Los nmeros realesLa unin de los racionales y los irracionales
forma el conjunto de losnmeros reales..El conjunto de los reales,
con el orden inducido por el orden ya visto en, y es un conjunto
totalmente ordenado.Teniendo eso en cuenta, se puede representar
grficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada
punto representa un nmero.Muchas de las propiedades que hemos visto
para los conjuntoseson heredadas por.Como ya se ha visto,es denso
en. Tambines denso en.Podemos considerarcomo el conjunto de todos
los lmites de sucesiones cuyos trminos son nmeros racionales.A
diferencia de lo visto para,y, el conjunto de los reales no es
numerable. (una demostracin).
Propiedades De Los Numeros RealesPropiedades de los Nmeros
RealesLos nmeros reales son los nmeros que se utilizan para la
medicin de cantidades reales. Incluyen los nmeros racionales,
nmeros irracionales, nmeros enteros, decimales, etc. Estas
cantidades reales incluyen longitud, velocidad, temperatura
ambiente, tasas de crecimiento y muchos ms. Los nmeros racionales e
irracionales llenan completamente la recta numrica y forman el
conjunto de los nmeros reales. En palabras ms simples, los nmeros
reales se pueden clasificar en nmeros racionales y nmeros
irracionales. Estos nmeros racionales se pueden dividir en nmeros
enteros y fracciones.Los nmeros reales mantienen algunas de las
propiedades bsicas de las Matemticas que por lo general pueden ser
articuladas con respecto de las 2 operaciones elementales de
multiplicacin y suma.Estas propiedades incluyen:Propiedad
Conmutativa de la Suma: Establece que el orden en el que dos nmeros
reales se suman no afecta a su sumatoria. Esto es,
Ejemplo: 3 + 7 = 7 + 3 = 10.Propiedad Conmutativa de la
Multiplicacin: De acuerdo con esta, cuando dos nmeros reales se
multiplican en diferentes rdenes, el resultado es siempre el mismo.
En trminos matemticos,
Ejemplo: 4 X 3 = 3 X 4 = 12Propiedad Asociativa de la Suma: Esta
propiedad dice que la suma de tres nmeros reales dados, manteniendo
su orden, agrupa dos de ellos, y luego se aade el tercer nmero a la
sumatoria del grupo. Matemticamente,
Ejemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9Propiedad Asociativa de la
Multiplicacin: El producto de dos nmeros reales se puede calcular
de dos formas: De la primera forma, preservando el orden y
multiplicando el nmero del producto del primer y segundo nmero al
tercer nmero. La segunda forma de hacerlo es preservando el mismo
orden y multiplicando el primer nmero con el producto del segundo y
tercer nmero. El resultado en ambos casos ser el mismo. Para ser
especficos,
Ejemplo: (2 X 3) X 4 = 2 X (3 X 4) = 24Propiedad de Identidad de
la Suma: 0es el nmero neutral, es decir, la identidad para la suma.
La suma de cualquier nmero con 0 dar como resultado el propio
nmero. Expresamente,Ejemplo: 9 + 0 = 9Propiedad de Identidad de la
Multiplicacin: Segn esta propiedad de los Nmeros Reales, el
producto de cualquier nmero real con el elemento de identidad 1 es
el nmero real mismo. Es decir,Ejemplo: 6 X 1 = 6Inverso aditivo:
Para cada Nmero Real, existe su inverso, de tal manera que la suma
del nmero con su inverso dar como resultado 0, es decir,
Ejemplo: 3 + (3) = 0Inverso multiplicativo: De acuerdo con este,
para todo Nmero Real distinto de cero, existe otro nmero real tal
que el producto de los dos es 1. Matemticamente,
Ejemplo: 3 X 1/3 = 1Ley distributiva: En los Nmeros Reales, la
multiplicacin se puede distribuir sobre la suma y viceversa.
