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Los Números Reales

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Clasificación de los números reales.

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  • Los Nmeros Reales

  • INDICE

    TEMA 1: LOS NMEROS REALES ..................................................................................... 3

    1.1. DEFINICIN ............................................................................................................... 3

    1.2. HISTORIA................................................................................................................... 3

    1.3. NOTACIN: ............................................................................................................... 4

    TEMA 2: OPERACIONES CON NMEROS REALES ............................................................. 6

    2.1. ADICIN DE NMEROS REALES ................................................................................ 6

    2.1.1. Propiedades de la Adicin de Nmeros Reales: ........................................... 6

    2.2. SUSTRACCIN DE NMEROS REALES ....................................................................... 7

    2.3. MULTIPLICACIN DE NMEROS REALES .................................................................. 8

    2.3.1. Propiedades de la multiplicacin de nmeros reales .................................. 8

    2.4. DIVISIN DE NMEROS REALES ............................................................................... 9

    2.4.1. OBSERVACIONES: ........................................................................................ 10

    2.5. POTENCIACIN DE NMEROS REALES ................................................................... 11

    2.5.1. POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL .................................... 11

    2.5.2. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN DE NMEROS REALES ..................... 11

    2.6. RADICACIN DE NMEROS REALES ....................................................................... 12

    2.6.1. SIGNOS EN LA RADICACIN DE NMEROS REALES ................................... 13

    2.6.2. PROPIEDADES ............................................................................................. 13

  • TEMA 1: LOS NMEROS REALES

    1.1. DEFINICIN

    Los nmeros reales son aquellos que poseen una

    expresin decimal e incluyen tanto a los nmeros

    racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los

    nmeros irracionales, que no se pueden expresar de

    manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales

    no peridicas, tales como: , .

    Pueden ser descritos de varias formas, algunas

    simples aunque carentes del rigor necesario para los propsitos formales de matemticas

    y otras ms complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemtico formal.

    Durante los siglos XVI y XVII el clculo avanz mucho aunque careca de una base rigurosa,

    puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y

    se usaban expresiones como pequeo, lmite, se acerca sin una definicin precisa.

    Esto llev a una serie de paradojas y problemas lgicos que hicieron evidente la necesidad

    de crear una base rigurosa para la matemtica, la cual consisti de definiciones formales y

    rigurosas (aunque ciertamente tcnicas) del concepto de nmero real. En una seccin

    posterior se describirn dos de las definiciones precisas ms usuales actualmente: clases

    de equivalencia de sucesiones de Cauchy de nmeros racionales y cortaduras de

    Dedekind.

    Los nmeros reales incluyen:

    Los nmeros enteros (Como 1,2,3,4,-1, etc.)

    Los nmeros racionales (como 3/4, -0.125, 0.333..., 1.1, etc.)

    Los nmeros irracionales (como , 3, etc.)

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    1.2. HISTORIA

    Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del ao 1000 a.

    C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemticos griegos liderados por Pitgoras se dio

    cuenta de la necesidad de los nmeros irracionales. Los nmeros negativos fueron

    ideados por matemticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco

    despus, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII

  • Leonhard Euler descart las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba

    irreales. En ese siglo, en el clculo se utilizaba un conjunto de nmeros reales sin una

    definicin concisa, cosa que finalmente sucedi con la definicin rigurosa hecha por Georg

    Cantor en 1871.

    En realidad, el estudio riguroso de la construccin total de los nmeros reales exige tener

    amplios antecedentes de teora de conjuntos y lgica matemtica. Fue lograda la

    construccin y sistematizacin de los nmeros reales en el siglo XIX por dos grandes

    matemticos europeos utilizando vas distintas: la teora de conjuntos de Georg Cantor

    (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el anlisis

    matemtico de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind).

    Ambos matemticos lograron la sistematizacin de los nmeros reales en la historia, no

    de manera espontnea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la

    antigua Grecia y pasando por matemticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler,

    Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.

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    Para mayor informacin sobre la Historia de los Nmeros Reales puede consultar a la

    siguiente pgina web:

    http://www.anzwers.org/free/ronumer3/contenido.html

    1.3. NOTACIN:

  • Los nmeros reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia

    infinita de dgitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232.

    Frecuentemente tambin se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final

    (324,823211247), lo que significara que an faltan ms dgitos decimales, pero que se

    consideran sin importancia.

