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1. NMEROS NATURALES Y NMEROS ENTEROS NMEROS NATURALES Desde que nos levantamos a diario para realizar nuestras labores, utilizamos el nmero natural. Si usted no se

ha percatado de esto, pues simplemente fjese en el nmero de libros que tiene en su biblioteca, en el nmero de camisas, o mejor si usted es estudiante, en el nmero de alumnos de su clase. Para contabilizar los objetos,

utilizamos en general, los nmeros naturales, por decir 3 pelotas, 100 estrellas, etc. Tambin los nmeros naturales nos sirven para ordenar o numerar; por ejemplo decimos Amrica est primero en la tabla de

posiciones o tambin Cali est en noveno lugar en el torneo de ftbol local. Entonces, concluimos que los

nmeros naturales tiene dos primeras caractersticas: la cardinalidad y la ordinalidad. La representacin simblica de los nmeros naturales, se presupone que surgi antes del nacimiento de las

palabras para representarlos, seguramente porque es ms fcil contar muescas en un palo que establecer una frase para identificar un nmero concreto. Los smbolos que representan a los nmeros no han sido siempre los

mismos.

Los nmeros Naturales los usamos para CONTAR. Por lo tanto:

{ } Dentro de los naturales tenemos los llamados:

NMEROS PARES = { } los cuales se pueden representar algebraicamente como 2n (2 por algo). Por qu?

NMEROS IMPARES = { } Cmo se representan algebraicamente? Tenemos dos opciones (2n + 1) (2n - 1).

NMEROS PRIMOS: Un nmero, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por s mismo. Los nmeros naturales mayores que 1 que no son primos se llaman nmeros compuestos. El 2 es el

nico nmero primo que es par. Recuerde que el 1 NO es un nmero primo.

ACTIVIDAD: Obtengamos los 150 primeros nmeros primos, en la siguiente tabla, siguiendo los pasos indicados:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

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Tacha el nmero 1, ya que no se considera primo ni compuesto.

Encierra el nmero 2 y tacha sus mltiplos, o sea, el 4, el 6, el 8, etc. Encierra el nmero siguiente, que an no se elimina, o sea el 3, y tacha sus mltiplos.

Encierra el nmero siguiente, que an no se elimina, o sea el 5, y tacha sus mltiplos. Repite el paso anterior, hasta terminar con todos los nmeros.

Los nmeros encerrados son los nmeros primos.

Los restantes corresponden a los nmeros compuestos, con excepcin del 1.

ORDEN DE OPERACIN

Es muy importante que al operar no te olvides que existe un orden de operacin que se debe respetar y es el

siguiente: 1 Parntesis, si las hay.

2 Potencias, si las hay. 3 Multiplicacin y Divisin, si las hay.

4 Suma y Resta

ACTIVIDAD: Para practicar

1) 2) 3) 4)

MNIMO COMN MULTIPLO Y MXIMO COMN DIVISOR EL MNIMO COMN MLTIPLO (M.C.M.) de dos o ms nmeros es el menor de los mltiplos que es comn

a cada una de estas cantidades.

EL MXIMO COMN DIVISOR (M.C.D.) de dos o ms nmeros es el nmero mayor que los divide.

NMEROS ENTEROS

Los nmeros negativos antiguamente conocidos como nmeros deudos o nmeros absurdos, datan de una poca donde el inters central era la de convivir con los problemas cotidianos a la naturaleza.

Las primeras manifestaciones de su uso se remontan al siglo V, en oriente, y no llega hasta occidente hasta el

siglo XVI. En oriente se manipulaban nmeros positivos y negativos, estrictamente se utilizaba los bacos, usando tablillas o bolas de diferentes colores.

La notacin muy difundida para los nmeros positivos y negativos fue gracias a Stifel. La difusin de los

smbolos germnicos (+) y (-), se populariz con el matemtico alemn Stifel (1487 1567) en el siglo XV,

antes de ello se utilizaba la abreviatura de p para los positivos y m para los negativos.

Hasta fines del siglo XVIII los nmeros negativos no eran aceptados universalmente. Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los nmeros negativos falsos, pero en su Ars Magna (1545) los estudi exhaustivamente.

Jhon Wallis (1616 - 1703), en su Aritmtica Infinitoum (1655), demuestra la imposibilidad de su existencia diciendo que esos entes tendran que ser a la vez mayores que el infinito y menores que cero. Leonardo Euler

es el primero en darles estatuto legal, en su Anteitung Zur Algebra (1770) trata de demostrar que (-1).(-1) =

+1; argumentaba que el producto tiene que ser +1 -1 y que, sabiendo que se cumple (1).(-1)=-1, tendr que ser: (-1).(-1) = +1.

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Los Nmeros Enteros, ms conocido como el conjunto zeta, . Este conjunto surge como necesidad de crear nuevos nmeros que solucionarn diversas situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo: Para anotar las temperaturas inferiores a 0 (temperatura de solidificacin del agua). En una

competencia, los puntos en contra. Tambin para sealar cantidades opuestas, como ser +1997 (1997 D.C.) con -436 (436 A.C.)

Estos nuevos nmeros son los Nmeros Negativos y al unirlos con los Nmeros Naturales y el cero formamos el conjunto de los Nmeros Enteros.

