolounxenestascondiciones.

Prob. 06.- Demostrar que: b - a = b + (-a).

Seatienex=b-a,ysea:y=b+(-a).Setratadeprobarquex=y

Por definición de b-a: x+a=b

Luego: y+a=[b+(-a)]+a=b+[(-a)+a]=b+0=b

Portanto,x+a=y+a,y en virtud del teorema de la simplificación: x=y ...(**)

Esdecir: b-a=b+(-a).

Prob. 07.- Demostrar que: -(-a)= a.

Por definición de -a: a+(-a)=0...(*)

Estaigualdaddiceque(-a)eselopuestodea,esdecirque: a=-(-a)

Tal como se afirma en el teorema

Prob. 08.- Demostrar que si a 0yc-b>0.

Envirtudalaxioma7,sepuedesumarobteniéndose: (b-a)+(c-b)>0

Efectuandooperacionesseobtiene:c-a>0yportanto:a<c

Prob. 09.- Demostrar que si a 0

Deaquí:y-x> 0 , lo que significa: x<y

Finalmente: a+c<b+c

Prob. 10.- Demostrar que: si a 0, entonces: ac < bc.

Setieneque:a<b,entonces:b-a>0

Si:c>0,envirtuddelaxioma7,sepuedemultiplicarcpor(b-a)obteniéndose:

(b-a)c>0...(*)Pero:(b-a)c=bc-ac

Reemplazandoesteresultadoen(*):bc-ac>0

Deaquí: bc>ac


Prob. 11.- Identifique el valor de verdad, de las siguientes proposiciones:

( ) Si: a ∈ R ∧ b ∈ N, entonces es cierto que: ab ∈ N

( ) ∀ m ∧ n ∧ ∈, no es cierto que: m + n ∈ I.

( ) Si: x ∈ Z ∧ w ∈ Q, entonces es cierto que: xw ∈ Q.

( ) Si: x ∈ I ∧ v ∈ Q, entonces es cierto que: xv ∈ I.

A) FVVF B) VVVF C) VFVF D) VFFF E) VFVV

Nuestraestrategiaseráemplearcontraejemplosquesirvanparademostrarlocontrariodelo que se afirma.

i. Sean: a 2 b ab= ∧ = → =3 3 2 (nocumple) (F)

ii. Seanlosirracionales: m 3 n m n= ∧ = − → + =3 0 (noesirracional) (V)

iii. Si x∈Z→ x∈Qycomow∈Q →xw∈Q (propiedaddeclausura)(V)

iv. Sean: x 5 v xv= ∧ = → =0 0 (nocumple) (F)

\ FVVF Rpta.A

Prob. 12.- Colocar: Nunca, Alguna vez o Siempre, en las siguientes proposiciones.

i. Todo número entero, ............... es, real.ii. Un número real, ............... es, natural.iii. Un número natural, ............... es, irracional.iv. Todo número irracional, ............... es, real.

A) Siempre, siempre, alguna vez, nunca B) Nunca, siempre, alguna vez, nunca

C) Siempre, alguna vez, nunca, siempre D) Alguna vez, siempre, siempre, nunca

E) Nunca, siempre, alguna vez, alguna vez

Aplicando la definición de número real, tendremos:

i. Todonúmeroentero,siemprees,real.

ii. Unnúmeroreal,algunavezes,natural.

iii. Unnúmeronatural,nuncaes,irracional.

iv. Todonúmeroirracional,siempreesreal. Rpta.C

Prob. 13.- A partir de la siguiente figura:

determine el máximo valor entero de «y» y el mínimo valor entero de «x».

A) 1; 4 B) 0; 3 C) 0; 2 D) 1; -3 E) -2; 4

Aplicando las definiciones de número positivo y negativo, tendremos:

i. x-2espositivosi: x–2>0 → x>2 → x∈{3;4;5;....}

Luego: xmín=3(entero)

ii. y-1esnegativosi: y-1<0 → y<1 → y∈{...;-3;-2;-1;0}

Luego: ymáx=0(entero) \ ymáx=0; xmín=3 Rpta.B

Prob. 14.- Si: a ∈ R+ y a = 3 - x, determine la suma de los valores enteros positivos de «x».

A) 5 B) 6 C) 8 D)3 E) -1

i. Si: a∈R+ → a>0

ii. Comoa=3-x,delpasoanterior: 3-x>0 3>x x<3

Esto significa que: C.S = {...; -1; 0; 1; 2}

iii. Perosegúncondicióndelproblema«x»espositivo,luego: x∈{1;2}

Finalmentelasumadelosvalorespositivoses: S=1+2 \ S=3

Prob. 15.- Determina el número de proposiciones falsas, en:

( ) 4 ≥ 4 ( ) 2 ,> 1 5 ( ) -1 ≤ 3

( ) − < −12

13

( ) -0,7 > -0,1 ( ) 3 1 73< ,

A) 4 B) 3 C) 5 D) 2 E) 6


i. 4≥4 → 4>4 ∨ 4=4 ...(V)

ii. -1≤3 → -1<3 ∨-1=3 ...(V)

iii. -0,7>-0,1 ...(F)

iv. 2 1 51 41, .....

,

> ...(F)

v. − < −12

13

...(V)

vi. 3 1 731 732, .....

,

< ...(F)

\Hay3proposicionesfalsas.Rpta.B

Prob. 16.- Si: 5 36

xx

+−

, es el elemento neutro aditivo, calcular el opuesto de «x».

A) 3 B) 2 C) 4 D) 0 E) 35

i. Por definición de elemento neutro aditivo establecemos que:

5 3

6 0 5 3 0 35

xx x x+

− = → + = → = −

ii. Comopidenelopuestode«x»: ∴ − =x 35 Rpta.E

Prob. 17.- Si: x y+ + = + − =1 2 0 1 2 0; ; calcular: x2 + y2

A) 6 B) 2 C) 5 D) 8 E) 3

Nuestraestrategiaconsistiráendespejar«x»e«y»decadaecuaciónyacontinuación,me-diantemultiplicacionesyadiciones,obtenerx2+y2.

De: x x x+ + = → + + = → = − −1 2 0 1 2 0 1 2

→ = − − − − = − + − − + −x2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2( )( ) ( ) ( )( ) ( )

∴ = +x2 3 2 2

ii.De: y y y+ − = → + − = → = − +1 2 0 1 2 0 1 2

y2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2= − + − + = − + − +( )( ) ( ) ( )( ) ( )

∴ = −y2 3 2 2

Luegoobtenemos: x2+y2=3+2 2 +3-2 2 =6 Rpta.A

Prob. 18.- Calcular el valor de K, si: K = − + − + +| | | | | |2 3 5 2 2 2 2

A) 12 B) 20 C) 3 D) 10 E) 10

Nuestroanálisisempezaráreconociendoque: 2 2< ,ahoraprocedemosaexaminarelsig-nodecadanúmeroafectadoporelvalorabsoluto:

2 2 2 3 2 3 2 3 1< → − < − → − <

Como 2 3− esnegativo,secumpleque: | | ( )2 3 2 3 2 3− = − − = − +

* 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 3< ↔ − > − → − > − → − >

como 5 2− espositivo:| |5 2 5 2− = −

Esevidenteque 2 2 2+ espositivo,luego: | |2 2 2 2 2 2+ = +

Finalmente: K = − + + − + +2 3 5 2 2 2 2 ; K=3+5+2

\K=10 Rpta.D

Prob. 19.- Si A y B son enteros, positivo y negativo respectivamente, determine la suma de todos los valores que sumen x2, donde: A = x - 2 y B = x - 5

A) 25 B) 20 C) 21 D) 15 E) 18

-Porcondición:A>0 → x-2>0 → x>2 ...(1)

-Porcondición: B<0 → x-5<0 → x<5 ...(2)

De(1)y(2)tenemos:x=3óx=4 ; x2=9óx2=16

∴ ∑de valores = 25 Rpta.A


Prob. 20.- Calcular: x · y, sabiendo que: |2x – 3| + |4 + 3y| = 0

A) 5 B) -4 C) -2 D) -3 E) 7

Deacuerdoconlateoríadelvalorabsoluto,estesiempreesunvalornonegativo(positivoo cero) por tanto la igualdad propuesta sólo se verifica cuando:

2x-3=0 ∧ 4+3y=0

2x=3 ∧ 3y=-4

x y= ∧ = −32

43

\ x ·y=-2 Rpta.C

Prob. 21.- Calcula el valor de x que verifica: ||2x + 1| + 4| = 3 - |x - 2|

A) -1 B) No existe C) 3 D) -2 E) 5

Unarápidainspecciónpermitereconocerque:|2x+1|+4espositivo,luego:

||2x+1|+4|=|2x+1|+4.

Laigualdadmostradaes: |2x+1|+4=3-|x-2|.

