1201-15 MATEMATICA Números Reales-Operaciones en Los Reales

Cod. 1201-15

Nmeros Reales Operaciones en los Reales

Matemtica

P O L I T E C N I C O 2

CAPTULO 2: EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES. 2.1. AMPLIAMOS EL CAMPO NUMRICO CONOCIDO. En la vida diaria habrs observado que se utilizan expresiones como las siguientes: ST: -2 se observa en la pantalla del televisor un da de mucho fro. Alejandro Magno, Rey de Macedonia, muri 323 aos antes de Cristo. Esto lo puedes ver ubicado en una lnea histrica (-323). Una comunidad de tiburones se encuentra habitando 400 metros bajo el nivel del mar (- 400 m). Adems, alguna vez te habrs enfrentado a una ecuacin como la que sigue: 8102 x

Y te diste cuenta que no encontraste ningn elemento de 0

R que la satisfaga.

Te proponemos dar un significado matemtico a todas estas expresiones y a empezar a recorrer un camino juntos para poder resolver ecuaciones (y otro tipo de situaciones problemticas) como la enunciada anteriormente. 2.2. EL EJE REAL. LOS NMEROS REALES NEGATIVOS.

Cuando representaste a los elementos de 0

R en la recta numrica observaste que

dichas representaciones se encontraban en realidad en puntos de una semirrecta y no en una recta propiamente dicha. Recordemos que cada punto de la semirrecta mencionada tiene como abscisa un real no negativo. Si pensamos en los simtricos de dichos puntos respecto de o (cuya abscisa es cero), por los conocimientos que tienes de simetra central, te dars cuenta que es insuficiente

dicha semirrecta pues los simtricos de los puntos que representan a los R se

encuentran en la semirrecta opuesta. A la abscisa de los infinitos puntos simtricos de los primeros le anteponemos un guin (-). Al conjunto de todos esos nmeros lo llamamos conjunto de los nmeros reales

negativos, que simbolizaremos: R

0 1


Por ejemplo la abscisa del punto simtrico del punto de abscisa 5, convenimos en escribirla ( - 5) y se lee menos 5. A los nmeros reales positivos le anteponemos un signo ms (+).

De esta forma cuando hablamos del nmero 4 en R convenimos en llamarlo

positivo y escribimos (+4) o simplemente 4.

En smbolos +4 = 4 Convenimos que:

Al nmero cero no lo consideramos ni positivo ni

negativo, por lo tanto no le antepondremos ningn signo.

Estamos en condiciones de presenta el Conjunto de los Nmeros Reales

El conjunto de los nmeros reales, que simbolizamos con R, estar integrado por los conjuntos de los nmeros reales negativos y el conjunto de los nmeros reales no negativos.

Simblicamente: 0RRR

Adems a la recta numrica en donde se representa dicho conjunto R la llamaremos eje real. De esta forma, mostramos a continuacin un ejemplo de representacin de elementos de R.

0R R

R

26


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ACTIVIDADES

1) Asignar a cada situacin el nmero real correspondiente segn las convenciones habituales

$ 1000 de prdida 20 sobre cero $ 500 de ganancia 315 metros bajo el nivel del mar 200 aos antes de Cristo 5 bajo cero 1000 metros sobre el nivel del mar

2.3. ORDEN EN R. Consideremos dos nmeros a y b de R y un eje real que, por comodidad, tomamos horizontal. En forma similar a lo realizado para reales no negativos, decimos que a es mayor que b y simbolizamos a b si el punto representativo de a sobre el eje real est a la derecha del punto representativo de b. Decimos que a es menor que b y simbolizamos a b si el punto representativo de a sobre el eje real est a la izquierda del punto representativo de b. Decimos que a es igual que b y simbolizamos a b si el punto representativo de a sobre

el eje real coincide con el punto representativo de b. Segn lo enunciado:

Las expresiones a b y b a son equivalentes.

Adems, cada vez que consideremos un par de nmeros reales cualesquiera y conozcamos la ubicacin de los puntos que los representan sobre el eje, estamos en condiciones de decir si uno de ellos es mayor, menor o igual que el otro.

0

a

b

0

a

b

0

a = b


Podemos expresar lo expuesto haciendo uso de distintos lenguajes. Veamos:

LENGUAJE GRFICO LENGUAJE COLOQUIAL LENGUAJE ALGEBRAICO

b es mayor que a b > a

a es menor que b a < b

a es igual a b a = b

En general:

Dados dos nmeros a y b, puede ocurrir una , y slo una , de las tres posibilidades:

a < b a > b a = b. A esta propiedad se la llama Ley de tricotoma.

Otros smbolos, expresiones y conceptos: a b se lee: a es menor o igual que b. Indica que a b o a b . O bien , a b se lee: a no es mayor que b. Significa que a b .

a b se lee: a es mayor o igual que b. Indica que a b o a b . O bien, a b se lee: a no es menor que b. Significa que a b .

Una forma de escritura ms simple: Si por ejemplo bx ax se puede expresar b xa ( se

extiende el concepto de entre)

0

b

a

0

a

b

0

a = b


Matemtica


ACTIVIDADES 2) Completa segn corresponda

3 ............... 2 -7 ............... -1 1

4 ...............

1

5

-9 ............... -10 0 ............... 9 2 ............... 3 64

-1 ............... 6 -8 ............... 2 -6 ............... 10

3

-5 ............... -5 0 ............... -12 1,6 ............... 26

18

3) En cada par de nmeros dados indica el mayor de ellos

23 y 19

35 y -34

-1 y -2

1

5 y

1

5

0 y -1

7,1 y 1,7

-3 y 0

9,1 y 2

-12 y -20 -0,8 y -0,88

4) Ordena en forma creciente :

a) -7 ; 6 ; -2 ; -12 ; 1 ; 5 ; 0 ; -10 ; -82

b) 17 7 1 5 11

; ; 1 ; ; 2 4 2 3 6

5) Indica cules de los siguientes nmeros: -8 ; 12 ; -2 ; -7 ; 0 ; -9 ; 7 ; 71

10

; 2499 verifican:

a) Que son menores o iguales que 7. b) Que son menores que - 7. c) Que son mayores que 11. d) Que son menores que -50.


2.4. VALOR ABSOLUTO EN R.

Dado un nmero real x cualquiera, definimos el valor absoluto de x , y lo

indicamos x a la distancia existente entre el punto representativo de dicho

nmero sobre el eje real y el punto representativo de cero.

Veamos algunos ejemplos

a) 6 6

b) 0 0 la distancia entre un punto y el

mismo es cero.

c) 3 3

Notemos que el concepto de distancia involucra siempre a un nmero positivo o cero.

En smbolos: x ; 0x

ACTIVIDADES

6) Completa el cuadro:

Nmero

Signo Valor absoluto

-15

31

- 3 3

13

7


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7) Calcula los siguientes valores absolutos:

2

105

8

7

3

2

3 5

8 7

8) Determina el valor de las letras , si es posible, en cada apartado

a) 132a

b) 41b

c) 0c

d) 1d

9) Completa con menor, igual o mayor segn corresponda:

a) Todo nmero real positivo es .............................. que un nmero real negativo.

b) El cero es .............................. que todo nmero real positivo y ..............................

que todo nmero real negativo.

c) Dos nmeros reales no nulos son iguales cuando tienen .............................. valor absoluto e igual signo.

d) Si dos nmeros reales son positivos, es menor el que tiene ..............................

valor absoluto.

e) Si dos nmeros reales son negativos, es menor el que tiene .............................. valor absoluto.

10) Piensa:

a) n es un nmero positivo de valor absoluto 5,2. Qu valor tiene n?

b) n es un nmero negativo de valor absoluto 5,2. Qu valor tiene n?

c) n es un nmero real de valor absoluto 5,2. Qu valores puede tener n?


11) En el eje real:

a) Cul es la distancia entre -7 y 0? b) Cul es la distancia entre 7 y 0?

c) Cul es la distancia entre -7 y 7?

2.5. OPUESTO DE UN NMERO REAL. Definicin:

Dado un nmero real x cualquiera, llamamos opuesto de dicho nmero y lo indicamos x, al nmero real cuyo punto representativo en el eje real es simtrico respecto del origen, del punto representativo del primero.

Ejemplos: -5 es el opuesto de 5

3 es el opuesto de 3

2

7 es el opuesto de

2

7

0 es el opuesto de 0 Grficamente representamos los nmeros opuestos 2 y -2 :


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Observacin En funcin de este nuevo concepto (opuesto de un nmero real ) estamos en condiciones de expresar el valor absoluto de un nmero real x de la siguiente manera:

0 si

0 si

xx

xxx

Es inmediato, adems, ver que un nmero y su opuesto estn a igual distancia respecto del cero. Por otra parte, utilizando el concepto de valor absoluto, podemos redefinir tambin el concepto de opuesto de un nmero real de la siguiente manera:

Si , a b a es opuesto de b a b

Teniendo en cuenta la simbologa utilizada para indicar el opuesto de un nmero y para simbolizar un nmero real negativo (un guin delante del mismo) se hace necesario observar que expresiones como la siguiente:

1 1

3 3

se lee el opuesto de menos un tercio es un tercio

ACTIVIDADES

12) Ubica los siguientes nmeros y sus opuestos en el eje real

a) 3 b) 4

3 c) 2

13) Completa la tabla:

Nmero n Opuesto de n Signo de n Signo de (-n)

-13 13 - +

-26

2

1.444

5

3,72


14) Completa

El opuesto de cero es cero . Simblicamente: ...................0a

Si a es un nmero real positivo entonces su opuesto es..

Simblicamente: 00 aaRa

Si a es un nmero real negativo entonces su opuesto es .

Simblicamente: .

2.6. UN SUBCONJUNTO DE LOS REALES: LOS NMEROS ENTEROS Un conjunto de nmeros realmente significativo en el estudio de la Matemtica y de gran utilidad en la aplicacin de problemas de la vida cotidiana es sin duda el llamado conjunto de los nmeros enteros y que definimos de la siguiente manera:

Llamamos conjunto de los nmeros enteros (al que indicaremos Z) al subconjunto de elementos x de R que cumplen con la condicin que su valor

absoluto es un elemento de 0 .