Ejemplo: 2 X (3 + 5) = (2 X 3) + (2 X 5) = 16Tcnicamente, todas
estas propiedades estn denominadas en conjunto como los axiomas de
campo. Estas propiedades ayudan a determinar el comportamiento de
los nmeros reales y ayudan a resolver los problemas de los nmeros
reales con mayor comodidad.El conjunto de los nmeros realesAl
conjunto de los nmeros reales se llega por sucesivas ampliaciones
del campo numrico a partir de los nmeros naturales. En cada una de
las ampliaciones se avanza y mejora respecto de la anterior.Con los
nmeros naturales (N) se puede sumar y multiplicar pero no se puede
restar (ab) si ab. Se definen as los nmeros negativos o enteros
negativos que al unirse con el cero y los naturales constituyen el
conjunto de los nmeros enteros (Z). Con los nmeros enteros (Z) se
puede sumar, restar, multiplicar pero no dividirsi a no es mltiplo
de b.Se definen as los nmeros fraccionarios que unidos a los
enteros constituyen el conjunto de los nmeros racionales.Todo nmero
racional se puede expresar como un nmero decimal exactoo como un
nmero decimal peridico, es decir con infinitas cifras decimales que
se repitenCon los nmeros racionales se puede sumar, restar,
multiplicar y dividir (si b0). Si bien el conjunto de los nmeros
racionales tiene una muy buena estructura para realizar las
diferentes operaciones quedan algunas situaciones que no se pueden
considerar dentro de l (,,, entre otros). Surgen los nmeros
irracionales para dar respuesta a estas instancias.Los nmeros
irracionales se pueden expresar como nmeros decimales de infinitas
cifras decimales no peridicas.Los nmeros irracionales (I) unidos a
los racionales (Q) definen el conjunto de los nmeros reales
(R).
Los nmeros reales cumplen propiedades comprendidas en tres
categoras: propiedades algebraicas, propiedades de orden y de
completitud. Las propiedades algebraicas establecen que los nmeros
reales pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos
(excepto por cero) obtenindose otro nmero real.Los nmeros reales y
la recta realEn la geometra analtica el paso importante fue
establecer una correspondencia entre los nmeros reales y los puntos
de la recta. Existe una condicin que cumplen los nmeros reales
llamadaaxioma de completitudque garantiza una correspondencia
biunvoca (uno a uno) entre el conjunto de los nmeros reales y el
conjunto de puntos en la recta o eje. A cada nmero real le
corresponde un nico punto sobre la recta y a cada punto en la recta
o eje se le asocia un nico nmero real. Como se observa en el
grfico, se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta
al que se denomina origen. Se selecciona adems una unidad de
longitud para medir distancias. Se elige tambin un sentido a lo
largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como
negativo al sentido opuesto. A cada nmero real entonces se le
asocia un punto de la recta teniendo en cuenta lo siguiente:se
asocia al origen el nmero0,se asocia a cada nmero positivopun punto
que est a una distancia de p unidades del origen en la direccin
positiva,se asocia a cada nmero negativopel punto que est a p
unidades de distancia del origen en la direccin negativa.
Los puntos en la recta se identifican con los nmeros que
representan. El nmero real que le corresponde a un punto de la
recta se denomina coordenada o abscisa del punto y la recta recibe
el nombre de recta real, recta coordenada, recta numrica o recta de
los nmeros reales. Tambin se la conoce como eje coordenado o eje
real.El conjunto de los reales cubre o completa la recta sin dejar
"huecos".Ejemplo.OrdenLos nmeros reales estn ordenados cumpliendo
slo una de las afirmaciones siguientes: dados dos nmeros reales a y
b puede ser que a sea menor que b, a sea mayor que b o a sea igual
a b.Puede observarse en la recta queabsi y slo si el punto que
representa al nmeroaest a la izquierda del punto que representa al
nmerob.
Anlogamente,abs y slo s el punto que representa al nmeroase
halla a la derecha del que representa ab.
Siab, los puntos se superponen.
La relacin de orden queda establecida teniendo en cuenta que el
punto a precede al punto b si el nmero real a es menor que el nmero
real b (ab).