Dedondeobtenemos: |2x+1|+|x-2|=-1.

Estaigualdadesabsurdapuessicadavalorabsolutoesnonegativo,susumatambiéndebeasumirunvalornonegativo.

\ Noexistetalx Rpta.B

Prob. 22.- Demuestre que: son verdaderos cada uno de los siguientes enunciados, si:

ab ab

ba

> → + ≥0 2

Noestanobviocualaxiomaoteoremaemplearparademostrarque:

ab ab

ba> → + ≤0 2

Asíquereplantearemosunapartedelenunciadoasí:

ab

ba

ab

ba

a b abab

a bab+ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ − ≥2 2 0 2 0 0

2 2 2 ( )

Entoncesdemostraremos: ab a bab> → − ≥0

2 0( )

Enefecto,porelTeorema∀ x∈R:x2≥0,haciendoquex=a-b,tenemos:

1)(a-b)∈R → (a-b)2≥0

2)Dadoqueab>0,dividiendoentreabaambosmiembrosselogra:

( )a bab− ≥

20

ycomoes ( )a bab− 2

equivalentea: ab

ba+ ≥ 2 .

Entoncessehaprobadolavalidezde: ab ab

ba> → + ≥0 2


01.- Demostrar: si a ba

b a≠ → = −0 1 •

02.- Demostrar que:

si a a a a a≠ → = =− −0 11 1 • •

03.- Demostrar que:

i) (–a)b = –ab

ii) (–a)(–b) = ab

04.- Demostrar que: (a + b) (a – b) = a2 – b2

05.- Sabiendo que {a ; b} ⊂ R, demostrar que:

a2 = b2 → a = b ∨ a = –b

06.- Si {a ; b} ⊂ R+, demostrar que:

a b ab+ ≥ 2

07.- Si a ∈ R+, demostrar que: aa

+ ≥1 2

08.- Demostrar que: |a + b| ≤ |a| + |b| conocida como «desigualdad triangular».

09.- Un número entero n se llama par si n = 2 m para cierto entero m, e impar si n + 1 es par. Demostrar las siguientes afirmaciones:

a) Un entero no puede ser a la vez par e impar.

b) Todo entero es par o impar.

c) La suma o el producto de dos enteros pares es par. ¿Qué se puede decir acerca de la suma o del producto de dos enteros impares?

d) Si n2 es par, también lo es n, Si a2 = 2b2, siendo a y b enteros, entonces a y b son ambos pares.

10.- Sabiendo que: A = x + 1 y B = –10

Determine:

i. El valor de ( ),

9 8 0 3

x−

, si: «A» es el inverso aditivo de «B».

ii. El valor de 2x + |x|, si: «A» es el inverso multiplicativo de «B».

iii. n(M’ ∩ N), si: (A + B) ∈ R+, origina CS = M, (CS = conjunto solución).

A) −9 1011

9; ; B) 9 1110

10; ;−

C) 9 1110

10; ; D) − −9 1110

11; ;

E) − −9 1011

9; ;

11.- Sabiendo que: n ∈ R y (n + 5) no es ma-yor que 7, ¿qué valor no podría ser nn?

A) 4 B) -1 C) 1

D) -1/27 E) 27

12.- Se define la siguiente operación en R:

a bc d

ad bc= −

Si: x 12 3

7> ∧ x > a,

entonces podemos afirmar que:

A) a < 5 B) a ≥ 5 C) a ≤ 5

D) a ≥ -5 E) a = 5

1.1. Los Números RealesPráctica

13.- Respecto a los conjuntos numéricos, indi-car verdadero (V) o falso (F):

a. Z ⊂ N c. I ⊂ R b. Q ⊂ I d. Q ⊂ R

A) FFFF B) VVFF C) FVFV

D) VFFV E) FFVV

14.- Si m n p= = =18 2 3, y , ¿cuál de los siguientes números es racional?

A) p + n B) p · m C) n ÷ p

E) p - m E) m ÷ n

15.- Efectuar:

49 81 49 812

+ − −

A) 12 B) 144 C) 131

D) 121 E) 25

16.- Calcular el resultado de | | ||| | | |

5 55 3

+ −− −

A) 10 B) 0 C) -10

D) 5 E) -5

17.- Indicar verdadero o falso.

I. Z ⊂ R ................ ( )

II. N ⊂ Q ................. ( )

III. Q ∪ I = R ................. ( )

A) VVF B) VFV C) VVV

D) FVV E) FFF

18.- Al afirmar que: «Entre dos números rea-les siempre existe otro número real», que-remos decir que el conjunto de los números reales es:

A) Infinito B) Denso C) Ordenado

D) Completo E) Discreto

19.- Indicar la afirmación falsa:

A) − =3 3 B) − =4 2 4 2

C) | x | = x; si x > 0 D) | 6 | + | -6 | = 0

E) | x | = x; si -x < 0

20.- Indicar verdadero o falso:

I. p ∈ R ............................. ( )

II. -52 ∈ N ............................. ( )

III. (N ∪ Q) ∩ Z = Z ................ ( )

IV. − ∈49 ............................. ( )

A) VFFV B) FFVV C) FVFV

D) VFVF E) VFVV

21.- Determinar el valor de:

1 2 2 3− + −

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

22.- Si: A = 2 5− y B = 3 5− , el valor

de: (A + B)2

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

23.- Efectuar: | -3 | – | -0,25 | – | -1,25 |

A) 4,5 B) 1,5 C) 2,5

D) 3 E) 2,25

24.- Si: (3x1 – 1), es elemento neutro para la multiplicación y (x2 + 7), es el elemento neu-tro aditivo, ¿qué gráfica representa la ubica-ción correcta de x1 y x2?


A)

B)

C)

D)

E)

25.- Se sabe que: p < q < 0

Determina:

i. El signo de p qp q

+−

ii. El signo de pq

−−

11

iii. El valor |p – q | – | -p | + | -q |

A) +; +; 2p B) -; +; 2p C) +; -; 0

D) -; -; 2(p - q) E) +; +; 0

26.- Resolver 2|7x – 1| – |-26| = 0 e indicar la solución mayor.

A) 6 B) 5 C) 4

D) 3 E) 2

27.- Calcular la suma de soluciones de:

|2 – 3x| = |-5|

A) 2 B) 2 6,

C) 1 6,

D) 1 3,

E) 1

28.- Si a y b son números irracionales, enton-ces a + b, pertenece al conjunto:

A) I B) Q C) Z

D) R E) N

29.- Si: x + =0 32 0 32, , , calcular la suma de los posibles valores que puede tomar «x», dando la respuesta como una fracción irreduc-tible.

A) 12/13 B) 11/15 C) -16/25

D) 4/17 E) 16/21

30.- Del siguiente gráfico:

Determina, en cada caso:

i. «x», si: − =x 12

ii. |1 – x|

iii. Indique la relación de orden entre x y x2.

A) 12

1 2; ;− <x x x

B) − − >12

1 2; ;x x x

C) 12

1 2= − >x x x;

D) 12

1 2; ;− >x x x

E) − − >12

1 2; ;x x x

El modelo matemático que permite compren-der el proceso termodinámico que siguen los gases cuando no absorben ni liberan calor (Q), llamado proceso adiabático, consiste en una multiplicación de la presión «p» del gas por Vg, donde V es el volumen del gas, de modo que:

p· Vg = constante

y el exponente g tiene un valor que depende del tipo de gas: g ∈ {5/3 ; 3/2 ; 7/5}. Esto revela la gran ayuda de los exponentes para describir el mundo natural.

1.2.1. Potenciación

1.2.1A. DefiniciónLa potenciación es una operación matemática definida en el conjunto R × N*, en la que a cada par ordenado (a ; n) de números, de este conjunto, donde el real a se llama base y el natural n se llama exponente, le hace corresponder un número real, denotado por an, llamado potencia o potencia natural, mediante la siguiente regla:

aa a a a na n

n

n

n veces

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≥

==

... , si, si, si

21

1 0

Se establece que si an = P, entonces: P se llama potencia. La ley de composición interna de esta ope-ración se sustenta en la potenciación de números naturales y en la regla de signos de la potencia-ción de enteros. [Atlas de Matemática, PhD Reinhart & Soeder, Alianza Editorial, Madrid, 1984]

Ejemplo 1.- Las siguientes son aplicaciones del exponente unitario:

i. 01 = 0 ; ii. 2 231

34 4( ) = ; iii. - 25( ) = −

125

Ejemplo 2.- Las siguientes son aplicaciones del exponente nulo:

i. 00 = 1 ; ii. 2 1304( ) = ; iii. - 2

5

0( ) = 1

1.2Exponentes y Radicales

..

..

..