Simblicamente: 0Z x / x R x N = ;.......4;3;2;1;0;1;2;3;4.... Representamos algunos elementos de de Z en el eje real LOS NMEROS RACIONALES

Llamamos conjunto de los nmeros racionales (al que indicaremos Q) al subconjunto de elementos x de R que se pueden expresar en forma de

fraccin p

con p Z q Z 0q

Los nmeros racionales en su forma decimal tienen infinitas cifras decimales peridicas

0

-1

- 2

3

2 1


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LOS NMEROS IRRACIONALES

Llamamos conjunto de los nmeros irracionales (al que indicaremos I) al subconjunto de elementos x de R que en su forma decimal tienen infinitas

cifras decimales no peridicas.

En el diagrama se muestra la relacin entre los conjuntos numricos R, Q , I , Z , N0 , N ACTIVIDADES

15) Indica con una cruz a que conjunto pertenece cada nmero

N0 Z Q I R -7 -0,3535

4

8

0 -0,414243 3 4

5

7

R

Z I Q

N

N0


16) Representa en el eje, el o los nmeros que cumplan con las condiciones establecidas:

a) Su valor absoluto es 4. b) Su valor absoluto es 7.

c) Su distancia al 0 es 5

2.

d) Su distancia al 4 es 1

3.

e) Sean mayores que -2 y menores que 4. f) Sean nmeros enteros menores que -3.

17) Representa en el mismo eje real:

a) En rojo al opuesto de 2. b) En verde al doble del opuesto de -3. c) En negro a la mitad del opuesto de cero. d) En azul a la quinta parte del opuesto de -5.

18) Representa en distintos ejes reales:

a) los nmeros x tales que 3x

b) los nmeros t tales que : 9t2

19) Responde:

a) Qu distancia hay entre el opuesto de cinco y el doble de dos? b) Qu distancia hay entre el valor absoluto de menos tres y la mitad de

seis? c) Cuntos nmeros enteros pares estn a cinco unidades de dos?

20) Elije la alternativa correcta: a) Dados dos nmeros reales positivos es mayor:

i) El que est representado en el eje a mayor distancia del origen. ii) El que est representado en el eje a menor distancia del origen.

b) Dados dos nmeros reales negativos es menor:

i) El que est representado en el eje a mayor distancia del origen. ii) El que est representado en el eje a menor distancia del origen.


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21) Representa en el mismo eje real:

a) De rojo a los nmeros que tengan valor absoluto igual al 80 % de una decena.

b) De verde a la medida del permetro de un cuadrado de lado tres. c) De azul al nmero que es el opuesto de la mitad del obtenido en el

apartado b

22) Piensa y completa:

a) El opuesto de 3 es .. y su valor absoluto es .. b) El opuesto de -15 es .. y su valor absoluto es .. c) El valor absoluto de 24 es .. y su opuesto es .. d) El valor absoluto de -12 es .. y su opuesto es.

23) Representa en el eje real los nmeros que verifican:

3

2x

3x

2

7x

8x2

xx

8x

2x

25,5x

3x

4x

2x

13x

x6

2x

0x

0x

0x

24) Cules son los elementos de los siguientes conjuntos?

a) 9 x / x x

b) 4 7x / x x

c) 12 5x / x x x

d) 4x / x x

e) 0x / x x

f) 20x / x x

25) Resuelve representando grficamente en el eje real:

Un extremo de cierto segmento es el punto de abscisa -7. El punto medio del mismo est ubicado en 3. Cul es la abscisa del otro extremo?


26) Determina en cada caso Cules son los nmeros a) enteros que distan de 0 menos de 4 unidades? b) enteros que distan de 0 menos 7 de unidades? c) enteros que distan de 0 exactamente 0,5 unidades? d) naturales que distan de 0 no ms de una unidad? e) enteros que distan de 0 ms de 14 unidades? f) reales que distan de 0 menos de 8 unidades? g) reales que verifican que el valor absoluto del mismo y el de su opuesto coinciden?

27) Utilizando el smbolo de valor absoluto, expresa cada enunciado:

a) Un nmero est a ms de 3 unidades del origen. b) La distancia entre un nmero y el origen es 5. c) x est a no menos de 3 unidades del origen.

d) 2x est a ms de 7 unidades de 0. e) 3x est a menos de 6 unidades del origen.

28) Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F)

justificando cada una de las respuestas:

a) El valor absoluto de un nmero real negativo es positivo y el valor absoluto de un nmero real positivo es negativo.

b) El valor absoluto de un nmero real es siempre positivo. c) El valor absoluto de un nmero real negativo no existe, porque debe ser

positivo. d) El valor absoluto de cero no existe.

e) Si 4x6 , entonces 4x .

f) Si 0x2

1 , entonces

2

1x .

g) Si x > 0, entonces xx

h) Si 3x , entonces 3x3

i) Si x < 0, entonces 0x

j) Si x < 0, entonces 0x .

k) Todo nmero real verifica que: xx .

l) Si 4x entonces x


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CAPITULO 3 : SUMA, MULTIPLICACIN, RESTA Y DIVISIN EN LOS REALES.

3.1. SUMA EN R

adicinosumallamalosec:sumandosllamansebyacba;Rb;a

La suma de dos nmeros reales: del mismo signo, es el nmero que posee el mismo signo que el de los

sumandos y cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos dados.

de distinto signo es el nmero que posee el mismo signo que el del

sumando de mayor valor absoluto y cuyo valor absoluto es la resta de los valores absolutos de los sumandos dados; y en el caso en que los dos tengan el mismo valor absoluto es cero. En smbolos:

0)( aaaa donde al menos uno de los sumandos es cero da como resultado el otro

sumando, en smbolos. Simblicamente: 0 a a a . Resulta entonces

que el cero es elemento neutro en la suma de nmeros reales.

Ejemplos:

a) 15 7 15 7 22

b) 1 1 1 1 5

2 3 2 3 6

c) 2,5 7,3 2,5 7,3 9,8

d) 5 9 9 5 4 4

e) ( 2,3) 2 (2,3 2) ( 0,3)

f) 1,5 1,5 0

g) 5 5 0


ACTIVIDADES 1) Completa la tabla:

a b a+b (-a)+b

(+5) (-7)

(-11) (-23)

(-5,1)

0

(-7,1)

0

2 (-3,5)

1

7

1

5

2

10

7

(-10) (-10)

2) Para los valores indicados de p, q y r en cada apartado, calcula el valor

numrico de cada una de estas expresiones algebraicas

1 + (- q)

[(- p) + r] +q

[(- p)+(- r)]+p

(p + q) +r

y3 1

; 0,35 5

p q r

y2

1,1; 13

p q r

y3

4 ; 02

p q r


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3) Escribe los elementos del siguiente conjunto: / ; 6 4A x x Z x . a) Elige dos pares de nmeros de A cuya suma sea cero. b) Elige dos nmeros del conjunto A para los cuales la suma de ambos sea la

mayor posible. c) Cules son los pares de nmeros que elegiras del conjunto A tal que la suma

de sus valores absolutos sea la menor posible? 4) Completa la tabla

a b ba ba

2 3

0,5 -2,3

-5

5

1

0 3

5

3

5

2

Qu conjetura te sugiere la observacin de las dos ltimas columnas?

Propiedades de la suma de nmeros reales. Consideramos las propiedades de la suma para todo nmero real a, b y c:

Ley de cierre: Rb,a se tiene que Rba

Propiedad conmutativa: abba

Propiedad asociativa: cbacba

Propiedad de la existencia del elemento simtrico (OPUESTO):

Dado un nmero a R existe b R tal que a + b = 0. Al nmero b se lo llama

opuesto de a. En smbolos: 0ba/ab,Ra .

Propiedad de la suma en las igualdades: Sumando a ambos miembros de una igualdad un mismo nmero, se obtiene otra igualdad.

cbcaba


ACTIVIDADES 5) Justifica por qu son ciertas cada una de las siguientes igualdades:

a) 4 0 4

b) 2 5 5 2

c) 7 3 2 7 3 2

d) 2,5 2,5 0

e) 3 8 11 0

f) 3 3

2 25 5

g) (6 + m) + x = 6 + (m + x)

h) 0z z

6) Resuelve en la forma ms sencilla, indicando la o las propiedades que aplicas:

a) 13

1

5

2

3

1

5

2

=

b) 5

2)2(

5

2)1(

5

1

7) Demuestra las siguientes igualdades:

a) ( )a b a b

b) ( ) ( ) 0x y x y


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8) Calcula en cada caso el valor de x. Justifica cada paso. Las propiedades anteriores permiten resolver ecuaciones como te mostramos a continuacin:

3 5

4 2x

3 3 5 3

4 4 2 4x

3 3 13

4 4 4x

130

4x

Luego, la solucin de la ecuacin original es:13

4x .

Verificacin: 13 3 10 5

4 4 4 2

.

a) 7 1

1 24 2

x

b) 1 5 1

( 1) ( ) 13 3 2

x

c) 1 1

5 0,33 4

x

d) 7

1 1 04

x

e) 3 1

1,2 ( 2)4 2

x

9) Calcula, si es posible, los valores de b en cada caso:

Ejemplo: ( 5) 10 b .

Resolucin: Por definicin de valor absoluto resulta que: b + (-5) =10 o b + (-5) = -10 b = 15 o b = -5

a) 7,2 1,5 b

b)

c) ( ) 2 0 b

d) 2 3

13 4

b

e) 1+ b + (-3) = 5

Estrategias para resolver ecuaciones: Para resolver ecuaciones debemos encontrar todos los valores de la variable que la hacen cierta La ecuacin obtenida al sumar a ambos miembros de una igualdad un mismo nmero, tiene la misma solucin que la original. Esta ecuacin se llama equivalente a ella.


