Los Nmeros Reales

INDICE

TEMA 1: LOS NMEROS REALES ..................................................................................... 3

1.1. DEFINICIN ............................................................................................................... 3

1.2. HISTORIA................................................................................................................... 3

1.3. NOTACIN: ............................................................................................................... 4

TEMA 2: OPERACIONES CON NMEROS REALES ............................................................. 6

2.1. ADICIN DE NMEROS REALES ................................................................................ 6

2.1.1. Propiedades de la Adicin de Nmeros Reales: ........................................... 6

2.2. SUSTRACCIN DE NMEROS REALES ....................................................................... 7

2.3. MULTIPLICACIN DE NMEROS REALES .................................................................. 8

2.3.1. Propiedades de la multiplicacin de nmeros reales .................................. 8

2.4. DIVISIN DE NMEROS REALES ............................................................................... 9

2.4.1. OBSERVACIONES: ........................................................................................ 10

2.5. POTENCIACIN DE NMEROS REALES ................................................................... 11

2.5.1. POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL .................................... 11

2.5.2. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN DE NMEROS REALES ..................... 11

2.6. RADICACIN DE NMEROS REALES ....................................................................... 12

2.6.1. SIGNOS EN LA RADICACIN DE NMEROS REALES ................................... 13

2.6.2. PROPIEDADES ............................................................................................. 13

TEMA 1: LOS NMEROS REALES

1.1. DEFINICIN

Los nmeros reales son aquellos que poseen una

expresin decimal e incluyen tanto a los nmeros

racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los

nmeros irracionales, que no se pueden expresar de

manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales

no peridicas, tales como: , .

Pueden ser descritos de varias formas, algunas

simples aunque carentes del rigor necesario para los propsitos formales de matemticas

y otras ms complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemtico formal.

Durante los siglos XVI y XVII el clculo avanz mucho aunque careca de una base rigurosa,

puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y

se usaban expresiones como pequeo, lmite, se acerca sin una definicin precisa.

Esto llev a una serie de paradojas y problemas lgicos que hicieron evidente la necesidad

de crear una base rigurosa para la matemtica, la cual consisti de definiciones formales y

rigurosas (aunque ciertamente tcnicas) del concepto de nmero real. En una seccin

posterior se describirn dos de las definiciones precisas ms usuales actualmente: clases

de equivalencia de sucesiones de Cauchy de nmeros racionales y cortaduras de

Dedekind.

Los nmeros reales incluyen:

Los nmeros enteros (Como 1,2,3,4,-1, etc.)

Los nmeros racionales (como 3/4, -0.125, 0.333..., 1.1, etc.)

Los nmeros irracionales (como , 3, etc.)

Regresar al ndice

1.2. HISTORIA

Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del ao 1000 a.

C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemticos griegos liderados por Pitgoras se dio

cuenta de la necesidad de los nmeros irracionales. Los nmeros negativos fueron

ideados por matemticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco

despus, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII

Leonhard Euler descart las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba

irreales. En ese siglo, en el clculo se utilizaba un conjunto de nmeros reales sin una

definicin concisa, cosa que finalmente sucedi con la definicin rigurosa hecha por Georg

Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construccin total de los nmeros reales exige tener

amplios antecedentes de teora de conjuntos y lgica matemtica. Fue lograda la

construccin y sistematizacin de los nmeros reales en el siglo XIX por dos grandes

matemticos europeos utilizando vas distintas: la teora de conjuntos de Georg Cantor

(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el anlisis

matemtico de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind).

Ambos matemticos lograron la sistematizacin de los nmeros reales en la historia, no

de manera espontnea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la

antigua Grecia y pasando por matemticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler,

Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

Regresar al ndice

Para mayor informacin sobre la Historia de los Nmeros Reales puede consultar a la

siguiente pgina web:

http://www.anzwers.org/free/ronumer3/contenido.html

1.3. NOTACIN:

Los nmeros reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia

infinita de dgitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232.

Frecuentemente tambin se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final

(324,823211247), lo que significara que an faltan ms dgitos decimales, pero que se

consideran sin importancia.