ABF

()x y+n

Claves:

29C

28D

27D

26E

25E

24B

23B

22A

20D

19D

18B

17C

16D

15B

14E

13E

12C

11E

10B

30D

21B


1.2.1B. Exponente entero negativo

Todo número real «a» no nulo elevado a un exponente entero negativo «-n» es igual al inverso de dicho número real elevado al mismo exponente con signo positivo.

aa

a nnn

- ,= ∈ ∧ ∈∗ +1 ∀∀

En general, si a∈ R* y n ∈ Z, a la expresión an se llama potencia entera.

Ejemplo.- Al efectuar: 25

-3( ) , nos queda: 23

125

18

125

1258

3

3( ) =

( )=

⋅ ⋅= =

− 125

25

25

Observación.- Este resultado se puede expresar así: 1258

5 5 52 2 2

52

52

52

52

3= ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ( ) ( ) ( ) = ( )Siendo este resultado equivalente al de la expresión original, concluimos que: 2

552

3 3( ) = ( )−

Finalmente este ejemplo nos permite reconocer que cuando el racional está en la forma de fracción, se verifica que:

ab

ba

n n( ) = ( )−

Esta última relación se interpreta así: «Toda fracción elevada a un exponente entero negativo, es equivalente a su inversa elevada al mismo exponente cambiado de signo».

1.2.1B. Teoremas de la potenciación en R

NOMBRE FORMALIZACIÓN EJEMPLIFICACIÓN

Multiplicación de Potencias de igual base an · am = an + m3 3 3

2 4 2 4( ) ⋅( ) ( )=+

División de Potencias de igual base a

aa a

n

mn m= ∀ ∈− , *R 5

55

7

37 3

=−

Distributiva respecto de la Multiplicación (a · b)n = an · bn7 3 7 3

4 4 4⋅ ⋅( )=

Distributiva respecto de la Multiplicación ab

a

bb( ) = ∀ ∈

n n

n, *R 5

454

3 3

3( ) =

Potencia de una Potencia (an)m = an · m2 2

3 5 3 5( ) =−

1.2.2. Radicación

1.2.2A. DefiniciónLa radicación es una operación matemática definida en el conjunto R+ × N*, en la que a cada par ordenado (a ; n), donde a, llamado radicando, es un número real positivo, y n, llamado ín-dice, es un número natural mayor o igual a uno, le hace corresponder un número real positivo, llamado raíz, denotado por a ba = .

a b n b a a b nnn , { , } , *= ≥ ∧ = ⊂ ∈+1

Anotemos que el operador se llama símbolo radical. Asimismo, la expresión b = an , se lee: b es la raíz de índice n de a. En general a la expresión an , se le llama raíz aritmética.

Obsérvese que la ley de composición interna de esta operación consiste en determinar una cantidad llamada raíz, que elevada a un exponente igual al índice, reproduce al radicando.

Ejemplo.- Determinar la siguiente raíz: 8116

4

Sea a/b la raíz buscada, luego, por definición de radicación en R se debe cumplir la siguiente igualdad de fracciones:

ab

ab

( ) = → =4 81

1632

4

4

4

4

Y por definición de igualdad de fracciones, se debe cumplir:

a b a b4 4 4 43 2 3 2 8116

32

= ∧ = → = ∧ = → =4

1.2.2B. Regla de signos

Dado que la radicación en R es una operación restringida a los reales positivos, la regla de signos se reduce a afirmar que la raíz de todo número real positivo es otro racional positivo.

Ejemplo.- Analizamos los siguientes casos:

a) + 49

2 = − 23

, es falso, a pesar que: - 23

2( ) = + 49

Esto es por definición de radicación en R, pues se sabe que la raíz debe ser positiva.

b) - 278

3 = − 32

, es falso a pesar que: - 32

3( ) = − 278

En efecto, por definición de radicación en R, el radicando debe ser siempre positivo.

Nota.- Es necesario afirmar aquí que si ampliamos la definición de radicación en R para el caso de radicandos negativos, se debe hacer una nueva restricción que consiste en efectuar la radicación de números reales negativos solo para índices impares. En tal caso la reglas es:

negativo =negativoimpar


1.2.2C. Definiciones complementarias

C1. Radicando nulo

Si n es un número natural mayor o igual que uno, se define la raíz de índice n del real 0 es igual a 0.

0n = ∀ ∈0, *n

Ejemplo.- Determinar, en cada caso, los valores de x e y:

a) 08

2 = x , por definición de radicando nulo: x = 0.

b) y729

03 = , por definición de raíz nula: y = 0.

C2. Exponente racional

Todo número real positivo «a» elevado a un exponente fraccionario «m/n» es igual a la raíz de índice igual al numerador «m», del exponente, elevado a un exponente igual al numerador «n» del exponente fraccionario.

a a a m n nmn n m

, ,= ( ) ∈ ∧ { }⊂ ≥+ + 1

Ejemplo.- Determinar: 3632

Por definición: 36 = 36 =(6) =21632 2 3 3( )

1.2.2D. Teoremas de la radicación

NOMBRE FORMALIZACIÓN EJEMPLIFICACIÓN

Teorema Fundamental de la Radiación a am pn p mn⋅⋅=

3 34 35 3 45⋅⋅

=

Distributiva respecto de la Radicación a b a b⋅ = ⋅n n n 5 7 53 3⋅ = ⋅ 73

Distributiva respecto de la División ab

ab

nnn= , ∀ b ∈ R*

58

58

33

3=

Raíz de una Raíz a amn n·m= 7 753 35= ⋅

Raíz de una Potencia a amn n m= ( ) 2 253 3 5

= ( )

1.2.3. Casos Especiales de Radicación

1.2.3A. Si a ∈ R+, {m, n} ⊂ Z+ | n ≥ 2, se cumple que:

a a a a a.............nnnn

radicales

nn 1n 1mm

«m»

=−

−

1.2.3B. Si a ∈ R+, {m, n} ⊂ Z+ | n ≥ 2, se cumple que:

a a a a a÷ ÷ ÷ =

−

............. nnnn

radicales

nn 1

mm

«m»

nn 1

nn 1n 1

;

;m

m

+

++

=

=

n par

a n impar

1.2.4. Propiedades Adicionales

1.2.4A. Introducción de Radicales

I)

II)

a . b a . b

a b a b

nm nmn

nm nmn .

=

÷ = −

1

1.2.4B. Método Telescópico

B1) Bases iguales en multiplicación: x x x xa b cpnm mnp (an b)p c=

+ +

* El nuevo índice es el producto de la multiplicación de todos los índices dados.

* Para calcular el exponente de la base común se inicia de izquierda a derecha y se procede así: al producto del primer exponente de la base por el índice del segundo radical se le suma el exponente de la siguiente base y así se prosigue hasta operar al exponente de la última base.

B2) Bases iguales en división: x x x xa b cpnm mnp (an b)p c÷ ÷ =

− +

* El nuevo índice es el producto de la multiplicación de todos los índices dados.

* Para calcular el exponente de la base común se inicia de izquierda a derecha y se procede así: al producto del primer exponente de la base por el índice del segundo radical se le resta el exponente de la siguiente base. Este resultado se multiplica por el índice del siguiente radical y al resultado se le suma el exponente de la siguiente base y así se repite hasta operar el expo-nente de la última base.


Prob. 01.- Determinar el valor de K, si: K

= − − − − +( 7)( 7)( 7)........( 7)

89 Veces

(7)

89

A) 789 B) 0 C) 2. 789 D) 88. 789 E) 90.789

Aplicando la definición de potenciación para exponente natural tenemos:

K = − − − − +( 7)( 7)( 7)........( 7) ( )89Veces

7 89 ; K=(-7)89+(7)89

Enesteresultadoesnecesarioaplicarlaregladesignosparalapotenciadeunnúmerone-gativoelevadoaunexponenteimpar:

K=-(7)89+(7)89 \ K=0 Rpta.B

Prob. 02.- Calcular el valor de: N = + +− − −27 2 36

13 1 0 5 ,

A) 3 B) 4 C) 1 D) 0,5 E) 2

Aplicando la definición de exponente fraccionario, se tiene:

N = + +− − −27 2 363 1 1 1 → N=3-1+2-1+6-1 → N = + +13

12

16

Efectuandolasoperacionesindicadas:

N = + +2 3 16 → N = 6

6 \ N=1 Rpta.C

Prob. 03.- Determina el valor de la siguiente expresión:

K = +− − −− − −

16 6416 2 127 3 1

A) 3/5 B) 1/8 C) 8 D) 1/2 E) 3/4

Para resolver adecuadamente este modelo de ejercicio se debe aplicar las definiciones de exponentesdadasapartirdelúltimoexponentesuperioryhaciaabajo,encadatérmino.