3.2. MULTIPLICACIN EN R productollamasec;factoresllamansebyacb.a;Rb;a

El producto de dos nmeros reales:

del mismo signo, es el nmero positivo cuyo valor absoluto es la multiplicacin de los valores absolutos de cada uno de los nmeros dados.

de distinto signo, es el nmero negativo cuyo valor absoluto es la multiplicacin de los valores absolutos de cada uno de los nmeros dados.

de los cuales al menos uno es cero da por resultado cero. En smbolos 0a.00.a ,Ra

Ejemplos:

) 8 . 2 8 . 2 8.2 16 a

) 1,2 . 3 1,2 . 3 1,2.3 3,6 b

3 5 3 5 3 5 5c)

4 6 4 6 4 6 8

5 5 5 15

d) 3 3 32 2 2 2

) 5 0 0 e

f ) 0.0 0


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ACTIVIDADES 10) Completa la tabla:

a 3 4 (- 5) 3

4 3

b (- 0,5) 3

(- a). b 12 0

(-a).(-b) 0 (- 1) 1

11) Completa las siguientes implicaciones, indicando los posibles valores de las variables:

a)

0y

0y.xx......

b)

0y

0y.xx.......

c) .)....................(..................)y.......x(0y.x

d) ...........y..........x0y.x

e) .x y 0 .......................................

12) Completa la tabla con los valores numricos correspondientes a la expresin

dada:

x -1 -0,5 0 2

1 1

2

3 2

(-2)x + 1

13) Determina, si es posible, todos los nmeros enteros p y q que cumplen, en

cada caso, la condicin pedida. Cuando no sea posible, explica por qu:

a) 0 . 3p q

b) 2 . 3p q

c) 2 . 0p q


14) Calcula el valor numrico de las siguientes expresiones segn los valores de las variables en cada caso:

. m p p h

. 2 p h m

1

.2

m p h

12 ; 4

3 ym p h

5 ; 1 2 ym p h

1; 4,2 5

2 ym p h


a b .a b .a b

-5 3

0,3 -2,5

-2 2

1

0 3

Qu puedes conjeturar al observar los resultados de las dos ltimas columnas de la tabla?


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Propiedades de la multiplicacin de nmeros reales. Consideramos las propiedades de la multiplicacin para todo nmero real a, b y c.

Ley de cierre: Rb,a se tiene que Rb.a

Propiedad conmutativa: a.bb.a

Propiedad asociativa: c.b.ac.b.a

Existencia de elemento neutro:

Dado un nmero Ra existe R1 tal que aa.11.a .

Propiedad de la existencia del elemento simtrico (RECPROCO o INVERSO MULTIPLICATIVO):

Dado un nmero 0a existe Rb tal que 1b.a . Al nmero b se lo

llama recproco de a.

En smbolos: 1b.a/a

1b0a .

Propiedad de condicin de anulacin del producto: 0b0a0b.a

Propiedad de la multiplicacin en las igualdades:

Multiplicando a ambos miembros de una igualdad un mismo nmero se obtiene otra igualdad. Simblicamente: c.bc.aba .


Resumiendo:

a+b R Ley de cierre a.b R

a+b=b+a Prop. Conmutativa a.b=b.a

a+ (b+c) = (a+b) +c Prop. Asociativa a. (b.c) = (a.b).c

a+0=0+a=a Elemento Neutro a.1=1.a=a

0aa/Ra,Ra 1a

1a/R

a

10a

Existencia del opuesto. Existencia del recproco.

Propiedad distributiva de la multiplicacin

con respecto a la suma.

a . (b+c) = a . b + a . c

ACTIVIDADES 16) Escribe el nombre de la propiedad que justifica cada igualdad.

a) (-3). (x +2) = (x +2). (-3)

b) x35x35

c) 36. a = 4. (9.a)

d) 3 . 5 ( 4) 3 x x

SUMA MULTIPLICACIN

Transforma multiplicaciones en sumas

Transforma sumas en multiplicaciones (Factoreo)


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17) Aplicando propiedades resuelve cada ejercicio propuesto:

a)

25

25

1

11

1

b) 5 3

7 . 43 5

c) 1 1

3 .103 5

d) 1 9

( 0,2)5 2

e) )3(232

1

f) 1 2 1 17 0. 22 3 4 3

18) Indica algebraicamente y halla el valor numrico de la expresin que se obtiene

para : 4

3cy0b;

2

1a

a) Al doble del opuesto de a sumarle el recproco de la suma de b y c . b) A la suma de a y c multiplicarla por el recproco de c.

19) Te informan que a.b = a . Cules son los valores posibles de a y de b? 20) a.b = 0 , a + b = 8 , b 0 . Calcula a y b.

21) Demuestra:

a) La suma de dos mltiplos de 7, es mltiplo de 7. b) La suma de dos nmeros impares, es un nmero par. c) La suma de dos impares consecutivos es mltiplo de 4.

22) Introduce parntesis, si es necesario, de modo que las igualdades resulten

ciertas:

a) 383534 b) 143534

c) 4 3 5 3 2

Mltiplos de x con xZ es el conjunto formado por todos los nmeros que resultan de multiplicar a x por un nmero entero.


23) Completa las siguientes expresiones:

.........1

2

1

aa .........

1

3

2

aa .........

17

aa

10, 3 ..........a

a

.........1

17 a

a .........1

2,0 a

a .........1

1 a

a .........1

1 a

a

24) Resuelve las multiplicaciones. Indica las propiedades utilizadas como te

mostramos en los apartados a) y b).

a)

b6a

2

1c3

b) 5 2 2x y z

a) (1) (2) (1)1 1 1

3 6 3 6 3 6 . . . 92 2 2

c a b c a b a b c abc

b) (1) (2) (1)

5 2 2 5 2 2 5 .2. 2. 10 2x y z x y z xyz xyz

c) 21

( 3). . .3

ab c

=

d) 2 2( 1). . . 1x y a b =

e) 21

( 1). . . 3 .3

a b c

=

f) 1

3 .3

xy a

g) . 2xy t

h) 21 1

.5 2

a cb

i) 1

4 . 0,5 .2

x ay

j) 1 1

18 . .3 2

ab c d

k) 1

33

abc de fg

Recuerda:

El resultado de las multiplicaciones se indica con un factor numrico seguido de los literales

ordenados alfabticamente.

(1) Prop. Asociativa en la multiplicacin

(2) Prop. Conmutativa en la multiplicacin


Matemtica


25) Transforma en suma:

a) 1 3

. 23 4

x

b) 2 . 3y t

c) 1 . 0,2x y

d) 1

3 1 .5

x y

26) Completa las siguientes expresiones de manera que se verifiquen las

igualdades:

a) xxx .......5

12

5

1

b) z.,..........., 520520

c) .........73.7.7 x

d) 17

2

7

2

a.....a

27) Cules son las definiciones o propiedades que justifican cada una de las

siguientes igualdades?

a) 0,5 2 ( 3) 0,5 2 ( 3) 0,5 2 ( 3) 0,5 ( 1)x x x x x x

b)

xa

5

1a.1a.1xa

5

1aaa

5

1xaa

= xa5

9xa.

5

111xa

5

1a.1a.1

c)

1bb

2

1a)5(a21bb

2

1a)5(a2a)5(bb

2

11a2

b2

3a)3(1b1

2

1a)5(2

Recuerda que: Los sumandos que tienen la misma parte literal reciben el nombre de trminos semejantes. Como observamos, la suma de trminos semejantes se puede reducir a un solo trmino.


Ahora resuelve t solo:

d)

aa

2

12.)3(

e)

ab

5

2).2()ba(

5

1=

f) (-0,5). (x + 2) + 0,8 +(- 0,7) x=

g) (-2) (x + y) + 5 x + (- 7) y =

h)

b

5

12,0.5b

2

3a2

28) Expresa como producto (Factorea):

Para recordar:

Como ya sabes, factorizar (o factorear) una expresin algebraica es transformarla en producto de dos o ms expresiones algebraicas. Ejemplo:

)1( 222222 yyxxyxyx En este caso se dice que se ha sacado factor comn.

a) 3 3

5 5

x y

b) ( 5)a b a b x

c) 224 8a a

d) 2 ( 2) ( 2) x z a x z

e) 8 4 6

5 5 5axy amx ahx

f) 2 39 6 15x x x

g) 5 3 7

4 4 4bm bma bmx

h) 5 15 5 5

7 35 14 21xy xhy mxy axy


Matemtica


3.3. ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES Propiedades del opuesto de un nmero.

El opuesto de un nmero es el producto de (-1) por dicho nmero.

En smbolos: ; ( 1).a R a a

Demostracin:

Partiendo de la definicin de opuesto, resulta que a ser igual a 1 a , si se demuestra que: ( 1) 0a a .

Entonces:

(1) (2) (3) (4)

( 1). 1. ( 1). 1 ( 1) . 0 0a a a a a a

(1) Propiedad del elemento neutro de la multiplicacin. (2) Propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma. (3) Suma de opuestos. (4) Definicin de multiplicacin.

El opuesto de una suma de dos nmeros es la suma de los opuestos de dichos nmeros.

En smbolos: ; : - ( ) ( )a b R a b a b

Demostracin: (1) (2) (1)

( ) ( 1).( ) ( 1.) ( 1). ( ) ( )a b a b a b a b

(1) Por propiedad: (- x) = (-1).x. (2) Propiedad distributiva de la multiplicacin respecto de la suma.

El producto de los opuestos de dos nmeros es igual al producto de dichos nmeros.

En smbolos: ; : (- ).(- ) .a b R a b a b

Demustrala, aplicando las propiedades anteriores.


El producto del opuesto de un nmero por otro es igual al opuesto del producto de los nmeros dados.

En smbolos: ; : (- ). -( . )a b R a b a b .

Demustrala, aplicando las propiedades anteriores.

El opuesto del opuesto de un nmero es dicho nmero.

En smbolos: : -(- ) a R a a

Demustrala, aplicando las propiedades anteriores. Propiedades del recproco. Completa el cuadro:

a b a.b

ab

1

a

1

b

1

b

1

a

1

2 5

3

1

-2

0,1 -2

2

3

6

1

Observando la cuarta y sptima columnas, qu puedes conjeturar? Qu conclusin obtienes? Escrbela en tu carpeta.