{ }

EN LA RECTA NUMRICA: Si un nmero entero est en la recta numrica a la derecha de otro es un nmero mayor, por ejemplo, el -2 est a la derecha de -3, luego -2 > -3.

VALOR ABSOLUTO: Corresponde a la distancia que existe entre un nmero y el 0, en la recta numrica.

As: El valor absoluto de 8 es 8, puesto que hay 8 unidades de distancia entre el 0 y el 8. Esto se expresa

matemticamente as:

| |

El valor absoluto de -7 es 7, pues hay 7 unidades de distancia entre el 0 y -7. | | Luego el valor absoluto de un nmero es siempre positivo o cero.

MLTIPLOS

El conjunto de los mltiplos de p con , est dada por: { }

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un nmero es divisible:

Por 2: Cuando su ltimo dgito es 0 par. Por 3: Cuando la suma de sus dgitos es mltiplo de 3. Por 4: Cuando los dos ltimos dgitos del nmero son 0 o un mltiplo de 4. Por 5: Cuando el ltimo dgito del nmero es 0 5. Por 6: Cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. Por 7: Cuando se multiplica por 2 la cifra de las unidades y el resultado se resta al nmero que forman las

cifras restantes. Este proceso se repite hasta que la diferencia est formada por una o dos cifras. Si estas cifras son cero o forman un nmero mltiplo de 7, el nmero inicial es divisible por 7.

Por 8: Cuando el nmero formado por los tres ltimos dgitos es cero o exactamente divisible por 8. Por 9: Cuando la suma de sus cifras (dgitos) es un mltiplo de 9. Por 10: Cuando termina en cero (0) Por 11: Cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la suma de las cifras

que ocupan los lugares impares es 0 o un mltiplo de 11.

OPERATORIA EN

Para sumar dos o ms nmeros enteros de igual signo, se suman los valores absolutos de los nmeros y

conservan el mismo signo.

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Para restar dos o ms nmeros de diferentes signos, se restan los valores absolutos de los nmeros y se

coloca a la diferencia el signo de la cantidad mayor.

Para multiplicar dos nmeros, se multiplican los valores absolutos de los nmeros, y como signo el producto de:

Para la divisin se aplica la misma regla de los signos que para la multiplicacin.

1. TALLER I. Completa la siguiente tabla, sin olvidar el orden de operaciones, realizando clculo mental:

a b c a-bc (a b)c ac b2 ab ac

6 2 4

1 8 5

0 1 2

-3 -2 -1

-3 -1 2

2 -3 -1

-1 1 -1

-2 -1 -3

0 -1 -2

-1 0 -2

II. sea n un nmero, traduce las siguientes frases al lenguaje matemtico:

1. El triple de un nmero. 2. Tres ms que el cuadrado de un nmero. 3. Tres veces el sucesivo de un nmero. 4. Cinco veces un nmero.

5. La suma del nmero y su sucesivo. 6. El cociente de n y t. 7. El doble del nmero disminuido en cinco.

III. Representa en forma simblica los siguientes enunciados y trate de resolver los problemas por clculo

mental:

1. Un nmero aumentado en 7 es igual a 32. 2. El triple de un nmero aumentado en 7, es igual a 28.

3. El doble de un nmero aumentado en 4 da 34. 4. La suma de tres nmeros consecutivos da 33. 5. Un nmero dividido entre 8 es igual a 9. 6. La suma de dos nmeros pares consecutivos es 30

7. La octava parte de la diferencia entre el triple de un nmero y 4 es 7.

IV. Desarrollar:

1. 5 + (-8) + (-9) + 7 2. 8 + (-7) + 3 + 9 3. 6 + 5 + (-2) + (-1)

4. 12 + 7 + (-37) + 14 5. (-23) + (-35) + 43 + (-33) 6. (-63) + 45 + (-38) + 17 7. 3462 + (-5237) + (-1304) + (-7064) 8. 2062 + (-3896) + 6438 + (-7068)

9. [(-2) 4] (-7) 10. 2 [4 (-7)] 11. 23 [(-7) (-13)]

12. [654 (-875)] + [(-875) + 654] 13. [3654 5841] [(-7458) (-8954)] 14. 2 + (-5)(+3) 15. (-32)(-25) + 46 16. (-3)[(-2) (-4)]

17. 5 (-3) 18. 7 (-3) 19. 5(-3) 20. (-3)(-7) 21. 8 / (-2) 22. (-9) / (-3)

23. (2 6) 24. (-4 3) 25. (3)(-2)(-4)

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26. 3(1 4) 27. 4(3 6) 28. 2(-2 3)

29. 5 3 8 + 15 1 30. 9 5 4 + 7 6 + 10 31. 623 + 328 34 512

V. Suprima los smbolos de agrupacin y simplifique los trminos semejantes, si es posible:

1. 3(X 4) 2. 2(-X 3) 3. 4(X 6) 4. X(-Y 6) 5. X(-Y)(-Z) 6. (-2)(-X)(X + 3)

7. 2(-a)(3 a) 8. (-3p)(2q)(q p) 9. X(-2)(-X 4)

10. 2X + 5 2(X + 2) 11. 3X t 2(X t) 12. 4X(X + Y) X2 13. 4[2(X + 1) 3] 14. X[3(X 2) 2X + 1] 15. X[-3(-4 + 5) + 3]

