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TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES

TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES · 2018-09-06 · CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES 1.1. Números racionales. Los números reales. • 1.1.3. Fracción generatriz

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TEMA 1 LOS NÚMEROS REALES

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CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

1.1. Números racionales. Los números reales.

• 1.1.1. Sucesivas ampliaciones el campo numérico.

LOS NÚMEROS NATURALES. N= {1,2,3,4,...}

LOS NÚMEROS ENTEROS. Z ={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

LOS NÚMEROS RACIONALES.

Los números racionales se simbolizan con la letra Q. Decimos que x es racional si y solo si existen dos números enteros p,qtales que x=p/q

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1.1. Números racionales. Los números reales.

• 1.1.2. Expresión decimal de los números racionales

Todos los números racionales admiten una expresión decimal, que se obtiene al realizar la operación indicada. Pueden ser de tres tipos: Números decimales exactos: cuando el número de cifras decimales es finito. Por ejemplo: 0,5. Números decimales periódicos puros: cuando el número de cifras decimales es infinito y existe un conjunto de cifras decimales que se repite infinitamente (periodo). Por ejemplo: 0,33333... Números decimales periódicos mixtos: cuando el número de cifras decimales es infinito y existen algunas cifras decimales que no se repiten (parte no periódica) y otras cifras decimales que se repiten infinitamente (parte periódica). Por ejemplo: 0,122222…

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1.1. Números racionales. Los números reales.

• 1.1.3. Fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos

Sea x=E,D un número decimal exacto, donde E son las cifras de la parte entera, y D las cifras de la parte decimal, siendo n el número de

cifras de D, entonces

cerosn

EDx

001

Sea x=E,P un número decimal periódico puro, donde E son las cifras de la parte entera, y P las cifras de la parte periódica, siendo n el número

de cifras de P, entonces

nuevesn

EEPx

99

Sea x=E,AP un número decimal periódico mixto, donde E son las cifras de la parte entera, A las cifras del anteperiodo y P las cifras de la parte periódica, siendo m el número de cifras de A y n el número de cifras de P,

entonces

cerosmnuevesn

EAEAPx

0099

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CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

1.1. Números racionales. Los números reales.

• 1.1.4. Densidad de los números racionales

• 1.1.5. Los números irracionales

Consideremos dos números racionales cualesquiera p y q, es claro que el número

2

qp también es racional y está situado entre p y q. Si ahora consideramos el número

22

qqp

este número estará situado entre 2

qp y q. Repitiendo este proceso

indefinidamente podríamos conseguir infinitos números racionales entre p y q.

Dados dos números racionales p y q cualesquiera, existen infinitos números racionales entre p y q. Esta característica define la densidad de Q, y por eso decimos que Q es un conjunto DENSO.

Los números irracionales son aquellos números que no se pueden expresar como cocientes de números enteros. La expresión decimal de un número irracional es un número decimal que no es exacto ni periódico, tiene infinitas cifras decimales que no se repiten. Este conjunto se expresa mediante la letra I

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1.1. Números racionales. Los números reales.

• 1.1.6. Los números reales. La recta real

El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se denomina conjunto de los números reales y se representa mediante la letra R.

...6180339887'1

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CURSO CERO MATEMÁTICAS: 1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

1.1. EJERCICIOS1. Determinar si los siguientes números son o no números racionales:

a) 7’555555.... b) 3’034035036037... c) 1’03034444444.... d) 34,350350350351

2. Efectuar las siguientes operaciones utilizando la fracción generatriz de cada número decimal:

a) 60'0

2'16'0

b)

5'1

6'03'04

c) 321'05'04'0

3. Determinar si los siguientes números son racionales o irracionales:

a) 1’23234234523456....b) 1’23232323.... c) 1’234235236237... d) 1’23

4. Representar en la recta real los siguientes radicales cuadráticos: a) 34 b) 21

5. Calcula la fracción irreducible correspondientes a a. 1,2222222… b) 0,1262626…. c) 0,08755555… d) 38,01343434…

6. Escribe dos números racionales comprendidos entre:

a. 4/5 y 5/7 b) 1 y 3/2 c) -8/9 , 0

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1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con intervalos• 1.2.1. Orden en R

• 1.2.2. Propiedades de las desigualdades de números reales

Dados dos números reales a y b, diremos que ba si y solo si en la representación de dichos números, b queda situado a la derecha de a o bien b coincide con a.

Dados dos números reales a y b, diremos que ba si y solo si b-a es positivo o cero.

ba “a es mayor o igual que b” ab

ba “a es menor que b” baba ,

ba “a es mayor que b” ab

Si a, b y c son números reales cualesquiera entonces se verifica que si

cbcaba .

Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real positivo

entonces si cbcaba .

Si a y b son números reales cualesquiera y c es un número real negativo si

cbcaba .