Las medidas en las ciencias fsicas son siempre una aproximacin a un nmero real. No

slo es ms conciso escribirlos con forma de fraccin decimal (es decir, nmeros

racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino

que, en cualquier caso, cunde ntegramente el concepto y significado del nmero real. En

el anlisis matemtico los nmeros reales son objeto principal de estudio. Puede decirse

que los nmeros reales son la herramienta de trabajo de las matemticas de la

continuidad, como el clculo y el anlisis matemtico, mientras que los nmeros enteros

lo son de las matemticas discretas, en las que est ausente la continuidad.

Se dice que un nmero real es recursivo si sus dgitos se pueden expresar por un algoritmo

recursivo. Un nmero no-recursivo es aqul que es imposible de especificar

explcitamente. Aun as, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los nmeros

reales son recursivos.

Los ordenadores slo pueden aproximarse a los nmeros reales por nmeros racionales;

de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un nmero real de

manera exacta usando su definicin algebraica (por ejemplo, " ") en vez de su

respectiva aproximacin decimal.

Los matemticos usan el smbolo R (o, de otra forma, R, la letra "R" en negrita) para

representar el conjunto de todos los nmeros reales.

La notacin matemtica Rn se refiere a un espacio de n dimensiones de los nmeros

reales; por ejemplo, un valor R3 consiste de tres nmeros reales y determina un lugar en

un espacio de tres dimensiones.

En matemtica, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo

subyacente es el campo de los nmeros reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y

lgebra de Lie real.

Regresar al ndice

TEMA 2: OPERACIONES CON NMEROS REALES

2.1. ADICIN DE NMEROS REALES

Ya conocemos ahora el conjunto R o conjunto de los nmeros reales.

El producto cartesiano R x R ser entonces el conjunto de pares ordenados (a;b) donde

aR y bR.

Si a cada par ordenado (a; b) le hacemos corresponder un tercer nmero real a + b y le

llamamos SUMA, tendremos entonces la operacin ADICIN DE NMEROS REALES, donde

la SUMA es el resultado de dicha operacin.

Ejemplos:

1) Efectuar con aproximacin al centsimo:

Resolvemos:

Los tres sumandos en decimales:

Aproximando cada sumando al centsimo:

Efectuando:

2.1.1. Propiedades de la Adicin de Nmeros Reales:

1. Propiedad de clausura

La suma de dos o ms nmeros reales es otro nmero real:

Si: aR y bR entonces: (a + b)R

2. Propiedad conmutativa

El orden de los sumandos no altera la suma.

a + b = b + a

3. Propiedad asociativa

La forma como agrupemos los sumandos no altera la suma.

a + (b + c ) = (a + b) + c

4. Elemento neutro

Es el cero.

Si sumamos un nmero real con cero, la suma resultante es el mismo nmero.

a + 0 = a

5. Inverso aditivo

Si sumamos un nmero real con su opuesto, obtenemos como resultado cero.

a + (-a) = 0

Regresar al ndice

2.2. SUSTRACCIN DE NMEROS REALES

La sustraccin de dos nmeros reales es un caso particular de la adicin de los mismos.

Es decir, efectuar la sustraccin de dos nmeros reales M y S significa sumar M con el

opuesto de S.

M S = D es equivalente a efectuar M + (-S) = D

Donde: M es el minuendo

S es el sustraendo y

D es la diferencia o resultado de la sustraccin.

Ejemplo:

De

restar con aproximacin al milsimo

Resolvemos:

Escribiendo los nmeros dados en su representacin decimal:

Aproximacin al milsimo cada uno de estos nmeros:

Efectuando la sustraccin: 0,778 3,317 = -2,539

Regresar al ndice

En la Sustraccin de Nmeros Reales debes de tener en cuenta las propiedades del tema

2.1.1.

2.3. MULTIPLICACIN DE NMEROS REALES

Sea R el conjunto de nmeros reales, tenemos que el producto cartesiano R x R ser entonces el conjunto de pares ordenados (a; b), donde:

a R y b R

Si a cada par ordenado (a; b) le hacemos corresponder un tercer nmero real (a , b) y le llamamos PRODUCTO, tendremos entonces la operacin MULTIPLICACIN DE NMEROS REALES, donde el PRODUCTO es el resultado de dicha operacin. Ejemplo:

Efectuar:

aproximando a centsimos.

Resolvemos:

Determinamos los valores decimales de cada nmero y redondeamos:

Efectuamos la multiplicacin:

Redondeamos el producto:

2.3.1. Propiedades de la multiplicacin de nmeros reales

Propiedad de clausura Si multiplicamos dos nmeros reales, el resultado o producto es otro nmero real.