    Las medidas en las ciencias fsicas son siempre una aproximacin a un nmero real. No

    slo es ms conciso escribirlos con forma de fraccin decimal (es decir, nmeros

    racionales que pueden ser escritos como proporciones, con un denominador exacto) sino

    que, en cualquier caso, cunde ntegramente el concepto y significado del nmero real. En

    el anlisis matemtico los nmeros reales son objeto principal de estudio. Puede decirse

    que los nmeros reales son la herramienta de trabajo de las matemticas de la

    continuidad, como el clculo y el anlisis matemtico, mientras que los nmeros enteros

    lo son de las matemticas discretas, en las que est ausente la continuidad.

    Se dice que un nmero real es recursivo si sus dgitos se pueden expresar por un algoritmo

    recursivo. Un nmero no-recursivo es aqul que es imposible de especificar

    explcitamente. Aun as, la escuela rusa de constructivismo supone que todos los nmeros

    reales son recursivos.

    Los ordenadores slo pueden aproximarse a los nmeros reales por nmeros racionales;

    de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar un nmero real de

    manera exacta usando su definicin algebraica (por ejemplo, " ") en vez de su

    respectiva aproximacin decimal.

    Los matemticos usan el smbolo R (o, de otra forma, R, la letra "R" en negrita) para

    representar el conjunto de todos los nmeros reales.

    La notacin matemtica Rn se refiere a un espacio de n dimensiones de los nmeros

    reales; por ejemplo, un valor R3 consiste de tres nmeros reales y determina un lugar en

    un espacio de tres dimensiones.

    En matemtica, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo

    subyacente es el campo de los nmeros reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y

    lgebra de Lie real.

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  • TEMA 2: OPERACIONES CON NMEROS REALES

    2.1. ADICIN DE NMEROS REALES

    Ya conocemos ahora el conjunto R o conjunto de los nmeros reales.

    El producto cartesiano R x R ser entonces el conjunto de pares ordenados (a;b) donde

    aR y bR.

    Si a cada par ordenado (a; b) le hacemos corresponder un tercer nmero real a + b y le

    llamamos SUMA, tendremos entonces la operacin ADICIN DE NMEROS REALES, donde

    la SUMA es el resultado de dicha operacin.

    Ejemplos:

    1) Efectuar con aproximacin al centsimo:

    Resolvemos:

    Los tres sumandos en decimales:

    Aproximando cada sumando al centsimo:

    Efectuando:

    2.1.1. Propiedades de la Adicin de Nmeros Reales:

    1. Propiedad de clausura

    La suma de dos o ms nmeros reales es otro nmero real:

    Si: aR y bR entonces: (a + b)R

    2. Propiedad conmutativa

    El orden de los sumandos no altera la suma.

    a + b = b + a

    3. Propiedad asociativa

    La forma como agrupemos los sumandos no altera la suma.

    a + (b + c ) = (a + b) + c

  • 4. Elemento neutro

    Es el cero.

    Si sumamos un nmero real con cero, la suma resultante es el mismo nmero.

    a + 0 = a

    5. Inverso aditivo

    Si sumamos un nmero real con su opuesto, obtenemos como resultado cero.

    a + (-a) = 0

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    2.2. SUSTRACCIN DE NMEROS REALES

    La sustraccin de dos nmeros reales es un caso particular de la adicin de los mismos.

    Es decir, efectuar la sustraccin de dos nmeros reales M y S significa sumar M con el

    opuesto de S.

    M S = D es equivalente a efectuar M + (-S) = D

    Donde: M es el minuendo

    S es el sustraendo y

    D es la diferencia o resultado de la sustraccin.

    Ejemplo:

    De

    restar con aproximacin al milsimo

    Resolvemos:

    Escribiendo los nmeros dados en su representacin decimal:

    Aproximacin al milsimo cada uno de estos nmeros:

    Efectuando la sustraccin: 0,778 3,317 = -2,539

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  • En la Sustraccin de Nmeros Reales debes de tener en cuenta las propiedades del tema

    2.1.1.

    2.3. MULTIPLICACIN DE NMEROS REALES

    Sea R el conjunto de nmeros reales, tenemos que el producto cartesiano R x R ser entonces el conjunto de pares ordenados (a; b), donde:

    a R y b R

    Si a cada par ordenado (a; b) le hacemos corresponder un tercer nmero real (a , b) y le llamamos PRODUCTO, tendremos entonces la operacin MULTIPLICACIN DE NMEROS REALES, donde el PRODUCTO es el resultado de dicha operacin. Ejemplo:

    Efectuar:

    aproximando a centsimos.

    Resolvemos:

    Determinamos los valores decimales de cada nmero y redondeamos:

    Efectuamos la multiplicacin:

    Redondeamos el producto:

    2.3.1. Propiedades de la multiplicacin de nmeros reales

    Propiedad de clausura Si multiplicamos dos nmeros reales, el resultado o producto es otro nmero real.

