Rok 2 - Termodynamika i technika cieplna
Materiay do wicze audytoryjnych - teoria i zadania ( opr. dr in. A. Gradowski , 3. 01. 2010 )
Plik: Z-21zadan-2R-G3-w26
Wprowadzenie do zagadnienia procesu przewodzenia ciepa
w warunkach ustalonych
1. Podstawowe pojcia Warunkiem zrozumienia podstawowych zagadnie wymiany ciepa na drodze przewodzenia jest dokadna znajomo podstawowych poj niezbdnych do ma-tematyczno-fizycznego opisu przebiegu tego procesu. Ograniczymy si do poj:
a) ukad podlegajcy badaniu, b) ustalone (stacjonarne) i niestacjonarne (nieustalone) pole temperatury, c) liniowe, paskie i przestrzenne pole temperatury, d) gradient temperatury, e) pojcie i rwnanie opisujce gsto strumienia cieplnego, f) podstawowe i rozszerzone parametry termofizyczne badanych cia ( 5 parame-
trw), g) opory cieplne przewodzenia i wymiany ciepa, h) warunki jednoznacznoci jako podstawa strategii rozwizywania oglnego rw-
nania rniczkowego przewodzenia ciepa (Fouriera). Ukadem nazywamy wydzielony obszar przestrzenny w ktrym zachodz wszyst-
kie procesy podlegajce badaniom, analizie i ujciu w postaci bilansu ciepa, masy i energii. Nieustalone pole temperatury ( nie temperatur !) to zaleno funkcyjna w ktrej zmienn zalen jest warto temperatury a zmiennymi niezalenymi wsprzdne po-oenia i czas. Jeeli pole jest stacjonarne (ustalone) to zaley wycznie od wsprzd-nych, czyli nie zaley od czasu. Mona te powiedzie, e stacjonarny oznacza: nie-zmienny w czasie.
Zalenie od liczby wsprzdnych pole temperatury moe by:
a) liniowe, T= f( x, ) lub T= f(x), b) paskie, T= f( x, y, ) lub T= f( x, y), c) przestrzenne, T= f( x, y, z, ) lub T= f( x, y,z).
Przypadki pola paskiego i przestrzennego s bardzo trudne a czasem niemoli-we do matematycznego opisu, wymagajcego cakowania rwnania rniczkowego przewodzenia ciepa. Dlatego uproszczone modele matematyczne dotycz bardzo cz-sto przypadku liniowego pola temperatury.
Gsto strumienia cieplnego q jest to ilo ciepa wymieniana przez jednost-kow powierzchni ciaa odniesiona do jednostki czasu, czyli:
dQ
qFd
[ 2
W
m ] (1)
gdzie: F pole powierzchni [ m 2] przez ktr przepywa elementarne ciepo dQ,
dQ - elementarne ciepo [ J ], - czas [ s ].
2
Pojcie gradientu temperatury definiowane jest oglnie za pomoc pochodnej :
gradT = T
x
(2a)
a dla ustalonego, liniowego pola temperatury { T= f(x) } w postaci:
gradT = dT
dx (2b)
Podstawowymi parametrami ( wspczynnikami) termofizycznymi (materiau formy, od-lewu, materiaw izolacyjnych itp.) decydujcymi o przebiegu procesu przewodzenia ciepa s:
a) - wspczynnik przewodzenia ciepa
Km
W , ( to litera lambda),
b) c - ciepo waciwe
Kkg
J ,
c) - gsto masy
3m
kg, ( litery ro nie naley myli z podobna liter p).
Dla uatwienia matematycznego ujcia przebiegu procesw cieplnych wprowa-
dzono ponadto tzw. rozszerzone parametry termofizyczne ( materiau formy, odlewu itp.), definiowane w oparciu o parametry podstawowe.
Nale do nich: wspczynnik wyrwnywania temperatury a (inna nazwa to wspczynnik przewodzenia temperatury) i wspczynnik akumulacji ciepa b.
Wspczynnik wyrwnywania temperatury definiowany jest wzorem:
2
a = ........................c
m
s
Natomiast wspczynnik akumulacji ciepa okrelony jest zalenoci:
b= c 1/ 2
2
Ws
m K
Nazwa tego wspczynnika wynika z faktu, e w pewnych zagadnieniach prze-wodzenia ilo akumulowanego w ciele ciepa jest proporcjonalna do wartoci wsp-czynnika akumulacji ciepa.
Niezbdnym warunkiem rozwizania podstawowego rwnania roniczkowego przewodzenia ciepa (Fouriera) odzwierciedlajcego konkretny przypadek wymiany cie-pa jest sformuowanie tzw. warunkw jednoznacznoci, czyli dodatkowych warunkw cile okrelajcych rozpatrywane zagadnienie. Pozwala to na wydzielenie z niesko-czonej liczby zjawisk przewodzenia ciepa - speniajcych rwnanie rniczkowe Fourie-ra - cile okrelonego procesu, bdcego przedmiotem naszych bada i uzyskanie jego matematycznego opisu, najczciej w postaci rwnania pola temperatury.
3
W skad warunkw jednoznacznoci wchodz: 1. warunki geometryczne, okrelajce ksztat badanego ukadu lub czci w kt-
rej zachodzi badany proces cieplny, 2. warunki fizyczne, opisujce waciwoci ( parametry) termofizyczne wszystkich
podobszarw ukadu ( np. metalu odlewu, materiau formy, materiau izolacyjnego), 3. warunki pocztkowe, okrelajce pole temperatury ukadu w momencie przyj-
tym jako pocztkowy ( = 0 ), przy czym wystpuj one tylko w procesach nieustalone-go przepywu ciepa, w ktrych wystpuje nieustalone pole temperatury.
