Conjunto de los números Conjunto de los números realesreales

Números naturalesNúmeros naturales

0 1 2 3 4 5 …

=

0,1,2,3,4,5,…

•Números enterosNúmeros enteros

…-3 -2 -1 0 1 2 3…

= …-3, -2,-1,0,1,2,3…

•Nota importanteNota importante

Todo numero natural es un numero entero Todo numero natural es un numero entero

Subconjunto

0

NUMEROS RACIONALES NUMEROS RACIONALES (FRACCIONES)(FRACCIONES)

Números racionalesNúmeros racionales

-2 -1 -1/2 0 ½ 1 2

/ , , 0aa b b

b

TODO NUMERO ENTERO ES UN NUMERO RACIONAL

Subconjunto

•El conjunto de los El conjunto de los números números racionalesracionales es el conjunto que esta es el conjunto que esta

formado por todos aquellos formado por todos aquellos elementos que pueden representarse elementos que pueden representarse

en la forma en la forma a

bTales que cada uno de ellos es un numero entero y además b debe ser diferente de cero

NUMEROS IRRACIONALESNUMEROS IRRACIONALES

Todo empezó cuando empezaron a Todo empezó cuando empezaron a estudiar las áreas de las figuras como el estudiar las áreas de las figuras como el

, , 2 4lado area osea

Área = lado x lado•Si un tiene como medida 2, entonces: su área es lado por lado, o sea 2x2=4

•De este modo empezaron a preguntarse:

¿Si tengo el área del cuadrado, pero lo que quiero averiguar es uno de los lados, que hago?

Formula:

Problema 1Problema 1

Si un cuadrado tiene como área 5.¿Cuanto Si un cuadrado tiene como área 5.¿Cuanto mide su lado?mide su lado?

Solución:Solución:

Aplicando la formula: Aplicando la formula: lado area

5lado • Pero que pasa con este valor de:

1.No era natural

2.No era entero

3.No era racional

4.

5. 5 2,236067977..

La existencia de los números irracionales como

,etc., fue demostrada por los griegos del siglo lll

2, 3, 5

2 5 3

Estudio del numero (pi), Estudio del numero (pi), como numero irracionalcomo numero irracional

•Durante siglos el hombre careció de un importante invento: la rueda.

•Los Babilónicos fueron los inventores de la rueda esto hace unos 6000 años, tal vez de ahí nació su afán de descubrir el valor aproximado conocido hoy día como (pi).

= Longitud de la circunferencia

Longitud del diámetro Diámetro

Estudio del númeroEstudio del número •Así a lo largo de la historia de la humanidad encontramos que nuestros antepasados estaban buscando, directa o indirectamente, un numero racional para expresar la razón de la circunferencia de un a su diámetro. Como se sabe en la actualidad, la búsqueda fue en vano; esto debida a que pi no es un numero racional.

Estudio del número como un Estudio del número como un numero irracionalnumero irracional

Este gran aporte se debe Este gran aporte se debe a a Johan LambertJohan Lambert, un , un matemático alemán del matemático alemán del siglo xviii, al probar siglo xviii, al probar que este numero que este numero misterioso en realidad misterioso en realidad era un numero era un numero irracional, llamado pi.irracional, llamado pi.

Aquí se tiene una Aquí se tiene una aproximación con aproximación con cifras decimales : cifras decimales : =3,14159265358979=3,1415926535897932384626933632795323846269336327950286419716939937502864197169399375105820974944…105820974944…

Los números irracionalesLos números irracionales Podemos concluir que los números Podemos concluir que los números

irracionales son aquellos mismos que irracionales son aquellos mismos que tienen una expresión decimal infinita,tienen una expresión decimal infinita,(números que no tienen fin).(números que no tienen fin).

Los números irracionalesLos números irracionales

Ejemplo de otro numero irracionalEjemplo de otro numero irracional

El numero deEl numero de Napier Napier, el cual es la unidad , el cual es la unidad utilizada en las telecomunicaciones para utilizada en las telecomunicaciones para medir la magnitud del amortiguamiento.medir la magnitud del amortiguamiento.

El símbolo de este numero es El símbolo de este numero es e .e .

e=2,718281828459…

El conjunto de los números realesEl conjunto de los números reales

, , 2,...e 0,1,2,3,...

…-2,-1,0,1,2…

3 1, ,

4 2etc

El conjunto de los números El conjunto de los números realesreales

La unión de los números La unión de los números racionales y los irracionales dan como racionales y los irracionales dan como resultado el conjunto de los números reales.resultado el conjunto de los números reales.

