Click here to load reader

Rok 2 - „ Termodynamika i technika cieplna Materiały do ćwiczeń ... · PDF fileRok 2 - „ Termodynamika i technika cieplna ” Materiały do ćwiczeń audytoryjnych - teoria

  • View
    220

  • Download
    4

Embed Size (px)

Text of Rok 2 - „ Termodynamika i technika cieplna Materiały do ćwiczeń ... · PDF fileRok 2...

Rok 2 - Termodynamika i technika cieplna

Materiay do wicze audytoryjnych - teoria i zadania ( opr. dr in. A. Gradowski , 3. 01. 2010 )

Plik: Z-21zadan-2R-G3-w26

Wprowadzenie do zagadnienia procesu przewodzenia ciepa

w warunkach ustalonych

1. Podstawowe pojcia Warunkiem zrozumienia podstawowych zagadnie wymiany ciepa na drodze przewodzenia jest dokadna znajomo podstawowych poj niezbdnych do ma-tematyczno-fizycznego opisu przebiegu tego procesu. Ograniczymy si do poj:

a) ukad podlegajcy badaniu, b) ustalone (stacjonarne) i niestacjonarne (nieustalone) pole temperatury, c) liniowe, paskie i przestrzenne pole temperatury, d) gradient temperatury, e) pojcie i rwnanie opisujce gsto strumienia cieplnego, f) podstawowe i rozszerzone parametry termofizyczne badanych cia ( 5 parame-

trw), g) opory cieplne przewodzenia i wymiany ciepa, h) warunki jednoznacznoci jako podstawa strategii rozwizywania oglnego rw-

nania rniczkowego przewodzenia ciepa (Fouriera). Ukadem nazywamy wydzielony obszar przestrzenny w ktrym zachodz wszyst-

kie procesy podlegajce badaniom, analizie i ujciu w postaci bilansu ciepa, masy i energii. Nieustalone pole temperatury ( nie temperatur !) to zaleno funkcyjna w ktrej zmienn zalen jest warto temperatury a zmiennymi niezalenymi wsprzdne po-oenia i czas. Jeeli pole jest stacjonarne (ustalone) to zaley wycznie od wsprzd-nych, czyli nie zaley od czasu. Mona te powiedzie, e stacjonarny oznacza: nie-zmienny w czasie.

Zalenie od liczby wsprzdnych pole temperatury moe by:

a) liniowe, T= f( x, ) lub T= f(x), b) paskie, T= f( x, y, ) lub T= f( x, y), c) przestrzenne, T= f( x, y, z, ) lub T= f( x, y,z).

Przypadki pola paskiego i przestrzennego s bardzo trudne a czasem niemoli-we do matematycznego opisu, wymagajcego cakowania rwnania rniczkowego przewodzenia ciepa. Dlatego uproszczone modele matematyczne dotycz bardzo cz-sto przypadku liniowego pola temperatury.

Gsto strumienia cieplnego q jest to ilo ciepa wymieniana przez jednost-kow powierzchni ciaa odniesiona do jednostki czasu, czyli:

dQ

qFd

[ 2

W

m ] (1)

gdzie: F pole powierzchni [ m 2] przez ktr przepywa elementarne ciepo dQ,

dQ - elementarne ciepo [ J ], - czas [ s ].

2

Pojcie gradientu temperatury definiowane jest oglnie za pomoc pochodnej :

gradT = T

x

(2a)

a dla ustalonego, liniowego pola temperatury { T= f(x) } w postaci:

gradT = dT

dx (2b)

Podstawowymi parametrami ( wspczynnikami) termofizycznymi (materiau formy, od-lewu, materiaw izolacyjnych itp.) decydujcymi o przebiegu procesu przewodzenia ciepa s:

a) - wspczynnik przewodzenia ciepa

Km

W , ( to litera lambda),

b) c - ciepo waciwe

Kkg

J ,

c) - gsto masy

3m

kg, ( litery ro nie naley myli z podobna liter p).

Dla uatwienia matematycznego ujcia przebiegu procesw cieplnych wprowa-

dzono ponadto tzw. rozszerzone parametry termofizyczne ( materiau formy, odlewu itp.), definiowane w oparciu o parametry podstawowe.

Nale do nich: wspczynnik wyrwnywania temperatury a (inna nazwa to wspczynnik przewodzenia temperatury) i wspczynnik akumulacji ciepa b.

Wspczynnik wyrwnywania temperatury definiowany jest wzorem:

2

a = ........................c

m

s

Natomiast wspczynnik akumulacji ciepa okrelony jest zalenoci:

b= c 1/ 2

2

Ws

m K

Nazwa tego wspczynnika wynika z faktu, e w pewnych zagadnieniach prze-wodzenia ilo akumulowanego w ciele ciepa jest proporcjonalna do wartoci wsp-czynnika akumulacji ciepa.

Niezbdnym warunkiem rozwizania podstawowego rwnania roniczkowego przewodzenia ciepa (Fouriera) odzwierciedlajcego konkretny przypadek wymiany cie-pa jest sformuowanie tzw. warunkw jednoznacznoci, czyli dodatkowych warunkw cile okrelajcych rozpatrywane zagadnienie. Pozwala to na wydzielenie z niesko-czonej liczby zjawisk przewodzenia ciepa - speniajcych rwnanie rniczkowe Fourie-ra - cile okrelonego procesu, bdcego przedmiotem naszych bada i uzyskanie jego matematycznego opisu, najczciej w postaci rwnania pola temperatury.