K = +− −− +− − −

16 616 2 1 1

4 27 3

→ K = +− −− −

1 416 2712

13

6 6

→ K = +− −− −

1 6416 273 16

1

Luegodeefectuarlasradicaciones,setiene:

K = + = +− − − −− −16 64 16 644 3

14

13

1 1 → K = +− −16 644 3 1 1 → K = +− −2 41 1

K = + = +12

14

2 14

∴ =K 34

Rpta.E

Prob. 04.- Aplicando las reglas y definiciones de potencia y radicación, simplifica la siguiente expresión:

N = + ( )−

− −

− −

− −32 27

81 16

5 3

0,25 0,5

1 1

A) 1 B) 2 C) 0 D) 9 E) 5

De acuerdo con las definiciones de potencias de exponente negativo tendremos:

N N= + −

−→ =

+ −

−

− −

− −

− −

− −32 ( 27)

81 1

32 ( 27)

81

15

13

14

12

5 1 3 1

4 1 16 16

Efectuandolasradicaciones,seobtiene:

N = + −−

=+ −−

=−

−

− −

− −2 3

3 4

12

13

13

14

12

13

13

14

1 1

1 1

( ) → N N=

−

− = → =3 2

64 312

161

12

126

\N=2 Rpta.C

Prob. 05.- Aplicando las definiciones de potencias, evalúa el valor que le corresponde a «n» para que se verifique la igualdad:

2 14

14

1

n12

-1- 1

2

= ( )−( )−( ) ( )

A) 4 B) 3 C) 1 D) 2 E) 1/2

Efectuandolaspotenciasdeexponentenegativoenelíndiceyradicando,setiene:


24

2n = ( )−( )−

14

12 ; 2 4 4 2 442 442n n= = → =

\ n =2 Rpta.D

Prob. 06.- Resolver para N, si: N = −( ) + −( ) + ( ) − − −

−

27 27 2 3 23

53

4 0,2

A) 3/2 B) 4/7 C) 4/9 D) 3/5 E) 4/3

Aplicando adecuadamente las definiciones de potencias de exponente fraccionario conse-guimos:

N = − + − +

− − −( ) ( ) ( )27 27 2 323

53 4

- 15

; N = − + − +

− − −( ) ( ) ( )27 27 2 33 2 3 4 5 - 15

N =−( )

+−( )

+

13

13

232 5 4

- 15

; N = − +

19

1243

281

- 15

N = − +

27 1 6243

32243

- 15 - 1

5= ; N = = ( )− −32243

23

51 1

\N=3/2 Rpta.A

Prob. 07.- Si a > b > c , reducir la expresión: L c b a c= − + − − −( ) ( ) ( )2b a 44 88

A) a B) b C) c D) 0 E) d

Deacuerdoconloexpuestoenlateoríasabemosque: x2n2n = ≥x x; 0

Ademásdebemosrecordarque: (x-y)2n=(y-x)2n;∀{x,y}∈R

Ahora,delacondicióndadaenelproblema,tenemos: a>b>c

* a>b →a-b>0 → (a-b)2=(b-a)2

* b>c → b-c>0 → (b-c)2=(c-b)2

* a>c → a-c>0

Finalmenteen«L»setendrá: L = − + − − −( ) ( ) ( )2 44 88a b b c a c

→ L=(a-b)+(b-c)-(a-c) → L=a-b+b-c-a+c \L=0 Rpta.D

Prob. 08.- Determinar el equivalente de: K x x x . x=

A) x3 B) x2 C) x D) x-1/2 E) x7/8

Paraaplicarlasfórmulasdeloscasosespecialesreconocemos,enel1erfactor,queelíndicedelosradicalesesn=2yelnúmeroderadicalesesm=3,asimismoenel2dofactorsetienen=3radicalesmultiplicadossucesivamente.Luego:

K x x K x x K x K x= ( ) ⋅ → = ( ) ⋅ → = ( ) ∴ =−− ⋅ ⋅2

2 12 1 2 2 2 8 7 8 8

83

3

Nota.Aplicandoelmétodopráctico,al1erfactor,procedemosasí:

K x x x K x xx= → = + +. ·( · )·· · · ·1 2 1 2 12 2 2 2 2 2

K x x x= →8 7 8 8 8. =K \ K=x Rpta.C

Prob. 09.- Simplificar la expresión:

N =÷ ÷ ÷

x x x veces

x x x veces

..............

...

501

501

333

2 2 2333

A) x3 501− B) x3 C) x−3501

D) x-501 E) x− −3 501

Aplicandolasfórmulasdeloscasosespeciales,alnumeradoryaldenominadorrespectiva-mente,laexpresióndadaseconvierteen:

N =

−−

++

x

x

35013 1

3 1

233 1

3 1

501

501501 → N =

−

+x

x

35013 1

2

33 1

2

501

501501

N =− − +

x33 1

2 3 12501

501 501

→ N = x33 -1- 3 -1

2 501

501 501

N = x3-22 501

→ N = = =− −

−( )−

x x x31 1

3

3501 501 501 1

\\ == −− −−

N x 3 501

Rpta.E


Prob. 10.- Indicar el equivalente de: K =÷ ÷ ÷

x x x x

x x x x

A) x5/8 B) x3/5 C) x-3/7 D) x-5/2 E) x4/9

Aplicandoelmétodotelescópico,encadatérminodelafraccióndada,conseguimos:

K K= → =⋅ + ⋅ + ⋅ +

⋅ − ⋅ + ⋅ −x

x

xx

21 2 1 2 1 2 1

21 2 1 2 1 2 1

16 15

16 5

4

4

[( ) ]

[( ) ]

K 16 15-5= x → =K x16 10 → K = x8 5 \ K=x5/8 Rpta.A

Prob. 11.- Calcular el exponente final de 2 en la expresión: 2 2 2

2013

...

radicales

A) 2013 B) 1 - 2-2013 C) 1+ 22013 D) 2-2013 E) 22011

Si“F”eselequivalentedelaexpresióndada,segúnelprimercasoespecial,setendrá:

F 2 222

2 1 22 12013

20132013

2013

= =−

− −1

; F = 2 22 1

222

12

2013

2013

2013

2013 2013− −

=

F = 21 2 2005− −

\ Exponentede2=1-2-2005 Rpta.B

Prob. 12.- Simplificar: 5 55

4 2

1

x x

xx

+ +

+−− ∈;

A) 5x B) x C) 30x D) 120 E) 60

Si«K»eslaformasimpledelaexpresióndada,estasepuedeexpresarasí:

K = −

+

+

+

+55

55

4

1

2

1

x

x

x

x

Porteorematenemos: K=5x+4-x-1-5x+2-x-1

K=53-51=125-5 \ K=120 Rpta.D

Prob. 13.- Reducir la expresión: E = ++

+ ++

{ }⊂ −{ }−

− +5 15 1

3 13 1

1m

mm

n

nn m n; ,

A) 16/3 B) m C) n D) 3/16 E) 4/9

De acuerdo con la definición de exponente negativo, procedemos de la siguiente manera:

Em

mm

n

nn= +

++

+

+5 11

51

13

1

3 1 → E

m

m

mm

n

n

nn= +

++

+

+5 11 5

5

1 33

3 1→ E

m m

mm

n

n nn= +( )+

+ ++( )

5 1 51 5

1 33 3 1

··

Simplificando: E mmnn= +5 1

3→ E = + = +5 1

315 1

3 \ E=16/3 Rpta.A

Prob. 14 .- Si: ab = 2 23 , determine el valor de la siguiente expresión: K a b b a= •

A) 21/3 B) 1 C) 2 D) 22/5 E) 1/2

Laexpresióndadaes: K a b b a= ·

Porteorematenemos: K a b b a= ( ) ( )· → = → = ( )K ab b a K ab ab

Porelmétodopráctico: K ab= ( )34

Ahoraporcondición: K = ( ) =2 2 2 23 34 34 · → =K 244

\ K=2 Rpta.C

Prob. 15 .- Si: x ∈ −{ }+ 1 , simplificar: K x x x

x x x= + +

+ +− − −

103 1004 1005

1005 1004 1003

A) x-2008 B) x2009 C) x2 D) E) x2008

Una adecuada inspección de la expresión que debemos simplificar nos sugiere extraer, de cadatérmino,aquellapotenciademenorexponente,veamos:

K = + ++ +− − −

x x xx x x

1003 1004 1005

1005 1004 1003 ; K ··

= + +( )+ +( )−

x x xx x x

1003 2

1005 211

; K = =−+x

xx

1003

10051003 1005

\ K=x2008 Rpta.E


Prob. 16.- Reducir la siguiente expresión: M x x x x= ( ) ( ) ( ) ( )

− − − − − −( )− − −

2 2 2 2 2 2 2 2162 2

4 1

• • •

A) x8 B) x16 C) x4 D) x2 E) x28

Parareducirlosexponentesdelasbases,aplicamoselteorema: x xn m n.m( ) =

Entonceslaexpresiónserá: M x x x x= 4− − − − −−

( ) ( )

− −

· · ·4 2 4 2 4 16 4 1

M x x x x= − − − − − − −4 4 8 8 16 4 1

· · ·

Luegoagrupamoslasbasesaplicandoelteorema: x x xn m n m· = +

M x x=

=

− − + − − − −− − − −4 4 8 8 16 8 164 1 4 1

Ahorafaltareducirelexponente,paralocualaplicamoselteorema: xx

− =nn

1

M x x= 8− − − −

=

−16 81

161 4

1 4/

/

Yaplicando: x xmn mn= → M x x x= 8− − − −

=

=

116 8

12 44 \ M =x4 Rpta.C

Prob. 17.- Sabiendo que: a ab ab a determinar el valor de = =16; .