16. 7X 3X 17. 4t 8t 9t 18. 2X + 8Y 7X 5Y 19. 5m + 3n m 9n 20. 2(m + 3n) + 4(m 2n) 21. 3(u 2v) + 2(3u + v)

22. (X + 3Y) (2X 5Y) 23. 3(2X 3Y) (2X Y) 24. 2(3m n) (4m + 2n)

25. 3XY + 4XY XY 26. X2Y + 3 X2Y - 5 X2Y 27. X 3(X + 2Y) + 5Y 28. a2 3ab + b2 + 2 a2 + 3ab - 2 b2 29. 2(X 1) 3(2X 3) (4X 5)

30. 3X(2X2 4) 2(3X3 X) 31. 3X 2[2X (X 7)] 32. Y [5 3(Y 2)] 33. 5Y(2Y 3) + 3Y(-2Y + 4) 34. 2t 3t[4 2(t 1)] 35. 2u 3u[4 (u 3)]

36. 2x[3x 2(2x + 1)] 3x[8 + (2x 4)] 37. 2t 3{t + 2[t (t + 5)] + 1} 38. X {X [X (X 1)]} 39. 2t {-2t(-t 3) [t2 t(2t + 3)]}

40. w {X [Z (w X) Z] (X w)} + X

VI. Encontrar la solucin a los siguientes problemas:

1. Halle tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 78.

2. Halle tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 96.

3. Cunto tiempo le tomar viajar en automvil de Bogot a Cali, una distancia alrededor de 424 Km, si la velocidad promedio es de 53 Km/hora. (Sugerencia: distancia = velocidad * tiempo).

4. Alrededor de 8 veces la altura de la parte de un tmpano de hielo que est sobre el agua es igual a la altura de la parte del tmpano que est bajo el agua. Si la altura total del tmpano es de 117 m, cunto mide la parte

sobre el agua y cunto mide la parte bajo el agua? 5. Halle tres nmeros enteros consecutivos impares tales que la suma del primero y el segundo sea 5 ms que

el tercero.

6. Halle las dimensiones de un rectngulo con permetro igual a 66 m; si su largo es 3 m ms que dos veces su ancho.

7. Un mecnico cobra $6000 por hora por mano de obra, y su asistente $4000. En un trabajo de reparacin la cuenta fue de $190000, con $92000 por la mano de obra y $98000 por las piezas. Si el asistente trabaj dos

horas menos que el mecnico, cuntas horas trabaj cada uno?

8. En una elecciones recientes en que haba cinco candidatos, el ganador derrot a los oponentes por 805, 413, 135 y 52 votos, respectivamente. Si el nmero total de votos fue 10250, cuntos votos obtuvo cada uno?

9. Un hombre fue ro arriba en una canoa, y volvi en seis horas. Si su velocidad ro arriba fue de 2 Km/h, y su velocidad en la vuelta fue de 4 Km/h, qu distancia recorri ro arriba?

10. Don Pedro est en un refugio en un ro y alquila un bote de motor por 5 horas a las 7 a. m. Se le dice que el

bote viaja a 8 Km/h ro arriba y 12 Km/h en la vuelta. Don pedro decide que le gustara ir ro arriba tan lejos como pudiera y todava estar de vuelta al medioda. A qu hora debera regresar y a qu distancia del parador

estara a esa hora?. 11. Un barco sale de Inglaterra, y al mismo tiempo otro sale de los Estados Unidos. La distancia entre los dos

puertos es de 3150 millas. El barco de los Estados Unidos promedia 25 millas por hora, y el de Inglaterra 20 millas por hora. Si ambos siguen la misma ruta martima, cunto tiempo pasar para que los barcos se

encuentren y a que distancia de los Estados Unidos estarn en ese momento?

12. En un centro de cmputo se emplean dos ordenadores electrnicos de tarjetas para clasificar 52000 tarjetas IBM. Si el primer ordenador produce 225 tarjetas por minuto, y el segundo produce 175 tarjetas por minuto,

cunto tiempo les tomar a ambos, trabajando a la vez, clasificar todas las tarjetas? 13. Halle cuatro nmeros enteros pares consecutivos de tal modo que la suma del primero y el ltimo sea la

misma que la suma del segundo y el tercero. (Sea cuidadoso).

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VII. Marque la respuesta correcta.

1. Se define (a , b) * (c , d) = (ad + bc, ab cd), entonces (2,1) * (3,2) es

A) (3,1) B) (7,-4) C) (8,4) D) (8,-4)

2. Si p es un nmero impar y q es un nmero par,

de las siguientes combinaciones, la que es siempre un nmero impar es

A) pq B) 5pq + q C) p + 5q D) 3pq + q

3. [ ] es A) 28 B) -28 C) -13 D) 13

4. Un nmero entero positivo p se compone de dos

dgitos que son de izquierda a derecha a y b

respectivamente. Entonces el inverso aditivo de p es A) 10a + b B) 10a + b C) 10b + a D) 10a - b

5. S a es un nmero natural y b es un nmero

cardinal, entonces puede darse que A) a + b = 0 B) a / b = 0

C) b / a = 0 D) a + b2 = b

6. Entre 100 personas se reparte un cierto nmero

de fichas azules, blancas y rojas. 45 personas reciben fichas rojas, otras 45 reciben fichas blancas,

60 personas reciben fichas azules, 15 reciben tanto

rojas como blancas, 25 reciben blancas y azules, 20 reciben rojas y azules y 5 reciben de los tres colores.