Matemtica


Esta relacin que acabas de descubrir es una propiedad que demostraremos a continuacin:

El recproco del producto de dos nmeros es el producto de los recprocos de dichos nmeros.

En smbolos: 1 1 1

0, 0.

Si p qp q p q

Demostracin:

Probar que el recproco de p q es 1 1

p q, equivale a probar que

1 1. . 1p q

p q.

(1) (2) (1) (3) (4)1 1 1 1 1 1 1 11 1 1p q p q p q p q

p q p q p q p q

(1) Propiedad asociativa de la multiplicacin. (2) Propiedad conmutativa de la multiplicacin. (3) Existencia del recproco. (4) Elemento neutro de la multiplicacin.

El recproco del recproco de un nmero no nulo es igual a dicho nmero.

En smbolos: 1

0;1

a a

a

.

Demustrala aplicando la definicin de recproco. ACTIVIDADES 29) Halla el valor numrico de las expresiones indicadas a continuacin si

32 ; ; 1

2x y z

:

a) 22 3x y z

b) 2 1

( 3)x y zy

c) x z y z

d) 1 1

x y z


30) Determina si las siguientes proposiciones son V (verdaderas) o F (falsas). Justifica:

a) -(-(- ))) x x

b) y x yx

c) ( ) ( ) ( )( 1)a b ab

d) 1 1

( ) .b ba a

e) - . [ - (- )] a x y ax ay

f) 2 2 2( )x y x y

g) Un nmero no nulo y su recproco tienen el mismo signo.

h) 1

; x Rx

i) . .a b a b

31) Completa con >, 0 y h >0, entonces (-m).h..........0

b) Si p 0, entonces (-p).(-q) ..........0

c) Si b >0 y a


Matemtica


32) Indica para cual o cuales valores de la variable son ciertas las siguientes expresiones:

a) 1

aa

b) y y

33) Demuestra:

a) El recproco de 1

a

es ( )a ; con 0a .

b) 1 1 1

; 0 0a ba b ab

34) Calcula x para que:

a) El permetro de la figura sea 15 cm. b) La superficie sea igual a 15 cm2.

35) Resuelve hasta obtener la mnima expresin:

a) 2 1

( 3)5 6

a b

b) 1 1 1

2 32 2 2

x y y x

c) 3 1

2 .2 2

a b

d) 3 1

.5 2

a x y

e) 1 1 2

3 3 3

d e d

f) 1 2

( 3) 6 3 3

y x y

g) 1 1 4 3

- 5 4 (- ) 2 4 3 4

p a p a


36) Calcula en cada caso el valor de x. Justifica cada paso. Las propiedades estudiadas permiten resolver ecuaciones como te mostramos a continuacin:

Ejemplo 1:

3 1

2 4x

2 3 2 1

3 2 3 4x Propiedad de la multiplicacin en las igualdades.

2 3 1

3 2 6x

Propiedad asociativa de la multiplicacin y definicin de multiplicacin.

11

6 x Propiedad del recproco.

1

6 x Propiedad del elemento neutro.

Ejemplo 2:

4 12

5 2x x

4 1( 2 ) 2 ( 2 )

5 2x x x x

4 1

( 2) 2 ( 2 )5 2

x x x

14 10

5 2x

14 1

5 2x

5 14 5 1

14 5 14 2x

51.

28x

5

28x

a) 3 1

25 3

x

b) 8

( 2) 13

x

La ecuacin obtenida al multiplicar a ambos miembros de una igualdad un mismo nmero no nulo, tiene la misma solucin que la original. sta ecuacin se llama equivalente a la primera.


Matemtica


c) 1 2 1 2

5 3 15 5x x

d) 6,66

13,0

x

e) 1

1 3 0,52

x x

f) 0,5 5 5 0,01 0,1x x

g) 1 1

3 ( 28) 1,24 4

x

h) 221 12. 1 . 1 3

4 2x x

i) 3

3 ( 4)2

x

j) 2

52

4

3x2

k) 3

51x)

2

1(

3

5

3

1

l) 0)5(x24

5x

m) 0x43)x(2

3.3,0

37) Plantea la ecuacin correspondiente y resuelve cada problema,:

a) Un operario de una fbrica gana $150 por da como jornal bsico, pero si produce ms de 150 piezas por da, recibe un premio de $3,85 por cada pieza que excede las 150. Qu cantidad de piezas debe fabricar para ganar$188,50 por da?

b) Se sabe que hace seis meses un producto costaba $1000 y que experiment

dos aumentos acumulativos del 20% y 25% respectivamente. Si nos rebajan el 10% Cunto debemos pagar por el producto?

38) Demuestra:

a) ( ). [ ( ) ] . , a b c ab a c a b y c R

b)

1 1 1 ; 0a b

a b a b


3.4. RESTA EN R

Introduccin:

Hasta el momento has trabajado el concepto de resta en 0R . Entonces te has

encontrado siempre con situaciones en donde el minuendo era mayor o a lo sumo igual al sustraendo. Simblicamente: ; m s x m s .

Nos queda pendiente resolver la cuestin: m s x siendo m s . Veremos cmo en el conjunto de los nmeros reales podemos resolver restas en donde el minuendo sea menor que el sustraendo. Definicin:

Si a y b son nmeros reales: a b x x b a

a recibe el nombre de minuendo.

b recibe el nombre de sustraendo.

x recibe el nombre de diferencia. Ejemplo: Calcula : ( 3) 12

Aplicando la definicin se tiene:

( 3) 12 12 ( 3)x x

Resolvamos la ecuacin:

12 ( 3)

12 ( 12) ( 3) ( 12)

0 15

15

x

x

x

x

Luego: ( 3) 12 15 .

Observemos que en el ejemplo anterior el nmero x se obtuvo sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.


Matemtica


Sabemos que, por definicin: a b x x b a

Para hallar x resolvemos la ecuacin: x b a . Resulta entonces:

( ) ( ) Prop. de la suma en las igualdades.

0 ( ) Prop. de la suma de opuestos.

( ) Prop. de elemento neutro en la suma.

x b a

x b b a b

x a b

x a b

De esta manera queda definido el algoritmo para la resta en R y que a partir de este momento utilizaremos como estrategia de clculo. Afirmamos entonces que:

( )a b a b

Algunos ejemplos ms, utilizando el algoritmo de la resta:

15 7 15 ( 7) 8

12 ( 3) 12 3 15

1 1 52 ( 2)

2 2 2

1 1 91 ( ) 1

10 10 10

Observacin: Es importante notar la diferencia de significados de un mismo smbolo matemtico, el guin (-), ya que este mismo smbolo puede significar: opuesto, negativo o resta. Tal es el caso de la expresin: ( 2) ( )p . Analzala.

ACTIVIDADES 39) Un da de invierno en Rosario la temperatura mnima fue de -3 C y la mxima

fue de 7 C. Calcula la amplitud trmica del da.

40) Escribe los elementos del siguiente conjunto: / ; 7 6A x x Z x a) Elige, si existe, algn par de nmeros de A cuya resta determine una diferencia

igual a cero. b) Elige dos nmeros del conjunto A para los cuales la resta de ambos determine

la menor diferencia posible. c) Cules son los pares de nmeros del conjunto A para que la resta de sus

valores absolutos de por resultado la mayor diferencia posible?



a b a - b b - a (-a) (-b) b (-a) (+5) (-7)

(-5,1) 0

(-7,1) 0

1

7

1

5

2

10

7

7 7 (-10) (-10)

42) Para los valores indicados de p , q y r en cada apartado calcula el valor

numrico de cada una de estas expresiones algebraicas

pr.q 1

p

qrp1

ppr

rqp

p2

11

3 1; 0,3

5 5 yp q r

22,1; 1

3 yp q r

34 ; 0

2 yp q r

43) Demuestra los siguientes teoremas:

a) ; 0a R a a

b) ; 0a R a a


Matemtica


44) Resuelve las siguientes ecuaciones

a) 4 2 5 2

2 25 3 2 3

x x

b) x7

1

5

76x4

c) 4 1 3

67 7 7

x x

d) 4 1 3

( 6)7 7 7

x

e) 2 1

3 6 4 23 2

x x x

45) Encuentra un nmero real sabiendo que si se le resta a 10 da 3,14. Plantea la

ecuacin que representa al problema. 46) Completa la tabla

p q p - q - q . p p + (-q) q - p (- p) . (-q) q + (-p)

- 2 - 2

- 12 + 12

1

5 -5

+ 5 3,2

- 12 27

47) Juan Ignacio est acampando junto con un grupo de compaeros en la ciudad

de La Falda (Provincia de Crdoba), que est situada aproximadamente a 800 m sobre el nivel del mar. Deciden escalar una sierra, cuya altura es aproximadamente de 250 m.

a) A qu altura estarn sobre el nivel del mar, una vez que alcancen la cima de

la montaa? b) Si Rosario est a 450 m sobre el nivel del mar, a qu altura por encima de la

altura en la que se encuentra Rosario estn en la cima de la sierra cordobesa?


48) Resuelve, aplicando definiciones, propiedades o algoritmos, las siguientes operaciones:

a) 2 1 1x x x x

b) 1

2 2 23

a x x a x ax a

49) Los nmeros representados en el eje real son enteros. Construye (utilizando

regla no graduada y comps) la representacin en el mismo eje de:

a) El cero. b) El opuesto de b. c) Los nmeros cuyo valor absoluto coincida con |c|.

50) Cul es el menor valor entero que puede tomar p para que (p 5) sea un

nmero positivo? 51) Decide si son V (verdaderas) o F (falsas) las siguientes afirmaciones

justificando las respuestas: a) Si a = 0 entonces |a| 0 = 0. b) Si c = 3, entonces la distancia de (c 6) al origen es 3. c) Si la distancia de un nmero c al origen es 3, entonces (c 6) = 3.