A) 44 B) 2 C) 88 D) 24 E) 2

Paraobtenerlaexpresiónpedidadebemosdeformarunaecuacióndevariable“a”.

Pordatodelproblematenemos: a·b=16

Despejando«b»: b a= 16 ...(a)

Tambiéndelproblema: ab=16 ...(b)

Ahorareemplazamoslaecuación(a)en(b):a16a =16

Luegoelevamosalexponente 116 : a

16a( ) = ( )

116 1

1616 → a1a = 16

116

Aplicandoelteorema: x xmn mn= → aa = 1616 → aa = 2416

Y simplificando el exponente con el índice: aa == 24 Rpta.D

Prob. 18.-Siendo a + b = 2; al reducir: R a a=

−aa

aaa a

b22

• , nos queda:

A) 2 B) 4 C) 1 D) 16 E) 8

Aplicandoelteorema: x xn m n m( ) = ·

Laexpresiónsetransformaen: R a a= −a a a aa 2 2a b· ··

Aplicandoelteorema: x x xn m n+m· = ,setiene: R a a= −a aa+2 2a+b·

Peropordatodelproblema: a+b=2 → R a a a= =− −a a a aa+2 a+2 a+2 a+2·

\ R a== ==0 1 Rpta.C

Prob. 19.- Si: xxx

= 2 ; calcular el valor de: x 2 xx+xx

A) 2 2 B) 2 C) 4 D) 1/4 E) 8

Segúneldatodelproblemasesabeque: xxx= 2

Debemos transformar la expresión a fin de que aparezca el dato en la expresión dada:

E x x= = 22x x

2x xx· x ·x

Aplicandoelteorema: x xn m n m( ) = · ,setiene: E x x= = 22

· x xx x

Reemplazandoeldato: E = ( ) =2 22

\ E=2 Rpta.B


Prob. 20.- Calcular la suma de los exponentes de x e y al efectuar: x y x y.......∞9595

A) 53 B) 3

2 C) 5

11 D) 6

5 E) 5

22

Comolaexpresiónserepitedeformailimitada: E x y x y= .....9595

Elevamoslaexpresiónalexponente(45): E x y x yE

45 9 95= · · ......

DadoquelaexpresiónEserepite,podemosescribirasí: E x y E45 9= · · → E44=x9·y

DespejandolaexpresiónE: E x y= ⋅9

44144

Nospidenlasumadeexponentes: 944 ++ == ==1

441044

522 Rpta.E

Prob. 21.- Sabiendo que n! = 1· 2· 3· ........ n, reducir: n n

n n

n n

n n n

! !

! !

!

! !

+ +( )

( )⋅ −( )

( ) ⋅ −( )

1 11

1

A) nn! B) (n!)n C) n! D) n E) 1

Paraelfactorialdeunnúmerosecumpleque: n n n! · != −( )1

Reemplazandoenlabasesetiene: n n

n n n

n n

n n· n

! !

! !

. !

· ! · !

+ +( )−( )−( ) −( )

1 11

1 1→

n nn n n

n n

n n n n

! !

! ! · !· !

· ! ·

+ +( )−( )−( ) −( )

1 111 1

Enmultiplicacióndebasesiguales,losexponentessesuman:n nn n

n n

n n!+n n

! !

! · !· !

· !

+ +( )−( )−( )

1 111

Enelexponente: n!+n·n!=n!(1+n)=(n+1)!

Luegolaexpresiónquedacomo: n n

n n

n n

n n

! !

! !· !

· !

+ +( )

+( )−( )

−( )

1 1

11

1

Enladivisióndebasesigualeslosexponentesserestan: n Rpta.D

01.- Luego de efectuar: 27 81 4 80

− − −

, se obtiene:

A) 1 B) 3 C) 1/3

D) 1/9 E) 27

02.- Calcular el valor de K, si:

K = +− −− − − −

− − −

64 827 279 4 2 70

9 4 0,5

A) 1/4 B) 1/2 C) 4/3

D) 3/4 E) 4/5

03.- Al efectuar y reducir la expresión, se obtiene:

N 13

25

411

3 2 1 0,5

= ( ) + ( ) + ( )

− − −

A) 3 B) 12 C) 2

D) 9 E) 6

04.- Calcula K3, si se sabe que:

K = ( ) + ( ) − ( )− − −− − −1

625 1

8 1

49

4 3 21 1 1

A) 0 B) 2 C) 3

D) 4 E) 7

05.- Determinar el valor de NN – 1, si:

N = ( ) + ( )

− −−

( ) ( )- -2 2525 5

35

13

A) 2 B) 1/2 C) 64

D) 8 E) 9

06.- Efectuar y reducir la expresión:

12

14

1125

181

12

3 160 51 1 0 5

( )( ) + ( ) + ( )

−( ) − −−− − −

,

,

A) 1/8 B) 4 C) 1/4

D) 8 E) 1/16

07.- Efectuar:

K = +

− −

−− − − −

16 816 270,5

2 1 3 1

A) 5 B) 4 C) 2

D) 1/2 E) 1

08.- Calcular: N = + +3 4 52 3 00 20 4

A) 4 B) 32 C) 69

D) 14 E) 16

09.- Efectuar y calcular el valor de:

K = + + +(121) (125) (243) (16)12

13

15

14

A) 21 B) 77 C) 41

D) 10 E) 5

10.- Determinar el valor de:

C = + −( ) + ( ) + ( )−− −− −

3 3 18

3 331

1

125

2 1

1.2. Exponentes y radicalesPráctica


A) 4 B) 3 C) 0

D) 12 E) 7

11.- Establecer el equivalente de :

2-1 + 3 - 3-1 - 2

A) 6/7 B) 7/6 C) 0

D) -2 E) 1/6

12.- Simplificar: 32 16

169

5 2

0 5

1 1− −

−

− −+

( )

,

A) 2 B) 3/2 C) 4/3

D) 1 E) 4

13.- Determinar el valor de: L = − −4 2024

A) 1/2 B) 1 C) 1/4

D) -1/2 E) -1/4

14.- Simplificar:

x x xx x x

x. . . . . . factores. . . . . . factores

;

2010

∈∈ +

A) x B) 1 C) x2

D) x10 E) 1x

15.- Efectuar: K =−

83 1250

A) 1/2 B) 2 C) 2

D) 4 E) 1/4

16.- Efectuar: 21 + 12 + 32 + 23

A) 12 B) 18 C) 20

D) 14 E) 24

17.- ¿En cuánto excede el número 12 al núme-ro «L», sabiendo que:

L = 1 + [(-5)0 + 70 + (40 - 2)82]

A) En 2 B) En 3 C) En 6

D) En 8 E) En 9

18.- Efectuar: K = 3227092

A) 3 B) 9 C) 1

D) 81 E) 27

19.- Indicar (V) o (F) según corresponda:

I) 4 164

3− = II) 12

42( ) =

−

III) − =−5 125

2 IV) (-7)2 = -49

A) VFFV B) VVFF C) VFVF

D) VVVF E) VVVV

20.- Reducir:

4 9 94 4 2 1

9 9 2 1

9 3 40

− − − −

− − − −

− − −

+ −

A) 8 B) 1 C) 1/2

D) 1/3 E) 1/4

21.- Si las edades de «A» y «B» son:

A , B ( / )= =− −

− −

4 91616 4 1

4 9 2 1

Afirmamos que:

A) A es mayor que B

B) A es menor que B

C) A es igual A B

D) A y B suman 33

E) No podemos afirmar nada

22.- Para calcular el valor numérico de:

2 22 2

n 5 n x

n 1( )

+ +

++

Se dan los siguientes datos:

I) n = 2003 II) x = 2004

A) El dato I es suficiente y el dato II no lo es.

B) El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

C) Es necesario utilizar conjuntamente I y II.

D) Cualquier dato por separado es suficiente.

E) Es necesario más datos.

23.- Luego de simplificar la expresión:

x x x2 4 3

El exponente final de «x» es:

A) 19 B) 1924

C) 1724

D) 2119

E) 2324

24.- Al efectuar: x x x x333 2333.

se obtiene:

A) x5 B) x3 C) x9

D) x9 5 E) N.A.