El nmero de personas que no reciben fichas es A) 5 B) 8 C) 15 D) 30

7. Si a y b son nmeros naturales impares, entonces

es(son) siempre un nmero par

I. a + b III. a b II. a b IV. a + 1

A) Slo I B) Slo II y IV C) Slo I y IV D) Slo III y IV

8. El sxtuplo del nmero par consecutivo de 8 es A) 16 B) 36 C) 48 D) 60

9. De los nmeros 1, 2, 5, 8, 9, 11; Cuntos son

primos?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

10. Si m = 5 y n = 7. Cul(es) de las siguientes expresiones representa(n) un nmero par?

I. 5m + 7n II. n(m + 3n) + 2m

III. mn + 5n + 3m

A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo II y III

11. Si se divide el mnimo comn mltiplo por el mximo comn divisor entre los nmeros 30, 54, 18

y 12; se obtiene: A) 5 B) 15 C) 45 D) 90

12. Cuntos factores primos diferentes tiene el nmero 360?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

13. Sabemos que 2n + 1 representa un nmero

impar. Cul(es) de las siguientes expresiones es(son) un nmero impar?

I. 2n + 13 II. 5(2n + 1) + 7

III. (2n + 1) + 7 A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo II y III

14. Claudia, en tres meses ms cumplir un ao, en cuntos meses ms cumplir dos aos y medio?

A) 30 B) 27 C) 24 D) 21

15. Dada la expresin 3a(5b + 2c), los valores de a,

b y c, respectivamente, que hacen que la expresin sea un nmero par, son

A) 1, 1 y 3 B) 3, 2 y 5 C) 3, 3 y 2 D) 1, 5 y 7

16. Si a, b y c son respectivamente los tres primeros nmeros primos, entonces a + b + c es

A) 6 B) 10 C) 15 D) 17

17. En la expresin q = 5n(7m + 3n); si n = 3, el

valor que puede tener m para que q sea par es A) 1 B) 2 C) 4 D) 6

18. Si a y c son impares; b y d son pares. De las siguientes alternativas, la que representa un nmero

impar es A) abcd B) 2ac + 5 bd

C) a + b + c + d D) bd + ac

19. Cuntos elementos en comn tienen los

conjuntos de los divisores del 18 y del 16? A) 4 B) 1 C) 2 D) 3

20. La suma de tres pares consecutivos es 150.

Luego la suma de los impares ubicados entre estos

pares es A) 99 B) 100 C) 102 D) 149

21. Si la mitad de m es 9, entonces el doble de la

tercera parte de m es

A) 10 B) 12 C) 15 D) 16

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22. Si p = 3 103 + 4 102 + 6 10 + 5 100,

entonces es falso que:

A) p es divisible por 3 B) p es divisible por 11 C) 9 es factor de p D) p es divisible por 10

23. Si n es un nmero natural, cul(es) de las

siguientes expresiones representa(n) siempre un

nmero par? I. 2(n + 1)

II. 3n2

III. (n + 1)2

A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III

24. Cul de las siguientes alternativas representa la

suma de tres pares consecutivos, sabiendo que n es

el nmero central? A) n B) 3n C) 6n D) n + 6

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2. NMEROS RACIONALES

NMEROS RACIONALES

Al dividir dos nmeros Enteros, no siempre resulta otro nmero Entero. Esto llev a la necesidad de ampliar el

conjunto y dar paso a un nuevo conjunto, llamado de los Nmeros Racionales y simbolizado por . Este conjunto incluye a . Su definicin es:

Es el conjunto de los nmeros de la forma

, siendo , con .

Obvio que b debe ser distinto de cero, ya sabes que la divisin por 0 no est definida.

En la fraccin

el 3 recibe el nombre de numerador y el 8 de denominador. Si efectuamos la divisin 3 entre

8, obtenemos como resultado exactamente 0,375, que es el nmero decimal asociado al nmero racional

NMERO MIXTO

La fraccin

se puede escribir como un nmero mixto, o sea un nmero con una parte entera y otra

fraccionaria.

, esto resulta de efectuar la divisin de 8 entre 3

El procedimiento para transformar un nmero mixto en fraccin es:

Esto es: 5 por 8, y al producto se le suma 3.

FRACCIN PROPIA

Son aquellas cuyo numerador en menor que el denominador. En la recta numrica se ubican entre el 0 y el 1

Por ejemplo:

FRACCIN IMPROPIA

Son aquellas cuyo numerador en mayor que el denominador, por lo tanto son mayores que 1. Para ubicarlas en la recta numrica se necesita transformarlas a nmero mixto.

Al convertirlas en nmero mixto, el entero que se obtiene nos indica entre qu nmeros enteros est la fraccin impropia, y la fraccin que nos resulta se ubica entre dichos nmeros.