52) Calcula el o los valores de la variable que hacen cierta cada una de las

siguientes igualdades:

a) 1

5 03

x x x

b) 6 1 1 3

2 05 7 3 5

x x

c) 1

0 ; si 0 02

cx ax b x a d

d


Matemtica


53) Resuelve hasta obtener la mnima expresin:

a) 2a x 3 ( 1) x 2 ( 3)ax

b) b5b52.a3 c) 1b2a32a.5

d)

b

5

12

3

1

7

2a.7

e) 23xx3.2x 54) Transforma los productos indicados en sumas :

Ejemplo: (x - 2 y) . (x - 3)

Respuesta: (x - 2 y) . (x - 3) = x2 - 3 x - 2 x y + 6 y

a) (x - 3) . (y - 2) =

b) (x + 3

8) . (y 2) =

c) (a - 3 b c) . (- 2 d - 3) =

d) (1

2 a b - 7 c) . (-

1

3 - 2 d) =

e) 1 1

( 2)4 4

x y

f) 1

23

x y

g) 3 2 7t v

h) 2 1

( ) 8 77 4

x y

i) 2 3 3x y

j) (2 2 2 ) 2a b x

k) (7 a b - 1

5 b - 2 c) . (d - 2 ) =

l) (y2 - 4) . (x - 2 - x2) =

m)

p

3

1.(3 - 2 q) . (r2 s - 3) =

n) a . (b - 2 p q) . (- 3 v + w2) =

o)

3

2

7

2

4

1

5

3ab


p) 2 4 2 2

3 9 5 7

a b

q) 4 1 4 1

45 2 5 2

a b

r)

yxa

2

1

5

3

55) De los alumnos de una escuela, 10

9 tienen hermanos y entre los que tienen

hermanos, 8

1 tienen dos o ms hermanos. Si hay 45 alumnos que tienen dos o

ms hermanos, cuntos alumnos hay, en total, en esa escuela? 56) Demuestra los siguientes teoremas:

a) ; a a R b R c R b c ab ac

b) ; a R b R a b b a

c) ; a R b R a b c c a b 57) El seor Bruno deposita en el banco $ 1.870, luego $ 6.700 y finalmente $

3.150. Retira primero $ 253 y despus $ 725. Cul es el saldo luego de esos movimientos?

58) El gran matemtico Euclides public su libro Elementos en el ao 300 A.C.

Cuntos aos han transcurrido hasta hoy? 59) Escribe tres nmeros sabiendo que el segundo es 175; la diferencia entre el

primero y el segundo es 335 y sta diferencia ms el tercero es 373. 60) La diferencia de dos nmeros es -55. Si el minuendo es 35. Cul es el

sustraendo? 61) Si a un nmero se le suma 36 y al resultado se le resta -27, se obtiene 0. Cul

es ese nmero?


Matemtica


3.5. DIVISIN EN R

Con la misma definicin de divisin formulada para el conjunto 0R trabajaremos en el

conjunto R , esto es:

Si 0a R b R , se tiene :a

a b c c b ab

a recibe el nombre de dividendo.

b recibe el nombre de divisor.

c recibe el nombre de cociente.

A la expresin a

b tambin se la suele llamar razn entre a y b

De esta forma:

(-6) : 3 = (-2) pues (-2) . 3 = (-6)

5 : 1

2

= (-10) pues (-10) . 1

2

= 5

1 2 5:

7 5 14

pues 5 2 1

14 5 7

0 : 3 0 pues 0 3 0

Trataremos de obtener el algoritmo que nos permita encontrar el nmero c , tal cual lo hicimos con otras operaciones definidas en su oportunidad. Por la definicin sabemos que tiene que cumplirse que c b a , entonces:

(1) (2) (3) (4)1 1 1 1 1 1

1c b a c b a c b a c a c ab b b b b b

(1): Multiplicando ambos miembros por 1

; 0bb

.

(2): Aplicando la propiedad asociativa de la multiplicacin. (3): Aplicando la propiedad del recproco de un nmero distinto de cero. (4): Aplicando la propiedad de existencia del elemento neutro en la

Multiplicacin


Entonces:

1c a

b es el nmero buscado.

Coloquialmente expresamos: El cociente de una divisin es el producto entre el dividendo y el recproco del divisor.

En smbolos : 1

0 a

a bb b

Resolvamos los mismos ejemplos anteriores pero ahora aplicando el algoritmo determinado:

(-6) : 3 = (-6) . 1

3 = (-2)

5 : 1

2

= 5 . (-2) = (-10)

1 2 1 5 5:

7 5 7 2 14

10 : 3 0 0

3

ACTIVIDADES 62) Calcula los siguientes cocientes sin el uso de la calculadora:

a) 3,23 : 7,23

b) 1 8

:3 27

c) 0,2 3,7

2

d)

212 4322

3

63) Sin el uso de la calculadora resuelve las siguientes operaciones utilizando las propiedades y los algoritmos aprendidos. Expresa el resultado final como una fraccin irreducible:

a)

1 10,5 3,21

3 31

( 6) :6

b)

344 1 15 14 :511 25 2

2 1 12

3 2 4


Matemtica


64) Demuestra los siguientes teoremas:

a) El cociente de dos nmeros reales es positivo si ambos tienen el mismo signo.

b) El cociente de dos nmeros reales es negativo si ambos tienen distinto signo.

c) , 0 1 a

a R aa

d) :11

aa R a a

e) : ( 1)1

aa R a a

3.6. PROPIEDADES IMPORTANTES!!!!!! A travs del concepto de divisin podremos ahora demostrar dos propiedades importantes de la multiplicacin: Propiedad 1:

a c a c

b d b d

con 0 0b d

Demostracin:

(1) (2) (3) (4) (1)1 1 1 1 1 1 1a c a c

a c a c a c a cb d b d b d b d b d b d

(1): Aplicando el algoritmo de la divisin.

(2): Propiedad conmutativa de la multiplicacin en R.

(3): Propiedad asociativa de la multiplicacin en R.

(4): Propiedad demostrada 1 1 1

; 0 0x yx y x y

.


Propiedad 2:

.

.

a c a

b c b con 0 0b c

Demostracin:

(1) (2) (3)

1

a c a c a a

b c b c b b

(1): Propiedad .

0 ; 0.

x z x zcon y w

y w y w .

(2): Propiedad 1 0x

con xx

(3): Existencia del elemento neutro en la multiplicacin en R. Propiedad 3:

a a a

b b b con 0b

Demuestra esta propiedad ACTIVIDADES 65) Demuestra :

a) : : :a b c a c b c siendo 0c

b) 1 1

; 0a ba b a b


Matemtica


66) Simplifica hasta llegar a la expresin ms reducida:

a) x

x

b) 3

30

x

x

c) 1

1

t

t

d) 3

6x

x

e) 4 :8

yy

f) 3 36

:383,8

100

x x


p q p : q - (p : q) |p : q|

2p:(3 q)

- 20

- 4

- 16

2

- 1

2 3

+ 48 7

6

+ 80

- 16

68) Cul es el valor o los valores de la variable, si existe, que verifica cada una de

las siguientes igualdades?

a) (- 36) : a = 2

b) a : (- 12) = 3

c) 0 : p = 0

d) 5 : (-5) = q

e) 12 : (a + 3) = - 3

f) 8 : r = 0

g) 15 : 0 = m

h) 0 : 15 = b

i) 7 : q = -1


69) Halla el valor numrico de las siguientes expresiones algebraicas, sabiendo

que 3x e 1

4y

.

a) yx 2

b) y

x2

c) yxyx

d) 4

12

y

x

e) yxx

f) 42

y

x

70) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 1 1

: 2 66 3

x

b) 1 2

5 125 3

x x x

c) 1 3 1

: 4 64 8 16

x x

d) 2 6

5 : 8 1 157 21

x x x

e) 1 1 1

1 : 2 53 2 2

x x

f) 6 2 2 1 2 x x

g) 1

4. 2 1 2 5. 5 310

x x x

71) Resuelve, aplicando definiciones, propiedades o algoritmos:

a)

5

4

2

1

6

13

24

b)

7:43

51

5

2

7

32:

4

12

8

3

c)

2

3:

16

152:

3

4

10

1

5

8

4

125

d)

14:3

7

5

12:

5

3

7

10

4

2:1

4

3

5

2

72) 2

11 tonelada de azcar se envasa en paquetes de

4

1 kilogramo. Cuntos

paquetes se necesitan?


Matemtica


73) Simplifica todo lo posible:

a) 22

2

xa27

10

ax9

5

b)

)yx(a7

2

)yx(a 2

c)

)zy(x2

zyx5

2 2

d) aa

aa

323

5

12

5

1

e) a21

a42

f) 2 2

2( )

3

a b

a b

g) y

x

x25

3

y

2

2

h)

10

1a2

aa 2

i) 4 2

:2 5

x x yy

74) Si 2

1a ;

5

3b , y c = 3, calcula el valor de la siguiente expresin:

)cb(a1

:5)bc(

75) Expresa en smbolos y luego obtiene el valor numrico siendo 1

34

a b :

a) A la tercera parte de b divdela por el recproco de a. b) A la diferencia entre a y la mitad de b, divdela por la diferencia entre el doble

de b y el doble del cuadrado de a. c) A la mitad del producto entre a y b divdela por la cuarta parte de la suma de a

y b. 76) Entre 5 personas compran 3 billetes de lotera (3 vigsimos). Cunto dinero le

correspondera a cada una en caso de resultar favorecidos con el primer premio que otorga $ 720.000 por el entero? Y de obtener el segundo premio que otorga $ 50.000 por el entero?

77) Una canilla llena los 7

5 de un depsito en una hora, desagotando un desage,

en el mismo tiempo, los 9

4. Qu cantidad queda en el depsito?

78) Matas es constructor y en una hora realiza los 3

2 de la obra, mientras que

Salvador hace los 5

2 de lo que hace Matas. Qu parte de la obra realiza

Salvador?


79) Santiago pinta de blanco la mitad de un poste, la tercera parte de lo que queda la pinta de azul, y las tres quintas partes del resto la pinta de rojo. Determina:

a) Qu parte del poste qued sin pintar? b) Qu parte del poste fue pintada? c) Qu parte del poste est pintada de azul? d) Qu parte del poste est pintada de rojo?