25.- Para obtener el valor numérico de:

x xyx y

2 22

++

se dan los siguientes datos:

I) x = 2 2 • 2 • ... 55 Radicales555

II) y = ÷ ÷ ÷3 3 3 ...55 Radicales

A) El dato I es suficiente y el dato II no lo es.

B) El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

C) Es necesario utilizar I y II conjuntamente.

D) Cada dato por separado es suficiente.

E) Es necesario más información.

26.- Al reducir la expresión:

1

23 x

x

x3

4

el exponente final de x será:

A) 23/21 B) 29/24 C) -23/24

D) -29/24 E) N.A.

27.- Sabiendo que: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n, reducir:

«n» radicales

...

!

!

!

x

x

x

33

2

2

1

1

A) 1 B) x− +n(n )1

2 C) xn

D) x-n E) x

28.- Indicar el exponente final de «x» en:

x x x x n2 3 4543 .... Radicales« »

Usar la definición del problema anterior.

A) 1 B) 1n !

C) 1 11

−+( ) !n

D) (n + 1)! E) 1 11

++( ) !n


29.- Si a2 – (a + 1)2 = –1, determine el valor numérico de:

U a= +2 4 2 a

A) 1 B) 2 C) 4

D) 8 E) 16

30.- Si , calcular:

N•x

1x x

x=

( ) + + ( )+ ( ) +

15 3 21 3 3

21 5 3

2

2

x

x

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

31.- Indique el exponente de nn2

en la si-

guiente expresión: E n= n4

A) 1 B) 0 C) n2

D) 2 E) n4

32.- Si xx = 3, calcular:

Mx -x

2x

x 1 x 1

= +( ) + ( )−

x x

x

+ +

1 27

1

13

3

A) 2 B) 2 C) 4

D) 3 E) 0

33.- Simplifique:

( • )

( ) ( ); ,

a -b -c

b c-a a b-cab

b a

a ba b ∈ −{ }+

1

A) ab

B) ba

C) ab

D) ac E) 1

34.- Si:

a x x x b x x x x= =2 4 543 2 4 5 6543;

Determine «a · b – 1»

A) x− 1

20 B) x− 1

30 C) x− 1

24

D) x – 20 E) x – 40

35.- Indicar el equivalente de:

58 223 46 5

( )

A) 5 B) 5 C) 25

D) 1/5 E) 1/25

36.- Si: a = bx ¿cuál es el equivalente de:

ab

x

ab

b

a

x

( )+

baba

a

ab

x x2 1 ?

A) ab

B) ba

C) aa

D) ab E) 1

1.3.1. Ecuación Exponencial

1.3.1A. Ecuación en una variableUna ecuación en una variable es una proposición en la que dos expresiones, donde al menos una contiene la variable, son iguales. [Álgebra y Trigonometría, PhD M. Sullivan, Ed. Pearson, México, 2006]

Ejemplo.- La siguiente es una ecuación algebraica de una variable: 2x+ 4 = 9 – 3x.

donde la expresión del lado izquierdo se llama 1er miembro y la derecha 2do miembro. La letra «x» se llama variable o incógnita de la ecuación y el valor o valores que verifican la igualdad se llama solución o soluciones, respectivamente.

Nota.- Esta definición de ecuación será ampliada en la unidad correspondiente a Ecuaciones.

1.3.1B. Definición.

Se denomina Ecuación Exponencial a toda igual-dad condicional que se caracteriza por presentar a su incógnita formando parte de algún exponente.

Los arquitectos, ingenieros civiles y mecáni-cos, entre otros, han encontrado, en el estudio de los exponentes, importantes herramientas para el diseño y dibujo. Es precisamente a causa de estas actividades que hubo de re-solverse la conocida indeterminación 00. En 1984, Reinhardt y Soeder, definen 00 = 1, con lo cual pudo graficarse la función f (x) = xx, en el intervalo [0; ∞⟩, y a partir de ello fue posible la construcción de algunos encofrados.

Fuente: Atlas de Matemáticas, Alianza Editorial, 1984, Madrid.

1.3Ecuaciones Exponenciales

..

..

..

ABF

()x y+n

Claves:

28C

27D

26C

25A

24D

23B

22B

21B

01C

02D

03E

04A

05A

06C

07E

08C

09A

10E

11B

12D

13E

14B

15B

16C

17D

18D

19B

20C

29B

36E

35B

34A

33A

32A

31C

30C


Ejemplo.- Las siguientes son ecuaciones exponenciales:

2x = 16 ; 3 812 1x − = ; 2 643 1x + =

1.3.1C. Teorema 1

a a x y a ax y= → = ↔ > ∧ ≠0 1

Ejemplo.- Si 5x-1 = 53 , entonces: x - 1 = 3 \ x = 4

1.3.1D. Teorema 2

a b x a b a bx x= → = ↔ > ∧ > ∧ ≠ 0 0 0

Ejemplo.- Si 8x - 3 = 3x - 3, entonces x - 3 = 0 \ x = 3

1.3.2. Teoremas de Convergencia (infinitos)

El término convergencia, está referido a la propiedad de convergir que tienen determinadas expresiones matemáticas, es decir, de concurrir o dirigirse hacia un determinado valor.

Aunque la convergencia de números reales es un tema desarrollado en matemáticas avanzadas quiero aprovechar este espacio para proponerte un par de casos de convergencia de expre-siones que contienen la operación de radicación un número grande de veces, los mismos que presentan restricciones que a continuación se indican:

1.3.2A. a a a a

n

n 1...nnn

= − ↔ n ∈ N |n ≥ 2 ∧ a ∈ R+

Ejemplo.- Si: E ...= = −8 8 8 8555 5 1 → E = 84 → E = 23/4

1.3.2B. a a a a n n a

n

÷ ÷ ÷ = ↔ ∈ ≥ ∧ ∈+ + ... |nnn n

1 2

Ejemplo.- Si: E ...= ÷ ÷ ÷ = +x x x x2 2 2999 29 1 → E = x210 → E = x1/5

1.3.3. Ecuaciones Trascendentes

1.3.3A. Definición

Se denomina ecuación trascendente a toda ecuación no algebraica.

Ejemplos.- Las siguientes son ecuaciones trascendentes:

a) 2x + x = 6 ; b) sen x + x = 0,7

c) log x - x2 = 9 ; d) xx = 4

e) 5x+1 = 6 + x2 ; f) 9x - 4x = 6x

Las ecuaciones (b) y (c) se llaman trigonométricas y logaritmicas respectivamente. La resolu-ción del 1er tipo de ecuaciones corresponde a la Trigonometría pero la 2da la trataremos en el capítulo correspondiente a logaritmos.

Las ecuaciones exponenciales son un caso particular de las ecuaciones trascendentes. A conti-nuación sólo se estudiaran algunas ecuaciones trascendentes cuya incógnita se presenta como base o exponente.

1.3.4. Criterios de Resolución

La solución de determinadas ecuaciones trascendentes se obtiene por un procedimiento lla-mado resolución que, para el caso de ecuaciones exponenciales, consiste en comparar di-rectamente sus términos, donde estos deben verificar determinadas características que aqui presentamos en forma de criterios:

1er Criterio.- Si: xx = aa entonces: x = a

2do Criterio.- Si: x bx b= entonces: x = b si b ≠ 0

Con relación al 2do criterio debo hacer el siguiente comentario: «La solución de ecuaciones exponenciales por comparación directa no garantiza que la solución encontrada sea única».

Ejemplo.- Para la ecuación: x xx = → =2 2

También: 2 2 2 2 2 2 212

22 2

4 24= → = ( ) → = → =212

Luego: 2 4 44= → = → =x xx 44

De este modo: xx = 2 se verifica si: x = 2 ∨ x = 4

1.3.5. Ecuaciones Exponenciales de naturaleza infinita

Son aquellas ecuaciones en donde los exponentes son iguales y se van sucediendo uno tras otra de un modo ilimitado, como por ejemplo:

x nxx . . .

=

Este tipo de ecuaciones tiene solución si se verifica que: 0 < n ≤ e , donde: e ≈ 2,7182...


Ejemplo.- Resolvamos la ecuación exponencial de naturaleza infinita: xxx . . .

= 2

En primer lugar verificamos que el 2do miembro sea un número comprendido entre 1 y e, luego aplicaremos la siguiente aproximación: sustituir el exponente de «x» por 2:

x x xxx . . .

= → = ∴ =2 2 22

Nota.- Como ya se ha presentado en el 1er capítulo, el número «e» se conoce con el nombre de Base de los Logaritmos Neperianos (número de Napier). Un modo de obtener este número es aplicando la siguiente regla:

e = + + + +1 11

12

13! ! !

...

donde 1!, 2!, ... etc, representan los factoriales de 1, 2, ...etc, respectivamente y cuyo cálculo detallaremos más adelante en el capítulo correspondiente a factoriales.