Por ejemplo:

AMPLIFICACIN

Amplificar una fraccin es multiplicar su numerador y denominador por un mismo nmero natural. La fraccin obtenida es equivalente a la original.

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SIMPLIFICACIN

Simplificar una fraccin es dividir el numerador y el denominador de una fraccin por un mismo nmero natural, para lo cual el numerador y el denominador deben ser mltiplos de ese nmero. De lo contrario, no se puede

simplificar la fraccin.

Si una fraccin no se puede simplificar, decimos que se trata de una fraccin irreductible.

ORDEN EN Q

Esto se refiere a establecer cundo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro elemento. Aqu se nos presentan dos casos:

a) Si los denominadores son iguales, resulta fcil, ser mayor la fraccin que tenga el numerador mayor.

b) Si los denominadores son distintos, habr que igualarlos. Esto se realiza obteniendo el M.C.M. entre los denominadores de las fracciones.

Otro mtodo es efectuando productos cruzados de la siguiente manera:

Cul fraccin es menor

?

Ya que 45 es menor que 91, entonces

OPERATORIA EN Q

Siempre antes de operar, debemos revisar si todas las fracciones son irreductibles, si no lo son es conveniente

simplificar.

SUMA Y RESTA:

A) Fracciones con el mismo denominador: se suman (cuando es suma) los numeradores y se conserva el denominador.

Ejemplo:

B) Fracciones con distinto denominador: lo primero es obtener fracciones equivalentes, basados en el

M.C.M. de los denominadores y luego resolver como en la situacin anterior.

Ejemplo:

Otro mtodo para resolver adiciones y sustracciones es el siguiente:

MULTIPLICACIN: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre s y los denominadores entre s.

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Ejemplo:

Otro mtodo para resolver adiciones y sustracciones es el siguiente:

DIVISIN:

Para dividir fracciones multiplicamos la primera fraccin por el inverso multiplicativo de la segunda fraccin.

Ejemplo:

Otro mtodo es multiplicando en forma cruzada, de la siguiente manera:

2. TALLER

I. Atletismo Escolar: Arturo, Boris, Carlos y Daniel son cuatro atletas que se preparan con dedicacin para competir en los diversos torneos escolares de la Regin. En general entrenan los lunes, martes, jueves y

viernes, dejando los das restantes para competir en las carreras de 100 m. y 200 m. planos; que son en las cuales ms se destacan. En el siguiente cuadro se muestra el tiempo empleado en los entrenamientos de una

semana y las marcas logradas en las competencias llevadas a cabo los das mircoles (100 m.), sbado (100 m.)

y Domingo (200 m.)

Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes Sbado Domingo

Arturo 1/4 hora 2/5 h 12,24 seg 3/4 h 5/6 h 12,01 seg 24,12 seg

Boris 1/2 h 1/3 h 13,18 seg 5/6 h 1/4 h 13,2 seg 26,47 seg

Carlos 3/4 h 1/5 h 13,01 seg 1/3 h 7/12 h 12,96 seg 25,83 seg

Daniel 2/3 h 3/4 h 12,84 seg 2/5 h 1/6 h 12,53 seg 25,03 seg

Basndote en los datos de la tabla resuelve las siguientes interrogantes: a) Cuntos minutos entren cada atleta el da jueves?

b) Quin entren mayor cantidad de horas el da martes? c) Cunto tiempo entrenaron en la semana Arturo, Boris, Carlos y Daniel, respectivamente?

d) Cunto tiempo entren Carlos antes de la primera competencia?

e) Cul fue el orden de llegada a la meta en la carrera del da mircoles? f) Cunto tiempo corrieron en total Boris y Daniel considerando las 3 competencias en las que participaron?

g) Cul es la diferencia de tiempo entre la primera y la segunda competencia por parte de Arturo y Boris? h) Si los 4 atletas decidieran participar en una posta, cuntos segundos demoraran en total considerando que

repiten la marca lograda en la competencia del da sbado?

i) Si el record estudiantil de los 100 m. planos es 11,47 seg, en cuntos segundos deber mejorar cada atleta para alcanzar esa marca?

j) Si Arturo y Daniel corrieron en forma constante los 200 m planos, qu tiempo hicieron cada 50 m., respectivamente?

k) Si en la prxima carrera, Carlos se ha propuesto correr cada metro en 0,128 seg, cul ser su tiempo

cronometrado para los 100 m.? l) Si Daniel corriera su prxima carrera a 0,1346 segundos cada metro, en cuntos segundos recorrera 25,5

m.?

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II. Traduce las siguientes frases al lenguaje matemtico:

1. La mitad de X, aumentada en el producto de 45 por Z.

2. Cinco veces X, disminuido en un sptimo de Y. 3. Un tercio de la suma de P con el cudruplo de Q.

4. Cien disminuido en un octavo del producto de X por Y. 5. Tres cuartos de la suma de N y los tres quintos de M.

6. El producto de X por Y, disminuido en el doble de la diferencia entre P y Q.

7. El cociente de Z y 8, menos cudruplo de su suma.

III. Usando la letra que desee traduzca al lenguaje simblico y resuelva matemticamente el problema: 1. La suma de un nmero y su doble es 18.

2. El doble de un nmero menos 8 es 18.

3. Ocho veces la diferencia entre un nmero y 2 es 20. 4. Un equipo gan tres veces ms partidos de los que perdi y en total gan 40 partidos. Cuntos perdi?