    Si: a R y b R Ejemplo:

    Si:

    Entonces:

    0,8 R

    Propiedad conmutativa El orden de los factores reales no altera el producto.

    Ejemplo:

  • Propiedad asociativa La forma en que se agrupan los factores reales no altera el producto.

    Ejemplo:

    Elemento neutro Es el uno (1). Si multiplicamos cualquier nmero real por 1 se obtiene el mismo nmero real.

    Si: a R a x 1 = a

    Elemento absorbente Cualquier nmero multiplicado por cero (0) da como producto CERO.

    Si: a R a x 0 = 0

    Propiedad distributiva Al multiplicar un nmero real por la suma de otros dos, el resultado es igual a la suma de los productos de dicho nmero por cada sumando.

    Ejemplo:

    Propiedad del inverso multiplicativo Al multiplicar un nmero real distinto de cero por su inverso, se obtiene como producto resultante UNO.

    Si: a R

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    2.4. DIVISIN DE NMEROS REALES

    Dividir dos nmeros reales a y b es lo mismo que multiplicar el dividendo (a) por el inverso

    del divisor

    no nulo, es decir:

    , equivale a efectuar:

    ;

  • La divisin de dos nmeros reales a y b, tiene por objeto hallar un tercer nmero llamado cociente (q), de modo que:

    2.4.1. OBSERVACIONES:

    La divisin de nmeros reales no es conmutativa:

    La divisin de nmeros reales no es asociativa:

    La divisin de nmeros reales es distributiva respecto al divisor, cuando el

    dividendo es una suma, as:

    Ejemplos: 1) Al dividir , el cociente es -3.

    Porque:

    2) Efectuar:

    , con aproximacin al centsimo

    Resolvemos:

    Transformamos la multiplicacin:

    =

    =

    =

    Determinamos el valor decimal y redondeando:

    Efectuando:

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  • 2.5. POTENCIACIN DE NMEROS REALES

    En el PRODUCTO CARTESIANO x si a cada par ordenado (a; n), donde a y n Z, le hacemos corresponder un tercer nmero real llamado POTENCIA, entonces tendremos la operacin POTENCIACIN de nmeros reales. As: donde se tiene:

    a base real

    n exponente entero

    P potencia real

    2.5.1. POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL

    Si , es una potencia donde , tenemos que: n factores de a Ejemplos: a)

    b)

    2.5.2. PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN DE NMEROS REALES

    1. Multiplicacin de potencias de bases iguales

    Ejemplo:

    2. Divisin de potencias de bases iguales

    Ejemplo:

    3. Exponente cero

    Si , entonces:

    Ejemplo:

    4. Exponente negativo

    Si: , entonces:

    ; tambin:

  • El exponente negativo invierte la base Ejemplo:

    5. Potencia de una multiplicacin

    Ejemplo:

    6. Potencia de una divisin

    Ejemplo:

    7. Potencia de potencia

    Ejemplo:

    Ejemplo donde se combinan estas propiedades:

    1) Efectuar:

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    2.6. RADICACIN DE NMEROS REALES

    Si tomamos el producto cartesiano R x R para seleccionar los pares ordenados (a ; n) de tal

    modo que n N y n 2, se dice que la radicacin es una operacin que le hace

    corresponder a cada par (a ; n) un tercer nmero real

    llamado raz (r), de tal manera que .

    Es decir:

    Donde: n es el ndice: n N; n 2

    a es el subradical o radicando; a R

    es el operador radical r es la raz; r R

  • Ejemplos:

    1) porque

    2) porque

    2.6.1. SIGNOS EN LA RADICACIN DE NMEROS REALES

    Ejemplo:

    Ejemplo:

    Ejemplo:

    Ejemplo: porque

    2.6.2. PROPIEDADES

    RAIZ DE UNA MULTIPLICACIN DE NMEROS REALES

    a, b R

    n N, n 2 Ejemplo:

    RAZ DE UNA DIVISIN DE NMEROS REALES

    Ejemplo:

  • RAZ DE UNA POTENCIA

    Ejemplo:

    RAZ DE RAZ

    Ejemplo:

    POTENCIA DE UNA RAZ

    El exponente n que afecta a la raz puede introducirse como exponente del radicando, sin que se altere el ndice ni el resultado. Ejemplo:

    1)

    2)

    pero

    , luego:

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    Para reforzar las operaciones con nmeros reales revisa la siguiente pgina web: http://www.slideshare.net/esthersh21/operaciones-con-nmeros-reales