80) Con los 8

5 del barril se llenaron 80 botellas de

4

3 litro. Cul es la capacidad

del barril?

81) En la eleccin de presidente del centro de estudiantes 3

1 de los alumnos vot

por el candidato A, 4

1 por el candidato B y 120 alumnos por otros candidatos.

Cuntos alumnos votaron en esta eleccin? 82) Se repartieron $ 420 entre 3 personas de modo que la primera recibi el doble

de la segunda, y la tercera 4

3 del total de las otras dos. Cunto obtuvo cada

una? 83) Divid la menor fraccin positiva irreducible de denominador 7 por la mayor

fraccin positiva irreducible que es menor que la unidad y tiene denominador 14.

84) Con 1 m2 de cartulina se construyen cuadrados de 4

1 dm2. Cuntos de estos

cuadrados se pueden construir? 85) Completa el siguiente cuadro:

a b a - b a + b a . b a : b 2 . a + 4 . b [(-5) . a] : (3 . b)

4

1

8

1

6

5

3

1

4

1 - 2

5

2

5

2

3

1 1

-15 2


Matemtica


86) Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 3 5 7 11x x

b) 2 10 7 3 1x x x

c) 1 1

3 2 32 3

x x

d) 4 3 2 1 5 2 4 8x x

e) 3 3

2 1 0,45 2

xx

f) 1 2 3

0,6 0,2 82 10

xx x

87) Aplica lo aprendido para resolver los siguientes problemas:

a) La tercera parte de la suma de dos nmeros consecutivos es igual a la mitad del menor de ellos, aumentado en tres unidades. Cules son los nmeros?

b) La medida de la base y la de la altura de un rectngulo vienen dadas por las

expresiones algebraicas 3 1x y 2 1x respectivamente. Si su permetro es 40. Cul es su rea?

c) Los 5

8 de un camino estn asfaltados, los

2

3 del resto son de tierra y faltan

construir an 225 Km. Cul es la longitud total del camino?

3.7. RAZONES

En prrafos anteriores dijimos que una expresin de la forma ; 0a

bb

era llamada

tambin razn entre a y b. Profundicemos algo ms este concepto. Supongamos estar estudiando la relacin que existe entre:

- La distancia total que se desplaza un mvil y el tiempo que utiliza para recorrer esa distancia.

Si escribimos el cociente: 60

1

km

hora, ste nos da informacin acerca del hecho en estudio,

esto es:

El mvil recorre 60 kilmetros durante 1 hora.

La razn entre el espacio recorrido y el tiempo utilizado es de 60 km

h.

La razn entre las medidas de ambas cantidades es 60.


En general definimos:

La razn entre dos nmeros reales a y b siendo 0b es el cociente a

b.

Al nmero a lo llamaremos antecedente de la razn.

Al nmero b lo llamaremos consecuente de la razn. Algunos ejemplos:

La razn entre 5 y 3

2 es

5

3

2

y es igual a 10

3 .

La razn entre 36 2 y 3 2 es 3

3

6 2

2 y es igual a 6 .

ACTIVIDADES 88) Si un rectngulo es tal que su largo es el triple de su ancho. Cul es la razn

entre su rea y la medida del permetro? 89) Toda fraccin expresa la razn entre dos nmeros enteros. Toda razn es

una determinada fraccin? 90) Si sabes que la razn entre dos nmeros es -5. Conoces los nmeros? 91) Escribe tres razones iguales a 4. 92) Calcula las razones entre:

a) 5 y -2.

b) 1

2 y

15

4

c) 8,43 y 1,9

d) 7 1 4

3 2 7

y 4 3 1

5 8 5


Matemtica


93) Completa el siguiente cuadro:

Antecedente Consecuente Razn

1

4 5

0 10

2 0,25

5 -1,25

2 3,25

-2 4,5

3.8. PROPORCIONES Definicin:

Llamamos proporcin a la igualdad entre dos razones. Simblicamente:

; 0 0a c

b db d es una proporcin.

Las proporciones se leen de la siguiente manera: a es a b como c es a d. Otra forma de escribir la proporcin es la siguiente:

: :a b c d

Por tal motivo a a y a d se los llama extremos de la proporcin y a b y c medios de la proporcin. Algunos ejemplos de proporciones son:

2 20

3 30

5

2910 4

27 3

22

5

2 ( ) 5

x y zy z

x y z


ACTIVIDADES 94) Cules de estas cuaternas te permiten escribir una proporcin? Cul puede

ser esa proporcin? Es la nica?

a) 121 ; 121 ; 100 ; 10

b) 8 ; 1,5 ; 16 ; 3

c) 2 5 50 20

; ; ; 3 6 60 30

95) Las dimensiones de dos rectngulos de permetro 18 cm y 54 cm

respectivamente definen una proporcin. En el primero la razn entre el largo y el ancho es 2. Cules son las reas de cada uno de ellos?

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES Las proporciones gozan de ciertas propiedades. Demostraremos algunas de ellas. Propiedad 1

En toda proporcin el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Simblicamente:

; 0 0a c

a d b c b db d


Matemtica


Demostracin: Al tratarse de una doble implicacin tenemos que demostrar la propiedad en los dos sentidos.

)

(1) (2) (3)a c a c abd cbd

b d b d ad cbb d b d b d (*)

(1) x y xz yz .

(2) ; 0 0x z xz

y ty t yt .

(3) ; 0 0x z x

y zy z y .

)

(1) (2) (3)1 1 ad cb a c

ad cb ad cbbd bd bd bd b d

(**)

De (*) y (**) hemos probado que:

; 0 0a c

a d b c b db d

Propiedad 2

En toda proporcin se verifica que la suma del antecedente y consecuente de la primera razn es a su consecuente como la suma del antecedente y consecuente de la segunda razn es a su consecuente. Simblicamente:

= ; 0 0a c a b c d

b db d b d

Demostracin:

(1) (2) (3)

+1= 1 = =

a c a c a b c d a b c d

b d b d b b d d b d

(1): x y x z y z (2): 1 0x

xx (3): Por suma de expresiones

algebraicas igual denominador.


Propiedad 3

En toda proporcin se verifica que la resta entre el antecedente y consecuente de la primera razn es a su consecuente como la resta entre el antecedente y consecuente de la segunda razn es a su consecuente. Simblicamente:

= ; 0 0a c a b c d

b db d b d

Demostracin:

(1) (2) (3) (4)

(5)

( 1)= ( 1) = =

( ) ( )= =

a c a c a b c d a b c d

b d b d b b d d b b d d

a b c d a b c d

b d b d

(1): x y x z y z

(2): 1 0x

xx

(3): 0

x x

yy y

(4): Por suma de fracciones de igual denominador. (5): ( )x y x y . Algoritmo de la resta.

Serie de razones iguales Definicin:

Se llama serie de razones iguales a toda expresin de la forma:

31 2

1 2 3

........... n

n

a aa a

b b b b .


Matemtica


Propiedad 4

En toda serie de razones iguales se verifica que:

3 1 2 3 31 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3

..................... ...........

..........

0 .......... 0

n n n

n n n

i n

a a a a a a a aa a a a

b b b b b b b b b b b b

b b b b b

Demostracin Si llamamos k a cada razn, resulta que:

11 1

1

22 2

2

33 3

3

nn n

n

ak a kb

b

ak a kb

b

ak a kb

b

ak a kb

b

Sumando miembro a miembro las igualdades, se tiene:

1 2 3 1 2 3 1 2 3........ ........ ........ n n na a a a kb kb kb kb k b b b b , o lo que es lo mismo:

1 2 3

1 2 3

........

........

n

n

a a a ak

b b b b

.

Luego es inmediato que:

1 2 3 31 2

1 2 3 1 2 3

.....................

..........

n n

n n

a a a a a aa a

b b b b b b b b

S y solo si:

3 1 2 3 31 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

..................... ...........

..........

n n n

n n n

a a a a a a a aa a a a

b b b b b b b b b b b b


ACTIVIDADES 96) Determina los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales:

3

154

yx.

97) Completa el siguiente cuadro sabiendo que: d

c

b

a .

a b c d

6 1

5 40

1 1,6 8

2 3 2,9

1,5 -12 2,4

98) Calcula el valor de x en cada una de las siguientes proporciones:

a)

1 21

3 3

6x

b)

122

2 101 4

2 3

x

x

c)

32 7

2,3 0,3

xx

d)

2

13 6

10,5

3

x

x

e)

3 10,34 21 31

2 .2 2

xx

f)

3 2

0,75 0,25 1 0,5

x x

99) Tres hermanos reciben una herencia de $ 360000 y debe ser repartida en forma directamente proporcional a sus edades. Si Juan Ignacio tiene 30 aos, Juan Francisco 24 aos y Juan Carlos 18 aos, cunto dinero recibe cada uno de ellos?


Matemtica


100) Calcula los valores de x y de y, aplicando las propiedades de las proporciones:

a) 2

19

y

xyx

b) 3

42

y

xyx

c) 6515

22 yxyx

101) Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a) Cules son los nmeros cuya suma es 5 y la razn entre ambos es 1,5?

b) Halla los nmeros cuya diferencia es -1 y la razn entre ellos es 0,875.

c) Cul es el nmero entero tal que su anterior es a su consecutivo como 4 es a

6?

3-9 ALGO MS SOBRE ECUACIONES

Hasta el momento te has enfrentado con situaciones en las que debas encontrar

el valor de una incgnita de modo tal que verifiquen una igualdad.

Pero, no siempre, las ecuaciones se presentan del mismo tipo de las que has trabajado. Por ejemplo; te proponemos resolver las siguientes ecuaciones :

a) 2

1)2x10(

4

11x

2

5

b)

2

1)2x6(

2

12x3

En la primera; a travs de las distintas transformaciones que realizas, utilizando propiedades; llegars seguramente a una expresin: 0.x = 0

Esto significa que x puede asumir cualquier nmero real , es decir Rx ,

verificando la igualdad.