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1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones

• 1.2.3. Intervalos y semirrectas. Intervalo cerrado de extremos a,b: se designa por [a,b] y esta

definido por }/{],[ bxaRxba , son los números reales

comprendidos entre a y b incluidos los extremos. Intervalo abierto de extremos a,b: se designa por (a,b) y esta definido por: }/{),( bxaRxba , son los números reales

comprendidos entre a y b excluyendo los extremos.

Intervalos semiabiertos (a,b] y [a,b) están definidos por: }/{],( bxaRxba }/{),[ bxaRxba

Semirrectas }/{),( axRxa }/{],( axRxa

}/{),( axRxa }/{),[ axRxa

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1.2. Intervalos, semirrectas y entornos. Operaciones con intervalos

• 1.2.4. Entornos

• 1.2.5. Operaciones con intervalos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se representa por E(a,r) al intervalo abierto (a-r,a+r). Se llama entorno reducido de centro a y radio r, y se representa por E*(a,r) al intervalo (a-r,a+r)\{a}

Dados dos intervalos 21, II se definen la operaciones unión e intersección

como:

121 /{ IxRxII ó }2Ix

121 /{ IxRxII y }2Ix

Ejemplos:

a) )7,4[)4,2(

b) )4,0(),2[

c) )7,4[)4,2(

Ø

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1.2. Ejercicios

1. Dados los siguientes conjuntos de números reales, ordenarlos de menor a mayor:

a. 2

7,

12

1,

4

3,

3

2 y

6

1

b. 867'1,76'1,,

y 869'1

c. 838'3,38'3,83'3,4'3 y 140'3

2. Intercalar tres números reales de forma ordenada entre los pares de números siguientes:

a) 103'1,20'1 b) 203'3,20'3

.

3. Realizar las siguientes operaciones con intervalos y representar el resultado obtenido:

a) [-5,5] (0,6) b) [-5,5] (0,6)

c) (4,9](5,8] d) (4,9](5,8]

e) (-,0)(-1,4] f) (-,0)(-1,4]

g) (-3,4](2,+) h) (-3,4](2,+)

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1.3. Potencias y Radicales

• 1.3.1. Potenciación de números reales. Propiedades

Sea a un número real ( Ra ) , y sea n un número entero ( Zn ) se define la potencia de base a y exponente n como:

aaaavecesn

n

si n>0 y n

n

aa

1 si n>0 .

Propiedades de las potencias:

nmmn aaa (producto de potencias de la misma base)

nmmn aaa : (cociente de potencias de la misma base)

nnn baba )( (producto de potencias del mismo exponente)

nnn baba ):(: (cociente de potencias del mismo exponente)

nmnm aa )( (potencia de una potencia)

Ejemplos: 12555553 ; 27

1

3

13

3

3

; 4

9

2

3

2

3

2

3

3

222

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1.3. Potencias y Radicales

• 1.3.2. Raíz n-ésima de un número real

Sea a un número real, y n un número natural diremos que x es la raíz n-ésima de a y se

escribe n ax nxa .

A la expresión n a se le llama radical y se puede expresar como potencia de exponente

fraccionario na /1. En el caso

nmn m aa / .

El valor numérico de un radical es el resultado de efectuar la raíz n-ésima que indica, así:

39 ya que 932 y 9)3( 2 , 3273 ya que 2733 , 3273 ya que

27)3( 3 , 56254 pues 62554 y 625)5( 4 , 32 no existe en los reales,

006 , 2 =1’414213... , 3 =1’7320..

Como podemos observar el valor numérico de un radical depende del radicando y del índice, así:

Si a>0: si el índice n es impar el resultado es una raíz n-ésima positiva si el índice n es par existirán dos raíces una positiva y otra negativa

Si a=0: el resultado es siempre 0 Si a<0: si el índice es impar existirá una raíz n-ésima negativa

si el índice es par no existirá ninguna raíz real.

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1.3. Potencias y Radicales

• 1.3.3. Radicales equivalentes.

1.3.4. Reducción de radicales a índice común

Dos radicales diremos que son equivalentes si tienen el mismo valor numérico.

Ejemplo: Los radicales 6 27 y 3 son equivalentes pues su valor numérico es 1’73200508... 2/16/36/16 332727

pn pmn m aa

Una utilidad de la propiedad anterior consiste en la construcción de varios radicales con el índice común. Para

ello basta considerar el m.c.m. de los índices de los radicales y aplicar la propiedad.

Por ejemplo, consideremos los siguientes radicales 4 312 53 3,2,4 ,

pmn pn m aaaa

Esta propiedad permite comparar radicales de índices diferentes.

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1.3. Potencias y Radicales

• 1.3.5. Operaciones con radicales.