,esto pues no tienen elementos ,esto pues no tienen elementos en común.en común.

El conjunto de los números realesEl conjunto de los números reales

Números decimalesNúmeros decimales

Racionales Racionales

(Notación decimal (Notación decimal finita o infinita finita o infinita periódica)periódica)1

0,2541

0,33333

IrracionalesIrracionales

(Notación decimal infinita no (Notación decimal infinita no periódica)periódica)

3

3,1415265...

2 1,41421356...

2 3 2,884414...

¿Cual es la diferencia?

Diferencia entre los números Diferencia entre los números racionales y los irracionalesracionales y los irracionales

•Un numero racional posee una expansión decimal periódica infinita

•Numero irracional posee expansión decimal a periódica infinita.

ResumenResumenTodo numero racional es Todo numero racional es realreal

Todo numero irracional es Todo numero irracional es realreal

Ningún numero racional es Ningún numero racional es irracional.irracional.

Ningún numero irracional Ningún numero irracional es racional.es racional.

Los números racionales e Los números racionales e irracionales definen el irracionales definen el conjunto de los números conjunto de los números

realesreales..

4

7

0,1111...

3,385014...

0,111 ,

e

Propiedades del conjunto dePropiedades del conjunto de Propiedades del conjunto de los números naturales y Propiedades del conjunto de los números naturales y

enterosenteros

InfinitosInfinitos

Discreto: Entre dos números consecutivos siempre Discreto: Entre dos números consecutivos siempre existe la misma distancia.existe la misma distancia.

Ordenado: siempre se pueden comparar dos Ordenado: siempre se pueden comparar dos números.números.

Propiedades del conjunto de los Propiedades del conjunto de los números racionalesnúmeros racionales

Denso: entre dos numeros racionales siempre es posible encontrar otro numero racional.

Infinito

Ordenado: siempre es posible comparar dos números racionales.

Propiedades de los números Propiedades de los números irracionalesirracionales

Infinito

Ordenado

Denso

Propiedades dePropiedades de

Continuo

Denso

Completo: hay una correspondencia biunívoco entre los puntos de la recta numérica y sus elementos

Infinito

Intervalos realesIntervalos reales Un intervalo real es un conjunto de los reales y Un intervalo real es un conjunto de los reales y

al igual que el conjunto también es infinito.al igual que el conjunto también es infinito. Tenemos diferentes tipos de notación:Tenemos diferentes tipos de notación:

CorchetesCorchetes Ejemplo: Ejemplo:

Por comprensiónPor comprensión

Ejemplo:Ejemplo:

,a b

/ 2x x

Se lee x pertenece a R, tal que x es mayor o igual a 2

Gráficamente

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Se lee todos los números reales desde el menos -1 inclusive hasta mas infinito.

Clasificación de los intervalos realesClasificación de los intervalos reales

1.1. Intervalo real cerradoIntervalo real cerrado

Es aquel en el cual los elementos de sus Es aquel en el cual los elementos de sus extremos se hallan incluidosextremos se hallan incluidos

Ejemplo:Ejemplo:

2,2 / , 2 2x x x

-3 -2 -1 0 1 2 3

Clasificación de los intervalos realesClasificación de los intervalos reales

2.Intervalo real abierto2.Intervalo real abiertoEs aquel en el cual no se incluyen los Es aquel en el cual no se incluyen los

extremosextremos

Ejemplo:Ejemplo: 1,2

-2 -1 0 1 2 3

/ , 1 2 x x x

Clasificación de los intervalos realesClasificación de los intervalos reales

3.Intervalo real semiabierto3.Intervalo real semiabiertoEs aquel en el cual solo se incluyen uno de los dos Es aquel en el cual solo se incluyen uno de los dos

extremos.extremos.

Ejemplo:Ejemplo: 1,3 / , 1 3x x x

-2 -1 0 1 2 3 4

Clasificación de los intervalos realesClasificación de los intervalos reales

4. Intervalo real al infinito4. Intervalo real al infinitoEs aquel intervalo en el cual se constituye por todos Es aquel intervalo en el cual se constituye por todos

los números reales que se encuentran al lado los números reales que se encuentran al lado izquierdo o derecho de algún numero real el cual izquierdo o derecho de algún numero real el cual podría estar incluido o no.podría estar incluido o no.

Ejemplos:Ejemplos:

a) a) 1, / , 1x x x

1

Clasificación de los intervalos realesClasificación de los intervalos reales

b)b) 2, / , 2x x x

2

c) , 2 / , 2x x x

2

FinFin

¡Muchas gracias¡