En cambio en la segunda ecuacin ; te encontrars con una situacin de la forma:

2

1x.0

En este caso la incgnita no puede asumir ningn nmero real, es decir Rx ,

que verifique la igualdad . En toda expresin del tipo bx.a , donde se deba encontrar el valor de x que verifique

la igualdad, puede suceder:

Si 0a en cuyo caso a

bx , decimos que la ecuacin es compatible con

solucin nica y se indica

a

bS , donde S es el conjunto solucin

Si 0a , o sea bx.0 , segn el valor de b puede ser:

0b , la ecuacin es 0x0 , x pude tomar cualquier valor y la ecuacin recibe el nombre de compatible con infinitas soluciones(indeterminada) y el conjunto solucin se indica S = R

0b , la ecuacin es bx0 , no existe ningn valor de x que verifique la igualdad y la ecuacin recibe el nombre de ecuacin incompatible y el conjunto solucin se

indica S

ACTIVIDADES 102) Resuelve las siguientes ecuaciones, indica el conjunto solucin

a)

2

1) 2-6x (

4

12x

2

3

b) 3

1x1,0)

27

3x.(3

c)

x

3

11x.

3

2x32x.2

d) 4x34x.2

1

2

32x

e)

x

5

15,13x4,0.

2

1

f) x6.18

19xx3,01x.6

2

g) 3

1x4

2

x21

3

2x

h)

3

4

x1

9,0.22,0

x4

1


Matemtica


i)

2

1x5

12

3

22x5

3

2

j) 93

1x

k) 0x5

2

l) 121x3

m) 3,12.8,0x

n)

4,09

41,1x2

103) Determina el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones, teniendo en cuenta la condicin de anulacin del producto

a) 04

x6

2

1.x1,22

b) 0x1,0.3

1x

c) 03

x7.

3

x

2

3x

d) 0)2x).(1x( 2

e) 0)3,0x2).(8

1x

4

1

8

1x2(

104) Escribe una ecuacin correspondiente:

a) cuyas soluciones sean los divisores primos de 6

b) sabiendo que sus tres soluciones son nmeros enteros negativos

consecutivos mayores que (-3,17)

c) sabiendo que 2 y

4

3 son sus soluciones

d) que posea como soluciones: el opuesto de (-3) y la quinta parte del

elemento neutro del producto.


3-10 SISTEMAS DE ECUACIONES

Problema

Un hotel tiene habitaciones dobles y simples. Tiene en total 50 habitaciones y 87

camas. Cuntas habitaciones tiene de cada tipo?

Para resolverlo comenzaremos expresando algebraicamente este enunciado.

Observamos que necesitamos dos incgnitas, una para indicar el nmero de

habitaciones doble (x) y otra para el nmero de habitaciones simple (y), resultando as,

las siguientes expresiones simblicas:

50yx

87yx2

Debemos encontrar un valor de x y uno de y que hagan vlidas ambas ecuaciones.

Es decir hemos de resolver el sistema encontrando una solucin comn a las dos

ecuaciones.

A ese sistema lo indicamos:

87yx2

50yx

Veremos por ahora, dos mtodos para resolver un sistema: el de sustitucin y el de

igualacin.

Tu podrs utilizar el que prefieras, aunque en cada caso , ser ms cmodo alguno en

particular.

a) Mtodo de sustitucin

Se despeja una incgnita en una de las ecuaciones y se sustituye en la otra.

Resolvemos por este mtodo el problema .


Matemtica


87yx2

50yx Despejamos la y de la 1 ecuacin: x50y

Sustituimos este valor en la segunda ecuacin:

87x50x2

Resolvemos esta ecuacin con una incgnita:

37x5087xx287x50x2

El valor de x se sustituye en la expresin en la que apareca despejada la y :

133750y

Rta: El hotel dispone de 37 habitaciones dobles y 13 habitaciones simples.

b) Mtodo de igualacin

Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones

resultantes.

En el sistema

87yx2

50yx resulta:

50xy50yx

87x2y87yx2

Igualando: 87x250x , resulta 37x

Sustituyendo: 135037y

La solucin del sistema es 13y;37x

Comprobacin:

Siempre conviene comprobar si la solucin encontrada verifica el sistema.

501337 Se cumple la 1

871337.2 Se cumple la 2

Reflexionemos sobre lo trabajado

La ecuacin 87yx2 tiene infinitas soluciones. Por ejemplo:

........75y,6x;27y,30x;67y,10x;87y,0x


La ecuacin 50yx tambin tiene infinitas soluciones. Por ejemplo:

........44y,6x;20y,30x;40y,10x;50y,0x

De todas esas infinitas soluciones de cada ecuacin, slo hay una que coincide en

ambas: 13y,37x . Esta es la solucin del sistema la misma se expresa de la

siguiente forma:

)13 ; 37(S

Los mtodos para resolver sistemas de ecuaciones consisten en obtener la solucin ,

sin recurrir al tanteo.

Nota: No siempre al resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas

encontrars una nica solucin del mismo. Ms adelante profundizars este tema.

PROBLEMAS 105) Resuelve los siguientes sistemas

a)

7yx

13y5x e)

4

y

5

x24y3x4

b)

26yx4

31y5x3 f)

125

y2x

153

yx

2

yx

c)

8y3x2

3yx5 g)

294

x31y4

155

yx3

d)

50y3x5

8y3x7 h)

5)1y2

1(x

83

y

2

y3x


Matemtica


106) A resolver problemas!

a) El otro da mi abuelo de 70 aos de edad quiso repartir entre sus nietos cierta

cantidad de dinero. Si nos daba $300 a cada uno le sobraba $600 y si no

daba $500 le faltaba $1000. Cuntos nietos tiene el abuelo? Qu cantidad

de dinero quera repartir?

b) Si los lados de un rectngulo se alargan 2 cm cada uno, el permetro es de

24cm . Sabiendo adems que la diferencia de las longitudes de los lados es

de 2cm. Cunto miden los lados del rectngulo?

c) Dos amigos fueron a visitar una granja en la que haba gallinas y conejos. Al

salir uno de ellos pregunt al otro:Contaste cuntas gallinas y cuntos

conejos haba?. NO:Cuntos?. Avergualo. Haba en total 72 ojos y 122

patas

d) La suma de dos nmeros es 4, su cociente es (-3) con un resto de 2. Cules

son dichos nmeros?

e) La suma de dos nmeros es el doble de su diferencia. El mayor es 6 unidades

mayor que el doble del ms pequeo. Calcula los nmeros

f) Hallar las edades de dos personas sabiendo que la suma de las mismas es,

actualmente, 50 aos y que la razn entre las mismas era, hace 5 aos, igual

a 1/3.

g) Cuntos CD tiene Anbal y cuntos Bernardo sabiendo que si Bernardo le da

a Anbal 5 CD, ste tiene el triple de los que le quedan a Bernardo y que

ambos quedan con el mismo nmero de CD si Anbal le da a Bernardo 6 CD?

h) Un granjero cuenta con un determinado nmero de jaulas para sus conejos.

Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula.

Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. Cuntos

conejos y jaulas hay?


RESPUESTAS CAPTULO 2

1) 1000;5;200;315;500;20;1000

2) 3 > 2 -7 < -1 1

4 >

1

5

-9 > -10 0 < 9 2 < 3 64

-1 < 6 -8 < 2 -6 -12 1,6 > 26

18

3) 23 ; -1 ; 0 ; 0 ; -12 ; 35 ;1

5; 7,1

4) a) -82; -12 ; -10 ; - 7 ; -2 ; 0 ; 1 ; 5 ; 6

b) 2

17;

6

11;

2

11;

3

5;

4

7

5) a) -8; -2; -7; 0 ; -9 ; 7 ; 2499 b) -8 ; -9 ; 2499

c) 12 d) ninguno 6)

Nmero Signo Valor absoluto

-15

- 15

31

+ 31

- 3 3

- 3 3

13

7

+

13

7

7) 2; 105; 8; 1;53;2;3

7

8) a) 132132 aa b) 4141 bb c) 0c d) solucintieneno

9) a)mayor b)menor.mayor c)igual d)menor e) mayor

10) a) 5,2 b) -5,2 c) 5,2 y -5,2

11) a) 7 b) 7 c) 14

12) A cargo del alumno


Matemtica


13)

Nmero n Opuesto de n Signo de n Signo de (-n)

-26 26 - +

2 -2 + -

1,444 - 1,444 + -

5 5 - +

3,72 -3,72 + -

14) A cargo del alumno 15)

N0 Z Q I R -7 x x x -0,3535 x x

4

8

x x x x

0 x x x x -0,414243 x x 3 4 x x

5

7

x x

16) A cargo del alumno 17) A cargo del alumno 18) A cargo del alumno 19) a) 9 b) 0 c) dos nmeros: -5 y 7 20) a)i b)ii 21) A cargo del alumno 22) a) -3 y 3 b) 15 y 15 c) 24 y -24 d) 12 y 12 23) A cargo del alumno

24) a) 9;8;7;6;5;4;3;2;1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 b) 7;6;5;5;6;7 c) 11;10;9;8;7;6;4;3;2;1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 d) 4;4 e) f)

25) 13


26) a) -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 b) -6;-5;-4;-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 c)-0,5 ; 0,5 d)ninguno e).-17;-16;-15;15;16;17f) 88/ xRx

g) R

27) a) 3x b) 5x c) 3x d) 72 x e) 63 x

28) a)F b)F c)F d)F e) F f) F g) V h)V i)F j)V k) V l)F m)F


Matemtica


RESPUESTAS CAPTULO 3

1)

a b a+b (-a)+b

(+5) (-7)

-2 -12

(-11) (-23)

-34 -12

(-5,1) 5,1

0 10,2

-7,1 (-7,1)

-14,2 0

2 (-3,5)

-1,5 -5,5

1

7

7

6 1

7

5

5

2

10

7

10

11

10

3

(-10) 0 (-10)

10

2)