Producto de radicales. Si tienen el mismo índice se cumple n pmn pn m baba

Cociente de radicales Si tienen el mismo índice se cumple n pmn pn m baba ::

Potencia de radicales n mm

n aa

Esta propiedad sólo es válida cuando existen los radicales n a y n ma . Ejemplo: 66

)3(3 ya que

3 no existe.

Raíz m-ésima de un radical nm pm n p aa

Extracción e introducción de factores de un radical. n prn prn aaa

Suma y diferencia de radicales. Solamente podemos sumar o restar dos radicales si estos son semejantes, por ejemplo: 25272523 . Puede ocurrir que inicialmente los radicales no sean semejantes, pero extrayendo o introduciendo factores se pueden convertir en semejantes y podemos realizar la operación.

Por ejemplo: 3218728

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1.3. Potencias y Radicales

• 1.3.6. Simplificación de radicales.

• 1.3.7. Racionalización de denominadores.

Simplificar un radical consiste en obtener un radical equivalente que tenga el índice menor, y extraer de la raíz todos los factores posibles.

Por ejemplo, simplificar el radical 4 64 .

El procedimiento por el cual transformamos una expresión algebraica que contiene radicales en el denominador en otra expresión algebraica equivalente sin radicales en el denominador se denomina racionalización de denominadores.

Para racionalizar utilizamos varios procedimientos: a) Cuando en el denominador hay un único sumando que contiene un radical de índice 2 del tipo a . Entonces multiplicamos numerador y denominador por a .

Por ejemplo: 2

63

22

233

2

33

.

b) Cuando en el denominador aparece un único sumando que contiene un radical del tipo m pa con p<m. En ese caso multiplicamos numerador y denominador por el radical m qa donde p+q=m. Con esto conseguimos hacer desaparecer el radical del denominador.

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1.3. Potencias y Radicales. EJERCICIOS.1. Realizar las siguientes operaciones con potencias:

a) 23344 )8/3(34:53( b) 41

3

3

543

zy

y

zx

zyx

2. Ordenar de mayor a menor los siguientes radicales:

a) 8 16 , 125 , 4 49 b) 43 16,345,34

3. Efectua y simplifica las siguientes expresiones, racionalizando si fuese necesario:

a) 5

555 b)

34

3 5

15

32 c) 3

35

35

d) 24152943150216 e) 4

652

55

3553

4. Racionaliza los denominadores de:

a) 75

75

b)

532

735

c) 3

5

492

57

5. Simplifica las siguientes expresiones:

a) 4 2

3

5

1254

a

a b) 4 333 yxyxx c) 44 84 5 223 ayayay

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1.4. Logaritmos

• 1.4.1. Concepto de logaritmo

• 1.4.2. Logaritmos decimales y logaritmos neperianos

Sea a>0 y 1a y consideremos 0y . El logaritmo en base a de y es el exponente al

que debemos elevar a para obtener y. Se representa mediante yalog :

yaxy x

a log

OBSERVACION

Para obtener yalog es necesario que y sea positivo, pues toda potencias 0xa , es decir,

no es posible calcular )7(log2 pues no existe ningún número real que verifique que

72 x

Los logaritmos de base 10 se denominan logaritmos decimales y se escriben sin indicar en el subíndice la base.

Así por ejemplo, 5log5log 10 ..

De la misma forma los logaritmos con base el número e, se denominan logaritmos neperianos en honor a John Neper y se escribe mediante la abreviatura ln .

Así por ejemplo 5log5ln e

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1.4. Logaritmos

• 1.4.3. Propiedades de los logaritmos.

1. 01log a para cualquier a>0, 1a

2. 1log aa para cualquier a>0, 1a

3. NMNM aaa loglog)(log .

4. NMNM aaa loglog)/(log

5. MNM a

N

a log)(log

6. CAMBIO DE BASE: a

MM

b

ba

log

loglog

Ejemplos: 1) 3

7

3

53 49log25/1log27log

2) Utiliza la calculadora para obtener el valor de >: a) 24log3 b) 121log3

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1.4. EJERCICIOS: Logaritmos1. Calcular por definición, sin el uso de la calculadora:

a) 01'0log b) 1000

1log c) )100log(

d) 27log3 e) 625log5 f) 32log 2/1 g) 50/2log 2'0

2. Sabiendo que 25'0)ln( x , 15'0ln y y 30'210ln , utiliza las propiedades de los logaritmos y la definición

para obtener el resultado de: y

xx

x

xy eln1'0

log3

3. Utiliza las propiedades de los logaritmos y su definición para obtener:

a) 5

625log

3

27log256log 53 23

32 b)

357 2 10

001'0log

225

1log

1ln

e

c) )5ln(216

8log636log 7

62

5

6 e d)

001'0

10log

ln

5

3 e

e

4. Utiliza la calculadora para obtener una aproximación por redondeo a la centésima de:

a) 72log5 b) 745log6 c) 17log2