Ejemplo.- Resolver la siguiente ecuación: x x x x2 8 8 83332 2+ + +

=x x x

....

Se observa que la cantidad de términos en ambos miembros de la igualdad no está determina-do y podemos suponer que tiende al infinito.

Primero reducimos el 2do miembro: E x x x= 8 8 8333 ....

Para ello usamos la propiedad: a a a a....nnn n= −1

Entonces la expresión E queda como: E x x= =8 4

Reemplazando en el 2do miembro de la ecuación original se tiene:

x x2 42 2+ + +

=x x x

... (I)

Como las bases del 1er y 2do miembro son iguales, y las suponemos no nulas, igualamos los exponentes:

2 42 2 2

+ =+ + +

x x x x

→ =+ +x2 2

2x x

... (II)

Reemplazando la ecuación (I) en (II): x4 = 2 \ x = 24 Rpta.

Prob. 01.- Evaluar «x» en: 21x−. 4 = 81-2x x

A) 7/17 B) 4 C) 3 D) 2/7 E) 4/3

Expresandocadapotenciaenfuncióndelabase2tenemos:

2 ·( ) ( ) ·1x x xx

x xx x x− −

−−

− + −= → = → =2 2 2 2 2 2 22 3 1 21

2 2 3 61

2 2 3 6

Porelteorema1: x x x− + = −12 2 3 6 → x x x x- 1

2 3 8 1 6 16= − → − = −

→ 17x=7 \ x=7/17 Rpta.A

Prob. 02.- Determinar el valor de : (x+1)(x-1) , si se cumple que: 2x+3 + 2x+2 = 48

A) 4 B) -1 C) 0 D) 2 E) 3

Delaecuacióndadaefectuamosasí:2x·23+2x·22=48 →8·2x+4·2x=48

12·2x=48 → 2x=4\x=2

Finalmenteevaluamos: (x+1)(x-1)=(2+1)(2-1) \(x+1)(x-1)=3 Rpta.E

Prob. 03.- Calcular el valor de «x2 + x» si se verifica que: 3 92x 1 22x 1− +=

A) -3 B) 3/2 C) 6 D) 1 E) 2

Expresandocadapotenciaenfuncióndelabase«3»,tendremos:

3 3 3 32 2 2 2 2.2x 1 2x 1 x 1 2x 1− + − += ( ) → =

Aplicandoelteorema1: 2x-1=2·22x+1 → 2x—1=22x+2

x-1=2x+2 → x=-3

Finalmente: x2+x=(-3)2+(-3) \x2+x=6 Rpta.C


Prob. 04.- Evaluar «x» en : 32x+1 - 5x+0,5 = 9x + 5x-0,5

A) 8 B) 1 C) 2 D) 1/2 E) 3

Expresandolosdecimalesentérminosdefracciones,setiene:

3 5 3 5 3 3 5 52 112 2

12 2 1 2

12

12x x x x x x x x+ + − + + −

− = + → − = +

Factorizandotendremos: 3 3 1 5 5 1212x x

( ) ( )− = +−

3 2 5 6 3 5 322 1

2 2 2 1xx

x x= → =−

−· ·

33 5 3 52 2 1 2 1 2 1x x x x= → =− − −

Porelteorema2: 2x-1=0 →2x=1 \ x=1/2 Rpta.D

Prob. 05.- Si se sabe que n > 1, calcular «x» en: n n n2 x3 4 x4 5x 16· ·− − − = 1

A) 3 B) -6 C) 2 D) 4 E) -3

Transformandolaecuacióndada: n n n nx x x2

34

45 1

6 01 1− − −

= =· · ;

n nx x x2

34

45 1

6 0− + − + −

=

Porelteorema1: 23

44

5 16 0− + − + − =x x x →

4 2 3 4 2 5 112 0( ) ( ) ( )− + − + − =x x x

→ 18+3x=0 → 3x=-18 \ x=-6 Rpta.B

Prob. 06.- Resolver para «x»: 5 55 5

2511 x

x 3 23 −

−=−

A) 8 B) 4 C) -2 D) 24 E) 5

Laecuacióndadaes: 5 55 5

11

3 23 −

−=−

x

x 52

Elevandoalcubotendremos: 5 55 5

11

3 2−−

=−

x

x 56

Efectuandooperaciones: 511-5x=56(5x-3-52)

511-5x=5x+3-58 → 511+58=5x+3+5x

Factorizandoconseguimos: 58(53+1)=5x(53+1)

Simplificando: 58=5x \ x=8 Rpta.A

Prob. 07.- Resolver: 2x + 2x+1 + 2x+2 = 56

A) 1 B) 0 C) 3 D) -2 E) -3

Laecuacióndadasepuedeexpresarasí: 2x+2x·2+2x·22=56

→ 1·2x+2·2x+4·2x=56 → 7·2x=56 → 2x=8→ 2x=23

Porelteorema1: x=3 Rpta.C

Prob. 08.- Calcular: x2, si se verifica que: 3125 5254+x

5=

A) 1 B) 53 C) 25 D) 5 E) 25

Escribiendoambosmiembrosenpotenciasdebase5: [ ]4 x .5 5 5 55 25

15 5 25

15

4+= → =

+x

Porelteorema1: 5.254+x= 15 →254+x= 1

25 →254+x=25-1

Porelteorema1: 4+x=-1 →x=-5

Finalmente: x2=(-5)2 \ x2=25 Rpta.E

Prob. 09.- Sabiendo que la sucesión de radicales es infinita, calcular el equivalente de:

8 8 8444 ...

A) 2 B) 9 C) 8 D) 2 E) 4

SeaKelequivalentedelaexpresióndada: K= 8 8 8444 ...

Aplicandoelteoremadeconvergencia,estaexpresiónsereducea:

K = 83 →K=2 Rpta.D


Prob. 10.- Determinar el equivalente de: 27 27 27

9 9 9 93333

÷ ÷ ÷ ....

• • • ....

A) 3 B) 4 C) 1 D) 9 E) 6

Sea«N»elequivalentepedidoyreconociendoquelasexpresionestienentérminosquetien-den al infinito, entonces aplicamos los teoremas de convergencia, obteniéndose:

N = =273

933

\ N=1 Rpta.C

Prob. 11.- Resolver la ecuación: (x - 1)(x - 1) = 256

A) 3 B) 5 C) -2 D) 5 E) 7

Para resolver una ecuación trascendente del tipo dado en este ejercicio, se recomiendatransformarlaparteliteralenlamismaformaquesepuedepresentarlapartenuméricaparaluegoaplicarelteorema1.Veamos:

(x-1)(x-1)=256 →(x-1)(x-1)=44

Comparandotenemos: x-1=4 \ x=5 Rpta.B

Prob. 12.- Calcular «x» si: xx3 9 0 3= ,

A) 2/3 B) -1/5 C) -1/3 D) 1/5 E) 1/3

Debemosrecordarque: 0 3 39

13

,

= =

Ahoralaecuacióndadasetransformaen: xx3 9 1

3=

Conelobjetivodecompararexponentes,transformamoslasexpresionesdecadamiembroparaquelaparteliteraldeunotengalamismaformadelotro.

Así,elevamosalcuboaambosmiembros: xx3

39

313

( ) =

Simplificando tenemos: xx = 13

3 → xx = ( )( )13

13 \ x=1/3 Rpta.E

Prob. 13.- Calcular «x», si: xx6

22

=

A) 81/3 B) 82/7 C) 83/5 D) 812 E) 81/6

Conelobjetivodecompararelevaremosaambosmiembrosdelaigualdadalexponenteseis.Veamos:

xx6 62 6

2( ) = ( )Transformemos lapartenuméricahaciéndolade lamismaformaque laparte literaldelprimermiembro:

x x

x x6 6 2 6 3 2 26 6

2 2( ) = → ( ) = ( )( )

→ ( ) =

→ ( ) = ( )( ) ( )x x

x x6 34 2

66 6

2 8. ( 8 )

Comparando: x6 8=

x x= =8 86 6 2; . ∴ =x 812 Rpta.D

Prob. 14.- Resolver: ( ) 33x x = 4

A) 1/6 B) 5/6 C) 2/5 D) 1/3 E) 2/3

Laecuacióndadaes: ( ) 433x x =

Elevamosalcubo: 3 x 3x( )

= ( )

43 3 → (3x)(3x)=4→(3x)(3x)=22

Comparando: 3x=2

\ x=2/3 Rpta.E

Prob. 15.- Resolver para «x» si: xxx5

= 2

A) 21/5 B) 55 C) 52/5 D) 25/2 E) 53/2

Dandolaformadelprimermiembroalsegundo,procedemosasí:


x xx xx x5 5

5 5 55 5 5 5 5 5= = → = =5

5 5 5 55 5

Finalmentecomparando: x = 55 Rpta.B

Propiedad.Engeneralsecumpleque:

Si: x nxx

xn

. . . .