3) 3;2;1;0;1;2;3;4;5;6A a) 3 y -3. b) 2 y 3 c) 1 y 0 -1 y 0

1 + (- q)

[(- p) + r] +q

[(- p)+(- r)]+p

(p + q) +r

y3 1

; 0,35 5

p q r

5

6

2

1

10

3

10

7

y2

1,1; 13

p q r

3

1

9

13 1

9

7

y3

4 ; 02

p q r

2

5

2

5 0

2

11


4)

Conjetura: baba

5)

a) Elemento neutro en la suma b) Prop. Conmutativa en la suma c) Prop. Asociativa en la suma d) Prop. Elemento Opuesto. e) Asociativa en la suma y prop. Elemento opuesto. f) Elemento opuesto. Elemento neutro en la suma g) Prop. Asociativa en la suma h) Elemento neutro en la suma

6) a) 1 b) -2


8) a)4

9x b)

6

11x c)

4

19x d)

4

1x e)

20

59x

9) a) 7,5b o 7,8b

b) solucin.

c) 2b

d) 12

13b o

12

13b

e) 7b o 7b

a b ba ba

2 3 5 5

0,5 -2,3 1,8 2,8

-5 5

1

5

26

5

26

0 3 3 3

5

3

5

2

5

1 1


Matemtica


10)

11) a) 0x

b) 0x

c) 0y0x0y0x d) 0y0x

e) 0y

12)

x -1 -0,5 0 2

1 1

2

3 2

(-2). x + 1 3 2 1 0 -1 -2 -3

13)

a) 1q1p o 1q1p o 2q1p o 2q1p o 1q2p o 1q2p

b) , ya que no hay nmeros enteros entre 2 y 3.

c) 2q1p o 2q1p o 1q2p o 1q2p o 1q1p o 1q1p

a 3 4 0 (- 5) 3

4 3

b (- 0,5) -3 3 5

1

3

4 0

(- a). b 1,5 12 0 1 -1 0

(-a).(-b) -1,5 -12 0 (- 1) 1 0


14)

. m p p h

. 2 p h m

1

.2

m p h

1

2 ; 43

ym p h 3

26

3

16

6

47

5 ; 1 2 ym p h

4

-12

-4.

1

; 4,2 52

ym p h 25

94

-22 -0,4.

15)

a b .a b .a b

-5 3 15 15

0,3 -2,5 0,75 0,75

-2 2

1 1 1

0 3 0 0

Conjetura: baba

16) a) Conmutativa en multiplicacin b) Asociativa en la multiplicacin c) Asociativa en la multiplicacin d) Existencia elemento neutro en la multiplicacin

17) a)11

1 b) 28 c)2 d)

5

1 e) 0 f)

4

3

18) a) 3

7

cb

1a2

b)

3

1

c

1.ca

19) Rb0a1bRa

20) 8b0a


Matemtica



22) A cargo del alumno.

23)

2a

1

2

1a

2

3

a

1

3

2a

7

1

a

17a

10, 3 ..........a

a

17

1

a

117a 5

a

12,0a 1

a

11a 1

a

11a

24)

a) Resuelto en el apunte. b) Resuelto en el apunte.

c) 2cba

d) 22 yxba

e) cba 2

f) yxa1 g) yxt2

h) cba10

1 2

i) yxa1 j) dcba3

k) gfedcba3

3

25)

a)

4

1x

3

2

b) yt2y6

c) yxyx5

1

5

1

d) yyx35

1x

5

3


27)

d) a2

16

e) b5

3a

5

9

f)

5

1x

5

6

g) y9x3


h) 1b4a2

28)

a) y1x.5

3

b) x5.ba c) 1a3.a8 d) a2.z2x

e) h3m2y4.xa5

2

f) 2x5x23.x3 g) x7a35.mb

4

1

h)

a

3

1m

2

1h

5

31.yx

7

5

i)

29)

a) 2

1 b)

4

21 c)

2

1 d)

7

9

30) Justificacin a cargo del alumno. a) F. b) V. c)V. d)V. e)V. f) F. g)V. h)F. i)V.

31) a) < b) < c) > d)< e)< f) g) h) i) j)>

32) a)1 y -1. b)0.


34) a)1,5 cm. b)3 cm.

35)

a) ba2

1a

5

6

b)

4

5y

2

3x

2

7yx1

c) b2

3

4

3ba2a

d) yx2

1x

5

3ya

2

1a

5

3

e) edd3

2e

3

1

9

5


Matemtica


f) 2y3

16xyx

3

1

g)

8

5a

6

1p

4

17pa

12

5

36) a)9

25x b)

8

9x c) 1x d)

2

41x e)

5

1x f)

100

11x

g)10

1x h)

8

17x i)

6

5x

6

11x j)

8

5x

8

1x

k) 3

22x

3

2x l)

2

5x

4

5x m)

4

3x

2

1x

37) a) Debe fabricar 160 piezas por da. b) Debemos pagar $1350.

38) A cargo del Alumno.

39) 10 C.

40) 5:4;3;2;1;0;1;2;3;4;5;6;7A .

41)

a b a - b b - a (-a) (-b) b (-a) (+5) (-7) 12 -12 -12 -2

(-5,1) (-5,1) 0 0 0 -10,2

(-7,1) (-7,1) 0 0 0 -14,2

1

7

7

6

1 -1 -1

7

5

5

2

10

7

10

3

10

3

10

3

10

11

7 0 7 - 7 7 7 (-10) 0 -10 10 10 (-10)


42)

43) A cargo del Alumno.

44) a)65

2x b)

3

5x c) 23x d) 49x e)

5

16x

45) 14,13x

46)

p q p - q - q . p p + (-q) q - p (- p) . (-q) q + (-p)

- 2 - 2 0 -4 0 0 4 0

- 12 -24 + 12 -288 12 -12 288 -12

25 1

5

5

124 -5

5

124 -

5

124 5 -

5

124

+ 5 9

16

9

29

9

80 3,2 -

9

29

9

80 -

9

29

-39 - 12 -27 -468 -27 27 468 27

47) a)A 1050 m. b) A 600 m.

48) a) 2x b) a3

1x


50) 6p .

51) a)V. b)V. c)F.

52)

a) 3

1x5x0x .

pr.q 1

p

qrp1

ppr

rqp

p2

11

3 1; 0,3

5 5 yp q r

25

6 30

37

10

3

20

19

22,1; 1

3 yp q r

27

50 171

478

1

6

7

34 ; 0

2 yp q r

2 8

35

0

2

1


Matemtica


b) 5

1x

14

1x .

c) d

cx

a

bx0x .

53) a) 2xa6ax5

b) b5ab15a6

c) b28a2

d) b15

1

3

4a7

e) 3x5x2 54) a) 6y3x2yx

b) 4

3y

8

3x2yx

c) cb9dcb6a3da2

d) dc14c3

7dbaba

6

1

e) 8

1y

2

1x

2

1yx2

f) x3

1yx2

g) t21vt6

h) y214

1x

7

16

i) 9y3x6yx2

j) b22a2222xb2xa2x2

k) c22dc2b5

2db

5

1ba27dba7

l) 22222 x48x4yxy2yx

m) qp2srqp3

2p3srp 22

n) 22 wqpa2vqpa6wbavba3

o) b6

1ba

14

1

5

2a

35

6

p) a63

8ba

45

8

21

4b

15

4

q) baa5

8b

5

8

25

64


r) yx2

1x

5

3ya

2

1a

5

3

55) Hay 400 alumnos en total. 56) A cargo del alumno. 57) El saldo es de $ 10742. 58) 2309 aos. 59) Los nmeros son: 510, 175 y 38. 60) Es 90. 61) Es -64 62)

a) 723

323 b)

8

9 c)2 d)1

63)

a) 3600

157

b) -30 64) A cargo del alumno. 65) A cargo del alumno. 66)

a) 1 b)10

1 c) 1 d)

2

1 e) 32 f)

60

1

67)

p q p : q - (p : q) |p : q| 2p: (3 q)

- 20 -4 5 -5 5 10/3

-32 - 16 2 -2 2 4/3

- 1

2

6

1 -3 3 3 -2

+ 48 7

288

6

7

6

7

7

6

9

7

+ 80 -10/3 -24 24 24 - 16


Matemtica


68) a) 18a

b) 36a

c) 0Rp d) 1q

e) 7a

f) Rr

g) No existe la divisin por cero. h) 0b

i) 7q

69)

a) 2

7 b)24 c)

16

121 d)

5

48 e)

4

37 f) 20

70)

a) 76x b) 22

45x c)

29

480x d)

53

784x e)

10

19x f) 1x g) 2x

71)

a) 5

54 b)

28

75 c)

24

119 d)

161

1482

72) Se necesitan 6000 paquetes. 73)

a) a2

3 b) a

2

7 c) zy

5

1 d)

15

1 e) 2 f) 3

g)x3

y25

h) a5

i) yx24

y2x5

74) 10

191

75)

a) 4

1

a

1:b

3

1

b) 49

10a2b2:b

2

1a 2


c) 13

6ba

4

1:ba

2

1

76) Cada persona se lleva $21600, en caso de obtener el segundo premio a cada uno le corresponde $1500.

77) Queda 63

17 del depsito con agua.

78) Realiza 5

2 de la obra.

79)

a) Qued sin pintar 15

2 del poste.

b) Fue pintada 15

13 del poste.

c) Est pintada de azul 6

1 del poste.

d) Est pintada de rojo 5

1 del poste.

80) La capacidad del barril es de 96 litros.

81) Votaron 288 alumnos.

82) La 1 $160, la 2 $80 y la 3 $180.

83) 13

2

14

13

7

1

84) 400 cuadrados.


Matemtica


85)

a b a - b a + b a . b a : b 2 . a + 4 . b [(-5) . a] : (3 . b)

4

1

8

1

8

1

8

3

32

1 2 -1

3

10

6

5

6

7

3

1 2

36

35

7

5

3

19

21

25

4

7

4

1

2

3 - 2

16

7 7

2

9

3

35

5

2 -1

5

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1201-15 MATEMATICA Números Reales-Operaciones en Los Reales