3

W skad warunkw jednoznacznoci wchodz: 1. warunki geometryczne, okrelajce ksztat badanego ukadu lub czci w kt-

rej zachodzi badany proces cieplny, 2. warunki fizyczne, opisujce waciwoci ( parametry) termofizyczne wszystkich

podobszarw ukadu ( np. metalu odlewu, materiau formy, materiau izolacyjnego), 3. warunki pocztkowe, okrelajce pole temperatury ukadu w momencie przyj-

tym jako pocztkowy ( = 0 ), przy czym wystpuj one tylko w procesach nieustalone-go przepywu ciepa, w ktrych wystpuje nieustalone pole temperatury.

4. warunki brzegowe, ktre mog by zadawane 4. sposobami.

Warunki brzegowe 1. i 3. rodzaju (najczciej stosowane i oznaczane symbolami WB1r i WB3r) zostan opisane w punkcie 3.

2. Model matematyczny ustalonego przepywu ciepa przez ciank pask Rwnanie rniczkowe opisujce ustalone, liniowe temperatury ma posta:

2

20

T

x

(1)

Wynika std warto gradientu temperatury:

gradT = 2 1pow powT TdT

dx g

(2)

gdzie: T1pow,T2pow - temperatury obu powierzchni cianki paskiej, .g grubo cianki ( oznaczana czsto przez d ). Zgodnie z prawem Fouriera .q = - gradT otrzymujemy dla cianki paskiej

1 2pow powT TdTq

dx d

(3)

.lub

1 2pow powT Tq

S

(4)

Posta rwnania (4) uzyskano przy zaoeniu znajomoci warunkw brzegowych

1. Rodzaju (WB1r). Parametr cieplny wystpujcy w mianowniku rwnania (4) nazywa-ny jest oporem przewodzenia ciepa:

2

.......d m K

SW

(5)

W odniesieniu do warunkw brzegowych 3. rodzaju (WB3r) wprowadzono tzw. opr wymiany ciepa, rwny:

4

21.......

m KS

W

(6)

W przypadku cianki wielowarstwowej (WB1r) w mianowniku rwnania (4) wy-

stpi suma wszystkich oporw cieplnych S. W przypadku przepywu ciepa - rozpatrywanego z wykorzystaniem WB3r

w mianowniku rwnania (4) wystpi suma wszystkich oporw cieplnych ( S , S ).

Przykady oblicze

ZADANIE 1

cianka grzejnika o gruboci d = 6 mm i wspczynniku przewodzenia ciepa rw-nym = 40 W/( m K) oddziela orodki o temperaturach T1ot = 90

o C i T2ot = 20 o C.

Wspczynniki wymiany ciepa na obu powierzchniach wynosz: 1 = 30 W/(m

2 K) i 2 = 15 W/(m2 K). Naley obliczy:

a) opory cieplne w ukadzie, b) gsto strumienia cieplnego przepywajcego w ukadzie, c) temperatury obu powierzchni cianek, d) spadek temperatury i gradient temperatury w ciance, e) gsto strumienia cieplnego w oparciu o prawo Fouriera dla cianki, f) pole temperatury w ciance. g) warto temperatury w rodku cianki, h) warto temperatury w odlegoci 1 mm od zewntrznej powierzchni cianki.

Schemat ukadu d

T1ot T1pow

1

1 T2pow

2 T2ot

x Rys.1. (Do zad. 1) Ustalony przepyw ciepa przez ciank pask jednowarstwow

o grubociach d i wspczynniku przewodzenia . ======= Obliczamy opory cieplne:

R = d / = 0,006 / 40 = 0,00015 m2 K/ W

R1 = 1/ 1 = 1/ 30 = 0,033 m2 K/ W

R2 = 1/ 2 = 1/ 15 = 0,067 m2 K/ W .

5

Gsto strumienia cieplnego:

21ot 2otT -T 90 20q 698,95 .........W/mR 0,033 0,00015 0,067

Temperatury obu powierzchni cianki: T1pow = T1ot q/ 1 = 90 698,95 / 30 = 66,702

oC T2pow = T2ot + q/ 2 = 20 + 698,95 / 15 = 66,597

oC

Spadek temperatury w ciance: T = T2pow T1pow = 66,597 66,702 = - 0,105 K

Gradient temperatury: gradT = T/ d = - 0,105 / 0,006 = - 17,474 K /m

Gsto strumienia cieplnego w oparciu o prawo Fouriera dla cianki : q = - gradT = - 40 . (- 17,474) = 698,95 W/ m2 .

Pole temperatury w ciance :

1pow 2pow 1pow

xT = T (T -T )

d = T1pow + x

. gradT

T = 66,702 17,474 . x

Warto temperatury w rodku cianki ( x = 0,003) : T = 66,702 17,474 . 0,003 = 66, 65 oC

Warto temperatury w odlegoci 1 mm od zewntrznej powierzchni cianki : Zgodnie z ukadem wsprzdnych x = 0,005 m. T = 66,702 17,474 . 0,005 = 66,615 oC

Koniec zad. 1 - - - - - - -

ZADANIE 2

cianka grzejnika eliwnego posiada na powierzchni zewntrznej warstw lakie-ru, czyli jest 2. warstwowa w sensie cieplnym. Ustalone pole temperatury w ciance okrelone jest wartoci temperatur na powierzchniach granicznych T1pow = 100

oC i T2pow = 50

oC (czyli znane s warunki brzegowe WB1r). Gruboci metalu i lakieru wy-nosz odpowiednio: dsg = 3mm, dp1 = 0,1 mm. Drugi wariant dotyczy cieszej gruboci rwnej dp2 = 0,05 mm.

Wspczynniki przewodzenia ciepa wynosz 50 W/ (m K) dla eliwa i 1 W/ (m K) dla warstwy lakieru. Obliczy:

a) temperatur kontaktu metalu z lakierem, b) gsto strumienia cieplnego dla obu gruboci warstwy lakieru.

6

d1 d2

1 2

Search related