= →unasoluciónserá: x nn=

Prob. 16.- Resolver para «x» si: xx

x − =326

40

A) 9 B) 4 C) 5 D) 3 E) 12

Delaecuacióndada,despejamos: xx

x = 326

4

xx·x4=326 → xx+4=326

xx+4=(32)13 → xx+4=913

xx+4=99+4 \ x=9 Rpta.A

Prob. 17.- Encontrar un valor de «x» en : 44xx

=

A) 12 B) 3 C) 2 D) 5 E) 6

Despejando adecuadamente tendremos: 44 4x xx x

= → =4

Haciendo transformaciones en ambos miembros: x xx x4 4 4= → =2 22 2

Finalmente comparando: x = 2 Rpta.C

Prob. 18.- Resolver para «x» si: x xx xx

⋅ =+ +1616 ( 1)1 2

A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6

Desarrollandoelexponentedelsegundomiembroytransponiendo,seobtiene:

x x xx

x x x x x xx x· 16 1616 2 1 16 2 11 2 1

2+ +

= → =+ + + + → =

+ + +( )−1616 2 1 11 2x x xxx

Simplificando, tendremos: 16 16 ( )+216 2 161 2 1x x x x x xx xx x

+ += → =+

Paraeliminarelradicaldel1ermiembroelevamosambosmiembrosalexponentexx+1,igualalíndicedelradical,yefectuandolapotenciaenel2domiembrotenemos:

1616 211 1

xx

x x xxx x

x+

+ +

= ( )

+→ 16 1616 2 16 2

1 2

= ( ) → = ( )+ + ( )+ +

x xx x x x xx x·

Comparandoobtenemos: xx+2=16 → xx+2=24=22+2 \ x =2 Rpta.B

Prob. 19.- Calcular el valor de: K = +−

x yx y

2 , si: y x x yx y 7 28• ;= >2

A) 2 B) -4 C) 4 D) 216 E) 32

Laecuacióndadaes: y xx y· 27 28=

y x x yyxy xxy x yxy· 2 · 27 28 7 28= → =

Acontinuaciónprocedemosatransformarlapartenuméricatomandocomomodelolapar-teliteral.Así:

x y x y x yx yxy x yxy 6 x yxy 2

= → = → = ( )2 2 2 2 27 24 2 24 2 3 24

x y x y

x y

x yxy 2 x yxy 2

x yxy 2

= ( ) → = ( )

→ = ( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2

2 24 2 24

2 22 2

8 2 2

2 2(( )( )2

Recordandoque:x>y,porcomparaciónreconocemosque: x y= ∧ =2 2 2

Finalmentetenemos: K K K= +− → = +

−→ =x y

x y2 2 2 2 2

2 2 24 2

2

\ K=4Rpta.C


01.- Determinar «x», si:

3x+1 + 3x+2 + 3x+3 = 351

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

02.- Resolver para «x» si: 4x – 4x – 1 = 24

A) {1} B) {1,5} C) {2}

D) {2,5} E) {3,5}

03.- Resolver: 240 + 9x = 9x+2

A) {1/2} B) {1/4} C) {1/8}

D) {1/3} E) {1/5}

04.- Encontrar «x», si:

3x + 3x – 1 + 3x – 2 + 3x – 3 + 3x – 4 = 363

A) {6} B) {5} C) {4}

D) {3} E) {7}

05.- Determinar «x» si: 94

827

23

1( ) ( ) =−x x

•

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 2

06.- Resolver para «x», si:

4x – 3x – 1/2 = 3x + 1/2 – 22x – 1

A) {-3/2} B) {1/2} C) {-1/2}

D) {3/2} E) N.A

07.- Calcular «x», si: 22x + 2 – 9 · 2x + 2 = 0

A) {-6} B) {-5} C) {-4}

D) {-3} E) {-2}

08.- Evaluar «x» si: 127

13

13

9

9

( ) =( )

x

A) 1/2 B) 1/3 C) 2

D) 3 E) 1/9

09.- Resolver para «x» si: 2 48 42 1x x − −=

A) {1} B) {2} C) {3}

D) {4} E) {5}

10.- Determinar el valor de «x» que verifica:

32 25 552 12x x+ −=

x

A) 3 B) 4 C) 6

D) 9 E) 2

11.- Determinar «x» si: 5 55 25

516

7 ++

=x

x

A) 5 B) 6 C) 7

D) 8 E) 9

12.- Calcular el valor de: N + K, si:

N K= =32 32 32 646464

666 ... ;

.

.

.

A) 6 B) 66 C) 62

D) 10 E) 5

1.3. Ecuaciones ExponencialesPráctica

13.- Simplificar la expresión:

3 3 3

3 2 3 2 3

...

...+ + +

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

14.- Determina el valor entero de «x» que sa-tisface el sistema de ecuaciones:

y

y

x

xx

=

=

+−( )

64

1611

A) 2 B) -1 C) 5

D) 3 E) 4

15.- Calcular «x» si: xx0 5

0 5,

,=

A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8

D) 2 E) 2 2/

16.- Resolver para «x» si: xx3

0 56= ,

A) { 43 } B) { 23 } C) { 4 23 / }

D) { 2 43 / } E) { 2 23 / }

17.- Si: xxx2 2+= 4 ; calcular el valor de:

«x2 – 1»

A) 1 B) 2 C) 1/2

D) 3 E) 1/4

18.- Con respecto a la solución de la ecuación:

x x x xx x xxxx • • •... radicales2 3 4

496« » =

es correcto afirmar que:

A) 6 < x < 8 B) 7 < x < 9

C) 8 < x < 10 D) 11 < x < 13

E) N.A

19.- Calcular el valor de: 22 1

2

2xx −( )

si «x» verifica: 2 32 331−

= ( )x

x xx

A) 3 B) 4 C) 8

D) 9 E) 16

20.- Resolver para «x» si:

x x

x

x

27

7

7

2 2+ + +

=x

. . .

x

A) {1/3} B) {1/9} C) { 1 3/ }

D) { 1 37 / } E) { 1 277 / }

21.- Calcular el valor de: (3x) + (3x)-1; si «x» verifica:

3 3 13 1

x x= +( )− + 3xx x

A) 1 B) 15 C) 5

D) 3 E) 9

22.- Dar un valor de: an −1 ; si:

an + 1 = (2a)n – (4a)n - 1

A) 2 B) 1/2 C) 2n

D) 4 E) N.A

23.- Calcular un valor de: «x2 + 2y2», si se cumple:

y xx y• = −3 3

62 Álgebra

A) 5 B) 4 C) 4

D) 2 E) 1

24.- Calcular el valor de:

K = 3 + 7x-x + 11x-2x + 15x-3x + . . . ;

sabiendo que:

(x + 5)x = 23x + 1 + x x x ...xxx

A) 32/9 B) 51/7 C) 53/7

D)52/9 E) 61/9

25.- Si: x0 es la solución de la ecuación:

9x – 4x = 6x, calcular: 3 5 100 1 xx−( )+

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

26.- Sobre el cuadrado de la solución de la ecuación:

xx

8 8=

x

Podemos afirmar:

A) Es par B) Es impar C) Primo

D) Es fraccionario E) A o C

27.- ¿Cuántos valores racionales asume «x» en:

( ) ?( )( )

7 3 17 7

− + =− −x x3x 3x

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) Infinitos

28.- Si: 16 83 42 2x x

= , ¿cuál es el valor de «x»?

A) 1 B) 1/3 C) 2

D) 3 E) 1/2

29.- Si: 25 9 2 15x x x+ = ( ) ,

determinar el valor de:

E = +( )+ +

−5 3

7 5

7 1 7 2

7 1

- x - x

- x

A) 5 B) 10 C) 8

D) 6 E) 13

30.- En: 4 812 64x= , ¿cuál es el valor de «x»?

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

31.- Si: ( , ) ( , )x y , ,0 1 0 2 2 50 2 0 3= ( )( ) , ¿cuál es el valor de «xy»?

A) 0,01 B) 0,02 C) 0,03

D) 0,04 E) 0,05

32.- Si: 2 2 1194 4x x+ =− y x > 0,

calcular 2 2 5x x− +−

A) 3 B) 5 C) 8

D) 10 E) 14

..

..

..

ABF

()x y+n

Claves:

28E

27A

26E

25B

24D

23E

22A

21C

01B

02D

03A

04B

05B

06D

07E

08A

09E

10A

11E

12A

13A

14D

15B

16C

17A

18B

19D

20E

29B

32C

31B

30B

Documents

Los Números 1.1 Reales - Libreria onlinelibreriaonline.pe/previews/algebra_np_unidad_01.pdf · El conjunto de los números racionales, ... 2do.-Por extensión los números reales