Si: a R y b R Ejemplo:

Si:

Entonces:

0,8 R

Propiedad conmutativa El orden de los factores reales no altera el producto.

Ejemplo:

Propiedad asociativa La forma en que se agrupan los factores reales no altera el producto.

Ejemplo:

Elemento neutro Es el uno (1). Si multiplicamos cualquier nmero real por 1 se obtiene el mismo nmero real.

Si: a R a x 1 = a

Elemento absorbente Cualquier nmero multiplicado por cero (0) da como producto CERO.

Si: a R a x 0 = 0

Propiedad distributiva Al multiplicar un nmero real por la suma de otros dos, el resultado es igual a la suma de los productos de dicho nmero por cada sumando.

Ejemplo:

Propiedad del inverso multiplicativo Al multiplicar un nmero real distinto de cero por su inverso, se obtiene como producto resultante UNO.

Si: a R

Regresar al ndice

2.4. DIVISIN DE NMEROS REALES

Dividir dos nmeros reales a y b es lo mismo que multiplicar el dividendo (a) por el inverso

del divisor

no nulo, es decir:

, equivale a efectuar:

;

La divisin de dos nmeros reales a y b, tiene por objeto hallar un tercer nmero llamado cociente (q), de modo que:

2.4.1. OBSERVACIONES:

La divisin de nmeros reales no es conmutativa:

La divisin de nmeros reales no es asociativa:

La divisin de nmeros reales es distributiva respecto al divisor, cuando el

dividendo es una suma, as:

Ejemplos: 1) Al dividir , el cociente es -3.

Porque:

2) Efectuar:

, con aproximacin al centsimo

Resolvemos:

Transformamos la multiplicacin:

=

=

=

Determinamos el valor decimal y redondeando:

Efectuando:

Regresar al ndice

2.5. POTENCIACIN DE NMEROS REALES

En el PRODUCTO CARTESIANO x si a cada par ordenado (a; n), donde a y n Z, le hacemos corresponder un tercer nmero real llamado POTENCIA, entonces tendremos la operacin POTENCIACIN de nmeros reales. As: donde se tiene:

a base real

n exponente entero

P potencia real

2.5.1. POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL

Si , es una potencia donde , tenemos que: n factores de a Ejemplos: a)

b)

2.5.2. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN DE NMEROS REALES

1. Multiplicacin de potencias de bases iguales

Ejemplo:

2. Divisin de potencias de bases iguales

Ejemplo:

3. Exponente cero

Si , entonces:

Ejemplo:

4. Exponente negativo

Si: , entonces:

; tambin:

El exponente negativo invierte la base Ejemplo:

5. Potencia de una multiplicacin

Ejemplo:

6. Potencia de una divisin

Ejemplo:

7. Potencia de potencia

Ejemplo:

Ejemplo donde se combinan estas propiedades:

1) Efectuar:

Regresar al ndice

2.6. RADICACIN DE NMEROS REALES

Si tomamos el producto cartesiano R x R para seleccionar los pares ordenados (a ; n) de tal

modo que n N y n 2, se dice que la radicacin es una operacin que le hace

corresponder a cada par (a ; n) un tercer nmero real

llamado raz (r), de tal manera que .

Es decir:

Donde: n es el ndice: n N; n 2

a es el subradical o radicando; a R

es el operador radical r es la raz; r R

Ejemplos:

1) porque

2) porque

2.6.1. SIGNOS EN LA RADICACIN DE NMEROS REALES

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo: porque

2.6.2. PROPIEDADES

RAIZ DE UNA MULTIPLICACIN DE NMEROS REALES

a, b R

n N, n 2 Ejemplo:

RAZ DE UNA DIVISIN DE NMEROS REALES

Ejemplo:

RAZ DE UNA POTENCIA

Ejemplo:

RAZ DE RAZ

Ejemplo:

POTENCIA DE UNA RAZ

El exponente n que afecta a la raz puede introducirse como exponente del radicando, sin que se altere el ndice ni el resultado. Ejemplo:

1)

2)

pero

, luego:

Regresar al ndice

Para reforzar las operaciones con nmeros reales revisa la siguiente pgina web: http://www.slideshare.net/esthersh21/operaciones-con-nmeros-reales