5. Tres veces la suma de un nmero y 6 da 33. Cul es el nmero? 6. La cabeza de un pez mide 10 centmetros, la cola es tan larga como la cabeza ms del cuerpo; el cuerpo

es tan largo como la cabeza y la cola juntas. Cunto mide el pez?

IV. Desarrollar:

1. 3

2 +

3

4 2.

4

3 +

4

5 3.

8

3 +

2

1 4.

5

3 +

5

7

5. 5

2 +

10

3 6.

3

2 +

5

3 7.

2

1 +

7

4 8.

11

7 -

11

3

9. 5/3 2/3 10. 7/11 (-3/11) 11. 1/2 3/8 12. 2/5 3/10

13. 3/5 2/3 14. 1/2 4/7 15. 3/5 4/3 16. 7/8 9/4

17. XY5

3 +

XY5

6 18. 6/5X2 + 4/5X2 19. 3Y/X + 2Y/X 20. X/5Y + 2X/5Y

21. 3/7Y (-3/7Y) 22. 2/3X 2/3X 23. 1/2X + 2/3X 24. 3/5m + 5/2m

25. 2/5 * 3/7 26. 3/8 * 3/5 27. 4/5 * 7X/3Y 28. 5/7 * 2X/3Y 29. X/2Y * 3X/Y2 30. 2m/n2 * 3m2/5n2 31. 5/3 * 2/-7 32. 2/-5 * (-3/7)

33. 3/5 5/7 34. 3/4 4/5 35. 2X/3 5/7Y 36. 3/7 (-2/3) 37. 4/5 3/7 38. 1/25 15/4 39. 3uv2/5w 6u2v/15w

V. Efecte las operaciones indicadas y simplifique: 1. (9/10 4/6) * 3/5 2. 9/10 (4/6 * 3/5) 3. 21/16 * 12/-14 * 8/9 4. 18/15 * (-10/20) * 3/-1 5. 2X2/3Y2 * 6YZ/2X * Y/-XZ 6. a/-b * 12b2/15ac * (-10/4b)

7. (a/b c/d) e/f 8. a/b (c/d e/f) 9. 1/3 (-1/2) + 5/6 10. 3/4 + 2/5 (-3/2)

11. X2/4 X/3 + (-1/2) 12. 2/5 X/2 (-x2/3)

13. 3/Y3 (-2/3Y2) + 1/2Y - 3 14. 1/5X3 + (-3/X2) (-2/3X) 1 15. Y/9 (-1/28) Y/42 16. 5X/6 3/8 + X/15 3/20

17. X2/12 + X/18 1/30 18. 3X/50 X/15 (-2/6) 19. X/3 (1/4 X/2) 20. (X/5 X/2) X/10 21. x (1/2 + X/3) X2/6 22. X2/2 X/3 X/4 VI. Resuelva:

1. Si un lado de un tringulo mide una cuarta parte del permetro, el segundo lado mide 3 m, y el tercer lado mide una tercera parte del permetro, cul es el permetro del tringulo?

2. Una torre de transmisin elctrica est localizada en un lago. Una quinta parte de la torre est debajo de la arena, 10 m estn debajo del agua, y dos terceras partes estn afuera, cul es la altura total de la torre desde

los cimientos en la piedra hasta el tope?

3. En una excursin, un grupo viaj la mitad de la distancia en una camioneta, 55 Km a caballo, y la ltima tercera parte de la distancia, por barco. Qu distancia recorri el grupo en el viaje?

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4. Halle las dimensiones de un rectngulo cuyo permetro es 72 cm, si su ancho es una tercera parte de su

longitud.

5. La suma de la cuarta parte de un nmero y 10 es igual al siguiente del nmero buscado. 6. Un campesino tiene el triple de vacas que terneros. De cerdos tiene cinco ms que el doble del nmero de

vacas y terneros juntos. El nmero de animales es 65. Qu cantidad de cada uno de los animales tiene? 7. La suma de la mitad de un cierto nmero y 7.5 es uno menos que el anterior del nmero buscado. Cul es el

nmero?

8. Si la razn de mujeres a hombres es 9

7 y hay 630 hombres, cuntas mujeres hay?

9. Si hay 8 gramos de cido clorhdrico en 70 gramos de solucin, cuntos gramos de cido clorhdrico hay en

21 gramos de la misma solucin?

10. Si la razn de precio/ganancia de una accin de cierta empresa es de 2

5, y el precio de la accin es $3600,

cul es la ganancia de la accin?

VII. Marque la respuesta correcta.

1. Cul de las siguientes expresiones no es un

racional? A) -1 B) 0/5 C) 0,2 D) 3/0

2. Al dividir un nmero por 2/3, se obtuvo 12 como

cociente. El nmero es A) 8 B) 9 C) 18 D) 30

3. Al amplificar por 2 el racional 3/4 resulta A) 6/8 B) 3/8 C) 6/4 D) 3,2

4. Qu nmero dividido por 5/p da como resultado

p/5?