4. warunki brzegowe, ktre mog by zadawane 4. sposobami.
Warunki brzegowe 1. i 3. rodzaju (najczciej stosowane i oznaczane symbolami WB1r i WB3r) zostan opisane w punkcie 3.
2. Model matematyczny ustalonego przepywu ciepa przez ciank pask Rwnanie rniczkowe opisujce ustalone, liniowe temperatury ma posta:
2
20
T
x
(1)
Wynika std warto gradientu temperatury:
gradT = 2 1pow powT TdT
dx g
(2)
gdzie: T1pow,T2pow - temperatury obu powierzchni cianki paskiej, .g grubo cianki ( oznaczana czsto przez d ). Zgodnie z prawem Fouriera .q = - gradT otrzymujemy dla cianki paskiej
1 2pow powT TdTq
dx d
(3)
.lub
1 2pow powT Tq
S
(4)
Posta rwnania (4) uzyskano przy zaoeniu znajomoci warunkw brzegowych
1. Rodzaju (WB1r). Parametr cieplny wystpujcy w mianowniku rwnania (4) nazywa-ny jest oporem przewodzenia ciepa:
2
.......d m K
SW
(5)
W odniesieniu do warunkw brzegowych 3. rodzaju (WB3r) wprowadzono tzw. opr wymiany ciepa, rwny:
4
21.......
m KS
W
(6)
W przypadku cianki wielowarstwowej (WB1r) w mianowniku rwnania (4) wy-
stpi suma wszystkich oporw cieplnych S. W przypadku przepywu ciepa - rozpatrywanego z wykorzystaniem WB3r
w mianowniku rwnania (4) wystpi suma wszystkich oporw cieplnych ( S , S ).
Przykady oblicze
ZADANIE 1
cianka grzejnika o gruboci d = 6 mm i wspczynniku przewodzenia ciepa rw-nym = 40 W/( m K) oddziela orodki o temperaturach T1ot = 90
o C i T2ot = 20 o C.
Wspczynniki wymiany ciepa na obu powierzchniach wynosz: 1 = 30 W/(m
2 K) i 2 = 15 W/(m2 K). Naley obliczy:
a) opory cieplne w ukadzie, b) gsto strumienia cieplnego przepywajcego w ukadzie, c) temperatury obu powierzchni cianek, d) spadek temperatury i gradient temperatury w ciance, e) gsto strumienia cieplnego w oparciu o prawo Fouriera dla cianki, f) pole temperatury w ciance. g) warto temperatury w rodku cianki, h) warto temperatury w odlegoci 1 mm od zewntrznej powierzchni cianki.
Schemat ukadu d
T1ot T1pow
1
1 T2pow
2 T2ot
x Rys.1. (Do zad. 1) Ustalony przepyw ciepa przez ciank pask jednowarstwow
o grubociach d i wspczynniku przewodzenia . ======= Obliczamy opory cieplne:
R = d / = 0,006 / 40 = 0,00015 m2 K/ W
R1 = 1/ 1 = 1/ 30 = 0,033 m2 K/ W
R2 = 1/ 2 = 1/ 15 = 0,067 m2 K/ W .
5
Gsto strumienia cieplnego:
21ot 2otT -T 90 20q 698,95 .........W/mR 0,033 0,00015 0,067
Temperatury obu powierzchni cianki: T1pow = T1ot q/ 1 = 90 698,95 / 30 = 66,702
oC T2pow = T2ot + q/ 2 = 20 + 698,95 / 15 = 66,597
oC
Spadek temperatury w ciance: T = T2pow T1pow = 66,597 66,702 = - 0,105 K
Gradient temperatury: gradT = T/ d = - 0,105 / 0,006 = - 17,474 K /m
Gsto strumienia cieplnego w oparciu o prawo Fouriera dla cianki : q = - gradT = - 40 . (- 17,474) = 698,95 W/ m2 .
Pole temperatury w ciance :
1pow 2pow 1pow
xT = T (T -T )
d = T1pow + x
. gradT
T = 66,702 17,474 . x
Warto temperatury w rodku cianki ( x = 0,003) : T = 66,702 17,474 . 0,003 = 66, 65 oC
Warto temperatury w odlegoci 1 mm od zewntrznej powierzchni cianki : Zgodnie z ukadem wsprzdnych x = 0,005 m. T = 66,702 17,474 . 0,005 = 66,615 oC
Koniec zad. 1 - - - - - - -
ZADANIE 2
cianka grzejnika eliwnego posiada na powierzchni zewntrznej warstw lakie-ru, czyli jest 2. warstwowa w sensie cieplnym. Ustalone pole temperatury w ciance okrelone jest wartoci temperatur na powierzchniach granicznych T1pow = 100
oC i T2pow = 50
oC (czyli znane s warunki brzegowe WB1r). Gruboci metalu i lakieru wy-nosz odpowiednio: dsg = 3mm, dp1 = 0,1 mm. Drugi wariant dotyczy cieszej gruboci rwnej dp2 = 0,05 mm.
Wspczynniki przewodzenia ciepa wynosz 50 W/ (m K) dla eliwa i 1 W/ (m K) dla warstwy lakieru. Obliczy:
a) temperatur kontaktu metalu z lakierem, b) gsto strumienia cieplnego dla obu gruboci warstwy lakieru.
6
d1 d2
1 2