A) p2/5 B) p/5 C) 1 D) (p/5)2

5. Al ordenar los nmeros 8, 1/6, 4, 3/4, 5, 1/2, 7, 1/9 en forma decreciente, el quinto trmino es:

A) 1/9 B) 5 C) 1/2 D) 3/4

6. Si la mitad de un medio se divide por un medio,

resulta: A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8 D) 2

7. Si al triple de la tercera parte de un nmero se le

resta 18, resulta 0. Cul es el nmero?

a) 2 b) 9 c) 18 d) 36

8. Si a = 1/2 y b = 1/3, entonces 1/(a+b) es A) 1/2 B) 5 C) 1/6 D) 6/5

9. Por cunto debe amplificarse el racional 10/3

para que la diferencia entre sus trminos sea 35?

A) 5 B) 6 C) 16 D) 35

10. Dadas las fracciones a = 3/4, b= 2/3 y c = 4/6. Qu afirmacin es falsa?

A) a > b B) b = c C) c > a D) b < a

11. Si m = 1/2 - 1/3, n = 1/4 - 1/3 y p = 1/6

1/3, cul de las siguientes afirmaciones es correcta? A) m > n > p B) m < n < p

C) m < n = p D) p > m > n

12. Dados lo racionales a = -0,2, b = -0,01 y c = -0,1; el orden creciente de ellos ser:

A) a, b, c B) a, c, b C) b, a, c D) b, c, a

13. Cul es el valor de (0,1 0,4) / 0,2?

A) 0,02 B) 0,2 C) 20 D) 2

14. Para obtener los 2/7 de un nmero distinto de 1

se debe: A) Restar cinco sptimos B) Dividir por catorce

C) Multiplicar por catorce D) Multiplicar por dos y dividir por siete

15. Qu afirmacin es correcta?

A) 0,099 > 0,2 A) 0,28 > -0,35

C) 0,2 0,2 = 2 0,2 D) 0,4 : 0,2 = 0,2

16. Cuatro nios compran D dulces cada uno. Si llegan 3 nios ms, sin dulces, y el total se reparte

entre todos en partes iguales, cada nio recibe:

A) D/7 B) 4D/7 C) 4D 3 D) 4 3D

17. De una fortuna se gastan la mitad y la tercera parte, quedando un remanente de $A. De cuntos

pesos era la fortuna? A) 6A B) 10 A C) 12A D) 15A

18. La fraccin 5/9 equivale al decimal: A) 5,9 B) 9,5 C) 0,5 D) 0,55...

19. La mitad de la mitad de 3/5 es:

A) 3/5 B) 6/5 C) 3/20 D) 12/5

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3. POTENCIACION Y PROPORCIONALIDAD

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN Esta operacin parte en el contexto de los nmeros naturales y corresponde a la multiplicacin de un mismo

nmero natural a, una cantidad n de veces; actualmente al nmero a lo conocemos como base y al nmero n como exponente.

Se puede definir la potencia de una expresin cualquiera como el resultado de tomarla como factor dos o ms

veces. vecesnaaaa n .....)(

Ejemplo: vecesnn .......2222 Para presentar las propiedades de la potenciacin se debe recordar la naturaleza de los exponentes a los cuales

est elevada una base determinada.

na Donde el trmino a representa la base y n el exponente. Aqu n R (se lee: n pertenece a los reales). El signo de la potencia viene determinado por la naturaleza par o impar del exponente. Para bases negativas

elevadas a exponente par la potencia ser positiva. Para bases negativas elevadas a exponente impar la

potencia ser negativa.

Eemplos.: 9)3()3()3( 2

27)3()3()3()3(3

55

44

)()()()()()(

)()()()()(

xxxxxxx

xxxxxx

De acuerdo con lo anterior se definirn potencias para diferentes exponentes de la siguiente manera:

0a = 1 1a = a bb

aa

1

c bcb

aa cbcb aaa

cb

c

b

aa

a ccc baab )(

c

cc

b

a

b

a

bccb aa

ACTIVIDAD. Desarrollar

1. 3)5( a 2. 22 )6( ba 3.

3432 )4( cba 4. 2)2

(y

x

5. 3

2

)5

(ab

6. 21

43

)()( xyxy 7. 3

5

2

2 8.

xnmba )(

RAIZ CUADRADA:

La raz cuadrada de un nmero real a existe en y se denota por , si existe un nmero real tal que el cuadrado de es igual a . Es decir:

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Ahora bien, de acuerdo a la definicin, no todo nmero real tiene raz cuadrada. En efecto, para que tenga sentido en , debe ser mayor o igual que cero .

La raz cuadrada de un nmero negativo no est definida, por lo tanto no es un nmero irracional y tampoco un

racional.

LOS NMEROS IRRACIONALES Los nmeros irracionales son todos aquellos nmeros reales que no se pueden representar como una fraccin

con numerador y denominador enteros, siendo el denominador distinto de 0. Es decir, los nmeros irracionales son todos aquellos nmeros reales que poseen infinitos decimales, los cuales no son peridicos ni

semiperidicos.

Otros ejemplos conocidos de nmeros irracionales son:

El nmero pi: = 3,1415926535897. . . El nmero exponencial: e = 2,7182818284. . . El nmero ureo: = 1,6180339887498 . . .

Todas las races no exactas son nmeros irracionales.

Por ejemplo:

Recuerde que las operaciones entre un racional y un irracional, salvo la multiplicacin y/o divisin por cero,

producen un irracional.

Por ejemplo:

ALGO DE HISTORIA:

El smbolo es una variante de la letra r correspondiente a la inicial de la palabra, en latn, radix que significa es nuestra lengua raz. Este smbolo es el que se asocia a la operacin radicacin. En el siglo XVI

usaban la letra mayscula R y le agregaban q para quadratus o una c para cubus, que era extraer raz

cuadrada o raz cbica, as por ejemplo R.q4372 era .

RAZ N-SIMA: Sea y sea un nmero natural. Entonces, decimos que la raz n-sima del nmero

real existe en y se denota por

, si existe un nmero real tal que la n-sima potencia de es igual a . Es decir:

Las races de ndice par no estn definidas en si ; mientras que las races de ndice impar estn definidas en para todo .

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PROPORCIONALIDAD

RAZN: Es la comparacin entre dos cantidades, la primera de ellas llamada antecedente y la segunda llamada consecuente.

As: (se lee es a ) donde el es el antecedente y el el consecuente.

PROPORCIN: Es la igualdad entre dos razones.

En forma general:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA: Dos cantidades y son directamente proporcionales si su cociente es constante.

kb

a

Ejemplo: Por 500 fotocopias cobran $ 15.000, Cunto se debe pagar por 100 fotocopias? D/

Al analizar que si baja la cantidad de fotocopias, obviamente bajar la cantidad a cancelar. En estos casos estamos hablando de una proporcin directa.

x

100

000.15

500

500x = 1.500.000

x = 3.000 Por las 100 fotocopias se pagar $ 3.000.

PROPORCIONALIDAD INVERSA: Dos cantidades y son inversamente proporcionales si su producto es constante.

a b = k Para ambos casos, k recibe el nombre de constante de proporcionalidad. Ejemplo: Si 20 obreros demoran en hacer una obra 12 das, cunto demorarn 5 obreros en realizar la misma obra y en las mismas condiciones? D/

Al analizar el problema debemos prestar mucha atencin a la baja del nmero de trabajadores lo que implicar

una mayor cantidad de das de trabajo para finalizar la obra. O sea se establece una proporcionalidad inversa. Ojo al plantear la ecuacin:

512

20 x

12x = 100 x = 83,3 das.

O sea un poco ms de 83 das.

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3. TALLER

I. Completa la siguiente tabla:

a b ab a2 b3 a-1 + b-1 2a+1 : 2b-1

1 1

2 2

1 2

2 1

1 0

0 1

-1 2

2 -1

-2 -2

II. Desarrolla las siguientes potencias:

1. 2. 3.

4. (

)

5. (

)

6. (

)

III. Desarrollar.

1. La suma de dos nmeros es 91 y estn en la razn 4:3. Calcula el valor de cada nmero.

2. La diferencia entre el peso de dos vehculos es 120 kilos y estn en la razn 7:4. Calcula el peso de cada vehculo.

3. Las edades de Ana y Julia estn en la razn 3:2. Qu edad tiene cada una, si la suma de sus edades es 80

aos? 4. El permetro de un rectngulo es 128 cm. y la razn entre la medida de sus lados es 5:3. Calcula su rea.

5. Dos amigos deben repartirse $27.000 en la razn 5:4. Cunto dinero recibe cada uno? 6. Si a + b = 54 y a:4 = b:5, calcula los valores de a y b.

7. Si x y = 21 y x:y = 7:4, calcula x e y.

8. Calcula a y b, si 7/5 = a/b y a b = 30. 9. Si a + b = 18 y a:5 = b:4, calcula a y b.

10. El dinero de dos personas estn en la razn 12:7 y una de ellas tiene $ 850 ms que la otra. Cunto dinero tiene cada una?

11. Los ngulos interiores de un tringulo estn en la razn 4:9:2. Cul es la medida de cada uno?

12. Se desea repartir $56.000 entre cuatro personas en la razn 1:2:3:4. Cunto recibe cada una? 13. La suma de tres nmeros es 36 y estn en la razn 2:3:4. Calcula los nmeros.

14. Hallar x, y, z, si x+y+z = 50 y x:y:z = 3:5:2. 15. Tres metros de gnero valen $ 800. Cunto valen ocho metros del mismo gnero?

16. Seis obreros cavan en tres horas una zanja de 20 m. de longitud. Cuntos metros cavarn, en el mismo tiempo, 42 obreros trabajando en las mismas condiciones?

17. Si una persona de 1,75 m. de altura proyecta una sombra de 1,25 m. de longitud, calcula la altura de un

rbol que, en el mismo instante, proyecta una sombra de 12 m. 18. Con mi dinero puedo comprar 20 dulces a $20 cada uno. Si suben a $ 25, cuntos podr comprar?

19. Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. Cuntas horas demorar 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?

20. La rapidez de un automvil es de 70 Km/h y demora 5 horas en recorrer cierta distancia. Cuntas horas

demorar, en recorrer la misma distancia, otro automvil con una rapidez de 80 Km/h? 21. Si 30 mquinas tejen 2.000 m. de tela en 20 das. Cuntas mquinas iguales a las anteriores sern

necesarias para producir 7.000 m. de tela en 14 das?